Внеклассный урок - теорема виета. Решение уравнений с модулем

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа , и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля , то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля , перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.

Число -5 имеет знак "-" и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0

Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля .

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3

2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х 1 =0, х 2 =3

Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 2 =3.

Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

х 1 =2, х 2 =3

Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень х=2.

Алгоритм решения уравнения ах 3 +bx 2 +cx+d=0:

1.Найти подбором корень уравнения (среди делителей свободного члена);

2.Разделить многочлен ах 3 + bx 2 + cx + d на х-х 1 , где х 1 - корень уравнения ах 3 + bx 2 + cx + d =0;

3.Частное приравнять к нулю и решить получившееся уравнение;

4.Записать ответ.

Решить уравнение-6х 3 -х 2 +5х+2=0

1. Находим делители свободного члена: ±1,±2,±3,±6.

2. х=1 является корнем уравнения.

3. Многочлен -6х 3 -х 2 +5х+2 делим на двучлен

х-1 (по следствию 1 из теоремы Безу).

3.Решим уравнение: -6х 2 -7х-2=0,

6х 2 -7х-2+0, х 1 = -, х 2 = -.

4. Ответ. х=1, х = -, х = -.

Этот способ решения уравнений – универсальный. Его можно применить для решения уравнений четвёртой, пятой и т.д. степеней, постепенно понижая их степени до второй.

Пример1.

Решить уравнение х 4 +3х 3 -13х 2 -9х+30=0.

1.Среди делителей свободного члена находим корни уравнения. Это 2 и -5.

2. По следствию 1 из теоремы Безу многочлен х 4 +3х 3 -13х 2 -9х+30 делится на х-2 и на х+5, а значит делится на (х-2)(х+5)=х 2 +3х-10.

3. Выполним деление многочленов: х 4 +3х 3 -13х 2 -9х+30 на х 2 +3х-10.

4.Решим уравнение х 2 -3=0, х 1,2 =
.

Ответ. х =
, х =-, х=-5,х=2.

Решить уравнение 3х 5 +х 4 -15х 3 -5х 2 +12х+4=0.

1.Среди делителей свободного члена находим корни уравнения. Это 1, -1, 2 и -2

2. По следствию 1 из теоремы Безу многочлен 3х 5 +х 4 -15х 3 -5х 2 +12х+4 делится на х-1,х+1, х-2 и на х+2, а значит делится на (х-1)(х+1)(х-2)(х+2)=

(х 2 -1)(х 2 -4)=х 4 -5х 2 +4.

3. Выполним деление многочленов: 3х 5 +х 4 -15х 3 -5х 2 +12х+4 на х 4 -5х 2 +4.

4. Решим уравнение 3х+1 =0, х=-.

5. Ответ. х=-2,х=-1,х=-, х=1,х=2.

Решить уравнение

(2х 2 -1) 2 +х(2х-1) 2 =(х+1) 2 +16х 2 -6

Перенесём все члены в левую часть, раскроем скобки и приведём подобные члены.

4х 4 -4х 2 +1+4х 3 -4х 2 +х-х 2 -2х-1-16х 2 +6+0, 4х 4 +4х 3 -25х 2 –х+6=0.(1)

Делители свободного члена: ±1;±2;±3;±6. Если уравнение имеет целые корни, то это один из делителей. Подстановка показала, что это 2. По теореме Безу многочлен 4х 4 +4х 3 -25х 2 –х+6 делится на х-2 без остатка. В частном получим: 4х 3 +12х 2 –х – 3.

Уравнение (1) перепишем в виде: (х-2)(4х 3 +12х 2 –х – 3)=0.

Решим уравнение 4х 3 +12х 2 –х – 3=0. -3 является корнем этого уравнения, так как при подстановке его вместо х уравнение обращается в верное числовое равенство. Разделим многочлен 4х 3 +12х 2 –х – 3 на х+3, получим 4х 2 -1. Квадратное уравнение 4х 2 -1=0 имеет корни х= ±.

Ответ. х = 2, х = -3, х = ± .

Если среди делителей свободного члена нет корней уравнения, то используй зависимость между коэффициентами и корнями уравнения.

Если корень уравнения а 0 х n + a 1 x n -1 + a 2 x n -2 ...+ a n -1 x + a n =0 , то m – делитель свободного члена, а с-делитель старшего коэффициента.

Алгоритм решения таких уравнений:

1.Найди делители свободного члена и старшего коэффициента;

2.Составь различные дроби ,где m –делители свободного члена, а с-делители старшего коэффициента;

3. С помощью подстановки, определи, какая из дробей является корнем уравнения;

4. Выполни деление многочлена на многочлен;

5.Реши уравнение, приравняв частное к нулю;

6. Запиши ответ.

Решить уравнение 6х 3 -3х 2 -5х - 1=0.

1.Делители свободного члена: ±1. Эти числа не являются корнями уравнения. Находим делители старшего коэффициента: ±1, ±2,±3,±6.

2. Составим различные дроби:

3. - является корнем уравнения.

2. По следствию 1 из теоремы Безу многочлен 6х 3 -3х 2 -5х – 1 делится на х+.

3. Выполним деление многочленов:

4. Решим уравнение 6х 2 -6х-2=0, 3х 2 -3х-1=0, D = 21, х 1,2 =
,

5. Ответ. х 1,2 =, х= -.

Деление многочлена на многочлен
можно выполнять другим способом.

Пусть =
∙(х- а)+ R . Пусть

Чтобы найти коэффициенты многочлена и число , раскроем скобки в правой части равенств: и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Получим при
. Отсюда следует, что при
.[ 4]

Вычисление коэффициентов многочлена и остатка производится с помощью следующей таблицы:

Эта таблица называется схемой Горнера .

Пример1.

Выполнить деление 2х 3 -3х+5 на х-4.

воспользуемся схемой Горнера для вычисления коэффициентов частного и остатка.

Следовательно,

Схема Горнера дает общий метод разложения на множители любого многочлена.

3.2 Для уравнений с целыми коэффициентами, не имеющих рациональных корней, эффективен метод неопределённых коэффициентов.

3.3 Метод неопределённых коэффициентов.

Многочлен левой части уравнения представляется в виде произведения двух многочленов с неизвестными коэффициентами:

1.Для кубического уравнения: х 3 +bx 2 +cx+d=0, а≠0 , х 3 +bx 2 +cx+d=(х 2 +рх+g)(x+t)=х 3 +х 2 t+px 2 +ptx+gx+gt=x 3 +(t+p)x 2 +(pt+g)x+gt.

Так как многочлены равны, то и коэффициенты при одинаковых степенях равны. Получим систему уравнений:

2.Для уравнения четвёртой степени: х 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d=0, а≠0

х 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d =(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(m+mk+n)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Так как многочлены равны, то и коэффициенты при одинаковых степенях равны. Получим систему уравнений:
Решая систему, находим неизвестные коэффициенты.

Решить уравнение х 4 -2x 2 - 8х - 3=0.

представим многочлен х 4 -2x 2 - 8х -3 в виде произведения двух трёхчленов с неизвестными коэффициентами: х 4 -2x 2 - 8х -3=

(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(n+mk+t)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Получим систему уравнений:
Из уравнения nt=-3 следует, что надо рассмотреть случаи: 1 .n=3,t=-1; 2. n=-3,t=1; 3. n=1,t=-3; 4 . n=-1,t=3.

Подстановкой этих пар в остальные уравнения системы получим, что при n=3,t=-1 х 4 -2x 2 - 8х -3= (x 2 +2x+3)(x 2 -2x-1)=0. Решим уравнения x 2 +2x+3=0 и x 2 -2x-1=0. Дискриминант первого уравнения отрицательный, значит, оно не имеет действительных корней. Дискриминант второго уравнения равен 8, х 1,2 =1±
.

Ответ. х 1,2 =1±.

3.4. Для решения биквадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным часто используется метод введения новых переменных. Можно его использовать и для уравнений высших степеней.

Решить уравнение х 4 +2х 3 – 22х 2 +2х+1=0.

Так как х=0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения можно разделить на х 2 без потери корней. Получим уравнение

х 2 +2х-22++=0, сгруппируем слагаемые

(х 2 +)+2(х+ )-22=0.

Сделаем замену х +=t, тогда (х +) 2 =t 2 . х 2 +2+= t 2 , х 2 += t 2 -2.Исходное уравнение сводится к уравнению t 2 -2 +2t-22= 0, t 2 +2t -24= 0,t 1 =-6, t 2 =4 Вернёмся к исходной переменной: 1). х +=-6, 2). х +=4.

Решим каждое уравнение. 1). х +=-6, х 2 +6х+1=0, D=32, x 1,2 =
, x 1 =-3+2, x 2 = -3-2.

Ответ. x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.

Уравнение вида:

(х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = E;

Пример1.

Решить уравнение(х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40.

Сгруппируем множители ((х+1)(х+5))∙((х+4)(х+2))=40, выполним умножение в скобках (х 2 +6х+5)(х 2 +6х+8)=40, Применим замену: х 2 +6х=t, тогда (t 2 +5)(t 2 +8)=40, t 4 +13t 2 +40=40, t 4 +13t 2 =0, t 2 (t 2 +13)=0, t=0, t 2 +13=0 не имеет действительных корней.

Вернёмся к исходной переменной х 2 +6х=0, х(х+6)=0, х=0, х= -6.

Ответ. х=0, х= -6.

Пример1.

Решить уравнение

(х 2 -3х+ 1)(х 2 +3х+2)(х 2 -9х+20)=-30.

разложим второй и третий трёхчлены на множители, для этого найдём корни многочленов, решив три уравнения:

х 2 +3х+2=0, х 1 = -1, х 2 = -2.

х 2 -9х+20=0, х 1 = 4, х 2 = 5. Получим уравнение

(х 2 -3х+ 1)(х+1)(х+2)(х-4)(х-5)=-30,

(х 2 -3х+ 1)((х+1)∙(х-4))((х+2)∙(х -_5))=-30,

(х 2 -3х+ 1)(х 2 -3х-4)(х 2 -3х-10)=-30, Введём новую переменную. Пусть

х 2 -3х+ 1=t, тогда t(t-5)(t-11)=-30, t=6 является корнем этого уравнения. Раскроем скобки и получим t 3 -16t 2 +55t+30=0,

Разделим многочлен t 3 -16t 2 +55t+30 на t-6, в частном получим t 2 -10t-5.

Решим уравнение t 2 -10t-5=0, t 1 =5+
, t 2 =5-.

Вернёмся к исходно переменной, для этого решим три уравнения:

Ответ. х 1,2 =, х 3,4 =
, х 5,6 =
.

Уравнение вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Eх 2 ;

Решить уравнение:

(х – 4)(х 2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х 2

разложим на множители х 2 + 15 + 50.

х 2 + 15 + 50 = 0, х 1 = -5, х 2 = -10, тогда х 2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10). Уравнение примет вид:

(х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х 2 ,

(х 2 + х – 20)(х 2 + 8х – 20) = 18х 2 . Так как х=0 не является корнем уравнения, то разделив обе части уравнения на х 2 , получим

(х+1-)(х+8-)=18.

Введём новую переменную. Пусть t= x-, тогда (t+1)(t+8)=18,

t 2 +9t-10=0,t 1 =10, t 2 =-1.Вернёмся к исходной переменной:

Ответ. x=-5, x = 4, x= -5 -3
, x= -5 +3.

Уравнение вида ах 4 +bх 3 +cх 2 +bх+a=0, ax 6 +bx 5 +cx 4 +dx 3 +cx 2 +bx+a=0 и т.д. Такие уравнения называют возвратными .Они обладают своеобразной «симметрией»: коэффициент при х 6 равен свободному члену, коэффициент при х 5 и х, при х 4 и х 2 равны. Возвратные уравнения решаются с помощью замены х +=t.

Уравнение х 4 +2х 3 – 22х 2 +2х+1=0 не имеет целых корней (делители свободного члена ±1 не являются корнями уравнения).

Так как х=0 не является корнем уравнения, то разделив обе части уравнения на х 2 , получим (х 2 +) -2(х+)-22=0.

Введём новую переменную. Пусть t= x+, тогда х 2 +2+ =t 2 , получим уравнение t 2 -2-2t-22=0, t 2 -2t-24=0 t 1 =6, t 2 =-4. Вернёмся к исходной переменной:

Ответ. x 1,2 = 3 ±2, x 3,4 = -2 ±.

3.5.. Для решения квадратных уравнений применяется способ выделения полного квадрата. Для решения уравнений третьей и четвёртой степени также можно применять формулы двучлена.

Знакомые вам формулы сокращённого умножения:

(х±а) 2 =х 2 ±2х+а 2 ;

(х±а) 3 =х 3 ±3х 2 а+3ха 2 ±а 3 ;

(х+а)(х-а)=х 2 -а 2 ;

(х+а)(х 2 -х+а 2)= х 3 +а 3 ;

(х-а)(х 2 +х+а 2)= х 3 -а 3 ;

(x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz/

Формулу (х+а) 4 можно получить следующим образом: (х+а) 4 =(х+а) 3 (х+3)= (х 3 +3х 2 а+3ха 2 +а 3) (х+а)= х 4 +4х 3 а+6х 2 а 2 +4ха 3 +а 4 .

Коэффициенты разложения можно находить, используя треугольник Паскаля

(по имени французского математика Блеза Паскаля):

В каждой строке этого треугольника коэффициенты степени, кроме первого и последнего, получаются по парным сложением ближайших коэффициентов предыдущей строки.

Пример.1.

Для (х+а) 7: показатель степени равен числу 7, значит, его коэффициенты находятся в восьмой строке, это 1,7,21,35,35,21,7,1, которые получаются из предыдущей строки так:

7=1+6, 21=6+15, 35=15+20, 35= 20+15, 21=15+20, 7=6+1.

Получим:(х+а) 7 =х 7 +7х 6 а+21х 5 а 2 +35х 4 а 3 +35х 3 а 4 +21х 2 а 5 +7ха 6 +а 7 .

При написании формул сокращённого умножения старших степеней существуют следующие закономерности:

Число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени;

Показатель степени х у каждого следующего слагаемого на единицу меньше, а показатель степени a − на единицу больше;

Сумма показателей степеней х и а постоянна и равна показателю степени многочлена;

Коэффициенты многочлена, равноотстоящие от начала и конца, равны.

Решить уравнение х 3 +6х 2 +12х-16=0.

Решение: используем формулу (х+а) 3 = 1∙х 3 +3х 2 а+3ха 2 +1∙а 3 .

х 3 +6х 2 +12х+16=0, (х 3 +3∙2х 2 +3∙2 2 х+2 3) +8=0, (х+2) 3 +2 3 =0, (х+2+2)((х+2) 2 -2 (х+2)+4)=0, 1. х=-4, 2. (х+2) 2 -2 (х+2)+ 4=0,

х 2 +2х +4=0, D=-12, действительных корней нет.

Ответ. х = -4.

Решить уравнение х 4 -12х 3 +54х 2 -108х+48=0, х 4 -12х 3 +54х 2 -108х+48= (х 4 -4х 3 ∙3+6х 2 3 2 -4х3 3 + 4 4)-4 4 +48= (х-3) 4 -64+48=0, (х-3) 4 - 16=0. Применим разность квадратов (х-3-4)(х-3+4)=0, (х-7)(х+1)=0, х=7,х=-1.

Ответ: х=-1, х=7.

3.6. Применение теоремы Виета.

1.Теорема Виета для кубического уравнения :

если х 1 , х 2 , х 3 ─ корни уравнения х 3 +bx 2 +cx+d=0, а≠0 , то

х 1 + х 2 + х 3 =- b ,

x 1 х 2 + x 2 х 3 + x 1 x 3 = c ,

х 1 х 2 х 3 = - d .

2. Теорема Виета для уравнения четвёртой степени :

если х 1 , х 2 , х 3, х 4 ─ корни уравнения х 4 + b х 3 +cx 2 +x+dх+е=0, то

х 1 + х 2 + х 3 +х 4 =- b ,

x 1 х 2 + x 1 х 3 + x 1 х 4 + x 2 х 3 + x 2 x 4 +х 3 х 4 = c ,

х 1 х 2 х 3 х 4 = е,

x 1 х 2 х 3 + x 1 х 2 х 4 + x 1 х 3 х 4 + x 2 х 3 x 4 = - d .

Решить уравнение х 3 -4 x 2 +x+6=0.

пусть х 1 , х 2 , х 3, х 4 ─ корни уравнения, тогда х 1 + х 2 + х 3 =4, x 1 х 2 +x 2 х 3 +x 1 x 3 =1, х 1 х 2 х 3 = -6. Проверим, какие из чисел ±1, ±2, ±3,±6 удовлетворяют условиям: х 1 + х 2 + х 3 =4, x 1 х 2 +x 2 х 3 +x 1 x 3 =1, х 1 х 2 х 3 = -6. Это х=-1, х=2 и х=3.

Применение формул сокращённого умножения.

Литература

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970.

2. Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.

3. Ю.М. Колягин. Алгебра и начала анализа: учебник(профильного и базового уровня) для 10 класса общеобразовательных учреждений-М.: Мнемозина 2006.

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996.

5. К.С. Муравин. Алгебра 8: учебник для общеобразовательных учреждений-М:Дрофа, 2008

6. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 2007.

7. /spr/algebra/ferrary.htm

КОНТАКТЫ:

347611,Ростовская область, Сальский район, х. Маяк, ул. Центральная,4

С одним неизвестным, то есть уравнений вида (*) Pn(х)= ...

Решите уравнение х 2 +(1-х) 2 =х

Докажите, что нет целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец, увеличиваются в 5 раз.

В некотором царстве каждые двое – либо друзья, либо враги. Каждый человек может в некоторый момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в этом царстве могут стать друзьями.

В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

По стрельбе из мишени спортсмен выбивал только по 8,9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил ровно 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен, и какие были попадания?

Докажите истинность неравенства:

3. Решите уравнение:

Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.

В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Затем из вершины С проведены прямые, параллельные этим биссектрисам. Точки Д и Е пересечения этих прямых с биссектрисами соединены. Оказалось, что прямые ДЕ и АВ параллельны. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

Решите систему уравнений:

На сторонах АВ и АД параллелограмма АВСД взяты соответственно точки Е и К так, что отрезок ЕК параллелен диагонали ВД. Докажите, что площади треугольников ВСЕ и СДК равны.

Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое число пассажиров. Сначала в каждый автобус сажали по 22 человека, однако оказалось, что при этом не удается посадить одного туриста. Когда же один автобус уехал пустым, то в оставшиеся автобусы все туристы сели поровну. Сколько первоначально было автобусов и сколько туристов в группе, если известно, что в каждый автобус помещается не более 32 человек?

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

Решите систему уравнений:

Докажите, что четыре расстояния от точки окружности до вершины вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.

Возможные решения задач

1. Ответ: х=1, х=0,5

От перестановки начальной цифры в конец значность числа не изменится. При этом, по условию задачи, должны получить число, в 5 раз большее первого числа. Следовательно, первая цифра искомого числа должна равняться 1 и только 1. (т.к. если первая цифра будет 2 или больше, то изменится значность, 2*5=10). При перестановке 1 в конец, полученное число оканчивается на 1, следовательно на 5 не делится.

Из условия следует, что если А и В – друзья, то С либо их общий враг, либо общий друг (иначе им троим не примириться). Возьмем всех друзей человека А. Из сказанного следует, что все они дружны между собой и враждуют с остальными. Пусть теперь А и его друзья по очереди ссорятся с друзьями и мирятся с врагами. После этого все окажутся друзьями.

Действительно, пусть А первым поссорился со своими друзьями и помирился со своими врагами, но тогда каждый их его бывших друзей будет с ним мириться, а бывшие враги останутся друзьями. Итак, все люди оказываются друзьями А, а следовательно, и друзьями между собой.

Число 111 делится на 37, поэтому на 37 делится и названная сумма.

По условию, число делится на 37, поэтому и сумма

Делится на 37.

Заметим, что указанные медиана и биссектриса не могут выходить из одной вершины, так как в противном случае угол при этой вершине был бы больше 180 0 . Пусть теперь в треугольнике АВС биссектриса АD и медиана СЕ пересекаются в точке F. Тогда AF – биссектриса и высота в треугольнике АСЕ, значит этот треугольник равнобедренный (АС=АЕ), а так как СЕ – медиана, то АВ = 2АЕ и, следовательно, АВ =2АС.

Возможные решения задач

1. Ответ: 9 выстрелов по 8 очков,

2 выстрела по 9 очков,

1 выстрел по 10 очков.

Пусть x выстрелов сделал спортсмен, выбивая по 8 очков, y выстрелов по 9 очков, z выстрелов по 10 очков. Тогда можно составить систему:

Используя первое уравнение системы, запишем:

Из этой системы следует, что x + y + z =12

Умножим второе уравнение на (-8) и сложим с первым. Получим, что y +2 z =4 , откуда y =4-2 z , y =2(2- z ) . Следовательно, у – четное число, т.е. y=2t , где .

Следовательно,

3. Ответ: х = -1/2, х = -4

После приведения дробей к одному знаменателю получаем

4. Ответ: 105

Обозначим через x , y , z соответственно первую, вторую и третью цифру искомого трехзначного числа. Тогда его можно записать в виде . После вычеркивания средней цифры получится двузначное число . По условию задачи , т.е. неизвестные цифры x , y , z удовлетворяют уравнению

7(10 x + z )=100 x +10 y + x , которое после приведения подобных членов и сокращений принимает вид 3 z =15 x +5 y .

Из этого уравнения следует, что z должно делиться на 5 и должно быть положительным, так как по условию . Поэтому z =5, а цифры х, у удовлетворяют уравнению 3=3х + у, которое в силу условия имеет единственное решение х =1, у = 0. Следовательно, условию задачи удовлетворяет единственное число 105.

Обозначим буквой F точку, в которой пересекаются прямые АВ и СЕ. Так как прямые DB и CF параллельны, то . Ввиду того, что BD – биссектриса угла АВС, заключаем, что . Отсюда следует, что , т.е. треугольник BCF равнобедренный и BC=BF. Но из условия следует, что четырехугольник BDEF – параллелограмм. Поэтому BF = DE, и, значит ВС = DE. Аналогично доказывается, что АС = DE. Это приводит к требуемому равенству.

Возможные решения задач

1.

Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у

б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у

Итак, решениями системы могут быть лишь следующие четыре пары чисел: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Подстановкой в уравнения исходной системы убеждаемся, что каждая из этих четырех пар является решением системы.

Треугольники CDF и BDF имеют общее основание FD и равные высоты, так как прямые ВС и AD параллельны. Следовательно, их площади равны. Аналогично, равны площади треугольников BDF и BDE, так как прямая BD параллельна прямой EF. И равны площади треугольников BDE и BCE, так как АВ параллельна CD. Отсюда и следует требуемое равенство площадей треугольников CDF и BCE.

Учитывая область определения функции, построим график.

Используя формулу выполним дальнейшие преобразования

Применяя формулы сложения и выполняя дальнейшие преобразования, получим

5. Ответ: 24 автобуса, 529 туристов.

Обозначим через k первоначальное число автобусов. Из условия задачи следует, чтои что число всех туристов равно 22 k +1 . После отъезда одного автобуса всех туристов удалось рассадить в оставшиеся (k-1) автобусов. Следовательно, число 22 k +1 должно делиться на k-1 . Таким образом, задача свелась к определению всех целых , для которых число

Является целым и удовлетворяет неравенству (число n равно числу туристов, посаженных в каждый автобус, а по условию задачи автобус вмещает не более 32 пассажиров).

Число будет целым только тогда, когда число будет целым. Последнее возможно только при k =2 и при k =24 .

Если k =2 , то n=45.

А если k =24 , то n=23.

Отсюда и из условия получаем, что только k =24 удовлетворяет всем условиям задачи.

Следовательно, первоначально было 24 автобуса, а число всех туристов равно n(k-1)=23*23=529

Возможные решения задач

1. Ответ:

Тогда уравнение примет вид:

Получили квадратное уравнение относительно р .

2. Ответ: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Сложив уравнения системы, получим , или

Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у в первое уравнение системы, получим

б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у в первое уравнение системы, получим или

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

(Напомним: приведенное квадратное уравнение – это уравнение, где первый коэффициент равен 1).

Пояснение :

Пусть квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни х 1 и х 2 . Тогда по теореме Виета:

Пример 1 :

Приведенное уравнение x 2 – 7x + 10 = 0 имеет корни 2 и 5.

Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.

А в нашем уравнении второй коэффициент равен -7, а свободный член 10.

Таким образом, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

Довольно часто встречаются квадратные уравнения, которые можно легко вычислить с помощью теоремы Виета – больше того, с ее помощью их вычислять проще. В этом легко убедиться как на предыдущем примере, так и на следующем.

Пример 2 . Решить квадратное уравнение х 2 – 2х – 24 = 0.

Решение .

Применяем теорему Виета и записываем два тождества:

х 1 · х 2 = –24

х 1 + х 2 = 2

Подбираем такие множители для –24, чтобы их сумма была равна 2. После недолгих размышлений находим: 6 и –4. Проверим:

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Как вы заметили, на практике суть теоремы Виета заключается в том, чтобы в приведенном квадратном уравнении свободный член разложить на такие множители, сумма которых равна второму коэффициенту с противопложным знаком. Эти множители и будут корнями.

Значит, корнями нашего квадратного уравнения являются 6 и –4.

Ответ: х 1 = 6, х 2 = –4.

Пример 3 . Решим квадратное уравнение 3х 2 + 2х – 5 = 0.

Здесь мы имеем дело не с приведенным квадратным уравнением. Но и такие уравнения тоже можно решать с помощью теоремы Виета, если их коэффициенты уравновешены – например, если сумма первого и третьего коэффициентов равна второму с обратным знаком.

Решение .

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего членов равны второму с противоположным знаком:

3 + (–5) = –2.

В соответствии с теоремой Виета

х 1 + х 2 = –2/3
х 1 · х 2 = –5/3.

Нам надо найти такие два числа, сумма которых равна –2/3, а произведение –5/3. Эти числа и будут корнями уравнения.

Первое число угадывается сразу: это 1. Ведь при х = 1 уравнение превращается в простейшее сложение-вычитание:
3 + 2 – 5 = 0. Как найти второй корень?
Представим 1 в виде 3/3, чтобы все числа имели одинаковый знаменатель: так проще. И сразу напрашиваются дальнейшие действия. Если х 1 = 3/3, то:

3/3 + х 2 = –2/3.

Решаем простое уравнение:

х 2 = –2/3 – 3/3.

Ответ: х 1 = 1; х 2 = –5/3

Пример 4 : Решить квадратное уравнение 7x 2 – 6x – 1 = 0.

Решение :

Один корень обнаруживается сразу – он прямо в глаза бросается: х 1 = 1 (потому что получается простая арифметика: 7 – 6 – 1 = 0).

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего равны второму с обратным знаком:
7 + (– 1) = 6.

В соответствии с теоремой Виета составляем два тождества (хотя в данном случае достаточно одного из них):

х 1 · х 2 = –1/7
х 1 + х 2 = 6/7

Подставляем значение х 1 в любое из этих двух выражений и находим х 2:

х 2 = –1/7: 1 = –1/7

Ответ : х 1 = 1; х 2 = –1/7

Дискриминант приведенного квадратного уравнения.

Дискриминант приведенного квадратного уравнения можно вычислять как общей формуле, так и по упрощенной:

При D = 0 корни приведенного уравнения можно вычислять по формуле:

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Сразу перейдем к рассмотрению системы ставок, когда, единственным верным вариантом исхода игры вместо двух станет три таких как:
Х - ничья;
П1 - победа первой команды;
П2 - победа второй команды.

Как уже можно было догадаться, основным применением такой стратегии приходятся ставки на футбол. Вот несколько примеров системы Ставок 1-Х-2, при помощи которой вы можете избежать проигрыша ваших ставок, в случае, если вам не удалось угадать исход матчей.

Пример первый. Допустим, есть несколько хороших матчей, с неплохим коэффициентом от 1.75 до 2.1, в большинстве исходов всех матчей за которые вы будете уверенны. Сделав ставки на несколько таких матчей, само собой появляется риск, при котором как минимум одна из футбольных команд сыграет вничью, в итоге вы можете потерять все.

А вот для того чтобы этого избежать, вам просто нужно использовать систему Ставок 1-Х-2, само собой выигрыш при этом будет меньше, но даже если одна из выбранных команд не сыграет вашу ставку, то вы сможете отыграть поставленные деньги. Но, как правило, это не весьма интересно, так как вы можете учесть все возможные ничьи в матчах и быть в весьма неплохом плюсе.

Допустим, есть три футбольных матча, с коэффициентом от 1.8 до 2.0, где, по вашему мнению, должна победить первая команда. Тогда вам будет необходимо делать ставки на 4 экспресса (Рис.1):

Рис.1 - Пример ставки

Допустим на все ставки, в общем, мы потратили всего 400 $ примерно по 10 на каждый экспресс. После выигрыша всех команд рассчитываем прибыль по таком принципу: 1.8*1.8*1.8*100 у.е. = 580,30$, но при раскладе, когда одна, из игр закончилась в ничью, то рассчитываем по схеме 1.8*1.8*2.7*100 у.е. = 870 у.е. Выигрыш неплохой согласитесь?

Но риски есть всегда, и не стоит забывать о то, что если ваши ставки не сыграют или же будет более одной ничьи, то деньги вы свои потеряете. Также нужно отметить, что вы можете модифицировать данную систему, что в свою очередь увеличит шансы выигрыша ваших ставок. Рассмотрим небольшой пример, который приведен чуть-чуть ниже, с учетом возможностей победы второй команды, но только для одной футбольной пары. В таком случае будет иметь весьма актуальное место следующий набор (Рис.2):

Рис.2 - Пример ставки

Таким образом, во всех из пяти поставленных нами экспрессов коэффициент просто обязан быть не меньше 5.

Система ставок 1-Х-2 вариант второй. От части, напоминает первую систему, ряд особенностей этого варианта в том, что данная система позволит вам очень результативно разделить все ставки, именно нате команды, которые лучше играют на выезде. Допустим, всего есть три команды, которые лучше чем остальные играют на выезде, тоесть ставки делать будем таким образом (Рис.3):

Рис.3 - Пример ставки

ничья - «Х»
победа выездной команды -«2»

Если учитывать, что все коэффициенты, для команд, как правило, очень высокие, то достичь рентабельности системы для каждого экспресса будет не сложно.

Также нужно отметить, что на практике данная система, очень часто применяется именно к матчам с большими коэффициентами, так как первая, описанная нами система, позволяет получать неплохие результаты.

Но стоит отметить, что эффективность самой системы очень часто находится под вопросом, так как, поставив три матча ставки по ординарам, вы сможете получить не плохой, а быть может и очень хороший результат, чем ставки на экспрессы по первой из приведённых систем.

А вот уже вторая система, так сказать, более эффективна для совершения ставок непосредственно на команды, которые реже проигрывают на выезде, чем остальные. Но как правило, здесь будет также как и в первой системе, зачастую выходить случаи, когда вами будет намного выгоднее сделать ставку на всю сумму, на один экспресс в место того чтобы играть по второй системе.

Именно поэтому, эффективность этой стратегии ставок 1-Х-2, следует высчитывать для каждой конкретной из всех имеющихся ваших ставок.