বহুভুজ কি? বহুভুজ। উদাহরণ সহ বিস্তারিত তত্ত্ব বহুভুজ কি আকার

বিভাগ: গণিত

বিষয়, ছাত্রদের বয়স: জ্যামিতি, গ্রেড 9

পাঠের উদ্দেশ্য: বহুভুজের প্রকার অধ্যয়ন।

শেখার কাজ: বহুভুজ সম্পর্কে শিক্ষার্থীদের জ্ঞান আপডেট করা, প্রসারিত করা এবং সাধারণীকরণ করা; একটি বহুভুজের "উপাদান" সম্পর্কে ধারণা তৈরি করুন; নিয়মিত বহুভুজ (একটি ত্রিভুজ থেকে এন-গন) এর উপাদান উপাদানের সংখ্যার একটি অধ্যয়ন পরিচালনা করুন;

উন্নয়নমূলক কাজ: বিশ্লেষণ, তুলনা, উপসংহার আঁকতে, গণনার দক্ষতা বিকাশ, মৌখিক এবং লিখিত গাণিতিক বক্তৃতা, স্মৃতিশক্তি, সেইসাথে চিন্তাভাবনা এবং শেখার ক্রিয়াকলাপে স্বাধীনতা, জোড়া এবং দলে কাজ করার ক্ষমতা বিকাশ করা; গবেষণা এবং শিক্ষা কার্যক্রম বিকাশ;

শিক্ষামূলক কাজ: স্বাধীনতা, কার্যকলাপ, অর্পিত কাজের জন্য দায়িত্ব, লক্ষ্য অর্জনে অধ্যবসায় শিক্ষিত করা।

ক্লাস চলাকালীন:ব্ল্যাকবোর্ডে একটি উদ্ধৃতি লেখা আছে

"প্রকৃতি গণিতের ভাষায় কথা বলে, এই ভাষার অক্ষর ... গাণিতিক পরিসংখ্যান।" G. গ্যালিলি

পাঠের শুরুতে, শ্রেণীটি কার্যকারী গোষ্ঠীতে বিভক্ত (আমাদের ক্ষেত্রে, 4 জনের প্রতিটি গ্রুপে বিভক্ত - গ্রুপের সদস্য সংখ্যা প্রশ্ন গোষ্ঠীর সংখ্যার সমান)।

1. কল স্টেজ-

লক্ষ্য:

ক) বিষয়ে শিক্ষার্থীদের জ্ঞান আপডেট করা;

খ) অধ্যয়নের অধীন বিষয়ের প্রতি আগ্রহের জাগরণ, প্রতিটি শিক্ষার্থীর শেখার কার্যকলাপের জন্য অনুপ্রেরণা।

অভ্যর্থনা: খেলা "আপনি কি বিশ্বাস করেন যে ...", পাঠ্যের সাথে কাজের সংগঠন।

কাজের ফর্ম: সম্মুখ, গোষ্ঠী।

"তুমি কি এটা বিশ্বাস কর…."

1. ... "বহুভুজ" শব্দটি নির্দেশ করে যে এই পরিবারের সমস্ত পরিসংখ্যানের "অনেক কোণ" আছে?

2. … একটি ত্রিভুজ বহুভুজের একটি বৃহৎ পরিবারের অন্তর্গত, সমতলে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকারের মধ্যে আলাদা?

3. …একটি বর্গ কি একটি নিয়মিত অষ্টভুজ (চার বাহু + চার কোণ)?

আজ পাঠে আমরা বহুভুজ সম্পর্কে কথা বলব। আমরা শিখি যে এই চিত্রটি একটি বন্ধ ভাঙা লাইন দ্বারা আবদ্ধ, যা ঘুরে সহজ, বন্ধ হতে পারে। আসুন এই সত্যটি সম্পর্কে কথা বলি যে বহুভুজগুলি সমতল, নিয়মিত, উত্তল। সমতল বহুভুজগুলির মধ্যে একটি হল একটি ত্রিভুজ যার সাথে আপনি দীর্ঘদিন ধরে পরিচিত (আপনি ছাত্রদেরকে বহুভুজ, একটি ভাঙা রেখা, তাদের বিভিন্ন প্রকার দেখাতে পোস্টার দেখাতে পারেন, আপনি TCO ব্যবহার করতে পারেন)।

2. বোঝার পর্যায়

উদ্দেশ্য: নতুন তথ্য প্রাপ্তি, তার উপলব্ধি, নির্বাচন।

অভ্যর্থনা: zigzag.

কাজের ধরন: স্বতন্ত্র->জোড়া->গোষ্ঠী।

প্রতিটি গোষ্ঠীকে পাঠের বিষয়ের উপর একটি পাঠ্য দেওয়া হয় এবং পাঠ্যটি এমনভাবে ডিজাইন করা হয়েছে যাতে এটি শিক্ষার্থীদের কাছে ইতিমধ্যে পরিচিত এবং সম্পূর্ণ নতুন তথ্য উভয়ই অন্তর্ভুক্ত করে। পাঠ্যের সাথে একসাথে, শিক্ষার্থীরা প্রশ্নগুলি গ্রহণ করে, যার উত্তর অবশ্যই এই পাঠ্যটিতে পাওয়া উচিত।

বহুভুজ। বহুভুজের প্রকারভেদ।

রহস্যময় বারমুডা ট্রায়াঙ্গেলের কথা কে শোনেনি, যেখানে জাহাজ ও প্লেন কোনো চিহ্ন ছাড়াই অদৃশ্য হয়ে যায়? তবে শৈশব থেকে আমাদের কাছে পরিচিত ত্রিভুজটি অনেক আকর্ষণীয় এবং রহস্যময় জিনিসে পরিপূর্ণ।

আমাদের কাছে ইতিমধ্যে পরিচিত ত্রিভুজের প্রকারগুলি ছাড়াও, বাহু (স্কেলিন, সমদ্বিবাহু, সমবাহু) এবং কোণ (তীব্র-কোণ, স্থূল-কোণ, সমকোণ) দ্বারা বিভক্ত, ত্রিভুজটি বহুভুজগুলির একটি বৃহৎ পরিবারের অন্তর্গত, তাদের মধ্যে আলাদা। সমতলে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকার।

"বহুভুজ" শব্দটি নির্দেশ করে যে এই পরিবারের সমস্ত পরিসংখ্যান "অনেক কোণ" রয়েছে। কিন্তু এই চিত্রটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত করার জন্য যথেষ্ট নয়।

একটি ভাঙা রেখা A 1 A 2 ... A n হল একটি চিত্র যা বিন্দু A 1, A 2, ... A n এবং সেগমেন্ট A 1 A 2, A 2 A 3, ... তাদের সংযোগ করে। বিন্দুগুলিকে পলিলাইনের শীর্ষবিন্দু বলা হয় এবং অংশগুলিকে পলিলাইনের লিঙ্ক বলা হয়। (আকার 1)

একটি ভাঙা রেখাকে সহজ বলা হয় যদি এতে স্ব-ছেদ না থাকে (চিত্র 2,3)।

একটি ভাঙা লাইন বন্ধ বলা হয় যদি এর শেষগুলি মিলে যায়। একটি ভাঙা লাইনের দৈর্ঘ্য হল তার লিঙ্কগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি (চিত্র 4)।

একটি সাধারণ বদ্ধ ভাঙা রেখাকে বহুভুজ বলা হয় যদি এর সংলগ্ন লিঙ্কগুলি একই সরল রেখায় না থাকে (চিত্র 5)।

"অনেক" অংশের পরিবর্তে "বহুভুজ" শব্দের পরিবর্তে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ 3। আপনি একটি ত্রিভুজ পাবেন। অথবা 5. তারপর - একটি পঞ্চভুজ। মনে রাখবেন যে যতগুলি কোণ আছে ততগুলি বাহু আছে, তাই এই পরিসংখ্যানগুলিকে বহুপাক্ষিক বলা যেতে পারে।

পলিলাইনের শীর্ষবিন্দুগুলিকে বহুভুজের শীর্ষবিন্দু বলা হয় এবং পলিলাইনের লিঙ্কগুলিকে বহুভুজের বাহু বলা হয়।

বহুভুজ সমতলকে দুটি অঞ্চলে বিভক্ত করে: অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক (চিত্র 6)।

একটি সমতল বহুভুজ বা বহুভুজ অঞ্চল হল একটি সমতলের একটি সীমিত অংশ যা একটি বহুভুজ দ্বারা আবদ্ধ।

একটি বহুভুজের দুটি শীর্ষবিন্দু যা একই বাহুর প্রান্তগুলিকে প্রতিবেশী বলে। যে সকল শীর্ষবিন্দুর এক বাহুর শেষ নেই সেগুলো অ-সংলগ্ন।

n শীর্ষবিন্দু সহ একটি বহুভুজ এবং তাই n বাহুগুলিকে এন-গন বলা হয়।

যদিও একটি বহুভুজের বাহুর ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 3। কিন্তু ত্রিভুজ, একে অপরের সাথে সংযোগ স্থাপন করে, অন্যান্য আকার তৈরি করতে পারে, যা ফলস্বরূপ বহুভুজও হয়।

বহুভুজের অ-প্রতিবেশী শীর্ষবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করা অংশগুলিকে কর্ণ বলা হয়।

একটি বহুভুজকে উত্তল বলা হয় যদি এটি একটি অর্ধ-সমতলের মধ্যে থাকে যার দিকটি থাকা যেকোনো রেখার সাপেক্ষে। এই ক্ষেত্রে, সরলরেখাটি নিজেই অর্ধ-সমতলের অন্তর্গত বলে মনে করা হয়।

একটি প্রদত্ত শীর্ষবিন্দুতে একটি উত্তল বহুভুজের কোণ হল সেই কোণ যা তার বাহুগুলি সেই শীর্ষে একত্রিত হয়ে গঠিত কোণ।

আসুন উপপাদ্যটি প্রমাণ করি (একটি উত্তল n-গনের কোণের যোগফলের উপর): একটি উত্তল n-গনের কোণের সমষ্টি 180 0 *(n - 2) এর সমান।

প্রমাণ। n=3 ক্ষেত্রে উপপাদ্যটি বৈধ। А 1 А 2 …А n একটি প্রদত্ত উত্তল বহুভুজ এবং n>3 হোক। এর মধ্যে তির্যক আঁকুন (একটি শীর্ষবিন্দু থেকে)। যেহেতু বহুভুজটি উত্তল, তাই এই কর্ণগুলি এটিকে n - 2 ত্রিভুজে বিভক্ত করে। বহুভুজের কোণের সমষ্টি এই সমস্ত ত্রিভুজের কোণের সমষ্টির সমান। প্রতিটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি হল 180 0, এবং এই ত্রিভুজের সংখ্যা হল n - 2। অতএব, একটি উত্তল n - কোণের কোণের সমষ্টি A 1 A 2 ... A n হল 180 0 * ( n - 2)। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

একটি প্রদত্ত শীর্ষবিন্দুতে একটি উত্তল বহুভুজের বাহ্যিক কোণ হল সেই শীর্ষে থাকা বহুভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের সংলগ্ন কোণ।

একটি উত্তল বহুভুজকে নিয়মিত বলা হয় যদি সমস্ত বাহু সমান হয় এবং সমস্ত কোণ সমান হয়।

তাই বর্গক্ষেত্রটিকে ভিন্নভাবে বলা যেতে পারে - একটি নিয়মিত চতুর্ভুজ। সমবাহু ত্রিভুজগুলিও নিয়মিত। এই ধরনের পরিসংখ্যানগুলি দীর্ঘকাল ধরে বিল্ডিংগুলি সজ্জিত করা মাস্টারদের কাছে আগ্রহের বিষয় ছিল। তারা সুন্দর নিদর্শন তৈরি করেছে, উদাহরণস্বরূপ, কাঠের উপর। কিন্তু সব নিয়মিত বহুভুজ কাঠের তৈরি করতে ব্যবহার করা যেত না। নিয়মিত অষ্টভুজ থেকে Parquet গঠন করা যাবে না। আসল বিষয়টি হল যে তাদের প্রতিটি কোণ 135 0 এর সমান। এবং যদি কোন বিন্দু এই ধরনের দুটি অষ্টভুজের শীর্ষবিন্দু হয় তবে তাদের 270 0 হবে এবং তৃতীয় অষ্টভুজটি ফিট করার জন্য কোথাও নেই: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. কিন্তু একটি বর্গক্ষেত্রের জন্য যথেষ্ট। অতএব, নিয়মিত অষ্টভুজ এবং বর্গাকার থেকে পারকেটটি ভাঁজ করা সম্ভব।

তারা সঠিক. আমাদের পাঁচ-বিন্দু বিশিষ্ট তারা একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ তারকা। এবং যদি আপনি কেন্দ্রের চারপাশে 45 0 দ্বারা বর্গক্ষেত্র ঘোরান, আপনি একটি নিয়মিত অষ্টভুজাকার তারা পাবেন।

1 দল

একটি ভাঙ্গা লাইন কি? পলিলাইনের শীর্ষবিন্দু এবং লিঙ্কগুলি কী তা ব্যাখ্যা কর।

কোন ভাঙ্গা রেখাকে সরল বলা হয়?

কোন ভাঙ্গা লাইনকে বন্ধ বলা হয়?

বহুভুজ কি? বহুভুজের শীর্ষবিন্দুকে কী বলা হয়? বহুভুজের বাহুগুলো কী কী?

2 দল

সমতল বহুভুজ কি? বহুভুজের উদাহরণ দাও।

এন-গন কি?

বহুভুজের কোন শীর্ষবিন্দু সংলগ্ন এবং কোনটি নয় তা ব্যাখ্যা কর।

বহুভুজের কর্ণ কত?

3 দল

উত্তল বহুভুজ কি?

বহুভুজের কোন কোণগুলি বাহ্যিক এবং কোনটি অভ্যন্তরীণ তা ব্যাখ্যা কর?

একটি নিয়মিত বহুভুজ কি? নিয়মিত বহুভুজের উদাহরণ দাও।

4 দল

একটি উত্তল n-gon এর কোণের সমষ্টি কত? প্রমান কর.

শিক্ষার্থীরা পাঠ্যের সাথে কাজ করে, উত্থাপিত প্রশ্নের উত্তরগুলি সন্ধান করে, তারপরে বিশেষজ্ঞ গোষ্ঠী তৈরি করা হয়, যেখানে একই বিষয়ে কাজ করা হয়: শিক্ষার্থীরা মূল জিনিসটি হাইলাইট করে, একটি সমর্থনকারী বিমূর্ত আঁকুন, একটিতে তথ্য উপস্থাপন করুন। গ্রাফিক ফর্ম। কাজ শেষে, ছাত্ররা তাদের কর্ম দলে ফিরে আসে।

3. প্রতিফলনের পর্যায় -

ক) তাদের জ্ঞানের মূল্যায়ন, জ্ঞানের পরবর্তী ধাপে চ্যালেঞ্জ;

খ) প্রাপ্ত তথ্যের উপলব্ধি এবং উপযোগ।

অভ্যর্থনা: গবেষণা কাজ।

কাজের ধরন: স্বতন্ত্র->জোড়া->গোষ্ঠী।

কার্যকারী দলগুলি প্রস্তাবিত প্রশ্নের প্রতিটি অংশের উত্তরে বিশেষজ্ঞ।

ওয়ার্কিং গ্রুপে ফিরে, বিশেষজ্ঞ তাদের প্রশ্নের উত্তর দিয়ে গ্রুপের অন্যান্য সদস্যদের পরিচয় করিয়ে দেন। গ্রুপে ওয়ার্কিং গ্রুপের সকল সদস্যের তথ্য বিনিময় হয়। সুতরাং, প্রতিটি ওয়ার্কিং গ্রুপে, বিশেষজ্ঞদের কাজের জন্য ধন্যবাদ, অধ্যয়নের অধীন বিষয়ের উপর একটি সাধারণ ধারণা তৈরি হয়।

শিক্ষার্থীদের গবেষণার কাজ - ছক পূরণ।

পাঠের বিষয়ে আকর্ষণীয় সমস্যা সমাধান করা।

• চতুর্ভুজে, একটি রেখা আঁকুন যাতে এটি তিনটি ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।
• একটি নিয়মিত বহুভুজের কয়টি বাহু থাকে, যার প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণ 135 0 এর সমান?
• একটি নির্দিষ্ট বহুভুজে, সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণ একে অপরের সমান। এই বহুভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি কি হতে পারে: 360 0 , 380 0?

পাঠের সারসংক্ষেপ। হোমওয়ার্ক রেকর্ডিং।

বহুভুজ হিসাবে বিবেচিত হওয়ার বিষয়ে বিভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গি রয়েছে। একটি স্কুল জ্যামিতি কোর্সে, নিম্নলিখিত সংজ্ঞাগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করা হয়।

সংজ্ঞা 1

বহুভুজ

সেগমেন্ট দিয়ে গঠিত একটি চিত্র

যাতে সংলগ্ন অংশগুলি(অর্থাৎ, একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু সহ সংলগ্ন অংশগুলি, উদাহরণস্বরূপ, A1A2 এবং A2A3) একটি সরল রেখায় শুয়ে থাকবেন না, এবং অ-সংলগ্ন অংশগুলির কোনও সাধারণ বিন্দু নেই।

সংজ্ঞা 2

একটি সাধারণ বদ্ধ বহুভুজকে বহুভুজ বলা হয়।

পয়েন্ট

ডাকা বহুভুজ শীর্ষবিন্দু, সেগমেন্ট

— বহুভুজ দিক.

সব বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে বলা হয় বহুভুজ পরিধি.

যে বহুভুজটির n শীর্ষবিন্দু (এবং তাই n বাহু) আছে তাকে বলা হয় n - বর্গক্ষেত্র.

একটি বহুভুজ যা একটি সমতলে অবস্থিত তাকে বলা হয় সমান. একটি বহুভুজ সম্পর্কে কথা বলার সময়, অন্যথায় বলা না হলে, এটি বোঝা যায় যে আমরা একটি সমতল বহুভুজ সম্পর্কে কথা বলছি।

বহুভুজের একই পাশে দুটি শীর্ষবিন্দুকে বলা হয় প্রতিবেশী. উদাহরণস্বরূপ, A1 এবং A2, A5 এবং A6 হল প্রতিবেশী শীর্ষবিন্দু।

দুটি অ-সংলগ্ন শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করে এমন একটি রেখাখণ্ডকে বলা হয় বহুভুজ তির্যক.

একটি বহুভুজের কয়টি কর্ণ আছে তা খুঁজে বের করুন।

বহুভুজের প্রতিটি n শীর্ষবিন্দু থেকে n-3 কর্ণ আসে

(সর্বমোট n শীর্ষবিন্দু রয়েছে। আমরা শীর্ষবিন্দু এবং দুটি প্রতিবেশী শীর্ষবিন্দু গণনা করি না যা এই শীর্ষবিন্দুর সাথে একটি তির্যক গঠন করে না। শীর্ষবিন্দু A1 এর জন্য, উদাহরণস্বরূপ, আমরা A1 নিজেই এবং প্রতিবেশী শীর্ষবিন্দু A2 এবং A3 বিবেচনা করি না )

সুতরাং, প্রতিটি n শীর্ষবিন্দু n-3 কর্ণের সাথে মিলে যায়। যেহেতু একটি কর্ণ একযোগে দুটি শীর্ষবিন্দুকে বোঝায়, তাই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা বের করতে, গুণফল n (n-3) অর্ধেক ভাগ করতে হবে।

অতএব, n-gon আছে

তির্যক

যেকোন বহুভুজ সমতলকে দুটি ভাগে ভাগ করে - বহুভুজের অভ্যন্তরীণ এবং বাইরের অঞ্চল। একটি বহুভুজ এবং এর অভ্যন্তর সমন্বিত একটি চিত্রকে বহুভুজও বলা হয়।

বহুভুজ বৈশিষ্ট্য

একটি বহুভুজ হল একটি জ্যামিতিক চিত্র, সাধারণত স্ব-ছেদ ছাড়াই একটি বন্ধ পলিলাইন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (একটি সাধারণ বহুভুজ (চিত্র 1a)), তবে কখনও কখনও স্ব-ছেদ অনুমোদিত হয় (তখন বহুভুজটি সরল নয়)।

পলিলাইনের শীর্ষবিন্দুগুলিকে বহুভুজের শীর্ষবিন্দু বলা হয় এবং অংশগুলিকে বহুভুজের বাহু বলা হয়। বহুভুজের শীর্ষবিন্দুগুলিকে প্রতিবেশী বলা হয় যদি তারা তার বাহুর একটি প্রান্ত হয়। বহুভুজের অ-প্রতিবেশী শীর্ষবিন্দুকে সংযোগকারী রেখার অংশগুলিকে কর্ণ বলা হয়।

একটি প্রদত্ত শীর্ষবিন্দুতে একটি উত্তল বহুভুজের একটি কোণ (বা অভ্যন্তরীণ কোণ) হল এই শীর্ষবিন্দুতে তার বাহুগুলি একত্রিত হয়ে গঠিত কোণ, এবং কোণটিকে বহুভুজের পাশ থেকে বিবেচনা করা হয়। বিশেষ করে, বহুভুজ উত্তল না হলে কোণটি 180° অতিক্রম করতে পারে।

একটি প্রদত্ত শীর্ষবিন্দুতে একটি উত্তল বহুভুজের বাহ্যিক কোণ হল সেই শীর্ষে থাকা বহুভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের সংলগ্ন কোণ। সাধারণভাবে, বাইরের কোণ হল 180° এবং ভিতরের কোণের মধ্যে পার্থক্য। > 3-এর জন্য -gon-এর প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে - 3টি কর্ণ আছে, তাই -gon-এর মোট কর্ণ সংখ্যা সমান।

তিনটি শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট বহুভুজকে ত্রিভুজ বলা হয়, যার চারটি - একটি চতুর্ভুজ, পাঁচটি - একটি পঞ্চভুজ ইত্যাদি।

সঙ্গে বহুভুজ nচূড়া বলা হয় n-বর্গক্ষেত্র

একটি সমতল বহুভুজ হল একটি চিত্র যা একটি বহুভুজ এবং এটি দ্বারা আবদ্ধ এলাকার সসীম অংশ নিয়ে গঠিত।

একটি বহুভুজকে উত্তল বলা হয় যদি নিম্নলিখিত (সমতুল্য) শর্তগুলির মধ্যে একটি পূরণ করা হয়:

• 1. এটি তার প্রতিবেশী শীর্ষবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে এমন কোনও সরল রেখার একপাশে অবস্থিত। (অর্থাৎ, একটি বহুভুজের বাহুর সম্প্রসারণ তার অন্য বাহুকে ছেদ করে না);
• 2. এটি বেশ কয়েকটি অর্ধ-বিমানের ছেদ (অর্থাৎ সাধারণ অংশ);
• 3. বহুভুজের অন্তর্গত বিন্দুতে শেষ সহ যেকোন সেগমেন্ট সম্পূর্ণরূপে এর অন্তর্গত।

একটি উত্তল বহুভুজকে নিয়মিত বলা হয় যদি সমস্ত বাহু সমান হয় এবং সমস্ত কোণ সমান হয়, উদাহরণস্বরূপ, একটি সমবাহু ত্রিভুজ, একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি পঞ্চভুজ।

একটি উত্তল বহুভুজকে একটি বৃত্ত সম্পর্কে খোদাই করা বলা হয় যদি এর সমস্ত বাহু কিছু বৃত্তের স্পর্শক হয়

একটি নিয়মিত বহুভুজ হল একটি বহুভুজ যার সমস্ত কোণ এবং সমস্ত বাহু সমান।

বহুভুজ বৈশিষ্ট্য:

1 একটি উত্তল -গনের প্রতিটি কর্ণ, যেখানে >3, এটিকে দুটি উত্তল বহুভুজে পরিণত করে।

2 একটি উত্তল -গনের সমস্ত কোণের সমষ্টি সমান।

D-in: আসুন গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি দ্বারা উপপাদ্যটি প্রমাণ করি। = 3 এর জন্য এটা স্পষ্ট। অনুমান করুন যে উপপাদ্যটি a -gon এর জন্য সত্য, যেখানে <, এবং -gon এর জন্য এটি প্রমাণ করুন।

একটি প্রদত্ত বহুভুজ হতে দিন। এই বহুভুজের একটি কর্ণ আঁকুন। উপপাদ্য 3 দ্বারা, বহুভুজ একটি ত্রিভুজ এবং একটি উত্তল -গন (চিত্র 5) এ পচে যায়। আবেশন অনুমান দ্বারা. অন্য দিকে, . এই সমতা যোগ করা এবং যে অ্যাকাউন্ট গ্রহণ (- ভিতরের মরীচি কোণ ) এবং (- ভিতরের মরীচি কোণ ), আমরা পাই যখন আমরা পাই: .

3 যেকোন নিয়মিত বহুভুজ সম্পর্কে একটি বৃত্ত বর্ণনা করা সম্ভব, এবং উপরন্তু, শুধুমাত্র একটি।

D-in: একটি নিয়মিত বহুভুজ ধরা যাক, এবং এবং কোণের দ্বিখণ্ডক, এবং (চিত্র 150)। যেহেতু, তাই, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ও.আসুন প্রমাণ করি ও = OA 2 = ও =… = OA পৃ . ত্রিভুজ ওসমদ্বিবাহু, অতএব ও= ও. ত্রিভুজের সমতার দ্বিতীয় মানদণ্ড অনুসারে, তাই, ও = ও. একইভাবে, এটি প্রমাণিত হয় ও = ওইত্যাদি তাই বিন্দু ওবহুভুজের সমস্ত শীর্ষবিন্দু থেকে সমান দূরত্বে, তাই কেন্দ্রের সাথে বৃত্ত ওব্যাসার্ধ ওএকটি বহুভুজ সম্পর্কে সীমাবদ্ধ করা হয়।

আসুন এখন প্রমাণ করি যে শুধুমাত্র একটি পরিধিকৃত বৃত্ত রয়েছে। একটি বহুভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু বিবেচনা করুন, উদাহরণস্বরূপ, কিন্তু 2 , . যেহেতু শুধুমাত্র একটি বৃত্ত এই বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যায়, তারপর বহুভুজ সম্পর্কে … আপনি একাধিক চেনাশোনা বর্ণনা করতে পারবেন না.

• 4 যেকোন নিয়মিত বহুভুজে, আপনি একটি বৃত্ত লিখতে পারেন এবং উপরন্তু, শুধুমাত্র একটি।
• 5 একটি নিয়মিত বহুভুজে খোদাই করা একটি বৃত্ত বহুভুজের পার্শ্বগুলিকে তাদের মধ্যবিন্দুতে স্পর্শ করে।
• 6 একটি নিয়মিত বহুভুজ পরিক্রমা করে একটি বৃত্তের কেন্দ্র একই বহুভুজে খোদাই করা একটি বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে মিলে যায়।
• 7 প্রতিসাম্য:

একটি চিত্রকে প্রতিসম (প্রতিসম) বলা হয় যদি এমন একটি আন্দোলন (অভিন্ন নয়) থাকে যা এই চিত্রটিকে নিজের মধ্যে রূপান্তরিত করে।

• 7.1। একটি সাধারণ ত্রিভুজের কোন অক্ষ বা প্রতিসাম্য কেন্দ্র নেই, এটি প্রতিসম নয়। একটি সমদ্বিবাহু (কিন্তু সমবাহু নয়) ত্রিভুজের প্রতিসাম্যের একটি অক্ষ রয়েছে: ভিত্তিটির লম্ব দ্বিখণ্ডক।
• 7.2। একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিসাম্যের তিনটি অক্ষ রয়েছে (পার্শ্বে লম্ব দ্বিখণ্ডক) এবং কেন্দ্রের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য 120° একটি ঘূর্ণন কোণ।

7.3 যেকোন নিয়মিত n-gon-এর n অক্ষ প্রতিসাম্য থাকে, যার সবকটিই এর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। এটি একটি ঘূর্ণন কোণ সহ কেন্দ্র সম্পর্কে ঘূর্ণনশীল প্রতিসাম্যও রয়েছে।

এমন কি nপ্রতিসাম্যের কিছু অক্ষ বিপরীত শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, অন্যগুলো বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে যায়।

বিজোড় জন্য nপ্রতিটি অক্ষ বিপরীত দিকের শীর্ষবিন্দু এবং মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।

একটি জোড় সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট একটি নিয়মিত বহুভুজের কেন্দ্র হল এর প্রতিসাম্য কেন্দ্র। বিজোড় সংখ্যক বাহুর একটি নিয়মিত বহুভুজের প্রতিসাম্যের কেন্দ্র নেই।

8 সাদৃশ্য:

সাদৃশ্য সহ, এবং -গন একটি -গন, অর্ধ-বিমান - একটি অর্ধ-বিমানে যায়, তাই উত্তল n-গন উত্তল হয়ে যায় n-গন

উপপাদ্য: যদি উত্তল বহুভুজের বাহু এবং কোণ এবং সমতা পূরণ করে:

পডিয়াম সহগ কোথায়

তাহলে এই বহুভুজ একই রকম।

• 8.1 দুটি অনুরূপ বহুভুজের পরিধির অনুপাত সাদৃশ্য সহগের সমান।
• 8.2। দুটি উত্তল সদৃশ বহুভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত সাদৃশ্য সহগের বর্গক্ষেত্রের সমান।

বহুভুজ ত্রিভুজ পরিধি উপপাদ্য

বহুভুজ- এটি একটি জ্যামিতিক চিত্র যা একটি বন্ধ পলিলাইন দ্বারা আবদ্ধ যার স্ব-ছেদ নেই।

ভাঙা লাইনের লিঙ্কগুলিকে বলা হয় বহুভুজ দিক, এবং এর শীর্ষবিন্দু বহুভুজ শীর্ষবিন্দু.

কোণবহুভুজকে সন্নিহিত বাহু দ্বারা গঠিত অভ্যন্তরীণ কোণ বলা হয়। একটি বহুভুজের কোণের সংখ্যা তার শীর্ষ এবং বাহুর সংখ্যার সমান।

বাহুর সংখ্যা অনুসারে বহুভুজের নামকরণ করা হয়। সর্বনিম্ন বাহু বিশিষ্ট বহুভুজকে ত্রিভুজ বলা হয়, এর মাত্র তিনটি বাহু রয়েছে। চারটি বাহু বিশিষ্ট বহুভুজকে চতুর্ভুজ বলা হয়, যার পাঁচটি - একটি পঞ্চভুজ ইত্যাদি।

একটি বহুভুজের উপাধিটি তার শীর্ষবিন্দুতে অক্ষর দিয়ে তৈরি, তাদের নামকরণ করে (ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীত দিকে)। উদাহরণস্বরূপ, তারা বলে বা লেখে: পঞ্চভুজ ABCDE :

পেন্টাগনে ABCDEপয়েন্ট ক, খ, গ, ডিএবং ইপেন্টাগনের শীর্ষবিন্দু এবং অংশগুলি এবি, বিসি, সিডি, ডি.ইএবং ই.এএকটি পেন্টাগনের দিক।

উত্তল এবং অবতল

বহুভুজ বলা হয় উত্তলযদি এর বাহুগুলির কোনটিই, একটি সরল রেখায় প্রসারিত হয়, এটিকে ছেদ করে। অন্যথায়, বহুভুজ বলা হয় অবতল:

পরিধি

বহুভুজের সব বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে তার বলে পরিধি.

বহুভুজ পরিধি ABCDEসমান:

এবি + বিসি+ সিডি + ডি.ই + ই.এ

যদি বহুভুজের সব বাহু এবং সব কোণ সমান থাকে, তাহলে তাকে বলে অধিকার. শুধুমাত্র উত্তল বহুভুজ নিয়মিত বহুভুজ হতে পারে।

তির্যক

বহুভুজ কর্ণএকটি লাইন সেগমেন্ট যা দুটি কোণের শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করে যার একটি সাধারণ দিক নেই। যেমন কাটা বিজ্ঞাপনএকটি তির্যক হয়:

একমাত্র বহুভুজ যার একটি একক তির্যক নেই তা হল একটি ত্রিভুজ, কারণ এতে এমন কোন কোণ নেই যার সাধারণ বাহু নেই।

যদি বহুভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু থেকে সম্ভাব্য সব কর্ণ আঁকা হয়, তাহলে তারা বহুভুজকে ত্রিভুজে ভাগ করবে:

বাহুর তুলনায় ঠিক দুটি কম ত্রিভুজ থাকবে:

t = n - 2

কোথায় tত্রিভুজ সংখ্যা, এবং n- পক্ষের সংখ্যা।

একটি বহুভুজকে ত্রিভুজে বিভক্ত করে তির্যক ব্যবহার করে বহুভুজের ক্ষেত্রফল বের করা হয়, যেহেতু একটি বহুভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে, আপনাকে এটিকে ত্রিভুজে ভাগ করতে হবে, এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে হবে এবং ফলাফল যোগ করতে হবে।.

সমতলের যে অংশটি একটি বদ্ধ ভাঙা রেখা দ্বারা আবদ্ধ থাকে তাকে বহুভুজ বলে।

এই ভাঙা রেখার অংশগুলিকে বলা হয় দলগুলিবহুভুজ AB, BC, CD, DE, EA (চিত্র 1) - বহুভুজ ABCDE এর বাহু। বহুভুজের সকল বাহুর সমষ্টিকে বলা হয় তার পরিধি.

বহুভুজ বলা হয় উত্তল, যদি এটি এর যেকোনো বাহুর একপাশে অবস্থিত থাকে, উভয় শীর্ষবিন্দুর বাইরে অনির্দিষ্টকালের জন্য প্রসারিত হয়।

বহুভুজ MNPKO (চিত্র 1) উত্তল হবে না, কারণ এটি সরলরেখা KP-এর একাধিক পাশে অবস্থিত।

আমরা শুধুমাত্র উত্তল বহুভুজ বিবেচনা করব।

বহুভুজের দুটি সন্নিহিত বাহুর দ্বারা গঠিত কোণকে বলা হয় অভ্যন্তরীণকোণ, এবং তাদের শীর্ষ - বহুভুজ শীর্ষবিন্দু.

একটি বহুভুজের দুটি অ-সংলগ্ন শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করে একটি রেখাখণ্ডকে বহুভুজের কর্ণ বলে।

AC, AD - বহুভুজের কর্ণ (চিত্র 2)।

বহুভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সংলগ্ন কোণগুলিকে বহুভুজের বাহ্যিক কোণ বলা হয় (চিত্র 3)।

কোণের (বাহুর) সংখ্যার উপর নির্ভর করে একটি বহুভুজকে ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, পঞ্চভুজ ইত্যাদি বলা হয়।

দুইটি বহুভুজকে সমান বলা হয় যদি সেগুলিকে সুপারইম্পোজ করা যায়।

খোদাই করা এবং সীমাবদ্ধ বহুভুজ

যদি একটি বহুভুজের সমস্ত শীর্ষবিন্দু একটি বৃত্তের উপর থাকে, তাহলে তাকে বহুভুজ বলা হয় উৎকীর্ণএকটি বৃত্তের মধ্যে, এবং বৃত্ত বর্ণিতবহুভুজের কাছাকাছি (চিত্র)।

যদি বহুভুজের সমস্ত বাহু একটি বৃত্তের স্পর্শক হয়, তাহলে তাকে বহুভুজ বলে বর্ণিতবৃত্তের চারপাশে, এবং বৃত্ত বলা হয় উৎকীর্ণএকটি বহুভুজ মধ্যে (চিত্র।)

বহুভুজের সাদৃশ্য

একই নামের দুটি বহুভুজকে একই বলা হয় যদি তাদের একটির কোণ যথাক্রমে অন্যটির কোণের সমান হয় এবং বহুভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।

একই সংখ্যক বাহুর (কোণ) বহুভুজকে একই নামের বহুভুজ বলা হয়।

অনুরূপ বহুভুজের বাহুগুলিকে অনুরূপ বলা হয় যদি তারা অনুরূপভাবে সমান কোণগুলির শীর্ষবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে (চিত্র)।

সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, বহুভুজ ABCDE বহুভুজ A'B'C'D'E'-এর অনুরূপ হওয়ার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় যে: E = ∠E' এবং উপরন্তু, AB/A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'।

অনুরূপ বহুভুজের পরিধি অনুপাত

প্রথমত, সমান অনুপাতের একটি সিরিজের সম্পত্তি বিবেচনা করুন। আসুন, উদাহরণস্বরূপ, সম্পর্ক: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2।

আসুন এই সম্পর্কের পূর্ববর্তী সদস্যদের যোগফল খুঁজে বের করি, তারপর - তাদের পরবর্তী সদস্যদের যোগফল এবং প্রাপ্ত যোগফলের অনুপাত খুঁজে বের করি, আমরা পাই:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

আমরা একই রকম কিছু পাব যদি আমরা আরও কিছু সম্পর্কের সংখ্যা নিই, উদাহরণস্বরূপ: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 এবং তারপর আমরা এই রাশিগুলির অনুপাত খুঁজে পাই , আমরা পেতে:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

উভয় ক্ষেত্রেই, সমান সম্পর্কের একটি সিরিজের পূর্ববর্তী সদস্যদের যোগফল একই সিরিজের পরবর্তী সদস্যদের যোগফলের সাথে সম্পর্কিত, কারণ এই সম্পর্কের যে কোনো একটির পূর্ববর্তী সদস্যটি তার পরবর্তী সদস্যের সাথে সম্পর্কিত।

আমরা বেশ কয়েকটি সংখ্যাসূচক উদাহরণ বিবেচনা করে এই সম্পত্তিটি নির্ণয় করেছি। এটি কঠোরভাবে এবং সাধারণ আকারে অনুমান করা যেতে পারে।

এখন অনুরূপ বহুভুজের পরিধির অনুপাত বিবেচনা করুন।

বহুভুজ ABCDE কে বহুভুজ A'B'C'D'E' (চিত্র) এর অনুরূপ হতে দিন।

এটি এই বহুভুজগুলির সাদৃশ্য থেকে অনুসরণ করে যে

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

আমরা প্রাপ্ত সমান সম্পর্কের সিরিজের সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে, আমরা লিখতে পারি:

আমরা যে সম্পর্কগুলির পূর্ববর্তী পদগুলি নিয়েছি তা হল প্রথম বহুভুজের পরিধি (P), এবং এই সম্পর্কগুলির পরবর্তী পদগুলির যোগফল হল দ্বিতীয় বহুভুজের পরিধি (P '), তাই P/P' = AB/A'B'।

অতএব, অনুরূপ বহুভুজগুলির পরিধিগুলি তাদের সংশ্লিষ্ট বাহু হিসাবে সম্পর্কিত।

অনুরূপ বহুভুজের এলাকার অনুপাত

ABCDE এবং A'B'C'D'E'কে অনুরূপ বহুভুজ হতে দিন (চিত্র)।

এটি জানা যায় যে ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' এবং ΔADE ~ ΔA'D'E'।

এছাড়া,

;

যেহেতু এই অনুপাতের দ্বিতীয় অনুপাত সমান, যা বহুভুজের সাদৃশ্য থেকে অনুসরণ করে

সমান অনুপাতের একটি সিরিজের সম্পত্তি ব্যবহার করে, আমরা পাই:

বা

যেখানে S এবং S' এই অনুরূপ বহুভুজের ক্ষেত্র।

অতএব, অনুরূপ বহুভুজের ক্ষেত্রগুলি অনুরূপ বাহুর বর্গ হিসাবে সম্পর্কিত।

ফলস্বরূপ সূত্রটি এই ফর্মটিতে রূপান্তরিত হতে পারে: S / S '= (AB / A'B ') 2

একটি নির্বিচারে বহুভুজের ক্ষেত্রফল

এটি একটি নির্বিচারে চতুর্ভুজ ABDC (চিত্র) এর ক্ষেত্রফল গণনা করতে হবে।

আসুন এটিতে একটি তির্যক আঁকুন, উদাহরণস্বরূপ AD। আমরা ABD এবং ACD দুটি ত্রিভুজ পাই, যেগুলির ক্ষেত্রগুলি আমরা গণনা করতে পারি। তারপর আমরা এই ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রফলের যোগফল খুঁজে পাই। প্রাপ্ত যোগফল প্রদত্ত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল প্রকাশ করবে।

আপনার যদি পেন্টাগনের ক্ষেত্রফল গণনা করতে হয়, তবে আমরা একইভাবে এগিয়ে যাই: আমরা শীর্ষবিন্দুগুলির একটি থেকে তির্যক আঁকি। আমরা তিনটি ত্রিভুজ পাই, যেগুলির ক্ষেত্রগুলি আমরা গণনা করতে পারি। তাই আমরা এই পেন্টাগনের এলাকা খুঁজে পেতে পারি। যে কোনো বহুভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করার সময় আমরা একই কাজ করি।

বহুভুজ অভিক্ষেপ এলাকা

প্রত্যাহার করুন যে একটি লাইন এবং একটি সমতলের মধ্যে কোণ হল একটি প্রদত্ত রেখা এবং সমতলে তার অভিক্ষেপের মধ্যে কোণ (চিত্র)।

উপপাদ্য। সমতলে বহুভুজের অর্থোগোনাল অভিক্ষেপের ক্ষেত্রফল বহুভুজের সমতল এবং অভিক্ষেপ সমতল দ্বারা গঠিত কোণের কোসাইন দ্বারা গুণিত অভিক্ষিপ্ত বহুভুজের ক্ষেত্রফলের সমান।

প্রতিটি বহুভুজকে ত্রিভুজে ভাগ করা যায়, যার ক্ষেত্রফলের সমষ্টি বহুভুজের ক্ষেত্রফলের সমান। অতএব, এটি একটি ত্রিভুজের জন্য উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট।

ΔABC কে সমতলে প্রক্ষেপণ করা হোক আর. দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন:

ক) একটি বাহু ΔABS সমতলের সমান্তরাল আর;

b) বাহুর কোনোটিই ΔABC সমান্তরাল নয় আর.

বিবেচনা প্রথম ক্ষেত্রে: যাক [AB] || আর.

(AB) সমতল দিয়ে আঁকুন আর 1 || আরএবং অর্থোগোনালি ΔABC এর উপর প্রজেক্ট করুন আর 1 এবং অন আর(ভাত।); আমরা ΔABC 1 এবং ΔA'B'C পাই।

অভিক্ষেপ সম্পত্তি দ্বারা, আমাদের আছে ΔABC 1 (কং) ΔA'B'C', এবং তাই

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

চলুন ⊥ এবং রেখাংশ D 1 C 1 আঁকি। তারপর ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ হল সমতল ΔABC এবং সমতলের মধ্যবর্তী কোণ আরএক . এই জন্য

S ∆ ABC1 = 1/2 | এবি | | গ 1 ডি 1 | = 1/2 | এবি | | সিডি 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

এবং, তাই, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ।

আসুন বিবেচনায় এগিয়ে যাই দ্বিতীয় ক্ষেত্রে. একটি সমতল আঁকুন আর 1 || আরএই শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে ΔАВС, যে দূরত্ব থেকে সমতল পর্যন্ত আরসবচেয়ে ছোট (এটি শীর্ষবিন্দু A হোক)।

প্লেনে ΔABC ডিজাইন করি আর 1 এবং আর(ভাত।); এর অনুমান যথাক্রমে ΔAB 1 C 1 এবং ΔA'B'C' হতে দিন।

যাক (BC) ∩ পি 1 = D. তারপর

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ