Умножение одночлена на многочлен новый материал. Урок "умножение одночлена на многочлен"

§ 1 Умножение многочлена на одночлен

Когда речь идёт об умножении многочленов, то мы можем иметь дело с операциями двух видов: умножение многочлена на одночлен и умножение многочлена на многочлен. На этом занятии мы узнаем, как умножить многочлен на одночлен.

Основным правилом, которое используют при умножении многочлена на одночлен, является распределительное свойство умножения. Вспомним:

Чтобы сумму умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.

Это свойство умножения распространяется и на действие вычитания. В буквенной записи распределительное свойство умножения выглядит так:

(а + b) ∙ с = ас + bc

(а - b) ∙ с = ас - bc

Рассмотрим пример: многочлен (5аb - 3а2) умножить на одночлен 2b.

Введём новые переменные и обозначим 5аb - буквой х, 3а2 - буквой у, 2b - буквой с. Тогда наш пример примет вид:

(5аb - 3а2) ∙ 2b = (х - у) ∙с

Согласно распределительному закону это равно хс - ус. Теперь вернёмся к первоначальному значению новых переменных. Получим:

5аb∙2b - 3а2∙2b

Теперь приведём получившийся многочлен к стандартному виду. Получим выражение:

Таким образом, можно сформулировать правило:

Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.

Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен.

§ 2 Примеры по теме урока

При умножении многочленов на практике во избежание путаницы с определением получающихся знаков рекомендуют сначала определять и сразу записывать знак произведения, а уж потом находить и записывать произведение чисел и переменных. Вот как это выглядит на конкретных примерах.

Пример 1. (4а2b - 2а) ∙ (-5аb).

Здесь одночлен - 5аb надо умножить на два одночлена, составляющих многочлен, 4а2b и - 2а. Первое произведение будет со знаком «-», а второе - со знаком «+». Поэтому решение будет выглядеть так:

(4а2b - 2а) ∙ (-5аb) = - 4а2b ∙ 5аb + 2а ∙ 5аb = -20а3b2 + 10а2b

Пример 2. -ху(2х - 3у +5).

Здесь нам придётся выполнить три действия умножения, причём знак первого произведения будет «-», знак второго «+», знак третьего «-». Решение выглядит так:

Ху(2х - 3у + 5) = -ху∙2х + ху∙3у - ху∙5 = -2х2у + 3ху2 - 5ху.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

НР МОБУ «Пойковская средняя общеобразовательная школа №2»

Открытый урок по алгебре в 7 классе

по теме:

«Умножение одночлена на многочлен»

Учителя математики

Лимарь Т. А.

г. п. Пойковский, 2014

Методическая информация

Тип урока

Урок «открытия» нового знания

Цели урока (образовательные, развивающие, воспитательные)

Деятельностная цель урока : формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия по теме «Умножение одночлена на многочлен» на основе метода рефлексивной самоорганизации.

Образовательная цель : расширение понятийной базы по теме «Многочлены» за счет включения в нее новых элементов: умножение одночленов на многочлен.

Задачи урока

образовательные:

Выработать алгоритм умножения одночлена на многочлен, рассмотреть примеры его применения.

развивающие:

Развитие внимания, памяти, умения рассуждать и аргументировать свои действия через решение проблемной задачи;

Развитие познавательного интереса к предмету;

Формирование эмоционально-положительного настроя у учащихся путем применения активных форм ведения урока и применением ИКТ;

Развитие рефлексивных умений через проведение анализа результатов урока и самоанализа собственных достижений.

воспитательные:

Развитие коммуникативных умений обучающихся через организацию групповой, парной и фронтальной работы на уроке.

Используемые методы

Словесные методы (беседа, чтение),

Наглядные (демонстрация презентации),

Проблемно-поисковый,

Метод рефлексивной самоорганизации (деятельностный метод),

Формирование личностных УУД.

Дидактическое обеспечение урока:

Компьютерная презентация,

Карточки с заданиями,

Карточки оценки работы на уроке,

Карточки с практическими заданиями по новой теме.

Этапы урок

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Организационный этап. (1мин)

Цели: актуализация знаний учащихся, определение целей урока, деление класса на группы (разно уровневые), выбор руководителя группы.

Психологический настрой, приветствие учащихся.

Приветствует учеников, называет эпиграф урока. Предлагает занять места по заранее распределенным группам и дает предварительный инструктаж.

Здравствуйте, присаживайтесь. Ребята, еще за тысячи лет до нашего рождения Аристотель говорил, что «…математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного». И после каждого урока в мире математики неопределенности становится меньше. Я надеюсь, что и сегодня мы с вами откроем для себя что-то новое.

В ходе урока вы будете заполнять оценочный лист, который лежит у вас на столах, после выполнения каждого задания.

Учащиеся рассаживается по заранее разделенным группам. Знакомится с оценочным листом.

Устный счет.

Цель: проверить усвоение теоретического материала по теме: «Умножение одночлена на одночлен. Возведение в степень» и умения применять его на практике, развитие мыслительных навыков учащихся, осознание ценности совместной деятельности, борьба за успех группы.

а) математический диктант.

Привести подобные одночлены.

а) 2х+4у+6х=

б) -4а+в-3а=

в) 3c+2d+5d=

г) -2d +4a-3a =

2. Умножить одночлен на одночлен

а) -2ху 3х

б) (-4ав) (-2в)

г) (-5ав) (2z )

д) 2z (x +y )

Учитель предлагает выполнить математический диктант, записанный на доске. Контролирует правильность выполнение, подводит к изучению нового материала.

Совместно с учащимися формулирует цель и тему урока

- какой из номеров диктанта вызвал у вас наибольшие затруднения?

Давайте попробуем выяснить где именно возникло затруднение и почему?

- Цель нашего урока: научиться выполнять умножение одночлена на многочлен (справедливость вашего решения).

Тема урока: « У множение одночлена на многочлен».

Учащиеся выполняют задания. Совместно с учителем формулирует цель и тему урока. Записывают тему урока тетрадях.

(предполагаемый ответ учащихся д)

Выработать (сформулировать) правило умножения одночлена на многочлен.

Подведение к новой теме

Цель: подготовить учащихся к изучению нового материала.

Работа в группах.

Группа №1.

Вычислить.

15 80+15 20= 1200+300=1500

15 (80+20)=15 100=1500

Группа №2

Вычислить.

20 40+20 100=800+2000=2800

20 (40+100)=20 140=2800

Группа №3.

Вычислить .

6 (2а+3а)=6 5а=30а

6 2а+6 3а=12а+18а=30

Группа № 4

Вычислить

7 (4х+2х)= 7 6х=42

7 4х+7 2х=28х+14х=42х

Учитель проводит инструктаж. Контролирует выполнение.

Каждой группе необходимо найти значение двух выражений. Сравнить их и записать вывод в виде равенства или неравенства.

Учащиеся решают примеры в группах, делают вывод.

1 член от каждой группы пишет вывод на доске.

На доске написано:

15 80+15 20=15 (80+20)

20 40+20 100=20 (40+100)

6 (2а+3а)=6 2а+6 3

7 (4х+2х)=7 4х+7 2х

Учащиеся выставляют себе оценку в оценочный лист. Если вывод сформулирован и записан правильно, то ставят 5.

«Открытие» учащимися нового материала.
Цель: формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия по теме «Умножение одночлена на многочлен» на основе метода рефлексивной самоорганизации.

Выполнение задания «Заполните пропуски»

Слайд 2.

2z ∙(x +y )=2z ∙ +2z ∙

3х(а+в)= а+ в

Через минуту на доске высвечивается правильное решение.

Учитель дает инструктаж.

Проводит опрос. Делает вывод.

Пользуясь равенствами, записанными на доске, заполните пропуски в следующих выражениях

Обратите внимание, что стоит перед скобкой?

Что стоит в скобках?

Что получается в ответе?

И так, давайте сделаем вывод как умножить одночлен на многочлен. Через три минуты представляют свой материал классу (используется белый лист и фломастеры).

Обобщает

Проверим, правильно ли вы сформулировали правило. Для этого откроем учебник на стр.

Ученики работают в группах, каждая группа обсуждает, как заполнить пропуски.

Проверяют правильность заполнения пропусков.

Каждая группа выдвигает свою гипотезу и представляет классу, проходит общее обсуждение и делается вывод.

Читают вслух правило из учебника.

Одночлен

Многочлен

Новый многочлен

Первичное закрепление.

Цель: отработка навыков умножения одночлена на многочлен, развитие мыслительных навыков учащихся, осознание ценности совместной деятельности, борьба за успех группы, повышение мотивации учебной деятельности.

Работа в группах.

Группа №1, 3

х∙(

m ∙(n +3)=__________________ ; 7a ∙(2b -3c ) = _______________ ;

Группа №2, 4

a∙(c-y) = __________________ ; c∙(c+d)=___________________ ;

m∙(y+5)=__________________ ; 6m∙(2n-3k) = ______________ ;

7

Учитель дает инструктаж.

На парте возьмите карточку №2 Обязательное условие - при решении проговаривать друг другу правило.

Выполните взаимопроверку, группа 1 меняется карточками с группой 3, а группа 2 – с группой 4. Выставьте оценки группам в оценочный лист:

5 правильно выполненных задания – оценка «5»; 4 - «4»; 3- «3»; меньше 3- «2».

Выполняют задание на карточках, проводят взаимопроверку.

Ответственный член группы №1 спрашивает любого члена группы №3. Выставляет оценку в оценочный лист.

ответственный член группы №2 спрашивает любого члена группы №4. Выставляет оценку в оценочный лист

6. Математическая зарядка.
Цель: повысить или удержать умственную работоспособность детей на уроках;

обеспечить кратковременный активный отдых для учеников в течение урока.

Учитель проводит инструктаж, показывает карточки, на которых записаны одночлены, многочлены и выражения которые не являются ни одночленами, ни многочленами.

Учащиеся выполняют упражнения по командам

«Одночлен» - руки подняли вверх; «Многочлен» - руки перед собой «Другое выражение» - руки в стороны;

Закрыли глаза, про себя досчитали до 30, открыли глаза.

Математическое лото

Цель: закрепить алгоритм умножения одночлена на многочлен и побудить интерес к математике

Группа№1,3

с(3а-4в)=3ас-12вс;

3) 3c(x-3y)=3cx-9cy;

4) -n(x-m)=-nx+nm;

5) 3z (x-y )= 3zx-3zy .

Карточки с ответами:

3ас-12вс; 3ас+12вс; 3ас-4в

zx+2zy; zx-2zy; zx+2y;

3cx-9cy; 3cx+9cy; 3cx-3cy;

Nx+nm; nx+nm; nx-nm;

3zx-3zy; 3zx-y; zx-zy.

Группа №2, 4

Умножьте одночлен на многочлен

А(3в+с)=-3ав-ас;

4x (5c -s )=20cx -4xs ;

a(3c+2b)=3ac +2ba

1. 5a(b+3d)=5ab+15ad

Карточки с ответами:

3ав-ас; 3ав+ас; в-ас;

20cx -4xs ; 20cx +4xs ; 5c -4xs ;

3ac+2ba; 3ac+6ba; 3ac-2ba;

cp-5cm; ср-5m; p-5cm.

5ab+ad; 5ab+5b; 5ab+15ad

Раздает конверты. Рассказывает правила игры. В одном конверте лежат 5 примеров на умножения одночлен на многочлен и 15 карточек с ответами.

Поясняю, как оценивать выполненную работу.

Группа получает оценку «5»,если первой выполнила все задания верно, 4 задания – «4»; 3 задания – «3», меньше трех –«2», та группа, которая завершает игру в лото второй, при этом выполнив все задания, верно получает оценку «4», третья – «3», последняя – «2».

Получают конверты с заданиями.

Выполняют умножение одночлена на одночлен.

Выбирают правильные ответы из всех предложенных карточек.

Самопроверка.

Получают карточку для самопроверки. Выставляют оценку в оценочный лист.

8 . Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог урока).

Цель: самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности, осознание метода построения границ и применения нового способа действия.

Фронтальная беседа по вопросы на слайде:

Какой алгоритм умножения одночлена на многочлен существует в математике?

Какой результат вашей деятельности?

Учитель проводит анализ оценочных листов (их результаты видны на слайде)

Возвращается к девизу урока, проводит параллель между эпиграфом и выведенном на уроке алгоритмом.

Сдайте оценочные листы, на которых четко видно результат вашей деятельности.

Еще раз вернемся к девизу нашего урока: «…математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного». Алгоритм который мы вывели сегодня на уроке, поможет в дальнейшем сделать нам новые открытия: умножение многочлена на многочлен, поможет узнать формулы сокращенного умножения, о которых много говорят в алгебре. В переде нас ждет много интересного и важного.

Спасибо за урок!!!

Учащиеся делают самоанализ своей работы, вспоминают алгоритм, изученный на уроке, отвечают на вопросы.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

КАРТОЧКА №1.

Группа №1.

Вычислить.

15 80+15 20= ______________________________

15 (80+20)= _______________________________

КАРТОЧКА №1.

Группа №2

Вычислить.

20 40+20 100 =_________________________________

20 (40+100)= __________________________________

КАРТОЧКА №1.

Группа №3.

Вычислить .

6 (2а+3а)=_____________________________________

6 2а+6 3а=_____________________________________

КАРТОЧКА №1

Группа № 4

Вычислить

7 (4х+2х)= _____________________________________

7 4х+7 2х= _____________________________________

КАРТОЧКА №2.

Группа №3

х∙(z +y ) = __________________ ; a ∙(c +d )=___________________ ;

5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.

КАРТОЧКА №4.

Группа №2

КАРТОЧКА №2.

Группа №1

х∙(z +y ) = __________________ ; a ∙(c +d )=___________________ ;

m∙(n+3)=__________________ ; 7a∙(2b-3c) = _______________ ;

5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.

КАРТОЧКА №2.

Группа №2

a ∙(c -y ) = __________________ ; c ∙(c +d )=___________________ ;

m ∙(y +5)=__________________ ; 6m ∙(2n -3k ) = ______________ ;

Математическое лото ( по два экземпляра)

с(3а-4в)

z(x+2y)

3c(x-3y)

-n(x-m)

3z (x-y )

-а(3в+с)

4x (5c -s )

a(3c+2b)

c(p-5m)

5a(b+3d)

Ответы к лото (по два экземпляра)

3ас-12вс

3ас+12вс

3ас-4в

zx+2zy;

zx-2zy

zx+2y

3сх-9су

3cx-3cy

3сх+3су

Nx+nm

nx+nm

nx-nm

zx-zy

3zx-y

3zx-3zy

3ав-ас

3ав+ас;

в-ас

20cx -4xs

20cx +4xs

5c -4xs

3ac+2ba

3ac+6ba

3ac-2ba

cp-5cm

ср-5m

p-5cm.

5ab+ad

5ab+5b

§ 1 Умножение многочлена на одночлен

Когда речь идёт об умножении многочленов, то мы можем иметь дело с операциями двух видов: умножение многочлена на одночлен и умножение многочлена на многочлен. На этом занятии мы узнаем, как умножить многочлен на одночлен.

Основным правилом, которое используют при умножении многочлена на одночлен, является распределительное свойство умножения. Вспомним:

Чтобы сумму умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.

Это свойство умножения распространяется и на действие вычитания. В буквенной записи распределительное свойство умножения выглядит так:

(а + b) ∙ с = ас + bc

(а - b) ∙ с = ас - bc

Рассмотрим пример: многочлен (5аb - 3а2) умножить на одночлен 2b.

Введём новые переменные и обозначим 5аb - буквой х, 3а2 - буквой у, 2b - буквой с. Тогда наш пример примет вид:

(5аb - 3а2) ∙ 2b = (х - у) ∙с

Согласно распределительному закону это равно хс - ус. Теперь вернёмся к первоначальному значению новых переменных. Получим:

5аb∙2b - 3а2∙2b

Теперь приведём получившийся многочлен к стандартному виду. Получим выражение:

Таким образом, можно сформулировать правило:

Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.

Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен.

§ 2 Примеры по теме урока

При умножении многочленов на практике во избежание путаницы с определением получающихся знаков рекомендуют сначала определять и сразу записывать знак произведения, а уж потом находить и записывать произведение чисел и переменных. Вот как это выглядит на конкретных примерах.

Пример 1. (4а2b - 2а) ∙ (-5аb).

Здесь одночлен - 5аb надо умножить на два одночлена, составляющих многочлен, 4а2b и - 2а. Первое произведение будет со знаком «-», а второе - со знаком «+». Поэтому решение будет выглядеть так:

(4а2b - 2а) ∙ (-5аb) = - 4а2b ∙ 5аb + 2а ∙ 5аb = -20а3b2 + 10а2b

Пример 2. -ху(2х - 3у +5).

Здесь нам придётся выполнить три действия умножения, причём знак первого произведения будет «-», знак второго «+», знак третьего «-». Решение выглядит так:

Ху(2х - 3у + 5) = -ху∙2х + ху∙3у - ху∙5 = -2х2у + 3ху2 - 5ху.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

>>Математика: Умножение многочлена на одночлен

Умножение многочлена на одночлен

Вы, наверное, заметили, что до сих пор глава 4 строилась по тому же плану, что и глава 3. В обеих главах сначала вводились основные понятия: в главе 3 это были одночлен, стандартный вид одночлена, коэффициент одночлена; в главе 4 - многочлен , стандартный вид многочлена. Затем в главе 3 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов; аналогично, в главе 4 - сложение и вычитание многочленов.

Что было в главе 3 дальше? Дальше мы говорили об умножении одночленов. Значит, по аналогии, о чем нам следует поговорить теперь? Об умножении многочленов. Но здесь придется действовать не спеша: сначала (в этом параграфе) рассмотрим умножение многочлена на одночлен (или одночлена на многочлен, это все равно), а потом (в следующем параграфе) - умножение любых многочленов. Когда вы в младших классах учились перемножать числа, вы ведь тоже действовали постепенно: сначала учились умножать многозначное число на однозначное и только потом умножали многозначное число на многозначное.

(a + b)с =ас + bс.

Пример 1. Выполнить умножение 2а 2 - Заb) (-5а).

Решение. Введем новые переменные:

х = 2а 2 , у= Заb, z = - 5а.

Тогда данное произведение перепишется в виде (х + у)z, что по распределительному закону равно хr + уz. Теперь вернемся к старым переменным:

хz + уz - 2а 2 (- 5а) + (- Заb) (- 5а).
Нам остается лишь найти произведения одночленов. Получим:

- 10a 3 + 15a 2 b

Приведем краткую запись решения (так мы и будем записывать в дальнейшем, не вводя новых переменных):

(2а 2 - Заb) (- 5а) = 2а 2 (- 5а) + (- Заb) (- 5а) = -10а 3 +15а 2 b.

Теперь мы можем сформулировать соответствующее правило умножения многочлена на одночлен.

Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен:

- 5а(2а 2 - Заb) = (- 5а) 2а 2 + (- 5а) (- Заb) = 10а 3 + 15а 2 b

(мы взяли пример 1, но поменяли местами множители).

Пример 2. Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если:

a) p1(x, y) - 2х 2 у + 4а:;

б) р 2 (х, у) = х 2 + Зу 2 .

Р е ш е н и е.

а) Заметим, что 2х 2 у = 2х ху, а 4а: = 2х 2. Значит,

2x 2 y + 4х = xу 2х + 2 2x = (ху + 2) 2x

б) В примере а) нам удалось в составе каждого члена много члена p 1 (х, у) = 2х 2 у + 4а: выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) 2х. Здесь же такой общей части нет. Значит, многочлен р 2 (х, у) = х 2 + Зу 2 нельзя представить в виде произведения многочлена и одночлена.

На самом деле и многочлен р 2 (х, у) можно представить в виде произведения, например, так:

x 2 + 3y 2 = (2x 2 + 6y 2) 0,5
или так:

x 2 + 3y 2 = (x 2 + 3y 2) 1
- произведение числа на многочлен, но это искусственное преобразование и без большой необходимости не используется.

Кстати, требование представить заданный многочлен в виде произведения одночлена и многочлена встречается в математике довольно часто, поэтому указанной процедуре присвоено специальное название: вынесение общего множителя за скобки.

Задание вынести общий множитель за скобки может быть корректным (как в примере 2а), а может быть и не совсем корректным (как в примере 26). В следующей главе мы специально рассмотрим этот вопрос.

В заключение параграфа решим задачи, которые покажут, как на практике для работы с математическими моделями реальных ситуаций приходится и составлять алгебраическую сумму многочленов, и умножать многочлен на одночлен. Так что эти операции мы изучаем не зря.

Пример 3. Пункты А, В и С расположены на шоссе так, как показано на рисунке 3. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?

Решение.
Первый этап. Составление математической модели. Пусть х км/ч - скорость пешехода, тогда (x + 6) км/ч - скорость велосипедиста.

Расстояние от А до С велосипедист проехал за 4 ч, значит, это расстояние выражается формулой 4 (x + 6) км; иными словами, АС = 4 (х + 6).

Расстояние от В до С пешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние выражается формулой 6x км; иными словами, ВС = 6x

А теперь обратите внимание на рисунок 3: АС - ВС = АВ, т. е. АС - ВС = 16. Это - основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС = 4 (x + 6), ВС = 6x:; следовательно,

4 (х + 6) -6x = 16.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

В представляемом видеоуроке мы подробно рассмотрим вопрос умножения многочлена на какое-либо выражение, отвечающее определению «моном», или одночлен. Мономом может выступать любое свободное числовое значение, представленное натуральным числом (в любой степени, с любым знаком) либо же некая переменная (с подобными атрибутами). При этом стоит помнить, что многочлен представляет собой набор алгебраических элементов, называемых членами полинома. Иногда некоторые члены могут быть приведены с подобностью и сокращены. Настоятельно рекомендуется проводить процедуру приведения подобных слагаемых после операции умножения. Конечным ответом, в таком случае, будет являться стандартизованная форма полинома.

Как следует из нашего видео, процесс умножения одночлена на многочлен можно рассматривать с двух позиций: линейной алгебры и геометрии. Рассмотрим операцию умножения многочлена с каждой стороны - это способствует универсальности применения правил, особенно в случае комплексных задач.

В алгебраическом понимании, умножение полинома на одночлен отвечает стандартному правилу умножения на сумму: каждый элемент суммы должен быть умножен на заданное значение, а полученное значение алгебраически сложено. Стоит понимать, что любой многочлен - это развернутая алгебраическая сумма. После умножения каждого члена полинома на некое значение мы получим новую алгебраическую сумму, которую принято приводить к стандартному виду, если это возможно, конечно.

Рассмотрим умножение многочлена в данном случае:

3а * (2а 2 + 3с - 3)

Легко понять, что тут выражение (2а 2 + 3с - 3) является многочленом, а 3а - свободным множителем. Для решения этого выражения достаточно переумножить каждый из трех членов полинома на 3а:

При этом стоит помнить, что знак является важным атрибутом переменной справа, и его нельзя потерять. Знак «+», как правило, не записывается, если с него начинается выражение. При умножении чисельно-буквенных выражений все коэффициенты при переменных элементарно перемножаются. Одинаковые переменные повышают степень. Разные переменные остаются неизменными, и записываются в одном элементе: а*с = ас. Знание этих простейших правил сложения способствует корректному, и быстрому решению любых подобных упражнений.

Мы получили три значения, которые являются, по сути, членами итогового многочлена, что и есть ответом на пример. Необходимо лишь алгебраически сложить данные значения:

6а 3 + 9ас +(- 9а) = 6а 3 + 9ас - 9а

Скобки раскрываем, сохраняя знаки, так как это алгебраическое сложение, и между мономами по определению стоит знак «плюс». Итоговый стандартный вид многочлена является корректным ответом на представляемый пример.

Геометрический вид умножения многочлена на одночлен представляет собой процесс нахождения площади прямоугольника. Предположим, у нас есть некий прямоугольник со сторонами а и с. Фигура разбита двумя отрезками на три прямоугольника различной площади, так, что сторона с является для всех общей, или одинаковой. А стороны а1, а2 и а3 в сумме дают начальную а. Как известно из аксиоматического определения площади прямоугольника, для нахождения этого параметра необходимо перемножить стороны: S = а*с. Либо же, S = (а1 + а2 + а3) * с. Проведем умножение многочлена (образованного сторонами меньших прямоугольников) на одночлен - главную сторону фигуры, и получим выражение для S: а1*с + а2*с + а3*с. Но если внимательно присмотреться, то можно заметить, что данный многочлен является суммой площадей трех меньших прямоугольников, которые и составляют начальную фигуру. Ведь для первого прямоугольника S = а1с (по аксиоме) и т.д. Алгебраически верность рассуждений при сложении многочлена подтверждается расчетами линейной алгебры. А геометрически - правилами сложения площадей в единой простейшей фигуре.

При проведении манипуляций с умножением многочлена на одночлен следует помнить, что при этом степени монома и полинома (общая) складываются - а полученное значение является степенью нового многочлена (ответа).

Все вышеперечисленные правила вместе с основами алгебраического сложения используются в примерах простейшего упрощения выражений, где проводится приведение подобных слагаемых и умножение элементов для упрощения всего многочлена.