চতুর্ভুজের সংজ্ঞা। সম্পূর্ণ পাঠ - জ্ঞান হাইপারমার্কেট

স্কুল কোর্স থেকে জ্যামিতির সবচেয়ে আকর্ষণীয় বিষয়গুলির মধ্যে একটি হল "চতুর্ভুজ" (গ্রেড 8)। এই ধরনের পরিসংখ্যান কি ধরনের বিদ্যমান, তাদের কি বিশেষ বৈশিষ্ট্য আছে? নব্বই-ডিগ্রী কোণ সহ চতুর্ভুজ সম্পর্কে অনন্য কি? আসুন এই সব খতিয়ে দেখা যাক.

কোন জ্যামিতিক চিত্রকে চতুর্ভুজ বলা হয়

বহুভুজ, যা চারটি বাহু নিয়ে গঠিত এবং তদনুসারে, চারটি শীর্ষবিন্দু (কোণ) নিয়ে গঠিত, ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে চতুর্ভুজ বলা হয়।

এই ধরনের পরিসংখ্যান নামের ইতিহাস আকর্ষণীয়। রাশিয়ান ভাষায়, "চতুর্ভুজ" বিশেষ্যটি "চার কোণ" শব্দটি থেকে গঠিত হয় (একইভাবে "ত্রিভুজ" - তিন কোণ, "পেন্টাগন" - পাঁচটি কোণ ইত্যাদি)।

যাইহোক, ল্যাটিন ভাষায় (যার মাধ্যমে অনেক জ্যামিতিক শব্দ বিশ্বের বেশিরভাগ ভাষায় এসেছে), একে বলা হয় চতুর্ভুজ। এই শব্দটি সংখ্যাসূচক চতুর্দশী (চার) এবং বিশেষ্য ল্যাটাস (পার্শ্ব) থেকে গঠিত হয়েছে। সুতরাং আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে প্রাচীনদের মধ্যে এই বহুভুজটিকে শুধুমাত্র "চার-পার্শ্বযুক্ত" হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছিল।

যাইহোক, এই জাতীয় নাম (এই ধরণের চিত্রগুলিতে কোণার পরিবর্তে চার দিকের উপস্থিতির উপর জোর দিয়ে) কিছু আধুনিক ভাষায় সংরক্ষণ করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ইংরেজিতে - quadrilateral এবং ফরাসি - quadrilatère।

একই সময়ে, বেশিরভাগ স্লাভিক ভাষায়, বিবেচিত ধরণের পরিসংখ্যানগুলি এখনও কোণের সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, পক্ষ নয়। উদাহরণস্বরূপ, স্লোভাক ভাষায় (štvoruholník), বুলগেরিয়ানে (“chetirigalnik”), বেলারুশিয়ান ভাষায় (“chatyrokhkutnik”), ইউক্রেনীয় ভাষায় (“chotirikutnik”), চেক ভাষায় (čtyřúhelník), কিন্তু পোলিশ ভাষায় চতুর্ভুজকে সংখ্যা দ্বারা বলা হয়। পক্ষ - czworoboczny.

স্কুল পাঠ্যক্রমে কি ধরনের চতুর্ভুজ অধ্যয়ন করা হয়

আধুনিক জ্যামিতিতে, চারটি বাহু সহ 4 ধরনের বহুভুজ রয়েছে।

যাইহোক, তাদের মধ্যে কিছুর খুব জটিল বৈশিষ্ট্যের কারণে, জ্যামিতি পাঠে, স্কুলছাত্রদের শুধুমাত্র দুটি ধরণের সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া হয়।

• সমান্তরাল বৃত্ত।এই ধরনের চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পরের সাথে যুগলভাবে সমান্তরাল এবং তদনুসারে, জোড়ায় সমান।
• ট্র্যাপিজ (ট্র্যাপিজিয়াম বা ট্র্যাপিজয়েড)।এই চতুর্ভুজটি একে অপরের সমান্তরাল দুটি বিপরীত বাহু নিয়ে গঠিত। যাইহোক, পক্ষের অন্য জোড়া এই বৈশিষ্ট্য নেই.

চতুর্ভুজের প্রকারগুলি স্কুলের জ্যামিতি কোর্সে অধ্যয়ন করা হয়নি৷

উপরেরটি ছাড়াও, আরও দুটি ধরণের চতুর্ভুজ রয়েছে যেগুলির বিশেষ জটিলতার কারণে স্কুলছাত্রীরা জ্যামিতি পাঠে পরিচিত হয় না।

• ডেলটয়েড (ঘুড়ি)- একটি চিত্র যেখানে দুটি জোড়া সন্নিহিত বাহুর প্রতিটি একে অপরের দৈর্ঘ্যে সমান। এই জাতীয় চতুর্ভুজটির নামটি এসেছে এই কারণে যে চেহারাতে এটি গ্রীক বর্ণমালার অক্ষরের সাথে বেশ দৃঢ়ভাবে সাদৃশ্যপূর্ণ - "ডেল্টা"।
• সমান্তরাল লোগোগ্রাম- এই চিত্রটি এর নামের মতোই জটিল। এটিতে, দুটি বিপরীত দিক সমান, তবে একই সময়ে তারা একে অপরের সমান্তরাল নয়। উপরন্তু, এই চতুর্ভুজের দীর্ঘ বিপরীত বাহুগুলি একে অপরকে ছেদ করে, যেমনটি অন্য দুটি, খাটো বাহুর সম্প্রসারণ করে।

সমান্তরালগ্রামের প্রকারভেদ

প্রধান ধরণের চতুর্ভুজগুলির সাথে মোকাবিলা করার পরে, এটির উপ-প্রজাতিগুলিতে মনোযোগ দেওয়া মূল্যবান। সুতরাং, সমস্ত সমান্তরালগ্রাম, ঘুরে, চারটি গ্রুপে বিভক্ত।

• শাস্ত্রীয় সমান্তরাল বৃত্ত।
• রম্বস (রম্বস)- সমান বাহু সহ একটি চতুর্ভুজাকার চিত্র। এর কর্ণগুলি সমকোণে ছেদ করে, রম্বসকে চারটি সমান সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
• আয়তক্ষেত্র.নাম নিজেই কথা বলে। যেহেতু এটি সমকোণ সহ একটি চতুর্ভুজ (এদের প্রত্যেকটি নব্বই ডিগ্রির সমান)। এর বিপরীত দিকগুলি কেবল একে অপরের সমান্তরাল নয়, সমান।
• বর্গ বর্গ).একটি আয়তক্ষেত্রের মতো, এটি সমকোণ বিশিষ্ট একটি চতুর্ভুজ, কিন্তু এর সব বাহু একে অপরের সমান। এই চিত্রটি একটি রম্বসের কাছাকাছি। সুতরাং এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে একটি বর্গ হল একটি রম্বস এবং একটি আয়তক্ষেত্রের মধ্যে একটি ক্রস।

আয়তক্ষেত্র বিশেষ বৈশিষ্ট্য

পরিসংখ্যান বিবেচনা করে যেখানে বাহুর মধ্যে প্রতিটি কোণ নব্বই ডিগ্রীর সমান, এটি আয়তক্ষেত্রে আরও ঘনিষ্ঠভাবে বসবাস করার মতো। সুতরাং, এটির কোন বিশেষ বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা এটিকে অন্যান্য সমান্তরালগ্রাম থেকে আলাদা করে?

বিবেচনাধীন সমান্তরালগ্রামটি একটি আয়তক্ষেত্র তা নিশ্চিত করার জন্য, এর কর্ণগুলি একে অপরের সমান হতে হবে এবং প্রতিটি কোণ অবশ্যই সঠিক হতে হবে। উপরন্তু, এর তির্যকগুলির বর্গটি অবশ্যই এই চিত্রের দুটি সন্নিহিত বাহুর বর্গক্ষেত্রের যোগফলের সাথে মিলিত হতে হবে। অন্য কথায়, ধ্রুপদী আয়তক্ষেত্র দুটি সমকোণী ত্রিভুজ নিয়ে গঠিত এবং তাদের মধ্যে, যেমনটি জানা যায়, বিবেচনাধীন চতুর্ভুজের কর্ণ কর্ণের হিসাবে কাজ করে।

এই চিত্রের তালিকাভুক্ত লক্ষণগুলির শেষটিও এর বিশেষ সম্পত্তি। এ ছাড়াও আরও আছে। উদাহরণস্বরূপ, সমকোণ সহ অধ্যয়ন করা চতুর্ভুজের সমস্ত বাহু একই সময়ে এর উচ্চতা।

উপরন্তু, যদি কোন আয়তক্ষেত্রের চারপাশে একটি বৃত্ত আঁকা হয়, তবে এর ব্যাস খোদাই করা চিত্রের কর্ণের সমান হবে।

এই চতুর্ভুজের অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে, এটি সমতল এবং অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে বিদ্যমান নেই। এটি এই কারণে যে এই জাতীয় ব্যবস্থায় কোনও চতুর্ভুজাকার পরিসংখ্যান নেই, যার কোণের সমষ্টি তিনশ ষাট ডিগ্রির সমান।

বর্গক্ষেত্র এবং এর বৈশিষ্ট্য

একটি আয়তক্ষেত্রের চিহ্ন এবং বৈশিষ্ট্যগুলি নিয়ে কাজ করার পরে, বিজ্ঞানের কাছে সমকোণ সহ পরিচিত দ্বিতীয় চতুর্ভুজের দিকে মনোযোগ দেওয়া মূল্যবান (এটি একটি বর্গ)।

আসলে একই আয়তক্ষেত্র হওয়ায়, কিন্তু সমান বাহু সহ, এই চিত্রটির সমস্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। কিন্তু এর বিপরীতে, বর্গক্ষেত্রটি নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে বিদ্যমান।

এছাড়াও, এই চিত্রটির নিজস্ব অন্যান্য স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণগুলি কেবল একে অপরের সমান নয়, একটি সমকোণে ছেদ করে। এইভাবে, একটি রম্বসের মতো, একটি বর্গক্ষেত্র চারটি সমকোণী ত্রিভুজ নিয়ে গঠিত, যার মধ্যে এটি তির্যক দ্বারা বিভক্ত।

উপরন্তু, এই চিত্রটি সমস্ত চতুর্ভুজের মধ্যে সবচেয়ে প্রতিসম।

চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি কত

ইউক্লিডীয় জ্যামিতি চতুর্ভুজগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করে, তাদের কোণগুলিতে মনোযোগ দেওয়া মূল্যবান।

সুতরাং, উপরের প্রতিটি পরিসংখ্যানে, এর সমকোণ থাকুক বা না থাকুক, তাদের মোট যোগফল সবসময় একই থাকে - তিনশত ষাট ডিগ্রি। এটি এই ধরণের চিত্রের একটি অনন্য বিশিষ্ট বৈশিষ্ট্য।

চতুর্ভুজের পরিধি

চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি কী এবং এই ধরণের পরিসংখ্যানগুলির অন্যান্য বিশেষ বৈশিষ্ট্যগুলি বের করার পরে, তাদের পরিধি এবং ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য কোন সূত্রগুলি সবচেয়ে ভাল ব্যবহার করা হয় তা জানা মূল্যবান।

যেকোন চতুর্ভুজের পরিধি নির্ধারণ করতে, আপনাকে কেবল তার সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্য একসাথে যোগ করতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, KLMN চিত্রে, এর পরিধি সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে: P \u003d KL + LM + MN + KN। আপনি যদি এখানে সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করেন, আপনি পাবেন: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (সেমি)।

সেই ক্ষেত্রে যখন প্রশ্নে থাকা চিত্রটি একটি রম্বস বা একটি বর্গক্ষেত্র হয়, ঘেরটি খুঁজে পেতে, আপনি কেবলমাত্র এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্যকে চার দ্বারা গুণ করে সূত্রটিকে সরল করতে পারেন: P \u003d KL x 4। উদাহরণস্বরূপ: 6 x 4 \u003d 24 (সেমি)।

ক্ষেত্রফল চতুর্ভুজ সূত্র

চারটি কোণ এবং দিক সহ যে কোনও চিত্রের পরিধি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা নির্ধারণ করার পরে, এর ক্ষেত্রটি খুঁজে পাওয়ার সবচেয়ে জনপ্রিয় এবং সহজ উপায়গুলি বিবেচনা করা মূল্যবান।

চতুর্ভুজের অন্যান্য বৈশিষ্ট্য: খোদাইকৃত এবং পরিধিকৃত বৃত্ত

ইউক্লিডীয় জ্যামিতির একটি চিত্র হিসাবে চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করার পরে, এটির চারপাশে বর্ণনা করার বা এর ভিতরে বৃত্তগুলি খোদাই করার ক্ষমতার দিকে মনোযোগ দেওয়া মূল্যবান:

• যদি একটি চিত্রের বিপরীত কোণের যোগফল প্রতিটি একশত আশি ডিগ্রী হয় এবং একে অপরের সাথে জোড়ায় সমান হয়, তাহলে একটি চতুর্ভুজের চারপাশে একটি বৃত্ত অবাধে বর্ণনা করা যেতে পারে।
• টলেমির উপপাদ্য অনুসারে, যদি একটি বৃত্তকে বহুভুজের বাইরে চারটি বাহু বিশিষ্ট পরিসীমাবদ্ধ করা হয়, তাহলে এর কর্ণের গুণফল প্রদত্ত চিত্রের বিপরীত বাহুর গুণফলের সমষ্টির সমান। সুতরাং, সূত্রটি এইরকম দেখাবে: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN।
• আপনি যদি একটি চতুর্ভুজ তৈরি করেন যেখানে বিপরীত বাহুর যোগফল একে অপরের সমান হয়, তবে এটিতে একটি বৃত্ত খোদাই করা যেতে পারে।

একটি চতুর্ভুজ কী, এটির কী ধরণের অস্তিত্ব রয়েছে, তাদের মধ্যে কোনটির বাহুর মধ্যে কেবলমাত্র সমকোণ রয়েছে এবং তাদের কী বৈশিষ্ট্য রয়েছে তা নির্ধারণ করার পরে, এই সমস্ত উপাদানটি মনে রাখা মূল্যবান। বিশেষত, বিবেচিত বহুভুজের পরিধি এবং ক্ষেত্রফল খোঁজার সূত্র। সর্বোপরি, এই ফর্মের পরিসংখ্যান সবচেয়ে সাধারণ, এবং এই জ্ঞান বাস্তব জীবনে গণনার জন্য দরকারী হতে পারে।

1 . একটি উত্তল চতুর্ভুজের কর্ণের যোগফল এর দুটি বিপরীত বাহুর সমষ্টির চেয়ে বেশি।

2 . বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুগুলিকে সংযোগকারী অংশগুলি যদি চতুর্ভুজ

ক) সমান, তাহলে চতুর্ভুজের কর্ণগুলি লম্ব;

b) লম্ব, তাহলে চতুর্ভুজের কর্ণ সমান।

3 . ট্র্যাপিজিয়ামের পাশ্বর্ীয় দিকের কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি এর মধ্যরেখায় ছেদ করে।

4 . সমান্তরালগ্রামের বাহুগুলি সমান এবং . তারপর সমান্তরালগ্রামের কোণগুলির দ্বিখণ্ডকগুলির ছেদ দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র যার কর্ণগুলি সমান।

5 . যদি ট্র্যাপিজয়েডের ভিত্তিগুলির একটিতে কোণের সমষ্টি 90° হয়, তাহলে ট্র্যাপিজয়েডের ভিত্তিগুলির মধ্যবিন্দুগুলির সাথে সংযোগকারী রেখাংশটি তাদের অর্ধ-পার্থক্যের সমান।

6 . পক্ষের এবিএবং বিজ্ঞাপনসমান্তরাল বৃত্ত এ বি সি ডিপয়েন্ট নেওয়া হয় এমএবং এনতাই সোজা মাইক্রোসফটএবং NCসমান্তরাল বৃত্তটিকে তিনটি সমান ভাগে ভাগ করুন। অনুসন্ধান MN,যদি BD=d.

7 . একটি ট্র্যাপিজয়েডের ভিত্তির সমান্তরাল সরলরেখার একটি অংশ, ট্র্যাপিজয়েডের ভিতরে ঘেরা, এটির কর্ণগুলি দ্বারা তিনটি ভাগে বিভক্ত। তারপরে পাশের অংশগুলি একে অপরের সমান।

8 . ঘাঁটিগুলির সাথে ট্র্যাপিজয়েডের কর্ণগুলির ছেদ বিন্দুর মাধ্যমে এবং একটি সরল রেখা টানা হয়, বেসগুলির সমান্তরাল। ট্র্যাপিজয়েডের পাশের মধ্যে ঘেরা এই রেখার অংশটি সমান।

9 . একটি ট্র্যাপিজয়েড এবং এর সমান ভিত্তিগুলির সমান্তরাল একটি রেখা দ্বারা বিভক্ত , দুটি সমান ট্র্যাপিজয়েডে। তারপর এই সরলরেখার অংশটি, বাহুর মধ্যে আবদ্ধ, সমান।

10 . নিচের শর্তগুলোর একটি পূরণ হলে চার পয়েন্ট A, B, Cএবং ডিএকই বৃত্তে থাকা।

ক) CAD=CBD= 90°

খ) পয়েন্ট কিন্তুএবং ATসরলরেখার একপাশে শুয়ে পড়ুন সিডিএবং কোণ সিএডিকোণের সমান সিবিডি

গ) সোজা এসিএবং বিডিএকটি বিন্দুতে ছেদ করুন ওএবং O A OS = OV OD.

11 . একটি বিন্দু সংযোগকারী একটি লাইন আরএকটি চতুর্ভুজের কর্ণের ছেদ সাথে ABCDবিন্দু প্রলাইন ছেদ এবিএবং সিডি,পাশ ভাগ করে বিজ্ঞাপনঅর্ধেক. তারপর সে দ্বিখণ্ডিত এবং একটি পাশ সূর্য

12 . উত্তল চতুর্ভুজের প্রতিটি বাহু তিনটি সমান ভাগে বিভক্ত। বিপরীত দিকের অনুরূপ বিভাজন পয়েন্টগুলি বিভাগ দ্বারা সংযুক্ত। তারপর এই অংশগুলি একে অপরকে তিনটি সমান ভাগে ভাগ করে।

13 . দুটি সরল রেখা একটি উত্তল চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত বাহুকে তিনটি সমান ভাগে ভাগ করে। তারপর এই রেখাগুলির মধ্যে চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের এক তৃতীয়াংশ রয়েছে।

14 . যদি একটি বৃত্তকে একটি চতুর্ভুজে খোদাই করা যায়, তাহলে খোদাইকৃত বৃত্তটি চতুর্ভুজের বিপরীত দিকগুলিকে স্পর্শ করে এমন বিন্দুগুলিকে সংযোগকারী অংশটি কর্ণগুলির ছেদ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।

15 . যদি একটি চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুর যোগফল সমান হয়, তাহলে একটি চতুর্ভুজের মধ্যে একটি বৃত্ত খোদাই করা যেতে পারে।

16. পারস্পরিক লম্ব কর্ণ সহ একটি খোদাইকৃত চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য।চতুর্ভুজ এ বি সি ডিব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে খোদাই করা আর.এর কর্ণ এসিএবং বিডিপারস্পরিক লম্ব এবং একটি বিন্দুতে ছেদ করে আর.তারপর

ক) একটি ত্রিভুজের মধ্যক এআরভিপাশে লম্ব সিডি;

খ) ভাঙ্গা লাইন এওসিচতুর্ভুজকে ভাগ করে এ বি সি ডিদুটি সমান পরিসংখ্যানে;

ভিতরে) AB 2 + CD 2=4আর 2 ;

ছ) AP 2 + BP 2 + SR 2 + DP 2 = 4আর 2 এবং AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = 8R 2;

e) বৃত্তের কেন্দ্র থেকে চতুর্ভুজের পাশের দূরত্ব বিপরীত দিকের অর্ধেক।

f) যদি লম্বগুলি পাশে নেমে যায় বিজ্ঞাপনশিখর থেকে ATএবং থেকে,ক্রস তির্যক এসিএবং বিডিপয়েন্ট এ ইএবং চ,তারপর বিসিএফই- রম্বস;

g) একটি চতুর্ভুজ যার শীর্ষবিন্দুগুলি একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ আরচতুর্ভুজের পাশে এ বি সি ডি,- উভয় খোদাই করা এবং বর্ণিত;

h) চতুর্ভুজের পরিধিকৃত বৃত্তের স্পর্শক দ্বারা গঠিত একটি চতুর্ভুজ এ বি সি ডি,এর শীর্ষবিন্দুতে আঁকা একটি বৃত্তে খোদাই করা যেতে পারে।

17 . যদি একটি একটি, খ, গ, ঘ- চতুর্ভুজের ধারাবাহিক বাহু, এস- এর ক্ষেত্রফল, তারপর, এবং সমতা শুধুমাত্র একটি খোদাই করা চতুর্ভুজের জন্য সঞ্চালিত হয়, যার কর্ণগুলি পারস্পরিকভাবে লম্ব।

18 . ব্রহ্মগুপ্ত সূত্র।যদি উৎকীর্ণ চতুর্ভুজের বাহুগুলো সমান হয় a, b, cএবং ডি,তারপর তার এলাকা এসসূত্র দ্বারা গণনা করা যেতে পারে,

কোথায় চতুর্ভুজের অর্ধপরিধি।

19 . বাহু সহ একটি চতুর্ভুজ হলে ক, খ, গ, ঘখোদাই করা যেতে পারে এবং এটির চারপাশে একটি বৃত্ত পরিবৃত্ত করা যেতে পারে, তাহলে এর ক্ষেত্রফল সমান .

20 . বিন্দু P বর্গক্ষেত্রের ভিতরে অবস্থিত এ বি সি ডি,এবং কোণ পিএবিকোণের সমান আরভিএএবং সমান 15° তারপর ত্রিভুজ ডিপিসি- সমবাহু।

21 . যদি একটি খোদাই করা চতুর্ভুজের জন্য এ বি সি ডিসমতা CD=AD+BC,তারপর এর কোণের দ্বিখণ্ডক কিন্তুএবং ATপাশে ছেদ সিডি।

22 . বিপরীত পক্ষের ধারাবাহিকতা এবিএবং সিডিখোদাই করা চতুর্ভুজ এ বি সি ডিএকটি বিন্দুতে ছেদ করুন মি,এবং দলগুলো বিজ্ঞাপনএবং সূর্য- বিন্দুতে এন.তারপর

ক) কোণ দ্বিখণ্ডক এএমডিএবং ডিএনসিপারস্পরিক লম্ব;

খ) সোজা MQএবং NQরম্বসের শীর্ষবিন্দুতে চতুর্ভুজের বাহুগুলিকে ছেদ করুন;

গ) ছেদ বিন্দু প্রএই দ্বিখন্ডগুলির মধ্যে চতুর্ভুজের কর্ণগুলির মধ্যবিন্দুগুলিকে সংযোগকারী অংশে অবস্থিত এ বি সি ডি.

23 . টলেমির উপপাদ্য।একটি উৎকীর্ণ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুর দুই জোড়ার গুণফলের সমষ্টি তার কর্ণের গুণফলের সমান।

24 . নিউটনের উপপাদ্য।যেকোন পরিধিকৃত চতুর্ভুজে, কর্ণের মধ্যবিন্দু এবং খোদাই করা বৃত্তের কেন্দ্র একই সরলরেখায় থাকে।

25 . মঙ্গের উপপাদ্য।একটি খোদাইকৃত চতুর্ভুজের বাহুর মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে আঁকা রেখাগুলি বিপরীত বাহুতে ছেদ করে।

27 . চারটি বৃত্ত, একটি উত্তল চতুর্ভুজের পার্শ্বে ব্যাস হিসাবে নির্মিত, সমগ্র চতুর্ভুজটিকে আবৃত করে।

29 . উত্তল চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণ স্থূল। তারপর এই কোণগুলির শীর্ষবিন্দুগুলির সাথে সংযোগকারী তির্যকটি অন্যান্য কর্ণের চেয়ে কম।

30. এর বাইরে একটি সমান্তরালগ্রামের পাশে নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির কেন্দ্রগুলি নিজেরাই একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি করে।

এবং আবার প্রশ্ন হল: একটি রম্বস একটি সমান্তরাল কি না?

সম্পূর্ণ অধিকার সহ - একটি সমান্তরালগ্রাম, কারণ এতে রয়েছে এবং (আমাদের চিহ্ন 2 মনে রাখবেন)।

এবং আবার, যেহেতু একটি রম্বস একটি সমান্তরালগ্রাম, তাহলে এটিতে একটি সমান্তরালগ্রামের সমস্ত বৈশিষ্ট্য থাকতে হবে। এর মানে হল একটি রম্বসের বিপরীত কোণগুলি সমান, বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল এবং কর্ণগুলি ছেদ বিন্দু দ্বারা দ্বিখণ্ডিত।

রম্বস বৈশিষ্ট্য

ছবিটির দিকে তাকাও:

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, এই বৈশিষ্ট্যগুলি স্বতন্ত্র, অর্থাৎ, এই বৈশিষ্ট্যগুলির প্রতিটির জন্য, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে আমাদের কেবল একটি সমান্তরালগ্রাম নয়, একটি রম্বস রয়েছে।

একটি রম্বসের চিহ্ন

এবং আবার মনোযোগ দিন: লম্ব তির্যক সহ কেবল একটি চতুর্ভুজ নয়, একটি সমান্তরালগ্রাম হওয়া উচিত। নিশ্চিত করা:

না, অবশ্যই না, যদিও এর কর্ণ এবং লম্ব, এবং কর্ণ হল u কোণের দ্বিখণ্ডক। কিন্তু ... কর্ণগুলি বিভক্ত হয় না, ছেদ বিন্দুকে অর্ধেক করে, তাই - একটি সমান্তরালগ্রাম নয়, এবং তাই একটি রম্বস নয়।

অর্থাৎ, একটি বর্গ একই সময়ে একটি আয়তক্ষেত্র এবং একটি রম্বস। দেখা যাক এর থেকে কী বের হয়।

এটা পরিষ্কার কেন? - রম্বস - কোণের দ্বিখণ্ডক A, যার সমান। সুতরাং এটি বরাবর দুটি কোণে বিভক্ত (এবং এছাড়াও)।

ঠিক আছে, এটা বেশ পরিষ্কার: আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সমান; রম্বস তির্যকগুলি লম্ব, এবং সাধারণভাবে - সমান্তরাল কর্ণগুলিকে অর্ধেকের ছেদ বিন্দু দ্বারা বিভক্ত করা হয়।

গড় স্তর

চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য। সমান্তরাল বৃত্ত

সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য

মনোযোগ! শব্দ গুলো " সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য» মানে আপনার যদি কোনো কাজ থাকে এখানেসমান্তরালগ্রাম, তারপর নিম্নলিখিত সব ব্যবহার করা যেতে পারে.

একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্যের উপর উপপাদ্য।

যেকোনো সমান্তরাল বৃত্তে:

দেখা যাক কেন এটি সত্য, অন্য কথায় আমরা প্রমাণ করবউপপাদ্য

তাহলে কেন 1) সত্য?

যেহেতু এটি একটি সমান্তরালগ্রাম, তাহলে:

• আড়াআড়িভাবে মিথ্যা মত
• জুড়ে মিথ্যা হিসাবে.

তাই, (II ভিত্তিতে: এবং - সাধারণ।)

আচ্ছা, একবার, তারপর - এটাই! - প্রমাণিত।

কিন্তু যাই হোক! আমরাও প্রমাণ করেছি ২)!

কেন? কিন্তু সব পরে (ছবি তাকান), যে, যথা, কারণ.

মাত্র 3 বাকি)।

এটি করার জন্য, আপনাকে এখনও একটি দ্বিতীয় তির্যক আঁকতে হবে।

এবং এখন আমরা দেখতে পাচ্ছি - II চিহ্ন অনুসারে (কোণ এবং পার্শ্ব "তাদের মধ্যে")।

বৈশিষ্ট্য প্রমাণিত! আসুন লক্ষণগুলিতে এগিয়ে যাই।

সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য

মনে রাখবেন যে একটি সমান্তরালগ্রামের চিহ্নটি "কিভাবে খুঁজে বের করতে হয়?" প্রশ্নের উত্তর দেয় যে চিত্রটি একটি সমান্তরাল।

আইকনগুলিতে এটি এরকম:

কেন? এটা কেন বুঝতে ভাল হবে - এটা যথেষ্ট. কিন্তু দেখ:

ঠিক আছে, আমরা বের করেছি কেন সাইন 1 সত্য।

আচ্ছা, এটা আরও সহজ! আবার একটি তির্যক আঁকুন।

যার অর্থ:

এবংএছাড়াও সহজ। কিন্তু… আলাদা!

মানে, . কি দারুন! কিন্তু এছাড়াও - একটি secant এ অভ্যন্তরীণ একতরফা!

অতএব যে সত্য যে মানে.

এবং যদি আপনি অন্য দিক থেকে তাকান, তাহলে তারা একটি সেকেন্টে অভ্যন্তরীণ একতরফা! এবং সেইজন্য.

এটা কত মহান দেখুন?!

এবং আবার সহজভাবে:

ঠিক একই, এবং.

মনোযোগ দিন:যদি আপনি খুঁজে পান অন্ততআপনার সমস্যা একটি সমান্তরালগ্রাম একটি চিহ্ন, তারপর আপনি আছে ঠিকসমান্তরালগ্রাম এবং আপনি ব্যবহার করতে পারেন সবাইএকটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য।

সম্পূর্ণ স্বচ্ছতার জন্য, চিত্রটি দেখুন:

চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য। আয়তক্ষেত্র.

আয়তক্ষেত্র বৈশিষ্ট্য:

পয়েন্ট 1) বেশ সুস্পষ্ট - সর্বোপরি, চিহ্ন 3 () সহজভাবে পূর্ণ হয়

এবং পয়েন্ট 2) - অনেক গুরুত্বপূর্ণ. তাই প্রমাণ করা যাক

সুতরাং, দুই পায়ে (এবং - সাধারণ)।

ঠিক আছে, যেহেতু ত্রিভুজগুলি সমান, তাই তাদের কর্ণগুলিও সমান।

তা প্রমাণিত!

এবং কল্পনা করুন, কর্ণগুলির সমতা হল সমস্ত সমান্তরালগ্রামের মধ্যে একটি আয়তক্ষেত্রের একটি স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য। অর্থাৎ নিচের বক্তব্যটি সত্য

দেখা যাক কেন?

সুতরাং, (মানে সমান্তরালগ্রামের কোণ)। কিন্তু আবার, মনে রাখবেন যে - একটি সমান্তরালগ্রাম, এবং তাই।

মানে, . এবং, অবশ্যই, এটি তাদের প্রতিটি যে এই থেকে অনুসরণ করে সর্বোপরি, তাদের দেওয়া উচিত পরিমাণে!

এখানে আমরা প্রমাণ করেছি যে যদি সমান্তরাল বৃত্তহঠাৎ (!) সমান তির্যক হবে, তারপর এই ঠিক একটি আয়তক্ষেত্র.

কিন্তু! মনোযোগ দিন!এই সম্পর্কে সমান্তরালগ্রাম! কোনটি নয়সমান কর্ণ বিশিষ্ট একটি চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র, এবং কেবলসমান্তরাল বৃত্ত

চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য। রম্বস

এবং আবার প্রশ্ন হল: একটি রম্বস একটি সমান্তরাল কি না?

সম্পূর্ণ অধিকার সহ - একটি সমান্তরালগ্রাম, কারণ এতে রয়েছে এবং (আমাদের চিহ্ন 2 মনে রাখবেন)।

এবং আবার, যেহেতু একটি রম্বস একটি সমান্তরালগ্রাম, এটিতে একটি সমান্তরালগ্রামের সমস্ত বৈশিষ্ট্য থাকতে হবে। এর মানে হল একটি রম্বসের বিপরীত কোণগুলি সমান, বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল এবং কর্ণগুলি ছেদ বিন্দু দ্বারা দ্বিখণ্ডিত।

কিন্তু বিশেষ বৈশিষ্ট্য আছে। আমরা প্রণয়ন করি।

রম্বস বৈশিষ্ট্য

কেন? ঠিক আছে, যেহেতু একটি রম্বস একটি সমান্তরালগ্রাম, তাহলে এর কর্ণগুলি অর্ধেক ভাগে বিভক্ত।

কেন? হ্যাঁ, তাই তো!

অন্য কথায়, তির্যক এবং রম্বসের কোণগুলির দ্বিখণ্ডক হিসাবে পরিণত হয়েছে।

যেমন একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, এই বৈশিষ্ট্য হয় স্বতন্ত্র, তাদের প্রতিটি একটি রম্বস একটি চিহ্ন.

রম্বস লক্ষণ।

কেন এমন হল? এবং দেখো

অতএব, এবং উভয়এই ত্রিভুজগুলি সমদ্বিবাহু।

একটি রম্বস হওয়ার জন্য, একটি চতুর্ভুজকে প্রথমে একটি সমান্তরালগ্রাম "হতে হবে" এবং তারপরে ইতিমধ্যে বৈশিষ্ট্য 1 বা বৈশিষ্ট্য 2 প্রদর্শন করতে হবে।

চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য। বর্গক্ষেত্র

অর্থাৎ, একটি বর্গ একই সময়ে একটি আয়তক্ষেত্র এবং একটি রম্বস। দেখা যাক এর থেকে কী বের হয়।

এটা পরিষ্কার কেন? বর্গাকার - রম্বস - কোণের দ্বিখণ্ডক, যার সমান। সুতরাং এটি বরাবর দুটি কোণে বিভক্ত (এবং এছাড়াও)।

ঠিক আছে, এটা বেশ পরিষ্কার: আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সমান; রম্বস তির্যকগুলি লম্ব, এবং সাধারণভাবে - সমান্তরাল কর্ণগুলিকে অর্ধেকের ছেদ বিন্দু দ্বারা বিভক্ত করা হয়।

কেন? ঠিক আছে, শুধু পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করুন।

সারাংশ এবং মৌলিক সূত্র

সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য:

1. বিপরীত দিকগুলি সমান: , .
2. বিপরীত কোণগুলি হল: , .
3. একপাশে কোণগুলি যোগ করে: , .
4. কর্ণগুলিকে ছেদ বিন্দু দ্বারা অর্ধেকে ভাগ করা হয়েছে: .

আয়তক্ষেত্র বৈশিষ্ট্য:

1. একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণগুলি হল: .
2. আয়তক্ষেত্র হল একটি সমান্তরালগ্রাম (একটি সমান্তরালগ্রামের সমস্ত বৈশিষ্ট্য একটি আয়তক্ষেত্রের জন্য পূরণ করা হয়)।

রম্বসের বৈশিষ্ট্য:

1. রম্বসের কর্ণগুলি লম্ব: .
2. একটি রম্বসের কর্ণ হল এর কোণের দ্বিখণ্ডক: ; ; ; .
3. একটি রম্বস একটি সমান্তরালগ্রাম (একটি সমান্তরালগ্রামের সমস্ত বৈশিষ্ট্য একটি রম্বসের জন্য পূরণ করা হয়)।

বর্গাকার বৈশিষ্ট্য:

একটি বর্গ একই সময়ে একটি রম্বস এবং একটি আয়তক্ষেত্র, তাই, একটি বর্গক্ষেত্রের জন্য, একটি আয়তক্ষেত্র এবং একটি রম্বসের সমস্ত বৈশিষ্ট্য পূর্ণ হয়। পাশাপাশি।

একটি উত্তল চতুর্ভুজ হল এমন একটি চিত্র যা শীর্ষবিন্দুতে একে অপরের সাথে সংযুক্ত চারটি বাহু নিয়ে গঠিত, বাহুগুলির সাথে একসাথে চারটি কোণ তৈরি করে, যখন চতুর্ভুজটি নিজেই সর্বদা একই সমতলে থাকে সরলরেখার সাপেক্ষে যার একটি বাহু থাকে। অন্য কথায়, পুরো চিত্রটি এর যে কোনো বাহুর একপাশে।

সঙ্গে যোগাযোগ

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সংজ্ঞাটি মনে রাখা বেশ সহজ।

মৌলিক বৈশিষ্ট্য এবং প্রকার

আমাদের পরিচিত প্রায় সমস্ত পরিসংখ্যান, চারটি কোণ এবং বাহু নিয়ে গঠিত, উত্তল চতুর্ভুজকে দায়ী করা যেতে পারে। নিম্নলিখিতগুলি আলাদা করা যেতে পারে:

1. সমান্তরাল বৃত্ত;
2. বর্গক্ষেত্র;
3. আয়তক্ষেত্র;
4. trapezoid;
5. রম্বস

এই সমস্ত পরিসংখ্যানগুলি কেবলমাত্র চতুর্ভুজাকার নয়, বরং উত্তল হওয়ার কারণেও একত্রিত হয়। শুধু ডায়াগ্রামটি দেখুন:

চিত্রটি একটি উত্তল ট্র্যাপিজয়েড দেখায়. এখানে আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে ট্র্যাপিজয়েড একই সমতলে বা সেগমেন্টের একপাশে রয়েছে। আপনি যদি অনুরূপ ক্রিয়া সম্পাদন করেন তবে আপনি জানতে পারবেন যে অন্যান্য সমস্ত পক্ষের ক্ষেত্রে, ট্র্যাপিজয়েড উত্তল।

একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ কি একটি উত্তল চতুর্ভুজ?

উপরে একটি সমান্তরালগ্রামের একটি চিত্র। চিত্র থেকে দেখা যায়, সমান্তরালগ্রামও উত্তল. AB, BC, CD এবং AD রেখাগুলি যে রেখাগুলির উপর রয়েছে সেগুলির সাপেক্ষে আপনি যদি চিত্রটি দেখেন তবে এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে এই রেখাগুলি থেকে এটি সর্বদা একই সমতলে থাকে। একটি সমান্তরালগ্রামের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি হল এর বাহুগুলি যুগলভাবে সমান্তরাল এবং একইভাবে সমান যেমন বিপরীত কোণগুলি একে অপরের সমান।

এখন, একটি বর্গক্ষেত্র বা একটি আয়তক্ষেত্র কল্পনা করুন। তাদের প্রধান বৈশিষ্ট্য অনুসারে, এগুলিও সমান্তরাল, অর্থাৎ তাদের সমস্ত বাহু সমান্তরালভাবে জোড়ায় সাজানো। শুধুমাত্র একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, বাহুর দৈর্ঘ্য ভিন্ন হতে পারে, এবং কোণগুলি সঠিক (90 ডিগ্রির সমান), একটি বর্গক্ষেত্র হল একটি আয়তক্ষেত্র যার সমস্ত বাহু সমান এবং কোণগুলিও সঠিক, যখন দৈর্ঘ্য একটি সমান্তরালগ্রামের বাহু এবং কোণ ভিন্ন হতে পারে।

ফলে চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি 360 ডিগ্রীর সমান হতে হবে. এটি নির্ধারণ করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল একটি আয়তক্ষেত্র: আয়তক্ষেত্রের চারটি কোণই সঠিক, অর্থাৎ 90 ডিগ্রির সমান। এই 90-ডিগ্রী কোণের যোগফল 360 ডিগ্রি দেয়, অন্য কথায়, আপনি যদি 4 বার 90 ডিগ্রি যোগ করেন তবে আপনি পছন্দসই ফলাফল পাবেন।

একটি উত্তল চতুর্ভুজের কর্ণের বৈশিষ্ট্য

একটি উত্তল চতুর্ভুজের কর্ণ ছেদ করে. প্রকৃতপক্ষে, এই ঘটনাটি দৃশ্যত পর্যবেক্ষণ করা যেতে পারে, শুধু চিত্রটি দেখুন:

বাম দিকের চিত্রটি একটি অ-উত্তল চতুর্ভুজ বা চতুর্ভুজ দেখায়। তোমার ইচ্ছা. আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কর্ণগুলি ছেদ করে না, অন্তত তাদের সবগুলি নয়। ডানদিকে একটি উত্তল চতুর্ভুজ। এখানে তির্যক ছেদ করার বৈশিষ্ট্য ইতিমধ্যেই পরিলক্ষিত হয়েছে। একই সম্পত্তি চতুর্ভুজের উত্তলতার চিহ্ন হিসাবে বিবেচিত হতে পারে।

চতুর্ভুজের উত্তলতার অন্যান্য বৈশিষ্ট্য এবং চিহ্ন

বিশেষ করে, এই শব্দটি অনুসারে, কোনও নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যের নাম দেওয়া খুব কঠিন। এই ধরণের চতুর্ভুজগুলির বিভিন্ন ধরণের অনুসারে বিচ্ছিন্ন করা সহজ। আপনি একটি সমান্তরালগ্রাম দিয়ে শুরু করতে পারেন। আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে এটি একটি চতুর্ভুজাকৃতির চিত্র, যার বাহুগুলি যুগলভাবে সমান্তরাল এবং সমান। একই সময়ে, এটি একে অপরের সাথে ছেদ করার জন্য একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলির সম্পত্তি, সেইসাথে চিত্রের উত্তলতার চিহ্নও অন্তর্ভুক্ত করে: সমান্তরালগ্রাম সর্বদা একই সমতলে এবং যে কোনও একটির সাথে একদিকে থাকে। এর পক্ষের।

তাই, প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্য পরিচিত হয়:

1. একটি চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি হল 360 ডিগ্রি;
2. চিত্রগুলির কর্ণগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

আয়তক্ষেত্র. এই চিত্রটিতে সমান্তরালগ্রামের মতো একই বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তবে এর সমস্ত কোণ 90 ডিগ্রির সমান। তাই নাম, আয়তক্ষেত্র.

বর্গক্ষেত্র, একই সমান্তরালগ্রাম, কিন্তু এর কোণগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের মতো ঠিক। এই কারণে একটি বর্গক্ষেত্রকে খুব কমই একটি আয়তক্ষেত্র বলা হয়। কিন্তু একটি বর্গক্ষেত্রের প্রধান স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য, ইতিমধ্যে উপরে তালিকাভুক্তগুলি ছাড়াও, এর চারটি বাহু সমান।

ট্র্যাপিজয়েড একটি খুব আকর্ষণীয় চিত্র।. এটি একটি চতুর্ভুজও এবং উত্তলও। এই নিবন্ধে, ট্র্যাপিজয়েড ইতিমধ্যে একটি অঙ্কনের উদাহরণ ব্যবহার করে বিবেচনা করা হয়েছে। এটা স্পষ্ট যে সেও উত্তল। প্রধান পার্থক্য, এবং তদনুসারে, একটি ট্র্যাপিজয়েডের একটি চিহ্ন হল যে এর দিকগুলি দৈর্ঘ্যে একে অপরের সমান নয়, পাশাপাশি এর কোণগুলিও সমান হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, চিত্রটি সর্বদা একই সমতলে থাকে যে কোনও সরল রেখার ক্ষেত্রে যা চিত্রটি গঠনকারী অংশগুলির সাথে এর যে কোনও দুটি শীর্ষকে সংযুক্ত করে।

রম্বস একটি সমান আকর্ষণীয় ব্যক্তিত্ব. আংশিকভাবে একটি রম্বস একটি বর্গ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। একটি রম্বসের একটি চিহ্ন হ'ল এর কর্ণগুলি কেবল ছেদ করে না, তবে রম্বসের কোণগুলিকে অর্ধেকে বিভক্ত করে এবং তির্যকগুলি নিজেরাই সমকোণে ছেদ করে, অর্থাৎ তারা লম্ব। যদি রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয়, তাহলে কর্ণগুলিও ছেদকে অর্ধেকে বিভক্ত করা হয়।

ডেল্টয়েড বা উত্তল রম্বয়েড (রম্বস)বিভিন্ন পার্শ্ব দৈর্ঘ্য থাকতে পারে। কিন্তু একই সময়ে, রম্বসের প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্য এবং উত্তলতার বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলি এখনও সংরক্ষিত রয়েছে। অর্থাৎ, আমরা লক্ষ্য করতে পারি যে কর্ণগুলি কোণগুলিকে দ্বিখণ্ডিত করে এবং সমকোণে ছেদ করে।

আজকের কাজটি ছিল উত্তল চতুর্ভুজগুলি কী, সেগুলি কী এবং তাদের প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করা এবং বোঝা। মনোযোগ! এটি আবারও স্মরণ করার মতো যে একটি উত্তল চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি হল 360 ডিগ্রি। উদাহরণস্বরূপ, পরিসংখ্যানের পরিধি চিত্রটি গঠনকারী সমস্ত অংশের দৈর্ঘ্যের সমষ্টির সমান। চতুর্ভুজের পরিধি এবং ক্ষেত্রফল গণনার সূত্রগুলি নিম্নলিখিত নিবন্ধগুলিতে আলোচনা করা হবে।

উত্তল চতুর্ভুজের প্রকারভেদ