একটি শীর্ষবিন্দু সহ একটি ডান বৃত্তাকার শঙ্কু দেওয়া হয়েছে। পাঠ "একটি শঙ্কুর আয়তন

V সিলিন্ডার \u003d S প্রধান। জ

উদাহরণ 2একটি ডান বৃত্তাকার শঙ্কু ABC সমবাহু দেওয়া হয়েছে, BO = 10। শঙ্কুর আয়তন খুঁজুন।

সমাধান

শঙ্কুর গোড়ার ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

যাক OS = ক, তারপর BC = 2 ক. পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে:

উত্তর: .

উদাহরণ 3. নির্দিষ্ট রেখা দ্বারা আবদ্ধ এলাকাগুলির ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত পরিসংখ্যানগুলির আয়তন গণনা করুন।

y2=4x; y=0; x=4।

একীকরণের সীমা a = 0, b = 4।

ভি = | =32π

কাজ

বিকল্প 1

1. সিলিন্ডারের অক্ষীয় বিভাগটি একটি বর্গক্ষেত্র, যার তির্যকটি 4 dm। সিলিন্ডারের আয়তন খুঁজুন।

2. ফাঁপা গোলকের বাইরের ব্যাস 18 সেমি, দেয়ালের বেধ 3 সেমি। গোলকের দেয়ালের আয়তন খুঁজুন।

এক্স y 2 =x, y=0, x=1, x=2 লাইন দ্বারা আবদ্ধ চিত্র।

বিকল্প 2

1. তিনটি বলের ব্যাসার্ধ হল 6 সেমি, 8 সেমি, 10 সেমি। বলের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর, যার আয়তন এই বলের আয়তনের যোগফলের সমান।

2. শঙ্কুর গোড়ার ক্ষেত্রফল 9 সেমি 2, এর মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 24 সেমি 2। শঙ্কুর আয়তন খুঁজুন।

3. O অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন দ্বারা গঠিত শরীরের আয়তন গণনা করুন এক্স y 2 =2x, y=0, x=2, x=4 লাইন দ্বারা আবদ্ধ চিত্র।

নিয়ন্ত্রণ প্রশ্ন:

1. দেহের আয়তনের বৈশিষ্ট্য লিখ।

2. Oy অক্ষের চারপাশে বিপ্লবের শরীরের আয়তন গণনার জন্য একটি সূত্র লিখুন।

পাঠের টেক্সট ব্যাখ্যা:

আমরা কঠিন জ্যামিতির বিভাগ "বিপ্লবের শরীর" অধ্যয়ন চালিয়ে যাচ্ছি।

বিপ্লবের দেহগুলির মধ্যে রয়েছে: সিলিন্ডার, শঙ্কু, বল।

এর সংজ্ঞা মনে রাখা যাক.

উচ্চতা হল একটি চিত্র বা দেহের শীর্ষ থেকে চিত্রের (শরীর) ভিত্তি পর্যন্ত দূরত্ব। অন্যথায়, চিত্রের উপরের এবং নীচের অংশকে সংযুক্ত করে এবং এটির সাথে লম্ব।

মনে রাখবেন, একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করতে, পাইকে ব্যাসার্ধের বর্গ দ্বারা গুণ করুন।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমান।

ব্যাস জেনে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কীভাবে বের করা যায়? কারণ

আসুন এটিকে সূত্রে রাখি:

একটি শঙ্কুও বিপ্লবের একটি দেহ।

একটি শঙ্কু (আরো সঠিকভাবে, একটি বৃত্তাকার শঙ্কু) এমন একটি দেহ যা একটি বৃত্ত নিয়ে গঠিত - শঙ্কুর ভিত্তি, একটি বিন্দু যা এই বৃত্তের সমতলে থাকে না - শঙ্কুর শীর্ষ এবং সমস্ত অংশগুলিকে সংযুক্ত করে বেস পয়েন্ট সঙ্গে শঙ্কু.

আসুন একটি শঙ্কুর আয়তন খুঁজে বের করার সূত্রের সাথে পরিচিত হই।

উপপাদ্য। একটি শঙ্কুর আয়তন উচ্চতা দ্বারা গুণিত ভিত্তি ক্ষেত্রফলের এক তৃতীয়াংশের সমান।

এই উপপাদ্য প্রমাণ করা যাক.

দেওয়া হয়েছে: একটি শঙ্কু, S হল এর ভিত্তির ক্ষেত্রফল,

h হল শঙ্কুর উচ্চতা

প্রমাণ করুন: V=

প্রমাণ: ভলিউম V, বেস ব্যাসার্ধ R, উচ্চতা h, এবং O বিন্দুতে শীর্ষ সহ একটি শঙ্কু বিবেচনা করুন।

আসুন শঙ্কুর অক্ষ OM এর মাধ্যমে অক্ষ অক্সের পরিচয় করি। x-অক্ষের লম্ব দ্বারা একটি শঙ্কুর একটি নির্বিচারে অংশ বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত একটি বৃত্ত

M1 - অক্ষ অক্সের সাথে এই সমতলটির ছেদ বিন্দু। আসুন আমরা এই বৃত্তের ব্যাসার্ধটিকে R1 হিসাবে এবং ক্রস-বিভাগীয় ক্ষেত্রটিকে S(x) হিসাবে চিহ্নিত করি, যেখানে x হল M1 বিন্দুর অবসিসা।

সমকোণী ত্রিভুজ OM1A1 এবং OMA (ے OM1A1 = OMA - সরলরেখা, éMOA-সাধারণ, যার অর্থ ত্রিভুজ দুটি কোণে একই রকম) এর সাদৃশ্য থেকে এটি অনুসরণ করে

চিত্রটি দেখায় যে OM1=x, OM=h

বা যেখান থেকে অনুপাতের বৈশিষ্ট্য দ্বারা আমরা R1 = খুঁজে পাই।

যেহেতু বিভাগটি একটি বৃত্ত, তারপর S (x) \u003d πR12, আমরা R1 এর পরিবর্তে পূর্ববর্তী রাশিটি প্রতিস্থাপিত করি, বিভাগীয় ক্ষেত্রটি উচ্চতার বর্গের বর্গ x দ্বারা pier বর্গের গুণফলের অনুপাতের সমান:

মূল সূত্র প্রয়োগ করা যাক

দেহের আয়তন গণনা করে, a=0, b=h দিয়ে, আমরা রাশিটি পাই (1)

যেহেতু শঙ্কুর ভিত্তিটি একটি বৃত্ত, তাই শঙ্কুর গোড়ার S এর ক্ষেত্রফল পাইয়ের বর্গক্ষেত্রের সমান হবে

একটি শরীরের আয়তন গণনার সূত্রে, আমরা পাইয়ের বর্গক্ষেত্রের মানটিকে ভিত্তির ক্ষেত্রফল দ্বারা প্রতিস্থাপন করি এবং আমরা পাই যে শঙ্কুর আয়তন ক্ষেত্রফলের গুণফলের এক তৃতীয়াংশের সমান ভিত্তি এবং উচ্চতার

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

উপপাদ্যের ফলাফল (একটি ছাঁটা শঙ্কুর আয়তনের সূত্র)

একটি ছাঁটা শঙ্কুর ভলিউম V, যার উচ্চতা h, এবং ঘাঁটি S এবং S1 এর ক্ষেত্রগুলি, সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়

ভেসের ক্ষেত্রফলের যোগফল এবং ভিত্তির ক্ষেত্রফলের গুণফলের বর্গমূল দ্বারা গুণিত ছাইয়ের এক তৃতীয়াংশের সমান।

সমস্যা সমাধান

3 সেমি এবং 4 সেমি পা বিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজ কর্ণের চারপাশে ঘোরে। ফলস্বরূপ শরীরের আয়তন নির্ধারণ করুন।

যখন ত্রিভুজটি কর্ণের চারপাশে ঘোরে, তখন আমরা একটি শঙ্কু পাই। এই সমস্যাটি সমাধান করার সময়, এটি বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে দুটি ক্ষেত্রে সম্ভব। তাদের প্রতিটিতে, আমরা একটি শঙ্কুর আয়তন খুঁজে বের করার জন্য সূত্র প্রয়োগ করি: একটি শঙ্কুর আয়তন বেস এবং উচ্চতার গুণফলের এক তৃতীয়াংশের সমান।

প্রথম ক্ষেত্রে, অঙ্কন এই মত হবে: একটি শঙ্কু দেওয়া হয়। ধরা যাক ব্যাসার্ধ r = 4, উচ্চতা h = 3

ভিত্তিটির ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের π গুণের গুণফলের সমান

তারপর শঙ্কুর আয়তন π গুণফলের গুণফলের এক তৃতীয়াংশের সমান হয় ব্যাসার্ধের বর্গের গুন উচ্চতার।

সূত্রে মানটি প্রতিস্থাপন করুন, দেখা যাচ্ছে যে শঙ্কুর আয়তন 16π।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, এই মত: একটি শঙ্কু দেওয়া. ধরা যাক ব্যাসার্ধ r = 3, উচ্চতা h = 4

একটি শঙ্কুর আয়তন উচ্চতা দ্বারা গুণিত ভিত্তি এলাকার এক তৃতীয়াংশের সমান:

বেসের ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের π গুণের গুণফলের সমান:

তারপর শঙ্কুটির আয়তন ব্যাসার্ধের বর্গের π গুণ উচ্চতার গুণফল গুণফলের এক তৃতীয়াংশের সমান:

সূত্রে মানটি প্রতিস্থাপন করুন, দেখা যাচ্ছে যে শঙ্কুর আয়তন 12π।

উত্তর: শঙ্কু V এর আয়তন 16 π বা 12 π

সমস্যা 2. 6 সেমি ব্যাসার্ধের একটি ডান বৃত্তাকার শঙ্কু দেওয়া হয়েছে, কোণ BCO = 45।

শঙ্কুর আয়তন খুঁজুন।

সমাধান: এই কাজের জন্য একটি রেডিমেড অঙ্কন দেওয়া হয়।

শঙ্কুর আয়তন বের করার সূত্রটি লিখি:

আমরা বেস R এর ব্যাসার্ধের পরিপ্রেক্ষিতে এটি প্রকাশ করি:

আমরা নির্মাণ দ্বারা h \u003d BO খুঁজে পাই, - আয়তক্ষেত্রাকার, কারণ কোণ BOC=90 (একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি), ভিত্তির কোণগুলি সমান, তাই ত্রিভুজ ΔBOC হল সমদ্বিবাহু এবং BO=OC=6 সেমি।

একটি ডান বৃত্তাকার সিলিন্ডার দেওয়া যাক, অনুমানগুলির অনুভূমিক সমতলটি এর ভিত্তির সমান্তরাল। যখন একটি সিলিন্ডারকে সাধারণ অবস্থানে একটি সমতল দ্বারা ছেদ করা হয় (আমরা অনুমান করি যে সমতলটি সিলিন্ডারের ভিত্তিগুলিকে ছেদ করে না), ছেদ রেখাটি একটি উপবৃত্ত, বিভাগটি নিজেই একটি উপবৃত্তের আকার ধারণ করে, এর অনুভূমিক অভিক্ষেপের সাথে মিলে যায় সিলিন্ডারের ভিত্তির অভিক্ষেপ এবং সামনের অংশটিও একটি উপবৃত্তের আকার ধারণ করে। কিন্তু যদি কাটিং প্লেনটি সিলিন্ডারের অক্ষের সাথে 45 ° এর সমান একটি কোণ তৈরি করে, তাহলে একটি উপবৃত্তের আকৃতির অংশটি একটি বৃত্ত দ্বারা অনুমানগুলির সেই সমতলে অভিক্ষিপ্ত হয় যেখানে বিভাগটি একই দিকে ঝুঁকে থাকে। কোণ

যদি কাটিং প্লেনটি সিলিন্ডারের পাশের পৃষ্ঠ এবং এর একটি ভিত্তিকে ছেদ করে (চিত্র 8.6), তবে ছেদ রেখাটি একটি অসম্পূর্ণ উপবৃত্তের (একটি উপবৃত্তের অংশ) আকার ধারণ করে। এই ক্ষেত্রে বিভাগের অনুভূমিক অভিক্ষেপ বৃত্তের অংশ (বেসের অভিক্ষেপ), এবং সম্মুখভাগটি উপবৃত্তের অংশ। প্লেনটি যেকোন প্রজেকশন প্লেনের সাথে লম্বভাবে অবস্থিত হতে পারে, তারপর বিভাগটি একটি সরল রেখা (সেক্যান্ট প্লেনের ট্রেসের অংশ) দ্বারা এই প্রক্ষেপণ সমতলে প্রক্ষেপিত হবে।

যদি সিলিন্ডারটি জেনারাট্রিক্সের সমান্তরাল সমতল দ্বারা ছেদ করা হয়, তবে পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের সাথে ছেদ করার রেখাগুলি সোজা হয় এবং সিলিন্ডারটি সোজা হলে বিভাগটি নিজেই একটি আয়তক্ষেত্রের আকার ধারণ করে, বা সিলিন্ডারটি ঝুঁকে থাকলে একটি সমান্তরাল বৃত্তের আকার ধারণ করে।

আপনি জানেন যে, সিলিন্ডার এবং শঙ্কু উভয়ই শাসিত পৃষ্ঠ দ্বারা গঠিত হয়।

শাসিত পৃষ্ঠের ছেদ রেখা (কাটা লাইন) এবং সাধারণ ক্ষেত্রে সমতল একটি নির্দিষ্ট বক্ররেখা, যা সেক্যান্ট সমতলের সাথে জেনারেটরগুলির ছেদ বিন্দু থেকে নির্মিত হয়।

দেওয়া হোক সোজা বৃত্তাকার শঙ্কু।সমতলের সাথে এটি অতিক্রম করার সময়, ছেদ রেখাটি আকার নিতে পারে: একটি ত্রিভুজ, একটি উপবৃত্ত, একটি বৃত্ত, একটি প্যারাবোলা, একটি হাইপারবোলা (চিত্র 8.7), প্লেনের অবস্থানের উপর নির্ভর করে।

একটি ত্রিভুজ পাওয়া যায় যখন কাটিং প্লেন, শঙ্কু অতিক্রম করে, তার শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়। এই ক্ষেত্রে, পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের সাথে ছেদ করার রেখাগুলি শঙ্কুর শীর্ষে ছেদ করা সরল রেখা, যা বেসের ছেদ রেখার সাথে একত্রে বিকৃতি সহ অভিক্ষেপ সমতলগুলির উপর প্রক্ষিপ্ত একটি ত্রিভুজ গঠন করে। যদি সমতলটি শঙ্কুর অক্ষকে ছেদ করে, তবে বিভাগে একটি ত্রিভুজ পাওয়া যায়, যেখানে শীর্ষবিন্দুর সাথে কোণটি শঙ্কুর শীর্ষবিন্দুর সাথে মিলে যায় প্রদত্ত শঙ্কুর ত্রিভুজ অংশগুলির জন্য সর্বাধিক হবে। এই ক্ষেত্রে, বিভাগটি একটি সরল রেখার অংশ দ্বারা অনুভূমিক অভিক্ষেপ সমতলে (এটি তার ভিত্তির সমান্তরাল) সম্মুখে অভিক্ষিপ্ত হয়।

একটি সমতল এবং একটি শঙ্কুর ছেদ করার রেখাটি একটি উপবৃত্ত হবে যদি সমতলটি শঙ্কুর কোনো জেনারেটরের সমান্তরাল না হয়। এটি এই সত্যের সমতুল্য যে সমতলটি সমস্ত জেনারেটরকে ছেদ করে (শঙ্কুর সম্পূর্ণ পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ)। যদি কাটিং প্লেনটি শঙ্কুর ভিত্তির সমান্তরাল হয়, তাহলে ছেদ লাইনটি একটি বৃত্ত, বিভাগটি নিজেই অনুভূমিক অভিক্ষেপ সমতলে বিকৃতি ছাড়াই অভিক্ষিপ্ত হয়, এবং সম্মুখ সমতলে - একটি সরল রেখার অংশ হিসাবে।

ছেদ রেখাটি একটি প্যারাবোলা হবে যখন সেক্যান্ট সমতলটি শঙ্কুর শুধুমাত্র একটি জেনাট্রিক্সের সমান্তরাল হবে। যদি কাটিং প্লেনটি একই সময়ে দুটি জেনারেটরের সমান্তরাল হয়, তাহলে ছেদ রেখাটি একটি হাইপারবোলা।

একটি ছেঁটে দেওয়া শঙ্কু পাওয়া যায় যদি একটি ডান বৃত্তাকার শঙ্কুকে একটি সমতল দ্বারা ছেদ করা হয় যা বেসের সমান্তরাল এবং শঙ্কুর অক্ষের লম্ব দ্বারা ছেদ করা হয় এবং উপরের অংশটি বাতিল করা হয়। ক্ষেত্রে যখন অনুভূমিক অভিক্ষেপ সমতল ছেঁটে যাওয়া শঙ্কুর ঘাঁটির সমান্তরাল হয়, তখন এই ঘাঁটিগুলিকেন্দ্রিক বৃত্ত দ্বারা বিকৃতি ছাড়াই অনুভূমিক অভিক্ষেপ সমতলে অভিক্ষিপ্ত করা হয় এবং সামনের অভিক্ষেপটি একটি ট্র্যাপিজয়েড। যখন একটি ছাঁটা শঙ্কু একটি সমতল দ্বারা ছেদ করা হয়, তখন তার অবস্থানের উপর নির্ভর করে, কাটা রেখাটি একটি ট্র্যাপিজয়েড, উপবৃত্ত, বৃত্ত, প্যারাবোলা, হাইপারবোলা বা এই বক্ররেখাগুলির একটির অংশের আকার নিতে পারে, যার প্রান্তগুলি একটি দ্বারা সংযুক্ত থাকে। সোজা লাইন.

ডায়াগনস্টিক কাজ 19 টি কাজ সহ দুটি অংশ নিয়ে গঠিত। পার্ট 1-এ একটি সংক্ষিপ্ত উত্তর সহ একটি মৌলিক স্তরের জটিলতার 8টি কাজ রয়েছে। পার্ট 2-এ একটি সংক্ষিপ্ত উত্তর সহ জটিলতার বর্ধিত স্তরের 4টি কাজ এবং একটি বিস্তারিত উত্তর সহ বর্ধিত এবং উচ্চ স্তরের জটিলতার 7টি কাজ রয়েছে।
3 ঘন্টা 55 মিনিট (235 মিনিট) গণিতে ডায়াগনস্টিক কাজ সম্পাদন করার জন্য বরাদ্দ করা হয়।
1-12 টাস্কের উত্তরগুলি একটি পূর্ণসংখ্যা বা একটি চূড়ান্ত দশমিক ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা হয়। কাজের টেক্সটে উত্তর ক্ষেত্রগুলিতে নম্বরগুলি লিখুন এবং তারপর উত্তরপত্র নং 1 এ স্থানান্তর করুন। 13-19 টাস্কগুলি শেষ করার সময়, আপনাকে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তরপত্র নং-এর উত্তর লিখতে হবে। 2.
সমস্ত ফর্ম উজ্জ্বল কালো কালিতে সম্পূর্ণ হয়। জেল, কৈশিক বা ফাউন্টেন পেন ব্যবহার অনুমোদিত।
অ্যাসাইনমেন্টগুলি সম্পূর্ণ করার সময়, আপনি একটি খসড়া ব্যবহার করতে পারেন। খসড়া এন্ট্রিগুলি কাজের মূল্যায়নের জন্য গণনা করা হয় না।
সমাপ্ত কাজগুলির জন্য আপনি যে পয়েন্টগুলি পান তা সংক্ষিপ্ত করা হয়।
আমরা আপনার সাফল্য কামনা করি!

টাস্ক শর্তাবলী

1. যদি খুঁজুন
2. ল্যাবরেটরিতে স্ক্রিনে একটি আলোক বাল্বের একটি বর্ধিত চিত্র পেতে, প্রধান ফোকাল দৈর্ঘ্য = 30 সেমি সহ একটি কনভারজিং লেন্স ব্যবহার করা হয়। লেন্স থেকে লাইট বাল্বের দূরত্ব 40 থেকে 65 সেমি, এবং দূরত্ব পরিবর্তিত হতে পারে লেন্স থেকে স্ক্রীন পর্যন্ত - 75 থেকে 100 সেমি পরিসরে। অনুপাত পূরণ হলে স্ক্রিনের চিত্রটি পরিষ্কার হবে। লেন্স থেকে সর্বাধিক দূরত্ব নির্দিষ্ট করুন যে আলোর বাল্বটি স্থাপন করা যেতে পারে যাতে স্ক্রিনে এর চিত্র পরিষ্কার হয়। সেন্টিমিটারে আপনার উত্তর প্রকাশ করুন।
3. জাহাজটি নদীর পাশ দিয়ে গন্তব্যে 300 কিলোমিটার যায় এবং পার্কিং করার পরে প্রস্থানের স্থানে ফিরে আসে। স্রোতের গতি নির্ণয় করুন, যদি স্থির জলে জাহাজের গতি 15 কিমি/ঘন্টা হয়, পার্কিং 5 ঘন্টা স্থায়ী হয় এবং জাহাজটি ছাড়ার 50 ঘন্টা পরে প্রস্থানের পয়েন্টে ফিরে আসে। কিমি/ঘন্টায় আপনার উত্তর দিন।
4. একটি অংশে একটি ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান খুঁজুন
5. ক) সমীকরণটি সমাধান কর খ) এই সমীকরণের সমস্ত শিকড় খুঁজুন যা সেগমেন্টের অন্তর্গত
6. একটি শীর্ষবিন্দু সহ একটি ডান বৃত্তাকার শঙ্কু দেওয়া হয়েছে এম. শঙ্কুর অক্ষীয় বিভাগ - শীর্ষে 120 ° কোণ সহ একটি ত্রিভুজ এম. শঙ্কু জেনারেটর হয়। ডট মাধ্যমে এমশঙ্কুর একটি অংশ জেনারেটরের একটিতে লম্বভাবে আঁকা হয়।
   ক) প্রমাণ করুন যে প্রাপ্ত ত্রিভুজটি একটি স্থূল ত্রিভুজ।
   খ) কেন্দ্র থেকে দূরত্ব নির্ণয় কর সম্পর্কিতবিভাগের সমতলে শঙ্কুর ভিত্তি।
7. সমীকরণটি সমাধান করুন
8. কেন্দ্র সহ বৃত্ত সম্পর্কিতপাশ স্পর্শ করে এবিদ্বিসমত্রিভুজ abc,সাইড এক্সটেনশন এসিএবং ফাউন্ডেশনের ধারাবাহিকতা সূর্যবিন্দুতে এন. ডট এম- বেসের মাঝখানে সূর্য
   ক) প্রমাণ কর MN=AC।
   খ) খুঁজুন ওএস,যদি ত্রিভুজের বাহু এবিসিহল 5, 5 এবং 8।
9. ব্যবসায়িক প্রকল্প "A" প্রথম দুই বছরে বার্ষিক 34.56% এবং পরবর্তী দুই বছরে বার্ষিক 44% দ্বারা বিনিয়োগ করা পরিমাণে বৃদ্ধি অনুমান করে৷ প্রকল্প "B" একটি ধ্রুবক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা বৃদ্ধি অনুমান করে nবার্ষিক শতাংশ। ক্ষুদ্রতম মান খুঁজুন n, যার অধীনে প্রথম চার বছরের জন্য প্রকল্প "B" প্রকল্প "A" এর চেয়ে বেশি লাভজনক হবে।
10. প্যারামিটারের সমস্ত মান খুঁজুন, , যার প্রতিটির জন্য সমীকরণের সিস্টেম একমাত্র সমাধান আছে
11. Anya একটি খেলা খেলে: দুটি ভিন্ন প্রাকৃতিক সংখ্যা বোর্ডে লেখা আছে এবং , উভয়ই 1000-এর কম। যদি উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তাহলে Anya একটি নড়াচড়া করে - সে এই দুটি সংখ্যা দিয়ে আগের সংখ্যাগুলিকে প্রতিস্থাপন করে। যদি এই সংখ্যাগুলির মধ্যে অন্তত একটি স্বাভাবিক সংখ্যা না হয়, তাহলে খেলা শেষ হয়।
    ক) খেলা কি ঠিক তিনটি চালের জন্য চলতে পারে?
    খ) এমন দুটি প্রাথমিক সংখ্যা আছে যে গেমটি কমপক্ষে 9 টি চললে চলবে?
    গ) আনিয়া খেলায় প্রথম পদক্ষেপ নিয়েছিল। প্রাপ্ত দুটি সংখ্যার গুণফলের সম্ভাব্য বৃহত্তম অনুপাত নির্ণয় কর