Закон распределения вейбулла имеет. Распределение Вейбулла при расчёте показателей надёжности

Это распределение чаще всего используется для исследования интенсивности отказов для периодов приработки и старения.

Надежность наиболее распространенных элементов электрических сетей, таких, как силовые трансформаторы, КЛ, в значительной степени определяется надежностью работы изоляции, «прочность» которой изменяется в течение эксплуатации. Прочность изоляции в зависимости от условий эксплуатации и вида изделия определяется механической прочностью, эластичностью, исключающей возможности образования остаточных деформаций, трещин, расслоений под воздействием механических нагрузок, т. е. неоднородностей.

Однородность и монолитность структуры изоляции и ее высокая теплопроводность исключают возникновение повышенных местных нагревов, неизбежно приводящих к увеличению степени неоднородности электрической прочности. Разрушение изоляции при функционировании элемента происходит в основном в результате нагревания токами нагрузок и температурных воздействий внешней среды. Механические нагрузки (вибрации, деформации, удары и др.) также приводят к разрушению изоляции.

Среди перечисленных факторов, определяющих срок службы изоляции указанных элементов электрических сетей, одним из основных факторов, является тепловое старение. На основании экспериментальных исследований было получено известное «восьмиградусное» правило, согласно которому повышение температуры изоляции, выполненной на органической основе, на каждые восемь градусов в среднем вдвое сокращается срок службы изоляции. В настоящее время в зависимости от класса применяемой изоляции используются шести- , восьми- , десяти- и двенадцатиградусное правила.

Срок службы изоляции в зависимости от температуры нагревания:

T и = А е-γς, (5.43)

где А - срок службы изоляции при ς = 0- некоторая условная величина;

γ- коэффициент, характеризующий степень старения изоляции в зависимости от класса;

ς - температура перегрева изоляции.

Другим важным фактором, вызывающим интенсивное старение изоляции, является обусловленная электрическими процессами при резких изменениях тока, например при резкопеременной нагрузке силового трансформатора, набросах и сбросах нагрузки, сквозных токах КЗ. Механические характеристики прочности изоляции также зависят от температуры. Предел механической прочности изоляции быстро снижается по мере ее нагревания, но в то же время она становится более эластичной.

При воздействии переменных неблагоприятных условий неоднородности материала увеличиваются, например микротрещина распространяется в глубь изоляции и при случайном повышении напряжения может вызвать пробой изоляции. Причиной отказа может быть даже небольшая неоднородность материала.

Число неблагоприятных воздействий (тепловых или электромеханических), вызывающих пробой изоляции, есть функция, убывающая в зависимости от размеров неоднородности. Это число минимально для наибольшей по размерам неоднородности (трещины, расслоения и др.). Т.о., число неблагоприятных воздействий, или срок службы изоляции, должно подчиняться закону распределения минимального числа из числа независимых СВ - чисел неблагоприятных воздействий, соответствующих различным по размерам неоднородностям, т. е. если Ти - время безотказной работы всей изоляции, а Тиi - время безотказной работы i-го участка (i = 1, 2,..., n), то:

T и = min (T и1,T и2,…,T иn). (5.44)

Таким образом, для определения закона распределения времени безотказной работы такого объекта, как изоляция элемента электрической сети, необходимо найти вероятность распределения минимальных времен безотказной работы совокупности всех участков. Причем наибольший интерес представляет случай, когда законы распределения времени безотказной работы отдельных участков имеют произвольный характер, но вид законов распределения одинаков, т. е. резковыраженных отличающихся участков нет.

В смысле надежности участки такой системы соответствуют последовательному соединению. Поэтому функция распределения времени безотказной работы такой системы:

q c (t) = 1 – n. (5.45)

Далее математическими преобразованиями выводится формула, при которой основным параметром является «порог чувствительности», т. е. элемент гарантированно не откажет в интервале времени (0, t0) (в частном случае t0 = 0). Если распределение не имеет порога чувствительности t0, то закон распределения называется распределением Вейбулла:

где с > 0 – некоторый постоянный коэффициент;

α – параметра распределения.

Этот закон распределения довольно часто используется при аппроксимации распределения времени безотказной работы систем с конечным числом последовательно (в смысле надежности) соединенных элементов (длинные КЛ со значительным числом муфт и др.).

Плотность распределения:

(5.47)

При α = 1 плотность распределения превращается в обычную показательную функцию (см. рисунок 5.12).

Рисунок 5.12 - Дифференциальная функция распределения времени безотказной работы изоляции по закону

Вейбулла

Рисунок 5.13 - Интенсивность отказов при

распределении по закону Вейбулла

Интенсивность отказов при распределении плотности по закону Вейбулла (см. рисунок 5.13):

λ(t) = αctα-1. (5.48)

Интенсивность отказов для этого закона в зависимости от параметра распределения может расти, оставаться постоянной (показательный закон) и уменьшаться.

Как видно из рисунков 5.12 и 5.13 экспоненциальный закон распределения является частным случаем закона Вейбулла при α = 1 (λ = const). При α = 2 функция распределения времени безотказной работы совпадет с законом Рэлея, при α »1 достаточно хорошо аппроксимируется нормальным законом распределения в окрестности среднего времени безотказной работы.

При соответствующем подборе параметра α можно с помощью закона Вейбулла описывать надежность и стареющих элементов (период старения и износа), у которых λ(t) возрастает, и надежность элементов, имеющих скрытые дефекты (период приработки), у которых λ(t) убывает с течением времени.

Математическое ожидание (среднее время) безотказной работы и дисперсия при распределении по закону Вейбулла:

T и.ср = Г(1+1/α) c-1/α, (5.49)

Д(Tи ) = c-2/α [Г(1+2/α) – Г2(1+1/α)]. (5.50)

где Г(х ) - гамма-функция .

Это распределение эмпирическое, получено в результате исследования широкого класса распределений сроков службы. Опыт эксплуатации очень многих электронных приборов и значительного количества электромеханической аппаратуры показывает, что для них характерны три вида зависимостей интенсивности отказов от времени., соответствующих трем периодам жизни этих устройств.

Указанные три вида зависимостей интенсивности отказов от времени можно получить, используя для вероятностного описания случайной наработки до отказа двухпараметрическое распределение Вейбулла Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа

где  - параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных,  > 0);  - параметр масштаба,

Интенсивность отказов определяется по выражению

(3.1)

Вероятность безотказной работы

(3.2)

а средняя наработки до отказа

(3.3)

Отметим, что при параметре = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, а при = 2 - в распределение Рэлея.

При 1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при монотонно возрастает (период износа), см. рис. 3.1. Следовательно, путем подбора параметра  можно получить, на каждом из трех участков, такую теоретическую кривую  (t), которая достаточно близко совпадает с экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей надежности можно производить на основе известной закономерности.

Распределение Вейбулла достаточно близко подходит для ряда механических объектов (к примеру, шарикоподшипников), оно может быть использовано при ускоренных испытаниях объектов в форсированном режиме

3.Экспоненциальное распределение. Используется чаще других распределений, так как типично для сложных объектов, состоящих из многих элементов с распределениями наработки. При постоянстве интенсивности отказов дает простые расчетные формулы. Как было отмечено экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы является частным случаем распределения Вейбулла, когда параметр формы  = 1. Это распределение однопараметрическое, то есть для записи расчетного выражения достаточно одного параметра  = const . Для этого закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону:

Среднее время безотказной работы при экспоненциальном законе распределения интервала безотказной работы выражается формулой:

(3.5)

Заменив в выражении величину  величиной 1 / Т 1 ,

получим . (3.6)

Таким образом, зная среднее время безотказной работы Т 1 (или постоянную интенсивность отказов ), можно в случае экспоненциального распределения найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента включения объекта до любого заданного момента t.

4. Распределение Рэлея

Плотность вероятности в законе Рэлея (см. рис. 3.4) имеет следующий вид



где  - параметр распределения Рэлея (равен моде этого распределения ). Его не нужно смешивать со среднеквадратическим отклонением:

.

Интенсивность отказов равна:

(3.7)

Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика (t), начинающаяся с начала координат.

Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению

(3.8)

Средняя наработка до отказа

(3.9)

5.Усеченное нормальное распределение. Распределение, полученное из нормального (гауссовского), ограничением положительными значениями.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

где m x ,  x - соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

При анализе надежности электроустановок в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m x и  x .

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

(3.10)

а интенсивность отказов - по формуле

На рис. 3.5 изображены кривые (t), Р(t) и (t) для случая  t  m t , характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления .

4. Гамма-распределение . Распределение Пуассона и гамма распределение рассматриваются во взаимосвязи, поскольку они оба характеризуют одинаковые процессы. Только в первом случае в качестве переменной рассматриваются отказы, а во втором – время. Для гамма - распределения
в – среднее время между отказами;

а - число отказов; Г(а ) – гамма-функция, равная
, когдаа –1 – положительное число.

Для обоснованного выбора типа практического распределения наработки до отказа необходимо большое количество отказов с объяснением физических процессов, происходящих в объектах перед отказом.

В высоконадежных элементах электроустановок, во время эксплуатации или испытаний на надежность, отказывает лишь незначительная часть первоначально имеющихся объектов. Поэтому значение числовых характеристик, найденное в результате обработки опытных данных, сильно зависит от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. Как показано в при различных законах наработки до отказа, значения средней наработки до отказа, вычисленные по одним и тем же исходным данным, могут отличаться в сотни раз. Поэтому вопросу выбора теоретической модели распределения наработки до отказа необходимо уделять особое внимание с соответствующим доказательством приближения теоретического и экспериментального распределений.

Вопрос 16. Закон распределения Вейбулла

Закон распределения Вейбулла - один из самых распространенных в теории надежности. Этому закону следуют усталостная долговечность изделий, наработка до отказа невосстанавливаемых изделий. С помощью распределения Вейбулла можно описывать разнообразные причины отказов: усталостные, внезапные, постепенные. Закону распределения Вейбулла подчиняются отказы коробок скоростей, буровых лебедок, забойных двигателей, тракторов.

Частота отказов изделия или плотность вероятности времени безотказной работы изделия

Интенсивность отказов

Среднее время безотказной работы

где a, k - параметры закона распределения Вейбулла;

Г(x) - гамма-функция, значения которой приведены в таблицах.

При k = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное;

При k =2,5-3,5 - распределение Вейбулла близко к нормальному.

Вопрос 17. Экспоненциальный (показательный) закон распределения

Экспоненциальный закон распределения является частным случаем закона распределения Вейбулла (k=1). Применим к изделиям, прошедшим предварительную приработку. Это распределение используется также при анализе внезапных отказов буровых насосов, горных машин.

Вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t

Вероятность отказа изделия на интервале времени от 0 до t

Дифференциальная функция или плотность вероятности экспоненциального распределения

Интенсивность отказов

Математическое ожидание при экспоненциальном распределении

В теории надежности наибольшее распространение получили следующие законы распределения случайных величин f (t ):

Для дискретных случайных величин - биноминальный закон; закон Пуассона;

Для непрерывных случайных величин - экспоненциальный закон; нормальный закон; гамма-распределение; закон Вейбулла; х 2 - распределение; логарифмически-нормальное распределение.

Биноминальный закон распределения числа n появления события A в m независимых опытах (испытаниях). Если вероятность появления события A в одном испытании равна p , вероятность непоявления события A равна q = 1– p ; число независимых испытаний равно m, то вероятность появления n событий в испытаниях будет:

где: - число сочетаний из m по n .

1) число событий n - целое положительное число;

2) математическое ожидание числа событий равно mp ;

3) среднеквадратическое отклонение числа событий:

При увеличении числа испытаний биноминальное распределение приближается

к нормальному со средним значением n/m и дисперсией p (1– p ) / m .

Закон Пуассона - распределение чисел случайного события n i за время τ . Вероятность возникновения случайного события n раз за время τ :

где: λ- интенсивность случайного события.

Свойства распределения следующие:

1) математическое ожидание числа событий за время τ равно λτ;

2) среднеквадратическое отклонение числа событий:

Характерный признак распределения Пуассона - равенство математического ожидания и дисперсии. Это свойство используется для проверки степени соответствия исследуемого (опытного) распределения с распределением Пуассона.

Распределение Пуассона получается из биноминального распределения, если число испытаний m неограниченно возрастает, а математическое ожидание числа событий a = λτ остается постоянным.

Тогда вероятность биноминального распределения при каждом n , равном 0, 1, 2, ..., стремится к пределу:

Закон Пуассона используется тогда, когда необходимо определить вероятность того, что в изделии за заданное время произойдет один, два, три и т. д. отказов.

Экспоненциальный (показательный) закон распределения случайной величины X (рис. 4.3.3, а) записывается в общем случае так:

P (x ) = exp(–λx ),

где: P (x ) - вероятность того, что случайная величина X имеет значение больше x ; значения е–х даются в приложении 1.

В частном случае, когда за случайную величину принимается время работы объекта t , вероятность того, что изделие на протяжении времени t будет находиться в работоспособном состоянии, равна еxp(–λt ):

P (t ) = exp(–λt ), (4.3.4)

где: λ- интенсивность отказов объекта для экспоненциального распределения

(она постоянна), т. е. λ= const.

Выражение (4.3.4) можно получить непосредственно из (4.3.3), если число отказов n принять равным 0.

Вероятность отказа за время t из (4.3.4):

Q (t ) = 1– P (t ) = 1– exp(–λt ). (4.3.5)

Среднее время работы до возникновения отказа:

Дисперсия времени работы до возникновения отказа:

Среднеквадратическое время работы:

σ(t ) =T 1 . (4.3.9)

Равенство среднеквадратического отклонения среднему времени работы - характерный признак экспоненциального распределения.

Статистические материалы об отказах элементов свидетельствуют о том, что в основном время их работы подчиняется экспоненциальному закону распределения. Условием возникновения экспоненциального закона распределения времени до отказа служит постоянство интенсивности отказов, что характерно для внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки объекта закончился, а период износа и старения еще не начался, т. е. для нормальных условий эксплуатации. Постоянной становится интенсивность отказов сложных объектов, если вызываются они отказами большого числа комплектующих элементов.

Время возникновения первичных отказов может быть расположено на оси времени так, что суммарный поток отказов сложного изделия становится близким к простейшему, т. е. с постоянной интенсивностью отказов.

Этими обстоятельствами, а также тем, что предположение об экспоненциальном распределении существенно упрощает расчеты надежности, объясняется широкое применение экспоненциального закона в инженерной практике.

Гамма-распределение случайной величины (рис. 4.3.3, б). Если отказ устройства возникает тогда, когда произойдет не менее k отказов его элементов, а отказы элементов подчинены экспоненциальному закону с параметрами λ 0 , плотность вероятности отказа устройства:

где: λ 0 - исходная интенсивность отказов элементов устройства, отказ которого вызывается отказом k элементов.

Этому распределению подчиняется время работы резервированных устройств. Равенство (4.3.9) получается из (4.3.3).

Вероятность k и более отказов, т. е. вероятность отказа данного устройства:

Плотность вероятности отказа устройства за время t :

Среднее время работы устройства до отказа:

Интенсивность отказов устройства:

Вероятность безотказного состояния устройства:

При k = 1 γ-распределение совпадает с экспоненциальным распределением. При увеличении k γ-распределение будет приближаться к симметричному распределению, а интенсивность отказов будет иметь все более выраженный характер возрастающей функции времени.

Распределение Вейбулла . Для случая, когда поток отказов не стационарный, т. е. плотность потока изменяется с течением времени, функция распределения времени до отказа приобретает вид, показанный на рис. 4.3.3, в.

Плотность вероятности отказов этого распределения:

t :

Интенсивность отказов:

В (4.3.15)-(4.3.17) α и λ 0 - параметры закона распределения. Параметр λ 0 определяет масштаб, при его изменении кривая распределения сжимается или растягивается. При α = 1 функция распределения Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением; при α < 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; при α > 1- монотонно возрастающей. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры α и λ 0 , с тем чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными. Распределение Вейбулла имеет место для отказов, возникающих по причине усталости тела детали или поверхностных слоев (подшипники, зубчатые передачи). Этот случай связан с развитием усталостной трещины в зоне местной концентрации напряжений, технологического дефекта или начального повреждения. Период времени до зарождения микротрещины характеризуется признаками внезапного отказа, а процесс разрушения - признаками износового отказа.

Этот закон применим для отказов устройства, состоящего из последовательно соединенных дублированных элементов и других подобных случаев.

Это распределение иногда используется для описания надежности подшипников качения (α =1,4-1,7).

Средняя наработка до первого отказа определится из следующего выражения:

Значения Γ (гамма-функции) табулированы (приложении 2).

Нормальное распределение (рис. 4.3.3, г) случайной величины X возникает всякий раз, когда X зависит от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, причем влияние каждого из этих факторов по сравнению с совокупностью всех остальных незначительно. Это условие характерно для времени возникновения отказа, вызванного старением, т. е. этот закон используется для оценки надежности изделий при наличии постепенных (износовых) отказов.

Плотность вероятности отказов:

где: T - средняя наработка до отказа;

σ - среднее квадратическое (стандартное) отклонение времени безотказной работы.

Вероятность отказа время t :

Значение функции распределения определяется формулой:

F (t ) = 0,5 + Φ(u ) =Q (t ); u = (t −T ) / σ. (4.3.21)

Вероятность отсутствия отказа за время t :

P (t ) = 1 −Q (t ) = 1 − = 0,5 −Ф (u ). (4.3.22)

Значения F (t ) табулированы (приложение 3).

График λ(t ) показан на рис. 4.3.3, г. Интенсивность отказов монотонно возрастает и после T начинает приближаться к асимптоте:

y = (t −T ) / σ. (4.3.23)

Монотонное возрастание интенсивности отказов с течением времени - характерный признак нормального распределения. Нормальное распределение существенно отличается от экспоненциального. Началом отсчета времени t в (4.3.20) служит начало эксплуатации объекта, т. е. момент, когда начинается процесс износа и старения, а началом отсчета в (4.3.4) - момент времени, когда установлено, что изделие исправно (этот момент может быть расположен в любой точке на оси времени).

Усеченное нормальное распределение (рис. 4.3.3, д). Так как при нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от −∞ до +∞, а время безотказной работы может быть только положительным, следует рассматривать усеченное нормальное распределение с плотностью вероятности отказов:

Нормирующий множитель c определяется из выражения:

c = 1 / F (T 1 / σ) = 1 / , (4.3.26)

табулированная (приложение 4) интегральная функция нормального распределения;

нормированная функция Лапласа.

Тогда (4.3.24) запишется следующим образом:

Средняя наработка до отказа в усеченном распределении и параметр T 1 неусеченного нормального распределения связаны зависимостью:

При T / σ ≥ 2, что имеет место в абсолютном большинстве случаев при оценке надежности устройств с нормально распределенными отказами, коэффициент c мало отличается от единицы и усеченное нормальное распределение достаточно точно аппроксимируется обычным нормальным законом.

Вероятность безотказной работы определяется из выражения:

Распределение Рэлея (рис. 4.3.3, е) - непрерывное распределение вероятностей с плотностью:

зависящей от масштабного параметраσ > 0. Распределение имеет положительную асимметрию, его единственная мода находится в точке x = σ. Все моменты распределения Рэлея конечны.

Также как и распределение Вейбулла или γ-распределение, распределение Рэлея пригодно для описания поведения изнашивающихся или стареющих изделий.

Частота отказов (функция плотности распределения вероятности отказов) определяется:

Вероятность безотказной работы вычисляется из выражения:

Интенсивность отказов находится из:

λ(t ) = t / σ 2 . (4.3.35)

Средняя наработка до первого отказа составит:

3.4. О выборе закона распределения отказов при расчете надежности Определение закона распределения отказов имеет большое значение при исследованиях и оценках надежности. Определение P (t ) по одной и той же исходной информации о T , но при различных предположениях о законе распределения может привести к существенно отличающимся результатам.

Закон распределения отказов можно определить по экспериментальным данным, но для этого необходимо проведение большого числа опытов в идентичных условиях. Практически эти условия, как правило, трудно обеспечить. Кроме того, такое решение содержит черты пассивной регистрации событий.

Вместе с тем во многих случаях за время эксплуатации успевает отказать лишь незначительная доля первоначально имевшихся объектов. Полученным статистическим данным соответствует начальная (левая) часть экспериментального распределения.

Более рационально - изучение условий, физических процессов при которых возникает то или другое распределение. При этом составляются модели возникновения отказов и соответствующие им законы распределения времени до появления отказа, что позволяет делать обоснованные предположения о законе распределения.

Опытные данные должны служить средством проверки обоснованности прогноза, а не единственным источником данных о законе распределения. Такой подход необходим для оценки надежности новых изделий, для которых статистический материал весьма ограничен.

Рассмотрим распределение Вейбулла, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, медиану. С помощью функции MS EXCEL ВЕЙБУЛЛ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметров распределения.

Распределение Вейбулла (англ. Weibull distribution ) зависит от 2-х параметров: α (альфа)>0 (определяет форму распределения) и b (бета)>0 (определяет масштаб). этого распределения задается следующей формулой:

Если параметр альфа = 1, то распределение Вейбулла превращается в . Параметр бета на практике обычно принимается >=1.

Функция распределения задается следующей формулой:

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера для параметров распределения альфа и бета созданы соответствующие .

В файле примера также построены графики плотности вероятности и функции распределения с отмеченными значениями среднего , и .

Генерация случайных чисел и оценка параметров

Используем обратную функцию распределения (или p - quantile , см. статью про ), которая для распределения Вейбулла может быть выражена в явном виде с использованием элементарных функций:

С помощью этой функции можно сгенерировать значения случайной величины, имеющей распределение Вейбулла . Для этого нужно использовать формулу MS EXCEL:

Бета*(-LN(СЛЧИС()))^(1/альфа)

Функция СЛЧИС() генерирует от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Теперь имея массив случайных чисел, сгенерированных с заданными параметрами распределения альфа и бета (пусть их будет 200), оценим параметры распределения.

Оценку параметров альфа и бета можно сделать с помощью линейной регрессии. Для этого необходимо привести функцию распределения Вейбулла к виду обычной прямой, задаваемой уравнением Y=aX+b. Для этого сделаем следующие преобразования:

Сравнивая выражение

с уравнением прямой Y=ax+b получим, что:

• Y соответствует левая часть выражения,
• X – соответствует ln(x),
• параметр распределения бета соответствует коэффициенту a , отвечающего за наклон прямой к оси абсцисс.
• выражение –бета*ln(альфа) соответствует коэффициенту b (ордината точки пересечения с осью Oy).

По сути, мы практически построили (probability plot) для распределения Вейбулла : если ln(x), отложенные по оси Ох, лягут приблизительно вдоль прямой, то это будет означать, что значения выборки взяты из распределения Вейбулла. Осталось модифицировать ось Оу с помощью формулы =LN(-LN(1-Ui)), где Ui=(i-0,5)/200, а i=1; 2; ...; 200.

Заметим, что -LN(1-Ui) – это обратная функция распределения с параметрами альфа=1 и бета=1. Второй логарифм нам потребовался, т.к. по оси абсцисс отложены не сами x, а ln(x).

Примечание : Т.к. форма распределения Вейбулла существенно зависит от его параметров, то вместо альфа=1 и бета=1 для обратной функции лучше использовать точечные оценки этих параметров , полученные на основании выборки . О том как вычислить оценку параметров альфа и бета см. ниже.

В файле примера на листе Генерация построен соответствующий Вероятностный график .

С помощью функции НАКЛОН() вычислим наклон получившейся кривой (коэффициент прямой а, англ. slope ), который служит оценкой параметра бета .

Функция ОТРЕЗОК() вернет ординату точки пересечения с Оу (коэффициент прямой b ). Выражение =EXP(-b/бета) служит оценкой параметра альфа .

Также можно сравнить плотности вероятностей модельного распределения и распределения с параметрами, полученными в результате оценки.

Как видно из диаграммы выше, совпадение также достаточно хорошее.

СОВЕТ : Т.к. генерирование случайных чисел происходит с помощью функции СЛЧИС() , то нажимая клавишу F9 , можно каждый раз получать новую выборку и, соответственно, новую оценку параметров.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье .