Уравнение на нормална равнина във векторна форма. Уравнения на равнина: общи, през три точки, нормални

Уравнение на равнина. Как да напиша уравнение на равнина?
Взаимно разположение на равнините. Задачи

Пространствената геометрия не е много по-сложна от „плоската“ геометрия и нашите полети в космоса започват с тази статия. За да овладеете темата, трябва да имате добро разбиране на вектори, освен това е препоръчително да сте запознати с геометрията на равнината - ще има много прилики, много аналогии, така че информацията ще се усвоява много по-добре. В поредица от мои уроци 2D светът започва със статия Уравнение на права на равнина. Но сега Батман напусна плоския телевизионен екран и се изстрелва от космодрума Байконур.

Да започнем с чертежи и символи. Схематично равнината може да бъде начертана под формата на успоредник, което създава впечатление за пространство:

Самолетът е безкраен, но имаме възможност да изобразим само парче от него. На практика освен успоредника се рисува и овал или дори облак. По технически причини ми е по-удобно да изобразя самолета точно по този начин и точно в тази позиция. Реалните равнини, които ще разгледаме в практически примери, могат да бъдат разположени по всякакъв начин - мислено вземете чертежа в ръцете си и го завъртете в пространството, като придадете на равнината всякакъв наклон, всякакъв ъгъл.

Наименования: самолетите обикновено се обозначават с малки гръцки букви, очевидно за да не се бъркат с права линия в равнинаили със права линия в пространството. Свикнал съм да използвам писмото. На чертежа това е буквата "сигма", а не дупка изобщо. Въпреки че, дупчестият самолет със сигурност е доста забавен.

В някои случаи е удобно да се използват едни и същи гръцки букви с долни индекси за обозначаване на равнини, например .

Очевидно е, че равнината е еднозначно определена от три различни точки, които не лежат на една права. Следователно трибуквените обозначения на равнините са доста популярни - чрез принадлежащите им точки, например и т.н. Често буквите са оградени в скоби: , за да не объркате равнината с друга геометрична фигура.

За опитни читатели ще дам меню за бърз достъп:

• Как да създадем уравнение на равнина с помощта на точка и два вектора?
• Как да създадем уравнение на равнина с помощта на точка и нормален вектор?

и няма да изнемогваме в дълго чакане:

Общо уравнение на равнината

Общото уравнение на равнината има формата , където коефициентите не са равни на нула едновременно.

Редица теоретични изчисления и практически задачи са валидни както за обичайната ортонормална база, така и за афинната основа на пространството (ако маслото е масло, върнете се към урока Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите). За простота ще приемем, че всички събития се случват в ортонормална основа и декартова правоъгълна координатна система.

Сега нека упражним малко нашето пространствено въображение. Добре е, ако вашият е лош, сега ще го развием малко. Дори играта на нерви изисква обучение.

В най-общия случай, когато числата не са равни на нула, равнината пресича и трите координатни оси. Например така:

Още веднъж повтарям, че равнината продължава безкрайно във всички посоки и имаме възможност да изобразим само част от нея.

Нека разгледаме най-простите уравнения на равнините:

Как да разберем това уравнение? Помислете за това: "Z" ВИНАГИ е равно на нула за всякакви стойности на "X" и "Y". Това е уравнението на "родната" координатна равнина. Всъщност, формално уравнението може да бъде пренаписано, както следва: , откъдето можете ясно да видите, че не ни интересува какви стойности приемат „x“ и „y“, важно е „z“ да е равно на нула.

По същия начин:
– уравнение на координатната равнина;
– уравнение на координатната равнина.

Нека усложним малко задачата, помислете за равнина (тук и по-нататък в параграфа приемаме, че числовите коефициенти не са равни на нула). Нека пренапишем уравнението във формата: . Как да го разбираме? „X“ е ВИНАГИ, за всякакви стойности на „Y“ и „Z“, равни на определено число. Тази равнина е успоредна на координатната равнина. Например една равнина е успоредна на равнина и минава през точка.

По същия начин:
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната равнина;
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната равнина.

Нека добавим членове: . Уравнението може да бъде пренаписано по следния начин: , тоест „zet“ може да бъде всичко. Какво означава? “X” и “Y” са свързани с релацията, която чертае определена права линия в равнината (ще разберете уравнение на права в равнина?). Тъй като „z“ може да бъде всичко, тази права линия се „копира“ на всяка височина. По този начин уравнението определя равнина, успоредна на координатната ос

По същия начин:
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната ос;
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната ос.

Ако свободните членове са нула, тогава равнините ще минават директно през съответните оси. Например класическата „пряка пропорционалност“: . Начертайте права линия в равнината и мислено я умножете нагоре и надолу (тъй като "Z" е всяко). Извод: равнината, определена от уравнението, минава през координатната ос.

Завършваме прегледа: уравнението на равнината преминава през произхода. Е, тук е съвсем очевидно, че точката удовлетворява това уравнение.

И накрая, случаят, показан на чертежа: – равнината е приятелска с всички координатни оси, докато винаги „отрязва“ триъгълник, който може да бъде разположен във всеки от осемте октанта.

Линейни неравенства в пространството

За да разберете информацията, трябва да проучите добре линейни неравенства в равнината, защото много неща ще си приличат. Параграфът ще има кратък обзорен характер с няколко примера, тъй като материалът е доста рядък на практика.

Ако уравнението определя равнина, тогава неравенствата
питам полупространства. Ако неравенството не е строго (последните две в списъка), тогава решението на неравенството, освен полупространството, включва и самата равнина.

Пример 5

Намерете единичния нормален вектор на равнината .

Решение: Единичен вектор е вектор, чиято дължина е единица. Нека означим този вектор с . Абсолютно ясно е, че векторите са колинеарни:

Първо премахваме нормалния вектор от уравнението на равнината: .

Как да намерим единичен вектор? За да намерите единичния вектор, трябва всекиразделете векторната координата на дължината на вектора.

Нека пренапишем нормалния вектор във формата и да намерим неговата дължина:

Според горното:

Отговор:

Проверка: какво се изисква да бъде проверено.

Читателите, които внимателно са проучили последния параграф от урока, вероятно са забелязали това координатите на единичния вектор са точно насочващите косинуси на вектора:

Нека си дадем почивка от проблема: когато ви е даден произволен ненулев вектор, а според условието се изисква да се намерят неговите насочващи косинуси (вижте последните задачи от урока Точково произведение на вектори), тогава вие всъщност намирате единичен вектор, колинеарен на този. Всъщност две задачи в една бутилка.

Необходимостта да се намери единичният нормален вектор възниква в някои проблеми на математическия анализ.

Разбрахме как да намерим нормален вектор, сега нека отговорим на обратния въпрос:

Как да създадем уравнение на равнина с помощта на точка и нормален вектор?

Тази твърда конструкция от нормален вектор и точка е добре позната на дъската за дартс. Моля, протегнете ръка напред и мислено изберете произволна точка в пространството, например малка котка в бюфета. Очевидно през тази точка можете да начертаете една равнина, перпендикулярна на ръката ви.

Уравнението на равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на вектора, се изразява с формулата:

Уравнение на нормална равнина.

Общото уравнение на равнината на формата се нарича уравнение на нормална равнина, ако дължината на вектора равно на едно, т.е. , И .

Често можете да видите, че нормалното уравнение на равнина е написано като . Ето насочващите косинуси на нормалния вектор на дадена равнина с единица дължина, тоест и стр– неотрицателно число, равно на разстоянието от началото до равнината.

Нормално уравнение на равнина в правоъгълна координатна система Oxyzдефинира равнина, която е отдалечена от началото на разстояние стрв положителната посока на нормалния вектор на тази равнина . Ако р=0, тогава равнината преминава през началото.

Нека дадем пример за уравнение на нормална равнина.

Нека равнината е зададена в правоъгълна координатна система Oxyzобщо уравнение на равнината на формата . Това общо уравнение на равнината е нормалното уравнение на равнината. Наистина нормалният вектор на тази равнина е има дължина, равна на единица, тъй като .

Уравнението на равнина в нормална форма ви позволява да намерите разстоянието от точка до равнина.

Разстояние от точка до равнина.

Разстоянието от точка до равнина е най-малкото от разстоянията между тази точка и точките на равнината. Известно е, че разстояниеот точка към равнина е равна на дължината на перпендикуляра, прекаран от тази точка към равнината.

Ако и началото на координатите лежат от различни страни на равнината, в обратния случай. Разстоянието от точка до равнина е

Взаимно разположение на равнините. Условия за успоредност и перпендикулярност на равнините.

Разстояние между успоредни равнини

Свързани понятия

Равнините са успоредни , Ако

или (Векторен продукт)

Равнините са перпендикулярни, Ако

Или . (Скаларен продукт)

Направо в космоса. Различни видове уравнения с права линия.

Уравнения на права линия в пространството – начална информация.

Уравнение на права на равнина Оксие линейно уравнение с две променливи хИ г, което е изпълнено от координатите на която и да е точка от линия и не е удовлетворено от координатите на други точки. С правата линия в триизмерното пространство ситуацията е малко по-различна - няма линейно уравнение с три променливи х, гИ z, което би било удовлетворено само от координатите на точки на линия, зададена в правоъгълна координатна система Oxyz. Наистина, уравнение от формата , където х, гИ zса променливи и А, б, ° СИ д– някои реални числа и А, INИ СЪСне са равни на нула едновременно, представлява общо уравнение на равнината. Тогава възниква въпросът: „Как може да се опише права линия в правоъгълна координатна система? Oxyz»?

Отговорът на този въпрос се съдържа в следващите параграфи на статията.

Уравненията на права линия в пространството са уравнения на две пресичащи се равнини.

Нека си припомним една аксиома: ако две равнини в пространството имат обща точка, то те имат обща права линия, на която са разположени всички общи точки на тези равнини. По този начин права линия в пространството може да бъде дефинирана чрез определяне на две равнини, пресичащи се по тази права линия.

Нека преведем последното твърдение на езика на алгебрата.

Нека правоъгълна координатна система е фиксирана в тримерното пространство Oxyzа е известно, че правата линия ае линията на пресичане на две равнини и, които съответстват на общите уравнения на равнината на формата и, съответно. Тъй като е прав ае множеството от всички общи точки на равнините и тогава координатите на всяка точка от правата a ще удовлетворяват едновременно и уравнението, и уравнението, координатите на никакви други точки няма да удовлетворяват едновременно и двете уравнения на равнините. Следователно координатите на всяка точка от линията ав правоъгълна координатна система Oxyzпредставлявам конкретно решение на система от линейни уравнениямил , и общото решение на системата от уравнения определя координатите на всяка точка от правата а, тоест определя права линия а.

И така, права линия в пространството в правоъгълна координатна система Oxyzможе да се даде чрез система от уравнения на две пресичащи се равнини .

Ето пример за дефиниране на права линия в пространството с помощта на система от две уравнения - .

Описването на права линия с уравненията на две пресичащи се равнини е отлично за намиране на координатите на пресечната точка на права и равнина, а също и когато намиране на координатите на пресечната точка на две прави в пространството.

Препоръчваме допълнително проучване на тази тема, като се позовавате на статията уравнения на права в пространството - уравнения на две пресичащи се равнини. Той предоставя по-подробна информация, разглежда подробно решения на типични примери и задачи, а също така показва метод за преход към уравнения на права линия в пространство от различен тип.

Трябва да се отбележи, че има различни начини за определяне на линия в пространството, а на практика правата линия често се определя не от две пресичащи се равнини, а от насочващия вектор на правата линия и точка, лежаща на тази права линия. В тези случаи е по-лесно да се получат канонични и параметрични уравнения на линия в пространството. Ще говорим за тях в следващите параграфи.

Параметрични уравнения на права в пространството.

Параметрични уравнения на права в пространствотоизглежда като ,

Където х 1 ,г 1 И z 1 – координати на някаква точка от линията, а х , а гИ а z (а х , а гИ а zне са едновременно равни на нула) - съответстващи координати на насочващия вектор на правата, a е някакъв параметър, който може да приеме произволна реална стойност.

За всяка стойност на параметъра, използвайки параметричните уравнения на линия в пространството, можем да изчислим тройка числа,

то ще съответства на някаква точка от правата (оттук и името на този тип уравнение на правата). Например, когато

от параметричните уравнения на права линия в пространството получаваме координатите х 1 , г 1 И z 1 : .

Като пример, разгледайте права линия, дефинирана от параметрични уравнения на формата . Тази права минава през точка и векторът на посоката на тази линия има координати.

Препоръчваме да продължите да изучавате темата, като се позовавате на статията параметрични уравнения на линия в пространството. Той показва извеждането на параметрични уравнения на права в пространството, разглежда специални случаи на параметрични уравнения на права в пространството, осигурява графични илюстрации, предоставя подробни решения на характерни проблеми и посочва връзката между параметричните уравнения на права и други видове уравнения на права.

Канонични уравнения на права линия в пространството.

След разрешаване на всяко от параметричните уравнения на права линия на формата по отношение на параметъра, лесно е да отидете канонични уравнения на права линия в пространствотомил .

Каноничните уравнения на права в пространството определят права, минаваща през точка , а векторът на посоката на правата е векторът . Например уравненията на права линия в канонична форма съответстват на права, минаваща през точка в пространството с координати, векторът на посоката на тази линия има координати.

Трябва да се отбележи, че едно или две от числата в каноничните уравнения на линия могат да бъдат равни на нула (и трите числа не могат да бъдат равни на нула едновременно, тъй като векторът на посоката на правата не може да бъде нула). След това запис на формата се счита за формално (тъй като знаменателите на една или две дроби ще имат нули) и трябва да се разбира като , Където.

Ако едно от числата в каноничните уравнения на права е равно на нула, тогава правата лежи в една от координатните равнини или в равнина, успоредна на нея. Ако две от числата са нула, тогава правата или съвпада с една от координатните оси, или е успоредна на нея. Например линия, съответстваща на каноничните уравнения на линия в пространството на формата , лежи в самолета z=-2, която е успоредна на координатната равнина Окси, и координатната ос Ойсе определя от канонични уравнения.

За графични илюстрации на тези случаи, извеждането на каноничните уравнения на права в пространството, подробни решения на типични примери и задачи, както и прехода от каноничните уравнения на права към други уравнения на права в пространството, вижте статия канонични уравнения на права в пространството.

Общо уравнение на права линия. Преход от общото към каноничното уравнение.

Положението на равнината в пространството ще бъде напълно определено, ако посочим нейното разстояние от началото O, т.е. дължината на перпендикуляра OT, прекаран от точка O към равнината, и единичния вектор n°, перпендикулярен на равнината и насочен от началото O към равнината (фиг. 110).

Когато точка M се движи по равнина, нейният радиус-вектор се променя, така че тя винаги е обвързана с някакво условие. Да видим какво е това условие. Очевидно за всяка точка, разположена на равнината, имаме:

Това условие е валидно само за точки от равнината; то се нарушава, ако точка M лежи извън равнината. Така равенството (1) изразява свойство, общо за всички точки на равнината и само за тях. Съгласно § 7 гл. 11 имаме:

и следователно уравнение (1) може да бъде пренаписано като:

Уравнение (G) изразява условието, при което точка ) лежи на дадена равнина и се нарича нормално уравнение на тази равнина. Радиус векторът на произволна точка M от равнината се нарича текущ радиус вектор.

Уравнение (1) на равнината е написано във векторна форма. Преминавайки към координатите и поставяйки началото на координатите в началото на векторите - точка O, отбелязваме, че проекциите на единичния вектор върху координатните оси са косинусите на ъглите, образувани от осите с този вектор, и проекции на радиус вектора на точка М

служат за координати на точката, т.е. имаме:

Уравнение (G) става координата:

При превода на векторното уравнение (G) на равнината в координатното уравнение (2) използвахме формула (15) § 9 гл. 11, която изразява скаларното произведение чрез проекции на вектори. Уравнение (2) изразява условието, при което точката M(x, y, z) лежи на дадена равнина и се нарича нормално уравнение на тази равнина в координатна форма. Полученото уравнение (2) е от първа степен спрямо , т.е. всяка равнина може да бъде представена с уравнение от първа степен спрямо текущите координати.

Обърнете внимание, че получените уравнения (1") и (2) остават валидни дори когато , т.е. дадената равнина минава през началото на координатите. В този случай можем да вземем всеки от два единични вектора, перпендикулярни на равнината и различаващи се с единица от друга посока.

Коментирайте. Уравнението на нормалната равнина (2) може да бъде получено без използване на векторния метод.

Нека вземем произволна равнина и начертайте права I през началото на координатите, перпендикулярна на нея. Задайте на тази права положителна посока от началото на координатите към равнината (ако избраната равнина минава през началото на координатите, тогава всяка посока на линията може да бъде взета).

Позицията на тази равнина в пространството се определя изцяло от нейното разстояние от началото на координатите, т.е. дължината на сегмента на оста l от началото на координатите до точката на пресичането му с равнината (на фиг. 111 - сегмент) и ъглите между оста и координатните оси. Когато точка се движи по равнина с координати, нейните координати се променят, така че винаги да са обвързани с някакво условие. Да видим какво е това условие.

Нека го изградим на фиг. 111 координатна начупена линия OPSM на произволна точка M от равнината. Нека вземем проекцията на тази начупена линия върху оста l. Отбелязвайки, че проекцията на начупена линия е равна на проекцията на нейния затварящ сегмент (Глава I, § 3), имаме.

За да получим общото уравнение на равнина, нека анализираме равнината, минаваща през дадена точка.

Нека има три координатни оси, които вече са ни известни в пространството - вол, ОйИ Оз. Дръжте листа хартия така, че да остане плосък. Самолетът ще бъде самият лист и неговото продължение във всички посоки.

Позволявам Ппроизволна равнина в пространството. Всеки вектор, перпендикулярен на него, се нарича нормален вектор към този самолет. Естествено, говорим за ненулев вектор.

Ако някоя точка от равнината е известна Пи някакъв нормален вектор към него, тогава от тези две условия равнината в пространството е напълно дефинирана(през дадена точка можете да начертаете една равнина, перпендикулярна на дадения вектор). Общото уравнение на равнината ще бъде:

И така, условията, които определят уравнението на равнината, са. За да получите себе си уравнение на равнината, имайки горната форма, вземете в самолета Ппроизволен точка М с променливи координати х, г, z. Тази точка принадлежи на равнината само ако вектор перпендикулярен на вектора(Фиг. 1). За това, съгласно условието за перпендикулярност на векторите, е необходимо и достатъчно скаларното произведение на тези вектори да бъде равно на нула, т.е.

Векторът се определя от условие. Намираме координатите на вектора с помощта на формулата :

.

Сега използваме формулата за скаларно произведение на вектори , изразяваме скаларното произведение в координатна форма:

Тъй като точката M(x; y; z)е избрано произволно в равнината, тогава последното уравнение е удовлетворено от координатите на всяка точка, лежаща в равнината П. За точка н, нележаща на дадена равнина, т.е. равенството (1) е нарушено.

Пример 1.Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка и перпендикулярна на вектора.

Решение. Нека използваме формула (1) и я погледнем отново:

В тази формула числата А , бИ ° Свекторни координати и числа х0 , г0 И z0 - координати на точката.

Изчисленията са много прости: заместваме тези числа във формулата и получаваме

Умножаваме всичко, което трябва да се умножи и добавяме само числа (които нямат букви). Резултат:

.

Търсеното уравнение на равнината в този пример се оказа изразено чрез общо уравнение от първа степен по отношение на променливи координати x, y, zпроизволна точка от равнината.

И така, уравнение от формата

Наречен общо уравнение на равнината .

Пример 2.Построете в правоъгълна декартова координатна система равнина, дадена от уравнението .

Решение. За да се построи равнина, е необходимо и достатъчно да се знаят три нейни точки, които не лежат на една права линия, например точките на пресичане на равнината с координатните оси.

Как да намерите тези точки? За намиране на пресечната точка с оста Оз, трябва да замените нули за X и Y в уравнението, дадено в описанието на проблема: х = г= 0 . Следователно получаваме z= 6. Така дадената равнина пресича оста Озв точката А(0; 0; 6) .

По същия начин намираме пресечната точка на равнината с оста Ой. При х = z= 0 получаваме г= −3, тоест точката б(0; −3; 0) .

И накрая намираме пресечната точка на нашата равнина с оста вол. При г = z= 0 получаваме х= 2, тоест точка ° С(2; 0; 0) . Въз основа на трите точки, получени в нашето решение А(0; 0; 6) , б(0; −3; 0) и ° С(2; 0; 0) построи дадената равнина.

Нека сега да разгледаме специални случаи на общото уравнение на равнината. Това са случаи, когато определени коефициенти на уравнение (2) стават нула.

1. Кога D= 0 уравнение определя равнина, минаваща през началото, тъй като координатите на точката 0 (0; 0; 0) удовлетворяват това уравнение.

2. Кога А= 0 уравнение определя равнина, успоредна на оста вол, тъй като нормалният вектор на тази равнина е перпендикулярен на оста вол(неговата проекция върху оста волравно на нула). По същия начин, когато B= 0 самолет успоредна на оста Ой, и когато C= 0 самолет успоредна на оста Оз.

3. Кога A=D= 0 уравнение дефинира равнина, минаваща през оста вол, тъй като е успореден на оста вол (А=D= 0). По същия начин равнината минава през оста Ой, а равнината през оста Оз.

4. Кога A=B= 0 уравнение определя равнина, успоредна на координатната равнина xOy, тъй като е успореден на осите вол (А= 0) и Ой (б= 0). По същия начин равнината е успоредна на равнината yOz, а самолетът си е самолет xOz.

5. Кога A=B=D= 0 уравнение (или z = 0) определя координатната равнина xOy, тъй като е успореден на равнината xOy (A=B= 0) и минава през началото ( D= 0). По същия начин, ур. y = 0 в пространството определя координатната равнина xOz, и уравнението x = 0 - координатна равнина yOz.

Пример 3.Създайте уравнение на равнината П, минаваща през оста Ойи точка.

Решение. Така че равнината минава през оста Ой. Следователно в нейното уравнение г= 0 и това уравнение има формата . За определяне на коефициентите АИ ° Снека се възползваме от факта, че точката принадлежи на равнината П .

Следователно сред неговите координати има такива, които могат да бъдат заменени в уравнението на равнината, което вече сме извели (). Нека погледнем отново координатите на точката:

М0 (2; −4; 3) .

Между тях х = 2 , z= 3 . Заместваме ги в общото уравнение и получаваме уравнението за нашия конкретен случай:

2А + 3° С = 0 .

Оставете 2 Аот лявата страна на уравнението, преместете 3 ° Сот дясната страна и получаваме

А = −1,5° С .

Заместване на намерената стойност Ав уравнението, получаваме

или .

Това е уравнението, изисквано в примерното условие.

Решете сами задачата с уравнението на равнината и след това вижте решението

Пример 4.Дефинирайте равнина (или равнини, ако са повече от една) по отношение на координатните оси или координатните равнини, ако равнината(ите) е дадена от уравнението.

Решенията на типичните задачи, които възникват по време на тестове, са в учебника „Задачи на равнина: успоредност, перпендикулярност, пресичане на три равнини в една точка“.

Уравнение на равнина, минаваща през три точки

Както вече споменахме, необходимо и достатъчно условие за построяване на равнина, освен една точка и нормалния вектор, са и три точки, които не лежат на една права.

Нека са дадени три различни точки , и , които не лежат на една и съща линия. Тъй като посочените три точки не лежат на една и съща права, векторите не са колинеарни и следователно всяка точка в равнината лежи в същата равнина с точките и тогава и само ако векторите , и копланарен, т.е. тогава и само когато смесен продукт на тези векторие равно на нула.

Използвайки израза за смесеното произведение в координати, получаваме уравнението на равнината

(3)

След разкриване на детерминантата това уравнение става уравнение от вида (2), т.е. общо уравнение на равнината.

Пример 5.Напишете уравнение за равнина, минаваща през дадени три точки, които не лежат на една и съща права линия:

и определяне на специален случай на общото уравнение на линия, ако има такъв.

Решение. Съгласно формула (3) имаме:

Уравнение на нормална равнина. Разстояние от точка до равнина

Нормалното уравнение на равнина е нейното уравнение, записано във формата

Нека разгледаме равнината Q в пространството.Нейната позиция е напълно определена чрез определяне на вектора N, перпендикулярен на тази равнина, и някаква фиксирана точка, лежаща в равнината Q. Векторът N, перпендикулярен на равнината Q, се нарича нормален вектор на тази равнина. Ако означим с A, B и C проекциите на нормалния вектор N, тогава

Нека изведем уравнението на равнината Q, минаваща през дадена точка и имаща даден нормален вектор. За да направите това, разгледайте вектор, свързващ точка с произволна точка от равнината Q (фиг. 81).

За всяко положение на точка M в равнината Q, векторът MHM е перпендикулярен на нормалния вектор N на равнината Q. Следователно, скаларното произведение. Нека запишем скаларното произведение по отношение на проекции. Тъй като , и е вектор, тогава

и следователно

Показахме, че координатите на всяка точка в равнината Q отговарят на уравнение (4). Лесно е да се види, че координатите на точките, които не лежат на равнината Q, не удовлетворяват това уравнение (в последния случай). Следователно получихме търсеното уравнение за равнината Q. Уравнение (4) се нарича уравнение на равнината, минаваща през дадена точка. Тя е на първа степен спрямо текущите координати

И така, ние показахме, че всяка равнина съответства на уравнение от първа степен по отношение на текущите координати.

Пример 1. Напишете уравнението на равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на вектора.

Решение. Тук . Въз основа на формула (4) получаваме

или, след опростяване,

Като дадем различни стойности на коефициентите A, B и C на уравнение (4), можем да получим уравнението на всяка равнина, минаваща през точката. Множеството от равнини, преминаващи през дадена точка, се нарича сноп от равнини. Уравнение (4), в което коефициентите A, B и C могат да приемат всякакви стойности, се нарича уравнение на куп равнини.

Пример 2. Съставете уравнение за равнина, минаваща през три точки (фиг. 82).

Решение. Нека напишем уравнението за куп равнини, минаващи през точката