ভৌগলিক স্থানাঙ্কে দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব। শুধুমাত্র লংলাট স্থানাঙ্ক দ্বারা দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করা

একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থা দেওয়া যাক।

উপপাদ্য 1.1।সমতলের M 1 (x 1; y 1) এবং M 2 (x 2; y 2) দুটি বিন্দুর জন্য, তাদের মধ্যকার দূরত্ব d সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

প্রমাণ।আসুন আমরা যথাক্রমে M 1 এবং M 2 বিন্দু থেকে লম্ব M 1 B এবং M 2 A নামাই

Oy এবং Ox অক্ষের উপর এবং K দ্বারা বোঝান লাইন M 1 B এবং M 2 A (চিত্র 1.4) এর ছেদ বিন্দু। নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সম্ভব:

1) পয়েন্ট M 1, M 2 এবং K আলাদা। স্পষ্টতই, K বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে (x 2; y 1)। এটা দেখা সহজ যে M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô। কারণ ∆M 1 KM 2 আয়তাকার, তারপর Pythagorean উপপাদ্য d = M 1 M 2 = = .

2) পয়েন্ট K বিন্দু M 2 এর সাথে মিলে যায়, কিন্তু বিন্দু M 1 থেকে আলাদা (চিত্র 1.5)। এক্ষেত্রে y 2 = y 1

এবং d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) K বিন্দুটি M 1 বিন্দুর সাথে মিলে যায়, কিন্তু বিন্দু M 2 থেকে আলাদা। এক্ষেত্রে x 2 = x 1 এবং d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) বিন্দু M 2 বিন্দু M 1 এর সাথে মিলে যায়। তারপর x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 এবং

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d।

এ ক্ষেত্রে সেগমেন্টের বিভাজন।

সমতলে একটি নির্বিচারে সেগমেন্ট M 1 M 2 দেওয়া হোক এবং M এর যে কোনো বিন্দু হতে দিন

বিন্দু M 2 ছাড়া অন্য অংশ (চিত্র 1.6)। সংখ্যা l সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত l = , বলা হয় মনোভাব,যেখানে M বিন্দু M 1 M 2 কে ভাগ করে।

উপপাদ্য 1.2।যদি M (x; y) বিন্দুটি M 1 M 2 কে l এর সাথে ভাগ করে, তাহলে এর স্থানাঙ্কগুলি সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

x = , y = , (4)

যেখানে (x 1; y 1) হল M 1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক, (x 2; y 2) হল M 2 বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

প্রমাণ।আসুন প্রথম সূত্রের (4) প্রমাণ করি। দ্বিতীয় সূত্রটিও একইভাবে প্রমাণিত। দুটি ক্ষেত্রে সম্ভব।

x = x 1 = = = .

2) সরলরেখা M 1 M 2 অক্স অক্ষের সাথে লম্ব নয় (চিত্র 1.6)। M 1 , M, M 2 বিন্দু থেকে লম্বগুলিকে অক্ষ Ox-এ ফেলে দেই এবং যথাক্রমে P 1 , P, P 2 অক্ষ Ox এর সাথে তাদের ছেদ বিন্দুগুলিকে নির্দেশ করি। সমানুপাতিক সেগমেন্টের উপপাদ্য অনুযায়ী =l

কারণ P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô এবং সংখ্যাগুলি (x - x 1) এবং (x 2 - x) একই চিহ্ন রয়েছে (x 1 এর জন্য)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 নেতিবাচক), তারপর

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

ফলাফল 1.2.1।যদি M 1 (x 1; y 1) এবং M 2 (x 2; y 2) দুটি অবাধ বিন্দু হয় এবং বিন্দু M (x; y) হয় M 1 M 2 রেখাংশের মধ্যবিন্দু, তাহলে

x = , y = (5)

প্রমাণ।যেহেতু M 1 M = M 2 M, তারপর l = 1 এবং সূত্র (4) দ্বারা আমরা সূত্র (5) পাই।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

উপপাদ্য 1.3।যেকোন বিন্দুর জন্য A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) এবং C (x 3; y 3) যেগুলি একইভাবে পড়ে না

সরলরেখা, ত্রিভুজ ABC-এর S ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

প্রমাণ।ক্ষেত্রফল ∆ ABC চিত্রে দেখানো হয়েছে। 1.7, আমরা নিম্নরূপ গণনা করি

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD।

ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল গণনা করুন:

S-ADEC=
,

SBCEF=

এখন আমাদের আছে

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1))।

অন্য একটি অবস্থান ∆ ABC-এর জন্য, সূত্র (6) একইভাবে প্রমাণিত, কিন্তু এটি “-” চিহ্ন দিয়ে পাওয়া যেতে পারে। অতএব, সূত্রে (6) মডুলাসের চিহ্ন রাখুন।

লেকচার 2

একটি সমতলে সরলরেখার সমীকরণ: প্রধান সহগ সহ একটি সরলরেখার সমীকরণ, একটি সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ, খণ্ডে সরলরেখার সমীকরণ, দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণ। রেখার মধ্যে কোণ, সামান্তরিকতার শর্ত এবং সমতলে রেখার লম্বতা।

2.1. সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা এবং কিছু লাইন L দেওয়া হোক।

সংজ্ঞা 2.1। x এবং y ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত F(x;y) = 0 ফর্মের একটি সমীকরণ বলা হয় লাইন সমীকরণ L(একটি প্রদত্ত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়) যদি এই সমীকরণটি L লাইনে থাকা কোনও বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট হয়, এবং এই লাইনে অবস্থিত নয় এমন কোনও বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা নয়।

সমতলে রেখার সমীকরণের উদাহরণ।

1) একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমের অক্ষ Oy এর সমান্তরাল একটি সরল রেখা বিবেচনা করুন (চিত্র 2.1)। অক্ষ অক্সের সাথে এই রেখার ছেদ বিন্দুকে A অক্ষর দ্বারা বোঝানো যাক, (a; o) ─ এর or-

ডাইনাটি। সমীকরণ x = a হল প্রদত্ত রেখার সমীকরণ। প্রকৃতপক্ষে, এই সমীকরণটি এই লাইনের যেকোন বিন্দু M(a; y) এর স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট হয় এবং রেখার উপর অবস্থিত নয় এমন কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা নয়। যদি a = 0 হয়, তাহলে রেখাটি Oy অক্ষের সাথে মিলে যায়, যার সমীকরণ x = 0 আছে।

2) সমীকরণ x - y \u003d 0 সমতলের বিন্দুগুলির সেটকে সংজ্ঞায়িত করে যা I এবং III স্থানাঙ্ক কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি তৈরি করে।

3) সমীকরণ x 2 - y 2 \u003d 0 হল স্থানাঙ্ক কোণের দুটি দ্বিখণ্ডকের সমীকরণ।

4) সমীকরণ x 2 + y 2 = 0 সমতলে একটি একক বিন্দু O(0;0) সংজ্ঞায়িত করে।

5) সমীকরণ x 2 + y 2 \u003d 25 হল উৎপত্তিস্থলকে কেন্দ্র করে 5 ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের সমীকরণ।

গণিত

§2। সমতলে পয়েন্ট স্থানাঙ্ক

3. দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব।

আমরা এখন সংখ্যার ভাষায় পয়েন্ট সম্পর্কে কথা বলতে জানি। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের আর ব্যাখ্যা করার দরকার নেই: একটি বিন্দু নিন যা অক্ষের ডানদিকে তিন একক এবং অক্ষের নীচে পাঁচটি একক। সহজভাবে বলাই যথেষ্ট: একটি পয়েন্ট নিন।

আমরা ইতিমধ্যে বলেছি যে এটি কিছু সুবিধা তৈরি করে। সুতরাং, আমরা টেলিগ্রাফের মাধ্যমে বিন্দু দিয়ে তৈরি একটি অঙ্কন প্রেরণ করতে পারি, এটি একটি কম্পিউটারে যোগাযোগ করতে পারি, যা অঙ্কনগুলি মোটেই বোঝে না, তবে সংখ্যাগুলি ভালভাবে বোঝে।

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, আমরা সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক ব্যবহার করে সমতলে কিছু পয়েন্টের সেট সংজ্ঞায়িত করেছি। এখন আসুন ধারাবাহিকভাবে অন্যান্য জ্যামিতিক ধারণা এবং তথ্যগুলিকে সংখ্যার ভাষায় অনুবাদ করার চেষ্টা করি।

আমরা একটি সাধারণ এবং সাধারণ কাজ দিয়ে শুরু করব।

সমতলে দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান:
সর্বদা হিসাবে, আমরা ধরে নিই যে পয়েন্টগুলি তাদের স্থানাঙ্ক দ্বারা দেওয়া হয়েছে, এবং তারপরে আমাদের কাজ হল একটি নিয়ম খুঁজে বের করা যার দ্বারা আমরা তাদের স্থানাঙ্কগুলি জেনে বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব গণনা করতে পারি। এই নিয়মটি তৈরি করার সময়, অবশ্যই, এটি অঙ্কনকে অবলম্বন করার অনুমতি দেওয়া হয়, তবে নিয়মটিতে নিজেই অঙ্কনের কোনও উল্লেখ থাকা উচিত নয়, তবে কেবলমাত্র প্রদত্ত সংখ্যাগুলিতে কী ক্রিয়া এবং কী ক্রমে সঞ্চালিত হওয়া উচিত তা দেখানো উচিত - স্থানাঙ্কগুলি পয়েন্টগুলির মধ্যে, পছন্দসই সংখ্যা পেতে - বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব।

সম্ভবত, পাঠকদের মধ্যে কেউ কেউ সমস্যাটি সমাধানের জন্য এই পদ্ধতিটিকে অদ্ভুত এবং সুদূরপ্রসারী বলে মনে করবেন। কি সহজ, তারা বলবে, পয়েন্ট দেওয়া হয়, এমনকি যদি তারা স্থানাঙ্ক হয়. এই পয়েন্টগুলি আঁকুন, একটি শাসক নিন এবং তাদের মধ্যে দূরত্ব পরিমাপ করুন।

এই পদ্ধতি কখনও কখনও এত খারাপ নয়। যাইহোক, আবার কল্পনা করুন যে আপনি একটি কম্পিউটার নিয়ে কাজ করছেন। তার কোনও শাসক নেই, এবং তিনি আঁকেন না, তবে তিনি এত দ্রুত গণনা করতে পারেন যে এটি তার জন্য মোটেই সমস্যা নয়। মনে রাখবেন যে আমাদের টাস্ক সেট আপ করা হয়েছে যাতে দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব গণনা করার নিয়মটি মেশিনটি কার্যকর করতে পারে এমন কমান্ডগুলি নিয়ে গঠিত।

বিশেষ ক্ষেত্রে প্রথমে সমস্যাটি সমাধান করা ভাল যখন প্রদত্ত পয়েন্টগুলির মধ্যে একটি মূলে থাকে। কয়েকটি সংখ্যাসূচক উদাহরণ দিয়ে শুরু করুন: বিন্দুগুলির উৎপত্তি থেকে দূরত্ব খুঁজুন; এবং .

নির্দেশ. পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করুন।

এখন উত্স থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব গণনা করার জন্য একটি সাধারণ সূত্র লিখুন।

উত্স থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

স্পষ্টতই, এই সূত্র দ্বারা প্রকাশিত নিয়ম উপরের শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে। বিশেষ করে, এটি এমন মেশিনে কম্পিউটিংয়ে ব্যবহার করা যেতে পারে যা সংখ্যাকে গুণ করতে পারে, যোগ করতে পারে এবং বর্গমূল নিতে পারে।

এখন সাধারণ সমস্যার সমাধান করা যাক

একটি সমতলে দুটি বিন্দু দিন এবং তাদের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।

সমাধান:
, , , বিন্দুর অনুমান এবং স্থানাঙ্ক অক্ষ দ্বারা নির্দেশ করুন।

লাইনের ছেদ বিন্দু এবং অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। একটি সমকোণী ত্রিভুজ থেকে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, আমরা পাই:

কিন্তু সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের সমান। বিন্দু এবং , অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যথাক্রমে স্থানাঙ্ক এবং আছে। অনুচ্ছেদ 2 এর অনুচ্ছেদ 3 এ প্রাপ্ত সূত্র অনুসারে, তাদের মধ্যে দূরত্ব হল।

একইভাবে যুক্তি দিয়ে, আমরা পাই যে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য সমান। পাওয়া মান প্রতিস্থাপন এবং সূত্র আমরা পেতে.

এই নিবন্ধে, আমরা তাত্ত্বিকভাবে এবং নির্দিষ্ট কাজের উদাহরণে একটি বিন্দু থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব নির্ধারণ করার উপায়গুলি বিবেচনা করব। কিছু সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করা যাক।

সংজ্ঞা 1

পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব- এটি বিদ্যমান স্কেলে তাদের সংযোগকারী সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য। পরিমাপের জন্য দৈর্ঘ্যের একক থাকার জন্য স্কেল সেট করা প্রয়োজন। অতএব, মূলত বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করার সমস্যাটি স্থানাঙ্ক লাইনে, স্থানাঙ্ক সমতল বা ত্রিমাত্রিক স্থানে তাদের স্থানাঙ্কগুলি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়।

প্রারম্ভিক তথ্য: স্থানাঙ্ক রেখা O x এবং একটি নির্বিচারী বিন্দু A এর উপর পড়ে আছে। একটি বাস্তব সংখ্যা রেখার যেকোনো বিন্দুতে অন্তর্নিহিত: এটি A বিন্দুর জন্য একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা হতে দিন xA,এটি বিন্দু A এর স্থানাঙ্ক।

সাধারণভাবে, আমরা বলতে পারি যে একটি নির্দিষ্ট স্কেলের দৈর্ঘ্যের একক হিসাবে নেওয়া সেগমেন্টের সাথে তুলনা করে একটি নির্দিষ্ট অংশের দৈর্ঘ্যের অনুমান ঘটে।

যদি বিন্দু A একটি পূর্ণসংখ্যার বাস্তব সংখ্যার সাথে মিলে যায়, O বিন্দু থেকে একটি সরলরেখা বরাবর একটি বিন্দুতে ক্রমাগত আলাদা করে রেখে O A সেগমেন্ট - দৈর্ঘ্যের একক, আমরা মুলতুবি ইউনিটের মোট সংখ্যা দ্বারা O A সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করতে পারি।

উদাহরণস্বরূপ, বিন্দু A 3 নম্বরের সাথে মিলে যায় - O বিন্দু থেকে এটিতে যাওয়ার জন্য, তিনটি ইউনিট সেগমেন্ট আলাদা করা প্রয়োজন। যদি বিন্দু A এর স্থানাঙ্ক - 4 থাকে, তাহলে একক অংশগুলি একইভাবে প্লট করা হয়, কিন্তু একটি ভিন্ন, নেতিবাচক দিকে। এইভাবে, প্রথম ক্ষেত্রে, দূরত্ব O A হল 3; দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, O A \u003d 4.

যদি বিন্দু A-তে স্থানাঙ্ক হিসাবে একটি মূলদ সংখ্যা থাকে, তাহলে উৎপত্তি (বিন্দু O) থেকে আমরা একক অংশগুলির একটি পূর্ণসংখ্যা এবং তারপরে এর প্রয়োজনীয় অংশ আলাদা করে রাখি। কিন্তু জ্যামিতিকভাবে একটি পরিমাপ করা সবসময় সম্ভব নয়। উদাহরণস্বরূপ, স্থানাঙ্ক সরাসরি ভগ্নাংশ 4 111 একপাশে রাখা কঠিন বলে মনে হচ্ছে।

উপরের উপায়ে, একটি সরলরেখায় একটি অমূলদ সংখ্যা স্থগিত করা সম্পূর্ণরূপে অসম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, যখন বিন্দু A এর স্থানাঙ্ক 11 হয়। এই ক্ষেত্রে, বিমূর্ততায় পরিণত হওয়া সম্ভব: যদি A বিন্দুর প্রদত্ত স্থানাঙ্কটি শূন্যের চেয়ে বড় হয়, তাহলে O A \u003d x A (সংখ্যাটি দূরত্ব হিসাবে নেওয়া হয়); যদি স্থানাঙ্কটি শূন্যের কম হয়, তাহলে O A = - x A। সাধারণভাবে, এই বিবৃতিগুলি যেকোনো বাস্তব সংখ্যা x A-এর জন্য সত্য।

সংক্ষিপ্তকরণ: উৎপত্তি থেকে বিন্দুর দূরত্ব, যা স্থানাঙ্ক রেখার একটি বাস্তব সংখ্যার সাথে মিলে যায়, এর সমান:

• 0 যদি বিন্দুটি উৎপত্তির সমান হয়;

• x A হলে x A > 0 ;

• - x A যদি x A< 0 .

এই ক্ষেত্রে, এটা স্পষ্ট যে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নিজেই নেতিবাচক হতে পারে না, তাই, মডুলাস চিহ্ন ব্যবহার করে, আমরা স্থানাঙ্কের সাথে O বিন্দু থেকে A বিন্দুর দূরত্ব লিখি। x ক: O A = x A

সঠিক বিবৃতি হবে: এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুর দূরত্ব স্থানাঙ্কের পার্থক্যের মডুলাসের সমান হবে।সেগুলো. A এবং B বিন্দুগুলির জন্য যে কোনো অবস্থানে একই স্থানাঙ্ক রেখায় অবস্থান করে এবং যথাক্রমে, স্থানাঙ্ক রয়েছে x কএবং x B: A B = x B - x A।

প্রাথমিক তথ্য: বিন্দু A এবং B একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে O x y একটি সমতলে শুয়ে আছে প্রদত্ত স্থানাঙ্ক সহ: A (x A, y A) এবং B (x B, y B)।

চলুন A এবং B বিন্দুর মাধ্যমে স্থানাঙ্ক অক্ষ O x এবং O y তে লম্ব আঁক এবং এর ফলে অভিক্ষেপ বিন্দুগুলি পাই: A x , A y , B x , B y। পয়েন্ট A এবং B এর অবস্থানের উপর ভিত্তি করে, নিম্নলিখিত বিকল্পগুলি আরও সম্ভব:

যদি A এবং B বিন্দু মিলে যায়, তাহলে তাদের মধ্যে দূরত্ব শূন্য হয়;

যদি A এবং B বিন্দুগুলি O x অক্ষের (অ্যাবসিসা অক্ষ) লম্ব একটি সরল রেখার উপর থাকে, তাহলে বিন্দু এবং মিলিত হয়, এবং | ক খ | = | A y B y | . যেহেতু বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব তাদের স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে পার্থক্যের মডুলাসের সমান, তাহলে A y B y = y B - y A , এবং তাই, A B = A y B y = y B - y A।

যদি A এবং B বিন্দুগুলি O y অক্ষের (y-অক্ষ) লম্ব সরলরেখায় থাকে - পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা: A B = A x B x = x B - x A

যদি A এবং B বিন্দুগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির একটিতে লম্ব সরলরেখায় না থাকে, তাহলে আমরা গণনার সূত্রটি বের করে তাদের মধ্যে দূরত্ব খুঁজে পাই:

আমরা দেখি যে ত্রিভুজ A B C নির্মাণ দ্বারা সমকোণ। এই ক্ষেত্রে, A C = A x B x এবং B C = A y B y। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা সমতা রচনা করি: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , এবং তারপরে এটি রূপান্তর করুন: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

প্রাপ্ত ফলাফল থেকে একটি উপসংহার তৈরি করা যাক: সমতলে A বিন্দু থেকে বিন্দুর দূরত্ব এই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে সূত্র ব্যবহার করে গণনা দ্বারা নির্ধারিত হয়

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

ফলস্বরূপ সূত্রটি বিন্দু বা পরিস্থিতির কাকতালীয় ক্ষেত্রে পূর্বে গঠিত বিবৃতিগুলিকেও নিশ্চিত করে যখন বিন্দুগুলি অক্ষের লম্ব সরল রেখায় থাকে। সুতরাং, A এবং B বিন্দুর কাকতালীয় ক্ষেত্রে, সমতা সত্য হবে: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

পরিস্থিতির জন্য যখন বিন্দু A এবং B x-অক্ষের লম্ব একটি সরল রেখায় থাকে:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

যে ক্ষেত্রে A এবং B বিন্দুগুলি y-অক্ষের লম্ব সরলরেখার উপর অবস্থিত:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

প্রাথমিক তথ্য: আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম O x y z এর উপর প্রদত্ত স্থানাঙ্ক A (x A , y A , z A) এবং B (x B , y B , z B) সহ নির্বিচারে বিন্দু রয়েছে। এই পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন যখন বিন্দু A এবং B স্থানাঙ্ক সমতলগুলির একটির সমান্তরাল সমতলে থাকে না। স্থানাঙ্ক অক্ষের লম্ব বিন্দু A এবং B সমতলগুলির মধ্য দিয়ে আঁকুন এবং সংশ্লিষ্ট অভিক্ষেপ বিন্দুগুলি পান: A x , A y , A z , B x , B y , B z

A এবং B বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হল ফলস্বরূপ বাক্সের কর্ণ। এই বাক্সের পরিমাপের নির্মাণ অনুযায়ী: A x B x, A y B y এবং A z B z

জ্যামিতির কোর্স থেকে জানা যায় যে সমান্তরাল পাইপের কর্ণের বর্গ তার মাত্রার বর্গের সমষ্টির সমান। এই বিবৃতির উপর ভিত্তি করে, আমরা সমতা পাই: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

পূর্বে প্রাপ্ত সিদ্ধান্তগুলি ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিতগুলি লিখি:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

চলুন অভিব্যক্তি রূপান্তর করা যাক:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

ফাইনাল স্থানের বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণের সূত্রএই মত দেখাবে:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

ফলস্বরূপ সূত্রটি এমন ক্ষেত্রেও বৈধ যেখানে:

বিন্দু মেলে;

তারা একই স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর বা স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির একটির সমান্তরাল সরল রেখায় অবস্থান করে।

বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

প্রাথমিক তথ্য: প্রদত্ত স্থানাঙ্ক A (1 - 2) এবং B (11 + 2) সহ একটি স্থানাঙ্ক রেখা এবং বিন্দুগুলি দেওয়া হয়েছে। রেফারেন্স বিন্দু O থেকে A বিন্দু এবং A এবং B বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

সমাধান

1. রেফারেন্স বিন্দু থেকে বিন্দুর দূরত্ব এই বিন্দুর স্থানাঙ্কের মডিউলের সমান, যথাক্রমে O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. A এবং B বিন্দুর মধ্যে দূরত্বকে এই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কের মধ্যে পার্থক্যের মডুলাস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

উত্তরঃ O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

উদাহরণ 2

প্রারম্ভিক তথ্য: একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা দেওয়া হয়েছে এবং এতে দুটি বিন্দু রয়েছে A (1 , - 1) এবং B (λ + 1 , 3)। λ হল কিছু বাস্তব সংখ্যা। এই সংখ্যার সমস্ত মান খুঁজে বের করা প্রয়োজন যার জন্য দূরত্ব A B 5 এর সমান হবে।

সমাধান

A এবং B বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজে পেতে, আপনাকে অবশ্যই A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে

স্থানাঙ্কগুলির প্রকৃত মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

এবং এছাড়াও আমরা বিদ্যমান শর্তটি ব্যবহার করি যে A B = 5 এবং তারপরে সমতা সত্য হবে:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

উত্তর: A B \u003d 5 যদি λ \u003d ± 3।

উদাহরণ 3

প্রাথমিক তথ্য: একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি ত্রিমাত্রিক স্থান O x y z এবং বিন্দুগুলি A (1, 2, 3) এবং B - 7, - 2, 4 দেওয়া আছে।

সমাধান

সমস্যা সমাধানের জন্য, আমরা A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 সূত্রটি ব্যবহার করি

প্রকৃত মান প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

উত্তরঃ | ক খ | = 9

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

একটি সমতলে দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব।
সমন্বয় সিস্টেম

সমতলের প্রতিটি বিন্দু A এর স্থানাঙ্ক (x, y) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। তারা ভেক্টর 0А এর স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায়, বিন্দু 0 থেকে বেরিয়ে আসে - উৎপত্তি।

A এবং B যথাক্রমে স্থানাঙ্ক (x 1 y 1) এবং (x 2, y 2) সহ সমতলের নির্বিচারে বিন্দু হতে দিন।

তারপর ভেক্টর AB এর স্পষ্টতই স্থানাঙ্ক রয়েছে (x 2 - x 1, y 2 - y 1)। এটি জানা যায় যে একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের বর্গ তার স্থানাঙ্কগুলির বর্গের সমষ্টির সমান। অতএব, A এবং B বিন্দুর মধ্যে d দূরত্ব, বা, ভেক্টর AB এর দৈর্ঘ্য কি একই, শর্ত থেকে নির্ধারিত হয়

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2।

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

ফলস্বরূপ সূত্রটি আপনাকে সমতলের যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করতে দেয়, যদি শুধুমাত্র এই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি জানা যায়

প্রতিবার, সমতলের এক বা অন্য বিন্দুর স্থানাঙ্ক সম্পর্কে কথা বলার সময়, আমাদের মনে একটি সু-সংজ্ঞায়িত স্থানাঙ্ক সিস্টেম x0y থাকে। সাধারণভাবে, সমতলের সমন্বয় ব্যবস্থা বিভিন্ন উপায়ে নির্বাচন করা যেতে পারে। সুতরাং, x0y স্থানাঙ্ক সিস্টেমের পরিবর্তে, আমরা x"0y" স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বিবেচনা করতে পারি, যা সূচনা বিন্দু 0 এর চারপাশে পুরানো স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি ঘোরানোর মাধ্যমে পাওয়া যায়। ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকেকোণে তীর α .

যদি x0y স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় সমতলের কিছু বিন্দুতে স্থানাঙ্ক (x, y) থাকে, তাহলে নতুন x"0y" স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় এটির অন্যান্য স্থানাঙ্ক (x", y") থাকবে।

উদাহরণ হিসাবে, বিন্দু M বিবেচনা করুন, অক্ষ 0x" এর উপর অবস্থিত এবং 0 বিন্দু থেকে 1 এর সমান দূরত্বে অবস্থিত।

স্পষ্টতই, x0y স্থানাঙ্ক সিস্টেমে, এই বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে (cos α , পাপ α ), এবং স্থানাঙ্ক সিস্টেম x"0y"-এ স্থানাঙ্কগুলি হল (1,0)।

সমতল A এবং B এর যেকোনো দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ভর করে কিভাবে এই সমতলে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা সেট করা হয়েছে তার উপর। কিন্তু এই বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ভর করে না কিভাবে সমন্বয় ব্যবস্থা নির্দিষ্ট করা হয়েছে। আমরা পরবর্তী বিভাগে এই গুরুত্বপূর্ণ পরিস্থিতির অপরিহার্য ব্যবহার করব।

অনুশীলন

I. স্থানাঙ্ক সহ সমতলের বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজুন:

1) (3.5) এবং (3.4); 3) (0.5) এবং (5, 0); 5) (-3.4) এবং (9, -17);

2) (2, 1) এবং (- 5, 1); 4) (0.7) এবং (3.3); 6) (8, 21) এবং (1, -3)।

২. একটি ত্রিভুজের পরিধি খুঁজুন যার বাহুগুলি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 এবং y = 1।

III. x0y স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, M এবং N বিন্দুতে যথাক্রমে (1, 0) এবং (0,1) স্থানাঙ্ক রয়েছে। নতুন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় এই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন, যা পুরানো অক্ষগুলিকে সূচনা বিন্দুর চারপাশে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 30 ° কোণ ঘোরানোর মাধ্যমেও পাওয়া যায়।

IV x0y স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, M এবং N বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে (2, 0) এবং (\ / 3/2, - 1/2) যথাক্রমে। নতুন স্থানাঙ্ক সিস্টেমে এই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন, যা 30° ঘড়ির কাঁটার দিকে একটি কোণ দ্বারা প্রারম্ভিক বিন্দুর চারপাশে পুরানো অক্ষগুলি ঘোরানোর মাধ্যমে পাওয়া যায়।

শিক্ষার্থীদের জন্য গণিতে সমস্যাগুলি সমাধান করা প্রায়শই অনেক অসুবিধার সাথে থাকে। শিক্ষার্থীকে এই অসুবিধাগুলি মোকাবেলায় সহায়তা করার পাশাপাশি "গণিত" বিষয়ের কোর্সের সমস্ত বিভাগে নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানে তার তাত্ত্বিক জ্ঞান কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় তা শেখানো আমাদের সাইটের মূল উদ্দেশ্য।

বিষয়ের সমস্যাগুলি সমাধান করা শুরু করে, শিক্ষার্থীদের স্থানাঙ্ক অনুযায়ী সমতলে একটি বিন্দু তৈরি করতে সক্ষম হওয়া উচিত, সেইসাথে একটি প্রদত্ত বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা উচিত।

A (x A; y A) এবং B (x B; y B) সমতলে নেওয়া দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের গণনা সূত্র দ্বারা সঞ্চালিত হয় d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), যেখানে d হল সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য যা সমতলে এই বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে।

যদি সেগমেন্টের একটি প্রান্ত উৎপত্তির সাথে মিলে যায় এবং অন্যটির স্থানাঙ্ক M (x M; y M), তাহলে d গণনার সূত্রটি OM = √ (x M 2 + y M 2) রূপ নেবে।

1. এই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কের জন্য দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব গণনা করা

উদাহরণ 1.

স্থানাঙ্ক সমতলে (চিত্র 1) A(2; -5) এবং B(-4; 3) বিন্দুকে সংযোগকারী সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য খুঁজুন।

সমাধান।

সমস্যার শর্ত দেওয়া হল: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 এবং y B = 3. d খুঁজুন।

সূত্রটি d \u003d √ (x A - x B) 2 + (y A - y B) 2 প্রয়োগ করে, আমরা পাই:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10।

2. তিনটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে সমান দূরত্বের একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক গণনা করা

উদাহরণ 2

O 1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজুন, যেটি তিনটি বিন্দু A(7; -1) এবং B(-2; 2) এবং C(-1; -5) থেকে সমান দূরত্বের।

সমাধান।

সমস্যার অবস্থার গঠন থেকে এটি অনুসরণ করে যে O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C। কাঙ্ক্ষিত বিন্দু O 1 এর স্থানাঙ্ক (a; b) থাকুক। সূত্র অনুসারে d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) আমরা খুঁজে পাই:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2)।

আমরা দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম রচনা করি:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2)।

সমীকরণের বাম এবং ডান দিকে বর্গ করার পরে, আমরা লিখি:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2।

সরলীকরণ, আমরা লিখি

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

সিস্টেমটি সমাধান করার পরে, আমরা পাই: a = 2; b = -1.

বিন্দু O 1 (2; -1) একটি সরল রেখায় থাকা অবস্থায় প্রদত্ত তিনটি বিন্দু থেকে সমান দূরত্ব। এই বিন্দুটি তিনটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বৃত্তের কেন্দ্র। (চিত্র 2).

3. একটি বিন্দুর অ্যাবসিসা (অর্ডিনেট) গণনা যা অ্যাবসিসা (অর্ডিনেট) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং এই বিন্দু থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে রয়েছে

উদাহরণ 3

X-অক্ষে অবস্থিত বিন্দু B(-5; 6) থেকে A বিন্দুর দূরত্ব হল 10। বিন্দু A খুঁজুন।

সমাধান।

এটি সমস্যাটির অবস্থার গঠন থেকে অনুসরণ করে যে বিন্দু A এর অর্ডিনেট শূন্য এবং AB = 10।

A এর মাধ্যমে A বিন্দুর অবসিসা বোঝাতে আমরা A(a; 0) লিখি।

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36)।

আমরা √((a + 5) 2 + 36) = 10 সমীকরণ পাই। এটিকে সরলীকরণ করলে, আমাদের আছে

a 2 + 10a - 39 = 0।

এই সমীকরণের মূল a 1 = -13; এবং 2 = 3।

আমরা দুটি পয়েন্ট A 1 (-13; 0) এবং A 2 (3; 0) পাই।

পরীক্ষা:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10।

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10।

উভয় প্রাপ্ত পয়েন্ট সমস্যার শর্ত মাপসই (চিত্র 3)।

4. একটি বিন্দুর অ্যাবসিসা (অর্ডিনেট) গণনা যা অ্যাবসিসা (অর্ডিনেট) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং দুটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একই দূরত্বে রয়েছে

উদাহরণ 4

Oy অক্ষে একটি বিন্দু খুঁজুন যা বিন্দু A (6; 12) এবং B (-8; 10) থেকে একই দূরত্বে অবস্থিত।

সমাধান।

Oy অক্ষের উপর শুয়ে থাকা সমস্যার অবস্থার জন্য প্রয়োজনীয় বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিকে O 1 (0; b) হতে দিন (Oy অক্ষের উপর শুয়ে থাকা বিন্দুতে, abscissa শূন্যের সমান)। এটি শর্ত থেকে অনুসরণ করে যে O 1 A \u003d O 1 B।

সূত্র অনুসারে d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) আমরা খুঁজে পাই:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2)।

আমাদের সমীকরণ আছে √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) বা 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2।

সরলীকরণের পরে, আমরা পাই: b - 4 = 0, b = 4।

সমস্যা পয়েন্ট O 1 (0; 4) এর শর্ত দ্বারা প্রয়োজনীয় (চিত্র 4)।

5. স্থানাঙ্ক অক্ষ এবং কিছু নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একই দূরত্বে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক গণনা করা

উদাহরণ 5

স্থানাঙ্ক অক্ষ থেকে এবং বিন্দু A (-2; 1) থেকে একই দূরত্বে স্থানাঙ্ক সমতলে অবস্থিত বিন্দু M খুঁজুন।

সমাধান।

প্রয়োজনীয় বিন্দু M, যেমন বিন্দু A (-2; 1), দ্বিতীয় স্থানাঙ্ক কোণে অবস্থিত, কারণ এটি বিন্দু A, P 1 এবং P 2 থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত (চিত্র 5). স্থানাঙ্ক অক্ষ থেকে M বিন্দুর দূরত্ব একই, তাই এর স্থানাঙ্ক হবে (-a; a), যেখানে a > 0।

এটি সমস্যার শর্তগুলি থেকে অনুসরণ করে যে MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; এমপি 2 = |-a|,

সেগুলো. |-a| = ক.

সূত্র অনুসারে d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) আমরা খুঁজে পাই:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2)।

আসুন একটি সমীকরণ করা যাক:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

স্কোয়ারিং এবং সরলীকরণের পরে, আমাদের আছে: a 2 - 6a + 5 = 0। আমরা সমীকরণটি সমাধান করি, আমরা একটি 1 = 1 পাই; এবং 2 = 5।

আমরা সমস্যার শর্ত সন্তুষ্ট করে M 1 (-1; 1) এবং M 2 (-5; 5) দুটি পয়েন্ট পাই।

6. অ্যাবসিসা (অর্ডিনেট) অক্ষ থেকে এবং এই বিন্দু থেকে একই নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কের গণনা

উদাহরণ 6

এমন একটি বিন্দু M খুঁজুন যাতে y-অক্ষ থেকে এবং বিন্দু A (8; 6) থেকে এর দূরত্ব 5 এর সমান হবে।

সমাধান।

এটি সমস্যার শর্ত থেকে অনুসরণ করে যে MA = 5 এবং বিন্দু M এর অবসিসা 5 এর সমান। বিন্দু M এর অর্ডিনেটটি b এর সমান, তারপর M(5; b) (ছবি 6)।

সূত্র অনুসারে d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) আমাদের আছে:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2)।

আসুন একটি সমীকরণ করা যাক:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. সরলীকরণ করলে আমরা পাই: b 2 - 12b + 20 = 0। এই সমীকরণের মূল হল b 1 = 2; b 2 \u003d 10. অতএব, দুটি পয়েন্ট রয়েছে যা সমস্যার শর্তকে সন্তুষ্ট করে: M 1 (5; 2) এবং M 2 (5; 10)।

এটা জানা যায় যে অনেক শিক্ষার্থী, যখন নিজেরাই সমস্যাগুলি সমাধান করে, তাদের সমাধানের জন্য কৌশল এবং পদ্ধতিগুলির উপর ক্রমাগত পরামর্শের প্রয়োজন হয়। প্রায়শই, একজন শিক্ষার্থী শিক্ষকের সাহায্য ছাড়া সমস্যা সমাধানের উপায় খুঁজে পায় না। শিক্ষার্থী আমাদের ওয়েবসাইটে সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় পরামর্শ পেতে পারে।

আপনি কি কিছু জানতে চান? একটি সমতলে দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা নিশ্চিত নন?
একজন গৃহশিক্ষকের সাহায্য পেতে - নিবন্ধন করুন।
প্রথম পাঠ বিনামূল্যে!

সাইটে, উপাদানের সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।