Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами
Решение задач. геометрия по теме Векторы
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ
Прототип задания B3
1.Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора.
Решение.
По правилу треугольника:
Найдём длину AD из п/у ∆AOD
(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BD
и ВО = ОD = 6, АО = ОС = 8)
Прототип задания B3
Две стороны прямоугольника ABCD
Прототип задания B3
Две стороны прямоугольника ABCD равны 60 и 45
Решение.
По правилу треугольника:
Прототип задания B3
О
Прототип задания B3
Две стороны прямоугольника равны 15 и 23. Диагонали пересекаются в точке О . Найдите длину суммы векторов и.
Решение.
По правилу треугольника:
Прототип задания B3
О . Найдите длину разности векторов и.
Прототип задания B3
Две стороны прямоугольника равны 13 и 25. Диагонали пересекаются в точке О . Найдите длину разности векторов и.
Решение.
По правилу треугольника:
Прототип задания B3
Диагонали ромба ABCD
Прототип задания B3
Диагонали ромба ABCD равны 54 и 72. Найдите длину вектора.
Решение.
Найдём длину из п/у ∆AOB
(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BD
и ВО = ОD = 27, АО = ОС = 36)
Прототип задания B3
Диагонали ромба ABCD
Прототип задания B3
Диагонали ромба ABCD равны 44 и 66. Найдите длину вектора.
Решение.
По правилу параллелограмма
Прототип задания B3
ABC
Прототип задания B3
Стороны правильного треугольника ABC равны. Найдите длину вектора.
Решение.
По правилу параллелограмма:
где АО – высота, медиана,
биссектриса р/с ∆ АВС
Ответ: 135.
Прототип задания B3 ЕГЭ
Стороны правильного треугольника ABC
Прототип задания B3 ЕГЭ
Стороны правильного треугольника ABC равны 18. Найдите скалярное произведение векторов и.
Решение.
По определению скалярного
произведения, имеем:
60 °
Ответ: 162.
Дан вектор.
Прототип задания B3(2018 ЕГЭ и задание19 ОГЭ)
Дан вектор.
Найдите: 1) координаты вектора; 2) длину вектора.
8 – 2
Решение.
1) координаты вектора:
2) длина вектора:
9 – 1
Ответ: 1) {8; 6}; 2) 10.
Прототип задания B3(2018 ЕГЭ и задание19 ОГЭ)
Даны векторы и.
Найдите: 1) скалярное произведение; 2) длины векторов.
Решение.
Координаты векторов и:
1) скалярное произведение:
2) длины векторов:
Ответ: 1) 40; 2) √40; √80.
Прототип задания B3(2018 ЕГЭ и задание19ОГЭ
Даны векторы и.
Найдите: 1) сумму координат вектора;
2) найдите квадрат длины вектора.
Решение.
Координаты векторов и:
1) сумма координат вектора:
2) квадрат длины вектора:
1) сумма векторов:
сумма координат вектора:
Ответ: 1) 20; 2) 200.
Прототип задания B3(2018 ЕГЭ и задание19 ОГЭ)
Найдите угол между векторами и.
Ответ дайте в градусах.
Решение.
Координаты векторов и:
Найдём угол между ними через скалярное
произведение:
Прототип задания B3
Две стороны прямоугольника ABCD равны 17 и 26. Найдите скалярное произведение векторов и.
Решение.
Т.к. векторы ⊥ , то
их скалярное произведение
Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.
Как обычно, немного самой необходимой теории.
Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:
Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.
У вектора есть два параметра: его длина и направление.
Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается
Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.
Два вектора называются сонаправленными , если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и сонаправлены:
Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и , а также и направлены в противоположные стороны:
Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными : вектора , и - коллинеарны.
Произведением вектора на число называется вектор, сонаправленный вектору , если title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :
Чтобы сложить два вектора и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора :
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника .
Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма , нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:
Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор :
Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов : чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора (то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):
Чтобы найти угол между вектором и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами:
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для , а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:
1 . Задание 4 (№ 27709)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и .
2 . Задание 4 (№ 27710)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
3 . Задание 4 (№ 27711)
Две стороны прямоугольника ABCD O . Найдите длину суммы векторов и .
4 . Задание 4 (№ 27712)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O . Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
5 . Задание 4 (№ 27713)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .
6 . Задание 4 (№ 27714)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .
7 .Задание 4 (№ 27715)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).
8 .Задание 4 (№ 27716)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .
9 . Задание 4 (№ 27717)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .
10 . Задание 4 (№ 27718)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).
11 .Задание 4 (№ 27719)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи).
12 . Задание 4 (№ 27720)
ABC равны Найдите длину вектора +.
13 . Задание 4 (№ 27721)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора -.(чертеж из предыдущей задачи).
14 . Задание 4 (№ 27722)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox
Задачи с векторами на ЕГЭ. Дорогие друзья! Вы знаете, что в состав экзамена по математике входят такие задания. Не факт, что такая задача попадёт именно вам, но готовиться к этому и понимать тему в любом случае нужно. На блоге мы несколько задач на сумму (разность) векторов, длину вектора, в этой же статье есть необходимая теория. Посмотрите её, прежде чем рассматривать задачи представленные ниже.
Также на блоге. Если нужно вспомнить, что такое абсцисса и ордината точки, тогда посмотрите . Кратко повторим:
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала:
Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:
Формула для определения длины вектора, если известны его координаты:
27725. Вектор АВ с началом в точке A (2;4) имеет координаты (6;2). Найдите ординату точки B .
Как уже сказано координаты вектора находятся следующим образом: и з соответствующих координат конца вычитаются координаты начала вектора. То есть:
Координаты вектора нам даны, координаты его начала тоже, значит:
Следовательно можем найти координаты точки В:
х 2 – 2 = 6 у 2 – 4 = 2
х 2 = 8 у 2 = 6
Таким образом, ордината точки В равна 6.
Ответ: 6
27726. Вектор АВ с началом в точке A (3;6) имеет координаты (9;3). Найдите сумму координат точки B.
Задача по процессу решения такая же как и предыдущая, но иначе поставлен вопрос. Вычисления так же находятся в пределах устного счёта. Ещё раз запишем координаты вектора, когда известны координаты его начала и конца:
Координаты вектора и координаты его начала даны, значит:
Можем найти координаты точки В:
х 2 – 3 = 9 у 2 – 6 = 3
х 2 = 12 у 2 = 9
Таким образом, сумма координат точки В равна 21.
Ответ: 21
27727. Вектор АВ с концом в точке B (5;3) имеет координаты (3;1). Найдите абсциссу и ординату точки A , также сумму её координат.
Нам известны координаты вектора и координаты его конца, значит:
Можем найти координаты точки А:
5 – х 1 = 3 3 – у 1 = 1
х 1 = 2 у 1 = 2
Таким образом, абсцисса точки А равна двум, ордината тоже равна двум, а сумма координат равна 2+2 = 4.
27731 Найдите квадрат длинны вектора a +b .
В данной задаче необходимо найти координаты вектора, который является суммой указанных векторов, затем найти его длину и возвести её в квадрат. Запишем формулу длины вектора, если известны его координаты:
Или в другой форме:
Найдём координаты вектора, который является суммой данных векторов. Для этого сначала найдём координаты данных векторов.
Рассмотрим вектор:
Рассмотрим вектор:
*Можно было глядя на эскиз сразу их записать, так как точки их начал совпадают с началом координат.
Теперь найдём координаты вектора являющегося их суммой:
(2 + 8; 6 + 4) = (10;10)
Таким образом, длина вектора являющегося суммой векторов a и b равна:
Следовательно квадрат длины будет равен 200.
*Имея опыт в решении подобных задач, можно сразу записывать:
Как видите, вычисления можно осуществить устно. Здесь для вас умышленно представлено подробное решение.
Ответ: 200
27733. Найдите квадрат длины вектора a – b .
Задача аналогична предыдущей. Необходимо найти координаты вектора, который является разностью представленных векторов, затем найти его длину и результат возвести в квадрат.
Координаты данных векторов нам уже известны (из предыдущей задачи):
Теперь найдём координаты вектора, который является их разностью:
(2 – 8; 6 – 4) = (–6;2)
Таким образом, длина вектора, который является разностью векторов
Следовательно квадрат её длины будет равен 40.
*Можно сразу записывать и вычислять:
Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?
А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18
метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».
Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.
Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.
Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:
Вот другой пример.
Автомобиль движется из A
в B
. Конечный результат - его перемещение из точки A
в точку B
, то есть перемещение на вектор .
Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или
До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.
Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.
А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными
называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным
называется вектор, длина которого равна 1
. Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x
и y
, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:
Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x
и по y
.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле
Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .
При сложении векторов и получаем:
Вычитание векторов
Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.
Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .
Умножение вектора на число
При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.
Скалярное произведение векторов
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.
Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.