পাটিগণিতের অগ্রগতি a n. পাটিগণিতের অগ্রগতি

চিত্রকলা এবং কবিতার মতো গণিতের নিজস্ব সৌন্দর্য রয়েছে।

রাশিয়ান বিজ্ঞানী, মেকানিক এন.ই. ঝুকভস্কি

গণিতের প্রবেশিকা পরীক্ষায় খুব সাধারণ কাজগুলি একটি গাণিতিক অগ্রগতির ধারণার সাথে সম্পর্কিত কাজ। এই জাতীয় সমস্যাগুলি সফলভাবে সমাধান করার জন্য, একটি গাণিতিক অগ্রগতির বৈশিষ্ট্যগুলি ভালভাবে জানা এবং তাদের প্রয়োগে নির্দিষ্ট দক্ষতা থাকা প্রয়োজন।

আসুন প্রথমে একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি স্মরণ করি এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্রগুলি উপস্থাপন করি, এই ধারণার সাথে যুক্ত।

সংজ্ঞা। সংখ্যাসূচক ক্রম, যেখানে প্রতিটি পরবর্তী পদ একই সংখ্যা দ্বারা পূর্ববর্তী একটি থেকে পৃথক, একটি গাণিতিক অগ্রগতি বলা হয়। একই সময়ে, সংখ্যাঅগ্রগতি পার্থক্য বলা হয়।

একটি গাণিতিক অগ্রগতির জন্য, সূত্রগুলি বৈধ

, (1)

কোথায় . সূত্র (1) একটি গাণিতিক অগ্রগতির সাধারণ শব্দের সূত্র বলা হয়, এবং সূত্র (2) একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রধান সম্পত্তি: অগ্রগতির প্রতিটি সদস্য তার প্রতিবেশী সদস্যদের গাণিতিক গড় এবং .

উল্লেখ্য যে এই বৈশিষ্ট্যটির কারণেই বিবেচনাধীন অগ্রগতিকে "পাটিগণিত" বলা হয়।

উপরের সূত্রগুলি (1) এবং (2) নিম্নরূপ সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে:

(3)

যোগফল নির্ণয় করতেপ্রথম একটি গাণিতিক অগ্রগতির সদস্যসূত্র সাধারণত ব্যবহৃত হয়

(5) কোথায় এবং .

যদি আমরা সূত্রটি বিবেচনা করি (1), তারপর সূত্র (5) বোঝায়

যদি আমরা মনোনীত করি

কোথায় . যেহেতু , তারপর সূত্র (7) এবং (8) সংশ্লিষ্ট সূত্র (5) এবং (6) এর একটি সাধারণীকরণ।

নির্দিষ্টভাবে , সূত্র (5) থেকে এটি অনুসরণ করে, কি

বেশিরভাগ ছাত্রদের কাছে অল্প-পরিচিত একটি পাটিগণিতের অগ্রগতির বৈশিষ্ট্য, যা নিম্নলিখিত উপপাদ্যের মাধ্যমে প্রণয়ন করা হয়।

উপপাদ্য।যদি, তাহলে

প্রমাণ।যদি, তাহলে

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

উদাহরণ স্বরূপ , উপপাদ্য ব্যবহার করে, এটা দেখানো যেতে পারে যে

আসুন "পাটিগণিতের অগ্রগতি" বিষয়ে সমস্যা সমাধানের সাধারণ উদাহরণগুলির বিবেচনায় এগিয়ে যাই।

উদাহরণ 1যাক এবং. অনুসন্ধান .

সমাধান।সূত্র প্রয়োগ করে (6), আমরা প্রাপ্ত করি। যেহেতু এবং , তারপর বা .

উদাহরণ 2আরও তিনগুণ ধরুন, এবং ভাগফলের দ্বারা ভাগ করলে, এটি 2 হয়ে যায় এবং অবশিষ্টটি 8 হয়। নির্ধারণ করুন এবং।

সমাধান।উদাহরণের শর্ত থেকে সমীকরণের সিস্টেম অনুসরণ করে

যেহেতু , , এবং , তারপর সমীকরণের সিস্টেম থেকে (10) আমরা পাই

এই সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান হল এবং .

উদাহরণ 3যদি এবং খুঁজুন.

সমাধান।সূত্র (5) অনুসারে, আমাদের আছে বা . যাইহোক, সম্পত্তি ব্যবহার করে (9), আমরা প্রাপ্ত.

যেহেতু এবং , তারপর সমতা থেকে সমীকরণ অনুসরণ করেঅথবা

উদাহরণ 4যদি খুঁজুন.

সমাধান।সূত্র দ্বারা (5) আমরা আছে

তবে উপপাদ্য ব্যবহার করে কেউ লিখতে পারে

এখান থেকে এবং সূত্র থেকে (11) আমরা প্রাপ্ত করি।

উদাহরণ 5. দেওয়া:. অনুসন্ধান .

সমাধান।তখন থেকে . যাইহোক, তাই.

উদাহরণ 6যাক, এবং. অনুসন্ধান .

সমাধান।সূত্র ব্যবহার করে (9), আমরা প্রাপ্ত। অতএব, যদি, তারপর বা।

যেহেতু এবং তাহলে এখানে আমাদের সমীকরণের একটি সিস্টেম আছে

যা সমাধান, আমরা পেতে এবং .

সমীকরণের প্রাকৃতিক মূলহয়

উদাহরণ 7যদি এবং খুঁজুন.

সমাধান।যেহেতু সূত্র (3) অনুসারে আমাদের কাছে আছে, তাহলে সমীকরণের সিস্টেমটি সমস্যার অবস্থা থেকে অনুসরণ করে

আমরা যদি অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করিসিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণে, তারপর আমরা পেতে বা.

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলগুলি হলএবং .

আসুন দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক।

1. যাক, তারপর. তারপর থেকে এবং

এই ক্ষেত্রে, সূত্র অনুযায়ী (6), আমরা আছে

2. যদি, তারপর, এবং

উত্তর: এবং।

উদাহরণ 8জানা গেছে যে ও অনুসন্ধান .

সমাধান।সূত্র (5) এবং উদাহরণের শর্ত বিবেচনা করে, আমরা লিখি এবং .

এটি সমীকরণের সিস্টেমকে বোঝায়

যদি আমরা সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটিকে 2 দ্বারা গুণ করি এবং তারপরে এটিকে দ্বিতীয় সমীকরণে যোগ করি, আমরা পাব

সূত্র (9) অনুসারে, আমাদের আছে. এই সংযোগে, (12) থেকে এটি অনুসরণ করেঅথবা

তারপর থেকে এবং

উত্তর: .

উদাহরণ 9যদি এবং খুঁজুন.

সমাধান।যেহেতু, এবং শর্ত অনুসারে, তারপর বা।

সূত্র (5) থেকে এটি জানা যায়, কি . তখন থেকে .

অতএব , এখানে আমাদের রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম আছে

এখান থেকে আমরা পাই এবং . হিসাব সূত্রে (8), আমরা লিখি।

উদাহরণ 10সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান।এটি প্রদত্ত সমীকরণ থেকে অনুসরণ করে যে . ধরা যাক যে, , এবং . এক্ষেত্রে .

সূত্র (1) অনুসারে, আমরা লিখতে পারি বা .

যেহেতু, সমীকরণ (13) এর একটি অনন্য উপযুক্ত মূল রয়েছে।

উদাহরণ 11।প্রদত্ত সর্বোচ্চ মান খুঁজুন এবং .

সমাধান।তারপর থেকে বিবেচিত পাটিগণিতের অগ্রগতি হ্রাস পাচ্ছে। এই বিষয়ে, অভিব্যক্তিটি সর্বাধিক মান গ্রহণ করে যখন এটি অগ্রগতির সর্বনিম্ন ইতিবাচক সদস্যের সংখ্যা হয়।

আমরা সূত্র (1) এবং ঘটনা ব্যবহার করি, যা এবং . তারপর আমরা যে পেতে বা.

কারণ, তারপর বা . তবে এই বৈষম্যের মধ্যে ডবৃহত্তম প্রাকৃতিক সংখ্যা, এই জন্য .

যদি মানগুলি, এবং সূত্র (6) এ প্রতিস্থাপিত হয়, তাহলে আমরা পাব।

উত্তর: .

উদাহরণ 12।সমস্ত দুই-অঙ্কের স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় করুন যেগুলিকে 6 দ্বারা ভাগ করলে 5 অবশিষ্ট থাকে।

সমাধান।সমস্ত দ্বি-মূল্যবান প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট দ্বারা চিহ্নিত করুন, যেমন . এর পরে, আমরা সেটের সেই উপাদানগুলি (সংখ্যা) নিয়ে একটি উপসেট তৈরি করি যেটিকে, যখন 6 নম্বর দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন অবশিষ্ট 5 দেয়।

ইনস্টল করা সহজ, কি . স্পষ্টতই, যে সেট উপাদানএকটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করুন, যা এবং .

সেটের মূলত্ব (উপাদানের সংখ্যা) নির্ধারণ করতে, আমরা ধরে নিই যে। যেহেতু এবং , তারপর সূত্র (1) বোঝায় বা। অ্যাকাউন্ট সূত্র (5) গ্রহণ করে, আমরা প্রাপ্ত।

সমস্যা সমাধানের উপরোক্ত উদাহরণগুলো কোনোভাবেই সম্পূর্ণ বলে দাবি করতে পারে না। এই নিবন্ধটি একটি প্রদত্ত বিষয়ে সাধারণ সমস্যা সমাধানের জন্য আধুনিক পদ্ধতির বিশ্লেষণের ভিত্তিতে লেখা হয়েছে। গাণিতিক অগ্রগতি সম্পর্কিত সমস্যাগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলির গভীর অধ্যয়নের জন্য, সুপারিশকৃত সাহিত্যের তালিকাটি উল্লেখ করার পরামর্শ দেওয়া হয়।

1. কারিগরি বিশ্ববিদ্যালয়/এড-এ আবেদনকারীদের জন্য গণিতে কাজের সংগ্রহ। এম.আই. স্ক্যানভি। - এম।: বিশ্ব এবং শিক্ষা, 2013। - 608 পি।

2. Suprun V.P. উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য গণিত: স্কুল পাঠ্যক্রমের অতিরিক্ত বিভাগ। - এম.: লেনান্ড / ইউআরএসএস, 2014। - 216 পি।

3. মেডিনস্কি এম.এম. কাজ এবং অনুশীলনে প্রাথমিক গণিতের একটি সম্পূর্ণ কোর্স। বই 2: সংখ্যা ক্রম এবং অগ্রগতি. - এম.: সম্পাদনা, 2015। - 208 পি।

আপনি কি কিছু জানতে চান?

একজন গৃহশিক্ষকের সাহায্য পেতে - নিবন্ধন করুন।

সাইটে, উপাদানের সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

কেউ "প্রগতি" শব্দটিকে সতর্কতার সাথে ব্যবহার করেন, উচ্চতর গণিতের বিভাগগুলি থেকে একটি খুব জটিল শব্দ হিসাবে। এদিকে, সবচেয়ে সহজ গাণিতিক অগ্রগতি হল ট্যাক্সি কাউন্টারের কাজ (যেখানে তারা এখনও থাকে)। এবং কিছু প্রাথমিক ধারণা বিশ্লেষণ করে একটি গাণিতিক অনুক্রমের সারমর্ম বোঝা (এবং গণিতে "সার বোঝার" চেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কিছু নেই) এতটা কঠিন নয়।

গাণিতিক সংখ্যা ক্রম

একটি সাংখ্যিক ক্রমকে সংখ্যার একটি সিরিজ বলা প্রথাগত, যার প্রত্যেকটির নিজস্ব সংখ্যা রয়েছে।

এবং 1 হল ক্রমটির প্রথম সদস্য;

এবং 2 হল অনুক্রমের দ্বিতীয় সদস্য;

এবং 7 হল অনুক্রমের সপ্তম সদস্য;

এবং n হল ক্রমটির তম সদস্য;

যাইহোক, পরিসংখ্যান এবং সংখ্যার কোন নির্বিচারে সেট আমাদের আগ্রহী নয়। আমরা একটি সাংখ্যিক অনুক্রমের উপর আমাদের মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করব যেখানে n-তম সদস্যের মান একটি নির্ভরতার দ্বারা তার অর্ডিনাল সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত যা স্পষ্টভাবে গাণিতিকভাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে। অন্য কথায়: nম সংখ্যার সাংখ্যিক মান হল n-এর কিছু ফাংশন।

a - সাংখ্যিক অনুক্রমের সদস্যের মান;

n হল এর ক্রমিক নম্বর;

f(n) হল একটি ফাংশন যেখানে সাংখ্যিক ক্রম n এর অর্ডিনাল হল আর্গুমেন্ট।

সংজ্ঞা

একটি গাণিতিক অগ্রগতি সাধারণত একটি সংখ্যাসূচক ক্রম বলা হয় যেখানে প্রতিটি পরবর্তী পদ একই সংখ্যা দ্বারা আগেরটির চেয়ে বড় (কম) হয়। একটি গাণিতিক অনুক্রমের তম সদস্যের সূত্রটি নিম্নরূপ:

a n - গাণিতিক অগ্রগতির বর্তমান সদস্যের মান;

a n+1 - পরবর্তী সংখ্যার সূত্র;

d - পার্থক্য (একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা)।

এটা নির্ধারণ করা সহজ যে যদি পার্থক্যটি ইতিবাচক হয় (d>0), তাহলে বিবেচনাধীন সিরিজের প্রতিটি পরবর্তী সদস্য পূর্ববর্তীটির চেয়ে বেশি হবে এবং এই ধরনের একটি গাণিতিক অগ্রগতি বৃদ্ধি পাবে।

নীচের গ্রাফে, সংখ্যা ক্রমটিকে কেন "বৃদ্ধি" বলা হয় তা সহজেই দেখা যায়।

যে ক্ষেত্রে পার্থক্য নেতিবাচক (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

নির্দিষ্ট সদস্যের মান

কখনও কখনও এটি একটি গাণিতিক অগ্রগতির কিছু নির্বিচারে শব্দ a n এর মান নির্ধারণ করা প্রয়োজন। আপনি পাটিগণিতের অগ্রগতির প্রথম থেকে পছন্দসই একটি পর্যন্ত ক্রমাগতভাবে সমস্ত সদস্যের মান গণনা করে এটি করতে পারেন। যাইহোক, এই পথটি সর্বদা গ্রহণযোগ্য নয় যদি, উদাহরণস্বরূপ, পাঁচ হাজারতম বা আট মিলিয়নতম পদের মান খুঁজে বের করা প্রয়োজন। গতানুগতিক হিসাব করতে অনেক সময় লাগবে। যাইহোক, নির্দিষ্ট সূত্র ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক অগ্রগতি তদন্ত করা যেতে পারে। nম পদের জন্যও একটি সূত্র রয়েছে: একটি গাণিতিক অগ্রগতির যে কোনও সদস্যের মান অগ্রগতির পার্থক্যের সাথে অগ্রগতির প্রথম সদস্যের যোগফল হিসাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে, পছন্দসই সদস্যের সংখ্যা দ্বারা গুণ করে, বিয়োগ এক। .

অগ্রগতি বৃদ্ধি এবং হ্রাসের জন্য সূত্রটি সর্বজনীন।

প্রদত্ত সদস্যের মান গণনার একটি উদাহরণ

একটি গাণিতিক অগ্রগতির n-তম সদস্যের মান খুঁজে বের করার নিম্নলিখিত সমস্যাটি সমাধান করা যাক।

শর্ত: পরামিতি সহ একটি গাণিতিক অগ্রগতি রয়েছে:

অনুক্রমের প্রথম সদস্য হল 3;

সংখ্যা সিরিজের পার্থক্য হল 1.2।

টাস্ক: 214টি পদের মান খুঁজে বের করা প্রয়োজন

সমাধান: একটি প্রদত্ত সদস্যের মান নির্ধারণ করতে, আমরা সূত্র ব্যবহার করি:

a(n) = a1 + d(n-1)

এক্সপ্রেশনে সমস্যা বিবৃতি থেকে ডেটা প্রতিস্থাপন করে, আমাদের আছে:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

উত্তর: অনুক্রমের 214 তম সদস্য 258.6 এর সমান।

এই গণনা পদ্ধতির সুবিধাগুলি সুস্পষ্ট - সম্পূর্ণ সমাধানটি 2 লাইনের বেশি লাগে না।

প্রদত্ত সদস্য সংখ্যার সমষ্টি

খুব প্রায়ই, একটি প্রদত্ত পাটিগণিত সিরিজে, এটির কিছু অংশের মানের সমষ্টি নির্ধারণ করতে হয়। এটি প্রতিটি পদের মান গণনা করার এবং তারপর তাদের যোগ করার প্রয়োজন নেই। এই পদ্ধতিটি প্রযোজ্য যদি পদগুলির সংখ্যা যার যোগফল অবশ্যই ছোট হয়। অন্যান্য ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক।

1 থেকে n পর্যন্ত একটি গাণিতিক অগ্রগতির সদস্যদের যোগফল প্রথম এবং ণম সদস্যের যোগফলের সমান, সদস্য সংখ্যা n দ্বারা গুণ করে এবং দুই দ্বারা ভাগ করা হয়। যদি সূত্রে n-তম সদস্যের মান নিবন্ধের পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, আমরা পাই:

গণনার উদাহরণ

উদাহরণস্বরূপ, আসুন নিম্নলিখিত শর্তগুলির সাথে একটি সমস্যা সমাধান করি:

অনুক্রমের প্রথম পদটি শূন্য;

পার্থক্য 0.5।

সমস্যায়, 56 থেকে 101 পর্যন্ত সিরিজের পদগুলির যোগফল নির্ধারণ করতে হবে।

সমাধান। চলুন অগ্রগতির যোগফল নির্ণয়ের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করা যাক:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

প্রথমত, আমরা আমাদের সমস্যার প্রদত্ত শর্তগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করে অগ্রগতির 101 জন সদস্যের মানের সমষ্টি নির্ধারণ করি:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

স্পষ্টতই, 56 তম থেকে 101 তম অগ্রগতির পদগুলির যোগফল খুঁজে বের করার জন্য, S 101 থেকে S 55 বিয়োগ করা প্রয়োজন।

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

সুতরাং এই উদাহরণের জন্য গাণিতিক অগ্রগতির যোগফল হল:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

গাণিতিক অগ্রগতির ব্যবহারিক প্রয়োগের উদাহরণ

নিবন্ধের শেষে, প্রথম অনুচ্ছেদে দেওয়া পাটিগণিত ক্রমটির উদাহরণে ফিরে আসা যাক - একটি ট্যাক্সিমিটার (ট্যাক্সি গাড়ির মিটার)। আসুন যেমন একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।

একটি ট্যাক্সিতে উঠতে (যার মধ্যে 3 কিমি) 50 রুবেল খরচ হয়। প্রতিটি পরবর্তী কিলোমিটার 22 রুবেল / কিমি হারে প্রদান করা হয়। ভ্রমণের দূরত্ব 30 কিমি। ভ্রমণের খরচ গণনা করুন।

1. প্রথম 3 কিমি বাদ দেওয়া যাক, যার মূল্য অবতরণ খরচ অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।

30 - 3 = 27 কিমি।

2. আরও গণনা একটি গাণিতিক সংখ্যা সিরিজ পার্সিং ছাড়া আর কিছুই নয়।

সদস্য সংখ্যা হল ভ্রমণ করা কিলোমিটারের সংখ্যা (প্রথম তিনটি বিয়োগ)।

সদস্যের মান হল সমষ্টি।

এই সমস্যার প্রথম পদটি 1 = 50 রুবেলের সমান হবে।

অগ্রগতির পার্থক্য d = 22 p.

আমাদের কাছে আগ্রহের সংখ্যা - পাটিগণিতের অগ্রগতির (27 + 1)তম সদস্যের মান - 27 তম কিলোমিটারের শেষে মিটার রিডিং - 27.999 ... = 28 কিমি।

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

নির্বিচারে দীর্ঘ সময়ের জন্য ক্যালেন্ডার ডেটার গণনা নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক ক্রম বর্ণনাকারী সূত্রের উপর ভিত্তি করে। জ্যোতির্বিজ্ঞানে, কক্ষপথের দৈর্ঘ্য জ্যামিতিকভাবে মহাকাশীয় দেহের দূরত্বের উপর নির্ভর করে। এছাড়াও, পরিসংখ্যান এবং গণিতের অন্যান্য ফলিত শাখায় বিভিন্ন সংখ্যাসূচক সিরিজ সফলভাবে ব্যবহৃত হয়।

আর এক ধরনের সংখ্যা ক্রম হল জ্যামিতিক

একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি একটি বড় দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, একটি পাটিগণিতের সাথে তুলনা করে, পরিবর্তনের হার। এটা কোন কাকতালীয় ঘটনা নয় যে রাজনীতি, সমাজবিজ্ঞান, চিকিৎসাশাস্ত্রে, প্রায়শই, একটি নির্দিষ্ট ঘটনার বিস্তারের উচ্চ গতি দেখানোর জন্য, উদাহরণস্বরূপ, একটি মহামারীর সময় একটি রোগ, তারা বলে যে প্রক্রিয়াটি দ্রুত বিকাশ লাভ করে।

জ্যামিতিক সংখ্যা সিরিজের N-তম সদস্যটি আগেরটির থেকে আলাদা যে এটিকে কিছু ধ্রুবক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় - হর, উদাহরণস্বরূপ, প্রথম সদস্যটি 1, হরটি যথাক্রমে 2, তারপর:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - জ্যামিতিক অগ্রগতির বর্তমান সদস্যের মান;

b n+1 - জ্যামিতিক অগ্রগতির পরবর্তী সদস্যের সূত্র;

q হল একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির হর (ধ্রুবক সংখ্যা)।

যদি একটি গাণিতিক অগ্রগতির গ্রাফটি একটি সরল রেখা হয়, তবে জ্যামিতিকটি একটি সামান্য ভিন্ন চিত্র আঁকে:

পাটিগণিতের ক্ষেত্রে যেমন, একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির একটি নির্বিচার সদস্যের মানের জন্য একটি সূত্র রয়েছে। জ্যামিতিক অগ্রগতির যেকোন n-তম পদ প্রথম পদের গুণফলের সমান এবং n-এর ঘাতে অগ্রগতির হর এক দ্বারা কমানো হয়:

উদাহরণ। আমাদের একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি রয়েছে যার প্রথম পদটি 3 এর সমান এবং অগ্রগতির হর 1.5 এর সমান। অগ্রগতির 5 তম মেয়াদ খুঁজুন

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

প্রদত্ত সদস্য সংখ্যার যোগফলও একটি বিশেষ সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়। একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির প্রথম n সদস্যের যোগফল অগ্রগতির nম সদস্য এবং এর হর এবং অগ্রগতির প্রথম সদস্যের গুণফলের মধ্যে পার্থক্যের সমান, হরকে এক দ্বারা বিভক্ত করে:

উপরের আলোচিত সূত্রটি ব্যবহার করে b n প্রতিস্থাপিত হলে, বিবেচিত সংখ্যা সিরিজের প্রথম n সদস্যদের যোগফলের মান ফর্মটি গ্রহণ করবে:

উদাহরণ। জ্যামিতিক অগ্রগতি 1 এর সমান প্রথম পদ দিয়ে শুরু হয়। হরটি 3 এর সমান সেট করা হয়েছে। আসুন প্রথম আটটি পদের যোগফল বের করা যাক।

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

ঠিক আছে, বন্ধুরা, আপনি যদি এই লেখাটি পড়ছেন, তাহলে অভ্যন্তরীণ ক্যাপ প্রমাণ আমাকে বলে যে আপনি এখনও জানেন না যে একটি গাণিতিক অগ্রগতি কী, তবে আপনি সত্যিই (না, এর মতো: SOOOOO!) জানতে চান। অতএব, আমি আপনাকে দীর্ঘ ভূমিকা দিয়ে যন্ত্রণা দেব না এবং অবিলম্বে ব্যবসায় নামব।

শুরু করার জন্য, কয়েকটি উদাহরণ। সংখ্যার কয়েকটি সেট বিবেচনা করুন:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

এই সব সেট কি মিল আছে? প্রথম নজরে, কিছুই না। কিন্তু আসলে কিছু আছে. যথা: প্রতিটি পরবর্তী উপাদান একই সংখ্যা দ্বারা পূর্ববর্তী এক থেকে পৃথক.

নিজের জন্য বিচার করুন। প্রথম সেটটি কেবল পরপর সংখ্যা, প্রতিটি আগেরটির চেয়ে বেশি। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, সন্নিহিত সংখ্যাগুলির মধ্যে পার্থক্য ইতিমধ্যে পাঁচের সমান, কিন্তু এই পার্থক্যটি এখনও স্থির। তৃতীয় ক্ষেত্রে, সাধারণভাবে শিকড় রয়েছে। যাইহোক, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, যখন $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, যেমন যে ক্ষেত্রে প্রতিটি পরবর্তী উপাদান কেবল $\sqrt(2)$ দ্বারা বৃদ্ধি পায় (এবং ভয় পাবেন না যে এই সংখ্যাটি অযৌক্তিক)।

তাই: এই ধরনের সমস্ত ক্রমকে শুধু গাণিতিক অগ্রগতি বলা হয়। আসুন একটি কঠোর সংজ্ঞা দেওয়া যাক:

সংজ্ঞা। সংখ্যার একটি ক্রম যেখানে প্রতিটি পরেরটি আগের থেকে ঠিক একই পরিমাণে পৃথক হয় তাকে একটি গাণিতিক অগ্রগতি বলা হয়। সংখ্যাগুলি যে পরিমাণে পার্থক্য করে তাকে অগ্রগতি পার্থক্য বলা হয় এবং প্রায়শই $d$ অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

নোটেশন: $\left(((a)_(n)) \right)$ হল প্রগতি নিজেই, $d$ হল এর পার্থক্য।

এবং শুধুমাত্র গুরুত্বপূর্ণ মন্তব্য একটি দম্পতি. প্রথমত, অগ্রগতি শুধুমাত্র বিবেচনা করা হয় সুশৃঙ্খলসংখ্যার ক্রম: সেগুলি যে ক্রমে লেখা হয়েছে সেই ক্রমে কঠোরভাবে পড়ার অনুমতি রয়েছে - এবং অন্য কিছু নয়। আপনি নম্বর পুনর্বিন্যাস বা অদলবদল করতে পারবেন না।

দ্বিতীয়ত, ক্রম নিজেই সসীম বা অসীম হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সেট (1; 2; 3) স্পষ্টতই একটি সীমাবদ্ধ গাণিতিক অগ্রগতি। কিন্তু যদি আপনি কিছু লিখুন (1; 2; 3; 4; ...) - এটি ইতিমধ্যে একটি অসীম অগ্রগতি। চারটির পরে উপবৃত্ত, যেমনটি ছিল, ইঙ্গিত দেয় যে বেশ অনেক সংখ্যা আরও এগিয়ে যায়। অসীম অনেক, উদাহরণস্বরূপ। :)

আমি আরও লক্ষ্য করতে চাই যে অগ্রগতি বাড়ছে এবং কমছে। আমরা ইতিমধ্যে ক্রমবর্ধমান দেখেছি - একই সেট (1; 2; 3; 4; ...)। এখানে ক্রমবর্ধমান অগ্রগতির উদাহরণ রয়েছে:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ঠিক আছে, ঠিক আছে: শেষ উদাহরণটি অত্যধিক জটিল মনে হতে পারে। কিন্তু বাকিটা, আমি মনে করি, আপনি বুঝতে পেরেছেন। অতএব, আমরা নতুন সংজ্ঞা প্রবর্তন করি:

সংজ্ঞা। একটি গাণিতিক অগ্রগতি বলা হয়:

1. প্রতিটি পরবর্তী উপাদান পূর্ববর্তী একটি থেকে বড় হলে বৃদ্ধি;
2. কমছে, যদি, বিপরীতে, প্রতিটি পরবর্তী উপাদান আগেরটির থেকে কম হয়।

উপরন্তু, তথাকথিত "স্থির" ক্রম রয়েছে - তারা একই পুনরাবৃত্তি সংখ্যা নিয়ে গঠিত। উদাহরণস্বরূপ, (3; 3; 3; ...)।

শুধুমাত্র একটি প্রশ্ন অবশেষ: কিভাবে একটি হ্রাস একটি থেকে একটি ক্রমবর্ধমান অগ্রগতি পার্থক্য? সৌভাগ্যবশত, এখানে সবকিছু নির্ভর করে শুধুমাত্র $d$ সংখ্যার চিহ্নের উপর, অর্থাৎ অগ্রগতির পার্থক্য:

1. যদি $d \gt 0$ হয়, তাহলে অগ্রগতি বাড়ছে;
2. যদি $d \lt 0$ হয়, তবে অগ্রগতি স্পষ্টতই হ্রাস পাচ্ছে;
3. অবশেষে, কেস আছে $d=0$ — এই ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ অগ্রগতি অভিন্ন সংখ্যার একটি স্থির ক্রম-এ হ্রাস করা হয়: (1; 1; 1; 1; ...), ইত্যাদি।

উপরের তিনটি ক্রমহ্রাসমান অগ্রগতির জন্য পার্থক্য $d$ গণনা করার চেষ্টা করা যাক। এটি করার জন্য, যেকোনো দুটি সন্নিহিত উপাদান (উদাহরণস্বরূপ, প্রথম এবং দ্বিতীয়) নেওয়া এবং ডানদিকের সংখ্যা, বাম দিকের সংখ্যা থেকে বিয়োগ করা যথেষ্ট। এটি এই মত দেখাবে:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, তিনটি ক্ষেত্রেই পার্থক্যটি সত্যিই নেতিবাচক হয়ে উঠেছে। এবং এখন যেহেতু আমরা কমবেশি সংজ্ঞাগুলি খুঁজে পেয়েছি, এটি কীভাবে অগ্রগতি বর্ণনা করা হয় এবং তাদের কী বৈশিষ্ট্য রয়েছে তা নির্ধারণ করার সময় এসেছে।

অগ্রগতির সদস্য এবং পুনরাবৃত্ত সূত্র

যেহেতু আমাদের ক্রমগুলির উপাদানগুলিকে আদান-প্রদান করা যায় না, তাই তাদের সংখ্যা করা যেতে পারে:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \right\)\]

এই সেটের পৃথক উপাদানগুলিকে অগ্রগতির সদস্য বলা হয়। তারা একটি সংখ্যার সাহায্যে এইভাবে নির্দেশিত হয়: প্রথম সদস্য, দ্বিতীয় সদস্য, এবং তাই।

উপরন্তু, আমরা ইতিমধ্যে জানি, অগ্রগতির প্রতিবেশী সদস্যরা সূত্র দ্বারা সম্পর্কিত:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

সংক্ষেপে, অগ্রগতির $n$তম পদটি খুঁজে পেতে, আপনাকে $n-1$তম পদ এবং $d$ পার্থক্য জানতে হবে। এই জাতীয় সূত্রকে পুনরাবৃত্ত বলা হয়, কারণ এর সাহায্যে আপনি যে কোনও সংখ্যা খুঁজে পেতে পারেন, কেবলমাত্র পূর্ববর্তীটি (এবং প্রকৃতপক্ষে, সমস্ত পূর্ববর্তীগুলি) জেনে। এটি খুবই অসুবিধাজনক, তাই একটি আরও জটিল সূত্র রয়েছে যা যেকোনো গণনাকে প্রথম মেয়াদে এবং পার্থক্য কমিয়ে দেয়:

\[(a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

আপনি সম্ভবত আগে এই সূত্র জুড়ে এসেছেন. তারা এটি সব ধরণের রেফারেন্স বই এবং রেশবনিকগুলিতে দিতে পছন্দ করে। এবং গণিতের উপর যেকোন সংবেদনশীল পাঠ্যপুস্তকে, এটি প্রথমগুলির মধ্যে একটি।

যাইহোক, আমি আপনাকে একটু অনুশীলন করার পরামর্শ দিই।

টাস্ক নম্বর 1। গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম তিনটি পদ লিখুন $\left(((a)_(n)) \right)$ যদি $((a)_(1))=8,d=-5$।

সমাধান। সুতরাং, আমরা প্রথম শব্দটি জানি $((a)_(1))=8$ এবং অগ্রগতির পার্থক্য $d=-5$। আসুন এইমাত্র দেওয়া সূত্রটি ব্যবহার করুন এবং $n=1$, $n=2$ এবং $n=3$ প্রতিস্থাপন করুন:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

উত্তর: (8; 3; -2)

এখানেই শেষ! লক্ষ্য করুন যে আমাদের অগ্রগতি হ্রাস পাচ্ছে।

অবশ্যই, $n=1$ প্রতিস্থাপিত হতে পারে না - আমরা ইতিমধ্যেই প্রথম শব্দটি জানি। যাইহোক, ইউনিট প্রতিস্থাপন করে, আমরা নিশ্চিত করেছি যে এমনকি প্রথম মেয়াদের জন্যও আমাদের সূত্র কাজ করে। অন্যান্য ক্ষেত্রে, সবকিছু সাধারণ পাটিগণিতিতে নেমে এসেছে।

টাস্ক নম্বর 2। একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম তিনটি পদ লিখুন যদি এর সপ্তম পদ −40 হয় এবং সপ্তদশ পদ −50 হয়।

সমাধান। আমরা স্বাভাবিক শর্তাবলীতে সমস্যার শর্ত লিখি:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50।\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \end(সারিবদ্ধ) \right৷\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(সারিবদ্ধ) \ঠিক।\]

আমি সিস্টেমের চিহ্ন রাখলাম কারণ এই প্রয়োজনীয়তাগুলি একই সাথে পূরণ করতে হবে। এবং এখন আমরা লক্ষ্য করি যে যদি আমরা দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণটি বিয়োগ করি (আমাদের এটি করার অধিকার আছে, কারণ আমাদের একটি সিস্টেম আছে), আমরা এটি পাই:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

ঠিক তেমনই, আমরা অগ্রগতির পার্থক্য খুঁজে পেয়েছি! এটি সিস্টেমের যেকোনো সমীকরণে পাওয়া সংখ্যাটিকে প্রতিস্থাপন করতে রয়ে গেছে। উদাহরণস্বরূপ, প্রথমটিতে:

\[\begin(ম্যাট্রিক্স) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34। \\ \end(ম্যাট্রিক্স)\]

এখন, প্রথম পদ এবং পার্থক্য জেনে, এটি দ্বিতীয় এবং তৃতীয় পদ খুঁজে পেতে অবশেষ:

\[\begin(সারিবদ্ধ) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

প্রস্তুত! সমস্যা সমাধান.

উত্তর: (-34; -35; -36)

অগ্রগতির একটি কৌতূহলী বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করুন যা আমরা আবিষ্কার করেছি: যদি আমরা $n$th এবং $m$th পদগুলি গ্রহণ করি এবং তাদের একে অপরের থেকে বিয়োগ করি, তাহলে আমরা অগ্রগতির পার্থক্যটি $n-m$ দ্বারা গুণিত করে পাব:

\[(a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

একটি সহজ কিন্তু খুব দরকারী সম্পত্তি যা আপনার অবশ্যই জানা উচিত - এর সাহায্যে, আপনি অনেক অগ্রগতি সমস্যার সমাধানকে উল্লেখযোগ্যভাবে দ্রুত করতে পারেন। এখানে এটির একটি প্রধান উদাহরণ:

টাস্ক নম্বর 3। পাটিগণিতের অগ্রগতির পঞ্চম পদ হল 8.4, এবং এর দশম পদ হল 14.4। এই অগ্রগতির পঞ্চদশ পদটি খুঁজুন।

সমাধান। যেহেতু $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, এবং আমাদের খুঁজে বের করতে হবে $((a)_(15))$, আমরা নিম্নলিখিত নোট করি:

\[\begin(সারিবদ্ধ) এবং ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

কিন্তু শর্ত অনুসারে $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, তাই $5d=6$, যেখান থেকে আমাদের আছে:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

উত্তর: 20.4

এখানেই শেষ! আমাদের সমীকরণের কোনো সিস্টেম রচনা করার এবং প্রথম পদ এবং পার্থক্য গণনা করার দরকার নেই - সবকিছু মাত্র কয়েক লাইনে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল।

এখন অন্য ধরনের সমস্যা বিবেচনা করা যাক - অগ্রগতির নেতিবাচক এবং ইতিবাচক সদস্যদের জন্য অনুসন্ধান। এটি কোনও গোপন বিষয় নয় যে যদি অগ্রগতি বৃদ্ধি পায়, যখন এটির প্রথম মেয়াদটি নেতিবাচক হয়, তবে শীঘ্র বা পরে ইতিবাচক পদ এতে উপস্থিত হবে। এবং তদ্বিপরীত: ক্রমবর্ধমান অগ্রগতির শর্তগুলি শীঘ্র বা পরে নেতিবাচক হয়ে উঠবে।

একই সময়ে, উপাদানগুলির মাধ্যমে ক্রমানুসারে বাছাই করে "কপালে" এই মুহূর্তটি খুঁজে পাওয়া সর্বদা সম্ভব নয়। প্রায়শই, সমস্যাগুলি এমনভাবে ডিজাইন করা হয় যে সূত্রগুলি না জেনেই, গণনাগুলি বেশ কয়েকটি শীট নেয় - আমরা উত্তর না পাওয়া পর্যন্ত আমরা ঘুমিয়ে পড়তাম। অতএব, আমরা এই সমস্যাগুলি দ্রুত সমাধান করার চেষ্টা করব।

টাস্ক নম্বর 4। একটি গাণিতিক অগ্রগতিতে কত নেতিবাচক পদ -38.5; -35.8; …?

সমাধান। সুতরাং, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, যেখান থেকে আমরা অবিলম্বে পার্থক্য খুঁজে পাই:

উল্লেখ্য যে পার্থক্যটি ইতিবাচক, তাই অগ্রগতি বাড়ছে। প্রথম শব্দটি নেতিবাচক, তাই প্রকৃতপক্ষে কিছু সময়ে আমরা ইতিবাচক সংখ্যাগুলিতে হোঁচট খাব। একমাত্র প্রশ্ন হল কখন এটি ঘটবে।

আসুন খুঁজে বের করার চেষ্টা করি: কতক্ষণ (অর্থাৎ, কোন প্রাকৃতিক সংখ্যা $n$ পর্যন্ত) শর্তগুলির নেতিবাচকতা সংরক্ষণ করা হয়:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ ডান। \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

শেষ লাইনের ব্যাখ্যা প্রয়োজন। তাই আমরা জানি যে $n \lt 15\frac(7)(27)$। অন্যদিকে, সংখ্যাটির শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার মানগুলি আমাদের জন্য উপযুক্ত হবে (এছাড়াও: $n\in \mathbb(N)$), তাই বৃহত্তম অনুমোদিত সংখ্যাটি সঠিকভাবে $n=15$, এবং কোনও ক্ষেত্রেই 16 নয়।

টাস্ক নম্বর 5। গাণিতিক অগ্রগতিতে $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$। এই অগ্রগতির প্রথম ধনাত্মক পদের সংখ্যা নির্ণয় করুন।

এটি আগেরটির মতো ঠিক একই সমস্যা হবে, কিন্তু আমরা $((a)_(1))$ জানি না। কিন্তু প্রতিবেশী পদগুলি পরিচিত: $((a)_(5))$ এবং $((a)_(6))$, তাই আমরা সহজেই অগ্রগতির পার্থক্য খুঁজে পেতে পারি:

উপরন্তু, আসুন মান সূত্র ব্যবহার করে পঞ্চম পদটিকে প্রথম এবং পার্থক্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করার চেষ্টা করি:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এখন আমরা আগের সমস্যার সাথে সাদৃশ্য দিয়ে এগিয়ে যাই। আমাদের অনুক্রমের কোন পয়েন্টে ইতিবাচক সংখ্যাগুলি উপস্থিত হবে তা আমরা খুঁজে পাই:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min))=56. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এই অসমতার ন্যূনতম পূর্ণসংখ্যার সমাধান হল 56 নম্বর।

দয়া করে মনে রাখবেন যে শেষ টাস্কে সবকিছু কঠোর অসমতায় হ্রাস করা হয়েছিল, তাই $n=55$ বিকল্পটি আমাদের জন্য উপযুক্ত হবে না।

এখন যেহেতু আমরা শিখেছি কিভাবে সহজ সমস্যাগুলি সমাধান করতে হয়, আসুন আরও জটিল সমস্যাগুলির দিকে এগিয়ে যাই। তবে প্রথমে, আসুন পাটিগণিতের অগ্রগতির আরেকটি খুব দরকারী বৈশিষ্ট্য শিখি, যা ভবিষ্যতে আমাদের অনেক সময় এবং অসম কোষ বাঁচাবে। :)

পাটিগণিতের গড় এবং সমান ইন্ডেন্ট

ক্রমবর্ধমান গাণিতিক অগ্রগতির কয়েকটি পরপর পদ বিবেচনা করুন $\left(((a)_(n)) \right)$। আসুন একটি সংখ্যা লাইনে তাদের চিহ্নিত করার চেষ্টা করি:

আমি বিশেষভাবে স্বেচ্ছাচারী সদস্যদের উল্লেখ করেছি $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, এবং কোন $((a)_(1)) নয় , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ইত্যাদি। কারণ নিয়ম, যা আমি এখন আপনাকে বলব, যে কোনও "সেগমেন্ট" এর জন্য একই কাজ করে।

আর নিয়মটা খুবই সহজ। আসুন পুনরাবৃত্ত সূত্রটি মনে রাখি এবং সমস্ত চিহ্নিত সদস্যদের জন্য এটি লিখে রাখি:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

যাইহোক, এই সমতা ভিন্নভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আচ্ছা, তাই কি? কিন্তু সত্য যে $((a)_(n-1))$ এবং $((a)_(n+1))$ $((a)_(n)) $ থেকে একই দূরত্বে অবস্থিত . এবং এই দূরত্ব $d$ এর সমান। একই কথা বলা যেতে পারে $((a)_(n-2))$ এবং $((a)_(n+2))$ - এগুলি $((a)_(n) থেকেও সরানো হয়েছে )$ একই দূরত্ব দ্বারা সমান $2d$। আপনি অনির্দিষ্টকালের জন্য চালিয়ে যেতে পারেন, তবে ছবিটি অর্থটি ভালভাবে ব্যাখ্যা করে

এটা আমাদের জন্য কি অর্থ বহন করে? এর মানে হল যে আপনি $((a)_(n))$ খুঁজে পেতে পারেন যদি প্রতিবেশী সংখ্যাগুলি জানা থাকে:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

আমরা একটি দুর্দান্ত বিবৃতি অনুমান করেছি: একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রতিটি সদস্য প্রতিবেশী সদস্যদের পাটিগণিত গড়ের সমান! তাছাড়া, আমরা আমাদের $((a)_(n))$ থেকে বাম এবং ডানে এক ধাপে নয়, $k$ ধাপে বিচ্যুত হতে পারি — এবং তারপরও সূত্রটি সঠিক হবে:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

সেগুলো. আমরা সহজেই কিছু $((a)_(150))$ খুঁজে পেতে পারি যদি আমরা $((a)_(100))$ এবং $((a)_(200))$ জানি, কারণ $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$। প্রথম নজরে, মনে হতে পারে যে এই সত্যটি আমাদের দরকারী কিছু দেয় না। যাইহোক, অনুশীলনে, পাটিগণিত গড় ব্যবহারের জন্য অনেক কাজ বিশেষভাবে "তীক্ষ্ণ" করা হয়। দেখা যাক:

টাস্ক নম্বর 6। $x$ এর সমস্ত মান খুঁজুন যেমন $-6((x)^(2))$, $x+1$ এবং $14+4((x)^(2))$ এর পরপর সদস্য। একটি গাণিতিক অগ্রগতি (নির্দিষ্ট ক্রমে)।

সমাধান। যেহেতু এই সংখ্যাগুলি একটি অগ্রগতির সদস্য, তাই গাণিতিক গড় অবস্থা তাদের জন্য সন্তুষ্ট: কেন্দ্রীয় উপাদান $x+1$ প্রতিবেশী উপাদানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-(x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

ফলাফল হল একটি ক্লাসিক দ্বিঘাত সমীকরণ। এর মূল: $x=2$ এবং $x=-3$ হল উত্তর।

উত্তর:-3; 2.

টাস্ক নম্বর 7। $$ এর মানগুলি খুঁজে বের করুন যাতে $-1;4-3;(()^(2))+1$ একটি গাণিতিক অগ্রগতি তৈরি করে (সেই ক্রমে)।

সমাধান। আবার, আমরা প্রতিবেশী পদগুলির গাণিতিক গড়ের পরিপ্রেক্ষিতে মধ্যবর্তী শব্দটিকে প্রকাশ করি:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\ right.; \\ & 8x-6=(x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আরেকটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এবং আবার দুটি মূল: $x=6$ এবং $x=1$।

উত্তর 1; 6.

যদি কোনও সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়ায় আপনি কিছু নৃশংস সংখ্যা পান, বা আপনি পাওয়া উত্তরগুলির সঠিকতা সম্পর্কে সম্পূর্ণরূপে নিশ্চিত না হন, তবে একটি দুর্দান্ত কৌশল রয়েছে যা আপনাকে পরীক্ষা করতে দেয়: আমরা কি সঠিকভাবে সমস্যার সমাধান করেছি?

ধরা যাক সমস্যা 6-এ আমরা উত্তর পেয়েছি -3 এবং 2। আমরা কিভাবে পরীক্ষা করতে পারি যে এই উত্তরগুলো সঠিক? আসুন কেবল তাদের মূল অবস্থায় প্লাগ করি এবং দেখুন কি হয়। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে আমাদের তিনটি সংখ্যা ($-6(()^(2))$, $+1$ এবং $14+4(()^(2))$), যা একটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করবে। প্রতিস্থাপন $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50। \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আমরা সংখ্যা পেয়েছি -54; −2; 50 যেটি 52 দ্বারা পৃথক হয় নিঃসন্দেহে একটি গাণিতিক অগ্রগতি। একই জিনিস $x=2$ এর জন্য ঘটে:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30। \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আবার একটি অগ্রগতি, কিন্তু 27 এর পার্থক্যের সাথে। এইভাবে, সমস্যাটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছে। যারা ইচ্ছুক তারা নিজেরাই দ্বিতীয় কাজটি পরীক্ষা করতে পারেন, তবে আমি এখনই বলব: সেখানেও সবকিছু সঠিক।

সাধারণভাবে, শেষ সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, আমরা আরেকটি আকর্ষণীয় তথ্যের উপর হোঁচট খেয়েছি যা মনে রাখা দরকার:

যদি তিনটি সংখ্যা এমন হয় যে দ্বিতীয়টি প্রথম এবং শেষের গড়, তাহলে এই সংখ্যাগুলি একটি গাণিতিক অগ্রগতি তৈরি করে।

ভবিষ্যতে, এই বিবৃতিটি বোঝা আমাদের আক্ষরিকভাবে সমস্যার অবস্থার উপর ভিত্তি করে প্রয়োজনীয় অগ্রগতিগুলিকে "নির্মাণ" করার অনুমতি দেবে। কিন্তু আমরা এই ধরনের একটি "নির্মাণ" করার আগে, আমাদের আরও একটি সত্যের দিকে মনোযোগ দেওয়া উচিত, যা ইতিমধ্যে যা বিবেচনা করা হয়েছে তা সরাসরি অনুসরণ করে।

গ্রুপিং এবং উপাদানের যোগফল

আসুন আবার সংখ্যা লাইনে ফিরে যাই। আমরা সেখানে অগ্রগতির বেশ কয়েকটি সদস্যকে নোট করি, যার মধ্যে, সম্ভবত। অন্যান্য সদস্যদের অনেক মূল্য:

আসুন "বাম লেজ" কে $((a)_(n))$ এবং $d$ এবং "ডান লেজ" কে $((a)_(k))$ এবং $ এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করার চেষ্টা করি d$ এটা খুবই সাধারণ:

\[\begin(সারিবদ্ধ) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এখন লক্ষ্য করুন যে নিম্নলিখিত যোগফল সমান:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= এস; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= এস. \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

সহজ কথায়, যদি আমরা অগ্রগতির দুটি উপাদানকে প্রারম্ভিক হিসাবে বিবেচনা করি, যেটি মোট কিছু সংখ্যা $S$ এর সমান, এবং তারপরে আমরা এই উপাদানগুলি থেকে বিপরীত দিকে (একে অপরের দিকে বা বিপরীত দিকে সরে যেতে) শুরু করি। তারপর আমরা যে উপাদানগুলিতে হোঁচট খাব তার যোগফলও সমান হবে$S$। এটি গ্রাফিকভাবে সেরাভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

এই সত্যটি বোঝার ফলে আমরা উপরে যেগুলি বিবেচনা করেছি তার চেয়ে মৌলিকভাবে উচ্চ স্তরের জটিলতার সমস্যাগুলি সমাধান করতে আমাদের অনুমতি দেবে। উদাহরণস্বরূপ, এইগুলি:

টাস্ক নম্বর 8। একটি গাণিতিক অগ্রগতির পার্থক্য নির্ণয় করুন যেখানে প্রথম পদটি 66, এবং দ্বিতীয় এবং দ্বাদশ পদের গুণফল সম্ভাব্য সবচেয়ে ছোট।

সমাধান। আসুন আমরা যা জানি তা লিখি:

\[\begin(সারিবদ্ধ) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

সুতরাং, আমরা $d$ অগ্রগতির পার্থক্য জানি না। প্রকৃতপক্ষে, পুরো সমাধানটি পার্থক্যের চারপাশে তৈরি করা হবে, যেহেতু পণ্য $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ নিম্নরূপ পুনরায় লেখা যেতে পারে:

\[\begin(সারিবদ্ধ) এবং ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)। \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

ট্যাঙ্কে যারা আছে তাদের জন্য: আমি দ্বিতীয় বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর 11 নিয়েছি। এইভাবে, কাঙ্খিত পণ্যটি $d$ পরিবর্তনশীলের সাথে একটি দ্বিঘাত ফাংশন। অতএব, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$-এর গ্রাফটি বিবেচনা করুন - এর গ্রাফটি হবে একটি প্যারাবোলা যার শাখাগুলি উপরে থাকবে, কারণ যদি আমরা বন্ধনী খুলি, আমরা পাই:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সর্বোচ্চ পদের সহগ হল 11 - এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা, তাই আমরা সত্যিই শাখাগুলি সহ একটি প্যারাবোলা নিয়ে কাজ করছি:

একটি দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ - প্যারাবোলা

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: এই প্যারাবোলাটি তার শীর্ষবিন্দুতে অ্যাবসিসা $((d)_(0))$ এর সাথে তার সর্বনিম্ন মান নেয়। অবশ্যই, আমরা স্ট্যান্ডার্ড স্কিম অনুযায়ী এই অ্যাবসিসা গণনা করতে পারি (একটি সূত্র আছে $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), তবে এটি অনেক বেশি যুক্তিসঙ্গত হবে লক্ষ্য করুন যে কাঙ্ক্ষিত শীর্ষবিন্দুটি প্যারাবোলার অক্ষের প্রতিসাম্যের উপর অবস্থিত, তাই বিন্দু $((d)_(0))$ সমীকরণের মূল থেকে সমান দূরত্ব $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এই কারণেই আমি বন্ধনীগুলি খুলতে তাড়াহুড়ো করিনি: মূল আকারে, শিকড়গুলি খুব, খুব সহজে খুঁজে পাওয়া যায়। অতএব, অ্যাবসিসা −66 এবং −6 সংখ্যার পাটিগণিত গড়ের সমান:

\[(d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

কি আমাদের আবিষ্কৃত সংখ্যা দেয়? এটির সাথে, প্রয়োজনীয় পণ্যটি সবচেয়ে ছোট মান নেয় (যাইহোক, আমরা $((y)_(\min ))$ গণনা করিনি - এটি আমাদের প্রয়োজন হয় না)। একই সময়ে, এই সংখ্যাটি প্রাথমিক অগ্রগতির পার্থক্য, অর্থাৎ আমরা উত্তর খুঁজে পেয়েছি। :)

উত্তর:-36

টাস্ক নম্বর 9। $-\frac(1)(2)$ এবং $-\frac(1)(6)$ সংখ্যাগুলির মধ্যে তিনটি সংখ্যা সন্নিবেশ করান যাতে প্রদত্ত সংখ্যাগুলির সাথে তারা একটি গাণিতিক অগ্রগতি তৈরি করে।

সমাধান। আসলে, আমাদের পাঁচটি সংখ্যার একটি ক্রম তৈরি করতে হবে, প্রথম এবং শেষ সংখ্যাটি ইতিমধ্যেই জানা আছে। $x$, $y$ এবং $z$ ভেরিয়েবল দ্বারা অনুপস্থিত সংখ্যাগুলি নির্দেশ করুন:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

মনে রাখবেন যে $y$ সংখ্যাটি আমাদের ক্রমটির "মাঝামাঝি" - এটি $x$ এবং $z$ এবং $-\frac(1)(2)$ এবং $-\frac সংখ্যাগুলি থেকে সমান দূরত্বের (1)(6)$। এবং যদি এই মুহুর্তে আমরা $x$ এবং $z$ সংখ্যা থেকে $y$ পেতে না পারি, তাহলে অগ্রগতির শেষের সাথে পরিস্থিতি ভিন্ন। গাণিতিক মানে মনে রাখবেন:

এখন, $y$ জেনে, আমরা অবশিষ্ট সংখ্যাগুলি খুঁজে পাব। নোট করুন যে $x$ $-\frac(1)(2)$ এবং $y=-\frac(1)(3)$ এর মধ্যে রয়েছে। এই জন্য

একইভাবে তর্ক করে, আমরা অবশিষ্ট সংখ্যা খুঁজে পাই:

প্রস্তুত! আমরা তিনটি সংখ্যা খুঁজে পেয়েছি। আসল সংখ্যার মধ্যে যে ক্রমে ঢোকানো উচিত সেগুলি উত্তরে লিখি।

উত্তর: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

টাস্ক নম্বর 10। সংখ্যা 2 এবং 42 এর মধ্যে, বেশ কয়েকটি সংখ্যা সন্নিবেশ করান যা প্রদত্ত সংখ্যাগুলির সাথে একসাথে একটি গাণিতিক অগ্রগতি তৈরি করে, যদি এটি জানা যায় যে সন্নিবেশিত সংখ্যাগুলির প্রথম, দ্বিতীয় এবং শেষের যোগফল 56।

সমাধান। একটি আরও কঠিন কাজ, যা, তবে, আগেরগুলির মতো একইভাবে সমাধান করা হয়েছে - পাটিগণিত গড় মাধ্যমে। সমস্যা হল আমরা জানি না ঠিক কতগুলো সংখ্যা সন্নিবেশ করাতে হবে। অতএব, সুনির্দিষ্টতার জন্য, আমরা অনুমান করি যে সন্নিবেশ করার পরে ঠিক $n$ সংখ্যা থাকবে, এবং তাদের মধ্যে প্রথমটি হল 2, এবং শেষটি হল 42৷ এই ক্ষেত্রে, কাঙ্খিত গাণিতিক অগ্রগতিটি এইভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[(a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

তবে, মনে রাখবেন যে $((a)_(2))$ এবং $((a)_(n-1))$ নম্বরগুলি 2 এবং 42 নম্বরগুলি থেকে প্রাপ্ত হয়েছে একে অপরের দিকে এক ধাপ এগিয়ে প্রান্তে দাঁড়িয়ে আছে , অর্থাৎ অনুক্রমের কেন্দ্রে। এবং এই যে মানে

\[(a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

কিন্তু তারপর উপরের অভিব্যক্তিটি এভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

$((a)_(3))$ এবং $((a)_(1))$ জেনে, আমরা সহজেই অগ্রগতির পার্থক্য খুঁজে পেতে পারি:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এটি শুধুমাত্র অবশিষ্ট সদস্যদের খুঁজে পেতে অবশেষ:

\[\begin(সারিবদ্ধ) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এইভাবে, ইতিমধ্যে 9ম ধাপে আমরা ক্রমটির বাম প্রান্তে চলে আসব - 42 নম্বর। মোট, শুধুমাত্র 7টি সংখ্যা সন্নিবেশিত করতে হয়েছিল: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37।

উত্তর: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

অগ্রগতি সহ পাঠ্য কার্য

উপসংহারে, আমি তুলনামূলকভাবে সহজ কয়েকটি সমস্যা বিবেচনা করতে চাই। ঠিক আছে, সহজ হিসাবে: বেশিরভাগ ছাত্র যারা স্কুলে গণিত অধ্যয়ন করে এবং উপরে যা লেখা আছে তা পড়েনি, এই কাজগুলি একটি অঙ্গভঙ্গির মতো মনে হতে পারে। তবুও, এটি ঠিক এই ধরনের কাজ যা OGE এবং গণিতে ব্যবহার করে, তাই আমি আপনাকে তাদের সাথে নিজেকে পরিচিত করার পরামর্শ দিচ্ছি।

টাস্ক নম্বর 11। দলটি জানুয়ারিতে 62টি যন্ত্রাংশ তৈরি করেছিল এবং পরবর্তী প্রতিটি মাসে তারা আগেরটির তুলনায় 14টি বেশি যন্ত্রাংশ তৈরি করেছিল। নভেম্বর মাসে ব্রিগেড কয়টি অংশ তৈরি করেছিল?

সমাধান। স্পষ্টতই, অংশের সংখ্যা, মাস দ্বারা আঁকা, একটি ক্রমবর্ধমান গাণিতিক অগ্রগতি হবে। এবং:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

নভেম্বর হল বছরের 11 তম মাস, তাই আমাদের খুঁজে বের করতে হবে $((a)_(11))$:

\[(a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

তাই নভেম্বরে ২০২টি যন্ত্রাংশ তৈরি করা হবে।

টাস্ক নম্বর 12। বই বাঁধাই কর্মশালা জানুয়ারিতে 216টি বই আবদ্ধ করে এবং প্রতি মাসে এটি আগের মাসের তুলনায় 4টি বেশি বই বাঁধে। ডিসেম্বর মাসে কর্মশালা কয়টি বই বাঁধে?

সমাধান। একই:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ডিসেম্বর হল বছরের শেষ, 12 তম মাস, তাই আমরা $((a)_(12))$ খুঁজছি:

\[(a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

এই উত্তর- ডিসেম্বরে 260টি বই বাঁধা হবে।

ঠিক আছে, আপনি যদি এই পর্যন্ত পড়ে থাকেন তবে আমি আপনাকে অভিনন্দন জানাতে তাড়াতাড়ি করছি: আপনি পাটিগণিতের অগ্রগতিতে "তরুণ ফাইটার কোর্স" সফলভাবে সম্পন্ন করেছেন। আমরা নিরাপদে পরবর্তী পাঠে যেতে পারি, যেখানে আমরা অগ্রগতির সমষ্টি সূত্র অধ্যয়ন করব, সেইসাথে এর থেকে গুরুত্বপূর্ণ এবং খুব দরকারী ফলাফলগুলিও অধ্যয়ন করব।

পাঠের ধরন:নতুন উপাদান শেখা।

পাঠের উদ্দেশ্য:

• গাণিতিক অগ্রগতি ব্যবহার করে সমাধান করা কাজগুলি সম্পর্কে শিক্ষার্থীদের ধারণার সম্প্রসারণ এবং গভীরতা; একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম n সদস্যদের যোগফলের সূত্র বের করার সময় শিক্ষার্থীদের অনুসন্ধান কার্যকলাপের সংগঠন;
• স্বাধীনভাবে নতুন জ্ঞান অর্জনের দক্ষতার বিকাশ, কাজটি অর্জনের জন্য ইতিমধ্যে অর্জিত জ্ঞান ব্যবহার করা;
• আকাঙ্ক্ষার বিকাশ এবং প্রাপ্ত তথ্যগুলিকে সাধারণীকরণ করার প্রয়োজন, স্বাধীনতার বিকাশ।

কাজ:

• "পাটিগণিতের অগ্রগতি" বিষয়ে বিদ্যমান জ্ঞানকে সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগত করা;
• একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম n সদস্যদের যোগফল গণনা করার জন্য সূত্র বের করুন;
• বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে প্রাপ্ত সূত্রগুলি কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় তা শেখান;
• একটি সংখ্যাসূচক রাশির মান খুঁজে বের করার পদ্ধতির প্রতি শিক্ষার্থীদের দৃষ্টি আকর্ষণ করুন।

সরঞ্জাম:

• গ্রুপ এবং জোড়ায় কাজের জন্য টাস্ক সহ কার্ড;
• মূল্যায়ন কাগজ;
• উপস্থাপনা"পাটিগণিতের অগ্রগতি"।

I. মৌলিক জ্ঞানের বাস্তবায়ন।

1. জোড়ায় স্বাধীন কাজ।

1ম বিকল্প:

একটি গাণিতিক অগ্রগতি সংজ্ঞায়িত করুন। একটি পুনরাবৃত্ত সূত্র লিখুন যা একটি গাণিতিক অগ্রগতি সংজ্ঞায়িত করে। একটি গাণিতিক অগ্রগতির উদাহরণ দিন এবং এর পার্থক্য নির্দেশ করুন।

২য় বিকল্প:

একটি গাণিতিক অগ্রগতির nম পদের সূত্রটি লিখ। একটি গাণিতিক অগ্রগতির 100তম পদ খুঁজুন ( একটি}: 2, 5, 8 …
এ সময় বোর্ডের পেছনে দুই শিক্ষার্থী একই প্রশ্নের উত্তর তৈরি করছে।
শিক্ষার্থীরা অংশীদারের কাজকে বোর্ডের সাথে তুলনা করে মূল্যায়ন করে। (উত্তর সহ লিফলেট হস্তান্তর করা হয়)।

2. খেলার মুহূর্ত।

অনুশীলনী 1.

শিক্ষক।আমি কিছু গাণিতিক অগ্রগতি কল্পনা করেছি। আমাকে শুধুমাত্র দুটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করুন যাতে উত্তরের পরে আপনি দ্রুত এই অগ্রগতির 7 তম সদস্যের নাম দিতে পারেন। (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

শিক্ষার্থীদের কাছ থেকে প্রশ্ন।

1. অগ্রগতির ষষ্ঠ পদ কি এবং পার্থক্য কি?
2. অগ্রগতির অষ্টম পদ কি এবং পার্থক্য কি?

যদি আর কোনও প্রশ্ন না থাকে, তবে শিক্ষক তাদের উদ্দীপিত করতে পারেন - ডি (পার্থক্য) এর উপর একটি "নিষেধাজ্ঞা", অর্থাৎ, পার্থক্যটি কী তা জিজ্ঞাসা করার অনুমতি নেই। আপনি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারেন: অগ্রগতির 6 তম মেয়াদ কী এবং অগ্রগতির 8 তম মেয়াদ কী?

টাস্ক 2।

বোর্ডে 20টি সংখ্যা লেখা আছে: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

শিক্ষক ব্ল্যাকবোর্ডের দিকে পিঠ দিয়ে দাঁড়িয়ে আছেন। শিক্ষার্থীরা নম্বরটির নম্বর বলে, এবং শিক্ষক অবিলম্বে নম্বরটি নিজেই কল করেন। আমি এটা কিভাবে করতে পারি ব্যাখ্যা করুন?

শিক্ষকের মনে আছে নবম পদের সূত্র a n \u003d 3n - 2এবং, n এর প্রদত্ত মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, সংশ্লিষ্ট মানগুলি খুঁজে পায় একটি .

২. শিক্ষামূলক কাজের বিবৃতি।

আমি মিশরীয় প্যাপিরিতে পাওয়া ২য় সহস্রাব্দ খ্রিস্টপূর্বাব্দের একটি পুরানো সমস্যা সমাধানের প্রস্তাব করছি।

একটি কাজ:"আপনাকে বলা যাক: 10 জনের মধ্যে বার্লির 10 টি পরিমাপ ভাগ করুন, প্রতিটি ব্যক্তি এবং তার প্রতিবেশীর মধ্যে পার্থক্য হল পরিমাপের 1/8।"

• কিভাবে এই সমস্যাটি গাণিতিক অগ্রগতির বিষয়ের সাথে সম্পর্কিত? (প্রতিটি পরবর্তী ব্যক্তি পরিমাপের 1/8 বেশি পায়, তাই পার্থক্য হল d=1/8, 10 জন, তাই n=10।)
• আপনি কি মনে করেন 10 নম্বর মানে? (প্রগতির সকল সদস্যের যোগফল।)
• সমস্যার অবস্থা অনুযায়ী বার্লি ভাগ করা সহজ এবং সহজ করতে আপনার আর কী জানা দরকার? (প্রগতির প্রথম মেয়াদ।)

পাঠের উদ্দেশ্য- তাদের সংখ্যা, প্রথম পদ এবং পার্থক্যের উপর অগ্রগতির পদগুলির যোগফলের নির্ভরতা প্রাপ্ত করা এবং প্রাচীনকালে সমস্যাটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছিল কিনা তা পরীক্ষা করা।

সূত্রটি বের করার আগে, আসুন দেখি কিভাবে প্রাচীন মিশরীয়রা সমস্যার সমাধান করেছিল।

এবং তারা এটি এই মত সমাধান করেছে:

1) 10 পরিমাপ: 10 = 1 পরিমাপ - গড় ভাগ;
2) 1 পরিমাপ ∙ = 2 পরিমাপ - দ্বিগুণ গড়ভাগ
দ্বিগুণ গড়শেয়ার হল ৫ম এবং ৬ষ্ঠ ব্যক্তির শেয়ারের সমষ্টি।
3) 2 পরিমাপ - 1/8 পরিমাপ = 1 7/8 পরিমাপ - পঞ্চম ব্যক্তির দ্বিগুণ ভাগ।
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - পঞ্চম ভাগ; এবং তাই, আপনি প্রতিটি পূর্ববর্তী এবং পরবর্তী ব্যক্তির ভাগ খুঁজে পেতে পারেন।

আমরা ক্রমটি পাই:

III. কাজের সমাধান।

1. দলে কাজ করুন

১ম গ্রুপ:পরপর 20টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210।

সাধারণভাবে

II গ্রুপ: 1 থেকে 100 পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় করুন (লিজেন্ড অফ লিটল গাউস)।

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

উপসংহার:

III গ্রুপ: 1 থেকে 21 পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর।

সমাধান: 1+21=2+20=3+19=4+18…

উপসংহার:

IV গ্রুপ: 1 থেকে 101 পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর।

উপসংহার:

বিবেচিত সমস্যা সমাধানের এই পদ্ধতিটিকে "গাউস পদ্ধতি" বলা হয়।

2. প্রতিটি গ্রুপ বোর্ডে সমস্যার সমাধান উপস্থাপন করে।

3. একটি নির্বিচারে গাণিতিক অগ্রগতির জন্য প্রস্তাবিত সমাধানগুলির সাধারণীকরণ:

একটি 1, একটি 2, একটি 3,…, একটি n-2, একটি n-1, একটি n।
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n।

আমরা একইভাবে যুক্তি দিয়ে এই যোগফলটি খুঁজে পাই:

4. আমরা কি টাস্ক সমাধান করেছি?(হ্যাঁ.)

IV সমস্যা সমাধানে প্রাপ্ত সূত্রগুলির প্রাথমিক উপলব্ধি এবং প্রয়োগ।

1. সূত্র দ্বারা একটি পুরানো সমস্যার সমাধান পরীক্ষা করা।

2. বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে সূত্রের প্রয়োগ।

3. সমস্যা সমাধানে সূত্র প্রয়োগ করার ক্ষমতা গঠনের জন্য অনুশীলন।

ক) নং 613

দেওয়া :( এবং n) -গাণিতিক অগ্রগতি;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

অনুসন্ধান: এস 1500

সমাধান: , এবং 1 = 1, এবং 1500 = 1500,

খ) দেওয়া: ( এবং n) -গাণিতিক অগ্রগতি;
(এবং n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

অনুসন্ধান: n
সমাধান:

V. পারস্পরিক যাচাই সহ স্বাধীন কাজ।

ডেনিস কুরিয়ার হিসাবে কাজ করতে গিয়েছিল। প্রথম মাসে, তার বেতন ছিল 200 রুবেল, প্রতিটি পরবর্তী মাসে এটি 30 রুবেল বৃদ্ধি পেয়েছে। এক বছরে সে কত আয় করেছে?

দেওয়া :( এবং n) -গাণিতিক অগ্রগতি;
a 1 = 200, d=30, n=12
অনুসন্ধান: এস 12
সমাধান:

উত্তর: ডেনিস বছরের জন্য 4380 রুবেল পেয়েছেন।

VI. বাড়ির কাজের নির্দেশ।

1. p. 4.3 - সূত্রের উদ্ভব শিখুন।
2. №№ 585, 623 .
3. একটি সমস্যা রচনা করুন যা একটি গাণিতিক অগ্রগতির প্রথম n পদের যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হবে।

VII. পাঠের সারসংক্ষেপ।

1. স্কোর শীট

2. বাক্যগুলি চালিয়ে যান

• আজ ক্লাসে জানলাম...
• ফর্মুলা শিখেছি...
• আমি মনেকরি যে …

3. আপনি কি 1 থেকে 500 পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল খুঁজে পেতে পারেন? এই সমস্যা সমাধানের জন্য আপনি কোন পদ্ধতি ব্যবহার করবেন?

গ্রন্থপঞ্জি।

1. বীজগণিত, 9ম শ্রেণী। শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের জন্য পাঠ্যপুস্তক। এড. জি.ভি. ডরোফিভা।মস্কো: এনলাইটেনমেন্ট, 2009।

একটি মাধ্যমিক বিদ্যালয়ে বীজগণিত অধ্যয়ন করার সময় (গ্রেড 9), গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলির মধ্যে একটি হল সংখ্যাসূচক ক্রমগুলির অধ্যয়ন, যার মধ্যে অগ্রগতি রয়েছে - জ্যামিতিক এবং পাটিগণিত। এই নিবন্ধে, আমরা সমাধান সহ একটি গাণিতিক অগ্রগতি এবং উদাহরণ বিবেচনা করব।

একটি গাণিতিক অগ্রগতি কি?

এটি বোঝার জন্য, বিবেচনাধীন অগ্রগতির একটি সংজ্ঞা দেওয়া প্রয়োজন, পাশাপাশি মৌলিক সূত্রগুলি দেওয়া প্রয়োজন যা সমস্যা সমাধানে আরও ব্যবহৃত হবে।

একটি পাটিগণিত বা বীজগণিতীয় অগ্রগতি হল ক্রমযুক্ত মূলদ সংখ্যাগুলির একটি সেট, যার প্রতিটি সদস্য কিছু ধ্রুবক পরিমাণ দ্বারা পূর্ববর্তী থেকে পৃথক। এই মানটিকে পার্থক্য বলা হয়। অর্থাৎ, সংখ্যার অর্ডারকৃত সিরিজের যেকোনো সদস্য এবং পার্থক্য জেনে, আপনি সম্পূর্ণ গাণিতিক অগ্রগতি পুনরুদ্ধার করতে পারেন।

একটা উদাহরণ নেওয়া যাক। সংখ্যার পরবর্তী ক্রমটি একটি গাণিতিক অগ্রগতি হবে: 4, 8, 12, 16, ..., যেহেতু এই ক্ষেত্রে পার্থক্য 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12)। কিন্তু 3, 5, 8, 12, 17 সংখ্যার সেটটিকে আর অগ্রগতির বিবেচিত প্রকারের জন্য দায়ী করা যাবে না, কারণ এটির পার্থক্যটি একটি ধ্রুবক মান নয় (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12)।

গুরুত্বপূর্ণ সূত্র

আমরা এখন মৌলিক সূত্রগুলি দিই যা একটি গাণিতিক অগ্রগতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজন হবে। একটি n অনুক্রমের nম সদস্যকে বোঝানো যাক, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা। পার্থক্যটি ল্যাটিন অক্ষর d দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। তারপর নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি সত্য:

1. nম পদের মান নির্ধারণ করতে, সূত্রটি উপযুক্ত: a n \u003d (n-1) * d + a 1।
2. প্রথম n পদের যোগফল নির্ণয় করতে: S n = (a n + a 1)*n/2।

গ্রেড 9-এ সমাধান সহ একটি গাণিতিক অগ্রগতির যে কোনও উদাহরণ বোঝার জন্য, এই দুটি সূত্র মনে রাখা যথেষ্ট, যেহেতু বিবেচনাধীন ধরণের যে কোনও সমস্যা তাদের ব্যবহারের উপর নির্মিত। এছাড়াও, ভুলে যাবেন না যে অগ্রগতির পার্থক্য সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়: d = a n - a n-1 ।

উদাহরণ # 1: একজন অজানা সদস্য খোঁজা

আমরা একটি পাটিগণিতের অগ্রগতির একটি সহজ উদাহরণ দিই এবং সমাধান করতে যে সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে।

ক্রম 10, 8, 6, 4, ... দেওয়া যাক, এটিতে পাঁচটি পদ খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

এটি ইতিমধ্যেই সমস্যার শর্তাবলী থেকে অনুসরণ করে যে প্রথম 4টি পদ পরিচিত। পঞ্চমটি দুটি উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:

1. আসুন প্রথমে পার্থক্যটি গণনা করি। আমাদের আছে: d = 8 - 10 = -2। একইভাবে, কেউ একে অপরের পাশে দাঁড়িয়ে অন্য দুটি পদ নিতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, d = 4 - 6 = -2। যেহেতু এটা জানা যায় যে d \u003d a n - a n-1, তারপর d \u003d a 5 - a 4, যেখান থেকে আমরা পাই: a 5 \u003d a 4 + d। আমরা পরিচিত মান প্রতিস্থাপন করি: a 5 = 4 + (-2) = 2।
2. দ্বিতীয় পদ্ধতিতেও প্রশ্নে অগ্রগতির পার্থক্য সম্পর্কে জ্ঞান প্রয়োজন, তাই আপনাকে প্রথমে এটি নির্ধারণ করতে হবে, যেমন উপরে দেখানো হয়েছে (d = -2)। প্রথম পদ a 1 = 10 জেনে আমরা ক্রমটির n সংখ্যার সূত্রটি ব্যবহার করি। আমাদের আছে: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n। শেষ রাশিতে n = 5 প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই: a 5 = 12-2 * 5 = 2।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, উভয় সমাধান একই ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়। মনে রাখবেন যে এই উদাহরণে অগ্রগতির পার্থক্য d নেতিবাচক। এই ধরনের ক্রমগুলিকে হ্রাস বলা হয় কারণ প্রতিটি ধারাবাহিক পদ আগেরটির থেকে কম।

উদাহরণ #2: অগ্রগতি পার্থক্য

এখন কাজটা একটু জটিল করা যাক, কিভাবে তার একটা উদাহরণ দিই

এটা জানা যায় যে কিছু 1ম পদ 6 এর সমান, এবং 7 তম পদ 18 এর সমান। পার্থক্যটি খুঁজে বের করা এবং এই ক্রমটি 7 তম পদে পুনরুদ্ধার করা প্রয়োজন।

অজানা শব্দটি নির্ধারণ করতে সূত্রটি ব্যবহার করা যাক: a n = (n - 1) * d + a 1। আমরা কন্ডিশন থেকে পরিচিত ডেটা প্রতিস্থাপন করি, অর্থাৎ, সংখ্যা a 1 এবং a 7, আমাদের আছে: 18 \u003d 6 + 6 * d। এই অভিব্যক্তি থেকে, আপনি সহজেই পার্থক্যটি গণনা করতে পারেন: d = (18 - 6) / 6 = 2। এইভাবে, সমস্যার প্রথম অংশের উত্তর দেওয়া হয়েছিল।

ক্রমটি 7 তম সদস্যে পুনরুদ্ধার করতে, আপনাকে একটি বীজগণিতীয় অগ্রগতির সংজ্ঞাটি ব্যবহার করতে হবে, অর্থাৎ, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ইত্যাদি। ফলস্বরূপ, আমরা সম্পূর্ণ ক্রম পুনরুদ্ধার করি: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 এবং 7 = 18।

উদাহরণ #3: একটি অগ্রগতি করা

আসুন আমরা সমস্যার অবস্থাকে আরও জটিল করে তুলি। এখন আপনি কিভাবে একটি গাণিতিক অগ্রগতি খুঁজে পেতে প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। আমরা নিম্নলিখিত উদাহরণ দিতে পারি: দুটি সংখ্যা দেওয়া হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, 4 এবং 5। এটি একটি বীজগণিতীয় অগ্রগতি করা প্রয়োজন যাতে এইগুলির মধ্যে আরও তিনটি পদ খাপ খায়।

এই সমস্যাটি সমাধান করা শুরু করার আগে, প্রদত্ত সংখ্যাগুলি ভবিষ্যতের অগ্রগতিতে কোন স্থান দখল করবে তা বোঝা দরকার। যেহেতু তাদের মধ্যে আরও তিনটি পদ থাকবে, তারপরে একটি 1 \u003d -4 এবং একটি 5 \u003d 5। এটি প্রতিষ্ঠা করার পরে, আমরা একটি টাস্কে এগিয়ে যাই যা আগেরটির মতো। আবার, nম পদের জন্য, আমরা সূত্রটি ব্যবহার করি, আমরা পাই: a 5 \u003d a 1 + 4 * d। থেকে: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25। এখানে, পার্থক্যটি একটি পূর্ণসংখ্যার মান নয়, তবে এটি একটি মূলদ সংখ্যা, তাই বীজগণিতের অগ্রগতির সূত্রগুলি একই থাকে।

এখন একটি 1 এর সাথে পাওয়া পার্থক্য যোগ করা যাক এবং অগ্রগতির অনুপস্থিত সদস্যদের পুনরুদ্ধার করা যাক। আমরা পাই: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u0, যা সমস্যার অবস্থার সাথে মিলে যায়।

উদাহরণ #4: অগ্রগতির প্রথম সদস্য

আমরা একটি সমাধান সহ একটি গাণিতিক অগ্রগতির উদাহরণ দিতে থাকি। পূর্ববর্তী সমস্ত সমস্যায়, বীজগণিতের অগ্রগতির প্রথম সংখ্যাটি জানা ছিল। এখন একটি ভিন্ন ধরনের সমস্যা বিবেচনা করুন: দুটি সংখ্যা দেওয়া যাক, যেখানে একটি 15 = 50 এবং একটি 43 = 37। এই ক্রমটি কোন সংখ্যা থেকে শুরু হয় তা খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

এখন পর্যন্ত যে সূত্রগুলি ব্যবহার করা হয়েছে সেগুলি একটি 1 এবং d এর জ্ঞান অনুমান করে। সমস্যা অবস্থায় এই সংখ্যাগুলি সম্পর্কে কিছুই জানা যায়নি। তবুও, আসুন প্রতিটি পদের জন্য অভিব্যক্তি লিখি যার সম্পর্কে আমাদের কাছে তথ্য আছে: a 15 = a 1 + 14 * d এবং a 43 = a 1 + 42 * d। আমরা দুটি সমীকরণ পেয়েছি যেখানে 2টি অজানা পরিমাণ রয়েছে (a 1 এবং d)। এর মানে হল যে সমস্যাটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধানে হ্রাস পেয়েছে।

যদি আপনি প্রতিটি সমীকরণে একটি 1 প্রকাশ করেন এবং তারপর ফলাফলের অভিব্যক্তিগুলির তুলনা করেন তবে নির্দিষ্ট সিস্টেমটি সমাধান করা সবচেয়ে সহজ। প্রথম সমীকরণ: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; দ্বিতীয় সমীকরণ: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d। এই অভিব্যক্তিগুলিকে সমান করে, আমরা পাই: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, যেখান থেকে পার্থক্য d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (মাত্র 3 দশমিক স্থান দেওয়া হয়েছে)।

d জেনে, আপনি 1 এর জন্য উপরের 2টি অভিব্যক্তির যে কোনো একটি ব্যবহার করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496।

ফলাফল সম্পর্কে সন্দেহ থাকলে, আপনি এটি পরীক্ষা করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, অগ্রগতির 43 তম সদস্য নির্ধারণ করুন, যা শর্তে নির্দিষ্ট করা হয়েছে। আমরা পাই: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008। একটি ছোট ত্রুটি এই কারণে যে গণনায় হাজারতম থেকে রাউন্ডিং ব্যবহার করা হয়েছিল।

উদাহরণ #5: সমষ্টি

এখন একটি গাণিতিক অগ্রগতির যোগফলের সমাধান সহ কিছু উদাহরণ দেখি।

নিম্নলিখিত ফর্মের একটি সংখ্যাগত অগ্রগতি দেওয়া যাক: 1, 2, 3, 4, ...,। এই সংখ্যার 100 এর যোগফল কিভাবে গণনা করা যায়?

কম্পিউটার প্রযুক্তির বিকাশের জন্য ধন্যবাদ, এই সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে, অর্থাৎ, ক্রমানুসারে সমস্ত সংখ্যা যোগ করুন, যা একজন ব্যক্তি এন্টার কী টিপলেই কম্পিউটারটি করবে। যাইহোক, সমস্যাটি মানসিকভাবে সমাধান করা যেতে পারে যদি আপনি মনোযোগ দেন যে সংখ্যার উপস্থাপিত সিরিজটি একটি বীজগণিতীয় অগ্রগতি, এবং এর পার্থক্য হল 1। যোগফলের সূত্রটি প্রয়োগ করলে আমরা পাই: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

এটা কৌতূহলী যে এই সমস্যাটিকে "গাউসিয়ান" বলা হয়, যেহেতু 18 শতকের শুরুতে বিখ্যাত জার্মান, এখনও মাত্র 10 বছর বয়সে, কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে তার মনের মধ্যে এটি সমাধান করতে সক্ষম হয়েছিল। ছেলেটি বীজগাণিতিক অগ্রগতির যোগফলের সূত্রটি জানত না, তবে সে লক্ষ্য করেছে যে আপনি যদি অনুক্রমের প্রান্তে অবস্থিত সংখ্যার জোড়া যোগ করেন তবে আপনি সর্বদা একই ফলাফল পাবেন, অর্থাৎ 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., এবং যেহেতু এই যোগফলগুলি ঠিক 50 (100 / 2) হবে, তাহলে সঠিক উত্তর পেতে, 50 কে 101 দ্বারা গুণ করাই যথেষ্ট।

উদাহরণ #6: n থেকে m পর্যন্ত পদের যোগফল

একটি গাণিতিক অগ্রগতির যোগফলের আরেকটি সাধারণ উদাহরণ হল: সংখ্যার একটি সিরিজ দেওয়া হয়েছে: 3, 7, 11, 15, ..., আপনাকে 8 থেকে 14 পর্যন্ত এর পদগুলির যোগফল কী হবে তা খুঁজে বের করতে হবে।

সমস্যাটি দুটি উপায়ে সমাধান করা হয়। তাদের মধ্যে প্রথমটিতে 8 থেকে 14 পর্যন্ত অজানা পদগুলি খুঁজে বের করা এবং তারপরে তাদের ক্রমানুসারে সংকলন করা জড়িত। যেহেতু কয়েকটি পদ আছে, এই পদ্ধতিটি যথেষ্ট শ্রমসাধ্য নয়। তবুও, এই সমস্যাটি দ্বিতীয় পদ্ধতিতে সমাধান করার প্রস্তাব করা হয়েছে, যা আরও সর্বজনীন।

ধারণাটি হল m এবং n পদগুলির মধ্যে একটি বীজগণিতীয় অগ্রগতির যোগফলের জন্য একটি সূত্র পাওয়া, যেখানে n > m পূর্ণসংখ্যা। উভয় ক্ষেত্রে, আমরা যোগফলের জন্য দুটি অভিব্যক্তি লিখি:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2।
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2।

যেহেতু n > m, এটা স্পষ্ট যে 2 যোগফল প্রথমটি অন্তর্ভুক্ত করে। শেষ উপসংহারের অর্থ হল যে আমরা যদি এই রাশিগুলির মধ্যে পার্থক্য নিই এবং এর সাথে a m শব্দটি যোগ করি (পার্থক্য নেওয়ার ক্ষেত্রে, এটি যোগফল S n থেকে বিয়োগ করা হয়), তাহলে আমরা সমস্যার প্রয়োজনীয় উত্তর পাব। আমাদের আছে: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2)। এই রাশিতে n এবং a m-এর জন্য সূত্রগুলি প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন। তারপর আমরা পাই: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2।

ফলস্বরূপ সূত্রটি কিছুটা কষ্টকর, তবে S mn যোগফল শুধুমাত্র n, m, a 1 এবং d-এর উপর নির্ভর করে। আমাদের ক্ষেত্রে, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8। এই সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই: S mn = 301।

উপরের সমাধানগুলি থেকে দেখা যায়, সমস্ত সমস্যা nম পদের অভিব্যক্তির জ্ঞান এবং প্রথম পদগুলির সেটের যোগফলের সূত্রের উপর ভিত্তি করে। আপনি এই সমস্যাগুলির যেকোনও সমাধান করা শুরু করার আগে, এটি সুপারিশ করা হয় যে আপনি শর্তটি সাবধানে পড়ুন, আপনি কী খুঁজতে চান তা স্পষ্টভাবে বুঝে নিন এবং শুধুমাত্র তারপর সমাধানটি নিয়ে এগিয়ে যান।

আরেকটি টিপ হ'ল সরলতার জন্য চেষ্টা করা, অর্থাৎ, আপনি যদি জটিল গাণিতিক গণনা ব্যবহার না করেই প্রশ্নের উত্তর দিতে পারেন, তবে আপনাকে ঠিক এটি করতে হবে, যেহেতু এই ক্ষেত্রে ভুল করার সম্ভাবনা কম। উদাহরণস্বরূপ, সমাধান নং 6 সহ একটি গাণিতিক অগ্রগতির উদাহরণে, কেউ S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m সূত্রে থামতে পারে এবং সাধারণ কাজটিকে আলাদা সাবটাস্কে বিভক্ত করুন (এই ক্ষেত্রে, প্রথমে a n এবং a m শব্দগুলি খুঁজুন)।

প্রাপ্ত ফলাফল সম্পর্কে সন্দেহ থাকলে, এটি পরীক্ষা করার সুপারিশ করা হয়, যেমনটি দেওয়া কিছু উদাহরণে করা হয়েছিল। কিভাবে একটি গাণিতিক অগ্রগতি খুঁজে বের করা, খুঁজে পাওয়া গেছে. একবার আপনি এটি বুঝতে, এটি এত কঠিন নয়।