Директен онлайн калкулатор Equation. Уравнението на права, която минава през две дадени точки, примери, решения

Нека правата минава през точките M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2). Уравнението на права линия, минаваща през точката M 1, има формата y- y 1 \u003d к (x - x 1), (10.6)

където к - все още неизвестен коефициент.

Тъй като правата линия минава през точката M 2 (x 2 y 2), тогава координатите на тази точка трябва да отговарят на уравнение (10.6): y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

От тук намираме Заместване на намерената стойност к в уравнение (10.6), получаваме уравнението на права линия, минаваща през точките M 1 и M 2:

Приема се, че в това уравнение x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ако x 1 \u003d x 2, тогава правата линия, минаваща през точките M 1 (x 1, y I) и M 2 (x 2, y 2), е успоредна на оста y. Неговото уравнение е х = х 1 .

Ако y 2 \u003d y I, тогава уравнението на правата линия може да бъде написано като y \u003d y 1, правата линия M 1 M 2 е успоредна на оста x.

Уравнение на права линия в отсечки

Нека правата пресича оста Ox в точката M 1 (a; 0), а оста Oy - в точката M 2 (0; b). Уравнението ще приеме формата:
тези.
. Това уравнение се нарича уравнението на права линия в сегменти, т.к числата a и b показват кои сегменти отсича правата линия върху координатните оси.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка перпендикулярно на даден вектор

Нека намерим уравнението на права линия, минаваща през дадена точка Mo (x O; y o), перпендикулярна на даден ненулев вектор n = (A; B).

Вземете произволна точка M(x; y) на правата линия и разгледайте вектора M 0 M (x - x 0; y - y o) (вижте Фиг. 1). Тъй като векторите n и M o M са перпендикулярни, тяхното скаларно произведение е равно на нула: т.е.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Уравнение (10.8) се нарича уравнение на права линия, минаваща през дадена точка перпендикулярно на даден вектор .

Векторът n = (A; B), перпендикулярен на правата, се нарича нормален нормален вектор на тази линия .

Уравнение (10.8) може да бъде пренаписано като Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

където A и B са координатите на нормалния вектор, C \u003d -Ax o - Vu o - свободен член. Уравнение (10.9) е общото уравнение на права линия(виж фиг.2).

Фиг.1 Фиг.2

Канонични уравнения на правата

,

Където
са координатите на точката, през която минава правата, и
- вектор на посоката.

Криви от втори ред Окръжност

Окръжност е съвкупността от всички точки на една равнина, еднакво отдалечени от дадена точка, която се нарича център.

Канонично уравнение на окръжност с радиус Р центриран в точка
:

По-специално, ако центърът на залога съвпада с началото, тогава уравнението ще изглежда така:

Елипса

Елипса е набор от точки в равнина, сборът от разстоянията от всяка от тях до две дадени точки и , които се наричат ​​фокуси, е постоянна стойност
, по-голямо от разстоянието между огнищата
.

Каноничното уравнение на елипса, чиито фокуси лежат на оста Ox и чието начало е в средата между фокусите, има формата
Ж деа дължината на голямата полуос; b е дължината на малката полуос (фиг. 2).

Връзка между параметрите на елипса
и се изразява със съотношението:

(4)

Ексцентричност на елипсанаречено отношение на междуфокалното разстояние2sкъм главната ос2а:

Директорки елипса се наричат ​​прави линии, успоредни на оста y, които са на разстояние от тази ос. Директрисни уравнения:
.

Ако в уравнението на елипсата
, тогава фокусите на елипсата са върху оста y.

Така,

Тази статия продължава темата за уравнението на права линия в равнина: разгледайте такъв тип уравнение като общото уравнение на права линия. Нека да дефинираме теорема и да дадем нейното доказателство; Нека да разберем какво е непълно общо уравнение на права линия и как да правим преходи от общо уравнение към други видове уравнения на права линия. Ще затвърдим цялата теория с илюстрации и решаване на практически задачи.

Нека на равнината е дадена правоъгълна координатна система O x y.

Теорема 1

Всяко уравнение от първа степен, имащо формата A x + B y + C \u003d 0, където A, B, C са някои реални числа (A и B не са равни на нула едновременно) определя права линия в правоъгълна координатна система на равнина. От своя страна всяка линия в правоъгълна координатна система в равнината се определя от уравнение, което има формата A x + B y + C = 0 за определен набор от стойности A, B, C.

Доказателство

Тази теорема се състои от две точки, ние ще докажем всяка от тях.

1. Нека докажем, че уравнението A x + B y + C = 0 определя права в равнината.

Нека има някаква точка M 0 (x 0 , y 0), чиито координати съответстват на уравнението A x + B y + C = 0 . Така: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Извадете от лявата и дясната страна на уравненията A x + B y + C \u003d 0 лявата и дясната страна на уравнението A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, получаваме ново уравнение, което изглежда като A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Това е еквивалентно на A x + B y + C = 0 .

Полученото уравнение A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 е необходимо и достатъчно условие за перпендикулярността на векторите n → = (A, B) и M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . По този начин множеството от точки M (x, y) определя в правоъгълна координатна система права линия, перпендикулярна на посоката на вектора n → = (A, B) . Можем да приемем, че това не е така, но тогава векторите n → = (A, B) и M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) няма да са перпендикулярни и равенството A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 няма да е вярно.

Следователно уравнението A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 определя някаква права в правоъгълна координатна система в равнината и следователно еквивалентното уравнение A x + B y + C \u003d 0 определя същата линия. Така доказахме първата част от теоремата.

1. Нека докажем, че всяка права линия в правоъгълна координатна система върху равнина може да бъде дадена чрез уравнение от първа степен A x + B y + C = 0 .

Нека зададем права a в правоъгълна координатна система на равнината; точката M 0 (x 0 , y 0), през която минава тази права, както и нормалният вектор на тази права n → = (A , B) .

Нека съществува и някаква точка M (x , y) - плаваща запетая на правата. В този случай векторите n → = (A , B) и M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) са перпендикулярни един на друг и тяхното скаларно произведение е нула:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Нека пренапишем уравнението A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, дефинираме C: C = - A x 0 - B y 0 и накрая да получим уравнението A x + B y + C = 0 .

И така, доказахме втората част от теоремата и доказахме цялата теорема като цяло.

Определение 1

Уравнение, което изглежда като A x + B y + C = 0 - това е общо уравнение на права линиявърху равнина в правоъгълна координатна системаО х у .

Въз основа на доказаната теорема можем да заключим, че права линия, дадена на равнина във фиксирана правоъгълна координатна система, и нейното общо уравнение са неразривно свързани. С други думи, оригиналната линия съответства на нейното общо уравнение; общото уравнение на права линия съответства на дадена права линия.

От доказателството на теоремата следва също, че коефициентите A и B за променливите x и y са координатите на нормалния вектор на правата линия, който е даден от общото уравнение на правата A x + B y + C = 0.

Помислете за конкретен пример за общото уравнение на права линия.

Нека е дадено уравнението 2 x + 3 y - 2 = 0, което съответства на права линия в дадена правоъгълна координатна система. Нормалният вектор на тази права е векторът n → = (2 , 3)​. Начертайте дадена права линия в чертежа.

Може да се твърди и следното: правата линия, която виждаме на чертежа, се определя от общото уравнение 2 x + 3 y - 2 = 0, тъй като координатите на всички точки от дадена права линия съответстват на това уравнение.

Можем да получим уравнението λ · A x + λ · B y + λ · C = 0, като умножим двете страни на общото уравнение на правата линия по ненулево число λ. Полученото уравнение е еквивалентно на първоначалното общо уравнение, следователно то ще описва същата линия в равнината.

Пълно общо уравнение на права линия- такова общо уравнение на линията A x + B y + C \u003d 0, в което числата A, B, C са различни от нула. В противен случай уравнението е непълна.

Нека анализираме всички варианти на непълното общо уравнение на правата линия.

1. Когато A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, общото уравнение става B y + C \u003d 0. Такова непълно общо уравнение дефинира права линия в правоъгълна координатна система O x y, която е успоредна на оста O x, тъй като за всяка реална стойност на x, променливата y ще приеме стойност - C B . С други думи, общото уравнение на линията A x + B y + C \u003d 0, когато A \u003d 0, B ≠ 0, определя геометричното място на точки (x, y), чиито координати са равни на едно и също число - C B .
2. Ако A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, общото уравнение става y \u003d 0. Такова непълно уравнение дефинира оста x O x .
3. Когато A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, получаваме непълно общо уравнение A x + C = 0, определящо права линия, успоредна на оста y.
4. Нека A ≠ 0, B = 0, C = 0, тогава непълното общо уравнение ще приеме формата x = 0 и това е уравнението на координатната линия O y.
5. И накрая, когато A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, непълното общо уравнение приема формата A x + B y \u003d 0. И това уравнение описва права линия, която минава през началото. Действително, двойката числа (0 , 0) съответства на равенството A x + B y = 0 , тъй като A · 0 + B · 0 = 0 .

Нека графично илюстрираме всички горепосочени видове непълно общо уравнение на права линия.

Пример 1

Известно е, че дадената права е успоредна на оста y и минава през точката 2 7 , - 11 . Необходимо е да се напише общото уравнение на дадена права линия.

Решение

Права линия, успоредна на оста y, се дава от уравнение под формата A x + C \u003d 0, в което A ≠ 0. Условието определя и координатите на точката, през която минава правата, а координатите на тази точка съответстват на условията на непълното общо уравнение A x + C = 0 , т.е. равенството е правилно:

A 2 7 + C = 0

Възможно е да се определи C от него, като се даде на A някаква ненулева стойност, например A = 7 . В този случай получаваме: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Знаем двата коефициента A и C, заместваме ги в уравнението A x + C = 0 и получаваме търсеното уравнение на линията: 7 x - 2 = 0

Отговор: 7 х - 2 = 0

Пример 2

Чертежът показва права линия, необходимо е да се запише нейното уравнение.

Решение

Даденият чертеж ни позволява лесно да вземем изходните данни за решаване на задачата. Виждаме на чертежа, че дадената права е успоредна на оста O x и минава през точката (0 , 3)​.

Правата, която е успоредна на абсцисата, се определя от непълното общо уравнение B y + С = 0. Намерете стойностите на B и C. Координатите на точката (0, 3), тъй като дадената права минава през нея, ще удовлетворяват уравнението на правата B y + С = 0, тогава е валидно равенството: В · 3 + С = 0. Нека зададем B на някаква стойност, различна от нула. Да кажем B \u003d 1, в този случай от равенството B · 3 + C \u003d 0 можем да намерим C: C \u003d - 3. Използвайки известните стойности на B и C, получаваме необходимото уравнение на правата линия: y - 3 = 0.

Отговор: y - 3 = 0 .

Общо уравнение на права, минаваща през дадена точка от равнината

Нека дадената права минава през точката M 0 (x 0, y 0), тогава нейните координати съответстват на общото уравнение на правата, т.е. равенството е вярно: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Извадете лявата и дясната страна на това уравнение от лявата и дясната страна на общото пълно уравнение на правата линия. Получаваме: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, това уравнение е еквивалентно на първоначалното общо, минава през точката M 0 (x 0, y 0) и има a нормален вектор n → \u003d (A, B) .

Резултатът, който получихме, позволява да се напише общото уравнение на правата линия за известни координати на нормалния вектор на правата линия и координатите на определена точка от тази права линия.

Пример 3

Дадена е точка M 0 (- 3, 4), през която минава правата, и нормалният вектор на тази права n → = (1 , - 2) . Необходимо е да се запише уравнението на дадена права линия.

Решение

Началните условия ни позволяват да получим необходимите данни за съставяне на уравнението: A \u003d 1, B = - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 = 4. Тогава:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Проблемът можеше да бъде решен по друг начин. Общото уравнение на права линия има формата A x + B y + C = 0 . Даденият нормален вектор ви позволява да получите стойностите на коефициентите A и B , след това:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Сега нека намерим стойността на C, използвайки точката M 0 (- 3, 4), дадена от условието на задачата, през която минава правата. Координатите на тази точка съответстват на уравнението x - 2 · y + C = 0 , т.е. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Следователно C = 11. Търсеното уравнение на права линия приема формата: x - 2 · y + 11 = 0 .

Отговор: x - 2 y + 11 = 0 .

Пример 4

Дадена е права 2 3 x - y - 1 2 = 0 и точка M 0, лежаща на тази права. Известна е само абсцисата на тази точка и тя е равна на -3. Необходимо е да се определи ординатата на дадената точка.

Решение

Нека зададем обозначението на координатите на точката M 0 като x 0 и y 0 . Първоначалните данни показват, че x 0 \u003d - 3. Тъй като точката принадлежи на дадена права, тогава нейните координати съответстват на общото уравнение на тази права. Тогава ще бъде вярно следното равенство:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Определете y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Отговор: - 5 2

Преход от общото уравнение на права линия към други видове уравнения на права линия и обратно

Както знаем, има няколко вида уравнение на една и съща права линия в равнината. Изборът на вида на уравнението зависи от условията на проблема; възможно е да се избере този, който е по-удобен за неговото решение. Тук е много полезно умението за преобразуване на уравнение от един вид в уравнение от друг вид.

Първо, разгледайте прехода от общото уравнение под формата A x + B y + C = 0 към каноничното уравнение x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ако A ≠ 0, тогава прехвърляме члена B y в дясната страна на общото уравнение. От лявата страна изваждаме A извън скоби. В резултат на това получаваме: A x + C A = - B y .

Това равенство може да се запише като пропорция: x + C A - B = y A .

Ако B ≠ 0, оставяме само термина A x от лявата страна на общото уравнение, прехвърляме останалите в дясната страна, получаваме: A x \u003d - B y - C. Изваждаме - B от скоби, след това: A x \u003d - B y + C B.

Нека пренапишем равенството като пропорция: x - B = y + C B A .

Разбира се, няма нужда да запомняте получените формули. Достатъчно е да знаете алгоритъма на действията по време на прехода от общото уравнение към каноничното.

Пример 5

Дадено е общото уравнение на правата 3 y - 4 = 0. Трябва да се преобразува в канонично уравнение.

Решение

Записваме оригиналното уравнение като 3 y - 4 = 0 . След това действаме според алгоритъма: терминът 0 x остава от лявата страна; и от дясната страна изваждаме - 3 извън скоби; получаваме: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Нека запишем полученото равенство като пропорция: x - 3 = y - 4 3 0 . Така получихме уравнение в канонична форма.

Отговор: x - 3 = y - 4 3 0.

За да се преобразува общото уравнение на права линия в параметрични, първо се извършва преходът към каноничната форма и след това преходът от каноничното уравнение на правата към параметричните уравнения.

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението 2 x - 5 y - 1 = 0 . Запишете параметричните уравнения на този ред.

Решение

Нека направим прехода от общото уравнение към каноничното:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Сега нека вземем двете части на полученото канонично уравнение, равни на λ, тогава:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Отговор:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Общото уравнение може да се преобразува в уравнение на права линия с наклон y = k x + b, но само когато B ≠ 0. За прехода от лявата страна оставяме члена B y , останалите се прехвърлят надясно. Получаваме: B y = - A x - C . Нека разделим двете части на полученото равенство на B , което е различно от нула: y = - A B x - C B .

Пример 7

Дадено е общото уравнение на права линия: 2 x + 7 y = 0 . Трябва да преобразувате това уравнение в уравнение на наклон.

Решение

Нека изпълним необходимите действия според алгоритъма:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Отговор: y = - 2 7 x .

От общото уравнение на права линия е достатъчно просто да се получи уравнение в сегменти под формата x a + y b \u003d 1. За да направим такъв преход, прехвърляме числото C в дясната страна на равенството, разделяме двете части на полученото равенство на - С и накрая прехвърляме коефициентите за променливите x и y към знаменателите:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Пример 8

Необходимо е да се преобразува общото уравнение на правата линия x - 7 y + 1 2 = 0 в уравнението на права линия в сегменти.

Решение

Нека преместим 1 2 в дясната страна: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Разделете на -1/2 двете страни на уравнението: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Отговор: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Като цяло, обратният преход също е лесен: от други видове уравнения към общото.

Уравнението на права линия в сегменти и уравнението с наклон може лесно да се преобразува в общо, като просто се съберат всички членове от лявата страна на уравнението:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Каноничното уравнение се преобразува в общото по следната схема:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

За да преминете от параметричния, първо се извършва преходът към каноничния, а след това към общия:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Пример 9

Дадени са параметричните уравнения на правата x = - 1 + 2 · λ y = 4. Необходимо е да се запише общото уравнение на тази линия.

Решение

Нека направим прехода от параметрични уравнения към канонични:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Нека преминем от канонично към общо:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Отговор: y - 4 = 0

Пример 10

Дадено е уравнението на права линия в отсечки x 3 + y 1 2 = 1. Необходимо е да се извърши преход към общата форма на уравнението.

Решение:

Нека просто пренапишем уравнението в необходимата форма:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Отговор: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Съставяне на общо уравнение на права линия

По-горе казахме, че общото уравнение може да бъде написано с известни координати на нормалния вектор и координатите на точката, през която минава правата. Такава права линия се определя от уравнението A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . На същото място анализирахме съответния пример.

Сега нека разгледаме по-сложни примери, в които първо е необходимо да се определят координатите на нормалния вектор.

Пример 11

Дадена е права, успоредна на правата 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Известна е и точката M 0 (4 , 1), през която минава дадената права. Необходимо е да се запише уравнението на дадена права линия.

Решение

Началните условия ни казват, че правите са успоредни, докато като нормален вектор на правата, чието уравнение трябва да бъде написано, ние вземаме насочващия вектор на правата n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Сега знаем всички необходими данни, за да съставим общото уравнение на права линия:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Отговор: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Пример 12

Дадената права минава през началото перпендикулярно на правата x - 2 3 = y + 4 5 . Необходимо е да се напише общото уравнение на дадена права линия.

Решение

Нормалният вектор на дадената права ще бъде насочващият вектор на правата x - 2 3 = y + 4 5 .

Тогава n → = (3 , 5) . Правата минава през началото, т.е. през точка O (0, 0) . Нека съставим общото уравнение на дадена права линия:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Отговор: 3 x + 5 y = 0 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Тази статия получи уравнение на права, минаваща през две дадени точкив правоъгълна декартова координатна система на равнината, както и уравненията на права линия, която минава през две дадени точки в правоъгълна координатна система в тримерното пространство. След представянето на теорията се показват решения на типични примери и задачи, в които се изисква да се съставят уравнения на права линия от различни видове, когато са известни координатите на две точки от тази права линия.

Навигация в страницата.

Уравнение на права, минаваща през две дадени точки на равнина.

Преди да получим уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система в равнина, нека си припомним някои факти.

Една от аксиомите на геометрията гласи, че през две несъвпадащи точки на равнина може да се начертае една права линия. С други думи, като посочим две точки на равнината, ние уникално определяме правата, която минава през тези две точки (ако е необходимо, вижте раздела за това как да посочите права линия на равнината).

Нека Окси се оправи в самолета. В тази координатна система всяка права линия съответства на някакво уравнение на права линия в равнина. Векторът на посоката на линията е неразривно свързан със същата линия. Тези знания са напълно достатъчни, за да се състави уравнението на права, минаваща през две дадени точки.

Нека формулираме условието на задачата: съставете уравнението на правата a , която в правоъгълната декартова координатна система Oxy минава през две несъвпадащи точки и .

Нека покажем най-простото и универсално решение на този проблем.

Знаем, че каноничното уравнение на права в равнината на формата дефинира права линия в правоъгълната координатна система Oxy, която минава през точката и има насочващ вектор.

Нека напишем каноничното уравнение на правата a, минаваща през две дадени точки и .

Очевидно насочващият вектор на правата a, която минава през точките M 1 и M 2, е вектор, има координати (ако е необходимо, вижте статията). По този начин имаме всички необходими данни, за да напишем каноничното уравнение на правата линия a - координатите на нейния насочващ вектор и координатите на лежащата върху него точка (и ). Изглежда като (или ).

Можем също да напишем параметричните уравнения на права линия в равнина, минаваща през две точки и . Приличат на или .

Нека да разгледаме едно примерно решение.

Пример.

Напишете уравнението за права, която минава през две дадени точки. .

Решение.

Открихме, че каноничното уравнение на права линия, минаваща през две точки с координати и има формата .

От състоянието на проблема, който имаме . Заместете тези данни в уравнението . Получаваме .

Отговор:

.

Ако имаме нужда не от канонично уравнение на права линия и не от параметрични уравнения на права линия, минаваща през две дадени точки, а от уравнение на права линия от различен вид, тогава от каноничното уравнение на права линия винаги може да се получи към него.

Пример.

Съставете общото уравнение на правата, която в правоъгълната координатна система Oxy на равнината минава през две точки и.

Решение.

Първо, пишем каноничното уравнение на права линия, минаваща през две дадени точки. Изглежда като . Сега привеждаме полученото уравнение до необходимия вид: .

Отговор:

.

На това можете да завършите с уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система в равнина. Но бих искал да ви напомня как решихме такава задача в гимназията в часовете по алгебра.

В училище знаехме само уравнението на права линия с наклон на формата. Да намерим стойността на коефициента на наклон k и числото b , при което уравнението определя в правоъгълната координатна система Oxy на равнината права линия, минаваща през точките и при . (Ако x 1 \u003d x 2, тогава наклонът на правата линия е безкраен, а правата линия M 1 M 2 определя общото непълно уравнение на правата линия под формата x-x 1 \u003d 0).

Тъй като точките M 1 и M 2 лежат на права линия, координатите на тези точки отговарят на уравнението на права линия, т.е. равенствата и са валидни. Решаване на система от уравнения от вида по отношение на неизвестни променливи k и b намираме или . За тези стойности на k и b, уравнението на права линия, минаваща през две точки и приема формата или .

Запомнянето на тези формули няма смисъл, когато решавате примери, е по-лесно да повторите посочените действия.

Пример.

Напишете уравнението на права линия с наклон, ако тази права линия минава през точките и .

Решение.

В общия случай уравнението на права линия с наклон има вида . Намерете k и b, за които уравнението съответства на права линия, минаваща през две точки и .

Тъй като точките M 1 и M 2 лежат на права линия, тогава техните координати отговарят на уравнението на права линия, т.е. равенствата са верни и . Стойностите на k и b се намират като решение на системата от уравнения (вижте статията, ако е необходимо):

Остава да замените намерените стойности и в уравнението. По този начин желаното уравнение на права линия, минаваща през две точки и има формата .

Колосална работа, нали?

Много по-лесно е да се напише каноничното уравнение на права линия, минаваща през две точки и има формата , а от него преминете към уравнението на права линия с наклон: .

Отговор:

Уравнения на права линия, която минава през две дадени точки в тримерното пространство.

Нека правоъгълна координатна система Oxyz е фиксирана в триизмерното пространство и са дадени две несъответстващи точки и през която минава правата M 1 M 2. Получаваме уравненията на тази линия.

Знаем, че каноничните уравнения на линия в пространството на формата и параметрични уравнения на права линия в пространството на формата дефинирайте права линия в правоъгълната координатна система Oxyz, която минава през точката с координати и има вектор на посоката .

Насочващият вектор на правата M 1 M 2 е векторът и тази права минава през точката (и ), тогава каноничните уравнения на тази линия имат формата (или ), и параметричните уравнения - (или ).

.

Ако трябва да зададете права линия M 1 M 2 с помощта на уравненията на две пресичащи се равнини, тогава трябва първо да съставите каноничните уравнения на права линия, минаваща през две точки и , и от тези уравнения да се получат желаните уравнения на равнините.

Библиография.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 - 9 клас: учебник за образователни институции.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на средното училище.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник за 7-11 клас на учебните заведения.
• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Има безкрайно много прави, които могат да бъдат начертани през всяка точка.

През всеки две несъвпадащи точки има само една права линия.

Две несъвпадащи прави в равнината или се пресичат в една точка, или се пресичат

паралелен (следва от предишния).

В триизмерното пространство има три варианта за взаимното разположение на две линии:

• линиите се пресичат;

• правите линии са успоредни;

• пресичат се прави линии.

Направо линия- алгебрична крива от първи ред: в декартова координатна система, права линия

се дава на равнината чрез уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнение на права линия.

Определение. Всяка права в равнината може да бъде дадена чрез уравнение от първи ред

Ah + Wu + C = 0,

и постоянна А, Бне е равно на нула в същото време. Това уравнение от първи ред се нарича общ

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, Би ОТВъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- линията минава през началото

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Чрез + C = 0)- права линия, успоредна на оста о

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU

. B = C = 0, A ≠ 0- линията съвпада с оста OU

. A = C = 0, B ≠ 0- линията съвпада с оста о

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от всяка даденост

начални условия.

Уравнение на права чрез точка и нормален вектор.

Определение. В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярна на правата, дадена от уравнението

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка A(1, 2)перпендикулярен на вектора (3, -1).

Решение. Нека съставим при A \u003d 3 и B \u003d -1 уравнението на правата линия: 3x - y + C \u003d 0. За да намерим коефициента C

заместваме в получения израз координатите на дадената точка А. Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно

C = -1. Общо: желаното уравнение: 3x - y - 1 \u003d 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1, y 1, z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2),тогава уравнение на права линия,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На

равнина, уравнението на права линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1 ≠ x 2и x = x 1, ако x 1 = x 2 .

Фракция = kНаречен фактор на наклона прав.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права чрез точка и наклон.

Ако общото уравнение на права линия Ah + Wu + C = 0доведе до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се нарича

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права линия върху точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задачата

права линия през точка и насочващ вектор на права линия.

Определение. Всеки ненулев вектор (α 1, α 2), чиито компоненти отговарят на условието

Aα 1 + Bα 2 = 0Наречен вектор на посоката на правата линия.

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точка A(1, 2).

Решение. Ще търсим уравнението на желаната права линия във вида: Ax + By + C = 0.Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на права линия има формата: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

при x=1, y=2получаваме C/ A = -3, т.е. желано уравнение:

x + y - 3 = 0

Уравнение на права линия в отсечки.

Ако в общото уравнение на правата Ah + Wu + C = 0 C≠0, тогава, разделяйки на -C, получаваме:

или къде

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

права с ос оа b- координатата на пресечната точка на линията с оста OU.

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права линия в сегменти.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако и двете страни на уравнението Ah + Wu + C = 0разделяне на число , което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на права линия.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0.

Р- дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата,

а φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста о

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия 12x - 5y - 65 = 0. Изисква се за писане на различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права линия в сегменти:

Уравнението на тази права с наклон: (раздели на 5)

Уравнение на права линия:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; р=5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгъл между прави в равнина.

Определение. Ако са дадени два реда y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези прави

ще се определи като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две линии са перпендикулярни

ако k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорема.

Директен Ah + Wu + C = 0и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0са успоредни, когато коефициентите са пропорционални

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ако също С 1 \u003d λС, тогава линиите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка, е перпендикулярна на дадена права.

Определение. Права, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярна на правата y = kx + b

представено от уравнението:

Разстоянието от точка до права.

Теорема. Ако се даде точка M(x 0, y 0),след това разстоянието до линията Ah + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляра, паднал от точката Мза даденост

директен. След това разстоянието между точките Ми М 1:

(1)

Координати х 1и 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно

дадена линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Тази статия разкрива извеждането на уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система, разположена в равнина. Извеждаме уравнението на права, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система. Нагледно ще покажем и решим няколко примера, свързани с преминатия материал.

Преди да се получи уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки, е необходимо да се обърне внимание на някои факти. Има аксиома, която казва, че през две несъвпадащи точки на равнина е възможно да се начертае права линия и само една. С други думи, две дадени точки от равнината се определят от права линия, минаваща през тези точки.

Ако равнината е дадена от правоъгълната координатна система Oxy, тогава всяка права линия, изобразена в нея, ще съответства на уравнението на правата линия в равнината. Има връзка и с насочващия вектор на правата.Тези данни са достатъчни, за да се състави уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки.

Помислете за пример за решаване на подобен проблем. Необходимо е да се състави уравнението на права линия a, минаваща през две несъответстващи точки M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2), разположени в декартовата координатна система.

В каноничното уравнение на права линия в равнина, имащо формата x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , правоъгълна координатна система O x y е посочена с права линия, която се пресича с нея в точка с координати M 1 (x 1, y 1) с водещ вектор a → = (a x , a y) .

Необходимо е да се състави каноничното уравнение на правата a, която ще минава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) .

Правата a има насочващ вектор M 1 M 2 → с координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1), тъй като пресича точките M 1 и M 2. Получихме необходимите данни, за да трансформираме каноничното уравнение с координатите на насочващия вектор M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) и координатите на точките M 1, лежащи върху тях (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) . Получаваме уравнение във формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Разгледайте фигурата по-долу.

Следвайки изчисленията, записваме параметричните уравнения на права линия в равнина, която минава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) . Получаваме уравнение под формата x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ или x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Нека разгледаме по-подробно няколко примера.

Пример 1

Напишете уравнението на права линия, минаваща през 2 дадени точки с координати M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Решение

Каноничното уравнение за права линия, пресичаща се в две точки с координати x 1, y 1 и x 2, y 2, приема формата x-x 1 x 2-x 1 = y-y 1 y 2-y 1. Според условието на задачата имаме, че x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Необходимо е да се заменят цифровите стойности в уравнението x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . От тук получаваме, че каноничното уравнение ще приеме формата x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Отговор: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ако е необходимо да се реши проблем с различен тип уравнение, тогава за начало можете да отидете на каноничното, тъй като е по-лесно да стигнете до всяко друго от него.

Пример 2

Съставете общото уравнение на права линия, минаваща през точки с координати M 1 (1, 1) и M 2 (4, 2) в координатната система O x y.

Решение

Първо трябва да напишете каноничното уравнение на дадена права, която минава през дадените две точки. Получаваме уравнение във формата x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Привеждаме каноничното уравнение до желаната форма, след което получаваме:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Отговор: x - 3 y + 2 = 0 .

Примери за такива задачи бяха разгледани в училищните учебници в часовете по алгебра. Училищните задачи се различаваха по това, че беше известно уравнението на права линия с коефициент на наклон, имащо формата y \u003d k x + b. Ако трябва да намерите стойността на наклона k и числото b, при което уравнението y \u003d k x + b определя линия в системата O x y, която минава през точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) , където x 1 ≠ x 2 . Когато x 1 = x 2 , тогава наклонът приема стойността на безкрайност и правата линия M 1 M 2 се определя от общо непълно уравнение под формата x - x 1 = 0 .

Тъй като точките М 1и М 2са на права линия, тогава техните координати удовлетворяват уравнението y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b. Необходимо е да се реши системата от уравнения y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b по отношение на k и b.

За да направим това, намираме k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

С такива стойности на k и b, уравнението на права линия, минаваща през дадени две точки, приема следната форма y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Запомнянето на такъв огромен брой формули наведнъж няма да работи. За да направите това, е необходимо да увеличите броя на повторенията при решаването на задачи.

Пример 3

Напишете уравнението на права линия с наклон, минаваща през точки с координати M 2 (2, 1) и y = k x + b.

Решение

За да разрешим проблема, използваме формула с наклон, който има формата y \u003d k x + b. Коефициентите k и b трябва да приемат такава стойност, че това уравнение да съответства на права линия, минаваща през две точки с координати M 1 (- 7 , - 5) и M 2 (2 , 1) .

точки М 1и М 2разположени на права линия, тогава техните координати трябва да обърнат уравнението y = k x + b правилното равенство. От тук получаваме, че - 5 = k · (- 7) + b и 1 = k · 2 + b. Нека комбинираме уравнението в системата - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и да решим.

При заместване получаваме това

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Сега стойностите k = 2 3 и b = - 1 3 се заместват в уравнението y = k x + b. Получаваме, че желаното уравнение, минаващо през дадените точки, ще бъде уравнение, което има формата y = 2 3 x - 1 3 .

Този начин на решаване предопределя изразходването на голямо количество време. Има начин, при който задачата се решава буквално на две стъпки.

Записваме каноничното уравнение на права линия, минаваща през M 2 (2, 1) и M 1 (- 7, - 5) , имаща формата x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Сега нека преминем към уравнението на наклона. Получаваме, че: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Отговор: y = 2 3 x - 1 3 .

Ако в тримерното пространство има правоъгълна координатна система O x y z с две дадени несъвпадащи точки с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), то права линия M, минаваща през тях 1 M 2 , е необходимо да се получи уравнението на тази линия.

Имаме, че каноничните уравнения от формата x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z и параметричните уравнения от формата x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ могат да задават линия в координатната система O x y z, минаваща през точки с координати (x 1, y 1, z 1) с насочващ вектор a → = (a x, a y, a z) .

Прав M 1 M 2 има насочващ вектор под формата M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , където правата минава през точката M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), следователно каноничното уравнение може да бъде във формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, от своя страна параметрични x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Помислете за фигура, която показва 2 дадени точки в пространството и уравнението на права линия.

Пример 4

Напишете уравнението на права линия, дефинирана в правоъгълна координатна система O x y z на тримерното пространство, минаваща през дадените две точки с координати M 1 (2, - 3, 0) и M 2 (1, - 3, - 5) ) .

Решение

Трябва да намерим каноничното уравнение. Тъй като говорим за триизмерно пространство, това означава, че когато права линия минава през дадени точки, желаното канонично уравнение ще приеме формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

По условие имаме, че x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. От това следва, че необходимите уравнения могат да бъдат записани, както следва:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Отговор: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter