একটি সমতলে একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব। কিভাবে একটি বিন্দু থেকে একটি লাইন দূরত্ব খুঁজে বের করতে? বিন্দু M থেকে একটি লাইনের দূরত্ব খুঁজুন: সূত্র একটি সমতলে একটি বিন্দু থেকে একটি ভেক্টরের দূরত্ব

এই নিবন্ধটি বিষয় সম্পর্কে কথা বলে « বিন্দু থেকে লাইন পর্যন্ত দূরত্ব », একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্বের সংজ্ঞা স্থানাঙ্কের পদ্ধতি দ্বারা সচিত্র উদাহরণ সহ বিবেচনা করা হয়। শেষে তত্ত্বের প্রতিটি ব্লক একই ধরনের সমস্যা সমাধানের উদাহরণ দেখিয়েছে।

একটি বিন্দু থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করে একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব পাওয়া যায়। এর আরো বিস্তারিত বিবেচনা করা যাক।

একটি লাইন a এবং একটি বিন্দু M 1 প্রদত্ত রেখার অন্তর্গত নয়। এটির মধ্য দিয়ে একটি রেখা আঁকুন a রেখার লম্ব অবরুদ্ধ। রেখাগুলির ছেদ বিন্দুটিকে H 1 হিসাবে নিন। আমরা পাই যে M 1 H 1 হল একটি লম্ব, যা M 1 বিন্দু থেকে a লাইনে নামানো হয়েছে।

সংজ্ঞা 1

বিন্দু M 1 থেকে সরলরেখা a পর্যন্ত দূরত্ব M 1 এবং H 1 বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বকে বলে।

লম্বের দৈর্ঘ্যের চিত্র সহ সংজ্ঞার রেকর্ড রয়েছে।

সংজ্ঞা 2

বিন্দু থেকে লাইন পর্যন্ত দূরত্বএকটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত রেখায় অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য।

সংজ্ঞাগুলি সমতুল্য। নীচের চিত্রটি বিবেচনা করুন।

এটি জানা যায় যে একটি বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্বটি সম্ভাব্য সব থেকে ছোট। আসুন একটি উদাহরণ সহ এটি দেখি।

যদি আমরা লাইনের উপর অবস্থিত Q বিন্দুটিকে M 1 বিন্দুর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ না করে নিই, তাহলে আমরা দেখতে পাই যে M 1 Q অংশটিকে তির্যক বলা হয়, M 1 থেকে A লাইনে নামানো হয়েছে। এটি নির্দেশ করা প্রয়োজন যে বিন্দু M 1 থেকে লম্বটি বিন্দু থেকে সরলরেখায় আঁকা অন্য যেকোন তির্যক থেকে কম।

এটি প্রমাণ করতে, M 1 Q 1 H 1 ত্রিভুজটি বিবেচনা করুন, যেখানে M 1 Q 1 হল কর্ণ। এটি জানা যায় যে এর দৈর্ঘ্য সর্বদা যে কোনও পায়ের দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি। সুতরাং, আমাদের কাছে সেই M 1 H 1 আছে< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

একটি বিন্দু থেকে সরলরেখায় খোঁজার জন্য প্রাথমিক ডেটা বিভিন্ন সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করার অনুমতি দেয়: পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য, সাইন, কোসাইন, একটি কোণের স্পর্শক এবং অন্যান্যগুলির সংজ্ঞার মাধ্যমে। এই ধরনের বেশিরভাগ কাজ স্কুলে জ্যামিতি পাঠে সমাধান করা হয়।

যখন, একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব খুঁজে বের করার সময়, আপনি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে প্রবেশ করতে পারেন, তখন স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এই অনুচ্ছেদে, আমরা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে পছন্দসই দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য প্রধান দুটি পদ্ধতি বিবেচনা করি।

প্রথম পদ্ধতিতে M 1 থেকে a রেখায় অঙ্কিত লম্ব হিসাবে দূরত্ব খুঁজে বের করা জড়িত। দ্বিতীয় পদ্ধতিটি প্রয়োজনীয় দূরত্ব খুঁজে পেতে সরলরেখা a-এর স্বাভাবিক সমীকরণ ব্যবহার করে।

যদি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে অবস্থিত স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1) সমতলে একটি বিন্দু থাকে, একটি সরল রেখা a, এবং আপনাকে M 1 H 1 দূরত্ব খুঁজে বের করতে হবে, আপনি দুটি উপায়ে গণনা করতে পারেন। আসুন তাদের বিবেচনা করা যাক।

প্রথম উপায়

যদি x 2, y 2 এর সমান H 1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক থাকে, তাহলে বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y) সূত্র থেকে স্থানাঙ্ক থেকে গণনা করা হয় 2 - y 1) 2.

এখন আসুন H 1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করার দিকে এগিয়ে যাই।

এটি জানা যায় যে O x y তে একটি সরল রেখা একটি সমতলের একটি সরল রেখার সমীকরণের সাথে মিলে যায়। আসুন একটি সরলরেখার একটি সাধারণ সমীকরণ বা ঢাল সহ একটি সমীকরণ লেখার মাধ্যমে একটি সরলরেখা a সংজ্ঞায়িত করার একটি উপায় নেওয়া যাক। আমরা একটি সরলরেখার সমীকরণ রচনা করি যা একটি প্রদত্ত রেখা a-এর লম্ব M 1 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। বিচ বি দ্বারা রেখাটি বোঝানো যাক। H 1 হল a এবং b রেখার ছেদ বিন্দু, তাই স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করতে, আপনাকে অবশ্যই নিবন্ধটি ব্যবহার করতে হবে, যা দুটি লাইনের ছেদ বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলির সাথে সম্পর্কিত।

এটি দেখা যায় যে প্রদত্ত বিন্দু M 1 (x 1, y 1) থেকে সরলরেখা a পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদমটি বিন্দু অনুসারে পরিচালিত হয়:

সংজ্ঞা 3

• সরলরেখা a এর সাধারণ সমীকরণ খুঁজে বের করা, ফর্ম A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, অথবা একটি ঢাল সহগ সহ একটি সমীকরণ, ফর্ম y \u003d k 1 x + b 1;
• লাইন b এর সাধারণ সমীকরণ প্রাপ্ত করা, যার ফর্ম A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 বা একটি ঢাল y \u003d k 2 x + b 2 সহ একটি সমীকরণ যদি রেখা b বিন্দু M 1 কে ছেদ করে এবং প্রদত্ত রেখা a এর লম্ব;
• H 1 বিন্দুর x 2, y 2 স্থানাঙ্কের নির্ণয়, যা a এবং b এর ছেদ বিন্দু, এর জন্য, রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিটি A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x সমাধান করা হয়েছে + B 2 y + C 2 = 0 বা y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• সূত্র M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 ব্যবহার করে একটি বিন্দু থেকে সরলরেখা পর্যন্ত প্রয়োজনীয় দূরত্বের গণনা।

দ্বিতীয় উপায়

উপপাদ্যটি একটি সমতলে একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত রেখার দূরত্ব খুঁজে বের করার প্রশ্নের উত্তর দিতে সাহায্য করতে পারে।

উপপাদ্য

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় O x y এর একটি বিন্দু M 1 (x 1, y 1) রয়েছে, যেখান থেকে সমতলের সাধারণ সমীকরণ দ্বারা সমতলের দিকে একটি সরল রেখা টানা হয়, যার ফর্ম cos α x + cos β থাকে y - p \u003d 0, স্বাভাবিক সরলরেখা সমীকরণের বাম দিকে প্রাপ্ত মানটির মডিউলের সমান, x = x 1, y = y 1 এ গণনা করা হয়, মানে M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - পি।

প্রমাণ

লাইন a সমতলের স্বাভাবিক সমীকরণের সাথে মিলে যায়, যার ফর্ম cos α x + cos β y - p = 0, তারপর n → = (cos α , cos β) a লাইনের একটি সাধারণ ভেক্টর হিসাবে বিবেচিত হয়। উৎপত্তি থেকে p একক সহ লাইন a পর্যন্ত দূরত্ব। চিত্রে সমস্ত ডেটা চিত্রিত করা প্রয়োজন, স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1) সহ একটি বিন্দু যোগ করুন, যেখানে বিন্দু M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর। একটি বিন্দু থেকে সরলরেখায় একটি সরলরেখা আঁকতে হবে, যা আমরা M 1 H 1 দ্বারা বোঝাব। n → = (cos α , cos β) ফর্মের একটি নির্দেশক ভেক্টর দিয়ে O বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখায় M 1 এবং H 2 বিন্দুর M 2 এবং H 2 অনুমানগুলি দেখানো প্রয়োজন, এবং সংখ্যাসূচক অভিক্ষেপ ভেক্টরের দিকটিকে O M 1 → = (x 1 , y 1) n → = (cos α , cos β) n p n → O M 1 → হিসাবে চিহ্নিত করা হবে।

পরিবর্তনগুলি M 1 বিন্দুর অবস্থানের উপর নির্ভর করে। নীচের চিত্রটি বিবেচনা করুন।

আমরা M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p সূত্র ব্যবহার করে ফলাফলগুলি ঠিক করি। তারপর n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 পাওয়ার জন্য আমরা এই ফর্ম M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p এ সমতা আনব।

ভেক্টরের স্কেলার গুনফল n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ফর্মুলার রূপান্তরিত সূত্রে পরিণত হয়, যা সমন্বিত আকারে একটি গুণফল। ফর্ম n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1। সুতরাং, আমরা পাই যে n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1। এটি অনুসরণ করে যে M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

আমরা পাই যে বিন্দু M 1 (x 1, y 1) থেকে সমতলের সরলরেখা a পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজে পেতে, বেশ কয়েকটি ক্রিয়া সম্পাদন করতে হবে:

সংজ্ঞা 4

• লাইনের স্বাভাবিক সমীকরণ a cos α · x + cos β · y - p = 0 প্রাপ্ত করা, শর্ত থাকে যে এটি টাস্কে না থাকে;
• অভিব্যক্তির গণনা cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , যেখানে ফলাফলের মানটি M 1 H 1 নেয়।

একটি বিন্দু থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধানের জন্য এই পদ্ধতিগুলি প্রয়োগ করা যাক।

উদাহরণ 1

স্থানাঙ্ক M 1 (- 1 , 2) দিয়ে বিন্দু থেকে রেখা 4 x - 3 y + 35 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব নির্ণয় করুন।

সমাধান

সমাধানের প্রথম পদ্ধতি ব্যবহার করা যাক।

এটি করার জন্য, আপনাকে লাইন b এর সাধারণ সমীকরণটি খুঁজে বের করতে হবে, যা একটি প্রদত্ত বিন্দু M 1 (- 1 , 2) লাইন 4 x - 3 y + 35 = 0 এর লম্বের মধ্য দিয়ে যায়। এই অবস্থা থেকে দেখা যায় যে রেখা b লাইন a এর লম্ব, তারপর এর দিক ভেক্টরের সমান স্থানাঙ্ক রয়েছে (4, - 3)। সুতরাং, আমাদের সমতলে b লাইনের প্রামাণিক সমীকরণ লেখার সুযোগ রয়েছে, যেহেতু এখানে M 1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক রয়েছে, লাইন b এর অন্তর্গত। সরলরেখা b এর নির্দেশক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা যাক। আমরা পাই যে x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3। ফলাফল প্রামাণিক সমীকরণ একটি সাধারণ এক রূপান্তর করা আবশ্যক. তারপর আমরা যে পেতে

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

চলুন রেখাগুলির ছেদ বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করি, যা আমরা H 1 হিসাবে গ্রহণ করব। রূপান্তরগুলি দেখতে এইরকম:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

উপরের থেকে, আমাদের কাছে রয়েছে যে বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্কগুলি হল (- 5; 5)।

বিন্দু M 1 থেকে সরলরেখা a পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করা প্রয়োজন। আমাদের কাছে বিন্দু M 1 (- 1, 2) এবং H 1 (- 5, 5) এর স্থানাঙ্ক রয়েছে, তারপর আমরা দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য সূত্রে প্রতিস্থাপিত করি এবং আমরা তা পাই

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

দ্বিতীয় সমাধান।

অন্য উপায়ে সমাধান করার জন্য, একটি সরল রেখার স্বাভাবিক সমীকরণ প্রাপ্ত করা প্রয়োজন। আমরা নর্মালাইজিং ফ্যাক্টরের মান গণনা করি এবং 4 x - 3 y + 35 = 0 সমীকরণের উভয় পাশে গুণ করি। এখান থেকে আমরা পাই যে স্বাভাবিককরণের ফ্যাক্টর হল - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , এবং স্বাভাবিক সমীকরণটি ফর্ম হবে - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0।

গণনার অ্যালগরিদম অনুসারে, একটি সরল রেখার স্বাভাবিক সমীকরণ প্রাপ্ত করা এবং x = - 1 , y = 2 মান দিয়ে এটি গণনা করা প্রয়োজন। তারপর আমরা যে পেতে

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

এখান থেকে আমরা পাই যে বিন্দু M 1 (- 1 , 2) থেকে প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব 4 x - 3 y + 35 = 0 এর মান আছে - 5 = 5।

উত্তর: 5 .

এটি দেখা যায় যে এই পদ্ধতিতে একটি সরল রেখার স্বাভাবিক সমীকরণ ব্যবহার করা গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু এই পদ্ধতিটি সবচেয়ে ছোট। তবে প্রথম পদ্ধতিটি সুবিধাজনক যে এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং যৌক্তিক, যদিও এতে আরও গণনা পয়েন্ট রয়েছে।

উদাহরণ 2

সমতলে রয়েছে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা O x y একটি বিন্দু M 1 (8, 0) এবং একটি সরল রেখা y = 1 2 x + 1। প্রদত্ত বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব নির্ণয় করুন।

সমাধান

প্রথম উপায়ে সমাধানটি একটি সাধারণ সমীকরণে একটি ঢাল সহগ সহ একটি প্রদত্ত সমীকরণের হ্রাস বোঝায়। সহজ করার জন্য, আপনি এটি ভিন্নভাবে করতে পারেন।

যদি লম্ব রেখার ঢালের গুণফল - 1 হয়, তাহলে প্রদত্ত y = 1 2 x + 1 এর লম্ব রেখার ঢাল 2 হয়। এখন আমরা স্থানাঙ্ক M 1 (8, 0) সহ একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার সমীকরণ পেয়েছি। আমাদের কাছে y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 আছে।

আমরা বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করতে এগিয়ে যাই, অর্থাৎ ছেদ বিন্দু y \u003d - 2 x + 16 এবং y \u003d 1 2 x + 1। আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম রচনা করি এবং পাই:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

এটি অনুসরণ করে যে স্থানাঙ্ক M 1 (8 , 0) বিন্দু থেকে y = 1 2 x + 1 রেখার দূরত্বটি স্থানাঙ্ক M 1 (8 , 0) এবং H সহ প্রারম্ভ বিন্দু এবং শেষ বিন্দু থেকে দূরত্বের সমান 1 (6, 4)। আসুন গণনা করি এবং পাই যে M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5।

দ্বিতীয় উপায়ে সমাধান হল একটি সহগ সহ সমীকরণ থেকে তার স্বাভাবিক আকারে পাস করা। অর্থাৎ, আমরা পাই y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, তাহলে স্বাভাবিককরণের গুণকের মান হবে - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . এটি অনুসরণ করে যে একটি সরল রেখার স্বাভাবিক সমীকরণটি রূপ নেয় - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 । চলুন বিন্দু M 1 8 , 0 থেকে ফর্মের একটি সরল রেখা পর্যন্ত গণনা করা যাক - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0। আমরা পেতে:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

উত্তর: 2 5 .

উদাহরণ 3

স্থানাঙ্ক M 1 (- 2 , 4) দিয়ে বিন্দু থেকে সরলরেখা 2 x - 3 = 0 এবং y + 1 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করা প্রয়োজন।

সমাধান

আমরা 2 x - 3 = 0 সরলরেখার স্বাভাবিক ফর্মের সমীকরণ পাই:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

তারপরে আমরা বিন্দু M 1 - 2, 4 থেকে সরলরেখা x - 3 2 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করতে এগিয়ে যাই। আমরা পেতে:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

সরলরেখার সমীকরণ y + 1 = 0 এর একটি স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টর রয়েছে যার মান -1। এর মানে হল সমীকরণটি রূপ নেবে - y - 1 = 0। আমরা বিন্দু M 1 (- 2 , 4) থেকে সরলরেখা - y - 1 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করতে এগিয়ে যাই। আমরা পাই যে এটি সমান - 4 - 1 = 5।

উত্তর: 3 1 2 এবং 5।

সমতলের একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে স্থানাঙ্ক অক্ষ O x এবং O y পর্যন্ত দূরত্ব নির্ণয়ের বিস্তারিত বিবেচনা করা যাক।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, O y অক্ষে একটি সরল রেখার একটি সমীকরণ রয়েছে, যা অসম্পূর্ণ এবং এর আকার x \u003d 0 এবং O x - y \u003d 0 রয়েছে। সমীকরণগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির জন্য স্বাভাবিক, তারপর স্থানাঙ্ক M 1 x 1 , y 1 সহ বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব খুঁজে বের করতে হবে। এটি M 1 H 1 = x 1 এবং M 1 H 1 = y 1 সূত্রের উপর ভিত্তি করে করা হয়। নীচের চিত্রটি বিবেচনা করুন।

উদাহরণ 4

বিন্দু M 1 (6, - 7) থেকে O x y সমতলে অবস্থিত স্থানাঙ্ক রেখার দূরত্ব খুঁজুন।

সমাধান

যেহেতু y \u003d 0 সমীকরণটি O x লাইনকে নির্দেশ করে, আপনি সূত্রটি ব্যবহার করে এই লাইনের প্রদত্ত স্থানাঙ্ক সহ M 1 থেকে দূরত্ব খুঁজে পেতে পারেন। আমরা 6 = 6 পাই।

যেহেতু x \u003d 0 সমীকরণটি O y লাইনকে নির্দেশ করে, আপনি সূত্রটি ব্যবহার করে M 1 থেকে এই লাইনের দূরত্ব খুঁজে পেতে পারেন। তাহলে আমরা পাই - 7 = 7।

উত্তর: M 1 থেকে O x এর দূরত্বের মান 6 এবং M 1 থেকে O y এর মান 7।

যখন ত্রিমাত্রিক স্থানে আমাদের স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1, z 1) সহ একটি বিন্দু থাকে, তখন A বিন্দু থেকে a লাইনের দূরত্ব খুঁজে বের করতে হবে।

দুটি উপায় বিবেচনা করুন যা আপনাকে মহাকাশে অবস্থিত একটি বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব গণনা করতে দেয়। প্রথম ক্ষেত্রে বিন্দু M 1 থেকে রেখার দূরত্ব বিবেচনা করা হয়, যেখানে লাইনের বিন্দুটিকে H 1 বলা হয় এবং এটি M 1 বিন্দু থেকে লাইন a পর্যন্ত অঙ্কিত লম্বের ভিত্তি। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে পরামর্শ দেওয়া হয়েছে যে এই সমতলের বিন্দুগুলিকে সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা হিসাবে চাওয়া উচিত।

প্রথম উপায়

সংজ্ঞা থেকে, আমরা পেয়েছি যে সরলরেখা a তে অবস্থিত বিন্দু M 1 থেকে দূরত্ব হল লম্ব M 1 H 1 এর দৈর্ঘ্য, তারপর আমরা H 1 বিন্দুর পাওয়া স্থানাঙ্কের সাথে এটি পাই, তারপর আমরা দূরত্বটি খুঁজে পাই M 1 (x 1, y 1, z 1 ) এবং H 1 (x 1, y 1, z 1) সূত্র M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z এর উপর ভিত্তি করে 2 - z 1 2।

আমরা পাই যে সম্পূর্ণ সমাধানটি M 1 থেকে a রেখা পর্যন্ত অঙ্কিত লম্বের বেসের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করতে যায়। এটি নিম্নরূপ করা হয়: H 1 হল সেই বিন্দু যেখানে একটি লাইন একটি সমতলের সাথে ছেদ করে যা প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।

এর মানে হল বিন্দু M 1 (x 1, y 1, z 1) থেকে স্থানের সরলরেখা a পর্যন্ত দূরত্ব নির্ধারণের অ্যালগরিদমটি বেশ কয়েকটি বিন্দুকে বোঝায়:

সংজ্ঞা 5

• সমতলের সমীকরণ অঙ্কন χ একটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে রেখার লম্ব দিয়ে যাওয়া সমতলের সমীকরণ হিসাবে;
• স্থানাঙ্কের নির্ণয় (x 2 , y 2 , z 2) বিন্দু H 1 এর অন্তর্গত যা লাইন a এবং সমতল χ এর ছেদ বিন্দু;
• M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 সূত্রটি ব্যবহার করে একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্বের গণনা।

দ্বিতীয় উপায়

যে শর্তে আমাদের একটি লাইন a আছে, তারপরে আমরা a → = a x, a y, a z স্থানাঙ্ক সহ x 3, y 3, z 3 এবং একটি লাইনের অন্তর্গত একটি নির্দিষ্ট বিন্দু M 3 ভেক্টর নির্ধারণ করতে পারি। M 1 (x 1 , y 1) এবং M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি গণনা করা যেতে পারে:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

M 3 বিন্দু থেকে ভেক্টর a → \u003d a x, a y, a z এবং M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 স্থগিত করা প্রয়োজন, সংযোগ করুন এবং পান একটি সমান্তরাল চিত্র। M 1 H 1 হল সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা।

নীচের চিত্রটি বিবেচনা করুন।

আমাদের আছে যে উচ্চতা M 1 H 1 হল কাঙ্ক্ষিত দূরত্ব, তাহলে আপনাকে সূত্রটি ব্যবহার করে এটি খুঁজে বের করতে হবে। অর্থাৎ, আমরা M 1 H 1 খুঁজছি।

S অক্ষর দ্বারা সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল চিহ্নিত করুন, a → = (a x, a y, a z) এবং M 3 M 1 → = x 1 - x 3 ভেক্টর ব্যবহার করে সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়। y 1 - y 3 , z 1 - z 3 । এলাকা সূত্রে S = a → × M 3 M 1 → ফর্ম আছে। এছাড়াও, চিত্রটির ক্ষেত্রফল এর বাহুর দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার গুণফলের সমান, আমরা পাই যে S \u003d a → M 1 H 1 সঙ্গে a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, যা ভেক্টরের দৈর্ঘ্য a → \u003d (a x, a y, a z) , যা সমান্তরালগ্রামের পাশের সমান। তাই, M 1 H 1 হল বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব। এটি M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়।

স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1, z 1) সহ একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখা a পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজে বের করতে, আপনাকে অ্যালগরিদমের কয়েকটি বিন্দু সম্পাদন করতে হবে:

সংজ্ঞা 6

• সরলরেখার অভিমুখ ভেক্টর নির্ণয় a - a → = (a x , a y , a z) ;
• a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 দিক ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের গণনা ;
• a লাইনে অবস্থিত M 3 বিন্দুর অন্তর্গত x 3 , y 3 , z 3 স্থানাঙ্ক প্রাপ্ত করা;
• ভেক্টরের স্থানাঙ্কের গণনা M 3 M 1 → ;
• a → (a x, a y, a z) এবং M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 একটি → × M 3 M 1 → = i হিসাবে ভেক্টরের ক্রস গুণফল খুঁজে বের করা → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 সূত্র অনুযায়ী দৈর্ঘ্য পেতে a → × M 3 M 1 → ;
• একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্বের গণনা M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

মহাকাশে একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধান করা

স্থানাঙ্ক M 1 2 , - 4 , - 1 রেখা থেকে x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 দিয়ে বিন্দু থেকে দূরত্ব নির্ণয় করুন।

সমাধান

প্রথম পদ্ধতিটি M 1 এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতল χ এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে লম্ব লেখার মাধ্যমে শুরু হয়। আমরা একটি অভিব্যক্তি পেতে যেমন:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন, যা শর্ত দ্বারা প্রদত্ত সরলরেখার সমতল χ এর সাথে ছেদ বিন্দু। ক্যানোনিকাল ফর্ম থেকে ছেদকারীতে সরানো প্রয়োজন। তারপরে আমরা ফর্মের সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

সিস্টেম x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 গণনা করা প্রয়োজন ক্র্যামারের পদ্ধতি দ্বারা 2 x - y + 5 z = 3, তারপর আমরা এটি পাই:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z = 0 - 60 = 0

তাই আমাদের আছে যে H 1 (1, - 1, 0)।

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

দ্বিতীয় পদ্ধতিটি অবশ্যই প্রামাণিক সমীকরণে স্থানাঙ্ক অনুসন্ধান করে শুরু করতে হবে। এটি করার জন্য, ভগ্নাংশের হরগুলির দিকে মনোযোগ দিন। তারপর a → = 2 , - 1 , 5 হল x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 রেখাটির দিক ভেক্টর। a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 সূত্রটি ব্যবহার করে দৈর্ঘ্য গণনা করা প্রয়োজন।

এটা স্পষ্ট যে রেখা x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 বিন্দু M 3 (- 1 , 0 , - 5) কে ছেদ করে, তাই আমাদের কাছে রয়েছে যে ভেক্টরটি M 3 (- 1 , 0) এর সাথে , - 5) এবং M 1 2 , - 4 , - 1 বিন্দুতে এর শেষ হল M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 । ভেক্টর গুণফল a → = (2, - 1, 5) এবং M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) খুঁজুন।

আমরা a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j ফর্মের একটি অভিব্যক্তি পাই → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

আমরা পাই যে ক্রস পণ্যের দৈর্ঘ্য একটি → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330।

একটি সরল রেখার জন্য একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব গণনা করার জন্য সূত্রটি ব্যবহার করার জন্য আমাদের কাছে সমস্ত ডেটা রয়েছে, তাই আমরা এটি প্রয়োগ করি এবং পাই:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

উত্তর: 11 .

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

একটি সমতলে একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব গণনা করার সূত্র

যদি Ax + By + C = 0 রেখাটির সমীকরণ দেওয়া হয়, তাহলে নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে M(M x , M y) বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব পাওয়া যাবে

একটি সমতলে একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব গণনা করার জন্য কাজের উদাহরণ

উদাহরণ 1

রেখা 3x + 4y - 6 = 0 এবং বিন্দু M(-1, 3) এর মধ্যে দূরত্ব খুঁজুন।

সমাধান।সূত্রে রেখার সহগ এবং বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করুন

উত্তর:একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব হল 0.6।

একটি সমতলের সমীকরণ একটি ভেক্টরের লম্ব বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের সাধারণ সমীকরণ

একটি প্রদত্ত তলকে লম্বহীন একটি শূন্য ভেক্টর বলা হয় স্বাভাবিক ভেক্টর (বা, সংক্ষেপে, স্বাভাবিক ) এই প্লেনের জন্য।

স্থানাঙ্ক স্থান (একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে) দেওয়া যাক:

একটি বিন্দু ;

খ) একটি অ-শূন্য ভেক্টর (চিত্র 4.8, ক)।

একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের জন্য একটি সমীকরণ লিখতে হবে ভেক্টরের সাথে লম্ব প্রমাণের শেষ।

আসুন এখন সমতলে সরলরেখার বিভিন্ন ধরনের সমীকরণ বিবেচনা করি।

1) সমতলের সাধারণ সমীকরণপৃ .

সমীকরণের উৎপত্তি থেকে এটি একই সময়ে অনুসরণ করে ক, খএবং গ 0 এর সমান নয় (কেন ব্যাখ্যা করুন)।

পয়েন্ট প্লেনের অন্তর্গত পৃশুধুমাত্র যদি এর স্থানাঙ্কগুলি সমতলের সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। সহগ উপর নির্ভর করে ক, খ, গএবং ডিসমতল পৃএক বা অন্য অবস্থান দখল করে।

- সমতল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্সের মধ্য দিয়ে যায়, - সমতল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্সের মধ্য দিয়ে যায় না,

- সমতলটি অক্ষের সমান্তরাল এক্স,

এক্স,

- সমতলটি অক্ষের সমান্তরাল Y,

- সমতল অক্ষের সমান্তরাল নয় Y,

- সমতলটি অক্ষের সমান্তরাল জেড,

- সমতল অক্ষের সমান্তরাল নয় জেড.

এই বিবৃতি নিজেই প্রমাণ করুন।

সমীকরণ (6) সহজেই সমীকরণ (5) থেকে উদ্ভূত হয়। প্রকৃতপক্ষে, বিন্দু সমতলে থাকা যাক পৃ. তারপর এর স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণ (5) থেকে সমীকরণ (7) বিয়োগ করে এবং পদগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করে, আমরা সমীকরণ (6) পাই। এখন যথাক্রমে স্থানাঙ্ক সহ দুটি ভেক্টর বিবেচনা করুন। এটি সূত্র (6) থেকে অনুসরণ করে যে তাদের স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান। অতএব, ভেক্টরটি ভেক্টরের লম্ব পৃ. অতএব, ভেক্টরটি সমতলে লম্ব পৃ. বিন্দু থেকে সমতল দূরত্ব পৃ, যার সাধারণ সমীকরণ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয় এই সূত্রের প্রমাণ একটি বিন্দু এবং একটি রেখার মধ্যে দূরত্বের সূত্রের প্রমাণের সাথে সম্পূর্ণ মিল রয়েছে (চিত্র 2 দেখুন)।
ভাত। 2. একটি সমতল এবং একটি সরল রেখার মধ্যে দূরত্বের সূত্রের উদ্ভবের জন্য।

প্রকৃতপক্ষে, দূরত্ব dএকটি লাইন এবং একটি সমতল মধ্যে হয়

যেখানে একটি বিন্দু একটি প্লেনে শুয়ে আছে। এখান থেকে, 11 নং লেকচারের মতো, উপরের সূত্রটি পাওয়া যায়। দুটি সমতল সমান্তরাল হয় যদি তাদের স্বাভাবিক ভেক্টর সমান্তরাল হয়। এখান থেকে আমরা দুটি সমতলের সমান্তরালতার শর্ত পাই - প্লেনের সাধারণ সমীকরণের সহগ। দুটি সমতল লম্ব হয় যদি তাদের স্বাভাবিক ভেক্টর লম্ব হয়, তাই আমরা দুটি সমতলের লম্বতার অবস্থা পেতে পারি যদি তাদের সাধারণ সমীকরণ জানা যায়

কোণ চদুটি সমতলের মধ্যে তাদের স্বাভাবিক ভেক্টরের মধ্যে কোণের সমান (চিত্র 3 দেখুন) এবং তাই সূত্র থেকে গণনা করা যেতে পারে
প্লেন মধ্যে কোণ নির্ধারণ.

(11)

একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলের দূরত্ব এবং এটি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়

বিন্দু থেকে দূরত্ব সমতলএকটি বিন্দু থেকে এই সমতলে নেমে যাওয়া লম্বের দৈর্ঘ্য। একটি বিন্দু থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজে বের করার কমপক্ষে দুটি উপায় রয়েছে: জ্যামিতিকএবং বীজগণিত.

জ্যামিতিক পদ্ধতির সাথেআপনাকে প্রথমে বুঝতে হবে কিভাবে লম্বটি একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলে অবস্থিত: হতে পারে এটি কিছু সুবিধাজনক সমতলে অবস্থিত, এটি কিছু সুবিধাজনক (বা তাই নয়) ত্রিভুজের উচ্চতা, অথবা এই লম্বটি সাধারণত কিছু পিরামিডের একটি উচ্চতা। .

এই প্রথম এবং সবচেয়ে কঠিন পর্যায়ের পরে, সমস্যাটি বেশ কয়েকটি নির্দিষ্ট প্ল্যানমেট্রিক সমস্যায় বিভক্ত হয় (সম্ভবত বিভিন্ন প্লেনে)।

বীজগণিত পদ্ধতির সাথেএকটি বিন্দু থেকে সমতলে দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য, আপনাকে একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমে প্রবেশ করতে হবে, বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং সমতলের সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে এবং তারপর বিন্দু থেকে সমতলে দূরত্বের সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে।

একটি উদাহরণ সমাধান করার সময় একটি সমতলে একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য বিশ্লেষণকৃত পদ্ধতির প্রয়োগ বিবেচনা করুন।

একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব খুঁজুন:

প্রথমত, প্রথম উপায়ে সমস্যার সমাধান করা যাক।

সমস্যার শর্তে, আমাদেরকে ফর্মের সরলরেখা a-এর সাধারণ সমীকরণ দেওয়া হয়েছে:

রেখা b এর সাধারণ সমীকরণটি খুঁজে বের করা যাক, যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় লাইনের লম্ব:

যেহেতু লাইন b লাইন a এর লম্ব, রেখা b এর দিক ভেক্টর প্রদত্ত রেখার সাধারণ ভেক্টর:

অর্থাৎ, লাইন b এর দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক রয়েছে। এখন আমরা সমতলের সরলরেখা b-এর ক্যানোনিকাল সমীকরণ লিখতে পারি, যেহেতু আমরা বিন্দু M 1 এর স্থানাঙ্কগুলি জানি যার মধ্য দিয়ে সরলরেখা b যায়, এবং সরলরেখা b এর নির্দেশক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি:

সরলরেখা b এর প্রাপ্ত ক্যানোনিকাল সমীকরণ থেকে, আমরা সরলরেখার সাধারণ সমীকরণে চলে যাই:

এখন a এবং b রেখাগুলির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা যাক (এটি H 1 বোঝাই) লাইনগুলির a এবং b লাইনগুলির সাধারণ সমীকরণগুলির সমন্বয়ে গঠিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করে (যদি প্রয়োজন হয় তবে নিবন্ধ সমাধান পদ্ধতিগুলি পড়ুন) রৈখিক সমীকরণের):

সুতরাং, বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্ক রয়েছে।

বিন্দু M 1 থেকে সরলরেখা a পর্যন্ত কাঙ্খিত দূরত্ব গণনা করার জন্য বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব এবং:

সমস্যা সমাধানের দ্বিতীয় উপায়।

আমরা প্রদত্ত লাইনের স্বাভাবিক সমীকরণ পাই। এটি করার জন্য, আমরা স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টরের মান গণনা করি এবং এটি দ্বারা সরলরেখার মূল সাধারণ সমীকরণের উভয় অংশকে গুণ করি:

(একটি সরলরেখার সাধারণ সমীকরণকে স্বাভাবিক আকারে আনার বিভাগে আমরা এই বিষয়ে কথা বলেছি)।

স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টর সমান

তাহলে সরলরেখার স্বাভাবিক সমীকরণের ফর্ম আছে:

এখন আমরা সরলরেখার ফলের স্বাভাবিক সমীকরণের বাম দিকে অভিব্যক্তিটি নিই এবং এর মান গণনা করি:

একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সরলরেখার কাঙ্ক্ষিত দূরত্ব:

প্রাপ্ত মানের পরম মানের সমান, অর্থাৎ পাঁচ ()।

বিন্দু থেকে লাইনের দূরত্ব:

স্পষ্টতই, একটি সরলরেখার স্বাভাবিক সমীকরণ ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে একটি সমতলে একটি বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব খুঁজে বের করার পদ্ধতির সুবিধাটি তুলনামূলকভাবে কম পরিমাণে গণনামূলক কাজ। পরিবর্তে, একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব খুঁজে বের করার প্রথম উপায়টি স্বজ্ঞাত এবং ধারাবাহিকতা এবং যুক্তি দ্বারা আলাদা।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সি সমতলে স্থির করা হয়েছে, একটি বিন্দু এবং একটি সরল রেখা দেওয়া হয়েছে:

একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত রেখার দূরত্ব খুঁজুন।

প্রথম উপায়.

আপনি ঢাল সহ একটি সরল রেখার প্রদত্ত সমীকরণ থেকে এই সরলরেখার সাধারণ সমীকরণে যেতে পারেন এবং উপরে আলোচিত উদাহরণের মতো একইভাবে এগিয়ে যেতে পারেন।

কিন্তু আপনি এটি ভিন্নভাবে করতে পারেন।

আমরা জানি যে লম্ব রেখার ঢালের গুণফল 1 এর সমান (উল্লম্ব রেখা, রেখার লম্বতা নিবন্ধটি দেখুন)। অতএব, একটি রেখার ঢাল যা একটি প্রদত্ত রেখার লম্ব:

2 এর সমান। তারপর একটি প্রদত্ত সরলরেখার লম্ব এবং একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সমীকরণটির ফর্ম রয়েছে:

এখন আসুন H 1 বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা যাক - লাইনগুলির ছেদ বিন্দু:

সুতরাং, একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার কাঙ্ক্ষিত দূরত্ব:

বিন্দু এবং মধ্যে দূরত্ব সমান:

দ্বিতীয় উপায়।

ঢাল সহ একটি সরল রেখার প্রদত্ত সমীকরণ থেকে এই সরলরেখার স্বাভাবিক সমীকরণে যাওয়া যাক:

স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টর সমান:

সুতরাং, একটি প্রদত্ত সরলরেখার স্বাভাবিক সমীকরণের ফর্ম রয়েছে:

এখন আমরা বিন্দু থেকে লাইন পর্যন্ত প্রয়োজনীয় দূরত্ব গণনা করি:

একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব গণনা করুন:

এবং সরলরেখায়:

আমরা সরলরেখার স্বাভাবিক সমীকরণ পাই:

এখন বিন্দু থেকে লাইনের দূরত্ব গণনা করুন:

সরলরেখা সমীকরণের জন্য স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টর:

1 এর সমান। তারপর এই লাইনের স্বাভাবিক সমীকরণের ফর্ম আছে:

এখন আমরা একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব গণনা করতে পারি:

এটা সমান

উত্তর: এবং 5।

উপসংহারে, আমরা আলাদাভাবে বিবেচনা করব কিভাবে সমতলের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে স্থানাঙ্ক রেখা Ox এবং Oy পর্যন্ত দূরত্ব পাওয়া যায়।

আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সিতে, স্থানাঙ্ক রেখা Oy লাইনের অসম্পূর্ণ সাধারণ সমীকরণ x=0 দ্বারা দেওয়া হয় এবং স্থানাঙ্ক রেখা অক্সটি y=0 সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়। এই সমীকরণগুলি Oy এবং Ox রেখাগুলির স্বাভাবিক সমীকরণ, তাই, একটি বিন্দু থেকে এই রেখাগুলির দূরত্ব সূত্রগুলি দ্বারা গণনা করা হয়:

যথাক্রমে

চিত্র 5

একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় সিস্টেম অক্সি প্লেনে চালু করা হয়। বিন্দু থেকে স্থানাঙ্ক রেখার দূরত্ব নির্ণয় কর।

প্রদত্ত বিন্দু M 1 থেকে স্থানাঙ্ক রেখা অক্সের দূরত্ব (এটি y=0 সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে) M 1 বিন্দুর অর্ডিনেটের মডিউলের সমান, অর্থাৎ .

প্রদত্ত বিন্দু M 1 থেকে স্থানাঙ্ক রেখা Oy পর্যন্ত দূরত্ব (এটি x=0 সমীকরণের সাথে মিলে যায়) বিন্দু M 1: বিন্দুর অবসিসার পরম মানের সমান।

উত্তর: M 1 বিন্দু থেকে Ox রেখার দূরত্ব 6, এবং প্রদত্ত বিন্দু থেকে স্থানাঙ্ক রেখা Oy পর্যন্ত দূরত্ব সমান।

সমন্বয় পদ্ধতি (একটি বিন্দু এবং একটি সমতলের মধ্যে দূরত্ব, সরল রেখার মধ্যে)

একটি বিন্দু এবং একটি সমতল মধ্যে দূরত্ব.

একটি বিন্দু এবং একটি রেখার মধ্যে দূরত্ব।

দুই লাইনের মধ্যে দূরত্ব।

একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলের দূরত্ব কীভাবে খুঁজে বের করতে হয় তা জানার প্রথম দরকারী জিনিসটি হল:

মান A, B, C, D - সমতলের সহগ

x, y, z - বিন্দু স্থানাঙ্ক

একটি কাজ. বিন্দু A = (3; 7; −2) এবং সমতল 4x + 3y + 13z - 20 = 0 এর মধ্যে দূরত্ব খুঁজুন।

সবকিছু দেওয়া হয়েছে, আপনি অবিলম্বে সমীকরণের মধ্যে মানগুলি প্রতিস্থাপন করতে পারেন:

একটি কাজ. K = (1; −2; 7) বিন্দু থেকে V = (8; 6; −13) এবং T = (−1; −6; 7) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার দূরত্ব খুঁজুন।

1. আমরা একটি সরল রেখার ভেক্টর খুঁজে পাই।
2. আমরা পছন্দসই বিন্দু এবং লাইনের যেকোনো বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া ভেক্টর গণনা করি।
   
3. আমরা ম্যাট্রিক্স সেট করি এবং 1ম এবং 2য় অনুচ্ছেদে দুটি প্রাপ্ত ভেক্টরের নির্ধারক খুঁজে পাই।
4. আমরা দূরত্ব পাই যখন আমরা ম্যাট্রিক্সের সহগগুলির বর্গের সমষ্টির বর্গমূলকে রেখাটিকে সংজ্ঞায়িতকারী ভেক্টরের দৈর্ঘ্য দ্বারা ভাগ করি(আমি মনে করি এটি পরিষ্কার নয়, তাই আসুন একটি নির্দিষ্ট উদাহরণে চলে যাই)।

1) টিভি = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) আমরা K এবং T বিন্দুর মাধ্যমে ভেক্টর খুঁজে পাই, যদিও এটি K এবং V বা এই লাইনের অন্য কোনো বিন্দুর মাধ্যমেও সম্ভব হবে।

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) আপনি সহগ D ছাড়া একটি ম্যাট্রিক্স পাবেন (এখানে এটি সমাধানের জন্য প্রয়োজন নেই):

4) সমতলটি A = 80, B = 40, C = 12 সহগ সহ বের হয়েছে।

x, y, z - সরলরেখার ভেক্টরের স্থানাঙ্ক, এই ক্ষেত্রে, ভেক্টর টিভিতে স্থানাঙ্ক রয়েছে (9; 12; −20)

একটি কাজ. E = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), এবং M = (4; −1; 4) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার মধ্যে দূরত্ব খুঁজুন, L = ( −2;3;0)।

1. আমরা উভয় লাইনের ভেক্টর সেট করি।
2. আমরা প্রতিটি লাইন থেকে একটি করে বিন্দু নিয়ে ভেক্টর খুঁজে পাই।
3. আমরা 3টি ভেক্টরের একটি ম্যাট্রিক্স লিখি (1ম বিন্দু থেকে দুটি লাইন, 2য় থেকে একটি লাইন) এবং এর সংখ্যাসূচক নির্ণায়ক খুঁজে বের করি।
4. আমরা প্রথম দুটি ভেক্টরের ম্যাট্রিক্স সেট করেছি (ধাপে 1)। আমরা প্রথম লাইনটি x, y, z হিসাবে সেট করেছি।
5. আমরা যখন বিন্দু 3 মডিউল থেকে প্রাপ্ত মানকে বিন্দু 4 এর বর্গের সমষ্টির বর্গমূল দিয়ে ভাগ করি তখন আমরা দূরত্ব পাই।

আসুন সংখ্যার দিকে এগিয়ে যাই।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকে ত্রিমাত্রিক স্থানে স্থির করা যাক অক্সিজ, প্রদত্ত বিন্দু, লাইন কএবং বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজে বের করতে হবে কিন্তুসোজা ক.

আমরা মহাকাশে একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব গণনা করার দুটি উপায় দেখাব। প্রথম ক্ষেত্রে, একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজে বের করা এম 1 সোজা কএকটি বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজতে নেমে আসে এম 1 যথাযথ এইচ 1 , কোথায় এইচ 1 - লম্বের ভিত্তি বিন্দু থেকে নেমে গেছে এম 1 সরাসরি ক. দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলের দূরত্ব একটি সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা হিসাবে পাওয়া যাবে।

চল শুরু করা যাক.

মহাশূন্যে একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব খুঁজে বের করার প্রথম উপায়।

যেহেতু, সংজ্ঞা অনুসারে, একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব এম 1 সোজা কলম্বের দৈর্ঘ্য এম 1 এইচ 1 , তারপর, বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করে এইচ 1 , আমরা বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হিসাবে কাঙ্ক্ষিত দূরত্ব গণনা করতে পারি এবং সূত্র অনুযায়ী।

সুতরাং, বিন্দু থেকে নির্মিত লম্বের ভিত্তির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পেতে সমস্যাটি হ্রাস পেয়েছে এম 1 একটি সরল রেখায় ক. এটা করা যথেষ্ট সহজ: ডট এইচ 1 লাইনের ছেদ বিন্দু কএকটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বিমানের সাথে এম 1 রেখার লম্ব ক.

অতএব, একটি অ্যালগরিদম যা আপনাকে একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করতে দেয় সোজাক স্থান, হল:

দ্বিতীয় পদ্ধতি, যা আপনাকে স্থানের একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব খুঁজে পেতে দেয়।

যেহেতু সমস্যা অবস্থায় আমাদের একটি সরল রেখা দেওয়া হয় ক, তাহলে আমরা এর দিক ভেক্টর নির্ধারণ করতে পারি এবং কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক এম 3 একটি সরল রেখায় শুয়ে আছে ক. তারপর, পয়েন্টের স্থানাঙ্ক অনুযায়ী এবং আমরা একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক গণনা করতে পারি:

ভেক্টর সরাইয়া রাখুন এবং বিন্দু থেকে এম 3 এবং তাদের উপর একটি সমান্তরালগ্রাম তৈরি করুন। এই সমান্তরালগ্রামে একটি উচ্চতা আঁকুন এম 1 এইচ 1 .

স্পষ্টতই উচ্চতা এম 1 এইচ 1 নির্মিত সমান্তরালগ্রাম বিন্দু থেকে পছন্দসই দূরত্বের সমান এম 1 সোজা ক. চল খুঁজি .

একদিকে, সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল (আমরা এটিকে বোঝাই এস) ভেক্টরের ভেক্টর গুণফলের মাধ্যমে পাওয়া যাবে এবং সূত্র অনুযায়ী . অন্যদিকে, একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল তার পাশের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার গুণফলের সমান, অর্থাৎ, , কোথায় - ভেক্টর দৈর্ঘ্য , বিবেচনাধীন সমান্তরালগ্রামের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান। অতএব, প্রদত্ত বিন্দু থেকে দূরত্ব এম 1 একটি প্রদত্ত লাইনে কসমতা থেকে পাওয়া যাবে কিভাবে .

তাই, একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজে বের করতে সোজাক মহাকাশে প্রয়োজন

মহাকাশে একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধান করা।

এর একটি উদাহরণ সমাধান বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ।

একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজুন সোজা .

সমাধান।

প্রথম উপায়.

বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলের সমীকরণটি লিখি এম 1 একটি প্রদত্ত রেখার লম্ব:

একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজুন এইচ 1 - সমতল এবং প্রদত্ত লাইনের ছেদ বিন্দু। এটি করার জন্য, আমরা সরলরেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ থেকে দুটি ছেদকারী সমতলের সমীকরণে রূপান্তর সম্পাদন করি।

এর পরে আমরা রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করি ক্রেমারের পদ্ধতি:

এইভাবে, .

বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হিসাবে বিন্দু থেকে লাইন পর্যন্ত প্রয়োজনীয় দূরত্ব গণনা করা অবশেষ এবং : .

দ্বিতীয় উপায়।

সরলরেখার প্রামাণিক সমীকরণে ভগ্নাংশের হরগুলির সংখ্যাগুলি এই সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্ক, অর্থাৎ, - দিক ভেক্টর সোজা . এর দৈর্ঘ্য গণনা করা যাক: .

স্পষ্টতই সরলরেখা একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় , তারপর বিন্দুতে উৎপত্তি সহ ভেক্টর এবং একটি বিন্দুতে শেষ এখানে . ভেক্টরের ক্রস গুণফল নির্ণয় কর এবং :
তারপর এই ক্রস পণ্য দৈর্ঘ্য হয় .

একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সমতল পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করার জন্য সূত্রটি ব্যবহার করার জন্য এখন আমাদের কাছে সমস্ত ডেটা রয়েছে: .

উত্তর:

মহাকাশে লাইনের পারস্পরিক বিন্যাস