উপপাদ্য মেনেলাউস সংজ্ঞা। পরীক্ষায় চেভা এবং মেনেলাউসের উপপাদ্য

ক্লাস: 9

পাঠের উদ্দেশ্য:

1. শিক্ষার্থীদের জ্ঞান এবং দক্ষতাকে সাধারণীকরণ, প্রসারিত এবং পদ্ধতিগত করা; জটিল সমস্যা সমাধানে জ্ঞান কীভাবে ব্যবহার করতে হয় তা শেখাতে;
2. সমস্যা সমাধানে জ্ঞানের স্বাধীন প্রয়োগের জন্য দক্ষতার বিকাশকে উন্নীত করা;
3. শিক্ষার্থীদের যৌক্তিক চিন্তাভাবনা এবং গাণিতিক বক্তৃতা, বিশ্লেষণ, তুলনা এবং সাধারণীকরণের ক্ষমতা বিকাশ করুন;
4. শিক্ষার্থীদের আত্মবিশ্বাস, পরিশ্রমে শিক্ষিত করুন; একটি দলে কাজ করার ক্ষমতা।

পাঠের উদ্দেশ্য:

• শিক্ষাগত:মেনেলাউস এবং সেভার উপপাদ্য পুনরাবৃত্তি করুন; সমস্যা সমাধানে তাদের প্রয়োগ করুন।
• উন্নয়নশীল:একটি হাইপোথিসিস এবং দক্ষতার সাথে প্রমাণ সহ নিজের মতামত রক্ষা করতে শেখান; তাদের জ্ঞান সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগত করার ক্ষমতা পরীক্ষা করুন।
• শিক্ষাগত:বিষয়ের প্রতি আগ্রহ বাড়ান এবং আরও জটিল সমস্যা সমাধানের জন্য প্রস্তুত হন।

পাঠের ধরন:জ্ঞানের সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগতকরণের পাঠ।

সরঞ্জাম:একটি প্রদত্ত বিষয়ে একটি পাঠে সম্মিলিত কাজের জন্য কার্ড, স্বাধীন কাজের জন্য পৃথক কার্ড, একটি কম্পিউটার, একটি মাল্টিমিডিয়া প্রজেক্টর, একটি স্ক্রিন।

ক্লাস চলাকালীন

আমি মঞ্চ। সাংগঠনিক মুহূর্ত (1 মিনিট)

শিক্ষক পাঠের বিষয় এবং উদ্দেশ্য ব্যাখ্যা করেন।

II পর্যায়। মৌলিক জ্ঞান এবং দক্ষতার বাস্তবায়ন (10 মিনিট)

শিক্ষক:পাঠে, আমরা সফলভাবে সমস্যা সমাধানে এগিয়ে যাওয়ার জন্য মেনেলাউস এবং সেভার উপপাদ্যগুলি স্মরণ করি। আসুন আপনার সাথে পর্দার দিকে তাকাই। এই ছবিটি কি উপপাদ্য? (মেনেলাউসের উপপাদ্য)। তত্ত্বটি স্পষ্টভাবে বলার চেষ্টা করুন।

ছবি 1

ত্রিভুজ ABC-এর BC পাশে বিন্দু A 1 থাকে, বিন্দু C 1 AB পাশে থাকে, বিন্দু B 1 পাশের AC এর বিস্তৃতিতে C বিন্দুর বাইরে থাকে। বিন্দু A 1, B 1 এবং C 1 একই সরলরেখায় থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি সমতা

শিক্ষক:চলুন একসঙ্গে পরবর্তী ছবি দেখে নেওয়া যাক। এই চিত্রের জন্য একটি উপপাদ্য তৈরি করুন।

চিত্র ২

রেখা AD দুটি বাহুকে ছেদ করে এবং BMC ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর প্রসারণ।

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

রেখা MB দুটি বাহুকে ছেদ করে এবং ত্রিভুজ ADC-এর তৃতীয় বাহুর প্রসারণ।

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

শিক্ষক:ছবিটি কোন উপপাদ্যের সাথে মিলে যায়? (Ceva এর উপপাদ্য)। একটি উপপাদ্য তৈরি করুন।

চিত্র 3

ধরা যাক ত্রিভুজের ABC বিন্দু A 1 পাশে BC, বিন্দু B 1 পাশে AC, বিন্দু C 1 AB পাশে। সেগমেন্ট AA 1, BB 1 এবং CC 1 এক বিন্দুতে ছেদ করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি সমতা হয়

তৃতীয় পর্যায়। সমস্যা সমাধান. (২২ মিনিট)

ক্লাসটি 3 টি দলে বিভক্ত, প্রত্যেকে দুটি ভিন্ন টাস্ক সহ একটি কার্ড পায়। সমাধানের জন্য সময় দেওয়া হয়, তারপর স্ক্রিন প্রদর্শিত হয়<Рисунки 4-9>. কাজের জন্য প্রস্তুত অঙ্কন অনুসারে, দলগুলির প্রতিনিধিরা তাদের সমাধানটি ঘুরেফিরে ব্যাখ্যা করে। প্রতিটি ব্যাখ্যার পরে আলোচনা, প্রশ্নের উত্তর এবং স্ক্রিনে সমাধানের সঠিকতা যাচাই করা হয়। দলের সকল সদস্য আলোচনায় অংশ নেয়। দল যত বেশি সক্রিয়, সংক্ষিপ্তকরণের সময় এটিকে উচ্চতর মূল্যায়ন করা হয়।

কার্ড 1।

1. ত্রিভুজ ABC-এ পাশে BC বিন্দু N নেওয়া হয় যাতে NC = 3BN হয়; সাইড AC এর এক্সটেনশনে, বিন্দু M কে বিন্দু A হিসাবে নেওয়া হয় যাতে MA = AC হয়। রেখা MN পার্শ্ব AB কে F বিন্দুতে ছেদ করে। অনুপাত নির্ণয় করুন

2. প্রমাণ করুন যে একটি ত্রিভুজের মধ্যক এক বিন্দুতে ছেদ করে।

সমাধান 1

চিত্র 4

সমস্যার শর্ত অনুসারে, MA = AC, NC = 3BN। ধরা যাক MA = AC =b, BN = k, NC = 3k। রেখা MN ABC ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং তৃতীয়টির প্রসারণকে ছেদ করে।

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

উত্তর:

প্রমাণ 2

চিত্র 5

ধরা যাক AM 1, BM 2, CM 3 ত্রিভুজ ABC-এর মধ্যক। প্রমাণ করার জন্য যে এই অংশগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে, এটি দেখানোই যথেষ্ট

তারপর, (বিপরীত) Ceva উপপাদ্য দ্বারা, অংশগুলি AM 1, BM 2 এবং CM 3 এক বিন্দুতে ছেদ করে।

আমাদের আছে:

সুতরাং, এটি প্রমাণিত হয় যে একটি ত্রিভুজের মধ্যক এক বিন্দুতে ছেদ করে।

কার্ড 2।

1. ত্রিভুজ PQR-এর পাশে PQ-এ বিন্দু N নেওয়া হয়েছে, এবং বিন্দু L-কে PR-এর পাশে নেওয়া হয়েছে এবং NQ = LR। QL এবং NR অংশগুলির ছেদ বিন্দু QL কে m:n অনুপাতে ভাগ করে, Q বিন্দু থেকে গণনা করে। খুঁজুন

2. প্রমাণ করুন যে একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডকগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

সমাধান 1

চিত্র 6

অনুমান দ্বারা NQ = LR, ধরুন NA = LR =a, QF = km, LF = kn। রেখা NR ত্রিভুজ PQL এর দুটি বাহু এবং তৃতীয়টির বর্ধিতাংশকে ছেদ করে।

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

উত্তর:

প্রমাণ 2

চিত্র 7

আমাদের সেটা দেখান

তারপর, (বিপরীত) Ceva উপপাদ্য দ্বারা, AL 1 , BL 2 , CL 3 এক বিন্দুতে ছেদ করে। একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডকের সম্পত্তি অনুসারে

প্রাপ্ত সমতাকে মেয়াদ দ্বারা গুণ করে, আমরা পাই

একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডকগুলির জন্য, Ceva এর সমতা সন্তুষ্ট, তাই, তারা এক বিন্দুতে ছেদ করে।

কার্ড 3।

1. ত্রিভুজে ABC AD হল মধ্যক, বিন্দু O হল মধ্যকের মধ্যবিন্দু। রেখা BO পার্শ্ব AC কে K বিন্দুতে ছেদ করে। বিন্দু A থেকে গণনা করে K বিন্দু AC কে কোন অনুপাতে ভাগ করে?

2. প্রমাণ করুন যে যদি একটি বৃত্ত একটি ত্রিভুজে খোদাই করা হয়, তাহলে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলিকে বিপরীত বাহুর যোগাযোগের বিন্দুগুলির সাথে সংযোগকারী অংশগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

সমাধান 1

চিত্র 8

ধরা যাক BD = DC = a, AO = OD = m। লাইন VC দুটি বাহুকে ছেদ করে এবং ত্রিভুজ ADC-এর তৃতীয় বাহুর প্রসারণ।

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

উত্তর:

প্রমাণ 2

চিত্র 9

ধরুন A 1, B 1 এবং C 1 হল ত্রিভুজ ABC-এর খোদাই করা বৃত্তের স্পর্শক বিন্দু। প্রমাণ করার জন্য যে AA 1, BB 1 এবং CC 1 অংশগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে, এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে Ceva এর সমতা ধারণ করে:

একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে টানা স্পর্শকগুলির বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা স্বরলিপি প্রবর্তন করি: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z।

Ceva এর সমতা ধারণ করে, যার অর্থ হল ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডকগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

IV পর্যায়। সমস্যা সমাধান (স্বাধীন কাজ) (8 মিনিট)

শিক্ষক: দলের কাজ শেষ এবং এখন আমরা 2টি বিকল্পের জন্য পৃথক কার্ডে স্বাধীন কাজ শুরু করব।

শিক্ষার্থীদের স্বাধীন কাজের জন্য পাঠের জন্য উপকরণ

বিকল্প 1.একটি ত্রিভুজ ABC-তে, যার ক্ষেত্রফল হল 6, AB পাশে, একটি বিন্দু K নেওয়া হয়, এই দিকটিকে AK:BK = 2:3 অনুপাতে ভাগ করে এবং পাশে AC - বিন্দু L, AC-কে ভাগ করে অনুপাত AL:LC = 5:3। রেখা СК এবং BL এর ছেদকের বিন্দু Q দূরত্বে রেখা AB থেকে সরানো হয়েছে। AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (উত্তর: 4।)

বিকল্প 2।ত্রিভুজ ABC-তে AC এর পাশে K বিন্দু নেওয়া হয়েছে। AK = 1, KS = 3। বিন্দু L নেওয়া হয়েছে AB-এর পাশে। AL:LВ = 2:3, Q হল BK এবং CL রেখার ছেদ বিন্দু। ত্রিভুজ ABC এর উচ্চতার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন, শীর্ষবিন্দু B থেকে নিচু। (উত্তর: 1.5।)

কাজ পর্যালোচনার জন্য শিক্ষকের কাছে জমা দেওয়া হয়।

ভি মঞ্চ। পাঠের সারাংশ (2 মিনিট)

ভুল বিশ্লেষণ করা হয়, মূল উত্তর এবং মন্তব্য উল্লেখ করা হয়. প্রতিটি দলের কাজের ফলাফল সংক্ষিপ্ত করা হয় এবং মার্ক দেওয়া হয়।

ষষ্ঠ পর্যায়। বাড়ির কাজ (1 মিনিট)

হোমওয়ার্ক টাস্ক নং 11, 12 পৃষ্ঠা 289-290, নং 10 পৃ. 301 নিয়ে গঠিত।

শিক্ষকের শেষ কথা (1 মিনিট)।

আজ আপনি পাশ থেকে একে অপরের গাণিতিক বক্তৃতা শুনেছেন এবং আপনার ক্ষমতা মূল্যায়ন করেছেন। ভবিষ্যতে, আমরা বিষয়টিকে আরও ভালভাবে বোঝার জন্য এই জাতীয় আলোচনাগুলি ব্যবহার করব। পাঠের আর্গুমেন্ট ছিল সত্যের সাথে বন্ধুত্ব এবং তত্ত্বের সাথে অনুশীলন। সবাইকে ধন্যবাদ.

সাহিত্য:

1. Tkachuk V.V. একজন আবেদনকারীর জন্য গণিত। – এম.: MTsNMO, 2005।

— মেনেলাউস উপপাদ্য এবং ওষুধের মধ্যে কী মিল রয়েছে?
তাদের সম্পর্কে সবাই জানে, কিন্তু কেউ তাদের সম্পর্কে কথা বলে না।
একজন ছাত্রের সাথে সাধারণ কথোপকথন

এটি একটি দুর্দান্ত উপপাদ্য যা আপনাকে এই মুহূর্তে সাহায্য করবে যখন মনে হয় যে কিছুই সাহায্য করবে না। পাঠে, আমরা উপপাদ্যটি নিজেই প্রণয়ন করব, এর ব্যবহারের জন্য বিভিন্ন বিকল্প বিবেচনা করব এবং একটি মিষ্টি হিসাবে, একটি কঠোর হোমওয়ার্ক আপনার জন্য অপেক্ষা করছে। যাওয়া!

শুরুর জন্য, শব্দ. সম্ভবত আমি উপপাদ্যটির সবচেয়ে "সুন্দর" সংস্করণ দেব না, তবে সবচেয়ে বোধগম্য এবং সুবিধাজনক।

মেনেলাউসের উপপাদ্য। একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ $ABC$ এবং কিছু লাইন $l$ বিবেচনা করুন যা আমাদের ত্রিভুজের দুটি বাহুকে অভ্যন্তরীণভাবে ছেদ করে এবং ধারাবাহিকতার এক পাশে। আসুন $M$, $N$ এবং $K$ এর ছেদ বিন্দু বোঝাই:

ত্রিভুজ $ABC$ এবং সেকেন্ট $l$

তারপর নিম্নলিখিত সম্পর্ক সত্য:

\[\frac(AM)(MB)\cdot \frac(BN)(NC)\cdot \frac(CK)(KA)=1\]

আমি নোট করতে চাই: এই অশুভ সূত্রে অক্ষরগুলির অবস্থান ক্র্যাম করবেন না! এখন আমি আপনাকে একটি অ্যালগরিদম বলব যার মাধ্যমে আপনি সর্বদা আক্ষরিকভাবে উড়তে থাকা তিনটি ভগ্নাংশ পুনরুদ্ধার করতে পারেন। এমনকি পরীক্ষার সময়ও মানসিক চাপে। এমনকি আপনি যদি সকাল 3 টায় জ্যামিতিতে বসে থাকেন এবং কিছুই বুঝতে না পারেন। :)

স্কিমটি সহজ:

1. আমরা একটি ত্রিভুজ এবং একটি সেক্যান্ট আঁকছি। যেমন উপপাদ্যে দেখানো হয়েছে। আমরা কিছু অক্ষর দিয়ে শীর্ষবিন্দু এবং বিন্দু নির্ধারণ করি। এটি একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ $ABC$ এবং $M$, $N$, $K$, বা অন্য কিছু বিন্দু সহ একটি সরল রেখা হতে পারে - এটি বিন্দু নয়।
2. আমরা ত্রিভুজের যেকোন শীর্ষে একটি কলম (পেন্সিল, মার্কার, কুইল কলম) রাখি এবং এই ত্রিভুজের দিকগুলিকে বাইপাস করা শুরু করি লাইনের সাথে ছেদ বিন্দুতে বাধ্যতামূলক পদ্ধতির সাথে. উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা প্রথমে বিন্দু $A$ থেকে $B$ পয়েন্টে যাই, তাহলে আমরা সেগমেন্ট পাব: $AM$ এবং $MB$, তারপর $BN$ এবং $NC$, এবং তারপরে (মনোযোগ!) $CK$ এবং $KA$। যেহেতু $K$ বিন্দুটি $AC$ বাহুর এক্সটেনশনে অবস্থিত, তাই যখন $C$ থেকে $A$ এ সরানো হবে, আপনাকে সাময়িকভাবে ত্রিভুজটি ছেড়ে যেতে হবে।
3. এবং এখন আমরা বাইপাস চলাকালীন যে ক্রমানুসারে সংলগ্ন অংশগুলিকে একে অপরের সাথে ভাগ করেছি: $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ - আমরা তিনটি ভগ্নাংশ পাই, এর গুণফল যা আমাদের ঐক্য দেবে।

অঙ্কনে এটি এই মত দেখাবে:

আর মাত্র কয়েকটা মন্তব্য। আরও স্পষ্টভাবে, এগুলি এমনকি মন্তব্যও নয়, তবে সাধারণ প্রশ্নের উত্তর:

• $l$ রেখাটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে গেলে কী হবে? উত্তরঃ কিছুই না। এই ক্ষেত্রে মেনেলাউসের উপপাদ্য কাজ করে না।
• আপনি যদি শুরু করতে বা অন্য পথে যেতে অন্য পিক বেছে নেন তবে কী হবে? উত্তর: এটি একই হবে। এটা শুধু ভগ্নাংশের ক্রম পরিবর্তন করে।

আমি মনে করি আমরা সঠিক শব্দটি পেয়েছি। চলুন দেখা যাক কিভাবে এই গেমটি জটিল জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানে ব্যবহার করা হয়।

কেন এই সব প্রয়োজন?

সতর্কতা। প্ল্যানমেট্রিক সমস্যা সমাধানের জন্য মেনেলাউস উপপাদ্যের অত্যধিক ব্যবহার আপনার মানসিকতার অপূরণীয় ক্ষতির কারণ হতে পারে, যেহেতু এই উপপাদ্যটি গণনাকে উল্লেখযোগ্যভাবে গতি দেয় এবং আপনাকে স্কুল জ্যামিতি কোর্সের অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ তথ্য মনে রাখতে সাহায্য করে।

প্রমাণ

আমি এটা প্রমাণ করব না। :)

ঠিক আছে, আমাকে প্রমাণ করতে দিন।

এখন $CT$ বিভাগের জন্য দুটি প্রাপ্ত মান তুলনা করা বাকি আছে:

\[\frac(AM\cdot BN\cdot CK)(BM\cdot CN\cdot AK)=1;\]

\[\frac(AM)(BM)\cdot \frac(BN)(CN)\cdot \frac(CK)(AK)=1;\]

ঠিক আছে এখন সব শেষ। এটি শুধুমাত্র এই সূত্রটিকে "আঁচড়াতে" রয়ে গেছে, সঠিকভাবে অংশগুলির ভিতরে অক্ষরগুলি স্থাপন করে - এবং সূত্রটি প্রস্তুত। :)

এ.ভি. শেভকিন

FMS № 2007

ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় সেভা এবং মেনেলাউসের উপপাদ্য

একটি বিস্তারিত নিবন্ধ "সেভা এবং মেনেলাউসের উপপাদ্যগুলির চারপাশে" আমাদের ওয়েবসাইটে নিবন্ধ বিভাগে প্রকাশিত হয়েছে। এটি গণিতের শিক্ষক এবং উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের উদ্দেশ্যে বলা হয়েছে যারা গণিতের ভাল জ্ঞান থাকতে অনুপ্রাণিত। আপনি যদি সমস্যাটি আরও বিশদে বুঝতে চান তবে আপনি এটিতে ফিরে যেতে পারেন। এই নোটে, আমরা উল্লিখিত নিবন্ধ থেকে সংক্ষিপ্ত তথ্য প্রদান করব এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা-2016-এর প্রস্তুতির জন্য সংগ্রহ থেকে সমস্যার সমাধানগুলি বিশ্লেষণ করব।

Ceva এর উপপাদ্য

একটি ত্রিভুজ দেওয়া যাক এবিসিএবং তার পাশে এবি, BCএবং এসিপয়েন্ট চিহ্নিত করা হয় গ 1 , ক 1 এবং খ 1 যথাক্রমে (চিত্র 1)।

ক) যদি সেগমেন্ট হয় এএ 1 , বিবি 1 এবং সিসি 1 এক বিন্দুতে ছেদ, তারপর

খ) যদি সমতা (1) সত্য হয়, তাহলে অংশগুলি এএ 1 , বিবি 1 এবং সিসি 1টি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

চিত্র 1 কেস দেখায় যখন বিভাগগুলি এএ 1 , বিবি 1 এবং সিসি 1টি ত্রিভুজের ভিতরে একটি বিন্দুতে ছেদ করে। এটি তথাকথিত অভ্যন্তরীণ পয়েন্ট কেস। Ceva এর উপপাদ্যটি একটি বাহ্যিক বিন্দুর ক্ষেত্রেও বৈধ, যখন একটি বিন্দু কিন্তু 1 , খ 1 বা থেকে 1টি ত্রিভুজের বাহুর অন্তর্গত, এবং অন্য দুটি ত্রিভুজের বাহুর সম্প্রসারণের অন্তর্গত। এই ক্ষেত্রে, অংশগুলির ছেদ বিন্দু এএ 1 , বিবি 1 এবং সিসি 1টি ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত (চিত্র 2)।

চেভা এর সমীকরণ কিভাবে মনে রাখবেন?

আসুন আমরা সমতা মুখস্থ করার পদ্ধতিতে মনোযোগ দেই (1)। প্রতিটি সম্পর্কের ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং সম্পর্কগুলি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলিকে বাইপাস করার দিকে লেখা হয় এবিসি, বিন্দু থেকে শুরু ক. বিন্দু থেকে কবিন্দুতে যান খ, আমরা একটি বিন্দু পূরণ থেকে 1, ভগ্নাংশটি লিখুন
. বিন্দু থেকে আরো ATবিন্দুতে যান থেকে, আমরা একটি বিন্দু পূরণ কিন্তু 1, ভগ্নাংশটি লিখুন
. অবশেষে, বিন্দু থেকে থেকেবিন্দুতে যান কিন্তু, আমরা একটি বিন্দু পূরণ AT 1, ভগ্নাংশটি লিখুন
. একটি বাহ্যিক বিন্দুর ক্ষেত্রে, ভগ্নাংশ লেখার ক্রম সংরক্ষিত থাকে, যদিও সেগমেন্টের দুটি "বিভাগ বিন্দু" তাদের সেগমেন্টের বাইরে থাকে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, আমরা বলি যে বিন্দুটি অংশটিকে বাহ্যিকভাবে ভাগ করে।

উল্লেখ্য যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুকে ত্রিভুজের বিপরীত বাহু বিশিষ্ট রেখার যেকোনো বিন্দুর সাথে সংযোগকারী যে কোনো রেখাখণ্ডকে বলা হয় ceviana.

আসুন আমরা একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দুর ক্ষেত্রে Ceva এর উপপাদ্য ক) দাবী প্রমাণের বিভিন্ন উপায় বিবেচনা করি। Ceva-এর উপপাদ্য প্রমাণ করতে, একজনকে অবশ্যই বিবৃতি প্রমাণ করতে হবে ক) নীচের প্রস্তাবিত যে কোনো পদ্ধতি দ্বারা, এবং বিবৃতিও প্রমাণ করতে হবে। দাবীর প্রমাণ খ) দাবী প্রমাণের প্রথম পদ্ধতির পরে দেওয়া হয় ক)। একটি বাহ্যিক বিন্দুর ক্ষেত্রে Ceva এর উপপাদ্যের প্রমাণগুলি একইভাবে সঞ্চালিত হয়।

আনুপাতিক অংশে উপপাদ্য ব্যবহার করে সেভার উপপাদ্য ক) দাবীর প্রমাণ

তিন সেভিয়ান যাক কক 1 , খখ 1 এবং গগ 1টি একটি বিন্দুতে ছেদ করে জেডত্রিভুজের ভিতরে এবিসি.

প্রমাণের ধারণাটি হল সমতা (1) থেকে অংশগুলির অনুপাতকে একই সরলরেখায় থাকা অংশগুলির অনুপাতের সাথে প্রতিস্থাপন করা।

ডট মাধ্যমে ATসিভিয়ানার সমান্তরাল একটি রেখা আঁকুন এসএসএক . সোজা এএ 1 বিন্দুতে নির্মিত রেখাটিকে ছেদ করে এম, এবং লাইনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে গএবং সমান্তরাল এএ 1, - বিন্দুতে টি. বিন্দু মাধ্যমে কিন্তুএবং থেকেসিভিয়ানের সমান্তরাল সরল রেখা আঁকুন বিবিএক . তারা লাইন অতিক্রম করবে ভিএমপয়েন্ট এ এনএবং আরযথাক্রমে (চিত্র 3)।

পৃ আমাদের কাছে আনুপাতিক অংশের উপপাদ্য সম্পর্কে:

,
এবং
.

তারপর সমতা

.

সমান্তরালগ্রামে জেডসিটিএমএবং জেডসিআরবিসেগমেন্ট টিএম, সিজেডএবং বি.আরএকটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুর সমান। অতএব,
এবং সমতা সত্য

.

দাবী প্রমাণ করতে খ) আমরা নিম্নলিখিত দাবী ব্যবহার করি। ভাত। 3

লেম্মা ঘ.যদি পয়েন্ট থেকে 1 এবং থেকে 2 কাটা ভাগ এবিঅভ্যন্তরীণ (বা বাহ্যিক) চিত্র একই বিষয়ে, একই বিন্দু থেকে গণনা, তারপর এই পয়েন্টগুলি মিলে যায়।

আমাদের মামলার জন্য লেমা প্রমাণ করা যাক যখন পয়েন্ট থেকে 1 এবং থেকে 2 কাটা ভাগ এবিঅভ্যন্তরীণভাবে একই সম্মানে:
.

প্রমাণ।সমতা থেকে
সমতা দ্বারা অনুসরণ
এবং
. তাদের শেষটি শুধুমাত্র শর্তের অধীনে পূরণ করা হয় থেকে 1 খএবং থেকে 2 খসমান, অর্থাৎ পয়েন্ট প্রদান করা হয় থেকে 1 এবং থেকে 2 ম্যাচ।

মামলার জন্য লেমার প্রমাণ যখন পয়েন্ট থেকে 1 এবং থেকে 2 কাটা ভাগ এবিবাহ্যিকভাবে একটি অনুরূপ ভাবে বাহিত.

দাবীর প্রমাণ খ) Ceva এর উপপাদ্য

এখন সমতা (1) সত্য হোক। সেগমেন্টগুলো প্রমাণ করা যাক এএ 1 , বিবি 1 এবং সিসি 1টি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

সেভিয়ানরা যাক এএ 1 এবং বিবি 1টি একটি বিন্দুতে ছেদ করে জেড, এই বিন্দু দিয়ে একটি অংশ আঁকুন সিসি 2 (থেকে 2 সেগমেন্টের উপর মিথ্যা এবি) তারপর, দাবীর উপর ভিত্তি করে a), আমরা সঠিক সমতা পাই

. (2)

এবং সমতা তুলনা (1) এবং (2), আমরা যে উপসংহারে
, অর্থাৎ পয়েন্ট থেকে 1 এবং থেকে 2 কাটা ভাগ এবিএকই অনুপাতে, একই পয়েন্ট থেকে গণনা। Lemma 1 নির্দেশ করে যে পয়েন্ট থেকে 1 এবং থেকে 2 ম্যাচ। এর মানে হলো সেগমেন্টগুলো এএ 1 , বিবি 1 এবং সিসি 1 এক বিন্দুতে ছেদ, যা প্রমাণ করা ছিল.

এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে সমতা (1) লেখার পদ্ধতিটি কোন বিন্দু এবং কোন দিকে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলিকে বাইপাস করেছে তার উপর নির্ভর করে না।

অনুশীলনী 1.সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর কিন্তুএনচিত্র 4-এ, যা অন্যান্য সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য দেখায়।

উত্তর. 8.

টাস্ক 2। cevians এএম, বিএন, সি.কেত্রিভুজের ভিতরে এক বিন্দুতে ছেদ করুন এবিসি. একটি মনোভাব খুঁজুন
, যদি
,
. ভাত। চার

উত্তর.
.

পৃ আমরা নিবন্ধ থেকে Ceva এর উপপাদ্য প্রমাণ উপস্থাপন. প্রমাণের ধারণাটি হল সমতা (1) থেকে অংশগুলির অনুপাতকে সমান্তরাল রেখায় থাকা অংশগুলির অনুপাতের সাথে প্রতিস্থাপন করা।

সোজা যাক কক 1 , খখ 1 , গগ 1টি একটি বিন্দুতে ছেদ করে ওত্রিভুজের ভিতরে এবিসি(চিত্র 5)। উপরের মাধ্যমে থেকেত্রিভুজ এবিসিসমান্তরাল একটি রেখা আঁকুন এবি, এবং লাইনের সাথে এর ছেদ বিন্দু কক 1 , খখ 1টি যথাক্রমে বোঝায় ক 2 , খ 2 .

দুই জোড়া ত্রিভুজের মিল থেকে সিবি 2 খ 1 এবং এবিবি 1 , বিএএ 1 এবং সিএ 2 ক 1, ডুমুর। 5

আমাদের সমতা আছে

,
. (3)

ত্রিভুজের মিল থেকে BC 1 ওএবং খ 2 CO, কথেকে 1 ওএবং ক 2 COআমাদের সমতা আছে
, যা থেকে এটি অনুসরণ করে

. (4)

পৃ সমতা (3) এবং (4) গুণ করে, আমরা সমতা (1) পাই।

সিভা-এর উপপাদ্য ক) প্রমাণিত।

একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দুর জন্য ক্ষেত্রগুলির সাহায্যে Ceva এর উপপাদ্যের ক) দাবীর প্রমাণগুলি বিবেচনা করুন। এটি A.G দ্বারা বইয়ে বলা হয়েছে। Myakishev এবং আমরা অ্যাসাইনমেন্ট আকারে প্রণয়ন করা হবে যে বিবৃতি উপর ভিত্তি করে 3 এবং 4 .

টাস্ক 3।দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু এবং বেসগুলি একই রেখায় অবস্থিত এই ঘাঁটির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের সমান। এই বক্তব্য প্রমাণ করুন।

টাস্ক 4।প্রমাণ করুন যদি
, তারপর
এবং
. ভাত। 6

সেগমেন্ট যাক এএ 1 , বিবি 1 এবং সিসি 1টি একটি বিন্দুতে ছেদ করে জেড(চিত্র 6), তারপর

,
. (5)

এবং সমতা থেকে (5) এবং টাস্কের দ্বিতীয় বিবৃতি 4 যে অনুসরণ করে
বা
. একইভাবে, আমরা যে পেতে
এবং
. শেষ তিনটি সমতা গুণ করলে আমরা পাই:

,

অর্থাৎ, সমতা (1) সত্য, যা প্রমাণিত হবে।

সিভা-এর উপপাদ্য ক) প্রমাণিত।

টাস্ক 15।সেভিয়ানদের ত্রিভুজের ভিতরে এক বিন্দুতে ছেদ করতে দিন এবং এটিকে 6টি ত্রিভুজে বিভক্ত করুন, যার ক্ষেত্রগুলি সমান এস 1 , এস 2 , এস 3 , এস 4 , এস 5 , এস 6 (চিত্র 7)। প্রমাণ কর যে . ভাত। 7

টাস্ক 6।এলাকা খুঁজুন এসত্রিভুজ সিএনজেড(অন্যান্য ত্রিভুজের ক্ষেত্রগুলি চিত্র 8 এ দেখানো হয়েছে)।

উত্তর. 15.

টাস্ক 7।এলাকা খুঁজুন এসত্রিভুজ সিএনওযদি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কিন্তুনাহল 10 এবং
,
(চিত্র 9)।

উত্তর. 30.

টাস্ক 8।এলাকা খুঁজুন এসত্রিভুজ সিএনওযদি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কিন্তুBC 88 এর সমান এবং ,
(চিত্র 9)।

আর সমাধানযেহেতু, আমরা বোঝাই
,
. কারণ , তারপর আমরা নির্দেশ করি
,
. এটা Ceva এর তত্ত্ব থেকে অনুসরণ করে যে
, এবং তারপর
. যদি একটি
, তারপর
(চিত্র 10)। আমাদের তিনটি অজানা আছে ( এক্স, y এবং এস), তাই খুঁজে পেতে এসতিনটি সমীকরণ করা যাক।

কারণ
, তারপর
= 88. যেহেতু
, তারপর
, কোথায়
. কারণ
, তারপর
.

তাই,
, কোথায়
. ভাত। দশ

টাস্ক 9. একটি ত্রিভুজে এবিসিপয়েন্ট কেএবং এলযথাক্রমে দলগুলোর অন্তর্গত এবি এবং খগ.
,
. পৃ এ.এলএবং সি.কে. একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পিবিসিসমান 1. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবিসি.

উত্তর. 1,75.

টি মেনেলাউসের উপপাদ্য

একটি ত্রিভুজ দেওয়া যাক এবিসিএবং তার পাশে এসিএবং সিবিপয়েন্ট চিহ্নিত করা হয় খ 1 এবং ক 1 যথাক্রমে, এবং পক্ষের ধারাবাহিকতায় এবিচিহ্নিত বিন্দু গ 1 (চিত্র 11)।

ক) পয়েন্ট হলে কিন্তু 1 , খ 1 এবং থেকে 1 একই লাইনে মিথ্যা, তারপর

. (6)

b) যদি সমতা (7) সত্য হয়, তাহলে পয়েন্ট কিন্তু 1 , খ 1 এবং থেকে 1 একই লাইনে মিথ্যা. ভাত। এগারো

কিভাবে মেনেলাউসের সমতা মনে রাখবেন?

সমতা (6) মনে রাখার কৌশলটি সমতা (1) এর মতোই। প্রতিটি সম্পর্কের ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং সম্পর্কগুলি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলিকে বাইপাস করার দিকে লেখা হয় এবিসি- শীর্ষবিন্দু থেকে শীর্ষে, বিভাজন পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়া (অভ্যন্তরীণ বা বাহ্যিক)।

টাস্ক 10।প্রমাণ করুন যে ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু থেকে যেকোনো দিকে সমতা (6) লিখলে একই ফলাফল পাওয়া যায়।

মেনেলাউসের উপপাদ্য প্রমাণ করতে, একজনকে অবশ্যই বিবৃতি প্রমাণ করতে হবে ক) নীচের প্রস্তাবিত যে কোনও পদ্ধতি দ্বারা, এবং বিবৃতিকেও প্রমাণ করতে হবে। দাবীর প্রমাণ খ) দাবী প্রমাণের প্রথম পদ্ধতির পরে দেওয়া হয় ক)।

দাবীর প্রমাণ ক) আনুপাতিক অংশে উপপাদ্য ব্যবহার করে

আমিউপায়ক) প্রমাণের ধারণাটি হল একটি সরলরেখায় থাকা অংশগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের দ্বারা সমতার (6) দৈর্ঘ্যের অনুপাতকে প্রতিস্থাপন করা।

পয়েন্ট যাক কিন্তু 1 , খ 1 এবং থেকে 1 একই লাইনে মিথ্যা. ডট মাধ্যমে গআসুন একটি সরল রেখা আঁকুন l, লাইনের সমান্তরাল কিন্তু 1 খ 1, এটি লাইনটিকে ছেদ করে এবিবিন্দুতে এম(চিত্র 12)।

আর
হয় 12

আনুপাতিক অংশের উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের আছে:
এবং
.

তারপর সমতা
.

দাবীর প্রমাণ খ) মেনেলাউসের উপপাদ্য

এখন সমতা (6) সত্য হোক, আমরা সেই পয়েন্ট প্রমাণ করব কিন্তু 1 , খ 1 এবং থেকে 1 একই লাইনে মিথ্যা. সোজা যাক এবিএবং কিন্তু 1 খ 1টি একটি বিন্দুতে ছেদ করে থেকে 2 (চিত্র 13)।

যেহেতু পয়েন্ট কিন্তু 1 খ 1 এবং থেকে 2 একই লাইনে মিথ্যা, তারপর বিবৃতি দ্বারা ক) মেনেলাউস উপপাদ্যের

. (7)

সমতার তুলনা থেকে (6) এবং (7) আমাদের আছে
, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে সমতা

,
,
.

শেষ সমতা শুধুমাত্র শর্ত অধীনে সত্য
, অর্থাৎ যদি পয়েন্ট থেকে 1 এবং থেকে 2 ম্যাচ।

দাবী খ) মেনেলাউসের উপপাদ্য প্রমাণিত। ভাত। 13

দাবীর প্রমাণ ক) ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য ব্যবহার করে

প্রমাণের ধারণাটি হল সমতা (6) থেকে অংশগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাতকে সমান্তরাল রেখায় থাকা অংশগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের সাথে প্রতিস্থাপন করা।

পয়েন্ট যাক কিন্তু 1 , খ 1 এবং থেকে 1 একই লাইনে মিথ্যা. পয়েন্ট থেকে ক, খএবং গলম্ব আঁকা এএ 0 , খখ 0 এবং এসএসএই সরলরেখা থেকে 0 (চিত্র 14)।

আর
হয় চৌদ্দ

তিন জোড়া ত্রিভুজের মিল থেকে এএ 0 খ 1 এবং সিসি 0 খ 1 , সিসি 0 ক 1 এবং বিবি 0 ক 1 , গ 1 খ 0 খএবং গ 1 ক 0 ক(দুই কোণে) আমাদের সঠিক সমতা আছে

,
,
,

তাদের গুণ করে, আমরা পাই:

.

দাবি ক) মেনেলাউসের উপপাদ্য প্রমাণিত।

দাবীর প্রমাণ ক) এলাকা ব্যবহার করে

প্রমাণের ধারণাটি হল সমতা (7) থেকে অংশগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাতকে ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রগুলির অনুপাত দ্বারা প্রতিস্থাপন করা।

পয়েন্ট যাক কিন্তু 1 , খ 1 এবং থেকে 1 একই লাইনে মিথ্যা. বিন্দু সংযোগ গএবং গএক . ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রগুলি চিহ্নিত করুন এস 1 , এস 2 , এস 3 , এস 4 , এস 5 (চিত্র 15)।

তারপর সমতা

,
,
. (8)

সমতা গুন করে (8), আমরা পাই:

দাবি ক) মেনেলাউসের উপপাদ্য প্রমাণিত।

আর
হয় পনের

সেভিয়ান ছেদ বিন্দুটি ত্রিভুজের বাইরে থাকলে যেমন Ceva-এর উপপাদ্যটি বৈধ থাকে, তেমনি যদি সেক্যান্টটি ত্রিভুজের বাহুর সম্প্রসারণকে ছেদ করে তবে মেনেলাউসের উপপাদ্যটি বৈধ থাকে। এই ক্ষেত্রে, আমরা বহিরাগত বিন্দুতে ত্রিভুজের বাহুর ছেদ সম্পর্কে কথা বলতে পারি।

দাবীর প্রমাণ ক) বাহ্যিক পয়েন্টের ক্ষেত্রে

পৃ সেক্যান্টের মুখটি ত্রিভুজের বাহুগুলিকে ছেদ করে এবিসিবাহ্যিক বিন্দুতে, অর্থাৎ বাহুর এক্সটেনশনগুলিকে ছেদ করে এবি,BCএবং এসিপয়েন্ট এ গ 1 , ক 1 এবং খ 1, যথাক্রমে, এবং এই বিন্দুগুলি একই সরল রেখায় অবস্থিত (চিত্র 16)।

আনুপাতিক অংশের উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের আছে:

এবং .

তারপর সমতা

দাবি ক) মেনেলাউসের উপপাদ্য প্রমাণিত। ভাত। 16

উল্লেখ্য যে উপরের প্রমাণটি সেই ক্ষেত্রে মেনেলাউসের উপপাদ্যের প্রমাণের সাথে মিলে যায় যখন সেক্যান্টটি ত্রিভুজের দুটি বাহুকে অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে এবং একটিকে বাহ্যিক বিন্দুতে ছেদ করে।

বাহ্যিক বিন্দুর ক্ষেত্রে মেনেলাউসের উপপাদ্যের খ) দাবির প্রমাণ উপরে দেওয়া প্রমাণের অনুরূপ।

ডব্লিউ জাহান্নাম11. একটি ত্রিভুজে এবিসিপয়েন্ট কিন্তু 1 , AT 1 পাশে যথাক্রমে মিথ্যা সূর্যএবং কথেকে. পৃ- অংশগুলির ছেদ বিন্দু এএ 1 এবং বিবি 1 .
,
. একটি মনোভাব খুঁজুন
.

সমাধান।বোঝান
,
,
,
(চিত্র 17)। একটি ত্রিভুজের জন্য মেনেলাউসের উপপাদ্য দ্বারা BCAT 1 এবং secant পিএ 1 সঠিক সমতা লিখুন:

,

যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে

. ভাত। 17

উত্তর. .

ডব্লিউ জাহান্নাম12 (মস্কো স্টেট ইউনিভার্সিটি, চিঠিপত্রের প্রস্তুতিমূলক কোর্স)। একটি ত্রিভুজে এবিসি, যার ক্ষেত্রফল ৬, পাশে এবিপয়েন্ট নেওয়া প্রতি, সম্পর্ক এই দিকে বিভাজন
, এবং পাশে এসি- বিন্দু এল, বিভাজন এসিসম্পর্কে আবদ্ধ
. ডট পৃ লাইন ছেদ এসসিএবং ATএল লাইন থেকে সরানো হয়েছে এবি 1.5 দূরত্বে। পাশের দৈর্ঘ্য খুঁজুন এবি

সমাধান।পয়েন্ট থেকে আরএবং থেকেএর লম্ব বাদ দেওয়া যাক জনসংযোগএবং সেমিসরাসরি এবি. বোঝান
,
,
,
(চিত্র 18)। একটি ত্রিভুজের জন্য মেনেলাউসের উপপাদ্য দ্বারা এ.কে.সিএবং সেক্যান্ট পিএলসঠিক সমীকরণ লিখুন:
, যেখান থেকে আমরা যে পেতে
,
. ভাত। আঠার

ত্রিভুজের মিল থেকে প্রতিএমসিএবং প্রতিআরপি(দুই কোণে) আমরা সেটা পাই
, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে
.

এখন, উচ্চতার দৈর্ঘ্য জেনে পাশে টানা এবিত্রিভুজ ABS, এবং এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, আমরা পাশের দৈর্ঘ্য গণনা করি:
.

উত্তর. 4.

ডব্লিউ জাহান্নাম13. কেন্দ্র সহ তিনটি বৃত্ত কিন্তু,AT,থেকে, যার ব্যাসার্ধ এর সাথে সম্পর্কিত
, বিন্দুতে বাহ্যিকভাবে একে অপরকে স্পর্শ করুন এক্স, Y, জেডচিত্র 19-এ দেখানো হয়েছে AXএবং দ্বারাএকটি বিন্দুতে ছেদ করুন ও. কোন অনুপাতে, বিন্দু থেকে গণনা খ, লাইনের অংশ czসেগমেন্টকে ভাগ করে দ্বারা?

সমাধান।বোঝান
,
,
(চিত্র 19)। কারণ
, তারপর দাবি দ্বারা খ) Ceva এর উপপাদ্য, অংশগুলি কিন্তুএক্স, দ্বারাএবং থেকেজেডএক বিন্দুতে ছেদ করুন ও. তারপর সেগমেন্ট czসেগমেন্টকে ভাগ করে দ্বারাসম্পর্কে আবদ্ধ
. আসুন এই সম্পর্ক খুঁজে বের করা যাক। ভাত। 19

একটি ত্রিভুজের জন্য মেনেলাউসের উপপাদ্য দ্বারা বিসিওয়াইএবং সেক্যান্ট OXআমাদের আছে:
, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে
.

উত্তর. .

টাস্ক 14 (USE-2016)।

পয়েন্ট AT 1 এবং থেকে এসিএবং এবিত্রিভুজ এবিসি, তাছাড়া এবি 1:খ 1 থেকে =
= এসি 1:থেকে 1 খ. সরাসরি বিবি 1 এবং এসএস 1 একটি বিন্দুতে ছেদ করুন ও.

ক ) লাইনটি প্রমাণ করুন জেএসসিপাশ দ্বিখণ্ডিত সূর্য

এবি 1 ওসি 1 একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এবিসিযদি এটা জানা যায় যে এবি 1:খ 1 থেকে = 1:4.

সমাধান।ক) লাইন দিন AO পাশ অতিক্রম করে BC বিন্দুতে ক 1 (চিত্র 20)। Ceva এর উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের আছে:

. (9)

কারণ এবি 1:খ 1 থেকে = এসি 1:থেকে 1 খ, তারপর এটি সমতা থেকে অনুসরণ করে (9) যে
, এটাই সিএ 1 = কিন্তু 1 খ, যা প্রমাণ করতে হবে। ভাত। বিশ

খ) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ধরা যাক এবি 1 ও সমান এস. কারণ এবি 1:খ 1 থেকে সিবি 1 ও 4 সমান এস, এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এওসি সমান 5 এস. তারপর ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল AOB এছাড়াও 5 এর সমান এস, যেহেতু ত্রিভুজ AOB এবং এওসিএকটি সাধারণ ভিত্তি আছে AO, এবং তাদের শীর্ষবিন্দু খএবং গলাইন থেকে সমান দূরত্বে AO. এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এওসি 1 সমান এস, কারণ এসি 1:থেকে 1 খ = 1:4। তারপর ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এবিবি 1 সমান 6 এস. কারণ এবি 1:খ 1 থেকে= 1:4, তারপর ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সিবি 1 ও 24 এর সমান এস, এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এবিসি 30 সমান এস. এবার চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত বের করা যাক এবি 1 ওসি 1 (2এস) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পর্যন্ত এবিসি (30এস), এটি 1:15 এর সমান।

উত্তর. 1:15.

টাস্ক 15 (USE-2016)।

পয়েন্ট AT 1 এবং থেকে 1 পাশে যথাক্রমে মিথ্যা এসিএবং এবিত্রিভুজ এবিসি, তাছাড়া এবি 1:খ 1 থেকে =
= এসি 1:থেকে 1 খ. সরাসরি বিবি 1 এবং এসএস 1 একটি বিন্দুতে ছেদ করুন ও.

ক) লাইনটি প্রমাণ করুন জেএসসিপাশ দ্বিখণ্ডিত সূর্য

খ) চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর এবি 1 ওসি 1 একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এবিসিযদি এটা জানা যায় যে এবি 1:খ 1 থেকে = 1:3.

উত্তর. 1:10.

ডব্লিউ কার্যক্রম 16 (USE-2016)।সেগমেন্টে বিডিপয়েন্ট নেওয়া থেকে. দ্বিখন্ডক বিএল এবিসিবেস সহ সূর্য বিএলডিবেস সহ বিডি.

ক) ত্রিভুজ প্রমাণ কর ডিসিএলসমদ্বিবাহু

খ) এটা জানা যায় যে cos
এবিসি DL, অর্থাৎ ত্রিভুজ বিডিপয়েন্ট নেওয়া থেকে. দ্বিখন্ডক বিএলদ্বিসমত্রিভুজ এবিসিবেস সহ সূর্যএকটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি পার্শ্বীয় বাহু বিএলডিবেস সহ বিডি.

ক) ত্রিভুজ প্রমাণ কর ডিসিএলসমদ্বিবাহু

খ) এটা জানা যায় যে cos এবিসি= প্রত্যক্ষ কোন পথে ডিএল পাশ ভাগ করে এবি?

উত্তর. 4:21.

সাহিত্য

1. Smirnova I.M., Smirnov V.A. বিস্ময়কর ত্রিভুজ বিন্দু এবং লাইন. এম.: গণিত, 2006, নং 17।

2. মায়াকিশেভ এ.জি. ত্রিভুজ জ্যামিতি উপাদান। (সিরিজ "লাইব্রেরি "গাণিতিক শিক্ষা"")। এম.: এমটিএসএনএমও, 2002। - 32 পি।

3. জ্যামিতি। অষ্টম শ্রেণীর পাঠ্যপুস্তকের অতিরিক্ত অধ্যায়: গভীরভাবে অধ্যয়ন সহ স্কুল এবং ক্লাসের শিক্ষার্থীদের জন্য পাঠ্যপুস্তক / L.S. আতানাসিয়ান, ভি.এফ. বুজুজভ, এস.বি. Kadomtsev এবং অন্যান্য - এম।: ভিটা-প্রেস, 2005। - 208 পি।

4. Erdniev P., Mantsaev N. Cheva এবং Menelaus তত্ত্ব। এম.: কোয়ান্ট, 1990, নং 3, পৃ. 56-59।

5. শারিগিন আই.এফ. Ceva এবং Menelaus এর উপপাদ্য। মস্কো: কোয়ান্ট, 1976, নং 11, পৃষ্ঠা 22-30।

6. ভ্যাভিলভ ভি.ভি. একটি ত্রিভুজের মধ্যমা এবং মধ্যরেখা। এম.: গণিত, 2006, নং 1।

7. Efremov Dm. নতুন ত্রিভুজ জ্যামিতি। ওডেসা, 1902। - 334 পি।

8. গণিত। সাধারণ পরীক্ষার কাজগুলির 50টি রূপ / I.V. ইয়াশচেঙ্কো, এম.এ. ভলকেভিচ, আই.আর. Vysotsky এবং অন্যান্য; এড আই.ভি. ইয়াশচেঙ্কো। - এম।: পাবলিশিং হাউস "পরীক্ষা", 2016। - 247 পি।

সমস্যার সমাধান নিজেই সহজ - আপনি এটি নীচে পড়তে পারেন। এই নিবন্ধে, যাইহোক, আমরা প্রধানত একটি সামান্য ভিন্ন পয়েন্টে আগ্রহী, যা প্রায়শই বাদ দেওয়া হয়, স্ব-প্রকাশ্য হিসাবে বোঝা যায়, যতটা স্পষ্ট। কিন্তু স্পষ্ট কি প্রমাণ করা যেতে পারে. এবং এটি বিভিন্ন উপায়ে প্রমাণ করা যেতে পারে - সাধারণত তারা সাদৃশ্যের সাহায্যে এটি একচেটিয়াভাবে প্রমাণ করে - তবে এটি মেনেলাউসের উপপাদ্যের সাহায্যেও সম্ভব।
এটি এই শর্ত থেকে অনুসরণ করে যে, যেহেতু ট্র্যাপিজয়েডের নীচের গোড়ার কোণগুলি 90 ° পর্যন্ত যোগ করে, তাহলে আপনি যদি বাহুগুলিকে প্রসারিত করেন তবে আপনি একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাবেন। আরও, পার্শ্বীয় বাহুর সম্প্রসারণের ফলে ছেদ বিন্দু থেকে, একটি সেগমেন্ট আঁকা হয় যা ঘাঁটিগুলির মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। এবং কেন এই বিভাগটি এই তিনটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়? সাধারণত, ইন্টারনেটে পাওয়া সমস্যার সমাধানগুলিতে এটি সম্পর্কে একটি শব্দও বলা হয় না। এমনকি চার-বিন্দু ট্র্যাপিজয়েড উপপাদ্যের একটি উল্লেখও নেই, এই দাবির একটি প্রমাণ ছেড়ে দিন। এদিকে, এটি মেনেলাউস উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে, যা একটি সরলরেখার অন্তর্গত তিনটি বিন্দুর জন্য একটি শর্ত।

মেনেলাউসের তত্ত্বের বিবৃতি
এটা উপপাদ্য গঠন করার সময়. এটি লক্ষ করা উচিত যে বিভিন্ন পাঠ্যপুস্তক এবং ম্যানুয়ালগুলিতে এর বেশ ভিন্ন ফর্মুলেশন রয়েছে, যদিও সারমর্মটি অপরিবর্তিত রয়েছে। 10-11 গ্রেডের জন্য Atanasyan এবং অন্যান্যদের পাঠ্যপুস্তকে, মেনেলাউস উপপাদ্যের নিম্নলিখিত সূত্র দেওয়া হয়েছে, আসুন একে "ভেক্টর" বলি:

পাঠ্যপুস্তকে "জ্যামিতি 10-11 গ্রেড" আলেকজান্দ্রভ এট আল।, সেইসাথে একই লেখকের পাঠ্যপুস্তকে "জ্যামিতি। গ্রেড 8 ”মেনেলাউস উপপাদ্যের একটি সামান্য ভিন্ন সূত্র দেওয়া হয়েছে, এবং গ্রেড 10-11 এবং গ্রেড 8 এর জন্য এটি একই:
এখানে তিনটি মন্তব্য করা প্রয়োজন।
দ্রষ্টব্য 1. পরীক্ষায়, এমন কোন সমস্যা নেই যা শুধুমাত্র ভেক্টরের সাহায্যে সমাধান করতে হবে, যার জন্য ঠিক "মাইনাস ওয়ান" ব্যবহার করা হয়। অতএব, ব্যবহারিক ব্যবহারের জন্য, সবচেয়ে সুবিধাজনক সূত্রটি আসলে, অংশগুলির জন্য উপপাদ্যের একটি পরিণতি (এটি গাঢ় অক্ষরে দ্বিতীয় সূত্র)। আমরা মেনেলাউস উপপাদ্যের আরও অধ্যয়নের জন্য এটিতে নিজেদের সীমাবদ্ধ রাখব, যেহেতু আমাদের লক্ষ্য হল সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য কীভাবে এটি প্রয়োগ করা যায় তা শিখতে হবে।
দ্রষ্টব্য 2. যদিও সমস্ত পাঠ্যপুস্তক স্পষ্টভাবে কেসটি নির্দিষ্ট করে দেয় যখন তিনটি বিন্দু A 1, B 1 এবং C 1 ত্রিভুজের বাহুর সম্প্রসারণে (বা ত্রিভুজের বাহু সম্বলিত লাইনগুলিতে) বেশ কয়েকটিতে থাকা যায়। ইন্টারনেট টিউটরিং সাইটগুলি শুধুমাত্র তখনই প্রণয়ন করা হয় যখন দুটি পয়েন্ট দুই দিকে থাকে এবং তৃতীয়টি তৃতীয় দিকের এক্সটেনশনে থাকে। এটি খুব কমই এই সত্য দ্বারা ন্যায়সঙ্গত হতে পারে যে শুধুমাত্র প্রথম ধরণের সমস্যাগুলি পরীক্ষায় সম্মুখীন হয় এবং যখন এই সমস্ত পয়েন্টগুলি তিনটি দিকের সম্প্রসারণে থাকে তখন সমস্যার সম্মুখীন হতে পারে না।
দ্রষ্টব্য 3: বিপরীত উপপাদ্য, অর্থাৎ একই সরলরেখায় তিনটি বিন্দু থাকার শর্তটি সাধারণত মোটেই বিবেচনা করা হয় না, এবং কিছু টিউটর এমনকি (???) শুধুমাত্র সরাসরি উপপাদ্যের সাথে মোকাবিলা করার পরামর্শ দেন, এবং বিপরীত উপপাদ্য বিবেচনা না করেন। এদিকে, কথোপকথন বিবৃতির প্রমাণটি বেশ শিক্ষণীয় এবং এটি একজনকে সমস্যা 1 এর সমাধানে প্রদত্ত বিবৃতিগুলির অনুরূপ বিবৃতি প্রমাণ করার অনুমতি দেয়। কনভার্স উপপাদ্য প্রমাণ করার অভিজ্ঞতা নিঃসন্দেহে সমস্যা সমাধানে শিক্ষার্থীকে একটি বাস্তব সুবিধা দেবে।

অঙ্কন এবং নিদর্শন

শিক্ষার্থীকে সমস্যার মধ্যে মেনেলাউস উপপাদ্য দেখতে এবং এটি সমাধানে ব্যবহার করতে শেখানোর জন্য, একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে উপপাদ্যের রেকর্ডে অঙ্কন এবং প্যাটার্নগুলিতে মনোযোগ দেওয়া গুরুত্বপূর্ণ। এবং যেহেতু উপপাদ্য নিজেই তার "বিশুদ্ধ" আকারে রয়েছে, অর্থাৎ অন্যান্য বিভাগ দ্বারা বেষ্টিত না হয়ে, সমস্যাগুলির বিভিন্ন পরিসংখ্যানের দিকগুলি সাধারণত ঘটে না, তাহলে নির্দিষ্ট সমস্যার উপর উপপাদ্যটি দেখানো আরও সমীচীন। এবং যদি আপনি একটি ব্যাখ্যা হিসাবে ছবি দেখান, তারপর তাদের multivariate করা. একই সময়ে, একটি রঙ দিয়ে হাইলাইট করুন (উদাহরণস্বরূপ, লাল) সরলরেখা, যা তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত এবং নীল - ত্রিভুজের অংশগুলি মেনেলাউসের উপপাদ্য রেকর্ডিংয়ের সাথে জড়িত। একই সময়ে, যে উপাদানগুলি অংশ নেয় না সেগুলি কালো থাকে:

প্রথম নজরে, এটি মনে হতে পারে যে উপপাদ্যের গঠনটি বরং জটিল এবং সর্বদা স্পষ্ট নয়; কারণ এতে তিনটি ভগ্নাংশ জড়িত। প্রকৃতপক্ষে, যদি শিক্ষার্থীর যথেষ্ট অভিজ্ঞতা না থাকে, তবে সে সহজেই লেখায় ভুল করতে পারে এবং ফলস্বরূপ, ভুলভাবে সমস্যার সমাধান করতে পারে। এবং এখানে, কখনও কখনও, সমস্যা শুরু হয়। আসল বিষয়টি হ'ল পাঠ্যপুস্তকগুলি সাধারণত একটি উপপাদ্য লেখার সময় কীভাবে "চক্রপথ করতে হয়" সেদিকে ফোকাস করে না। উপপাদ্য লেখার নিয়মিততা সম্পর্কে কিছুই বলা হয় না। অতএব, কিছু শিক্ষক এমনকি বিভিন্ন তীর আঁকেন, কী ক্রমে সূত্রটি লিখবেন। এবং তারা শিক্ষার্থীদের এই নির্দেশিকাগুলি কঠোরভাবে অনুসরণ করতে বলে। এটি আংশিকভাবে সঠিক, তবে "বাইপাস নিয়ম" এবং তীরগুলি ব্যবহার করে এটিকে সম্পূর্ণ যান্ত্রিকভাবে লেখার চেয়ে উপপাদ্যটির সারাংশ বোঝা অনেক বেশি গুরুত্বপূর্ণ।
আসলে, শুধুমাত্র "বাইপাস" এর যুক্তি বোঝা গুরুত্বপূর্ণ এবং এটি এতই সুনির্দিষ্ট যে সূত্রটি লিখতে ভুল করা অসম্ভব। উভয় ক্ষেত্রেই a) এবং b) আমরা AMC ত্রিভুজের সূত্র লিখি।
শুরু করার জন্য, আমরা নিজেদের জন্য তিনটি বিন্দু নির্ধারণ করি - ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। আমাদের এই বিন্দুগুলি A, M, C. তারপর আমরা ছেদকারী রেখার (লাল রেখা) উপর থাকা বিন্দুগুলি নির্ধারণ করি, এইগুলি হল B, P, K। আমরা ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে "আন্দোলন" শুরু করি, উদাহরণস্বরূপ, থেকে বিন্দু C. এই বিন্দু থেকে আমরা ছেদ দ্বারা গঠিত বিন্দুতে "যাবো", উদাহরণস্বরূপ, পাশের AC এবং ছেদকারী রেখার - আমাদের এই বিন্দুটি K আছে। আমরা প্রথম ভগ্নাংশের লবটিতে লিখি - SK। K বিন্দু থেকে আরও আমরা AC রেখার অবশিষ্ট বিন্দুতে "যাব" - A বিন্দুতে। প্রথম ভগ্নাংশের হর-এ আমরা লিখি - KA। যেহেতু বিন্দু Aও লাইন AM এর অন্তর্গত, তাই আমরা লাইন AM এর অংশগুলির সাথে একই কাজ করি। এবং এখানে আবার, আমরা শীর্ষবিন্দু থেকে শুরু করি, তারপর ছেদকারী রেখার একটি বিন্দুতে "যাও", তারপরে আমরা শীর্ষবিন্দুতে যাই। BC রেখায় "নিজেকে খুঁজে পাই", আমরা এটির অংশগুলির সাথে একই কাজ করি। লাইন অবশ্যই, আমরা M থেকে B তে “যাই”, তারপরে আমরা C-তে ফিরে যাই। এই “বাইপাস” ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে করা যেতে পারে। এটি শুধুমাত্র বাইপাস নিয়মটি বোঝা গুরুত্বপূর্ণ - একটি শীর্ষবিন্দু থেকে একটি সরলরেখার একটি বিন্দুতে এবং একটি সরলরেখার একটি বিন্দু থেকে অন্য শীর্ষে। এইরকম কিছু সাধারণত ভগ্নাংশের গুণফল লেখার নিয়ম দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়। ফলাফল হলো:
আসুন এই বিষয়টিতে মনোযোগ দিন যে পুরো "বাইপাস" রেকর্ডে প্রতিফলিত হয় এবং সুবিধার জন্য তীর দ্বারা দেখানো হয়।
যাইহোক, ফলস্বরূপ রেকর্ডটি কোনও "ট্রাভার্সাল" না করেই পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। বিন্দুগুলি লেখার পরে - ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি (A, M, C) এবং বিন্দুগুলি - ছেদকারী রেখার (B, P, K) উপর পড়ে থাকা, তারা প্রতিটি বিন্দুকে নির্দেশ করে অক্ষরগুলির তিনগুণও লিখে দেয় তিনটি লাইন। আমাদের ক্ষেত্রে, এগুলি হল I) B , M , C ; II) A, P, M এবং III) A, C, K। এর পরে, সূত্রের সঠিক বাম অংশ এমনকি অঙ্কন না দেখে এবং যে কোনও ক্রমে লেখা যেতে পারে। প্রতিটি ট্রিপল অক্ষর থেকে সত্য ভগ্নাংশ লিখতে আমাদের পক্ষে যথেষ্ট, যা নিয়ম মেনে চলে - শর্তসাপেক্ষে, "মাঝের" অক্ষরগুলি ছেদকারী লাইনের বিন্দু (লাল)। প্রচলিতভাবে, "চরম" অক্ষরগুলি ত্রিভুজ (নীল) এর শীর্ষবিন্দুগুলির বিন্দু। এইভাবে একটি সূত্র লেখার সময়, আপনাকে শুধুমাত্র নিশ্চিত করতে হবে যে কোনো "নীল" অক্ষর (ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু) লব এবং হর উভয়কেই একবার আঘাত করে। উদাহরণস্বরূপ।
এই পদ্ধতিটি খ) এবং স্ব-পরীক্ষার জন্য বিশেষভাবে উপযোগী।

মেনেলাউসের উপপাদ্য। প্রমাণ
মেনেলাউসের উপপাদ্য প্রমাণ করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। কখনও কখনও তারা ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য ব্যবহার করে প্রমাণ করে, যার জন্য AC-এর সমান্তরাল একটি অংশ M বিন্দু থেকে আঁকা হয়েছে (যেমন এই অঙ্কনে)। অন্যরা একটি অতিরিক্ত রেখা আঁকে যা ছেদকারী রেখার সমান্তরাল নয়, এবং তারপরে ছেদকারী রেখার সমান্তরাল রেখাগুলির সাথে, তারা এই লাইনের উপর সমস্ত প্রয়োজনীয় অংশগুলিকে "প্রজেক্ট" করে বলে মনে হয় এবং থ্যালেস উপপাদ্যের সাধারণীকরণ ব্যবহার করে (অর্থাৎ, আনুপাতিক অংশে উপপাদ্য), একটি সূত্র বের করে। যাইহোক, সম্ভবত এটি প্রমাণ করার সবচেয়ে সহজ উপায় M বিন্দু থেকে ছেদকারীর সমান্তরাল থেকে একটি সরল রেখা অঙ্কন করে পাওয়া যায়। এইভাবে মেনেলাউসের উপপাদ্য প্রমাণ করা যাক।
দেওয়া হয়েছে: ত্রিভুজ ABC. রেখা PK ত্রিভুজের বাহুগুলিকে ছেদ করে এবং B বিন্দুতে MC বাহুর প্রসারণ করে।
প্রমাণ করুন যে সমতা ধারণ করে:
প্রমাণ। আসুন BK-এর সমান্তরালে একটি বিম MM 1 আঁকি। আসুন আমরা সেই সম্পর্কগুলি লিখি যেখানে মেনেলাউস উপপাদ্যের সূত্রে অন্তর্ভুক্ত অংশগুলি অংশ নেয়। একটি ক্ষেত্রে, A বিন্দুতে ছেদ করা রেখাগুলি বিবেচনা করুন এবং অন্য ক্ষেত্রে, C বিন্দুতে ছেদ করছে। আসুন এই সমীকরণের বাম এবং ডান অংশগুলিকে গুণ করি:

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।
উপপাদ্যটি একইভাবে প্রমাণিত হয় ক্ষেত্রে b)।

C বিন্দু থেকে আমরা BK লাইনের সমান্তরাল CC 1 সেগমেন্ট আঁকি। আসুন আমরা সেই সম্পর্কগুলি লিখি যেখানে মেনেলাউস উপপাদ্যের সূত্রে অন্তর্ভুক্ত অংশগুলি অংশ নেয়। একটি ক্ষেত্রে, আমরা A বিন্দুতে ছেদ করা রেখাগুলি বিবেচনা করি, এবং অন্য ক্ষেত্রে, M বিন্দুতে ছেদ করা। যেহেতু থ্যালেস উপপাদ্য দুটি ছেদকারী রেখায় অংশগুলির অবস্থান সম্পর্কে কিছু বলে না, সেহেতু অংশগুলি বিপরীত দিকেও অবস্থিত হতে পারে। বিন্দু M. অতএব

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

আমরা এখন কনভার্স থিওরেম প্রমাণ করি।
দেওয়া:
প্রমাণ করুন যে B, P, K বিন্দু একই রেখায় অবস্থিত।
প্রমাণ। রেখা BP AC কে K 2 বিন্দুতে ছেদ করে যা K বিন্দুর সাথে মিলে না। যেহেতু BP একটি রেখা যার বিন্দু K 2 আছে, তাই মেনেলাউসের উপপাদ্যটি এর জন্য বৈধ। সুতরাং, এটির জন্য আমরা লিখি
যাইহোক, আমরা শুধু তা দেখিয়েছি
এটি অনুসরণ করে যে পয়েন্ট K এবং K 2 মিলে যায়, যেহেতু তারা একই অনুপাতে পাশের AC ভাগ করে।
ক্ষেত্রে খ) উপপাদ্য একইভাবে প্রমাণিত হয়।

মেনেলাউস উপপাদ্য ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান

প্রথমে, আসুন সমস্যা 1 এ ফিরে যাই এবং এটি সমাধান করি। এর আবার পড়া যাক. চলুন একটি অঙ্কন করা যাক:

একটি ট্র্যাপিজয়েড ABCD দেওয়া হয়েছে। ST - ট্র্যাপিজয়েডের মাঝের লাইন, যেমন এই দূরত্বগুলির মধ্যে একটি। কোণ A এবং D 90° পর্যন্ত যোগ করে। আমরা AB এবং CD বাহুগুলিকে প্রসারিত করি এবং তাদের সংযোগস্থলে আমরা K বিন্দু পাই। K বিন্দুটিকে N বিন্দুর সাথে সংযুক্ত করি - BC এর মাঝখানে। এখন প্রমাণ করা যাক যে P বিন্দু, যেটি AD এর ভিত্তির মধ্যবিন্দু, সেটিও KN রেখার অন্তর্গত। পরপর ABD এবং ACD ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। রেখা KP প্রতিটি ত্রিভুজের দুটি বাহুকে ছেদ করে। ধরুন রেখা KN বেস AD কে কোন এক বিন্দুতে ছেদ করে X। মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে:
যেহেতু ত্রিভুজ AKD সমকোণী, তাই বিন্দু P, যা কর্ণ AD এর মধ্যবিন্দু, A, D এবং K থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত। একইভাবে, বিন্দু N হল B, C এবং K বিন্দু থেকে সমদূরত্ব। যেখান থেকে একটি বেস 36 এবং অন্যটি 2।
সমাধান। ত্রিভুজ বিসিডি বিবেচনা করুন। এটি AX রশ্মি দ্বারা অতিক্রম করা হয়েছে, যেখানে X হল এই রশ্মির ছেদ বিন্দু বিসি পাশের বর্ধনের সাথে। মেনেলাউসের তত্ত্ব অনুসারে:
(1) প্রতিস্থাপন করে (2) আমরা পাই:

সমাধান। ধরা যাক S 1 , S 2 , S 3 এবং S 4 যথাক্রমে AOB, AOM, BOK এবং চতুর্ভুজ MOKC ত্রিভুজের ক্ষেত্র।

যেহেতু BM মধ্যমা, তাহলে S ABM = S BMC।
সুতরাং S 1 + S 2 = S 3 + S 4।
যেহেতু আমাদের S 1 এবং S 4 ক্ষেত্রগুলির অনুপাত খুঁজে বের করতে হবে, তাই আমরা সমীকরণের উভয় দিককে S 4 দ্বারা ভাগ করি:
আসুন আমরা এই মানগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি (1): সেকেন্ট AK সহ ত্রিভুজ BMC থেকে, মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের আছে: সেক্যান্ট BM সহ AKC ত্রিভুজ থেকে, মেনেলাউস উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের আছে: সমস্ত প্রয়োজনীয় অনুপাত k এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়, এবং এখন আমরা তাদের অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করতে পারি (2):
Menelaus উপপাদ্য ব্যবহার করে এই সমস্যার সমাধান পৃষ্ঠায় বিবেচনা করা হয়েছে।

গণিত শিক্ষকের নোট।এই সমস্যায় মেনেলাউস উপপাদ্যের প্রয়োগ সেই ক্ষেত্রেই যখন এই পদ্ধতিটি পরীক্ষার সময় উল্লেখযোগ্যভাবে বাঁচাতে পারে। এই টাস্কটি 9ম গ্রেডের (2019) উচ্চ বিদ্যালয়ের অর্থনীতিতে লাইসিয়ামে প্রবেশিকা পরীক্ষার ডেমো সংস্করণে দেওয়া হয়েছে।

© মস্কোতে গণিতের শিক্ষক, আলেকজান্ডার আনাতোলিভিচ, 8-968-423-9589।

নিজের জন্য সিদ্ধান্ত নিন

1) কাজটি আরও সহজ। ত্রিভুজ ABC-এর মধ্যক BD-এ একটি বিন্দু M চিহ্নিত করা হয়েছে যাতে BM: MD = m: n। রেখা AM K বিন্দুতে পাশে BC কে ছেদ করে।
BK:KC অনুপাত খুঁজুন।
2) কাজটি আরও কঠিন। সমান্তরালগ্রাম ABCD-এর A কোণের দ্বিখণ্ডকটি P বিন্দুতে পাশে BC এবং T বিন্দুতে তির্যক BD কে ছেদ করে। এটা জানা যায় যে AB: AD = k (0 3) টাস্ক নম্বর 26 OGE। ত্রিভুজ ABC-তে, দ্বিখণ্ডক BE এবং মধ্যক AD লম্ব এবং একই দৈর্ঘ্য 36 এর সমান। ABC ত্রিভুজের বাহুগুলি খুঁজুন।
গণিত শিক্ষক ইঙ্গিত.ইন্টারনেটে, অতিরিক্ত নির্মাণের সাহায্যে এই জাতীয় সমস্যার সমাধান রয়েছে এবং তারপরে হয় সাদৃশ্য বা ক্ষেত্রগুলি খুঁজে বের করা, এবং তার পরেই ত্রিভুজের দিকগুলি। সেগুলো. এই উভয় পদ্ধতি অতিরিক্ত নির্মাণ প্রয়োজন. যাইহোক, দ্বিখণ্ডিত সম্পত্তি এবং মেনেলাউস উপপাদ্য ব্যবহার করে এই জাতীয় সমস্যার সমাধানের জন্য কোনও অতিরিক্ত নির্মাণের প্রয়োজন নেই। এটা অনেক সহজ এবং আরো যুক্তিসঙ্গত.