ম্যাট্রিক্সের গুণফলের নির্ধারক। বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক নির্ণয় করা
14. ম্যাট্রিক্সের গুণফলের নির্ধারকের উপর উপপাদ্য।
উপপাদ্য:
প্রমাণ:ক্রম n এর বর্গ ম্যাট্রিক্স দেওয়া যাক। 
এবং 
. একটি আধা-ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের উপর উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে ( 
) আমাদের আছে: 
এই ম্যাট্রিক্সের ক্রম হল 2n। নির্ধারক পরিবর্তন না করে, আমরা ক্রম 2n এর ম্যাট্রিক্সে ক্রমানুসারে নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করি: প্রথম সারিতে যোগ করুন। এই ধরনের রূপান্তরের ফলস্বরূপ, প্রথম সারির প্রথম n অবস্থানগুলি হবে 0 এবং দ্বিতীয়টি (দ্বিতীয় ব্লকে) ম্যাট্রিক্স A এর প্রথম সারি এবং ম্যাট্রিক্সের প্রথম কলামের পণ্যগুলির সমষ্টি হবে B. 2 ... n সারিগুলির সাথে একই রূপান্তর করার পরে, আমরা নিম্নলিখিত সমতা পাই: 
সঠিক নির্ধারককে একটি আধা-ত্রিভুজাকার আকারে আনতে, আমরা 1 এবং 1+ n কলাম, 2 এবং 2+ n … n এবং 2 n কলামগুলিকে অদলবদল করি। ফলস্বরূপ, আমরা সমতা পাই: 
মন্তব্য:এটা স্পষ্ট যে উপপাদ্যটি যেকোন সীমিত সংখ্যক ম্যাট্রিসের জন্য বৈধ। নির্দিষ্টভাবে 
.
15. একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্বের উপর উপপাদ্য।
সংজ্ঞা:যদি 
ম্যাট্রিক্সকে বলা হয় নন-ডিজেনারেট (অ-একবচন)। যদি 
তারপর ম্যাট্রিক্সকে একবচন বলা হয়।
একটি নির্বিচারে বর্গাকার ম্যাট্রিক্স A বিবেচনা করুন। এই ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির বীজগাণিতিক পরিপূরক থেকে, আমরা একটি ম্যাট্রিক্স রচনা করি এবং এটি স্থানান্তর করি। আমরা ম্যাট্রিক্স সি পাই: 
ম্যাট্রিক্স সি ম্যাট্রিক্স A এর সংলগ্ন বলা হয়। A*C এবং B*C এর গুণফল গণনা করার পরে, আমরা পাই 
তাই 
, এভাবে 
যদি 
.
এইভাবে, ম্যাট্রিক্স A-এর অ-একবচন থেকে, A -1 এর অস্তিত্ব অনুসরণ করে। অন্যদিকে, যদি A এর A -1 থাকে তবে ম্যাট্রিক্স সমীকরণ AX = E সমাধানযোগ্য। তাই 
এবং. প্রাপ্ত ফলাফলগুলি একত্রিত করে আমরা নিম্নলিখিত বিবৃতিটি পাই:
উপপাদ্য:একটি ক্ষেত্রের উপর একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স একটি বিপরীত যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি বিশেষ না হয়. যদি বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান থাকে, তবে এটি সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়: 
, যেখানে C হল সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স।
মন্তব্য:
16. ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক নির্ধারণ। গৌণ এবং এর ফলাফলের ভিত্তিতে উপপাদ্য।
সংজ্ঞা:একটি ম্যাট্রিক্স A-এর kth ক্রমের একটি অপ্রাপ্তবয়স্ক হল kth ক্রম নির্ণায়ক যে কোনো k সারি এবং যেকোনো k কলামের সংযোগস্থলে থাকা উপাদানগুলি সহ।
সংজ্ঞা:একটি ম্যাট্রিক্স A-এর র্যাঙ্ক হল এই ম্যাট্রিক্সের অপ্রাপ্তবয়স্কদের 0 ব্যতীত সর্বোচ্চ ক্রম। r(A) দ্বারা চিহ্নিত। সাফ 0<=r(A)<=min(m,n). Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от 0, а все минорыr+1 порядка и выше равны 0.
সংজ্ঞা:ম্যাট্রিক্সের যেকোন নন-0 মাইনর যার ক্রম ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান তাকে এই ম্যাট্রিক্সের বেসিস মাইনর বলা হয়। এটা স্পষ্ট যে একটি ম্যাট্রিক্সে বেশ কয়েকটি বেস নাবালক থাকতে পারে। যে কলাম এবং সারিগুলি মৌলিক মাইনর গঠন করে তাকে মৌলিক বলা হয়।
উপপাদ্য:প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স A = (a i) m, n-এ, প্রতিটি কলাম হল ভিত্তি কলামগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ যেখানে বেসিস মাইনরটি অবস্থিত (সারি সম্পর্কে একই)।
প্রমাণ:ধরুন r(A)=r. ম্যাট্রিক্স থেকে একটি বেসিস মাইনর বেছে নেওয়া যাক। সরলতার জন্য, ধরা যাক যে বেস মাইনরটি ম্যাট্রিক্সের উপরের বাম কোণে অবস্থিত, অর্থাৎ প্রথম r সারি এবং প্রথম r কলামে। তাহলে বেসিক মাইনর মিঃ এর মত দেখাবে: 
. আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে ম্যাট্রিক্স A এর প্রতিটি কলাম এই ম্যাট্রিক্সের প্রথম কলামগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ, যেখানে ভিত্তি মাইনরটি অবস্থিত, যেমন এটা প্রমাণ করতে হবে যে λ j সংখ্যা আছে যেমন ম্যাট্রিক্স A-এর যেকোনো k-তম কলামের জন্য নিম্নলিখিত সমতা ধারণ করে: যেখানে 
…
.
বেসিস মাইনরকে কিছু kth কলাম এবং sth সারি নির্ধারণ করা যাক: 
কারণ যদি যোগ লাইন বা
কলামটি ভিত্তির মধ্যে অন্তর্ভুক্ত তারপর নির্ধারক 
, দুটি অভিন্ন সারি (কলাম) সহ একটি নির্ধারক হিসাবে। যদি একটি সারি (কলাম) যোগ করা হয় 
ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্কের সংজ্ঞা অনুসারে। এর নির্ধারক প্রসারিত করা যাক 
নীচের লাইনের উপাদানগুলির উপর ভিত্তি করে, আমরা পাই: এখান থেকে আমরা পাই: 
যেখানে λ 1 … λ r S সংখ্যার উপর নির্ভর করে না, কারণ এবং Sj যোগ করা S-th সারির উপাদানগুলির উপর নির্ভর করে না। সমতা (1) আমাদের প্রয়োজন সমতা। (ইত্যাদি)
পরিণতি:যদি A একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হয় এবং নির্ধারক A = 0, তাহলে ম্যাট্রিক্সের কলামগুলির একটি হল অবশিষ্ট কলামগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ, এবং সারিগুলির একটি হল অবশিষ্ট সারির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ।
প্রমাণ:যদি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকA=0 হয়, তাহলে এই ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).
[A] =0 এর জন্য এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে অন্তত একটি সারি (কলাম) তার অবশিষ্ট সারিগুলির (কলাম) একটি রৈখিক সমন্বয় হবে।
একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক এমন একটি সংখ্যা যা একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A কে চিহ্নিত করে এবং রৈখিক সমীকরণের সমাধান পদ্ধতির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। ম্যাট্রিক্স A এর নির্ধারককে বা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ক্রম n এর যেকোন বর্গ ম্যাট্রিক্স A একটি নির্দিষ্ট আইন অনুসারে, একটি গণনাকৃত সংখ্যার সাথে যুক্ত থাকে, যাকে এই ম্যাট্রিক্সের nম ক্রমটির নির্ধারক বা নির্ধারক বলা হয়। আসুন দ্বিতীয় এবং তৃতীয় আদেশের নির্ধারক বিবেচনা করি।
ম্যাট্রিক্স দেওয়া হোক
,
তারপর তার দ্বিতীয়-ক্রম নির্ধারক সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়
.
উদাহরণ।ম্যাট্রিক্স A এর নির্ধারক গণনা করুন:
উত্তর: -10.
তৃতীয় ক্রম নির্ধারক সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়
উদাহরণ।ম্যাট্রিক্স B এর নির্ধারক গণনা কর
.
উত্তর: 83.
nth-ক্রম নির্ণায়ক নির্ধারকের বৈশিষ্ট্য এবং নিম্নলিখিত ল্যাপ্লেস উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে গণনা করা হয়: নির্ধারকটি ম্যাট্রিক্সের যেকোন সারির (কলাম) উপাদান এবং তাদের বীজগণিতের পরিপূরকের গুণফলের সমষ্টির সমান:
বীজগণিতের পরিপূরকউপাদান সমান 
, নির্ধারকের i-th সারি এবং j-th কলাম ক্রস আউট করার মাধ্যমে প্রাপ্ত উপাদানটির গৌণটি কোথায়।
গৌণম্যাট্রিক্স A এর একটি উপাদানের ক্রম হল i-th সারি এবং j-th কলাম মুছে দিয়ে ম্যাট্রিক্স A থেকে প্রাপ্ত একটি (n-1)তম ক্রম ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক।
উদাহরণ. ম্যাট্রিক্স A এর সমস্ত উপাদানের বীজগণিতিক পরিপূরক খুঁজুন:
.
উত্তর: 
.
উদাহরণ. একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করুন:
উত্তর: -15.
নির্ধারকদের বৈশিষ্ট্য:
1. ম্যাট্রিক্সের যেকোন সারি (কলাম) যদি শুধুমাত্র শূন্য থাকে, তাহলে তার নির্ধারক 0।
2. ম্যাট্রিক্সের যেকোনো সারির (কলাম) সমস্ত উপাদানকে সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হলে, এর নির্ণায়ককে এই সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হবে।
3. একটি ম্যাট্রিক্স স্থানান্তর করার সময়, এর নির্ধারক পরিবর্তন হবে না।
4. একটি ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি (কলাম) পুনর্বিন্যাস করার সময়, এর নির্ধারক পরিবর্তনগুলি বিপরীত চিহ্নে পরিণত হয়।
5. যদি একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সে দুটি অভিন্ন সারি (কলাম) থাকে, তাহলে এর নির্ধারক 0।
6. যদি একটি ম্যাট্রিক্সের দুটি সারির (কলাম) উপাদানগুলি সমানুপাতিক হয়, তাহলে এর নির্ধারক 0।
7. এই ম্যাট্রিক্সের অন্য সারির (কলাম) উপাদানগুলির বীজগাণিতিক পরিপূরক দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো সারির (কলাম) উপাদানগুলির গুণফলের যোগফল 0 এর সমান।
8. ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক পরিবর্তন হবে না যদি অন্য সারির উপাদানগুলিকে (কলাম), পূর্বে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, ম্যাট্রিক্সের যেকোনো সারির (কলাম) উপাদানগুলিতে যোগ করা হয়।
9. যেকোনো সারির (কলাম) উপাদানের বীজগাণিতিক পরিপূরক দ্বারা নির্বিচারে সংখ্যার গুণফলের যোগফল এই সারির (কলাম) উপাদানগুলিকে সংখ্যা দিয়ে প্রতিস্থাপন করে এটি থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের সমান।
10. দুটি বর্গ ম্যাট্রিকের গুণফলের নির্ধারক তাদের নির্ণায়কের গুণফলের সমান।
বিপরীত ম্যাট্রিক্স।
সংজ্ঞা।একটি ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স A এর বিপরীত বলা হয় যদি, এই ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রদত্ত একটি দ্বারা গুণ করা হলে, ডান এবং বাম উভয় দিকে, পরিচয় ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়:
.
সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে শুধুমাত্র একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের একটি বিপরীত আছে; এই ক্ষেত্রে, বিপরীত ম্যাট্রিক্সও একই ক্রমে বর্গক্ষেত্র। যদি একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক অ-শূন্য হয়, তবে এই ধরনের বর্গ ম্যাট্রিক্সকে অ-একবচন বলা হয়।
একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত: একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান (এবং অনন্য) যদি এবং শুধুমাত্র যদি মূল ম্যাট্রিক্স অ-একবচন হয়।
বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা করার জন্য প্রথম অ্যালগরিদম:
1. মূল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক খুঁজুন। যদি নির্ধারকটি শূন্যের সমান না হয়, তাহলে মূল ম্যাট্রিক্সটি অ-একবচন এবং বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান।
2. A-তে স্থানান্তরিত ম্যাট্রিক্স খুঁজুন।
3. স্থানান্তরিত ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির বীজগাণিতিক পরিপূরকগুলি খুঁজুন এবং তাদের থেকে সংযুক্ত ম্যাট্রিক্স রচনা করুন।
4. সূত্র ব্যবহার করে বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা করুন: .
5. আমরা এর সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে বিপরীত ম্যাট্রিক্সের গণনার সঠিকতা পরীক্ষা করি 
.
উদাহরণ।
.
উত্তর: 
.
বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা করার জন্য দ্বিতীয় অ্যালগরিদম:
ইনভার্স ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্সের সারিগুলির উপর নিম্নলিখিত প্রাথমিক রূপান্তরের উপর ভিত্তি করে গণনা করা যেতে পারে:
দুই লাইন অদলবদল;
একটি ম্যাট্রিক্স সারিকে শূন্য ছাড়া অন্য যেকোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ করা;
একটি ম্যাট্রিক্সের একটি সারিতে যোগ করলে অন্য সারিতে শূন্য ছাড়া অন্য যেকোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ করা হয়।
ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা করার জন্য, ম্যাট্রিক্স রচনা করা প্রয়োজন, তারপরে, প্রাথমিক রূপান্তরের মাধ্যমে, ম্যাট্রিক্স A-কে পরিচয় ম্যাট্রিক্স E-এর আকারে আনুন, তারপর পরিচয় ম্যাট্রিক্সের জায়গায় আমরা ম্যাট্রিক্স পাই।
উদাহরণ।ম্যাট্রিক্স A এর জন্য বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা করুন:
.
আমরা ফর্মের ম্যাট্রিক্স বি রচনা করি:
.
এলিমেন্ট = 1 এবং এই এলিমেন্ট সম্বলিত প্রথম লাইনটিকে গাইড বলা হবে। আসুন প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করি, যার ফলস্বরূপ প্রথম কলামটি প্রথম সারির একটি সহ একটি ইউনিট কলামে রূপান্তরিত হয়। এটি করার জন্য, প্রথম লাইনটি দ্বিতীয় এবং তৃতীয় লাইনে যোগ করুন, যথাক্রমে 1 এবং -2 দ্বারা গুণ করুন। এই রূপান্তরগুলির ফলস্বরূপ আমরা পাই:
.
অবশেষে আমরা পেতে
.
কোথায় 
.
ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক।একটি ম্যাট্রিক্স A-এর র্যাঙ্ক হল এই ম্যাট্রিক্সের অশূন্য নাবালকদের সর্বোচ্চ ক্রম। একটি ম্যাট্রিক্স A এর র্যাঙ্ককে rang(A) বা r(A) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে: ক) ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তার মাত্রার চেয়ে ছোট নয়, যেমন r(A) ন্যূনতম m বা n এর থেকে কম বা সমান; b) r(A)=0 যদি এবং শুধুমাত্র যদি ম্যাট্রিক্স A এর সমস্ত উপাদান শূন্যের সমান হয়; গ) nম ক্রম r(A)=n এর একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি A ম্যাট্রিক্স অ-একবচন হয়।
উদাহরণ: ম্যাট্রিক্সের ক্রম গণনা করুন:
.
উত্তর: r(A)=1. উত্তর: r(A)=2।
আসুন আমরা নিম্নলিখিত প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স রূপান্তরকে কল করি:
1) শূন্য সারি (কলাম) বাতিল করা।
2) একটি ম্যাট্রিক্সের একটি সারির (কলাম) সমস্ত উপাদানকে শূন্যের সমান নয় এমন একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করা।
3) ম্যাট্রিক্সের সারি (কলাম) এর ক্রম পরিবর্তন করা।
4) একটি সারির (কলাম) প্রতিটি উপাদানের সাথে অন্য সারির (কলাম) সংশ্লিষ্ট উপাদান যোগ করা, যেকোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ করা।
5) ম্যাট্রিক্স স্থানান্তর।
প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স রূপান্তরের সময় ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক পরিবর্তন হয় না।
উদাহরণ: যেখানে ম্যাট্রিক্স গণনা করুন
; 
;
উত্তর: .
উদাহরণ: ম্যাট্রিক্স গণনা করুন 
, কোথায়
; ; ; E হল পরিচয় ম্যাট্রিক্স।
উত্তর: .
উদাহরণ: একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক গণনা করুন
.
উত্তর: 160.
উদাহরণ: ম্যাট্রিক্স A এর একটি বিপরীত আছে কিনা তা নির্ধারণ করুন এবং যদি তাই হয়, তাহলে এটি গণনা করুন:
.
উত্তর: 
.
উদাহরণ: একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন
.
উত্তর: 2.
2.4.2। রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম।
n ভেরিয়েবল সহ m রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের ফর্ম রয়েছে:
,
যেখানে , নির্বিচারে সংখ্যা, যাকে বলা হয়, যথাক্রমে, ভেরিয়েবলের সহগ এবং সমীকরণের মুক্ত পদ। সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান হল n সংখ্যার একটি সেট (), যার প্রতিস্থাপনে সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণ একটি সত্যিকারের সমতায় পরিণত হয়।
সমীকরণের একটি সিস্টেমকে বলা হয় সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি এর অন্তত একটি সমাধান থাকে এবং অসামঞ্জস্যপূর্ণ হয় যদি এর কোনো সমাধান না থাকে। সমীকরণের একটি যুগপত ব্যবস্থাকে বলা হয় নির্দিষ্ট যদি এর একটি অনন্য সমাধান থাকে, এবং অনির্দিষ্ট হয় যদি এর একাধিক সমাধান থাকে।
ক্রেমারের উপপাদ্য:"x" ভেরিয়েবলের সহগগুলির সমন্বয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স A-এর নির্ধারক হোক এবং এই ম্যাট্রিক্সের j-তম কলামটিকে মুক্ত পদের একটি কলাম দিয়ে প্রতিস্থাপন করে ম্যাট্রিক্স A থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক হোক। তারপর, যদি, তাহলে সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে, যা সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়: (j=1, 2, …, n)। এই সমীকরণগুলিকে ক্রেমারের সূত্র বলা হয়।
উদাহরণ।ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করুন:
উত্তর: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)
গাউস পদ্ধতি- চলকগুলির ক্রমিক নির্মূলের পদ্ধতি হল যে, প্রাথমিক রূপান্তরের সাহায্যে, সমীকরণের সিস্টেমটি একটি ধাপ (বা ত্রিভুজাকার) ফর্মের একটি সমতুল্য সিস্টেমে হ্রাস করা হয়, যেখান থেকে শেষ থেকে শুরু করে অন্যান্য সমস্ত ভেরিয়েবল ক্রমানুসারে পাওয়া যায় সংখ্যা অনুসারে ভেরিয়েবল।
উদাহরণ: গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করুন।
উত্তর: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).
রৈখিক সমীকরণের যুগপত সিস্টেমের জন্য, নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি সত্য:
যদি জয়েন্ট সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক ভেরিয়েবলের সংখ্যার সমান হয়, যেমন r = n, তাহলে সমীকরণ সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে;
যদি জয়েন্ট সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক ভেরিয়েবলের সংখ্যার চেয়ে কম হয়, যেমন r 2.4.3। এক্সেল-এ ম্যাট্রিক্সে অপারেশন করার জন্য প্রযুক্তি। আসুন এক্সেল স্প্রেডশীট প্রসেসরের সাথে কাজ করার কিছু দিক বিবেচনা করি, যা অপ্টিমাইজেশান সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় গণনাগুলিকে সহজ করা সম্ভব করে। একটি টেবিল প্রসেসর হল একটি সফ্টওয়্যার পণ্য যা ট্যাবুলার ডেটা প্রক্রিয়াকরণ স্বয়ংক্রিয় করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। সূত্র নিয়ে কাজ করা।স্প্রেডশীট প্রোগ্রামগুলি বিভিন্ন গণনা সম্পাদন করতে সূত্র ব্যবহার করে। এক্সেল ব্যবহার করে, আপনি দ্রুত একটি সূত্র তৈরি করতে পারেন। সূত্রটি তিনটি প্রধান অংশ নিয়ে গঠিত: সমান চিহ্ন; অপারেটর সূত্রে ফাংশন ব্যবহার করা. সূত্র প্রবেশ করা সহজ করতে, আপনি Excel ফাংশন ব্যবহার করতে পারেন. ফাংশনগুলি এক্সেলের মধ্যে তৈরি সূত্র। একটি নির্দিষ্ট সূত্র সক্রিয় করতে, বোতাম ক্লিক করুন ঢোকান, ফাংশন।প্রদর্শিত উইন্ডোতে ফাংশন উইজার্ডবাম দিকে ফাংশন প্রকারের একটি তালিকা রয়েছে। একটি প্রকার নির্বাচন করার পরে, ফাংশনগুলির একটি তালিকা ডানদিকে স্থাপন করা হবে। ফাংশন নির্বাচন সংশ্লিষ্ট নামের মাউস বোতাম ক্লিক করে বাহিত হয়. ম্যাট্রিক্সে ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করার সময়, রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করা এবং অপ্টিমাইজেশন সমস্যার সমাধান করার সময়, আপনি নিম্নলিখিত এক্সেল ফাংশনগুলি ব্যবহার করতে পারেন: MUMULT - ম্যাট্রিক্স গুণন; TRANSPOSE - ম্যাট্রিক্স স্থানান্তর; MOPRED - ম্যাট্রিক্স নির্ধারকের গণনা; MOBR - বিপরীত ম্যাট্রিক্সের গণনা। বোতামটি টুলবারে অবস্থিত। ম্যাট্রিক্স অপারেশন সঞ্চালনের জন্য ফাংশন বিভাগে আছে গাণিতিক. ফাংশন ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স গুণন MUMNIFE
. MULTIPLE ফাংশন ম্যাট্রিসের গুণফল প্রদান করে (ম্যাট্রিসগুলি অ্যারে 1 এবং 2-এ সংরক্ষিত থাকে)। ফলাফল হল অ্যারে 1 এর মতো একই সংখ্যক সারি এবং অ্যারে 2 এর মতো একই সংখ্যক কলাম সহ একটি অ্যারে। উদাহরণ।এক্সেল এ দুটি ম্যাট্রিক্স A এবং B এর গুণফল খুঁজুন (চিত্র 2.9 দেখুন): A2:C3 কক্ষে ম্যাট্রিক্স A এবং E2:F4 কক্ষে B লিখুন। গুণনের ফলাফলের জন্য ঘরের পরিসর নির্বাচন করুন – H2:I2। ম্যাট্রিক্স গুণন সূত্র লিখুন = MULTIPLE(A2:C3, E2:F4)। CTRL+SHIFT+ENTER টিপুন। MOBR ফাংশন ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স বিপরীত গণনা. MOBR ফাংশন একটি অ্যারেতে সংরক্ষিত একটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স প্রদান করে। সিনট্যাক্স: MOBR(অ্যারে)। চিত্রে। 2.10 এক্সেলে উদাহরণের সমাধান দেখায়। উদাহরণ।প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের বিপরীতটি সন্ধান করুন: চিত্র 2.9। ম্যাট্রিক্স গুণের জন্য ইনপুট ডেটা। উপপাদ্য। ধরা যাক A এবং B ক্রম n এর দুটি বর্গ ম্যাট্রিস। তারপর তাদের পণ্যের নির্ধারক নির্ধারকদের গুণফলের সমান, অর্থাৎ | এবি | = | A| | বি | < Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n (d) (2n) = | ক | | খ | (-1)(^1+...n+1+...n) = | ক | | বি | যদি আমরা দেখাই যে নির্ণায়ক (d) (2n) ম্যাট্রিক্স C=AB এর নির্ধারকের সমান, তাহলে উপপাদ্যটি প্রমাণিত হবে। (d) (2n) এ আমরা নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করি: লাইন 1 এ আমরা a11 দ্বারা গুণিত (n+1) লাইন যোগ করি; (n+2) স্ট্রিং a12 দ্বারা গুণিত, ইত্যাদি। (2n) স্ট্রিং (a) (1n) দ্বারা গুণিত। ফলাফল নির্ণায়কটিতে, প্রথম সারির প্রথম n উপাদানগুলি শূন্য হবে এবং অন্যান্য n উপাদানগুলি এইরকম হবে: a11* b11 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (1n) = c11 ; a11* b12 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (2n) = c12 ; a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (a) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n)। একইভাবে, আমরা নির্ধারক (d) (2n) এর 2, ..., n সারিতে শূন্য পাই এবং এই সারির প্রতিটির শেষ n উপাদানগুলি ম্যাট্রিক্স C এর সংশ্লিষ্ট উপাদানে পরিণত হবে। ফলস্বরূপ, নির্ধারক ( d) (2n) একটি সমান নির্ধারকে রূপান্তরিত হয়: (d) (2n) = | গ | (-1))(^1+...n+...2n) = |AB|। > পরিণতি। একটি সীমিত সংখ্যক বর্গ ম্যাট্রিসের গুণফলের নির্ধারক তাদের নির্ণায়কের গুণফলের সমান। < Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.> ইনভার্স ম্যাট্রিক্স। ধরুন A = (aij) (n x n) P ক্ষেত্রের উপর একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। সংজ্ঞা 1. ম্যাট্রিক্স A কে একবচন বলা হবে যদি এর নির্ধারক 0 এর সমান হয়। অন্যথায় ম্যাট্রিক্স A কে অ-একবচন বলা হবে। সংজ্ঞা 2. যাক A О Pn. AB = BA=E হলে আমরা ম্যাট্রিক্সকে B Î Pn ইনভার্সকে A বলব। উপপাদ্য (ম্যাট্রিক্স ইনভার্টিবিলিটির মাপকাঠি)। ম্যাট্রিক্স A ইনভার্টেবল যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি অ-একবচন হয়। < Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0. যাক, ফিরে, | ক | ¹ 0. এটি দেখানো প্রয়োজন যে একটি ম্যাট্রিক্স B আছে যেমন AB = BA = E। B হিসাবে আমরা নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্সটি নিই: যেখানে A ij হল একটি ij উপাদানের বীজগণিতিক পরিপূরক। তারপর এটি লক্ষ করা উচিত যে ফলাফলটি একটি পরিচয় ম্যাট্রিক্স হবে (এটি ল্যাপ্লেসের উপপাদ্য থেকে করোলারি 1 এবং 2 ব্যবহার করার জন্য যথেষ্ট), যেমন AB = E. একইভাবে, এটি দেখানো হয়েছে যে BA = E. > উদাহরণ। ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য, বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজুন, অথবা প্রমাণ করুন যে এটির অস্তিত্ব নেই। det A = -3 Þ বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান। এখন আমরা বীজগণিতের সংযোজন গণনা করি। A 11 = -3 A 21 = 0 A 31 = 6 A 12 = 0 A 22 = 0 A 32 = -3 A 13 = 1 A 23 = -1 A 33 = -1 সুতরাং, ইনভার্স ম্যাট্রিক্সটি এরকম দেখাচ্ছে: B = = একটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম 1. এ গণনা করুন। 2. যদি এটি 0 হয়, তাহলে ইনভার্স ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব নেই। যদি det A সমান না হয় 0, আমরা বীজগণিত সংযোজন বিবেচনা করি। 3. আমরা উপযুক্ত জায়গায় বীজগাণিতিক সংযোজন করি। 4. ফলাফল ম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদানকে det A দ্বারা ভাগ করুন। রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম। সংজ্ঞা 1. a1x1+ ফর্মের সমীকরণ।...an xn=b, যেখানে a, ... ,an হল সংখ্যা; x1, ... ,xn অজানা, যার সাথে একটি রৈখিক সমীকরণ বলা হয় nঅজানা sসঙ্গে সমীকরণ nঅজানাকে সিস্টেম বলা হয় sসঙ্গে রৈখিক সমীকরণ nঅজানা, যেমন (1) যদি আমরা ম্যাট্রিক্স A-তে বিনামূল্যে পদগুলির একটি কলাম যোগ করি, আমরা সিস্টেমের একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স (1) পাই। X = - অজানা কলাম। - বিনামূল্যে সদস্যদের কলাম। ম্যাট্রিক্স আকারে, সিস্টেমটি এরকম দেখাচ্ছে: AX=B (2)। সিস্টেমের একটি সমাধান (1) একটি অর্ডার করা সেট nসংখ্যাগুলি (α1,…, αn) যেমন আমরা যদি (1) x1 = α1, x2 = α2, …, xn = αn-এ একটি প্রতিস্থাপন করি, তাহলে আমরা সংখ্যাগত পরিচয় পাই। সংজ্ঞা 2. সিস্টেম (1) কে বলা হয় সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি এর সমাধান থাকে, এবং অন্যথায় অসামঞ্জস্যপূর্ণ। সংজ্ঞা 3. দুটি সিস্টেমকে সমতুল্য বলা হয় যদি তাদের সমাধান সেটগুলি মিলে যায়। সিস্টেম সমাধানের একটি সার্বজনীন উপায় আছে (1) - গাউস পদ্ধতি (অজানাদের ক্রমিক নির্মূলের পদ্ধতি) আমাদের আরো বিস্তারিত বিবেচনা করা যাক যখন ক্ষেত্রে s = n. এই ধরনের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য ক্র্যামারের পদ্ধতি রয়েছে। যাক d = det, dj হল d-এর নির্ধারক, যেখানে jth কলামটি মুক্ত পদের একটি কলাম দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। ক্র্যামারের নিয়ম উপপাদ্য (ক্রেমারের নিয়ম)। যদি সিস্টেমের নির্ধারক d ¹ 0 হয়, তবে সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে, সূত্রগুলি দ্বারা প্রাপ্ত: x1 = d1 / d …xn = dn / d <Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим এবং একটি অজানা কলাম ম্যাট্রিক্স X সহ AX = B (2) সমীকরণটি বিবেচনা করুন। যেহেতু A, X, B আকারের ম্যাট্রিক্স n x n, n x 1, n x 1তদনুসারে, আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্স AX-এর গুণফলকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং ম্যাট্রিক্স B-এর মতো একই মাত্রা রয়েছে। এইভাবে, সমীকরণ (2) বোঝায়। সিস্টেম (1) এবং সমীকরণ (2) এর মধ্যে সংযোগ হল যে একটি প্রদত্ত সিস্টেমের সমাধান কি যদি এবং শুধুমাত্র যদি কলাম হল সমীকরণ (2) এর সমাধান। প্রকৃতপক্ষে, এই বিবৃতি সমতা মানে শেষ সমতা, ম্যাট্রিক্সের সমতা হিসাবে, সমতা ব্যবস্থার সমতুল্য যার মানে এটি সিস্টেমের একটি সমাধান (1)। সুতরাং, সমাধান পদ্ধতি (1) ম্যাট্রিক্স সমীকরণ (2) সমাধানে হ্রাস পায়। যেহেতু ম্যাট্রিক্স A এর নির্ধারক d অশূন্য, তাই এর একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স A -1 রয়েছে। তারপর AX = B Þ A(^-1)(AX) = A(^-1)B Þ (A(^-1)A)X = A(^-1)B Þ EX = A(^-1) B Þ X = A(^-1)B (3)। ফলস্বরূপ, যদি সমীকরণ (2) এর একটি সমাধান থাকে, তবে এটি সূত্র (3) দ্বারা দেওয়া হয়। অন্যদিকে, A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B। তাই X = A(^-1)B হল সমীকরণের একমাত্র সমাধান (2)। কারণ , যেখানে A ij হল নির্ধারক d-এ a ij মৌলের বীজগণিতিক পরিপূরক, তারপর কোথা থেকে (4)। সমানতায় (4) বন্ধনীতে নির্ধারক dj-এর j-ম কলামের উপাদানগুলিতে সম্প্রসারণ লেখা হয়, যা প্রতিস্থাপনের পরে নির্ধারক d থেকে প্রাপ্ত হয় jth কলামটি মুক্ত পদের কলাম। এই জন্য, xj = ডিজে/ ডি।> পরিণতি। যদি থেকে n রৈখিক সমীকরণের একটি সমজাতীয় সিস্টেম nঅজানাদের একটি অ-শূন্য সমাধান আছে, তাহলে এই সিস্টেমের নির্ধারক শূন্যের সমান। মন্তব্য করুন। ম্যাট্রিক্স গুণের ক্রিয়াটি অ-পরিবর্তনমূলক, যেমন প্রকৃতপক্ষে, যদি পণ্য AB বিদ্যমান থাকে, তাহলে মাত্রার অমিলের কারণে BA একেবারেই নাও থাকতে পারে (আগের উদাহরণটি দেখুন)। যদি AB এবং BA উভয়ই বিদ্যমান থাকে, তাহলে তাদের ভিন্ন মাত্রা থাকতে পারে (যদি)। একই অর্ডারের বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য, AB এবং BA পণ্যগুলি বিদ্যমান এবং একই মাত্রা রয়েছে, কিন্তু তাদের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি সাধারণত সমান নয়। যাইহোক, কিছু ক্ষেত্রে পণ্য AB এবং BA মিলে যায়। একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এবং একই ক্রমে একটি পরিচয় ম্যাট্রিক্স E এর গুণফল বিবেচনা করুন: আমরা পণ্য EA জন্য একই ফলাফল পেতে. সুতরাং, যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য A AE = EA = A। বিপরীত ম্যাট্রিক্স। সংজ্ঞা 3.7। একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স A কে একবচন যদি বলা হয় এবং ননসিংগুলার যদি বলা হয়। সংজ্ঞা 3.8। একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স B কে একই ক্রমে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এর বিপরীত বলা হয় যদি AB = BA = E হয়। এক্ষেত্রে B নির্দেশিত হয়। আসুন একটি প্রদত্ত একটির বিপরীতে একটি ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্বের শর্ত এবং এটি গণনার পদ্ধতি বিবেচনা করি। উপপাদ্য 3.2। একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্বের জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে আসল ম্যাট্রিক্সটি ননসিঙ্গুলার হবে। প্রমাণ। 1) প্রয়োজনীয়তা: তারপর থেকে (তত্ত্ব 3.1), অতএব 2) পর্যাপ্ততা: নিম্নলিখিত আকারে ম্যাট্রিক্স সেট করুন: তারপর মূল তির্যকের উপর না থাকা গুণফলের কোনো উপাদান (বা) ম্যাট্রিক্স A-এর একটি সারির (বা কলাম) উপাদানগুলির গুণফলের যোগফলের সমান হবে বীজগণিতের দ্বারা অন্য কলামের উপাদানগুলির পরিপূরক এবং তাই, 0 এর সমান (দুটি সমান কলাম সহ একটি নির্ধারক হিসাবে)। মূল কর্ণের উপাদানগুলো সমান। এভাবে, *= উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে। মন্তব্য করুন। আসুন আমরা আবারও ইনভার্স ম্যাট্রিক্স গণনার পদ্ধতি তৈরি করি: এর উপাদানগুলি হল ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্স A এর নির্ধারক দ্বারা বিভক্ত উপাদানগুলির বীজগাণিতিক পরিপূরক।
; . .
ম্যাট্রিক্স A, সিস্টেমের (1) অজানা জন্য সহগ দ্বারা গঠিত, তাকে সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স (1) বলা হয়। .
