বৃত্তাকার আন্দোলন। বৃত্তাকার গতি সমীকরণ

ইউএসই কোডিফায়ারের বিষয়: একটি ধ্রুবক মডুলো গতি, কেন্দ্রীভূত ত্বরণ সহ একটি বৃত্তে চলাচল।

অভিন্ন বৃত্তাকার গতি একটি ত্বরণ ভেক্টর সহ গতির একটি মোটামুটি সহজ উদাহরণ যা সময়ের উপর নির্ভর করে।

বিন্দুটিকে ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে ঘুরতে দিন। একটি বিন্দুর গতি ধ্রুবক মডুলো এবং সমান। গতি বলা হয় রৈখিক গতিপয়েন্ট

প্রচলনের সময়কাল একটি সম্পূর্ণ বিপ্লবের সময়। সময়ের জন্য, আমাদের একটি সুস্পষ্ট সূত্র আছে:

. (1)

সঞ্চালনের ফ্রিকোয়েন্সি সময়কালের পারস্পরিক হয়:

ফ্রিকোয়েন্সি নির্দেশ করে যে বিন্দুটি প্রতি সেকেন্ডে কতটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন করে। ফ্রিকোয়েন্সি আরপিএম (প্রতি সেকেন্ডে বিপ্লব) পরিমাপ করা হয়।

যাক, উদাহরণস্বরূপ, . এর মানে হল যে সময় বিন্দু একটি সম্পূর্ণ করে তোলে
টার্নওভার এই ক্ষেত্রে ফ্রিকোয়েন্সি সমান: সম্পর্কে / সে; বিন্দু প্রতি সেকেন্ডে 10টি সম্পূর্ণ আবর্তন করে।

কৌণিক বেগ.

কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি বিন্দুর অভিন্ন ঘূর্ণন বিবেচনা করুন। চলুন বৃত্তের কেন্দ্রে স্থানাঙ্কের উত্স স্থাপন করা যাক (চিত্র 1)।

ভাত। 1. অভিন্ন বৃত্তাকার গতি

ধরা যাক বিন্দুর প্রাথমিক অবস্থান; অন্য কথায়, বিন্দুর স্থানাঙ্ক ছিল। বিন্দুটিকে সময়মতো একটি কোণে ঘুরিয়ে অবস্থান নিতে দিন।

সময়ের সাথে ঘূর্ণন কোণের অনুপাতকে বলা হয় কৌণিক বেগ বিন্দু ঘূর্ণন:

. (2)

কোণ সাধারণত রেডিয়ানে পরিমাপ করা হয়, তাই কৌণিক বেগ rad/s-এ পরিমাপ করা হয়। ঘূর্ণনের সময়ের সমান সময়ের জন্য, বিন্দুটি একটি কোণের মাধ্যমে ঘোরে। এই জন্য

. (3)

সূত্র (1) এবং (3) তুলনা করে, আমরা রৈখিক এবং কৌণিক বেগের মধ্যে সম্পর্ক পাই:

. (4)

গতির নিয়ম।

আসুন এখন সময়ের সাথে ঘূর্ণন বিন্দুর স্থানাঙ্কের নির্ভরতা খুঁজে বের করা যাক। আমরা চিত্র থেকে দেখতে. 1 যে

কিন্তু সূত্র (2) থেকে আমাদের আছে: . অতএব,

. (5)

সূত্র (5) হল একটি বৃত্ত বরাবর একটি বিন্দুর অভিন্ন গতির জন্য বলবিদ্যার প্রধান সমস্যার সমাধান।

কেন্দ্রমুখী ত্বরণ.

এখন আমরা ঘূর্ণন বিন্দুর ত্বরণে আগ্রহী। এটি সম্পর্ককে (5) দুবার পার্থক্য করে পাওয়া যেতে পারে:

হিসাব সূত্রে (5), আমাদের আছে:

(6)

ফলস্বরূপ সূত্রগুলি (6) একটি একক ভেক্টর সমতা হিসাবে লেখা যেতে পারে:

(7)

ঘূর্ণন বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর কোথায়।

আমরা দেখি যে ত্বরণ ভেক্টর ব্যাসার্ধ ভেক্টরের বিপরীতে, অর্থাৎ বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে (চিত্র 1 দেখুন)। অতএব, একটি বৃত্তে সমানভাবে চলমান একটি বিন্দুর ত্বরণ বলা হয় কেন্দ্রমুখী

উপরন্তু, সূত্র (7) থেকে আমরা কেন্দ্রবিন্দু ত্বরণের মডুলাসের জন্য একটি অভিব্যক্তি পাই:

(8)

আমরা (4) থেকে কৌণিক বেগ প্রকাশ করি

এবং (8) এ প্রতিস্থাপন করুন। কেন্দ্রীভূত ত্বরণের জন্য আরও একটি সূত্র পাওয়া যাক।

এই পাঠে, আমরা বক্ররেখার গতি বিবেচনা করব, যেমন একটি বৃত্তে একটি শরীরের অভিন্ন গতি। আমরা শিখব রৈখিক গতি কী, কেন্দ্রবিন্দু ত্বরণ যখন একটি দেহ একটি বৃত্তে চলে। আমরা এমন পরিমাণও প্রবর্তন করি যা ঘূর্ণন গতির বৈশিষ্ট্য (ঘূর্ণন সময়কাল, ঘূর্ণন ফ্রিকোয়েন্সি, কৌণিক বেগ) এবং একে অপরের সাথে এই পরিমাণগুলিকে সংযুক্ত করে।

একটি বৃত্তে অভিন্ন গতির দ্বারা বোঝা যায় যে দেহটি একই কোণে যেকোন একই সময়ের জন্য ঘোরে (চিত্র 6 দেখুন)।

ভাত। 6. অভিন্ন বৃত্তাকার গতি

অর্থাৎ, তাত্ক্ষণিক গতির মডিউল পরিবর্তন হয় না:

এই গতি বলা হয় রৈখিক.

যদিও গতির মডুলাস পরিবর্তন হয় না, গতির দিক ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়। বিন্দুতে বেগ ভেক্টর বিবেচনা করুন কএবং খ(চিত্র 7 দেখুন)। তারা বিভিন্ন দিক নির্দেশিত হয়, তাই তারা সমান নয়। বিন্দুতে গতি থেকে বিয়োগ করলে খপয়েন্ট গতি ক, আমরা একটি ভেক্টর পাই।

ভাত। 7. বেগ ভেক্টর

গতির পরিবর্তনের অনুপাত () যে সময়ে এই পরিবর্তনটি ঘটেছিল () হল ত্বরণ।

অতএব, যেকোনো বক্ররেখা গতি ত্বরান্বিত হয়.

যদি আমরা চিত্র 7 এ প্রাপ্ত বেগ ত্রিভুজ বিবেচনা করি, তাহলে বিন্দুগুলির খুব কাছাকাছি বিন্যাস সহ কএবং খএকে অপরের কাছে, বেগ ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ (α) শূন্যের কাছাকাছি হবে:

এটি আরও জানা যায় যে এই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু, তাই বেগের মডিউলগুলি সমান (অভিন্ন গতি):

অতএব, এই ত্রিভুজের গোড়ার উভয় কোণই অনির্দিষ্টকালের কাছাকাছি:

এর মানে হল যে ত্বরণটি ভেক্টর বরাবর নির্দেশিত হয় তা আসলে স্পর্শকের সাথে লম্ব। এটি জানা যায় যে একটি স্পর্শকের সাথে লম্ব একটি বৃত্তের একটি রেখা একটি ব্যাসার্ধ, তাই ত্বরণ বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে ব্যাসার্ধ বরাবর নির্দেশিত হয়। এই ত্বরণকে কেন্দ্রবিন্দু বলা হয়।

চিত্র 8 আগে আলোচিত বেগের ত্রিভুজ এবং একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ দেখায় (দুটি বাহু হল একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ)। এই ত্রিভুজগুলি একই রকম, কারণ তাদের পারস্পরিক লম্ব রেখা দ্বারা গঠিত সমান কোণ রয়েছে (ভেক্টরের মতো ব্যাসার্ধটি স্পর্শকের সাথে লম্ব)।

ভাত। 8. কেন্দ্রবিন্দু ত্বরণ সূত্রের উদ্ভবের জন্য চিত্রণ

লাইনের অংশ এবিসরানো() হল। আমরা অভিন্ন বৃত্তাকার গতি বিবেচনা করছি, তাই:

আমরা এর ফলে অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন এবিত্রিভুজ সাদৃশ্য সূত্রে:

"রৈখিক গতি", "ত্বরণ", "সমন্বয়" ধারণাগুলি একটি বাঁকা ট্র্যাজেক্টোরি বরাবর গতিবিধি বর্ণনা করার জন্য যথেষ্ট নয়। অতএব, ঘূর্ণন গতির বৈশিষ্ট্যযুক্ত পরিমাণগুলি প্রবর্তন করা প্রয়োজন।

1. ঘূর্ণন সময়কাল (টি ) এক সম্পূর্ণ বিপ্লবের সময় বলা হয়। এটি সেকেন্ডে এসআই ইউনিটে পরিমাপ করা হয়।

পিরিয়ডের উদাহরণ: পৃথিবী তার অক্ষের চারপাশে 24 ঘন্টা (), এবং সূর্যের চারপাশে - 1 বছরে () ঘোরে।

সময়কাল গণনার জন্য সূত্র:

মোট ঘূর্ণন সময় কোথায়; - বিপ্লবের সংখ্যা।

2. ঘূর্ণন ফ্রিকোয়েন্সি (n ) - সময় প্রতি একক শরীরের যে বিপ্লবের সংখ্যা. এটি পারস্পরিক সেকেন্ডে SI ইউনিটে পরিমাপ করা হয়।

ফ্রিকোয়েন্সি খোঁজার সূত্র:

মোট ঘূর্ণন সময় কোথায়; - বিপ্লবের সংখ্যা

ফ্রিকোয়েন্সি এবং সময়কাল বিপরীতভাবে সমানুপাতিক:

3. কৌণিক বেগ () কোণের পরিবর্তনের অনুপাতকে বলা হয় যে সময়ে শরীরটি এই বাঁকটি ঘটানোর সময়ে পরিণত হয়েছিল। এটি SI ইউনিটে রেডিয়ানে সেকেন্ড দ্বারা বিভক্ত করা হয়।

কৌণিক বেগ খুঁজে বের করার সূত্র:

কোণ পরিবর্তন কোথায়; এটি পালা সঞ্চালিত জন্য সময় লেগেছে.

বৃত্তাকার গতি একটি শরীরের বক্ররেখা গতির সবচেয়ে সহজ কেস। যখন একটি দেহ স্থানচ্যুতি ভেক্টরের সাথে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর চারপাশে ঘোরে, তখন রেডিয়ানে পরিমাপ করা কৌণিক স্থানচ্যুতি ∆ φ (বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে সম্পর্কিত ঘূর্ণনের কোণ) প্রবর্তন করা সুবিধাজনক।

কৌণিক স্থানচ্যুতি জেনে, শরীরটি যে বৃত্তাকার চাপ (পথ) অতিক্রম করেছে তার দৈর্ঘ্য গণনা করা সম্ভব।

∆ l = R ∆ φ

ঘূর্ণনের কোণ ছোট হলে, ∆ l ≈ ∆ s।

আসুন ব্যাখ্যা করা যাক কি বলা হয়েছে:

কৌণিক বেগ

বক্ররেখার গতির সাথে, কৌণিক বেগ ω ধারণাটি চালু করা হয়, অর্থাৎ, ঘূর্ণনের কোণে পরিবর্তনের হার।

সংজ্ঞা। কৌণিক বেগ

ট্র্যাজেক্টোরির একটি প্রদত্ত বিন্দুতে কৌণিক বেগ হল কৌণিক স্থানচ্যুতি ∆ φ এবং সময় ব্যবধান ∆ t এর অনুপাতের সীমা যা এটি ঘটেছিল। ∆t → 0।

ω = ∆ φ ∆ t, ∆ t → 0।

কৌণিক বেগের পরিমাপের একক হল রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ড (r a d s)।

বৃত্তে চলার সময় শরীরের কৌণিক এবং রৈখিক বেগের মধ্যে একটি সম্পর্ক রয়েছে। কৌণিক বেগ খুঁজে বের করার সূত্র:

একটি বৃত্তে অভিন্ন গতির সাথে, গতি v এবং ω অপরিবর্তিত থাকে। শুধুমাত্র রৈখিক বেগ ভেক্টরের দিক পরিবর্তন হয়।

এই ক্ষেত্রে, শরীরের উপর একটি বৃত্ত বরাবর একটি অভিন্ন আন্দোলন কেন্দ্রবিন্দু, বা স্বাভাবিক ত্বরণ দ্বারা প্রভাবিত হয়, বৃত্তের ব্যাসার্ধ বরাবর তার কেন্দ্রে নির্দেশিত হয়।

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

কেন্দ্রবিন্দু ত্বরণ মডিউল সূত্র দ্বারা গণনা করা যেতে পারে:

a n = v 2 R = ω 2 R

আসুন এই সম্পর্কগুলি প্রমাণ করি।

আসুন বিবেচনা করা যাক কিভাবে ভেক্টর v → অল্প সময়ের মধ্যে পরিবর্তিত হয় ∆ t। ∆ v → = v B → - v A →।

A এবং B বিন্দুতে, বেগ ভেক্টর স্পর্শকভাবে বৃত্তের দিকে পরিচালিত হয়, যখন উভয় বিন্দুতে বেগ মডিউল একই।

ত্বরণের সংজ্ঞা অনুসারে:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

চলুন ছবিটি দেখিঃ

ত্রিভুজ OAB এবং BCD একই রকম। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে O A A B = B C C D।

কোণের মান ∆ φ ছোট হলে, দূরত্ব A B = ∆ s ≈ v · ∆ t। উপরে বিবেচনা করা অনুরূপ ত্রিভুজগুলির জন্য O A \u003d R এবং C D \u003d ∆ v বিবেচনা করে, আমরা পাই:

R v ∆ t = v ∆ v বা ∆ v ∆ t = v 2 R

যখন ∆ φ → 0, ভেক্টরের দিক ∆ v → = v B → - v A → বৃত্তের কেন্দ্রের দিকের দিকে আসে। ধরে নিলাম যে ∆ t → 0, আমরা পাই:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; a n → = v 2 R।

একটি বৃত্ত বরাবর অভিন্ন গতির সাথে, ত্বরণ মডিউলটি স্থির থাকে এবং বৃত্তের কেন্দ্রে অভিযোজন বজায় রেখে ভেক্টরের দিকটি সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়। এই কারণেই এই ত্বরণকে কেন্দ্রবিন্দু বলা হয়: ভেক্টর যে কোনো সময় বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে পরিচালিত হয়।

ভেক্টর আকারে কেন্দ্রীভূত ত্বরণের রেকর্ডটি নিম্নরূপ:

a n → = - ω 2 R →।

এখানে R → হল একটি বৃত্তের একটি বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর যার উৎপত্তি কেন্দ্রে।

সাধারণ ক্ষেত্রে, একটি বৃত্ত বরাবর চলার সময় ত্বরণে দুটি উপাদান থাকে - স্বাভাবিক এবং স্পর্শক।

কেসটি বিবেচনা করুন যখন শরীরটি বৃত্তের সাথে সমানভাবে চলে না। আসুন স্পর্শক (স্পর্শ্য) ত্বরণের ধারণাটি প্রবর্তন করি। এর দিকটি শরীরের রৈখিক বেগের দিকের সাথে মিলে যায় এবং বৃত্তের প্রতিটি বিন্দুতে এটি স্পর্শকভাবে নির্দেশিত হয়।

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆t → 0

এখানে ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 হল ব্যবধানের উপর বেগ মডিউলের পরিবর্তন ∆ t

পূর্ণ ত্বরণের দিকটি স্বাভাবিক এবং স্পর্শক ত্বরণের ভেক্টর যোগফল দ্বারা নির্ধারিত হয়।

একটি সমতলে বৃত্তাকার গতি দুটি স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে বর্ণনা করা যেতে পারে: x এবং y। সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে, শরীরের গতি v x এবং v y উপাদানগুলিতে পচে যেতে পারে।

গতি অভিন্ন হলে, মান v x এবং v y পাশাপাশি সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি T = 2 π R v = 2 π ω একটি পর্যায় সহ সুরেলা সূত্র অনুসারে সময়ের সাথে পরিবর্তিত হবে

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন