Тригонометрические неравенства sin. Решение простейших тригонометрических неравенств
Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤.
Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.
Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.
Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции
Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:
- На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
- На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
- Отметить точки пересечения двух графиков.
- Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.
Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:
Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — . Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства: 
Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:
- Сначала стоит начертить единичную окружность.
- Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
- Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
- После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
- Записать ответ в требуемой форме.
Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения
Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.
Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.
Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.
Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.
Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы
Являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.
В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.
Сложные тригонометрические неравенства
Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:
Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:
В результате должна получиться красивая кривая.
Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции
1. Если аргумент - сложный (отличен от х ), то заменяем его на t .
2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost и y=a .
3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков , между которыми располагается выше прямой у=а . Находим абсциссы этих точек.
4. Записываем двойное неравенство для аргумента t , учитывая период косинуса (t будет между найденными абсциссами).
5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.
Пример 1.
Далее, по алгоритму, определяем те значения аргумента t , при которых синусоида располагается выше прямой. Выпишем эти значения в виде двойного неравенства, учитывая периодичность функции косинуса, а затем вернемся к первоначальному аргументу х .
Пример 2.
Выделяем промежуток значений t , при которых синусоида находится выше прямой.
Записываем в виде двойного неравенства значения t, удовлетворяющих условию. Не забываем, что наименьший период функции y=cost равен 2π . Возвращаемся к переменной х , постепенно упрощая все части двойного неравенства.
Ответ записываем в виде закрытого числового промежутка, так как неравенство было нестрогое.
Пример 3.
Нас будет интересовать промежуток значений t , при которых точки синусоиды будут лежать выше прямой.
Значения t запишем в виде двойного неравенства, перезапишем эти же значения для 2х и выразим х . Ответ запишем в виде числового промежутка.
И снова формула cost>a.
Если cost>a , (-1≤а ≤1), то - arccos a + 2πn < t < arccos a + 2πn, nєZ.
Применяйте формулы для решения тригонометрических неравенств, и вы сэкономите время на экзаменационном тестировании.
А теперь формула
, которой вам следует воспользоваться на экзамене ЕНТ или ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost
Если cost, (-1≤а ≤1), то arccos a + 2πn < t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
Примените эту формулу для решения рассмотренных в этой статье неравенств, и вы получите ответ гораздо быстрее и безо всяких графиков!
Учитывая периодичность функции синуса, запишем двойное неравенство для значений аргумента t
, удовлетворяющий последнему неравенству. Вернемся к первоначальной переменной. Преобразуем полученное двойное неравенство и выразим переменную х.
Ответ запишем в виде промежутка.
Решаем второе неравенство:
При решении второго неравенства нам пришлось преобразовать левую часть данного неравенства по формуле синуса двойного аргумента, чтобы получить неравенство вида: sint≥a. Далее мы следовали алгоритму.
Решаем третье неравенство:
Дорогие выпускники и абитуриенты! Имейте ввиду, что такие способы решения тригонометрических неравенств, как приведенный выше графический способ и, наверняка, вам известный, способ решения с помощью единичной тригонометрической окружности (тригонометрического круга) применимы лишь на первых этапах изучения раздела тригонометрии «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». Думаю, вы припомните, что и простейшие тригонометрические уравнения вы вначале решали с помощью графиков или круга. Однако, сейчас вам не придет в голову решать таким образом тригонометрические уравнения. А как вы их решаете? Правильно, по формулам. Вот и тригонометрические неравенства следует решать по формулам, тем более, на тестировании, когда дорога каждая минута . Итак, решите три неравенства этого урока по соответствующей формуле.
Если sint>a , где -1≤a ≤1, то arcsin a + 2πn < t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
Учите формулы!
И, напоследок: знаете ли вы, что математика — это определения, правила и ФОРМУЛЫ?!
Конечно, знаете! И самые любознательные, изучив эту статью и просмотрев видео, воскликнули: «Как долго и сложно! А нет ли формулы, позволяющей решать такие неравенства безо всяких графиков и окружностей?» Да, разумеется, есть!
ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint (-1≤а ≤1) справедлива формула:
— π — arcsin a + 2πn < t < arcsin a + 2πn, nєZ.
Примените ее к рассмотренным примерам и вы получите ответ гораздо быстрее!
Вывод: УЧИТЕ ФОРМУЛЫ, ДРУЗЬЯ!
Страница 1 из 1 1
Простейшие тригонометрические неравенства вида sin x>a — основа для решения более сложных тригонометрических неравенств.
Рассмотрим решение простейших тригонометрических неравенств вида sin x>a на единичной окружности.
1) при 0
С помощью ассоциации косинус-колобок (оба начинаются с ко-, оба «кругленькие»), вспоминаем, что косинус — это x, соответственно, синус — y. Отсюда строим график y=a — прямую, параллельную оси ox. Если неравенство строгое, точки пересечения единичной окружности и прямой y=a выколотые, если неравенство нестрогое — точки закрашиваем (как легко запомнить, когда точка выколотая, когда — закрашенная, смотрите ). Наибольшие затруднение при решении простейших тригонометрических неравенств вызывает правильное нахождение точек пересечения единичной окружности и прямой y=a.
Первую из точек найти несложно — это arcsin a. Определяем путь, по которому из первой точки идем ко второй. На прямой y=a sinx=a, сверху, над прямой, sin x>a, а ниже, под прямой, sin x
2) a=0, то есть sin x>0
В этом случае первая точка промежутка — 0, вторая — п. К обоим концам промежутка с учетом периода синуса прибавляем 2пn.
3) при a=-1, то есть sinx>-1
В этом случае первая точка -п/2, а чтобы попасть во вторую, обходим всю окружность против часовой стрелки. Попадаем в точку -п/2+2п=3п/2. Чтобы учесть все интервалы, являющиеся решением данного неравенства, к обоим концам прибавляем 2пn.
4) sinx>-a, при 0
Первая точка — как обычно, arcsin(-a)=-arcsina. Чтобы попасть во вторую точку, идем верхним путем, то есть в сторону увеличения угла.
На этот раз мы за п переходим. На сколько переходим? На arcsin x. Значит, вторая точка — это п+arcsin x. Почему нет минуса? Потому что минус в записи -arcsin a обозначает движение по часовой стрелки, а мы шли против. И в заключении, к каждому концу интервала прибавляем 2пn.
5) sinx>a, если а>1.
Единичная окружность лежит целиком под прямой y=a. Нет ни одной точки выше прямой. Значит, решений нет.
6) sinx>-a, где a>1.
В этом случае вся единичная окружность целиком лежит над прямой y=a. Поэтому любая точка удовлетворяет условию sinx>a. Значит, x — любое число.
И здесь x — любое число, поскольку точки -п/2+2пn входят в решение, в отличие от строгого неравенства sinx>-1. Ничего исключать не надо.
Единственной точкой на окружности, удовлетворяющей данному условию, является п/2. С учетом периода синуса, решением данного неравенства является множество точек x=п/2+2пn.
Например, решить неравенство sinx>-1/2:
Неравенства, содержащие тригонометрические функции, при решении сводятся к простейшим неравенствам вида cos(t)>a, sint(t)=a и подобным. И уже простейшие неравенства решаются. Рассмотрим на различных примерах способы решения простейших тригонометрических неравенств.
Пример 1 . Решить неравенство sin(t) > = -1/2.
Рисуем единичную окружность. Так как sin(t) по определению - это координата y, отмечаем на оси Оу точку у =-1/2. Проводим через неё прямую, параллельную оси Ох. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2.
Решением данного неравенства будут все точки единичной окружности расположенные выше данных точек. Другими словами решением будет являться дуга l.. Теперь необходимо указать условия, при которых произвольная точка будет принадлежать дуге l.
Pt1 лежит в правой полуокружности, её ордината равна -1/2, тогда t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Для описания точки Pt1 можно записать следующую формулу:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. В итоге получаем для t следующее неравенство:
Мы сохраняем знаки неравенств. А так как функция синус функция периодичная, значит решения будут повторяться через каждые 2*pi. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.
Ответ: -pi/6+2*pi*n < = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Пример 2. Решить неравенство cos(t) <1/2.
Нарисуем единичную окружность. Так как согласно определению cos(t) это координата х, отмечаем на грфике на оси Ох точку x = 1/2.
Проводим через эту точку прямую, параллельную оси Оу. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2.
Решениями будут все точки единичной окружности, которые принадлежать дуге l.. Найдем точки t1 и t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Получили неравенство для t: pi/3 Так как косинус - это функция периодичная, то решения будут повторяться через каждые 2*pi. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ. Ответ: pi/3+2*pi*n Пример 3.
Решить неравенство tg(t) < = 1. Период тангенса равняется pi. Найдем решения, которые принадлежат промежутку (-pi/2;pi/2) правая полуокружность. Далее воспользовавшись периодичностью тангенса, запишем все решения данного неравенства. Нарисуем единичную окружность и отметим на ней линию тангенсов. Если t будет являться решение неравенства, то ордината точки Т = tg(t) должна быть меньше или равна 1. Множество таких точек будет составлять луч АТ. Множество точек Pt, которые будут соответствовать точкам этого луча - дуга l. Причем, точка P(-pi/2) не принадлежит этой дуге. 1.5 Тригонометрические неравенства и методы их решения 1.5.1 Решение простейших тригонометрических неравенств Большинство авторов современных учебников по математике предлагают начать рассмотрение данной темы с решения простейших тригонометрических неравенств. Принцип решения простейших тригонометрических неравенств основан на знаниях и умениях определять на тригонометрической окружности значения не только основных тригонометрических углов, но и других значений. Между тем, решение неравенств вида , , , можно осуществлять следующим образом: сначала находим какой-нибудь промежуток (), на котором выполняется данное неравенство, а затем записываем окончательный ответ, добавив к концам найденного промежутка число кратное периоду синуса или косинуса: ( Мы на протяжении ряда лет для нахождения решения тригонометрических неравенств довольно успешно применяем формулы корней соответствующих уравнений. Изучение данной темы осуществляем таким образом: 1. Строим графики и у = а, считая, что . Затем записываем уравнение и его решение . Придавая n 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения: . Значения являются абсциссами трёх последовательных точек пересечения графиков и у = а. очевидно, что всегда на интервале () выполняется неравенство , а на интервале () – неравенство . Добавив к концам этих промежутков число, кратное периоду синуса, в первом случае получим решение неравенства в виде: ; а во втором случае – решение неравенства в виде: Только в отличие от синуса из формулы , являющейся решением уравнения , при n = 0 получаем два корня , а третий корень при n = 1 в виде Теперь нетрудно записать решения неравенств и . В первом случае получим: ; а во втором: . Подведём итог. Чтобы решить неравенство или , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни и , и записать ответ неравенства в виде: . При решении неравенств , из формулы корней соответствующего уравнения находим корни и , и записываем ответ неравенства в виде: . Данный приём позволяет научить решать тригонометрические неравенства всех учащихся, т.к. этот приём полностью опирается на умения, которыми учащиеся владеют прочно. Это умения решать простейшие и находить значение переменной по формуле. Кроме того, становится совершенно необязательным тщательное прорешивание под руководством учителя большого количества упражнений для того, чтобы продемонстрировать всевозможные приёмы рассуждений в зависимости от знака неравенства, значения модуля числа a и его знака. Да и сам процесс решения неравенства становится кратким и, что очень важно, единообразным. Ещё одним из преимуществ данного способа является то, что он позволяет легко решать неравенства даже в том случае, когда правая часть не является табличным значением синуса или косинуса. Продемонстрируем это на конкретном примере. Пусть требуется решить неравенство . Составим соответствующее уравнение и решим его: Найдём значения и . При n = 1 При n = 2 Записываем окончательный ответ данного неравенства: В рассмотренном примере решения простейших тригонометрических неравенств недостаток может быть только один – наличие определенной доли формализма. Но если всё оценивать только с этих позиций, то тогда можно будет обвинить в формализме и формулы корней квадратного уравнения, и всех формул решения тригонометрических уравнений, и многое другое. Предложенный метод хоть и занимает достойное место в формировании умений и навыков решения тригонометрических неравенств, но нельзя и преуменьшать важность и особенности других методов решения тригонометрических неравенств. К таковым относится и метод интервалов. Рассмотрим его сущность. Комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит. § 3. Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа: ü Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями... Проведении исследования были решены следующие задачи: 1) Проанализированы действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: ·в средней школе недостаточное внимание уделяется методам решения различных иррациональных уравнений, в основном...
). При этом значение находится легко, т.к. или . Поиск же значения опирается на интуицию учащихся, их умение заметить равенство дуг или отрезков, воспользовавшись симметрией отдельных частей графика синуса или косинуса. А это довольно большому числу учащихся иногда оказывается не под силу. В целях преодоления отмеченных трудностей в учебниках в последние годы применялся разный подход к решению простейших тригонометрических неравенств, но улучшения в результатах обучения это не давало.
. И опять являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков и . В интервале () выполняется неравенство , в интервале () – неравенство 
