ভেক্টর আকারে সাধারণ সমতল সমীকরণ। সমতল সমীকরণ: সাধারণ, তিনটি বিন্দুর মাধ্যমে, স্বাভাবিক

সমতলের সমীকরণ। কিভাবে একটি সমতল একটি সমীকরণ লিখতে?
প্লেনের পারস্পরিক বিন্যাস। কাজ

স্থানিক জ্যামিতি "সমতল" জ্যামিতির চেয়ে বেশি জটিল নয়, এবং মহাকাশে আমাদের ফ্লাইট এই নিবন্ধটি দিয়ে শুরু হয়। বিষয় আয়ত্ত করতে, আপনি একটি ভাল বোঝার প্রয়োজন ভেক্টর, উপরন্তু, সমতলের জ্যামিতির সাথে পরিচিত হওয়ার পরামর্শ দেওয়া হয় - অনেক মিল থাকবে, অনেক সাদৃশ্য থাকবে, তাই তথ্যগুলি আরও ভাল হজম হবে। আমার পাঠের একটি সিরিজে, 2D বিশ্ব একটি নিবন্ধের সাথে খোলে সমতলে সরলরেখার সমীকরণ. কিন্তু এখন ব্যাটম্যান ফ্ল্যাট টিভি স্ক্রীন ছেড়ে বাইকোনুর কসমোড্রোম থেকে লঞ্চ করছে।

চলুন শুরু করা যাক অঙ্কন এবং প্রতীক দিয়ে। পরিকল্পিতভাবে, সমতলটি একটি সমান্তরালগ্রাম আকারে আঁকা যেতে পারে, যা স্থানের ছাপ তৈরি করে:

সমতল অসীম, কিন্তু আমাদের কাছে এটির একটি অংশকে চিত্রিত করার সুযোগ রয়েছে। অনুশীলনে, সমান্তরালগ্রাম ছাড়াও, একটি ডিম্বাকৃতি বা এমনকি একটি মেঘও আঁকা হয়। প্রযুক্তিগত কারণে, বিমানটিকে ঠিক এইভাবে এবং ঠিক এই অবস্থানে চিত্রিত করা আমার পক্ষে আরও সুবিধাজনক। বাস্তব প্লেনগুলি, যা আমরা ব্যবহারিক উদাহরণগুলিতে বিবেচনা করব, যে কোনও উপায়ে অবস্থিত হতে পারে - মানসিকভাবে আপনার হাতে অঙ্কনটি নিন এবং এটিকে মহাকাশে ঘোরান, বিমানটিকে যে কোনও প্রবণতা, যে কোনও কোণ দেয়।

পদবী: প্লেনগুলি সাধারণত ছোট গ্রীক অক্ষরে বোঝানো হয়, দৃশ্যত যাতে তাদের সাথে বিভ্রান্ত না হয় একটি সমতলে সরল রেখাঅথবা সঙ্গে মহাকাশে সরল রেখা. আমি চিঠি ব্যবহার করতে অভ্যস্ত. অঙ্কনে এটি "সিগমা" অক্ষর, এবং কোনও গর্ত নয়। যদিও, হোলি প্লেন অবশ্যই বেশ মজার।

কিছু ক্ষেত্রে, প্লেন নির্ধারণের জন্য নিম্ন সাবস্ক্রিপ্ট সহ একই গ্রীক অক্ষর ব্যবহার করা সুবিধাজনক, উদাহরণস্বরূপ,।

এটা স্পষ্ট যে সমতল তিনটি ভিন্ন বিন্দু দ্বারা স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা একই লাইনে থাকে না। অতএব, প্লেনগুলির তিন-অক্ষরের উপাধিগুলি বেশ জনপ্রিয় - তাদের অন্তর্গত পয়েন্টগুলির দ্বারা, উদাহরণস্বরূপ, ইত্যাদি। প্রায়শই অক্ষর বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে: , যাতে প্লেনটিকে অন্য জ্যামিতিক চিত্রের সাথে বিভ্রান্ত না করে।

অভিজ্ঞ পাঠকদের জন্য দিচ্ছি দ্রুত অ্যাক্সেস মেনু:

• একটি বিন্দু এবং দুটি ভেক্টর ব্যবহার করে একটি সমতলের সমীকরণ কীভাবে তৈরি করবেন?
• একটি বিন্দু এবং একটি সাধারণ ভেক্টর ব্যবহার করে একটি সমতলের সমীকরণ কীভাবে তৈরি করবেন?

এবং আমরা দীর্ঘ অপেক্ষায় ক্ষান্ত হব না:

সাধারণ সমতল সমীকরণ

সমতলের সাধারণ সমীকরণের ফর্ম রয়েছে, যেখানে সহগ একই সময়ে শূন্যের সমান নয়।

অনেকগুলি তাত্ত্বিক গণনা এবং ব্যবহারিক সমস্যা স্বাভাবিক অর্থনর্মাল ভিত্তিতে এবং স্থানের অ্যাফাইন ভিত্তিতে উভয়ের জন্যই বৈধ (যদি তেল তেল হয়, পাঠে ফিরে যান ভেক্টরের রৈখিক (অ) নির্ভরতা। ভেক্টরের ভিত্তি) সরলতার জন্য, আমরা ধরে নেব যে সমস্ত ঘটনা একটি অর্থনর্মাল ভিত্তিতে এবং একটি কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থায় ঘটে।

এখন আমাদের স্থানিক কল্পনাকে একটু অনুশীলন করা যাক। আপনার খারাপ হলে ঠিক আছে, এখন আমরা এটিকে একটু বিকশিত করব। এমনকি স্নায়ুতে খেলার জন্য প্রশিক্ষণের প্রয়োজন হয়।

সর্বাধিক সাধারণ ক্ষেত্রে, যখন সংখ্যাগুলি শূন্যের সমান হয় না, তখন সমতল তিনটি স্থানাঙ্ক অক্ষকে ছেদ করে। উদাহরণস্বরূপ, এই মত:

আমি আবারও পুনরাবৃত্তি করছি যে প্লেনটি অনির্দিষ্টকালের জন্য সমস্ত দিকে চলতে থাকে এবং আমাদের কাছে এটির শুধুমাত্র একটি অংশ চিত্রিত করার সুযোগ রয়েছে।

আসুন প্লেনের সহজ সমীকরণগুলি বিবেচনা করি:

এই সমীকরণ কিভাবে বুঝবেন? এটি সম্পর্কে চিন্তা করুন: "X" এবং "Y" এর যেকোনো মানের জন্য "Z" সর্বদা শূন্যের সমান। এটি "নেটিভ" স্থানাঙ্ক সমতলের সমীকরণ। প্রকৃতপক্ষে, আনুষ্ঠানিকভাবে সমীকরণটি নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা যেতে পারে: , যেখান থেকে আপনি স্পষ্টভাবে দেখতে পাচ্ছেন যে "x" এবং "y" মানগুলি কী নেয় তা আমরা চিন্তা করি না, এটি গুরুত্বপূর্ণ যে "z" শূন্যের সমান।

একইভাবে:
- স্থানাঙ্ক সমতলের সমীকরণ;
- স্থানাঙ্ক সমতলের সমীকরণ।

আসুন সমস্যাটিকে একটু জটিল করি, একটি সমতল বিবেচনা করুন (এখানে এবং আরও অনুচ্ছেদে আমরা অনুমান করি যে সংখ্যাগত সহগগুলি শূন্যের সমান নয়)। সমীকরণটি ফর্মে আবার লিখি: এটা কিভাবে বুঝব? একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার সমান "Y" এবং "Z" এর যেকোনো মানের জন্য, "X" সর্বদা হয়। এই সমতল স্থানাঙ্ক সমতলের সমান্তরাল। উদাহরণস্বরূপ, একটি সমতল একটি সমতলের সমান্তরাল এবং একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।

একইভাবে:
- সমতলের সমীকরণ যা স্থানাঙ্ক সমতলের সমান্তরাল;
- সমতলের সমীকরণ যা স্থানাঙ্ক সমতলের সমান্তরাল।

সদস্যদের যোগ করা যাক: . সমীকরণটি নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা যেতে পারে: , অর্থাৎ, "zet" যেকোনো কিছু হতে পারে। এর মানে কী? "X" এবং "Y" সম্পর্ক দ্বারা সংযুক্ত, যা সমতলে একটি নির্দিষ্ট সরল রেখা আঁকে (আপনি খুঁজে পাবেন একটি সমতলে একটি লাইনের সমীকরণ?) যেহেতু "z" যেকোনও হতে পারে, এই সরলরেখাটি যেকোন উচ্চতায় "প্রতিলিপি" হয়। এইভাবে, সমীকরণটি স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরাল একটি সমতলকে সংজ্ঞায়িত করে

একইভাবে:
- সমতলের সমীকরণ যা স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরাল;
- সমতলের সমীকরণ যা স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরাল।

যদি মুক্ত পদ শূন্য হয়, তাহলে প্লেনগুলি সরাসরি সংশ্লিষ্ট অক্ষগুলির মধ্য দিয়ে যাবে। উদাহরণস্বরূপ, ক্লাসিক "সরাসরি আনুপাতিকতা": . সমতলে একটি সরল রেখা আঁকুন এবং মানসিকভাবে এটিকে উপরে এবং নীচে গুণ করুন (যেহেতু "Z" যেকোন)। উপসংহার: সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত সমতল স্থানাঙ্ক অক্ষের মধ্য দিয়ে যায়।

আমরা পর্যালোচনাটি সম্পূর্ণ করি: সমতলের সমীকরণ উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যায়। ওয়েল, এখানে এটা বেশ সুস্পষ্ট যে পয়েন্টটি এই সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে।

এবং অবশেষে, অঙ্কনে দেখানো কেস: – প্লেনটি সমস্ত স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে বন্ধুত্বপূর্ণ, যখন এটি সর্বদা একটি ত্রিভুজকে "কাটা" করে, যা আটটি অষ্টেন্টের যে কোনওটিতে অবস্থিত হতে পারে।

মহাকাশে রৈখিক অসমতা

তথ্য বোঝার জন্য আপনাকে ভালোভাবে পড়াশোনা করতে হবে সমতলে রৈখিক অসমতাকারণ অনেক কিছুই একই রকম হবে। অনুচ্ছেদটি বেশ কয়েকটি উদাহরণ সহ একটি সংক্ষিপ্ত ওভারভিউ প্রকৃতির হবে, যেহেতু উপাদানটি অনুশীলনে বেশ বিরল।

যদি সমীকরণটি একটি সমতলকে সংজ্ঞায়িত করে, তাহলে অসমতা
জিজ্ঞাসা অর্ধেক স্থান. যদি অসমতা কঠোর না হয় (তালিকার শেষ দুটি), তাহলে অসমতার সমাধান, অর্ধ-স্থান ছাড়াও, সমতল নিজেই অন্তর্ভুক্ত।

উদাহরণ 5

সমতলের একক স্বাভাবিক ভেক্টর খুঁজুন .

সমাধান: একক ভেক্টর হল একটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য এক। এই ভেক্টরটি দ্বারা চিহ্নিত করা যাক। এটা একেবারে স্পষ্ট যে ভেক্টরগুলি সমরেখার:

প্রথমত, আমরা সমতলের সমীকরণ থেকে স্বাভাবিক ভেক্টরটি সরিয়ে ফেলি: .

কিভাবে একটি ইউনিট ভেক্টর খুঁজে পেতে? ইউনিট ভেক্টর খুঁজে পেতে, আপনার প্রয়োজন প্রতিভেক্টরের দৈর্ঘ্য দ্বারা ভেক্টর স্থানাঙ্ককে ভাগ করুন.

আসুন ফর্মে স্বাভাবিক ভেক্টরটি আবার লিখি এবং এর দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করি:

উপরের মতে:

উত্তর:

যাচাইকরণ: যা যাচাই করা দরকার ছিল।

পাঠকরা যারা মনোযোগ সহকারে পাঠের শেষ অনুচ্ছেদটি অধ্যয়ন করেছেন তারা সম্ভবত এটি লক্ষ্য করেছেন একক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি ঠিক ভেক্টরের দিকনির্দেশক কোসাইন:

আসুন হাতের সমস্যা থেকে বিরতি নেওয়া যাক: যখন আপনাকে একটি নির্বিচারে অ-শূন্য ভেক্টর দেওয়া হয়, এবং শর্ত অনুযায়ী এটির দিক কোসাইনগুলি খুঁজে বের করতে হবে (পাঠের শেষ সমস্যাগুলি দেখুন ভেক্টরের ডট পণ্য), তাহলে আপনি, আসলে, এটির সাথে একক ভেক্টর সমরেখা খুঁজে পাবেন। আসলে এক বোতলে দুটি কাজ।

গাণিতিক বিশ্লেষণের কিছু সমস্যায় একক স্বাভাবিক ভেক্টর খুঁজে বের করার প্রয়োজন দেখা দেয়।

আমরা কিভাবে একটি সাধারণ ভেক্টর মাছ বের করতে হয় তা বের করেছি, এখন বিপরীত প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যাক:

একটি বিন্দু এবং একটি সাধারণ ভেক্টর ব্যবহার করে একটি সমতলের সমীকরণ কীভাবে তৈরি করবেন?

একটি সাধারণ ভেক্টর এবং একটি বিন্দুর এই কঠোর নির্মাণ ডার্টবোর্ডের কাছে সুপরিচিত। অনুগ্রহ করে আপনার হাতটি সামনের দিকে প্রসারিত করুন এবং মানসিকভাবে স্পেসে একটি নির্বিচারে বিন্দু নির্বাচন করুন, উদাহরণস্বরূপ, সাইডবোর্ডে একটি ছোট বিড়াল। স্পষ্টতই, এই পয়েন্টের মাধ্যমে আপনি আপনার হাতের লম্ব একটি একক সমতল আঁকতে পারেন।

ভেক্টরের লম্ব বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের সমীকরণ সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

সাধারণ সমতল সমীকরণ।

ফর্মের সাধারণ সমতল সমীকরণ বলা হয় সাধারণ সমতল সমীকরণ, যদি ভেক্টর দৈর্ঘ্য একের সমান, অর্থাৎ, , এবং .

আপনি প্রায়ই দেখতে পারেন যে একটি সমতলের স্বাভাবিক সমীকরণ হিসাবে লেখা হয়। এখানে একক দৈর্ঘ্যের একটি প্রদত্ত সমতলের সাধারণ ভেক্টরের দিকনির্দেশক কোসাইন রয়েছে, অর্থাৎ এবং পি– উৎস থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্বের সমান একটি নন-নেতিবাচক সংখ্যা।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি সমতলের সাধারণ সমীকরণ অক্সিজএকটি সমতলকে সংজ্ঞায়িত করে যা একটি দূরত্ব দ্বারা উত্স থেকে সরানো হয় পিএই সমতলের স্বাভাবিক ভেক্টরের ইতিবাচক দিকে . যদি p=0, তারপর প্লেন উৎপত্তি মাধ্যমে পাস.

একটি সাধারণ সমতল সমীকরণের উদাহরণ দেওয়া যাক।

সমতল একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে নির্দিষ্ট করা যাক অক্সিজফর্মের সাধারণ সমতল সমীকরণ . সমতলের এই সাধারণ সমীকরণটি সমতলের সাধারণ সমীকরণ। প্রকৃতপক্ষে, এই সমতলের স্বাভাবিক ভেক্টর একতা সমান দৈর্ঘ্য আছে, থেকে .

সাধারণ আকারে একটি সমতলের সমীকরণ আপনাকে একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলের দূরত্ব খুঁজে পেতে দেয়।

একটি বিন্দু থেকে একটি সমতল দূরত্ব.

একটি বিন্দু থেকে সমতলের দূরত্ব হল এই বিন্দু এবং সমতলের বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের মধ্যে সবচেয়ে ছোট। জানা গেছে যে দূরত্বএকটি বিন্দু থেকে সমতলে এই বিন্দু থেকে সমতলে আঁকা লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান।

যদি এবং স্থানাঙ্কের উৎপত্তি সমতলের বিভিন্ন দিকে থাকে, বিপরীত ক্ষেত্রে। একটি বিন্দু থেকে একটি সমতল দূরত্ব হয়

প্লেনের পারস্পরিক বিন্যাস। সমতলের সমান্তরালতা এবং লম্বতার শর্ত।

সমান্তরাল সমতলগুলির মধ্যে দূরত্ব

সম্পর্কিত ধারণা

প্লেনগুলি সমান্তরাল , যদি

বা (ভেক্টর পণ্য)

প্লেনগুলি লম্ব, যদি

বা . (স্কালে পণ্য)

সোজা মহাকাশে। বিভিন্ন ধরনের সরলরেখার সমীকরণ।

মহাকাশে সরলরেখার সমীকরণ - প্রাথমিক তথ্য।

সমতলে সরলরেখার সমীকরণ অক্সিদুটি ভেরিয়েবলের একটি রৈখিক সমীকরণ এক্সএবং y, যা একটি রেখার যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট এবং অন্য কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট নয়। ত্রিমাত্রিক স্থানের একটি সরল রেখার সাথে পরিস্থিতি একটু ভিন্ন - তিনটি ভেরিয়েবলের সাথে কোন রৈখিক সমীকরণ নেই এক্স, yএবং z, যা শুধুমাত্র একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় নির্দিষ্ট একটি লাইনের বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট হবে অক্সিজ. প্রকৃতপক্ষে, ফর্মের একটি সমীকরণ, যেখানে এক্স, yএবং zভেরিয়েবল, এবং ক, খ, গএবং ডি- কিছু বাস্তব সংখ্যা, এবং ক, ভিতরেএবং সঙ্গেএকই সময়ে শূন্যের সমান নয়, প্রতিনিধিত্ব করে সাধারণ সমতল সমীকরণ. তারপর প্রশ্ন ওঠে: “কিভাবে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি সরল রেখা বর্ণনা করা যায়? অক্সিজ»?

এর উত্তর নিবন্ধের নিম্নলিখিত অনুচ্ছেদে রয়েছে।

মহাকাশে সরলরেখার সমীকরণ হল দুটি ছেদকারী সমতলের সমীকরণ।

আসুন আমরা একটি স্বতঃসিদ্ধ মনে করি: যদি মহাকাশে দুটি প্লেনের একটি সাধারণ বিন্দু থাকে, তবে তাদের একটি সাধারণ সরলরেখা থাকে যার উপর এই সমতলগুলির সমস্ত সাধারণ বিন্দু অবস্থিত। সুতরাং, এই সরলরেখা বরাবর ছেদকারী দুটি সমতলকে নির্দিষ্ট করে মহাকাশে একটি সরল রেখা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

চলুন শেষ বিবৃতিটিকে বীজগণিতের ভাষায় অনুবাদ করি।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকে ত্রিমাত্রিক স্থানে স্থির করা যাক অক্সিজএবং এটা জানা যায় যে সরলরেখা কদুটি সমতলের ছেদ রেখা এবং, যা যথাক্রমে ফর্মের সমতলের সাধারণ সমীকরণের সাথে মিলে যায়। যেহেতু এটা সোজা কসমতলগুলির সমস্ত সাধারণ বিন্দুর সেট এবং তারপর a লাইনের যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক একই সাথে সমীকরণ এবং সমীকরণ উভয়কেই সন্তুষ্ট করবে, অন্য কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক একই সাথে সমতলের উভয় সমীকরণকে সন্তুষ্ট করবে না। অতএব, লাইনের যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক কএকটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থায় অক্সিজচিত্রিত করা রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের বিশেষ সমাধানধরনের , এবং সমীকরণ সিস্টেমের সাধারণ সমাধান একটি লাইনের প্রতিটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করে ক, অর্থাৎ, একটি সরল রেখা সংজ্ঞায়িত করে ক.

সুতরাং, একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে মহাকাশে একটি সরল রেখা অক্সিজদুটি ছেদকারী সমতলের সমীকরণের একটি সিস্টেম দ্বারা দেওয়া যেতে পারে .

এখানে দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম ব্যবহার করে মহাকাশে একটি সরল রেখা সংজ্ঞায়িত করার একটি উদাহরণ রয়েছে - .

দুটি ছেদকারী সমতলের সমীকরণের সাথে একটি সরলরেখা বর্ণনা করা চমৎকার একটি লাইন এবং একটি সমতলের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করা, এবং যখন মহাশূন্যে দুটি লাইনের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করা.

আমরা নিবন্ধটি উল্লেখ করে এই বিষয়ে আরও অধ্যয়নের পরামর্শ দিই মহাকাশে একটি রেখার সমীকরণ - দুটি ছেদকারী সমতলের সমীকরণ. এটি আরও বিশদ তথ্য প্রদান করে, সাধারণ উদাহরণ এবং সমস্যার বিস্তারিত সমাধান আলোচনা করে এবং একটি ভিন্ন ধরনের স্থানের একটি সরলরেখার সমীকরণে রূপান্তরের একটি পদ্ধতিও দেখায়।

এটা উল্লেখ করা উচিত যে বিভিন্ন আছে মহাকাশে একটি লাইন সংজ্ঞায়িত করার উপায়, এবং বাস্তবে, একটি সরলরেখা প্রায়শই দুটি ছেদকারী সমতল দ্বারা নয়, বরং সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টর এবং এই সরলরেখার উপর অবস্থিত একটি বিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ক্ষেত্রে, স্থানের একটি রেখার ক্যানোনিকাল এবং প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি প্রাপ্ত করা সহজ। আমরা নিম্নলিখিত অনুচ্ছেদে তাদের সম্পর্কে কথা বলব।

স্থানের একটি রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণ।

স্থানের একটি রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণমত চেহারা ,

কোথায় এক্স 1 ,y 1 এবং z 1 - লাইনের কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক, ক এক্স , ক yএবং ক z (ক এক্স , ক yএবং ক zএকই সময়ে শূন্যের সমান নয়) - অনুরূপ সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক, a হল এমন কিছু প্যারামিটার যা যেকোনো বাস্তব মান নিতে পারে।

প্যারামিটারের যেকোনো মানের জন্য, স্থানের একটি রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণ ব্যবহার করে, আমরা সংখ্যার তিনগুণ গণনা করতে পারি,

এটি লাইনের কিছু পয়েন্টের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হবে (তাই এই ধরণের লাইন সমীকরণের নাম)। উদাহরণস্বরূপ, যখন

মহাকাশে একটি সরল রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণ থেকে আমরা স্থানাঙ্কগুলি পাই এক্স 1 , y 1 এবং z 1 : .

একটি উদাহরণ হিসাবে, ফর্মের প্যারামেট্রিক সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি সরল রেখা বিবেচনা করুন . এই রেখাটি একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং এই লাইনের দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক রয়েছে।

আমরা নিবন্ধটি উল্লেখ করে বিষয়টি অধ্যয়ন চালিয়ে যাওয়ার পরামর্শ দিই স্থানের একটি রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণ. এটি স্থানের একটি রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণের উদ্ভব দেখায়, স্থানের একটি রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে পরীক্ষা করে, গ্রাফিক চিত্র প্রদান করে, বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমস্যার বিশদ সমাধান প্রদান করে এবং একটি লাইনের প্যারামেট্রিক সমীকরণ এবং অন্যান্য ধরণের মধ্যে সংযোগ নির্দেশ করে। একটি লাইনের সমীকরণ।

মহাকাশে একটি সরল রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ।

ফর্মের প্রতিটি প্যারামেট্রিক সরলরেখা সমীকরণের সমাধান করা হয়েছে পরামিতি সংক্রান্ত, এটি যেতে সহজ মহাকাশে একটি সরল রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণধরনের .

স্থানের একটি রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণগুলি একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখা নির্ধারণ করে , এবং সরলরেখার দিক ভেক্টর হল ভেক্টর . উদাহরণস্বরূপ, ক্যানোনিকাল আকারে একটি সরল রেখার সমীকরণ স্থানাঙ্ক সহ স্থানের একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার সাথে মিল, এই লাইনের দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক রয়েছে।

এটি লক্ষ করা উচিত যে একটি রেখার প্রামাণিক সমীকরণের একটি বা দুটি সংখ্যা শূন্যের সমান হতে পারে (তিনটি সংখ্যা একই সময়ে শূন্যের সমান হতে পারে না, যেহেতু একটি রেখার দিক ভেক্টর শূন্য হতে পারে না)। তারপর ফর্মের একটি স্বরলিপি আনুষ্ঠানিক হিসাবে বিবেচিত হয় (যেহেতু এক বা দুটি ভগ্নাংশের হরগুলির শূন্য থাকবে) এবং বোঝা উচিত , কোথায়.

যদি একটি রেখার প্রামাণিক সমীকরণের একটি সংখ্যা শূন্যের সমান হয়, তবে রেখাটি স্থানাঙ্ক সমতলগুলির একটিতে বা এটির সমান্তরাল সমতলে অবস্থিত। যদি দুটি সংখ্যা শূন্য হয়, তবে রেখাটি হয় স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির একটির সাথে মিলে যায় বা এটির সমান্তরাল হয়। উদাহরণস্বরূপ, ফর্মের স্থানের একটি রেখার প্রামাণিক সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত একটি রেখা , সমতলে শুয়ে আছে z=-2, যা স্থানাঙ্ক সমতলের সমান্তরাল অক্সি, এবং স্থানাঙ্ক অক্ষ ওয়ক্যানোনিকাল সমীকরণ দ্বারা নির্ধারিত হয়।

এই ক্ষেত্রেগুলির গ্রাফিক চিত্রের জন্য, মহাকাশে একটি রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণগুলির উদ্ভব, সাধারণ উদাহরণ এবং সমস্যার বিশদ সমাধান, সেইসাথে একটি রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ থেকে স্থানান্তরিত একটি রেখার অন্যান্য সমীকরণে রূপান্তর, দেখুন নিবন্ধ স্থানের একটি রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ.

সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ। সাধারণ থেকে ক্যানোনিকাল সমীকরণে রূপান্তর।

মহাকাশে সমতলের অবস্থান সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হবে যদি আমরা মূল O থেকে এর দূরত্ব নির্দিষ্ট করি, অর্থাৎ, O বিন্দু থেকে সমতলে টানা লম্ব OT এর দৈর্ঘ্য এবং সমতলে n° লম্ব একক ভেক্টর এবং যেখান থেকে নির্দেশিত সমতল থেকে উৎপত্তি O (চিত্র 110)।

যখন বিন্দু M একটি সমতল বরাবর চলে, তখন এর ব্যাসার্ধ ভেক্টর পরিবর্তিত হয় যাতে এটি সর্বদা কিছু শর্ত দ্বারা আবদ্ধ থাকে। চলুন দেখি এই অবস্থা কি। স্পষ্টতই, প্লেনে শুয়ে থাকা যেকোনো বিন্দুর জন্য আমাদের আছে:

এই অবস্থা শুধুমাত্র সমতলে পয়েন্ট জন্য রাখা; বিন্দু M সমতলের বাইরে থাকলে তা লঙ্ঘন করা হয়। এইভাবে, সমতা (1) সমতলের সমস্ত পয়েন্টে এবং শুধুমাত্র তাদের কাছে সাধারণ একটি সম্পত্তি প্রকাশ করে। § 7 ch অনুযায়ী। 11 আমাদের আছে:

এবং, তাই, সমীকরণ (1) এভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

সমীকরণ (G) একটি প্রদত্ত সমতলে কোন বিন্দুর অধীনে অবস্থিত সেই অবস্থাকে প্রকাশ করে এবং এই সমতলের স্বাভাবিক সমীকরণ বলা হয়। সমতলের একটি নির্বিচারে বিন্দু M এর ব্যাসার্ধ ভেক্টরকে বর্তমান ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলা হয়।

সমতলের সমীকরণ (1) ভেক্টর আকারে লেখা হয়। স্থানাঙ্কের দিকে অগ্রসর হওয়া এবং স্থানাঙ্কের উৎপত্তিকে ভেক্টরের উৎপত্তিস্থলে স্থাপন করা - বিন্দু O, আমরা লক্ষ্য করি যে স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর একক ভেক্টরের অনুমানগুলি এই ভেক্টরের সাথে অক্ষ দ্বারা তৈরি কোণের কোসাইন, এবং বিন্দু M এর ব্যাসার্ধ ভেক্টরের অনুমান

বিন্দুর স্থানাঙ্ক হিসাবে কাজ করে, যেমন আমাদের আছে:

সমীকরণ (G) স্থানাঙ্কে পরিণত হয়:

সমতলের ভেক্টর সমীকরণ (G) স্থানাঙ্ক সমীকরণ (2) এ অনুবাদ করার সময়, আমরা সূত্র (15) § 9 Ch ব্যবহার করেছি। 11, যা ভেক্টরের অনুমানের মাধ্যমে স্কেলার পণ্য প্রকাশ করে। সমীকরণ (2) সেই অবস্থাকে প্রকাশ করে যার অধীনে বিন্দু M(x, y, z) একটি প্রদত্ত সমতলে অবস্থিত, এবং তাকে স্থানাঙ্ক আকারে এই সমতলটির স্বাভাবিক সমীকরণ বলা হয়। ফলস্বরূপ সমীকরণ (2) প্রথম ডিগ্রী আপেক্ষিক, অর্থাৎ, বর্তমান স্থানাঙ্কের সাপেক্ষে প্রথম ডিগ্রীর একটি সমীকরণ দ্বারা যেকোনো সমতলকে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

উল্লেখ্য যে প্রাপ্ত সমীকরণগুলি (1") এবং (2) বৈধ থাকে এমনকি যখন, প্রদত্ত সমতল স্থানাঙ্কগুলির উত্সের মধ্য দিয়ে যায়৷ এই ক্ষেত্রে, আমরা সমতলের লম্ব এবং একটি দ্বারা পৃথক দুটি একক ভেক্টরের যে কোনও একটি নিতে পারি অন্য দিক থেকে।

মন্তব্য করুন। ভেক্টর পদ্ধতি ব্যবহার না করেই সাধারণ সমতল সমীকরণ (2) বের করা যেতে পারে।

চলুন একটি নির্বিচারে সমতল নিন এবং এটির লম্ব স্থানাঙ্কগুলির উত্সের মাধ্যমে একটি রেখা I আঁকুন৷ এই রেখাটির উপর স্থানাঙ্কের উত্স থেকে সমতলে একটি ইতিবাচক দিক নির্ধারণ করুন (যদি নির্বাচিত সমতল স্থানাঙ্কগুলির উত্সের মধ্য দিয়ে যায়, তবে যে কোনও দিক লাইন নেওয়া যেতে পারে)।

মহাকাশে এই সমতলের অবস্থান স্থানাঙ্কের উৎপত্তি থেকে এর দূরত্ব দ্বারা সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হয়, অর্থাৎ, স্থানাঙ্কের উৎপত্তি থেকে সমতলের সাথে এর ছেদ বিন্দু পর্যন্ত l অক্ষের অংশের দৈর্ঘ্য (চিত্র 111-এ) সেগমেন্ট) এবং অক্ষ এবং স্থানাঙ্ক অক্ষের মধ্যে কোণ। যখন একটি বিন্দু স্থানাঙ্ক সহ একটি সমতলে চলে, তখন এর স্থানাঙ্ক পরিবর্তিত হয় যাতে তারা সর্বদা কিছু শর্ত দ্বারা আবদ্ধ থাকে। চলুন দেখি এই অবস্থা কি।

আসুন এটি চিত্রে তৈরি করি। 111 সমতলের একটি নির্বিচারে বিন্দু M এর ভাঙা লাইন OPSM সমন্বয়। l অক্ষের উপর এই ভাঙা রেখার অভিক্ষেপ নেওয়া যাক। একটি ভাঙ্গা রেখার অভিক্ষেপ তার ক্লোজিং সেগমেন্টের অভিক্ষেপের সমান (অধ্যায় I, § 3) লক্ষ্য করে, আমাদের আছে।

একটি সমতলের সাধারণ সমীকরণ পেতে, আসুন একটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলটি বিশ্লেষণ করি।

মহাকাশে আমাদের কাছে ইতিমধ্যে পরিচিত তিনটি স্থানাঙ্ক অক্ষ থাকতে দিন - বলদ, ওয়এবং ওজ. কাগজের শীটটি ধরে রাখুন যাতে এটি সমতল থাকে। প্লেন নিজেই শীট হবে এবং সব দিক থেকে তার ধারাবাহিকতা।

দিন পৃমহাকাশে নির্বিচারে সমতল। প্রতিটি ভেক্টরকে লম্ব বলা হয় স্বাভাবিক ভেক্টর এই প্লেনে স্বাভাবিকভাবেই, আমরা একটি অ-শূন্য ভেক্টর সম্পর্কে কথা বলছি।

সমতলে কোন পয়েন্ট থাকলে জানা যায় পৃএবং এটিতে কিছু সাধারণ ভেক্টর, তারপর এই দুটি শর্ত দ্বারা মহাকাশে সমতল সম্পূর্ণরূপে সংজ্ঞায়িত করা হয়(একটি প্রদত্ত বিন্দুর মাধ্যমে আপনি প্রদত্ত ভেক্টরের লম্ব একটি একক সমতল আঁকতে পারেন)। সমতলের সাধারণ সমীকরণ হবে:

সুতরাং, সমতলের সমীকরণ সংজ্ঞায়িত শর্তগুলি হল। নিজেকে পেতে সমতল সমীকরণ, উপরের ফর্ম থাকার, প্লেনে নিতে পৃইচ্ছামত বিন্দু এম পরিবর্তনশীল স্থানাঙ্ক সহ এক্স, y, z. এই বিন্দু সমতলের অন্তর্গত শুধুমাত্র যদি ভেক্টর ভেক্টরের সাথে লম্ব(আকার 1). এর জন্য, ভেক্টরগুলির লম্বতার শর্ত অনুসারে, এই ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান হওয়া আবশ্যক এবং যথেষ্ট।

ভেক্টর শর্ত দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়. আমরা সূত্র ব্যবহার করে ভেক্টরের স্থানাঙ্ক খুঁজে পাই :

.

এখন, ভেক্টর সূত্রের স্কেলার পণ্য ব্যবহার করে , আমরা স্থানাঙ্ক আকারে স্কেলার পণ্য প্রকাশ করি:

বিন্দু থেকে M(x; y; z)সমতলে নির্বিচারে বেছে নেওয়া হয়, তারপর শেষ সমীকরণটি সমতলে থাকা যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট হয় পৃ. একটি বিন্দু জন্য এন, একটি প্রদত্ত প্লেনে শুয়ে নেই, যেমন সমতা (1) লঙ্ঘন করা হয়।

উদাহরণ 1.একটি সমতল একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া এবং ভেক্টরের লম্বের জন্য একটি সমীকরণ লিখ।

সমাধান। আসুন সূত্র (1) ব্যবহার করি এবং এটি আবার দেখি:

এই সূত্রে সংখ্যা ক , খএবং গভেক্টর স্থানাঙ্ক, এবং সংখ্যা এক্স0 , y0 এবং z0 - বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

গণনাগুলি খুব সহজ: আমরা এই সংখ্যাগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি এবং পাই

আমরা গুন করতে হবে এমন সবকিছুকে গুণ করি এবং শুধু সংখ্যা যোগ করি (যাতে অক্ষর নেই)। ফলাফল:

.

এই উদাহরণে সমতলের প্রয়োজনীয় সমীকরণটি পরিবর্তনশীল স্থানাঙ্কের ক্ষেত্রে প্রথম ডিগ্রির একটি সাধারণ সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। x, y, zসমতলের নির্বিচারে বিন্দু।

সুতরাং, ফর্ম একটি সমীকরণ

ডাকা সাধারণ সমতল সমীকরণ .

উদাহরণ 2।সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমে একটি সমতল তৈরি করুন .

সমাধান। একটি সমতল নির্মাণের জন্য, এটির যেকোন তিনটি বিন্দু যা একই সরলরেখায় থাকে না, তা জানা প্রয়োজন এবং যথেষ্ট, উদাহরণস্বরূপ, স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির সাথে সমতলের ছেদ বিন্দুগুলি।

কিভাবে এই পয়েন্ট খুঁজে পেতে? অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করতে ওজ, আপনাকে সমস্যা বিবৃতিতে দেওয়া সমীকরণে X এবং Y-এর জন্য শূন্য প্রতিস্থাপন করতে হবে: এক্স = y= 0। তাই আমরা পেতে z= 6। এইভাবে, প্রদত্ত সমতলটি অক্ষকে ছেদ করে ওজবিন্দুতে ক(0; 0; 6) .

একইভাবে আমরা অক্ষের সাথে সমতলের ছেদ বিন্দু খুঁজে পাই ওয়. এ এক্স = z= 0 আমরা পাই y= −3, অর্থাৎ বিন্দু খ(0; −3; 0) .

এবং অবশেষে, আমরা অক্ষের সাথে আমাদের সমতলের ছেদ বিন্দু খুঁজে পাই বলদ. এ y = z= 0 আমরা পাই এক্স= 2, অর্থাৎ একটি বিন্দু গ(2; 0; 0)। আমাদের সমাধানে প্রাপ্ত তিনটি পয়েন্টের উপর ভিত্তি করে ক(0; 0; 6) , খ(0; −3; 0) এবং গ(2; 0; 0) প্রদত্ত সমতলটি তৈরি করুন।

এখন বিবেচনা করা যাক সাধারণ সমতল সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে. এগুলি এমন ক্ষেত্রে যখন সমীকরণের নির্দিষ্ট সহগ (2) শূন্য হয়ে যায়।

1. কখন ডি = 0 সমীকরণ বিন্দুর স্থানাঙ্ক যেহেতু মূলের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলকে সংজ্ঞায়িত করে 0 (0; 0; 0) এই সমীকরণটি পূরণ করুন।

2. কখন ক = 0 সমীকরণ অক্ষের সমান্তরাল সমতলকে সংজ্ঞায়িত করে বলদ, যেহেতু এই সমতলের স্বাভাবিক ভেক্টরটি অক্ষের সাথে লম্ব বলদ(অক্ষের দিকে এর অভিক্ষেপ বলদশূন্যের সমান)। একইভাবে, যখন খ= 0 সমতল অক্ষের সমান্তরাল ওয়, এবং কখন গ = 0 সমতল অক্ষের সমান্তরাল ওজ.

3. কখন A=D= 0 সমীকরণ অক্ষের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলকে সংজ্ঞায়িত করে বলদ, যেহেতু এটি অক্ষের সমান্তরাল বলদ (ক =ডি = 0)। একইভাবে, সমতল অক্ষের মধ্য দিয়ে যায় ওয়, এবং অক্ষ মাধ্যমে সমতল ওজ.

4. কখন A=B= 0 সমীকরণ স্থানাঙ্ক সমতলের সমান্তরাল সমতলকে সংজ্ঞায়িত করে xOy, যেহেতু এটি অক্ষের সমান্তরাল বলদ (ক= 0) এবং ওয় (খ= 0)। একইভাবে সমতল সমতলের সমান্তরাল yOz, এবং সমতল সমতল xOz.

5. কখন A=B=D= 0 সমীকরণ (বা z = 0) স্থানাঙ্ক সমতল সংজ্ঞায়িত করে xOy, যেহেতু এটি সমতলের সমান্তরাল xOy (A=B= 0) এবং উৎপত্তিস্থলের মধ্য দিয়ে যায় ( ডি = 0)। একইভাবে, Eq. y =স্থান 0 স্থানাঙ্ক সমতল সংজ্ঞায়িত করে xOz, এবং সমীকরণ x = 0 - সমতল স্থানাঙ্ক yOz.

উদাহরণ 3.সমতলের একটি সমীকরণ তৈরি করুন পৃ, অক্ষের মধ্য দিয়ে যাচ্ছে ওয়এবং সময়কাল।

সমাধান। তাই বিমানটি অক্ষের মধ্য দিয়ে যায় ওয়. অতএব, তার সমীকরণে y= 0 এবং এই সমীকরণের ফর্ম আছে। সহগ নির্ধারণ করতে কএবং গআসুন এই সত্যটির সুবিধা গ্রহণ করি যে বিন্দুটি সমতলের অন্তর্গত পৃ .

অতএব, এর স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে এমন কিছু রয়েছে যা সমতল সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হতে পারে যা আমরা ইতিমধ্যে () নিয়েছি। আসুন বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি আবার দেখি:

এম0 (2; −4; 3) .

তাদের মধ্যে এক্স = 2 , z= 3। আমরা সেগুলিকে সাধারণ সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং আমাদের বিশেষ ক্ষেত্রে সমীকরণ পাই:

2ক + 3গ = 0 .

2 ছেড়ে দিন কসমীকরণের বাম দিকে, 3 সরান গডান দিকে এবং আমরা পেতে

ক = −1,5গ .

পাওয়া মান প্রতিস্থাপন কসমীকরণ মধ্যে, আমরা পেতে

অথবা

এটি উদাহরণ শর্তে প্রয়োজনীয় সমীকরণ।

সমতল সমীকরণ সমস্যাটি নিজেই সমাধান করুন, এবং তারপর সমাধানটি দেখুন

উদাহরণ 4.সমীকরণ দ্বারা সমতল (গুলি) দেওয়া হলে সমতল (অথবা সমতল, একের বেশি হলে) সমন্বিত অক্ষ বা সমতল সমতলকে সংজ্ঞায়িত করুন।

পরীক্ষার সময় যে সাধারণ সমস্যাগুলি ঘটে তার সমাধানগুলি পাঠ্যপুস্তকে রয়েছে "একটি সমতলে সমস্যা: সমান্তরালতা, লম্বতা, এক বিন্দুতে তিনটি সমতলের ছেদ।"

তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের সমীকরণ

ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, একটি সমতল নির্মাণের জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত, একটি বিন্দু এবং সাধারণ ভেক্টর ছাড়াও, তিনটি বিন্দু যা একই লাইনে থাকে না।

তিনটি ভিন্ন বিন্দু, এবং, একই লাইনে মিথ্যা না, দেওয়া যাক। যেহেতু নির্দেশিত তিনটি বিন্দু একই রেখায় থাকে না, তাই ভেক্টরগুলি সমরেখার নয়, এবং তাই সমতলের যেকোনো বিন্দু বিন্দু সহ একই সমতলে থাকে, এবং যদি এবং শুধুমাত্র যদি ভেক্টর , এবং কপ্ল্যানার, অর্থাৎ তারপর এবং শুধুমাত্র যখন এই ভেক্টরের মিশ্র পণ্যশূন্যের সমান।

স্থানাঙ্কে মিশ্র পণ্যের অভিব্যক্তি ব্যবহার করে, আমরা সমতলের সমীকরণ পাই

(3)

নির্ধারককে প্রকাশ করার পরে, এই সমীকরণটি ফর্ম (2) এর একটি সমীকরণে পরিণত হয়, অর্থাৎ সমতলের সাধারণ সমীকরণ।

উদাহরণ 5।তিনটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের জন্য একটি সমীকরণ লিখুন যা একই সরলরেখায় পড়ে না:

এবং একটি রেখার সাধারণ সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে নির্ধারণ করুন, যদি একটি ঘটে।

সমাধান। সূত্র (3) অনুযায়ী আমাদের আছে:

সাধারণ সমতল সমীকরণ। বিন্দু থেকে সমতল দূরত্ব

সমতলের স্বাভাবিক সমীকরণ হল এর সমীকরণ, আকারে লেখা

আসুন আমরা মহাকাশে Q সমতলকে বিবেচনা করি। এই সমতলে অবস্থিত ভেক্টর N লম্ব এবং Q সমতলে থাকা কিছু নির্দিষ্ট বিন্দু উল্লেখ করে এর অবস্থান সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হয়। Q সমতলে উলম্ব N ভেক্টরকে এই সমতলের সাধারণ ভেক্টর বলা হয়। যদি আমরা A, B এবং C দ্বারা সাধারণ ভেক্টর N এর অনুমানগুলি বোঝাই, তাহলে

একটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া এবং একটি প্রদত্ত সাধারণ ভেক্টর থাকার সমতল Q-এর সমীকরণ বের করা যাক। এটি করার জন্য, Q সমতলে একটি নির্বিচারী বিন্দুর সাথে একটি বিন্দুকে সংযুক্তকারী একটি ভেক্টর বিবেচনা করুন (চিত্র 81)।

সমতল Q তে M বিন্দুর যেকোনো অবস্থানের জন্য, ভেক্টর MHM সমতল Q-এর সাধারণ ভেক্টর N-এর সাথে লম্ব। অতএব, স্কেলার গুণফল আসুন অনুমানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে স্কেলার গুণফল লিখি। যেহেতু , এবং একটি ভেক্টর, তারপর

এবং সেইজন্য

আমরা দেখিয়েছি যে Q সমতলের যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণ (4) পূরণ করে। এটা দেখা সহজ যে Q সমতলে থাকা বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি এই সমীকরণটি পূরণ করে না (পরবর্তী ক্ষেত্রে)। ফলস্বরূপ, আমরা সমতল Q-এর জন্য প্রয়োজনীয় সমীকরণ পেয়েছি। সমীকরণ (4) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলের সমীকরণ বলা হয়। এটি বর্তমান স্থানাঙ্কের তুলনায় প্রথম ডিগ্রির

সুতরাং, আমরা দেখিয়েছি যে প্রতিটি সমতল বর্তমান স্থানাঙ্কের সাথে প্রথম ডিগ্রির একটি সমীকরণের সাথে মিলে যায়।

উদাহরণ 1. ভেক্টরের লম্ব বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের সমীকরণ লিখ।

সমাধান। এখানে . সূত্রের উপর ভিত্তি করে (4) আমরা পাই

বা, সরলীকরণের পরে,

সমীকরণের (4) বিভিন্ন মানের সহগ A, B এবং C প্রদান করে, আমরা বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া যেকোনো সমতলের সমীকরণ পেতে পারি। একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া প্লেনের সেটকে প্লেনের বান্ডিল বলা হয়। সমীকরণ (4), যার মধ্যে A, B এবং C সহগ যেকোনো মান নিতে পারে, তাকে সমতলের গুচ্ছ সমীকরণ বলা হয়।

উদাহরণ 2. তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করুন (চিত্র 82)।

সমাধান। বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একগুচ্ছ প্লেনের সমীকরণটি লিখি