উল্টো পিথাগোরাস। পাঠ "তত্ত্ব - পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের বিপরীত"
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য- ইউক্লিডীয় জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য, সম্পর্ক স্থাপন
একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর মধ্যে।
এটা বিশ্বাস করা হয় যে এটি গ্রীক গণিতবিদ পিথাগোরাস দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, যার নামানুসারে এর নামকরণ করা হয়েছিল।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের জ্যামিতিক সূত্র।
তত্ত্বটি মূলত নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছিল:
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বর্গক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান,
পায়ে নির্মিত।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের বীজগণিত সূত্র।
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের দৈর্ঘ্যের বর্গ পায়ের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ, দ্বারা ত্রিভুজের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে গ, এবং মাধ্যমে পা এর দৈর্ঘ্য কএবং খ:
উভয় সূত্র পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যসমতুল্য, কিন্তু দ্বিতীয় সূত্রটি আরো প্রাথমিক, এটা করে না
এলাকার ধারণা প্রয়োজন। অর্থাৎ এলাকা সম্পর্কে কিছু না জেনেই দ্বিতীয় বক্তব্য যাচাই করা যায় এবং
একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে।
পীথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে কনভার্স করুন।
যদি একটি ত্রিভুজের এক বাহুর বর্গ অন্য দুই বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান হয়, তাহলে
সমকোণী ত্রিভুজ।
অথবা, অন্য কথায়:
ধনাত্মক সংখ্যার প্রতিটি ট্রিপলের জন্য ক, খএবং গ, যেমন যে
পা সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ আছে কএবং খএবং কর্ণ গ.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের জন্য পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য।
একটি সমবাহু ত্রিভুজের জন্য পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণ।
বর্তমানে, এই উপপাদ্যটির 367টি প্রমাণ বৈজ্ঞানিক সাহিত্যে রেকর্ড করা হয়েছে। সম্ভবত উপপাদ্য
পিথাগোরাসই একমাত্র উপপাদ্য যার প্রমাণের এত চিত্তাকর্ষক সংখ্যা। এমন বৈচিত্র্য
শুধুমাত্র জ্যামিতির জন্য উপপাদ্যের মৌলিক তাৎপর্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।
অবশ্যই, ধারণাগতভাবে তাদের সকলকে অল্প সংখ্যক শ্রেণিতে ভাগ করা যায়। তাদের মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত:
প্রমাণ এলাকা পদ্ধতি, স্বতঃসিদ্ধএবং বহিরাগত প্রমাণ(উদাহরণস্বরূপ,
ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ).
1. অনুরূপ ত্রিভুজ ব্যবহার করে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণ।
বীজগণিত সূত্রের নিম্নলিখিত প্রমাণটি নির্মিত প্রমাণগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ
সরাসরি স্বতঃসিদ্ধ থেকে। বিশেষত, এটি একটি চিত্রের ক্ষেত্রফলের ধারণা ব্যবহার করে না।
যাক এবিসিএকটি সমকোণ সহ একটি সমকোণ ত্রিভুজ রয়েছে গ. থেকে উচ্চতা আঁকা যাক গএবং বোঝান
মাধ্যমে তার ভিত্তি এইচ.
ত্রিভুজ ACHএকটি ত্রিভুজ অনুরূপ এবিদুই কোণে সি. একইভাবে, ত্রিভুজ সিবিএইচঅনুরূপ এবিসি.
স্বরলিপি প্রবর্তন করে:
আমরা পাই:
,
যার সাথে মিলে যায়-
ভাঁজ করা ক 2 এবং খ 2, আমরা পাই:
বা, যা প্রমাণ করা দরকার।
2. এলাকা পদ্ধতি ব্যবহার করে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণ।
নীচের প্রমাণগুলি, তাদের আপাত সরলতা সত্ত্বেও, এত সহজ নয়। তাদের সব
ক্ষেত্রফলের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করুন, যার প্রমাণগুলি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণের চেয়ে আরও জটিল।
- সমতুল্যতার মাধ্যমে প্রমাণ।
চারটি সমান আয়তক্ষেত্রাকার সাজানো যাক
চিত্রে দেখানো ত্রিভুজ
অধিকার
বাহু সহ চতুর্ভুজ গ- বর্গক্ষেত্র,
যেহেতু দুটি তীব্র কোণের যোগফল 90°, এবং
উন্মোচিত কোণ - 180°।
পুরো চিত্রটির ক্ষেত্রফল একদিকে,
পাশ সহ একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ( a+b), এবং অন্যদিকে, চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি এবং
Q.E.D.
3. অসীম পদ্ধতি দ্বারা পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণ।
চিত্রে দেখানো অঙ্কনটি দেখছি এবং
পাশ পরিবর্তন দেখছিক, আমরা পারি
অসীম জন্য নিম্নলিখিত সম্পর্ক লিখুন
ছোট সাইড ইনক্রিমেন্টসঙ্গেএবং ক(সাদৃশ্য ব্যবহার করে
ত্রিভুজ):
পরিবর্তনশীল বিচ্ছেদ পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা খুঁজে পাই:
উভয় পক্ষের বৃদ্ধির ক্ষেত্রে কর্ণের পরিবর্তনের জন্য আরও সাধারণ অভিব্যক্তি:
এই সমীকরণটি সংহত করে এবং প্রাথমিক শর্তগুলি ব্যবহার করে, আমরা পাই:
এইভাবে আমরা কাঙ্ক্ষিত উত্তরে পৌঁছেছি:
যেমনটি দেখতে সহজ, চূড়ান্ত সূত্রে দ্বিঘাত নির্ভরতা রৈখিক কারণে প্রদর্শিত হয়
ত্রিভুজের বাহু এবং বৃদ্ধির মধ্যে সমানুপাতিকতা, যখন যোগফল স্বাধীনের সাথে সম্পর্কিত
বিভিন্ন পা বৃদ্ধি থেকে অবদান.
একটি সহজ প্রমাণ পাওয়া যেতে পারে যদি আমরা ধরে নিই যে একটি পা বৃদ্ধি অনুভব করে না
(এই ক্ষেত্রে পা খ) তারপর ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক জন্য আমরা প্রাপ্ত:
পাঠের উদ্দেশ্য:
শিক্ষামূলক: পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য এবং পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য প্রণয়ন এবং প্রমাণ করুন। তাদের ঐতিহাসিক ও ব্যবহারিক তাৎপর্য দেখান।
উন্নয়নমূলক: মনোযোগ, স্মৃতিশক্তি, শিক্ষার্থীদের যৌক্তিক চিন্তাভাবনা, যুক্তি, তুলনা এবং সিদ্ধান্ত নেওয়ার ক্ষমতা বিকাশ করুন।
শিক্ষামূলক: বিষয়, নির্ভুলতা, কমরেড এবং শিক্ষকদের কথা শোনার ক্ষমতার প্রতি আগ্রহ এবং ভালবাসা গড়ে তোলা।
সরঞ্জাম: পিথাগোরাসের প্রতিকৃতি, একত্রীকরণের কাজ সহ পোস্টার, 7-9 গ্রেডের পাঠ্যপুস্তক "জ্যামিতি" (আইএফ শারিগিন)।
পাঠ পরিকল্পনা:
I. সাংগঠনিক মুহূর্ত - 1 মিনিট।
২. হোমওয়ার্ক পরীক্ষা করা হচ্ছে - 7 মিনিট।
III. শিক্ষকের সূচনা বক্তব্য, ঐতিহাসিক পটভূমি – 4-5 মিনিট।
IV পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রণয়ন এবং প্রমাণ – 7 মিনিট।
V. প্রণয়ন এবং উপপাদ্যের প্রমাণ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সাথে কথা বলে – 5 মিনিট।
নতুন উপাদান একত্রীকরণ:
ক) মৌখিক - 5-6 মিনিট।
খ) লিখিত - 7-10 মিনিট।
VII. বাড়ির কাজ - 1 মিনিট।
অষ্টম। পাঠের সংক্ষিপ্তসার - 3 মিনিট।
পাঠের অগ্রগতি
I. সাংগঠনিক মুহূর্ত।
২. বাড়ির কাজ পরীক্ষা করা হচ্ছে।
ধারা 7.1, নং 3 (সমাপ্ত অঙ্কন অনুযায়ী বোর্ডে)।
শর্ত: একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা কর্ণকে দৈর্ঘ্য 1 এবং 2 ভাগে ভাগ করে। এই ত্রিভুজের পাগুলি খুঁজুন।
BC = a; CA = b; বিএ = গ; বিডি = ক 1 ; DA = b 1 ; CD = hC
অতিরিক্ত প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজে অনুপাত লিখুন।
অধ্যায় 7.1, নং 5. সমকোণী ত্রিভুজটিকে তিনটি অনুরূপ ত্রিভুজে কাটুন।
ব্যাখ্যা কর।
ASN ~ ABC ~ SVN
(সদৃশ ত্রিভুজগুলির সংশ্লিষ্ট শীর্ষবিন্দুগুলি লেখার সঠিকতার দিকে ছাত্রদের দৃষ্টি আকর্ষণ করুন)
III. শিক্ষকের সূচনা বক্তব্য, ঐতিহাসিক প্রেক্ষাপট।
দুর্বল মানুষ চিনতে পারলেই সত্য চিরন্তন থাকবে!
এবং এখন পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য সত্য, যেমন তার দূরবর্তী যুগে।
এটা কোন কাকতালীয় ঘটনা নয় যে আমি জার্মান ঔপন্যাসিক চামিসোর কথা দিয়ে আমার পাঠ শুরু করেছি। আমাদের আজকের পাঠটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য সম্পর্কে। আসুন পাঠের বিষয় লিখি।
আপনার আগে মহান পিথাগোরাসের প্রতিকৃতি। 576 খ্রিস্টপূর্বাব্দে জন্মগ্রহণ করেন। 80 বছর বেঁচে থাকার পর, তিনি 496 খ্রিস্টপূর্বাব্দে মারা যান। একজন প্রাচীন গ্রীক দার্শনিক ও শিক্ষক হিসেবে পরিচিত। তিনি ছিলেন বণিক মনসারকাসের ছেলে, যিনি প্রায়শই তাকে তার ভ্রমণে নিয়ে যেতেন, যার জন্য ছেলেটির কৌতূহল এবং নতুন জিনিস শেখার আকাঙ্ক্ষা তৈরি হয়েছিল। পিথাগোরাস তার বাগ্মীতার জন্য তাকে দেওয়া একটি ডাকনাম ("পিথাগোরাস" মানে "বক্তৃতা দ্বারা প্ররোচিত")। তিনি নিজেও কিছু লেখেননি। তার সমস্ত চিন্তা তার ছাত্রদের দ্বারা রেকর্ড করা হয়েছিল। তার দেওয়া প্রথম বক্তৃতার ফলস্বরূপ, পিথাগোরাস 2,000 শিক্ষার্থী অর্জন করেছিলেন, যারা তাদের স্ত্রী এবং সন্তানদের সাথে একত্রে একটি বিশাল বিদ্যালয় তৈরি করেছিলেন এবং "ম্যাগনা গ্রেসিয়া" নামে একটি রাষ্ট্র তৈরি করেছিলেন, যা পিথাগোরাসের আইন ও নিয়মের উপর ভিত্তি করে ছিল, সম্মানিত। ঐশ্বরিক আদেশ হিসাবে। তিনিই সর্বপ্রথম জীবন দর্শনের অর্থ (দর্শন) সম্পর্কে তাঁর যুক্তিকে ডাকেন। তিনি রহস্যময়তা এবং প্রদর্শনমূলক আচরণের প্রবণ ছিলেন। একদিন পিথাগোরাস আন্ডারগ্রাউন্ডে লুকিয়েছিলেন এবং তার মায়ের কাছ থেকে যা ঘটছিল তা জানতে পেরেছিলেন। তারপর, একটি কঙ্কালের মত শুকিয়ে, তিনি একটি জনসভায় ঘোষণা করেছিলেন যে তিনি হেডিসে ছিলেন এবং পার্থিব ঘটনাগুলির একটি আশ্চর্যজনক জ্ঞান দেখিয়েছিলেন। এ জন্য ছুঁয়ে যাওয়া বাসিন্দারা তাঁকে ভগবান বলে চিনেন। পিথাগোরাস কখনই কান্নাকাটি করেননি এবং সাধারণত আবেগ এবং উত্তেজনার কাছে অ্যাক্সেসযোগ্য ছিলেন না। তিনি বিশ্বাস করতেন যে তিনি এমন একটি বীজ থেকে এসেছেন যা মানুষের চেয়ে ভাল। পিথাগোরাসের পুরো জীবনটি একটি কিংবদন্তি যা আমাদের সময়ে নেমে এসেছে এবং প্রাচীন বিশ্বের সবচেয়ে প্রতিভাবান মানুষ সম্পর্কে আমাদের বলেছে।
IV পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রণয়ন এবং প্রমাণ।
আপনি আপনার বীজগণিত কোর্স থেকে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের গঠন জানেন। আসুন তার কথা মনে করি।
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের বর্গ পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।
যাইহোক, এই উপপাদ্যটি পিথাগোরাসের বহু বছর আগে থেকেই জানা ছিল। পিথাগোরাসের 1500 বছর আগে, প্রাচীন মিশরীয়রা জানত যে 3, 4 এবং 5 বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ আয়তক্ষেত্রাকার এবং জমির প্লট এবং ভবন নির্মাণের পরিকল্পনা করার সময় সমকোণ তৈরি করতে এই সম্পত্তিটি ব্যবহার করেছিল। প্রাচীনতম চীনা গাণিতিক এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানের কাজ যা আমাদের কাছে এসেছে, "ঝিউ-বি", পিথাগোরাসের 600 বছর আগে লেখা, সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কিত অন্যান্য প্রস্তাবগুলির মধ্যে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য রয়েছে। এর আগেও এই উপপাদ্যটি হিন্দুদের জানা ছিল। সুতরাং, পিথাগোরাস একটি সমকোণী ত্রিভুজের এই বৈশিষ্ট্যটি আবিষ্কার করেননি;
প্রাচীনকাল থেকেই, গণিতবিদরা পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের আরও বেশি প্রমাণ খুঁজে চলেছেন। তাদের পরিচয় দেড় শতাধিক। আসুন আমরা বীজগণিত কোর্স থেকে পরিচিত পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের বীজগণিত প্রমাণ মনে করি। ("গণিত। বীজগণিত। ফাংশন। ডেটা বিশ্লেষণ" G.V. Dorofeev, M., "Drofa", 2000)।
অঙ্কনের প্রমাণ মনে রাখার জন্য ছাত্রদের আমন্ত্রণ জানান এবং তা বোর্ডে লিখুন।
(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a
a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2
a 2 + b 2 = c 2 a a b
প্রাচীন হিন্দুরা, যাদের কাছে এই যুক্তি ছিল, তারা সাধারণত এটি লিখতেন না, তবে অঙ্কনের সাথে শুধুমাত্র একটি শব্দ দিয়েছিলেন: "দেখুন।"
আসুন আমরা একটি আধুনিক উপস্থাপনায় পিথাগোরাসের অন্তর্গত প্রমাণগুলির মধ্যে একটি বিবেচনা করি। পাঠের শুরুতে, আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের সম্পর্ক সম্পর্কে উপপাদ্যটি মনে রেখেছিলাম:
h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1*c b 2 = b 1* c
চলুন শেষ দুটি সমতা পদটি পদ দ্বারা যোগ করি:
b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2
এই প্রমাণের আপাত সরলতা সত্ত্বেও, এটি সহজ থেকে অনেক দূরে। সর্বোপরি, এর জন্য একটি সমকোণী ত্রিভুজে উচ্চতা আঁকতে এবং অনুরূপ ত্রিভুজ বিবেচনা করা প্রয়োজন ছিল। অনুগ্রহ করে এই প্রমাণটি আপনার নোটবুকে লিখে রাখুন।
V. প্রণয়ন এবং উপপাদ্যের প্রমাণ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সাথে কথা বলে।
এই উপপাদ্য এর বিপরীত কি? (...যদি শর্ত এবং উপসংহার বিপরীত হয়।)
এখন পিথাগোরিয়ান থিওরেমের সাথে থিওরেম কনভার্স করার চেষ্টা করা যাক।
যদি a, b এবং c বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের সমতা c 2 = a 2 + b 2 সন্তুষ্ট হয়, তাহলে এই ত্রিভুজটি সমকোণ এবং সমকোণটি বাহুর c এর বিপরীত।
(পোস্টারে কথোপকথন উপপাদ্যের প্রমাণ)
ABC, BC = a,
AC = b, BA = c.
a 2 + b 2 = c 2
প্রমাণ করুন:
ABC - আয়তক্ষেত্রাকার,
প্রমাণ:
একটি সমকোণী ত্রিভুজ A 1 B 1 C 1 বিবেচনা করুন,
যেখানে C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b।
তারপর, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2।
অর্থাৎ, B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC তিন দিকে ABC আয়তাকার।
C = 90°, যা প্রমাণ করা দরকার।
VI. অধ্যয়নকৃত উপাদানের একীকরণ (মৌখিকভাবে)।
1. রেডিমেড অঙ্কন সহ একটি পোস্টারের উপর ভিত্তি করে।
|
|
|
চিত্র 1: AD খুঁজুন যদি ВD = 8, ВDA = 30° হয়।
চিত্র.2: BE = 5, BAE = 45° হলে CD খুঁজুন।
চিত্র.3: BD খুঁজুন যদি BC = 17, AD = 16 হয়।
2. একটি ত্রিভুজ আয়তক্ষেত্রাকার যদি এর বাহুগুলিকে সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
5 2 + 6 2? 7 2 (না) |
9 2 + 12 2 = 15 2 (হ্যাঁ) |
15 2 + 20 2 = 25 2 (হ্যাঁ) |
শেষ দুটি ক্ষেত্রে সংখ্যার ট্রিপলেটের নাম কী? (পিথাগোরিয়ান)।
VI. সমস্যা সমাধান (লিখিত)।
নং 9. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু a এর সমান। এই ত্রিভুজের উচ্চতা, পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং উৎকীর্ণ বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করুন।
নং 14. প্রমাণ করুন যে একটি সমকোণী ত্রিভুজে পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ কর্ণের প্রতি অঙ্কিত মধ্যকের সমান এবং কর্ণের অর্ধেক সমান।
VII. বাড়ির কাজ।
অনুচ্ছেদ 7.1, পৃষ্ঠা 175-177, উপপাদ্য 7.4 (সাধারণকৃত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য), নং 1 (মৌখিকভাবে), নং 2, নং 4 পরীক্ষা করুন।
অষ্টম। পাঠের সারাংশ।
আপনি আজ ক্লাসে নতুন কি শিখলেন? …………
পিথাগোরাস প্রথম এবং সর্বাগ্রে একজন দার্শনিক। এখন আমি আপনাকে তার কয়েকটি উক্তি পড়তে চাই, যেগুলি এখনও আপনার এবং আমার জন্য আমাদের সময়ে প্রাসঙ্গিক।
- জীবনের পথে ধুলো তুলবেন না।
- শুধু তাই করুন যা আপনাকে পরবর্তীতে বিরক্ত করবে না এবং আপনাকে অনুতপ্ত হতে বাধ্য করবে না।
- আপনি যা জানেন না তা কখনই করবেন না, তবে আপনার যা জানা দরকার তা শিখুন এবং তারপরে আপনি একটি শান্ত জীবনযাপন করবেন।
- আপনি যখন ঘুমাতে চান তখন আপনার চোখ বন্ধ করবেন না, আপনার বিগত দিনের সমস্ত কাজগুলি সাজিয়ে না নিয়ে।
- সহজভাবে এবং বিলাসিতা ছাড়া বাঁচতে শিখুন।
পাঠের উদ্দেশ্য:
সাধারণ শিক্ষা:
- শিক্ষার্থীদের তাত্ত্বিক জ্ঞান পরীক্ষা করুন (একটি সমকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য), সমস্যা সমাধানে তাদের ব্যবহার করার ক্ষমতা;
- একটি সমস্যাযুক্ত পরিস্থিতি তৈরি করে, শিক্ষার্থীদের বিপরীত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের "আবিষ্কারের" দিকে নিয়ে যান।
উন্নয়নশীল:
- অনুশীলনে তাত্ত্বিক জ্ঞান প্রয়োগ করার দক্ষতার বিকাশ;
- পর্যবেক্ষণ থেকে উপসংহার প্রণয়নের ক্ষমতা বিকাশ;
- স্মৃতি, মনোযোগ, পর্যবেক্ষণের বিকাশ:
- গাণিতিক ধারণার বিকাশের ইতিহাসের উপাদানগুলির প্রবর্তনের মাধ্যমে আবিষ্কারগুলি থেকে মানসিক সন্তুষ্টির মাধ্যমে শেখার প্রেরণার বিকাশ।
শিক্ষামূলক:
- পিথাগোরাসের জীবন ক্রিয়াকলাপের অধ্যয়নের মাধ্যমে এই বিষয়ে একটি টেকসই আগ্রহ তৈরি করা;
- পারস্পরিক সহায়তাকে উৎসাহিত করা এবং পারস্পরিক পরীক্ষার মাধ্যমে সহপাঠীদের জ্ঞানের উদ্দেশ্যমূলক মূল্যায়ন।
পাঠ বিন্যাস: ক্লাস-পাঠ।
পাঠ পরিকল্পনা:
- সাংগঠনিক মুহূর্ত।
- বাড়ির কাজ পরীক্ষা করা হচ্ছে। জ্ঞান আপডেট করা।
- পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে ব্যবহারিক সমস্যা সমাধান করা।
- নতুন বিষয়।
- জ্ঞানের প্রাথমিক একত্রীকরণ।
- বাড়ির কাজ।
- পাঠের সারাংশ।
- স্বাধীন কাজ (পিথাগোরাসের অ্যাফোরিজম অনুমান করে পৃথক কার্ড ব্যবহার করে)।
পাঠের অগ্রগতি।
সাংগঠনিক মুহূর্ত।
বাড়ির কাজ পরীক্ষা করা হচ্ছে। জ্ঞান আপডেট করা।
শিক্ষক:আপনি বাড়িতে কি কাজ করেছেন?
ছাত্র:একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি প্রদত্ত বাহু ব্যবহার করে, তৃতীয় বাহুটি সন্ধান করুন এবং উত্তরগুলি টেবিল আকারে উপস্থাপন করুন। একটি রম্বস এবং একটি আয়তক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি পুনরাবৃত্তি করুন। যেটিকে শর্ত বলা হয় এবং উপপাদ্যের উপসংহার কী তা পুনরাবৃত্তি করুন। পিথাগোরাসের জীবন ও কাজের উপর প্রতিবেদন তৈরি করুন। 12টি গিঁট বাঁধা একটি দড়ি আনুন।
শিক্ষক:টেবিল ব্যবহার করে আপনার হোমওয়ার্কের উত্তরগুলি পরীক্ষা করুন
(ডেটা কালো রঙে হাইলাইট করা হয়, উত্তর লাল হয়)।
শিক্ষক: বিবৃতি বোর্ডে লেখা হয়। আপনি যদি তাদের সাথে একমত হন, তাহলে সংশ্লিষ্ট প্রশ্ন নম্বরের পাশে "+" লিখুন, যদি আপনি একমত না হন তবে "-" দিন।
বিবৃতি বোর্ডে পূর্ব লিখিত হয়.
- কর্ণটি পায়ের চেয়ে দীর্ঘ।
- একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের সমষ্টি 180 0।
- পা সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কএবং ভিসূত্র দ্বারা গণনা করা হয় S=ab/2.
- পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য সমস্ত সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের জন্য সত্য।
- একটি সমকোণী ত্রিভুজে, 30 0 কোণের বিপরীত পাটি কর্ণের অর্ধেক সমান।
- পায়ের বর্গক্ষেত্রের যোগফল কর্ণের বর্গক্ষেত্রের সমান।
- পায়ের বর্গ কর্ণ এবং দ্বিতীয় পায়ের বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের সমান।
- একটি ত্রিভুজের বাহু অন্য দুটি বাহুর সমষ্টির সমান।
কাজটি পারস্পরিক যাচাইকরণ ব্যবহার করে পরীক্ষা করা হয়। বিতর্ক সৃষ্টিকারী বক্তব্য নিয়ে আলোচনা করা হয়।
তাত্ত্বিক প্রশ্নের চাবিকাঠি।
নিম্নলিখিত সিস্টেম ব্যবহার করে শিক্ষার্থীরা একে অপরকে গ্রেড দেয়:
8টি সঠিক উত্তর "5";
6-7 সঠিক উত্তর "4";
4-5 সঠিক উত্তর "3";
4টির কম সঠিক উত্তর "2"।
শিক্ষক:আমরা শেষ পাঠে কি সম্পর্কে কথা বলেছি?
ছাত্র:পিথাগোরাস এবং তার উপপাদ্য সম্পর্কে।
শিক্ষক:পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য বর্ণনা কর। (বেশ কিছু শিক্ষার্থী শব্দটি পড়ে, এই সময়ে 2-3 জন শিক্ষার্থী ব্ল্যাকবোর্ডে, 6 জন শিক্ষার্থী কাগজের টুকরোতে প্রথম ডেস্কে এটি প্রমাণ করে)।
ম্যাগনেটিক বোর্ডের কার্ডে গাণিতিক সূত্র লেখা হয়। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের অর্থ প্রতিফলিত করে সেগুলি বেছে নিন, যেখানে ক এবং ভি - পা, সঙ্গে - কর্ণ।
| 1) c 2 = a 2 + b 2 | 2) c = a + b | 3) a 2 = 2 থেকে – 2 এর মধ্যে |
| 4) সঙ্গে 2 = a 2 – 2 এর মধ্যে | 5) 2 = c 2 – a 2 এ | 6) a 2 = c 2 + c 2 |
ব্ল্যাকবোর্ডে এবং মাঠে যে সমস্ত ছাত্ররা উপপাদ্যটি প্রমাণ করছে তারা প্রস্তুত না হলেও, যারা পিথাগোরাসের জীবন ও কাজের উপর প্রতিবেদন তৈরি করেছেন তাদের মেঝে দেওয়া হয়।
স্কুলের ছেলেমেয়েরা কাগজের টুকরো হাতে মাঠে কাজ করছে এবং বোর্ডে যারা কাজ করেছে তাদের প্রমাণ শুনছে।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে ব্যবহারিক সমস্যা সমাধান করা।
শিক্ষক:আমি আপনাকে অধ্যয়ন করা উপপাদ্য ব্যবহার করে ব্যবহারিক সমস্যা অফার করি। আমরা প্রথমে বন পরিদর্শন করব, ঝড়ের পরে, তারপর একটি শহরতলির এলাকায়।
সমস্যা 1. ঝড়ের পরে, স্প্রুস ভেঙে গেল। অবশিষ্ট অংশের উচ্চতা 4.2 মিটার থেকে পতিত শীর্ষের দূরত্ব 5.6 মি ঝড়ের আগে।
সমস্যা 2. বাড়ির উচ্চতা 4.4 মিটার বাড়ির চারপাশের লনের প্রস্থ 1.4 মিটার কত লম্বা হবে যাতে এটি লনের সাথে হস্তক্ষেপ না করে এবং বাড়ির ছাদে পৌঁছায়?
নতুন বিষয়।
শিক্ষক:(সঙ্গীতের শব্দ)চোখ বন্ধ করুন, কয়েক মিনিটের জন্য আমরা ইতিহাসে ডুবে যাব। আমরা প্রাচীন মিশরে আপনার সাথে আছি। এখানে শিপইয়ার্ডে মিশরীয়রা তাদের বিখ্যাত জাহাজ তৈরি করে। কিন্তু জরিপকারীরা, তারা ভূমির এলাকা পরিমাপ করে যার সীমানা নীল নদের বন্যার পরে ভেসে গেছে। নির্মাতারা জমকালো পিরামিড তৈরি করে যা এখনও তাদের মহিমা দিয়ে আমাদের বিস্মিত করে। এই সমস্ত ক্রিয়াকলাপে, মিশরীয়দের সঠিক কোণ ব্যবহার করতে হয়েছিল। তারা জানত কিভাবে একে অপরের থেকে সমান দূরত্বে 12টি গিঁট বাঁধা একটি দড়ি ব্যবহার করে এগুলি তৈরি করতে হয়। চেষ্টা করুন, প্রাচীন মিশরীয়দের মত চিন্তা করে, আপনার দড়ি দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করতে। (এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, ছেলেরা 4 জনের দলে কাজ করে। কিছুক্ষণ পরে, কেউ বোর্ডের কাছে একটি ট্যাবলেটে একটি ত্রিভুজ নির্মাণ দেখায়)।
ফলস্বরূপ ত্রিভুজটির বাহুগুলি হল 3, 4 এবং 5৷ আপনি যদি এই গিঁটের মধ্যে আরও একটি গিঁট বেঁধে দেন তবে এর বাহুগুলি 6, 8 এবং 10 হবে৷ যদি দুটি করে থাকে - 9, 12 এবং 15৷ এই সমস্ত ত্রিভুজগুলি হল সমকোণ কারণ
5 2 = 3 2 + 4 2, 10 2 = 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2, ইত্যাদি।
সমকোণ হতে হলে একটি ত্রিভুজের কোন বৈশিষ্ট্য থাকতে হবে? (ছাত্ররা নিজেরাই বিপরীত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য তৈরি করার চেষ্টা করে; অবশেষে, কেউ সফল হয়)।
কিভাবে এই উপপাদ্যটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে আলাদা?
ছাত্র:শর্ত এবং উপসংহার স্থান পরিবর্তন হয়েছে.
শিক্ষক:বাড়িতে আপনি এই ধরনের উপপাদ্য কি বলা হয় পুনরাবৃত্তি. তাহলে আমরা এখন কি দেখা করেছি?
ছাত্র: বিপরীত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য সহ।
শিক্ষক: আসুন আমাদের নোটবুকে পাঠের বিষয় লিখি। আপনার পাঠ্যপুস্তক 127 পৃষ্ঠায় খুলুন, এই বিবৃতিটি আবার পড়ুন, এটি আপনার নোটবুকে লিখুন এবং প্রমাণ বিশ্লেষণ করুন।
(পাঠ্যপুস্তকের সাথে কয়েক মিনিটের স্বাধীন কাজ করার পরে, যদি ইচ্ছা হয়, ব্ল্যাকবোর্ডে একজন ব্যক্তি উপপাদ্যটির প্রমাণ দেয়)।
- 3, 4 এবং 5 বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজের নাম কি?
- কেন?
- কোন ত্রিভুজকে পিথাগোরিয়ান ত্রিভুজ বলা হয়?
আপনার হোমওয়ার্কে আপনি কোন ত্রিভুজগুলির সাথে কাজ করেছেন? একটি পাইন গাছ এবং একটি মই সঙ্গে সমস্যা সম্পর্কে কি?
.জ্ঞানের প্রাথমিক একত্রীকরণ
এই উপপাদ্যটি এমন সমস্যার সমাধান করতে সাহায্য করে যেখানে আপনাকে ত্রিভুজ সমকোণী কিনা তা খুঁজে বের করতে হবে।
অনুসন্ধান:
1) একটি ত্রিভুজ সমকোণ কিনা তা খুঁজে বের করুন যদি এর বাহুগুলি সমান হয়:
ক) 12,37 এবং 35; খ) 21, 29 এবং 24।
2) 6, 8 এবং 10 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের উচ্চতা গণনা করুন।
.বাড়ির কাজ
পাঠের সারাংশ।
পৃষ্ঠা 127: বিপরীত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য। নং 498(a,b,c) নং 497।আপনি কি মনে রাখবেন এবং সবচেয়ে পছন্দ করেন?
শিক্ষক:স্বাধীন কাজ (ব্যক্তিগত কার্ড ব্যবহার করে সম্পাদিত)।
বাড়িতে আপনি একটি রম্বস এবং একটি আয়তক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি পুনরাবৃত্তি করেছেন। তাদের তালিকাভুক্ত করুন (ক্লাসের সাথে একটি কথোপকথন আছে)। গত পাঠে আমরা পিথাগোরাস কিভাবে একজন বহুমুখী ব্যক্তিত্ব ছিলেন তা নিয়ে কথা বলেছিলাম। তিনি মেডিসিন, সঙ্গীত এবং জ্যোতির্বিদ্যা অধ্যয়ন করেছিলেন এবং একজন ক্রীড়াবিদ ছিলেন এবং অলিম্পিক গেমসে অংশগ্রহণ করেছিলেন। পিথাগোরাসও একজন দার্শনিক ছিলেন। তার অনেকগুলো অ্যাফোরিজম আজও আমাদের জন্য প্রাসঙ্গিক। এখন আপনি স্বাধীন কাজ করবেন। প্রতিটি কাজের জন্য, বেশ কয়েকটি উত্তরের বিকল্প দেওয়া হয়েছে, যার পাশে পিথাগোরাসের অ্যাফোরিজমের টুকরো লেখা আছে। আপনার কাজ হল সমস্ত কাজগুলি সমাধান করা, প্রাপ্ত খণ্ডগুলি থেকে একটি বিবৃতি রচনা করা এবং এটি লিখুন।
ভ্যান ডের ওয়ার্ডেনের মতে, এটা খুব সম্ভবত যে সাধারণ আকারে অনুপাতটি খ্রিস্টপূর্ব 18 শতকের কাছাকাছি ব্যাবিলনে পরিচিত ছিল। e
400 খ্রিস্টপূর্বাব্দের কাছাকাছি। বিসি, প্রোক্লাসের মতে, প্লেটো বীজগণিত এবং জ্যামিতি একত্রিত করে পাইথাগোরিয়ান ট্রিপলেটগুলি খুঁজে বের করার একটি পদ্ধতি দিয়েছিলেন। 300 খ্রিস্টপূর্বাব্দের কাছাকাছি। e পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রাচীনতম স্বতঃসিদ্ধ প্রমাণ ইউক্লিডের উপাদানগুলিতে উপস্থিত হয়েছিল।
ফর্মুলেশন মৌলিক সূত্রে বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ রয়েছে - একটি সমকোণী ত্রিভুজে, যার পায়ের দৈর্ঘ্য সমানএবং a (\ প্রদর্শনশৈলী a) b (\ ডিসপ্লেস্টাইল খ) , এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হল c (\ ডিসপ্লেস্টাইল গ)
., নিম্নলিখিত সম্পর্ক সন্তুষ্ট হয়:
একটি সমতুল্য জ্যামিতিক ফর্মুলেশনও সম্ভব, একটি চিত্রের ক্ষেত্রফলের ধারণাকে অবলম্বন করে: একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। পা উপপাদ্যটি ইউক্লিডের উপাদানগুলিতে এই আকারে তৈরি করা হয়েছে।পীথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে কনভার্স করুন a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). ফলস্বরূপ, ধনাত্মক সংখ্যার প্রতিটি ট্রিপলের জন্য মৌলিক সূত্রে বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ রয়েছে - একটি সমকোণী ত্রিভুজে, যার পায়ের দৈর্ঘ্য সমান, a (\ প্রদর্শনশৈলী a)এবং , এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হল, যেমন যে a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), পা সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ আছে মৌলিক সূত্রে বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ রয়েছে - একটি সমকোণী ত্রিভুজে, যার পায়ের দৈর্ঘ্য সমানএবং a (\ প্রদর্শনশৈলী a)এবং কর্ণ , এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হল.
প্রমাণ
বৈজ্ঞানিক সাহিত্যে নথিভুক্ত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের অন্তত 400টি প্রমাণ রয়েছে, যা জ্যামিতির জন্য এর মৌলিক তাত্পর্য এবং ফলাফলের প্রাথমিক প্রকৃতি উভয় দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে। প্রমাণগুলির প্রধান দিকগুলি হল: ত্রিভুজের উপাদানগুলির মধ্যে সম্পর্কের বীজগণিতিক ব্যবহার (উদাহরণস্বরূপ, সাদৃশ্যের জনপ্রিয় পদ্ধতি), ক্ষেত্রগুলির পদ্ধতি, এছাড়াও বিভিন্ন বহিরাগত প্রমাণ রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যবহার করে)।
অনুরূপ ত্রিভুজ মাধ্যমে
ইউক্লিডের শাস্ত্রীয় প্রমাণের লক্ষ্য হল পায়ের উপরের বর্গক্ষেত্রগুলির সাথে সমকোণের উচ্চতা দ্বারা কর্ণের উপরে বর্গক্ষেত্রকে ব্যবচ্ছেদ করে গঠিত আয়তক্ষেত্রগুলির মধ্যে ক্ষেত্রগুলির সমতা প্রতিষ্ঠা করা।
প্রমাণের জন্য ব্যবহৃত নির্মাণটি নিম্নরূপ: একটি সমকোণ সহ একটি সমকোণ ত্রিভুজের জন্য সি (\ ডিসপ্লেস্টাইল সি), পায়ের উপর বর্গক্ষেত্র এবং কর্ণের উপর বর্গক্ষেত্র A B I K (\ ডিসপ্লেস্টাইল ABIK)উচ্চতা নির্মিত হচ্ছে সিএইচএবং রশ্মি যা এটি চালিয়ে যায় s (\displaystyle s), কর্ণের উপরের বর্গক্ষেত্রটিকে দুটি আয়তক্ষেত্রে বিভক্ত করে এবং . প্রমাণের লক্ষ্য আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রগুলির সমতা প্রতিষ্ঠা করা এ এইচ জে কে (\ ডিসপ্লেস্টাইল এএইচজেকে)পায়ের উপর একটি বর্গক্ষেত্র দিয়ে এ সি (\ ডিসপ্লেস্টাইল এসি); দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রগুলির সমতা, কর্ণের উপরে বর্গক্ষেত্র গঠন করে এবং অন্য পায়ের উপরে আয়তক্ষেত্র একইভাবে প্রতিষ্ঠিত হয়।
একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রগুলির সমতা এ এইচ জে কে (\ ডিসপ্লেস্টাইল এএইচজেকে)এবং A C E D (\ ডিসপ্লেস্টাইল ACED)ত্রিভুজের মিলনের মাধ্যমে প্রতিষ্ঠিত হয় △ A C K (\ ডিসপ্লেস্টাইল \ ত্রিভুজ ACK)এবং △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), যার প্রতিটির ক্ষেত্রফল বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান এ এইচ জে কে (\ ডিসপ্লেস্টাইল এএইচজেকে)এবং A C E D (\ ডিসপ্লেস্টাইল ACED)তদনুসারে, নিম্নলিখিত সম্পত্তির সাথে সম্পর্কিত: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অর্ধেকের সমান যদি পরিসংখ্যানগুলির একটি সাধারণ দিক থাকে এবং ত্রিভুজের উচ্চতা সাধারণ বাহুর অন্য দিকে হয় আয়তক্ষেত্র ত্রিভুজগুলির সমাহার দুটি বাহুর সমতা (বর্গক্ষেত্রের বাহু) এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ থেকে (একটি সমকোণ এবং একটি কোণ দ্বারা গঠিত A (\displaystyle A).
সুতরাং, প্রমাণটি প্রতিষ্ঠিত করে যে কর্ণের উপরে একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, আয়তক্ষেত্র দ্বারা গঠিত এ এইচ জে কে (\ ডিসপ্লেস্টাইল এএইচজেকে)এবং BHJ I (\displaystyle BHJI), পায়ের উপরে বর্গক্ষেত্রগুলির সমষ্টির সমান।
লিওনার্দো দা ভিঞ্চির প্রমাণ
এলাকা পদ্ধতিতে লিওনার্দো দা ভিঞ্চির পাওয়া একটি প্রমাণও রয়েছে। একটি সমকোণী ত্রিভুজ দেওয়া হোক △ A B C (\displaystyle \triangle ABC)সমকোণ সহ সি (\ ডিসপ্লেস্টাইল সি)এবং বর্গক্ষেত্র A C E D (\ ডিসপ্লেস্টাইল ACED), B C F G (\ ডিসপ্লেস্টাইল BCFG)এবং এ বি এইচ জে (\ ডিসপ্লেস্টাইল এবিএইচজে)(ছবি দেখুন)। পাশে এই প্রমাণ HJ (\displaystyle HJ)পরেরটির, একটি ত্রিভুজ বাইরের দিকে তৈরি করা হয়, সঙ্গতিপূর্ণ △ A B C (\displaystyle \triangle ABC), তদুপরি, কর্ণের সাথে আপেক্ষিক এবং উচ্চতার সাথে আপেক্ষিক উভয়ই প্রতিফলিত হয় (অর্থাৎ, J I = B C (\ displaystyle JI=BC)এবং H I = A C (\displaystyle HI=AC)) সোজা C I (\ ডিসপ্লেস্টাইল CI)কর্ণের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রটিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে, যেহেতু ত্রিভুজ △ A B C (\displaystyle \triangle ABC)এবং △ J H I (\ ডিসপ্লেস্টাইল \ ত্রিভুজ JHI)নির্মাণে সমান। প্রমাণটি চতুর্ভুজগুলির সংগতি স্থাপন করে C A J I (\ ডিসপ্লেস্টাইল CAJI)এবং D A B G (\ ডিসপ্লেস্টাইল DABG), যার প্রতিটির ক্ষেত্রফল একদিকে, পায়ে বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফল এবং মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান, অন্যদিকে, অর্ধেক কর্ণের উপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল। মোট, পায়ের উপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক যোগফল কর্ণের উপর বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান, যা পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের জ্যামিতিক সূত্রের সমতুল্য।
অসীম পদ্ধতি দ্বারা প্রমাণ
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কৌশল ব্যবহার করে বেশ কয়েকটি প্রমাণ রয়েছে। বিশেষ করে, হার্ডিকে পায়ের অসীম বৃদ্ধি ব্যবহার করে একটি প্রমাণের কৃতিত্ব দেওয়া হয় মৌলিক সূত্রে বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ রয়েছে - একটি সমকোণী ত্রিভুজে, যার পায়ের দৈর্ঘ্য সমানএবং a (\ প্রদর্শনশৈলী a)এবং কর্ণ , এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হল, এবং মূল আয়তক্ষেত্রের সাথে সাদৃশ্য রক্ষা করা, অর্থাৎ নিম্নলিখিত ডিফারেনশিয়াল সম্পর্কগুলি নিশ্চিত করা:
d a d c = c a (\ displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\ displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করার পদ্ধতি ব্যবহার করে, তাদের থেকে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পাওয়া যায় c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), যার একীকরণ সম্পর্ক দেয় c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). প্রাথমিক শর্তের প্রয়োগ a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)ধ্রুবককে 0 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে, যা উপপাদ্যের বিবৃতিতে পরিণত হয়।
চূড়ান্ত সূত্রে দ্বিঘাত নির্ভরতা ত্রিভুজের বাহু এবং বৃদ্ধির মধ্যে রৈখিক আনুপাতিকতার কারণে প্রদর্শিত হয়, যখন যোগফল বিভিন্ন পায়ের বৃদ্ধি থেকে স্বাধীন অবদানের সাথে যুক্ত থাকে।
বৈচিত্র এবং সাধারণীকরণ
তিন দিকে অনুরূপ জ্যামিতিক আকার
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক সাধারণীকরণ উপাদানগুলিতে ইউক্লিড দিয়েছিলেন, পাশের বর্গক্ষেত্রগুলির এলাকা থেকে নির্বিচারে অনুরূপ জ্যামিতিক চিত্রগুলির অঞ্চলে চলে যাওয়া: পায়ে নির্মিত এই জাতীয় চিত্রগুলির ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি সমান হবে কর্ণের উপর নির্মিত অনুরূপ চিত্রের ক্ষেত্রফল।
এই সাধারণীকরণের মূল ধারণাটি হল যে এই ধরনের একটি জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফল এর যেকোন রৈখিক মাত্রার বর্গক্ষেত্রের সমানুপাতিক এবং বিশেষত, যে কোনও দিকের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমানুপাতিক। অতএব, এলাকার সঙ্গে অনুরূপ পরিসংখ্যান জন্য A (\displaystyle A), বি (\ ডিসপ্লেস্টাইল বি)এবং সি (\ ডিসপ্লেস্টাইল সি), দৈর্ঘ্য সহ পায়ে নির্মিত মৌলিক সূত্রে বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ রয়েছে - একটি সমকোণী ত্রিভুজে, যার পায়ের দৈর্ঘ্য সমানএবং a (\ প্রদর্শনশৈলী a)এবং কর্ণ , এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হলতদনুসারে, নিম্নলিখিত সম্পর্ক ধারণ করে:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2))=(\frac (C)(c^(2))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).যেহেতু পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), তারপর সম্পন্ন.
উপরন্তু, যদি এটি প্রমাণ করা সম্ভব হয়, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি না বলে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের পাশে তিনটি অনুরূপ জ্যামিতিক পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রগুলির জন্য, নিম্নলিখিত সম্পর্ক ধারণ করে: A + B = C (\ ডিসপ্লেস্টাইল A+B=C), তারপর ইউক্লিডের সাধারণীকরণের প্রমাণের বিপরীত ব্যবহার করে, কেউ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণ পেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি কর্ণের উপর আমরা একটি ক্ষেত্রফলের সাথে প্রারম্ভিকটির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করি। সি (\ ডিসপ্লেস্টাইল সি), এবং পাশে - ক্ষেত্র সহ দুটি অনুরূপ সমকোণী ত্রিভুজ A (\displaystyle A)এবং বি (\ ডিসপ্লেস্টাইল বি), তারপর দেখা যাচ্ছে যে প্রাথমিক ত্রিভুজটিকে তার উচ্চতা দ্বারা ভাগ করার ফলে বাহুগুলির ত্রিভুজগুলি গঠিত হয়, অর্থাৎ, ত্রিভুজগুলির দুটি ছোট ক্ষেত্রগুলির যোগফল তৃতীয়টির ক্ষেত্রফলের সমান, এইভাবে A + B = C (\ ডিসপ্লেস্টাইল A+B=C)এবং অনুরূপ পরিসংখ্যানের সাথে সম্পর্ক প্রয়োগ করে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি উদ্ভূত হয়েছে।
কোসাইন উপপাদ্য
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য হল আরও সাধারণ কোসাইন উপপাদ্যের একটি বিশেষ কেস, যা একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যকে সম্পর্কিত করে:
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),উভয় পক্ষের মধ্যে কোণ কোথায় মৌলিক সূত্রে বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ রয়েছে - একটি সমকোণী ত্রিভুজে, যার পায়ের দৈর্ঘ্য সমানএবং a (\ প্রদর্শনশৈলী a). যদি কোণ 90° হয়, তাহলে cos θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), এবং সূত্রটি সাধারণ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে সরল করে।
মুক্ত ত্রিভুজ
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের সাধারণীকরণ রয়েছে, যা শুধুমাত্র বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাতের উপর কাজ করে, এটি বিশ্বাস করা হয় যে এটি প্রথম সাবিয়ান জ্যোতির্বিজ্ঞানী থাবিত ইবনে কুররা দ্বারা প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। এটিতে, বাহু সহ একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের জন্য, পাশের ভিত্তি সহ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এটিতে ফিট করে , এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হল, শীর্ষবিন্দুটি মূল ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুর সাথে মিলে যাচ্ছে, বাহুর বিপরীতে , এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হলএবং কোণের সমান বেসে কোণ θ (\displaystyle \theta), বিপরীত দিকে , এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হল. ফলস্বরূপ, দুটি ত্রিভুজ গঠিত হয়, মূলটির অনুরূপ: প্রথমটি - পক্ষের সাথে মৌলিক সূত্রে বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ রয়েছে - একটি সমকোণী ত্রিভুজে, যার পায়ের দৈর্ঘ্য সমান, খোদাই করা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের এটি থেকে সবচেয়ে দূরবর্তী দিকটি, এবং r (\displaystyle r)- পার্শ্ব অংশ , এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হল; দ্বিতীয় - পাশ থেকে প্রতিসমভাবে এটি a (\ প্রদর্শনশৈলী a)পাশ দিয়ে s (\displaystyle s)- পাশের সংশ্লিষ্ট অংশ , এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হল. ফলস্বরূপ, নিম্নলিখিত সম্পর্ক সন্তুষ্ট হয়:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),এ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের অবক্ষয় θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). সম্পর্কটি গঠিত ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্যের ফলাফল:
c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).এলাকার উপর পাপ্পাসের উপপাদ্য
অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির স্বতঃসিদ্ধ থেকে উদ্ভূত এবং নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির জন্য বৈধ নয় - পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটির পূর্ণতা ইউক্লিডীয় সমান্তরালতা অনুকরণের সমতুল্য।
নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর মধ্যে সম্পর্ক অবশ্যই পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে ভিন্ন আকারে হবে। উদাহরণস্বরূপ, গোলাকার জ্যামিতিতে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু, যা একক গোলকের অক্ট্যান্টকে আবদ্ধ করে, তাদের দৈর্ঘ্য থাকে π / 2 (\displaystyle \pi /2), যা পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের বিরোধিতা করে।
অধিকন্তু, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি হাইপারবোলিক এবং উপবৃত্তাকার জ্যামিতিতে বৈধ যদি ত্রিভুজটি আয়তক্ষেত্রাকার প্রয়োজন এই শর্তে প্রতিস্থাপিত হয় যে ত্রিভুজের দুটি কোণের যোগফল অবশ্যই তৃতীয়টির সমান হবে।
গোলাকার জ্যামিতি
ব্যাসার্ধ সহ একটি গোলকের যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের জন্য R (\ ডিসপ্লেস্টাইল R)(উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি ত্রিভুজের কোণটি সঠিক হয়) বাহু সহ a, b, c (\displaystyle a,b,c)পক্ষের মধ্যে সম্পর্ক হল:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac) (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).এই সমতাটি গোলাকার কোসাইন উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে উদ্ভূত হতে পারে, যা সমস্ত গোলাকার ত্রিভুজের জন্য বৈধ:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) ⋅ cos γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch a ⋅ ch b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),যেখানে ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- হাইপারবোলিক-কোসাইন। এই সূত্রটি হাইপারবোলিক কোসাইন উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যা সমস্ত ত্রিভুজের জন্য বৈধ:
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),যেখানে γ (\displaystyle \gamma)- একটি কোণ যার শীর্ষবিন্দুটি বাহুর বিপরীত , এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হল.
হাইপারবোলিক কোসাইনের জন্য টেলর সিরিজ ব্যবহার করা ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\prox 1+x^(2)/2)) এটি দেখানো যেতে পারে যে যদি একটি হাইপারবোলিক ত্রিভুজ হ্রাস পায় (অর্থাৎ কখন মৌলিক সূত্রে বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ রয়েছে - একটি সমকোণী ত্রিভুজে, যার পায়ের দৈর্ঘ্য সমান, a (\ প্রদর্শনশৈলী a)এবং , এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হলশূন্যের দিকে ঝোঁক), তারপর সমকোণী ত্রিভুজের অধিবৃত্তীয় সম্পর্ক ক্লাসিক্যাল পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সম্পর্কের দিকে যায়।
আবেদন
দ্বি-মাত্রিক আয়তক্ষেত্রাকার সিস্টেমে দূরত্ব
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ হল একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করা: দূরত্ব s (\displaystyle s)স্থানাঙ্ক সহ পয়েন্টের মধ্যে (a, b) (\displaystyle (a,b))এবং (c , d) (\ প্রদর্শনশৈলী (c, d))সমান:
s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).জটিল সংখ্যার জন্য, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস খুঁজে বের করার জন্য একটি প্রাকৃতিক সূত্র দেয় - জন্য z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)এটি দৈর্ঘ্যের সমান
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য বলে:
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, পায়ের বর্গের সমষ্টি কর্ণের বর্গক্ষেত্রের সমান:
a 2 + b 2 = c 2,
- কএবং খ- পা একটি সমকোণ গঠন করে।
- সঙ্গে- ত্রিভুজের কর্ণ।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সূত্র
- a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
- b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
- c = \sqrt (a^(2) + b^(2))
পিথাগোরিয়ান থিওরেমের প্রমাণ
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
S = frac(1)(2)ab
একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, ক্ষেত্রফল সূত্রটি হল:
- পি- আধা-ঘের। p=\frac(1)(2)(a+b+c),
- r- খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ। একটি আয়তক্ষেত্রের জন্য r=\frac(1)(2)(a+b-c)।
তারপরে আমরা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের জন্য উভয় সূত্রের ডান দিকগুলিকে সমান করি:
\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \left((a+b)^(2)-c^(2) \right)
2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)
0=a^(2)+b^(2)-c^(2)
c^(2) = a^(2)+b^(2)
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে কভার করুন:
একটি ত্রিভুজের এক বাহুর বর্গ অন্য দুই বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি সমকোণ। অর্থাৎ, ধনাত্মক সংখ্যার যেকোনো তিনগুণের জন্য ক, খএবং গ, যেমন যে
a 2 + b 2 = c 2,
পা সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ আছে কএবং খএবং কর্ণ গ.
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য- ইউক্লিডীয় জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য, একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে। এটি বিজ্ঞ গণিতবিদ এবং দার্শনিক পিথাগোরাস দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল।
উপপাদ্যের অর্থবিন্দু হল যে এটি অন্যান্য উপপাদ্য প্রমাণ করতে এবং সমস্যার সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
অতিরিক্ত উপাদান:
