বড় সংখ্যার আইন। কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য

হারাবেন না।সাবস্ক্রাইব করুন এবং আপনার ইমেলে নিবন্ধটির একটি লিঙ্ক পান।

সংখ্যা এবং সংখ্যার সাথে কাজ বা অধ্যয়নে প্রতিদিন ইন্টারঅ্যাক্ট করা, আমাদের মধ্যে অনেকেই সন্দেহও করে না যে প্রচুর সংখ্যার একটি খুব আকর্ষণীয় আইন রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, পরিসংখ্যান, অর্থনীতি এবং এমনকি মনস্তাত্ত্বিক এবং শিক্ষাগত গবেষণায় ব্যবহৃত হয়। এটি সম্ভাব্যতা তত্ত্বকে নির্দেশ করে এবং বলে যে একটি নির্দিষ্ট বন্টন থেকে যে কোনো বড় নমুনার গাণিতিক গড় এই বন্টনের গাণিতিক প্রত্যাশার কাছাকাছি।

আপনি সম্ভবত লক্ষ্য করেছেন যে এই আইনের সারাংশ বোঝা সহজ নয়, বিশেষ করে যারা গণিতের সাথে বিশেষভাবে বন্ধুত্বপূর্ণ নয় তাদের জন্য। এর উপর ভিত্তি করে, আমরা এটি সম্পর্কে সহজ ভাষায় কথা বলতে চাই (যতদূর সম্ভব, অবশ্যই), যাতে প্রত্যেকে অন্তত নিজের জন্য এটি কী তা বুঝতে পারে। এই জ্ঞান আপনাকে কিছু গাণিতিক নিদর্শন আরও ভালভাবে বুঝতে সাহায্য করবে, আরও জ্ঞানী হবে এবং ইতিবাচকভাবে প্রভাবিত করবে।

বৃহৎ সংখ্যার আইনের ধারণা এবং এর ব্যাখ্যা

সম্ভাব্যতা তত্ত্বে বড় সংখ্যার আইনের উপরোক্ত সংজ্ঞা ছাড়াও, আমরা এর অর্থনৈতিক ব্যাখ্যা দিতে পারি। এই ক্ষেত্রে, এটি এই নীতির প্রতিনিধিত্ব করে যে একটি নির্দিষ্ট ধরণের আর্থিক ক্ষতির ফ্রিকোয়েন্সি উচ্চ মাত্রার নিশ্চিততার সাথে ভবিষ্যদ্বাণী করা যেতে পারে যখন সাধারণভাবে এই ধরনের ক্ষতির উচ্চ স্তর থাকে।

উপরন্তু, বৈশিষ্ট্যগুলির একত্রিত হওয়ার স্তরের উপর নির্ভর করে, আমরা বড় সংখ্যার দুর্বল এবং শক্তিশালী আইনগুলিকে আলাদা করতে পারি। আমরা দুর্বল সম্বন্ধে কথা বলছি যখন সম্মিলন সম্ভাবনার মধ্যে থাকে, এবং শক্তিশালী সম্পর্কে কথা বলছি যখন প্রায় সব কিছুতেই অভিসারন বিদ্যমান থাকে।

যদি আমরা এটিকে একটু ভিন্নভাবে ব্যাখ্যা করি, তবে আমাদের এটি বলা উচিত: এই ধরনের সীমিত সংখ্যক পরীক্ষা খুঁজে পাওয়া সবসময় সম্ভব, যেখানে একটির চেয়ে কম যেকোনও প্রাক-প্রোগ্রামড সম্ভাবনা থাকলে, কিছু ঘটনার সংঘটনের আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি খুব কমই আলাদা হবে। এর সম্ভাবনা।

সুতরাং, বৃহৎ সংখ্যার আইনের সাধারণ সারমর্মটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে: বিপুল সংখ্যক অভিন্ন এবং স্বাধীন এলোমেলো কারণগুলির জটিল ক্রিয়াকলাপের ফলাফল এমন একটি ফলাফল হবে যা সুযোগের উপর নির্ভর করে না। এবং আরও সহজ ভাষায় বলতে গেলে, বৃহৎ সংখ্যার আইনে, গণ ঘটনার পরিমাণগত নিয়মগুলি তখনই স্পষ্টভাবে নিজেদেরকে প্রকাশ করবে যখন তাদের একটি বৃহৎ সংখ্যক থাকবে (তাই বৃহৎ সংখ্যার আইনকে আইন বলা হয়)।

এ থেকে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে আইনের সারমর্ম হল যে গণ পর্যবেক্ষণের মাধ্যমে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলিতে কিছু সঠিকতা রয়েছে, যা অল্প সংখ্যক তথ্য সনাক্ত করা অসম্ভব।

বড় সংখ্যার আইনের সারাংশ এবং তার উদাহরণ

বড় সংখ্যার আইন দুর্ঘটনাজনিত এবং প্রয়োজনীয়তার সবচেয়ে সাধারণ নিদর্শন প্রকাশ করে। যখন এলোমেলো বিচ্যুতি একে অপরকে "নির্বাপিত" করে, তখন একই কাঠামোর জন্য নির্ধারিত গড়গুলি সাধারণের আকার ধারণ করে। তারা সময় এবং স্থান নির্দিষ্ট অবস্থার অধীনে অপরিহার্য এবং স্থায়ী তথ্য অপারেশন প্রতিফলিত.

বৃহৎ সংখ্যার আইন দ্বারা সংজ্ঞায়িত নিয়মিততাগুলি তখনই শক্তিশালী হয় যখন তারা গণ প্রবণতাকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং সেগুলি পৃথক ক্ষেত্রে আইন হতে পারে না। এইভাবে, গাণিতিক পরিসংখ্যানের নীতি কার্যকর হয়, যা বলে যে বেশ কয়েকটি এলোমেলো কারণের জটিল ক্রিয়া একটি অ-র্যান্ডম ফলাফলের কারণ হতে পারে। এবং এই নীতির ক্রিয়াকলাপের সবচেয়ে আকর্ষণীয় উদাহরণ হল একটি এলোমেলো ঘটনার সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি এবং এর সম্ভাব্যতা যখন পরীক্ষার সংখ্যা বৃদ্ধি পায়।

চলুন সাধারণ মুদ্রা টস মনে রাখা যাক. তাত্ত্বিকভাবে, মাথা এবং লেজ একই সম্ভাবনার সাথে পড়ে যেতে পারে। এর মানে হল, উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি মুদ্রা 10 বার নিক্ষেপ করা হয়, তাদের মধ্যে 5টি মাথার উপরে এবং 5টি মাথার উপরে আসা উচিত। কিন্তু সবাই জানে যে এটি প্রায় কখনই ঘটে না, কারণ মাথা এবং লেজের ফ্রিকোয়েন্সি অনুপাত 4 থেকে 6, এবং 9 থেকে 1, এবং 2 থেকে 8 ইত্যাদি হতে পারে। যাইহোক, কয়েন টসের সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে, উদাহরণস্বরূপ, 100 পর্যন্ত, মাথা বা লেজ পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 50% এ পৌঁছে যায়। যদি, তাত্ত্বিকভাবে, এই জাতীয় পরীক্ষাগুলির একটি অসীম সংখ্যক সঞ্চালিত হয়, তাহলে উভয় দিকে একটি মুদ্রা পড়ার সম্ভাবনা সর্বদা 50% হতে থাকে।

মুদ্রাটি ঠিক কীভাবে পড়বে তা বিপুল সংখ্যক এলোমেলো কারণ দ্বারা প্রভাবিত হয়। এটি আপনার হাতের তালুতে মুদ্রার অবস্থান, এবং যে শক্তি দিয়ে নিক্ষেপ করা হয়, এবং পতনের উচ্চতা এবং এর গতি ইত্যাদি। কিন্তু যদি অনেক পরীক্ষা-নিরীক্ষা করা হয়, কারণগুলি কীভাবে কাজ করে না কেন, সর্বদা যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে ব্যবহারিক সম্ভাব্যতা তাত্ত্বিক সম্ভাবনার কাছাকাছি।

এবং এখানে আরেকটি উদাহরণ রয়েছে যা বৃহৎ সংখ্যার আইনের সারমর্ম বুঝতে সাহায্য করবে: ধরুন আমাদের একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলে মানুষের উপার্জনের মাত্রা অনুমান করতে হবে। যদি আমরা 10টি পর্যবেক্ষণ বিবেচনা করি, যেখানে 9 জন ব্যক্তি 20 হাজার রুবেল পায় এবং 1 জন - 500 হাজার রুবেল, গাণিতিক গড় হবে 68 হাজার রুবেল, যা অবশ্যই অসম্ভাব্য। কিন্তু যদি আমরা 100 টি পর্যবেক্ষণকে বিবেচনা করি, যেখানে 99 জন ব্যক্তি 20 হাজার রুবেল এবং 1 জন ব্যক্তি - 500 হাজার রুবেল পায়, তাহলে গাণিতিক গড় গণনা করার সময়, আমরা 24.8 হাজার রুবেল পাই, যা ইতিমধ্যেই বাস্তব অবস্থার কাছাকাছি। পর্যবেক্ষণের সংখ্যা বৃদ্ধি করে, আমরা গড় মানকে সত্যিকারের মানের দিকে ঝুঁকতে বাধ্য করব।

এই কারণেই যে বৃহৎ সংখ্যার আইন প্রয়োগ করার জন্য, প্রচুর পরিমাণে পর্যবেক্ষণ অধ্যয়ন করে সত্য ফলাফল পাওয়ার জন্য প্রথমে পরিসংখ্যানগত উপাদান সংগ্রহ করা প্রয়োজন। এই কারণেই এই আইনটি আবার পরিসংখ্যান বা সামাজিক অর্থনীতিতে ব্যবহার করা সুবিধাজনক।

সাতরে যাও

বৈজ্ঞানিক জ্ঞানের যে কোনও ক্ষেত্রে এবং বিশেষ করে পরিসংখ্যানের তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যান জ্ঞানের পদ্ধতির ক্ষেত্রে বৈজ্ঞানিক উন্নয়নের জন্য বড় সংখ্যার আইন কাজ করে এই সত্যটির গুরুত্বকে অত্যধিক মূল্যায়ন করা কঠিন। আইনের ক্রিয়াটি তাদের গণ নিয়মিততার সাথে অধ্যয়নের অধীনে থাকা বস্তুগুলির জন্যও অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। পরিসংখ্যানগত পর্যবেক্ষণের প্রায় সব পদ্ধতিই বড় সংখ্যার আইন এবং গাণিতিক পরিসংখ্যানের নীতির উপর ভিত্তি করে।

কিন্তু, এমনকি বিজ্ঞান এবং পরিসংখ্যানকে বিবেচনায় না নিয়েও, আমরা নিরাপদে উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে বৃহৎ সংখ্যার আইনটি কেবল সম্ভাবনা তত্ত্বের ক্ষেত্রের একটি ঘটনা নয়, কিন্তু এমন একটি ঘটনা যা আমরা আমাদের জীবনে প্রায় প্রতিদিনই সম্মুখীন হই।

আমরা আশা করি যে এখন বড় সংখ্যার আইনের সারমর্মটি আপনার কাছে আরও স্পষ্ট হয়ে উঠেছে এবং আপনি সহজেই এবং সহজভাবে অন্য কাউকে এটি ব্যাখ্যা করতে পারেন। এবং যদি গণিত এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বের বিষয়টি নীতিগতভাবে আপনার কাছে আকর্ষণীয় হয়, তবে আমরা এবং সম্পর্কে পড়ার পরামর্শ দিই। এছাড়াও পরিচিত হন এবং. এবং, অবশ্যই, আমাদের দিকে মনোযোগ দিন, কারণ এটি পাস করার পরে, আপনি কেবল নতুন চিন্তার কৌশলগুলিই আয়ত্ত করতে পারবেন না, তবে গাণিতিক সহ সাধারণভাবে আপনার জ্ঞানীয় ক্ষমতাও উন্নত করতে পারবেন।

বড় সংখ্যার আইন

এলোমেলো ঘটনা অধ্যয়ন করার অভ্যাস দেখায় যে যদিও পৃথক পর্যবেক্ষণের ফলাফলগুলি, এমনকি একই অবস্থার অধীনে সম্পাদিত, ব্যাপকভাবে ভিন্ন হতে পারে, একই সময়ে, পর্যাপ্ত সংখ্যক পর্যবেক্ষণের গড় ফলাফল স্থিতিশীল এবং দুর্বলভাবে নির্ভর করে স্বতন্ত্র পর্যবেক্ষণের ফলাফল। এলোমেলো ঘটনার এই অসাধারণ সম্পত্তির তাত্ত্বিক ন্যায্যতা হল বড় সংখ্যার আইন। বৃহৎ সংখ্যার আইনের সাধারণ অর্থ হল যে বিপুল সংখ্যক এলোমেলো কারণের যৌথ ক্রিয়া এমন একটি ফলাফলের দিকে নিয়ে যায় যা প্রায় সম্ভাবনা থেকে স্বতন্ত্র।

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য

লিয়াপুনভের উপপাদ্যটি স্বাভাবিক বন্টন আইনের ব্যাপক বন্টন ব্যাখ্যা করে এবং এর গঠনের প্রক্রিয়া ব্যাখ্যা করে। উপপাদ্যটি আমাদের দাবি করতে দেয় যে যখনই একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল প্রচুর সংখ্যক স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যোগ করার ফলে গঠিত হয়, যার প্রকরণগুলি যোগফলের প্রকরণের তুলনায় ছোট হয়, এই র্যান্ডম চলকের বন্টনের নিয়মটি দেখা যায়। কার্যত একটি স্বাভাবিক আইন হতে হবে। এবং যেহেতু র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সর্বদা অসীম সংখ্যক কারণ দ্বারা তৈরি হয় এবং প্রায়শই তাদের মধ্যে কোনটিরই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণের সাথে তুলনীয় বৈচিত্র্য থাকে না, তাই বাস্তবে দেখা বেশিরভাগ র্যান্ডম ভেরিয়েবল স্বাভাবিক বন্টন আইনের অধীন।

আসুন আমরা এই গোষ্ঠীগুলির প্রতিটির উপপাদ্যগুলির বিষয়বস্তু সম্পর্কে আরও বিশদে আলোচনা করি।

ব্যবহারিক গবেষণায়, এটা জানা খুবই গুরুত্বপূর্ণ যে কোন কোন ক্ষেত্রে এটা নিশ্চিত করা সম্ভব যে কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হয় যথেষ্ট ছোট বা ইচ্ছাকৃতভাবে ঐক্যের কাছাকাছি হবে।

অধীন বড় সংখ্যার আইনএবং এটিকে বাক্যগুলির একটি সেট হিসাবে বোঝানো হয় যেখানে এটি বলা হয়েছে যে একটি সম্ভাব্যতার সাথে ইচ্ছাকৃতভাবে একটি (বা শূন্য) এর কাছাকাছি, একটি ঘটনা ঘটবে যা একটি খুব বড়, অনির্দিষ্টভাবে ক্রমবর্ধমান সংখ্যার এলোমেলো ঘটনাগুলির উপর নির্ভর করে, যার প্রতিটিতে শুধুমাত্র একটি তার উপর সামান্য প্রভাব।

আরও স্পষ্টভাবে বলতে গেলে, বৃহৎ সংখ্যার নিয়মটি বাক্যের একটি সেট হিসাবে বোঝা যায় যেখানে বলা হয়েছে যে একটি সম্ভাব্যতার সাথে নির্বিচারে একটির কাছাকাছি, একটি ধ্রুবক মান থেকে যথেষ্ট পরিমাণে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পাটিগণিত গড়ের বিচ্যুতি, পাটিগণিত তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গড়, একটি প্রদত্ত নির্বিচারে ছোট সংখ্যা অতিক্রম করবে না।

স্বতন্ত্র, একক ঘটনা যা আমরা প্রকৃতিতে এবং সামাজিক জীবনে লক্ষ্য করি তা প্রায়শই এলোমেলো হিসাবে প্রদর্শিত হয় (উদাহরণস্বরূপ, একটি নিবন্ধিত মৃত্যু, একটি জন্মগ্রহণকারী শিশুর লিঙ্গ, বায়ুর তাপমাত্রা ইত্যাদি) এই কারণে যে অনেকগুলি কারণ যা এর সাথে সম্পর্কিত নয়। একটি ঘটনার উত্থান বা বিকাশের সারাংশ। পর্যবেক্ষণ করা ঘটনার উপর তাদের মোট প্রভাব ভবিষ্যদ্বাণী করা অসম্ভব, এবং তারা পৃথক ঘটনাতে নিজেদেরকে ভিন্নভাবে প্রকাশ করে। একটি ঘটনার ফলাফলের উপর ভিত্তি করে, এই ধরনের অনেক ঘটনার অন্তর্নিহিত নিদর্শন সম্পর্কে কিছুই বলা যায় না।

যাইহোক, এটি দীর্ঘকাল ধরে লক্ষ করা গেছে যে কিছু বৈশিষ্ট্যের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যের (একটি ঘটনার আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি, পরিমাপের ফলাফল ইত্যাদি) এর গাণিতিক গড় পরীক্ষার পুনরাবৃত্তির একটি বড় সংখ্যার সাথে খুব সাপেক্ষে সামান্য ওঠানামা মাঝখানে, যেমনটি ছিল, ঘটনার সারাংশের অন্তর্নিহিত নিয়মিততা নিজেকে প্রকাশ করে; এতে, পৃথক কারণের প্রভাব, যা পৃথক পর্যবেক্ষণের ফলাফলকে এলোমেলো করে তোলে, পারস্পরিকভাবে বাতিল হয়ে যায়। তাত্ত্বিকভাবে, গড়ের এই আচরণটি বড় সংখ্যার আইন ব্যবহার করে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। যদি এলোমেলো ভেরিয়েবল সম্পর্কিত কিছু খুব সাধারণ শর্ত পূরণ করা হয়, তাহলে পাটিগণিত গড়ের স্থায়িত্ব একটি কার্যত নির্দিষ্ট ঘটনা হবে। এই শর্তগুলি বড় সংখ্যার আইনের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়বস্তু গঠন করে।

এই নীতির ক্রিয়াকলাপের প্রথম উদাহরণ হতে পারে ট্রায়ালের সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সম্ভাব্যতার সাথে একটি এলোমেলো ঘটনার সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি এর একত্রিত হওয়া - বার্নউলির উপপাদ্যে প্রতিষ্ঠিত একটি সত্য (সুইস গণিতবিদ জ্যাকব বার্নোলি(1654-1705))। বার্নউলের উপপাদ্যটি বৃহৎ সংখ্যার আইনের অন্যতম সহজ রূপ এবং প্রায়শই অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণ স্বরূপ, নমুনায় উত্তরদাতার যেকোনো গুণের সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার অনুমান হিসেবে নেওয়া হয়)।

অসামান্য ফরাসি গণিতবিদ সিমিওন ডেনি পয়সন(1781-1840) এই উপপাদ্যটিকে সাধারণীকরণ করেছে এবং এটিকে সেই ক্ষেত্রে প্রসারিত করেছে যখন একটি বিচারে ইভেন্টের সম্ভাবনা পূর্ববর্তী ট্রায়ালের ফলাফলের থেকে স্বাধীনভাবে পরিবর্তিত হয়। তিনিই প্রথম "বড় সংখ্যার আইন" শব্দটি ব্যবহার করেন।

মহান রাশিয়ান গণিতবিদ পাফনুটি লভোভিচ চেবিশেভ(1821 - 1894) প্রমাণ করেছে যে বৃহৎ সংখ্যার আইন যে কোনো পরিবর্তনের সাথে ঘটনাতে কাজ করে এবং গড় নিয়মিততা পর্যন্ত প্রসারিত হয়।

বৃহৎ সংখ্যার আইনের উপপাদ্যগুলির আরও সাধারণীকরণ নামের সাথে সংযুক্ত A.A.Markov, S.N.Bernshtein, A.Ya.Khinchin এবং A.N.Kolmlgorov.

সমস্যার সাধারণ আধুনিক প্রণয়ন, বৃহৎ সংখ্যার আইন প্রণয়ন, এই আইনের সাথে সম্পর্কিত উপপাদ্য প্রমাণের জন্য ধারণা এবং পদ্ধতির বিকাশ রাশিয়ান বিজ্ঞানীদের অন্তর্গত। পি.এল.চেবিশেভ, এ.এ.মার্কভ এবং এ.এম.লিয়াপুনভ.

চেবিশেভের অসাম্য

আসুন আমরা প্রথমে সহায়ক উপপাদ্যগুলি বিবেচনা করি: লেমা এবং চেবিশেভের অসমতা, যা চেবিশেভ আকারে বৃহৎ সংখ্যার আইন সহজেই প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

লেমা (চেবিশেভ)।

যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এর কোনো নেতিবাচক মান না থাকে, তাহলে এটি যে ধনাত্মক সংখ্যা A-কে ছাড়িয়ে যায় এমন কিছু মান গ্রহণ করার সম্ভাবনা একটি ভগ্নাংশের চেয়ে বেশি নয়, যার লব র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা, এবং হর হল সংখ্যা A:

প্রমাণ।এলোমেলো চলক X এর বন্টন আইন জানা যাক:

(i = 1, 2, ..., ), এবং আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলিকে আরোহী ক্রমে সাজানো বিবেচনা করি।

A সংখ্যার সাপেক্ষে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান দুটি গ্রুপে বিভক্ত: কিছু A এর বেশি নয়, অন্যরা A এর থেকে বড়। ধরুন যে প্রথম গ্রুপে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রথম মানগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে ( )

যেহেতু, তারপর যোগফলের সমস্ত পদ অ-ঋণাত্মক। অতএব, অভিব্যক্তিতে প্রথম পদগুলি বাদ দিয়ে, আমরা অসমতা পাই:

কারন

,

তারপর

Q.E.D.

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একই গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে বিভিন্ন বন্টন থাকতে পারে। যাইহোক, তাদের জন্য, চেবিশেভের লেমা এক বা অন্য পরীক্ষার ফলাফলের সম্ভাব্যতার একই অনুমান দেবে। লেমার এই ঘাটতিটি এর সাধারণতার সাথে সম্পর্কিত: একবারে সমস্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য একটি ভাল অনুমান অর্জন করা অসম্ভব।

চেবিশেভের অসমতা .

সম্ভাব্যতা যে একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এর গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে বিচ্যুতি পরম মান একটি ধনাত্মক সংখ্যা অতিক্রম করবে

প্রমাণ।যেহেতু একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা নেতিবাচক মান নেয় না, তাই আমরা অসমতা প্রয়োগ করি চেবিশেভ লেমা থেকে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর জন্য:

Q.E.D.

পরিণতি। কারন

,

তারপর

- চেবিশেভের অসমতার আরেকটি রূপ

আমরা প্রমাণ ছাড়াই স্বীকার করি যে লেমা এবং চেবিশেভের অসমতা ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্যও সত্য।

চেবিশেভের অসমতা বৃহৎ সংখ্যার আইনের গুণগত এবং পরিমাণগত বিবৃতির অন্তর্নিহিত। এটি সম্ভাব্যতার উপর ঊর্ধ্ব সীমা সংজ্ঞায়িত করে যে তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানের বিচ্যুতি কিছু প্রদত্ত সংখ্যার চেয়ে বেশি। এটা উল্লেখযোগ্য যে চেবিশেভ অসমতা একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতার একটি অনুমান দেয় যার বিতরণ অজানা, শুধুমাত্র তার গাণিতিক প্রত্যাশা এবং পার্থক্য জানা যায়।

উপপাদ্য। (চেবিশেভ আকারে বড় সংখ্যার আইন)

যদি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিচ্ছুরণগুলি একটি ধ্রুবক C দ্বারা সীমিত হয়, এবং তাদের সংখ্যা যথেষ্ট বড় হয়, তাহলে সম্ভাব্যতা নির্বিচারে একতার কাছাকাছি যে তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার পাটিগণিত গড় থেকে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পাটিগণিত গড়ের বিচ্যুতি ঘটবে না। প্রদত্ত ধনাত্মক সংখ্যাকে পরম মানের ছাড়িয়ে যান, তা যত ছোটই হোক না কেন:

.

আমরা প্রমাণ ছাড়া উপপাদ্য গ্রহণ.

পরিণতি ১. যদি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একই, সমান, গাণিতিক প্রত্যাশা থাকে, তাদের বৈচিত্রগুলি একই ধ্রুবক C দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে এবং তাদের সংখ্যা যথেষ্ট বড় হয়, তাহলে প্রদত্ত ধনাত্মক সংখ্যাটি যতই ছোট হোক না কেন, গড়টির বিচ্যুতি হওয়ার সম্ভাবনা নির্বিচারে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একতার গাণিতিকের কাছাকাছি থেকে পরম মান অতিক্রম করবে না।

একই অবস্থার অধীনে করা যথেষ্ট পরিমাণে পরিমাপের ফলাফলের গাণিতিক গড় হিসাবে একটি অজানা পরিমাণের আনুমানিক মান নেওয়া হয় তা এই উপপাদ্য দ্বারা ন্যায়সঙ্গত হতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, পরিমাপের ফলাফলগুলি এলোমেলো, যেহেতু তারা অনেকগুলি এলোমেলো কারণ দ্বারা প্রভাবিত হয়। পদ্ধতিগত ত্রুটির অনুপস্থিতির অর্থ হল পৃথক পরিমাপের ফলাফলের গাণিতিক প্রত্যাশা একই এবং সমান। ফলস্বরূপ, বৃহৎ সংখ্যার আইন অনুসারে, যথেষ্ট পরিমাণে পরিমাপের পাটিগণিত গড় কার্যত নির্বিচারে পছন্দসই মানের সত্যিকারের মান থেকে সামান্যই আলাদা হবে।

(মনে রাখবেন যে ত্রুটিগুলিকে পদ্ধতিগত বলা হয় যদি তারা পরিমাপের ফলাফলকে কম-বেশি স্পষ্ট আইন অনুসারে একই দিকে বিকৃত করে। এর মধ্যে ত্রুটিগুলি অন্তর্ভুক্ত থাকে যা যন্ত্রগুলির অসম্পূর্ণতার (ইনস্ট্রুমেন্টাল ত্রুটি), ব্যক্তিগত বৈশিষ্ট্যের কারণে প্রদর্শিত হয়। পর্যবেক্ষকের (ব্যক্তিগত ত্রুটি) এবং ইত্যাদি)

পরিণতি 2 . (বার্নউলির উপপাদ্য।)

যদি প্রতিটি স্বাধীন ট্রায়ালে ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা ধ্রুবক থাকে এবং তাদের সংখ্যা যথেষ্ট পরিমাণে বড় হয়, তাহলে সম্ভাবনাটি নির্বিচারে একতার কাছাকাছি থাকে যে ঘটনার সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি তার সম্ভাব্যতার থেকে যথেচ্ছভাবে সামান্য ভিন্ন হয়। ঘটনা:

বার্নোলির উপপাদ্যটি বলে যে যদি একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা সমস্ত পরীক্ষায় একই হয়, তবে পরীক্ষার সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে ঘটনার ফ্রিকোয়েন্সি ঘটনার সম্ভাব্যতার দিকে ঝুঁকে যায় এবং এলোমেলো হয়ে যায়।

অনুশীলনে, পরীক্ষাগুলি তুলনামূলকভাবে বিরল যেখানে কোনও পরীক্ষায় ঘটে যাওয়া ঘটনার সম্ভাবনা অপরিবর্তিত থাকে, প্রায়শই এটি বিভিন্ন পরীক্ষায় ভিন্ন হয়। পয়সনের উপপাদ্যটি এই ধরণের একটি পরীক্ষার স্কিমকে বোঝায়:

ফলাফল 3 . (পয়সনের উপপাদ্য।)

পূর্ববর্তী ট্রায়ালের ফলাফল জানার পর যদি একটি -পরীক্ষায় একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা পরিবর্তিত না হয় এবং তাদের সংখ্যা যথেষ্ট বড় হয়, তাহলে একটি ঘটনার সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি পাটিগণিতের গড় সম্ভাব্যতা থেকে যথেচ্ছভাবে সামান্য আলাদা হওয়ার সম্ভাবনা নির্বিচারে ঐক্যের কাছাকাছি:

পয়সনের উপপাদ্যটি বলে যে স্বাধীন পরীক্ষার একটি সিরিজে একটি ঘটনার ফ্রিকোয়েন্সি তার সম্ভাব্যতার গাণিতিক গড়ের দিকে ঝোঁক এবং এলোমেলো হওয়া বন্ধ করে দেয়।

উপসংহারে, আমরা লক্ষ্য করি যে বিবেচিত উপপাদ্যগুলির মধ্যে কোনটিও পছন্দসই সম্ভাবনার সঠিক বা এমনকি আনুমানিক মান দেয় না, তবে শুধুমাত্র এর নিম্ন বা উপরের সীমা নির্দেশিত হয়। অতএব, যদি সংশ্লিষ্ট ঘটনার সম্ভাব্যতার সঠিক বা অন্তত আনুমানিক মান স্থাপনের প্রয়োজন হয়, তাহলে এই উপপাদ্যগুলির সম্ভাবনা খুবই সীমিত।

বড় মানের জন্য আনুমানিক সম্ভাব্যতা শুধুমাত্র সীমা উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। তাদের মধ্যে, হয় অতিরিক্ত বিধিনিষেধগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবলের উপর আরোপ করা হয় (যেমনটি ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, লিয়াপুনভ উপপাদ্যে), অথবা একটি নির্দিষ্ট ধরণের র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিবেচনা করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, মোইভরে-ল্যাপ্লেস ইন্টিগ্রাল থিওরেমে)।

চেবিশেভের উপপাদ্যের তাত্ত্বিক তাত্পর্য, যা বৃহৎ সংখ্যার আইনের একটি খুব সাধারণ প্রণয়ন। যাইহোক, যদি আমরা এটি প্রয়োগ করি যে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমানুসারে বৃহৎ সংখ্যার আইন প্রয়োগ করা সম্ভব কিনা, তাহলে, যদি উত্তর হ্যাঁ হয়, তাহলে উপপাদ্যটির প্রায়শই প্রয়োজন হবে যে এর চেয়ে অনেক বেশি র্যান্ডম ভেরিয়েবল থাকতে হবে। বৃহৎ সংখ্যক আইন কার্যকর হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয়। চেবিশেভের উপপাদ্যের এই ত্রুটিটি এর সাধারণ চরিত্র দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে। অতএব, উপপাদ্য থাকা বাঞ্ছনীয় যেগুলি কাঙ্ক্ষিত সম্ভাব্যতার উপর আবদ্ধ নিম্ন (বা উপরের) আরও সঠিকভাবে নির্দেশ করবে। এগুলি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উপর কিছু অতিরিক্ত বিধিনিষেধ আরোপ করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, যা সাধারণত অনুশীলনে সম্মুখীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সন্তুষ্ট হয়।

বড় সংখ্যার আইনের বিষয়বস্তুর উপর মন্তব্য

যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সংখ্যা যথেষ্ট বড় হয় এবং তারা কিছু খুব সাধারণ শর্ত পূরণ করে, তাহলে, সেগুলি যেভাবেই বিতরণ করা হোক না কেন, এটি কার্যত নিশ্চিত যে তাদের গাণিতিক গড় একটি ধ্রুবক মান থেকে যথেচ্ছভাবে ছোট হয়ে যায় - তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার পাটিগণিত গড়, অর্থাৎ কার্যত ধ্রুবক। বৃহৎ সংখ্যার আইনের সাথে সম্পর্কিত উপপাদ্যগুলির বিষয়বস্তু এই রকম। ফলস্বরূপ, বৃহৎ সংখ্যার নিয়ম হল সুযোগ এবং প্রয়োজনীয়তার মধ্যে দ্বান্দ্বিক সংযোগের একটি অভিব্যক্তি।

বৃহৎ সংখ্যার আইনের বহিঃপ্রকাশ হিসাবে নতুন গুণগত অবস্থার উত্থানের অনেক উদাহরণ দেওয়া যেতে পারে, প্রাথমিকভাবে শারীরিক ঘটনাগুলির মধ্যে। আসুন তাদের মধ্যে একটি বিবেচনা করা যাক।

আধুনিক ধারণা অনুসারে, গ্যাসগুলি পৃথক কণা-অণুগুলি নিয়ে গঠিত যা বিশৃঙ্খল গতিতে থাকে এবং এটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে কোথায় থাকবে এবং এই বা সেই অণুটি কী গতিতে চলবে তা বলা অসম্ভব। যাইহোক, পর্যবেক্ষণগুলি দেখায় যে অণুগুলির মোট প্রভাব, যেমন একটি গ্যাসের উপর চাপ

জাহাজের প্রাচীর, আশ্চর্যজনক স্থিরতার সাথে নিজেকে প্রকাশ করে। এটি আঘাতের সংখ্যা এবং তাদের প্রতিটির শক্তি দ্বারা নির্ধারিত হয়। যদিও প্রথম এবং দ্বিতীয়টি সুযোগের বিষয়, যন্ত্রগুলি স্বাভাবিক অবস্থায় গ্যাসের চাপের ওঠানামা সনাক্ত করে না। এটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে বিপুল সংখ্যক অণুর কারণে, এমনকি ক্ষুদ্রতম আয়তনেও

লক্ষণীয় পরিমাণ দ্বারা চাপের পরিবর্তন প্রায় অসম্ভব। অতএব, গ্যাসের চাপের স্থায়িত্বকে যে ভৌত আইন বলে তা বৃহৎ সংখ্যার আইনের প্রকাশ।

এক সময়ে গ্যাসের চাপের স্থায়িত্ব এবং কিছু অন্যান্য বৈশিষ্ট্য পদার্থের গঠনের আণবিক তত্ত্বের বিরুদ্ধে একটি ভারী যুক্তি হিসেবে কাজ করেছিল। পরবর্তীকালে, তারা তুলনামূলকভাবে অল্প সংখ্যক অণুকে বিচ্ছিন্ন করতে শিখেছিল, এটি নিশ্চিত করে যে স্বতন্ত্র অণুর প্রভাব এখনও রয়ে গেছে, এবং এইভাবে বৃহৎ সংখ্যার আইন যথেষ্টভাবে নিজেকে প্রকাশ করতে পারেনি। তারপর গ্যাসের চাপের ওঠানামা পর্যবেক্ষণ করা সম্ভব হয়েছিল, পদার্থের আণবিক কাঠামোর অনুমান নিশ্চিত করে।

বৃহৎ সংখ্যার আইন বিভিন্ন ধরণের বীমা (বিভিন্ন সময়ের জন্য মানব জীবন বীমা, সম্পত্তি, পশুসম্পদ, ফসল ইত্যাদি) অন্তর্গত।

ভোগ্যপণ্যের পরিসর পরিকল্পনা করার সময়, জনসংখ্যার কাছ থেকে তাদের চাহিদা বিবেচনায় নেওয়া হয়। এই দাবিতে, বিপুল সংখ্যক আইনের অপারেশন প্রকাশ পায়।

পরিসংখ্যানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত নমুনা পদ্ধতিটি বৃহৎ সংখ্যার আইনে এর বৈজ্ঞানিক ন্যায্যতা খুঁজে পায়। উদাহরণস্বরূপ, সমষ্টিগত খামার থেকে সংগ্রহস্থলে আনা গমের গুণমান একটি ছোট পরিমাপে ঘটনাক্রমে ধরা পড়া শস্যের গুণমান দ্বারা বিচার করা হয়। পুরো ব্যাচের তুলনায় পরিমাপে কয়েকটি শস্য রয়েছে, তবে যে কোনও ক্ষেত্রে, পরিমাপটি এমনভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে যে এতে যথেষ্ট পরিমাণে শস্য রয়েছে।

একটি নির্ভুলতার সাথে বড় সংখ্যার আইনের প্রকাশ যা প্রয়োজনকে সন্তুষ্ট করে। আমাদের আগাছা, আর্দ্রতা এবং আগত শস্যের সমগ্র ব্যাচের শস্যের গড় ওজনের সূচক হিসাবে নমুনায় সংশ্লিষ্ট সূচকগুলি নেওয়ার অধিকার রয়েছে।

বৃহৎ সংখ্যক আইনের বিষয়বস্তু গভীর করার জন্য বিজ্ঞানীদের আরও প্রচেষ্টার উদ্দেশ্য ছিল এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রমানুসারে এই আইনের প্রয়োগযোগ্যতার জন্য সবচেয়ে সাধারণ শর্তগুলি প্রাপ্ত করা। দীর্ঘকাল ধরে এই দিকটিতে কোনও মৌলিক সাফল্য ছিল না। পি.এল. চেবিশেভ এবং এ.এ. মার্কভের পরে, শুধুমাত্র 1926 সালে সোভিয়েত শিক্ষাবিদ এ.এন. কোলমোগোরভ স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি অনুক্রমের জন্য প্রচুর সংখ্যার আইন প্রযোজ্য হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্তগুলি পেতে পরিচালনা করেছিলেন। 1928 সালে, সোভিয়েত বিজ্ঞানী A. Ya. Khinchin দেখিয়েছিলেন যে স্বাধীন অভিন্নভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রমানুসারে বৃহৎ সংখ্যার আইনের প্রয়োগযোগ্যতার জন্য একটি পর্যাপ্ত শর্ত হল তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার অস্তিত্ব।

অনুশীলনের জন্য, নির্ভরশীল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বৃহৎ সংখ্যার আইনের প্রযোজ্যতার প্রশ্নটি সম্পূর্ণরূপে পরিষ্কার করা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু প্রকৃতি এবং সমাজের ঘটনাগুলি পারস্পরিকভাবে নির্ভরশীল এবং পারস্পরিকভাবে একে অপরকে নির্ধারণ করে। যে বিধিনিষেধ আরোপ করা আবশ্যক তা ব্যাখ্যা করার জন্য অনেক কাজ নিবেদিত হয়েছে

নির্ভরশীল র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলিতে যাতে বৃহৎ সংখ্যার আইন তাদের উপর প্রয়োগ করা যায়, সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণগুলি হল অসামান্য রাশিয়ান বিজ্ঞানী এ.এ. মার্কভ এবং মহান সোভিয়েত বিজ্ঞানী এস.এন. বার্নশটাইন এবং এ. ইয়া. খিনচিন।

এই কাগজগুলির প্রধান ফলাফল হল যে বৃহৎ সংখ্যার আইন নির্ভরশীল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য প্রযোজ্য, যদি শুধুমাত্র শক্তিশালী নির্ভরতা থাকে কাছাকাছি সংখ্যা সহ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে এবং দূরবর্তী সংখ্যা সহ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে, নির্ভরতা যথেষ্ট দুর্বল। এই ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ হল জলবায়ুর সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য। প্রতিটি দিনের আবহাওয়া আগের দিনের আবহাওয়ার দ্বারা লক্ষণীয়ভাবে প্রভাবিত হয় এবং প্রভাবটি একে অপরের থেকে দিনের দূরত্বের সাথে লক্ষণীয়ভাবে দুর্বল হয়ে পড়ে। ফলস্বরূপ, দীর্ঘমেয়াদী গড় তাপমাত্রা, চাপ এবং প্রদত্ত অঞ্চলের জলবায়ুর অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলি, বড় সংখ্যার আইন অনুসারে, কার্যত তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার কাছাকাছি হওয়া উচিত। পরেরটি স্থানীয় জলবায়ুর বস্তুনিষ্ঠ বৈশিষ্ট্য।

বৃহৎ সংখ্যার আইন পরীক্ষামূলকভাবে যাচাই করার জন্য, বিভিন্ন সময়ে নিম্নলিখিত পরীক্ষাগুলি করা হয়েছিল।

1. অভিজ্ঞতা বুফন. মুদ্রাটি 4040 বার উল্টানো হয়। অস্ত্রের কোট 2048 বার পড়েছিল। এর সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি ছিল 0.50694 = সমান

2. অভিজ্ঞতা পিয়ারসন. মুদ্রাটি 12,000 এবং 24,000 বার উল্টানো হয়। প্রথম ক্ষেত্রে অস্ত্রের কোট হারানোর ফ্রিকোয়েন্সি 0.5016, দ্বিতীয়টিতে - 0.5005 হতে দেখা গেছে।

এইচ. অভিজ্ঞতা ওয়েস্টারগার্ড. কলস থেকে, যেখানে সমানভাবে সাদা এবং কালো বল ছিল, 5011টি সাদা এবং 4989টি কালো বল 10,000 নিষ্কাশনের সাথে প্রাপ্ত হয়েছিল (পরের টানা বলটি কলসে ফিরে আসার সাথে)। সাদা বলের ফ্রিকোয়েন্সি ছিল 0.50110 = (), এবং কালো - 0.49890।

4. V.I এর অভিজ্ঞতা রোমানভস্কি. চারটি কয়েন 21160 বার নিক্ষেপ করা হয়। কোট অফ আর্মস এবং গ্রেটিংয়ের বিভিন্ন সংমিশ্রণের ফ্রিকোয়েন্সি এবং ফ্রিকোয়েন্সিগুলি নিম্নরূপ বিতরণ করা হয়েছিল:

বৃহৎ সংখ্যক আইনের পরীক্ষামূলক পরীক্ষার ফলাফল আমাদেরকে নিশ্চিত করে যে পরীক্ষামূলক ফ্রিকোয়েন্সিগুলি সম্ভাব্যতার কাছাকাছি।

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য

এটা প্রমাণ করা সহজ যে স্বাধীনভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যেকোনো সীমিত সংখ্যার যোগফলও স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী বিতরণ করা হয়।

যদি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলিকে স্বাভাবিক নিয়ম অনুসারে বিতরণ করা না হয়, তাহলে তাদের উপর কিছু খুব শিথিল বিধিনিষেধ আরোপ করা যেতে পারে এবং তাদের যোগফল এখনও স্বাভাবিকভাবে বিতরণ করা হবে।

এই সমস্যাটি প্রধানত রাশিয়ান বিজ্ঞানী পি.এল. চেবিশেভ এবং তার ছাত্র এ.এ.মার্কভ এবং এ.এম. লিয়াপুনভ দ্বারা উত্থাপিত এবং সমাধান করেছিলেন।

উপপাদ্য (লিয়াপুনভ)।

যদি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সসীম গাণিতিক প্রত্যাশা এবং সসীম বৈচিত্র্য থাকে , তাদের সংখ্যা যথেষ্ট বড়, এবং একটি সীমাহীন বৃদ্ধি সঙ্গে

,

তৃতীয় ক্রমটির নিখুঁত কেন্দ্রীয় মুহূর্তগুলি কোথায়, তারপরে যথেষ্ট পরিমাণ নির্ভুলতার সাথে তাদের যোগফলের একটি বিতরণ রয়েছে

(আসলে, আমরা লিয়াপুনভের উপপাদ্য নয়, বরং এর একটি উপপাদ্য উপস্থাপন করছি, যেহেতু এই উপপাদ্যটি ব্যবহারিক প্রয়োগের জন্য যথেষ্ট। অতএব, শর্তটি, যাকে লিয়াপুনভ অবস্থা বলা হয়, লিয়াপুনভের প্রমাণের জন্য প্রয়োজনীয়তার চেয়ে শক্তিশালী প্রয়োজন। উপপাদ্য নিজেই।)

শর্তের অর্থ হল প্রতিটি পদের ক্রিয়া (এলোমেলো পরিবর্তনশীল) তাদের সকলের মোট কর্মের তুলনায় ছোট। প্রকৃতিতে এবং সামাজিক জীবনে ঘটে যাওয়া অনেক এলোমেলো ঘটনা ঠিক এই প্যাটার্ন অনুযায়ী চলে। এই ক্ষেত্রে, লিয়াপুনভের উপপাদ্যটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং স্বাভাবিক বন্টন আইন হল সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক আইনগুলির মধ্যে একটি।

যেমন ধরুন, মাপাকিছু আকার। এর প্রকৃত মান (গাণিতিক প্রত্যাশা) থেকে পর্যবেক্ষিত মানগুলির বিভিন্ন বিচ্যুতিগুলি খুব বড় সংখ্যক কারণের প্রভাবের ফলে প্রাপ্ত হয়, যার প্রতিটি একটি ছোট ত্রুটি তৈরি করে, এবং . তারপর মোট পরিমাপ ত্রুটি একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল, যা, Lyapunov উপপাদ্য অনুযায়ী, স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী বিতরণ করা আবশ্যক।

এ বন্দুক গুলিখুব বড় সংখ্যক এলোমেলো কারণের প্রভাবে, শেলগুলি একটি নির্দিষ্ট এলাকায় ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকে। প্রক্ষিপ্ত গতিপথের উপর র্যান্ডম প্রভাব স্বাধীন বলে বিবেচনা করা যেতে পারে। প্রতিটি কারণ সমস্ত কারণের কারণে মোট পরিবর্তনের তুলনায় ট্র্যাজেক্টোরিতে সামান্য পরিবর্তন ঘটায়। অতএব, এটা আশা করা উচিত যে লক্ষ্য থেকে প্রক্ষিপ্ত ফাটল সাইটের বিচ্যুতি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হবে যা স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী বিতরণ করা হবে।

লিয়াপুনভের উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের এটি আশা করার অধিকার রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, প্রাপ্তবয়স্ক পুরুষ উচ্চতাএকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী বিতরণ করা হয়। এই অনুমান, সেইসাথে পূর্ববর্তী দুটি উদাহরণে বিবেচনা করা হয়েছে, পর্যবেক্ষণের সাথে ভাল একমত৷ নিশ্চিত করার জন্য, আমরা 1000 প্রাপ্তবয়স্ক পুরুষ শ্রমিকের উচ্চতা এবং পুরুষদের সংশ্লিষ্ট তাত্ত্বিক সংখ্যা, অর্থাৎ, পুরুষদের সংখ্যা যা স্বাভাবিক আইন অনুযায়ী পুরুষদের বন্টন অনুমান বৃদ্ধির উপর ভিত্তি করে এই গোষ্ঠীর বৃদ্ধি থাকা উচিত।

পরীক্ষামূলক ডেটা এবং তাত্ত্বিকগুলির মধ্যে আরও সঠিক চুক্তি আশা করা কঠিন হবে।

লিয়াপুনভের উপপাদ্যের ফলাফল হিসাবে কেউ সহজেই প্রমাণ করতে পারে, একটি প্রস্তাব যা নমুনা পদ্ধতিকে ন্যায্যতা দেওয়ার জন্য নিম্নলিখিতগুলির প্রয়োজন হবে।

বাক্য।

তৃতীয় ক্রমের পরম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত সহ অভিন্নভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের যথেষ্ট পরিমাণে যোগফল স্বাভাবিক নিয়ম অনুসারে বিতরণ করা হয়।

সম্ভাব্যতার তত্ত্বের সীমা উপপাদ্য, Moivre-Laplace-এর উপপাদ্যগুলি একটি ঘটনার সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সির স্থিতিশীলতার প্রকৃতি ব্যাখ্যা করে। এই প্রকৃতির মধ্যে রয়েছে যে ট্রায়ালের সংখ্যা সীমাহীন বৃদ্ধি সহ একটি ঘটনার সংঘটনের সংখ্যার সীমাবদ্ধ বন্টন (যদি সমস্ত ট্রায়ালে একটি ঘটনার সম্ভাবনা একই হয়) একটি স্বাভাবিক বন্টন।

এলোমেলো ভেরিয়েবলের সিস্টেম।

উপরে বিবেচিত এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি এক-মাত্রিক ছিল, যেমন একটি সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়েছিল, তবে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলও রয়েছে যা দুই, তিন, ইত্যাদি দ্বারা নির্ধারিত হয়। সংখ্যা এই ধরনের র্যান্ডম চলককে বলা হয় দ্বিমাত্রিক, ত্রিমাত্রিক ইত্যাদি।

সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ধরণের উপর নির্ভর করে, সিস্টেমগুলি পৃথক, অবিচ্ছিন্ন বা মিশ্র হতে পারে যদি সিস্টেমে বিভিন্ন ধরণের র্যান্ডম ভেরিয়েবল অন্তর্ভুক্ত থাকে।

আসুন আমরা আরও বিশদে দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সিস্টেম বিবেচনা করি।

সংজ্ঞা। বন্টন আইনএলোমেলো ভেরিয়েবলের সিস্টেমকে এমন একটি সম্পর্ক বলা হয় যা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সিস্টেমের সম্ভাব্য মানগুলির ক্ষেত্র এবং এই অঞ্চলগুলিতে সিস্টেমের সংঘটনের সম্ভাব্যতার মধ্যে একটি সম্পর্ক স্থাপন করে।

উদাহরণ। 2টি সাদা এবং 3টি কালো বল সম্বলিত একটি কলস থেকে দুটি বল টানা হয়। আঁকা সাদা বলের সংখ্যা ধরা যাক, এবং এলোমেলো ভেরিয়েবলটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

এলোমেলো ভেরিয়েবলের সিস্টেমের একটি বন্টন টেবিল তৈরি করা যাক:

যেহেতু এই সম্ভাবনা যে কোন সাদা বল বের করা হয় না (অতএব, দুটি কালো বল বের করা হয়), যখন , তারপর

.

সম্ভাবনা

.

সম্ভাবনা

সম্ভাবনা কোন সাদা বল বের না হওয়ার সম্ভাবনা (এবং তাই, দুটি কালো বল বের করা হয়), যখন , তারপর

সম্ভাবনা একটি সাদা বল (এবং, তাই, একটি কালো) আঁকার সম্ভাবনা, যখন , তারপর

সম্ভাবনা - সম্ভাব্যতা যে দুটি সাদা বল আঁকা হয়েছে (এবং, তাই, কোন কালো নেই), যখন , তারপর

.

সুতরাং, একটি দ্বি-মাত্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন সিরিজের ফর্ম রয়েছে:

সংজ্ঞা। বিতরণ ফাংশনদুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সিস্টেমকে দুটি আর্গুমেন্টের ফাংশন বলা হয়চ( এক্স, y) , দুটি অসমতার যৌথ পরিপূর্ণতার সম্ভাবনার সমানএক্স< এক্স, Y< y.

আমরা দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমের বন্টন ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি নোট করি:

1) ;

2) ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনটি প্রতিটি আর্গুমেন্টের ক্ষেত্রে একটি অ-হ্রাসকারী ফাংশন:

3) নিম্নলিখিত সত্য:

4)

5) একটি এলোমেলো বিন্দুতে আঘাত করার সম্ভাবনা (এক্স, ওয়াই ) স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরাল বাহু সহ একটি নির্বিচারে আয়তক্ষেত্রে, সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমের বন্টন ঘনত্ব।

সংজ্ঞা।যৌথ বন্টন ঘনত্বএকটি দ্বি-মাত্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা (এক্স, ওয়াই ) কে বন্টন ফাংশনের দ্বিতীয় মিশ্র আংশিক ডেরিভেটিভ বলা হয়।

বন্টন ঘনত্ব জানা থাকলে, বন্টন ফাংশন সূত্র দ্বারা পাওয়া যাবে:

দ্বি-মাত্রিক বণ্টন ঘনত্ব অ-ঋণাত্মক এবং দ্বি-মাত্রিক ঘনত্বের অসীম সীমা সহ দ্বি-অখণ্ড একের সমান।

পরিচিত যৌথ বন্টন ঘনত্ব থেকে, কেউ একটি দ্বি-মাত্রিক র্যান্ডম চলকের প্রতিটি উপাদানের বন্টন ঘনত্ব খুঁজে পেতে পারে।

; ;

বন্টন শর্তাধীন আইন.

উপরে দেখানো হিসাবে, যৌথ বন্টন আইন জেনে, কেউ সহজেই সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বন্টন আইন খুঁজে পেতে পারে।

যাইহোক, অনুশীলনে, বিপরীত সমস্যাটি প্রায়শই হয় - র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিতরণের পরিচিত আইন অনুসারে, তাদের যৌথ বন্টন আইনটি খুঁজুন।

সাধারণ ক্ষেত্রে, এই সমস্যাটি অমীমাংসিত, কারণ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন অন্যান্য র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে এই ভেরিয়েবলের সম্পর্ক সম্পর্কে কিছুই বলে না।

উপরন্তু, যদি এলোমেলো ভেরিয়েবল একে অপরের উপর নির্ভরশীল হয়, তাহলে বন্টন আইনটি উপাদানগুলির বন্টন আইনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যাবে না, যেহেতু উপাদানগুলির মধ্যে একটি সংযোগ স্থাপন করা উচিত।

এই সব শর্তাধীন বন্টন আইন বিবেচনা করার প্রয়োজন বাড়ে.

সংজ্ঞা। সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন, এই শর্তে পাওয়া যায় যে অন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি নির্দিষ্ট মান নিয়েছে, বলা হয় শর্তসাপেক্ষ বন্টন আইন.

শর্তসাপেক্ষ বন্টন আইন বন্টন ফাংশন এবং বন্টন ঘনত্ব উভয় দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে।

শর্তসাপেক্ষ বন্টন ঘনত্ব সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

শর্তসাপেক্ষ বন্টন ঘনত্বে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বন্টন ঘনত্বের সমস্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

শর্তযুক্ত গাণিতিক প্রত্যাশা।

সংজ্ঞা। শর্তাধীন প্রত্যাশাবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল Y এ X = x (x হল X এর একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্য মান) সকল সম্ভাব্য মানের গুণফল বলা হয় Y তাদের শর্তাধীন সম্ভাবনার উপর।

ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য:

,

কোথায় চ( y/ এক্স) র্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব Y যখন X = x।

শর্তাধীন প্রত্যাশাএম( Y/ এক্স)= চ( এক্স) এর একটি ফাংশন এক্সএবং কল রিগ্রেশন ফাংশন এক্স চালু Y.

উদাহরণ।উপাদানটির শর্তাধীন প্রত্যাশা খুঁজুন Y এ

X=x1 টেবিল দ্বারা প্রদত্ত একটি বিচ্ছিন্ন দ্বি-মাত্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য =1:

এলোমেলো ভেরিয়েবলের সিস্টেমের শর্তসাপেক্ষ প্রকরণ এবং শর্তসাপেক্ষ মুহূর্তগুলি একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

নির্ভরশীল এবং স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল।

সংজ্ঞা। র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলকে বলা হয় স্বাধীন, যদি তাদের একটির বণ্টন আইন অন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি কী মান নেয় তার উপর নির্ভর করে না।

সম্ভাব্যতা তত্ত্বে এলোমেলো ভেরিয়েবলের নির্ভরতার ধারণাটি খুবই গুরুত্বপূর্ণ।

স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তসাপেক্ষ বণ্টন তাদের শর্তহীন বন্টনের সমান।

আসুন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্বাধীনতার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্তগুলি সংজ্ঞায়িত করি।

উপপাদ্য। Y স্বাধীন, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে সিস্টেমের বিতরণ ফাংশন ( এক্স, Y) উপাদানগুলির বন্টন ফাংশনের গুণফলের সমান ছিল।

বন্টন ঘনত্বের জন্য একটি অনুরূপ উপপাদ্য প্রণয়ন করা যেতে পারে:

উপপাদ্য। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য X এবং Y স্বাধীন, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে সিস্টেমের যৌথ বন্টন ঘনত্ব ( এক্স, Y) উপাদানগুলির বন্টন ঘনত্বের গুণফলের সমান ছিল।

নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহারিকভাবে ব্যবহৃত হয়:

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য:

ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য:

পারস্পরিক সম্পর্কের মুহূর্তটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্ককে চিহ্নিত করতে কাজ করে। যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল স্বাধীন হয়, তাহলে তাদের পারস্পরিক সম্পর্ক মুহূর্ত শূন্য।

পারস্পরিক সম্পর্কের মুহূর্তটির একটি মাত্রা রয়েছে এলোমেলো চলক X এবং এর মাত্রার গুণফলের সমান Y . এই সত্য এই সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য একটি অসুবিধা, যেহেতু পরিমাপের বিভিন্ন ইউনিটের সাথে, বিভিন্ন পারস্পরিক সম্পর্ক মুহূর্ত পাওয়া যায়, যা বিভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পারস্পরিক সম্পর্ক মুহূর্তগুলিকে তুলনা করা কঠিন করে তোলে।

এই ত্রুটি দূর করার জন্য, আরেকটি বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করা হয় - পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ।

সংজ্ঞা। পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ rxy এলোমেলো ভেরিয়েবল X এবং Y এই রাশিগুলির মানক বিচ্যুতির গুণফলের সাথে পারস্পরিক সম্পর্ক মুহূর্তের অনুপাত।

পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ একটি মাত্রাহীন পরিমাণ। স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ শূন্য।

সম্পত্তি: দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এবং Y-এর পারস্পরিক সম্পর্ক মুহূর্তের পরম মান তাদের বিচ্ছুরণের জ্যামিতিক গড়কে অতিক্রম করে না।

সম্পত্তি: পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের পরম মান একতা অতিক্রম করে না।

র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলকে বলা হয় সম্পর্কযুক্তযদি তাদের পারস্পরিক সম্পর্ক মুহূর্ত অশূন্য হয়, এবং সম্পর্কহীনযদি তাদের পারস্পরিক সম্পর্ক শূন্য হয়।

যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল স্বাধীন হয়, তাহলে সেগুলি সম্পর্কহীন, কিন্তু অসম্পর্ক থেকে কেউ এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারে না যে তারা স্বাধীন।

যদি দুটি পরিমাণ নির্ভরশীল হয়, তবে সেগুলি হয় পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত বা অসম্পর্কিত হতে পারে।

প্রায়শই, এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমের প্রদত্ত বন্টন ঘনত্ব অনুসারে, কেউ এই ভেরিয়েবলগুলির নির্ভরতা বা স্বাধীনতা নির্ধারণ করতে পারে।

পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ, এলোমেলো ভেরিয়েবলের নির্ভরতার মাত্রাও অন্য একটি রাশি দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে, যাকে বলা হয় কোভারিয়েন্সের সহগ. কোভারিয়েন্সের সহগ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

উদাহরণ।এলোমেলো চলকের সিস্টেমের বন্টন ঘনত্ব X এবংস্বাধীন অবশ্যই, তারাও সম্পর্কহীন হবে।

লিনিয়ার রিগ্রেশন।

একটি দ্বি-মাত্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিবেচনা করুন ( X , Y ), যেখানে X এবং Y নির্ভরশীল র্যান্ডম ভেরিয়েবল।

আসুন আমরা প্রায় একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে অন্যটির ফাংশন হিসাবে উপস্থাপন করি। একটি সঠিক মিল সম্ভব নয়. আমরা অনুমান করি যে এই ফাংশনটি রৈখিক।

এই ফাংশন নির্ধারণ করার জন্য, এটি শুধুমাত্র ধ্রুবক মান খুঁজে পেতে অবশেষ কএবং খ.

সংজ্ঞা। ফাংশনg( এক্স) ডাকা সর্বোত্তম অনুমানদৈব চলক Y সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি অর্থে, যদি গাণিতিক প্রত্যাশা

সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম মান গ্রহণ করে। এছাড়াও ফাংশনg( এক্স) ডাকা মানে বর্গক্ষেত্র রিগ্রেশন Y থেকে X।

উপপাদ্য। রৈখিক মানে বর্গক্ষেত্র রিগ্রেশন Y X on সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

এই সূত্রে m x= এম( এক্স এলোমেলো পরিবর্তনশীল Yর্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে আপেক্ষিক এক্স.এই মানটি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রতিস্থাপনের ফলে ত্রুটির মাত্রা চিহ্নিত করেYলিনিয়ার ফাংশনg( এক্স) = কএক্স +খ.

দেখা যায় যদি r= ± 1, তারপর অবশিষ্ট প্রকরণটি শূন্য, এবং তাই ত্রুটিটি শূন্য এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীলYর্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি রৈখিক ফাংশন দ্বারা সঠিকভাবে উপস্থাপন করা হয় এক্স.

ডাইরেক্ট রুট মানে স্কয়ার রিগ্রেশন এক্সউপরেYসূত্র দ্বারা অনুরূপভাবে নির্ধারিত হয়:এক্স এবং Yএকে অপরের সাথে সম্পর্কযুক্ত রৈখিক রিগ্রেশন ফাংশন আছে, তারপর আমরা বলি যে পরিমাণ এক্সএবংYসংযুক্ত রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক নির্ভরতা.

উপপাদ্য। যদি একটি দ্বি-মাত্রিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল ( এক্স, Y) সাধারণত বিতরণ করা হয়, তারপর X এবং Y একটি রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক নির্ভরতা দ্বারা সংযুক্ত করা হয়.

ই.জি. নিকিফোরোভা

এলোমেলো ঘটনাগুলির সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সিগুলির স্থিতিশীলতার ঘটনা, একটি বৃহৎ এবং বৈচিত্র্যময় উপাদানে আবিষ্কৃত, প্রথমে কোন যুক্তি ছিল না এবং এটি সম্পূর্ণরূপে অভিজ্ঞতামূলক সত্য হিসাবে বিবেচিত হয়েছিল। এই এলাকায় প্রথম তাত্ত্বিক ফলাফল ছিল 1713 সালে প্রকাশিত বিখ্যাত বার্নোলি উপপাদ্য, যা বিপুল সংখ্যক আইনের ভিত্তি স্থাপন করেছিল।

এর বিষয়বস্তুতে বার্নোলির উপপাদ্য হল একটি সীমা উপপাদ্য, অর্থাৎ, অ্যাসিম্পটোটিক অর্থের একটি বিবৃতি, যা বলে যে বিপুল সংখ্যক পর্যবেক্ষণ সহ সম্ভাব্য পরামিতিগুলির সাথে কী ঘটবে। এই ধরণের সমস্ত আধুনিক অসংখ্য বিবৃতির পূর্বপুরুষ হল বার্নউলির উপপাদ্য।

আজ মনে হচ্ছে বৃহৎ সংখ্যার গাণিতিক নিয়ম অনেক বাস্তব প্রক্রিয়ার কিছু সাধারণ সম্পত্তির প্রতিফলন।

বৃহৎ সংখ্যার আইনকে যতটা সম্ভব কভারেজ দেওয়ার ইচ্ছা থাকার কারণে, এই আইনটি প্রয়োগ করার অনেক দূরের সম্ভাব্য সম্ভাবনার সাথে সামঞ্জস্য রেখে, আমাদের শতাব্দীর অন্যতম সেরা গণিতবিদ এ.এন. কোলমোগোরভ এর সারমর্মটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করেছিলেন: বৃহৎ সংখ্যার আইন হল "একটি সাধারণ নীতি যার কারণে বিপুল সংখ্যক এলোমেলো কারণের ক্রিয়া ফলাফলের দিকে নিয়ে যায় প্রায় সুযোগ থেকে স্বাধীন।

সুতরাং, বৃহৎ সংখ্যার আইনের দুটি ব্যাখ্যা রয়েছে। একটি গাণিতিক, নির্দিষ্ট গাণিতিক মডেল, সূত্র, তত্ত্বের সাথে যুক্ত এবং দ্বিতীয়টি এই কাঠামোর বাইরে গিয়ে আরও সাধারণ। দ্বিতীয় ব্যাখ্যাটি গঠনের ঘটনার সাথে যুক্ত, যা প্রায়শই অনুশীলনে উল্লেখ করা হয়, প্রচুর পরিমাণে লুকানো বা দৃশ্যমান অভিনয় কারণগুলির পটভূমির বিরুদ্ধে নির্দেশিত পদক্ষেপের বিভিন্ন মাত্রায় যা বাহ্যিকভাবে এই ধরনের ধারাবাহিকতা নেই। দ্বিতীয় ব্যাখ্যার সাথে সম্পর্কিত উদাহরণগুলি হল মুক্ত বাজারে মূল্য নির্ধারণ, একটি নির্দিষ্ট বিষয়ে জনমত গঠন।

বৃহৎ সংখ্যার আইনের এই সাধারণ ব্যাখ্যাটি লক্ষ করার পরে, আসুন আমরা এই আইনের নির্দিষ্ট গাণিতিক সূত্রগুলির দিকে ফিরে যাই।

যেমনটি আমরা উপরে বলেছি, সম্ভাব্যতা তত্ত্বের জন্য প্রথম এবং মৌলিকভাবে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হল বার্নউলির উপপাদ্য। এই গাণিতিক সত্যের বিষয়বস্তু, যা আশেপাশের বিশ্বের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ নিয়মিততাকে প্রতিফলিত করে, নিম্নলিখিতটিতে হ্রাস করা হয়েছে।

অসংলগ্ন (অর্থাৎ, স্বাধীন) পরীক্ষার একটি ক্রম বিবেচনা করুন, যে শর্তগুলি পরীক্ষা থেকে পরীক্ষায় অবিচ্ছিন্নভাবে পুনরুত্পাদিত হয়। প্রতিটি পরীক্ষার ফলাফল আমাদের আগ্রহের ঘটনা চেহারা বা অ-আবির্ভাব হয়. কিন্তু

এই পদ্ধতিটি (বার্নোলি স্কিম) স্পষ্টতই অনেক ব্যবহারিক ক্ষেত্রের জন্য আদর্শ হিসাবে স্বীকৃত হতে পারে: নবজাতকের ক্রমানুসারে "ছেলে - মেয়ে", প্রতিদিনের আবহাওয়া পর্যবেক্ষণ ("বৃষ্টি হচ্ছিল - এটি ছিল না"), উৎপাদিত পণ্যের প্রবাহ নিয়ন্ত্রণ ("স্বাভাবিক - ত্রুটিপূর্ণ") ইত্যাদি

ঘটনার ঘনত্ব কিন্তুএ পৃবিচার ( t A -

ইভেন্ট ফ্রিকোয়েন্সি কিন্তুভিতরে পৃপরীক্ষা) বৃদ্ধির সাথে আছে পৃএর মান স্থিতিশীল করার প্রবণতা, এটি একটি অভিজ্ঞতামূলক সত্য।

বার্নোলির উপপাদ্য।আসুন আমরা যেকোনো ইচ্ছামত ছোট ধনাত্মক সংখ্যা ই. তারপর বেছে নিই

আমরা জোর দিই যে একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক মডেলে (বার্নোলি স্কিমে) বার্নৌলি দ্বারা প্রতিষ্ঠিত গাণিতিক তথ্যটি ফ্রিকোয়েন্সি স্থিতিশীলতার অভিজ্ঞতাগতভাবে প্রতিষ্ঠিত নিয়মিততার সাথে বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয়। বার্নৌলি শুধুমাত্র সূত্রের (9.1) বিবৃতিতে সন্তুষ্ট ছিলেন না, তবে অনুশীলনের প্রয়োজনীয়তা বিবেচনায় নিয়ে তিনি এই সূত্রে বিদ্যমান অসমতার একটি অনুমান দিয়েছেন। আমরা নীচের এই ব্যাখ্যায় ফিরে যাব।

বার্নোলির বৃহৎ সংখ্যার আইনটি বহুসংখ্যক গণিতবিদদের গবেষণার বিষয় হয়ে উঠেছে যারা এটিকে পরিমার্জন করতে চেয়েছিলেন। এরকম একটি পরিমার্জন ইংরেজ গণিতবিদ মোইভের দ্বারা প্রাপ্ত হয়েছিল এবং বর্তমানে এটিকে মোইভরে-ল্যাপ্লেস উপপাদ্য বলা হয়। বার্নোলি স্কিমে, স্বাভাবিক পরিমাণের ক্রম বিবেচনা করুন:

Moivre এর অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য - Laplace.যেকোনো দুটি সংখ্যা বাছুন এক্স (এবং x 2।এই ক্ষেত্রে, x, x 7, তারপর যখন পৃ -» °°

যদি সূত্রের ডান দিকে থাকে (9.3) চলক x xঅনন্তের দিকে ঝোঁক, তারপর ফলাফল সীমা, যা শুধুমাত্র x 2 এর উপর নির্ভর করে (এই ক্ষেত্রে, সূচক 2 সরানো যেতে পারে), একটি বিতরণ ফাংশন হবে, এটি বলা হয় আদর্শ স্বাভাবিক বিতরণ,বা গাউস আইন।

সূত্রের ডান দিক (9.3) y = এর সমান F(x 2) - F(x x)। F(x2)-> 1 এ x 2-> °° এবং F(x,) -> x এর জন্য 0, -> যথেষ্ট বড় নির্বাচন করে

X] > 0 এবং পর্যাপ্ত মানের পর্যাপ্ত বড় X] n আমরা অসমতা পাই:

হিসাব সূত্রে (9.2), আমরা কার্যত নির্ভরযোগ্য অনুমান বের করতে পারি:

যদি y = 0.95 এর নির্ভরযোগ্যতা (অর্থাৎ, 0.05 এর ত্রুটির সম্ভাবনা) কারও কাছে অপর্যাপ্ত বলে মনে হতে পারে, আপনি এটিকে নিরাপদে খেলতে পারেন এবং উপরে উল্লিখিত তিনটি সিগমা নিয়ম ব্যবহার করে কিছুটা বিস্তৃত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করতে পারেন:

এই ব্যবধানটি খুব উচ্চ আত্মবিশ্বাসের স্তর y = 0.997 (সাধারণ বন্টন টেবিল দেখুন) এর সাথে মিলে যায়।

একটি মুদ্রা নিক্ষেপের উদাহরণ বিবেচনা করুন। আসুন একটি মুদ্রা টস করি n = 100 বার. এটা হতে পারে যে ফ্রিকোয়েন্সি আরসম্ভাবনা থেকে খুব আলাদা হবে আর= 0.5 (মুদ্রার প্রতিসাম্য ধরে নেওয়া), উদাহরণস্বরূপ, এটি কি শূন্যের সমান হবে? এটি করার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় যে অস্ত্রের কোট একবারও পড়ে না। এই ধরনের একটি ঘটনা তাত্ত্বিকভাবে সম্ভব, কিন্তু আমরা ইতিমধ্যে এই ধরনের সম্ভাব্যতা গণনা করেছি, এই ঘটনার জন্য এটি সমান হবে এই মান

অত্যন্ত ছোট, এর ক্রম 30 দশমিক স্থান সহ একটি সংখ্যা। যেমন একটি সম্ভাবনা সঙ্গে একটি ঘটনা নিরাপদে কার্যত অসম্ভব বিবেচনা করা যেতে পারে. বিপুল সংখ্যক পরীক্ষার মাধ্যমে সম্ভাব্যতা থেকে কম্পাঙ্কের কোন বিচ্যুতি কার্যত সম্ভব? Moivre-Laplace উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা এই প্রশ্নের উত্তর নিম্নরূপ: সম্ভাব্যতা সহ এ= 0.95 কোট অফ আর্মস ফ্রিকোয়েন্সি আরআত্মবিশ্বাসের ব্যবধানে ফিট করে:

যদি 0.05 এর ত্রুটিটি ছোট না বলে মনে হয় তবে পরীক্ষার সংখ্যা বৃদ্ধি করা প্রয়োজন (একটি মুদ্রা টস করা)। একটি বৃদ্ধি সঙ্গে পৃআত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের প্রস্থ হ্রাস পায় (দুর্ভাগ্যবশত, আমরা যতটা চাই তত দ্রুত নয়, কিন্তু বিপরীতভাবে সমানুপাতিক -জেএন)।উদাহরণস্বরূপ, যখন পৃ= 10 000 আমরা পাই আরআত্মবিশ্বাসের সম্ভাব্যতার সাথে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানে থাকে এ= 0.95: 0.5 ± 0.01।

এইভাবে, আমরা সম্ভাব্যতার ফ্রিকোয়েন্সি আনুমানিক প্রশ্নের সাথে পরিমাণগতভাবে মোকাবিলা করেছি।

এখন এর কম্পাঙ্ক থেকে একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করা যাক এবং এই আনুমানিকতার ত্রুটিটি অনুমান করা যাক।

আমাদের একটি বড় সংখ্যা পরীক্ষা করা যাক পৃ(একটি মুদ্রা নিক্ষেপ), ঘটনার ফ্রিকোয়েন্সি পাওয়া গেছে কিন্তুএবং তার সম্ভাব্যতা অনুমান করতে চান আর.

বড় সংখ্যার আইন থেকে পৃএটি অনুসরণ করে:

আসুন এখন আনুমানিক সমতা (9.7) এর কার্যত সম্ভাব্য ত্রুটি অনুমান করি। এটি করার জন্য, আমরা ফর্মটিতে অসমতা (9.5) ব্যবহার করি:

খোঁজার জন্য আরচালু আরঅসমতা (9.8) সমাধান করা প্রয়োজন, এর জন্য এটিকে বর্গ করা এবং সংশ্লিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করা প্রয়োজন। ফলস্বরূপ, আমরা পাই:

কোথায়

একটি আনুমানিক অনুমান জন্য আরচালু আরসূত্রে হতে পারে (9.8) আরডানদিকে, দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন আরঅথবা সূত্রে (9.10), (9.11) বিবেচনা করুন

তারপর আমরা পাই:

ঢুকতে দাও পৃ= 400টি পরীক্ষা ফ্রিকোয়েন্সি মান পেয়েছে আর= 0.25, তারপর আত্মবিশ্বাস স্তর y = 0.95 এ আমরা খুঁজে পাই:

কিন্তু যদি আমাদের আরও সঠিকভাবে সম্ভাব্যতা জানতে হয়, একটি ত্রুটি সহ, বলুন, 0.01 এর বেশি নয়? এটি করার জন্য, আপনাকে পরীক্ষার সংখ্যা বাড়াতে হবে।

সূত্রে ধরে নিচ্ছি (9.12) সম্ভাবনা আর= 0.25, আমরা 0.01 এর প্রদত্ত মানের সাথে ত্রুটির মানকে সমান করি এবং এর জন্য একটি সমীকরণ পাই পি:

এই সমীকরণ সমাধান, আমরা পেতে n~ 7500.

আসুন এখন আরও একটি প্রশ্ন বিবেচনা করা যাক: পরীক্ষায় প্রাপ্ত সম্ভাব্যতা থেকে কম্পাঙ্কের বিচ্যুতি কি এলোমেলো কারণ দ্বারা ব্যাখ্যা করা যায়, নাকি এই বিচ্যুতি দেখায় যে সম্ভাবনাটি আমরা যা ধরে নিয়েছি তা নয়? অন্য কথায়, অভিজ্ঞতা কি গৃহীত পরিসংখ্যানগত অনুমানকে নিশ্চিত করে বা, বিপরীতভাবে, এটি প্রত্যাখ্যান করা প্রয়োজন?

উদাহরণস্বরূপ, একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা যাক পৃ= 800 বার, আমরা ক্রেস্ট ফ্রিকোয়েন্সি পাই আর= 0.52। আমরা সন্দেহ করেছি যে মুদ্রাটি প্রতিসম ছিল না। এই সন্দেহ কি জায়েজ? এই প্রশ্নের উত্তর দিতে, আমরা অনুমান থেকে এগিয়ে যাব যে মুদ্রাটি প্রতিসম (p = 0.5)। আসুন আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি সন্ধান করি (আস্থা সম্ভাবনা সহ এ= 0.95) কোট অফ আর্মসের উপস্থিতির কম্পাঙ্কের জন্য। যদি পরীক্ষায় প্রাপ্ত মান আর= 0.52 এই ব্যবধানে ফিট করে - সবকিছু স্বাভাবিক, মুদ্রার প্রতিসাম্য সম্পর্কে গৃহীত অনুমান পরীক্ষামূলক ডেটার সাথে বিরোধিতা করে না। সূত্র (9.12) এর জন্য আর= 0.5 একটি ব্যবধান দেয় 0.5 ± 0.035; প্রাপ্ত মান p = 0.52 এই ব্যবধানে ফিট করে, যার অর্থ হল মুদ্রাটিকে অসমতার সন্দেহ থেকে "পরিষ্কার" করতে হবে।

এলোমেলো ঘটনাতে পরিলক্ষিত গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে বিভিন্ন বিচ্যুতি এলোমেলো বা "গুরুত্বপূর্ণ" কিনা তা বিচার করতে অনুরূপ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, প্যাকেজ করা পণ্যের বেশ কয়েকটি নমুনায় দুর্ঘটনাজনিত কম ওজন ছিল, নাকি এটি ক্রেতাদের একটি পদ্ধতিগত প্রতারণা নির্দেশ করে? যে রোগীরা নতুন ওষুধ ব্যবহার করেছেন তাদের মধ্যে কি পুনরুদ্ধারের হার দৈবক্রমে বেড়েছে, নাকি এটি ওষুধের প্রভাবের কারণে হয়েছে?

স্বাভাবিক আইন সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং এর ব্যবহারিক প্রয়োগে বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। আমরা ইতিমধ্যে উপরে দেখেছি যে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল - বার্নোলি স্কিমে কিছু ঘটনার সংঘটনের সংখ্যা - যখন পৃ-»°° স্বাভাবিক নিয়মে কমে যায়। যাইহোক, একটি আরো অনেক সাধারণ ফলাফল আছে.

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য.তাদের বিচ্ছুরণের ক্রমে একে অপরের সাথে তুলনীয় প্রচুর সংখ্যক স্বাধীন (বা দুর্বলভাবে নির্ভরশীল) র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলকে সাধারণ আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়, শর্তাবলীর বণ্টন আইন যাই হোক না কেন। উপরের বিবৃতিটি কেন্দ্রীয় সীমা তত্ত্বের একটি মোটামুটি গুণগত প্রণয়ন। এই উপপাদ্যটির অনেকগুলি রূপ রয়েছে যা শর্তগুলির মধ্যে একে অপরের থেকে পৃথক যা র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলিকে অবশ্যই পূরণ করতে হবে পদের সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে তাদের যোগফলকে "স্বাভাবিক" করার জন্য।

স্বাভাবিক বিতরণের ঘনত্ব Dx) সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

কোথায় একটি -একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা X s= V7) হল এর আদর্শ বিচ্যুতি।

ব্যবধান (x 1? x 2) এর মধ্যে x পড়ার সম্ভাব্যতা গণনা করতে, অখণ্ড ব্যবহার করা হয়:

যেহেতু ঘনত্বে (9.14) অবিচ্ছেদ্য (9.13) প্রাথমিক ফাংশনগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয় না ("এটি নেওয়া হয় না"), তাই আদর্শ স্বাভাবিক বন্টনের অখণ্ড বন্টন ফাংশনের টেবিলগুলি গণনা করতে ব্যবহৃত হয় (9.14), যখন a = 0, a = 1 (সম্ভাব্যতা তত্ত্বের যেকোনো পাঠ্যপুস্তকে এই জাতীয় টেবিল পাওয়া যায়):

সমীকরণ (10.15) ব্যবহার করে সম্ভাব্যতা (9.14) সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

উদাহরণ। সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন যে র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এক্স,পরামিতি সহ একটি স্বাভাবিক বন্টন হচ্ছে ক, a, এর গাণিতিক প্রত্যাশা মডিউল থেকে বিচ্যুত 3a এর বেশি নয়।

সূত্র (9.16) এবং সাধারণ আইনের বন্টন ফাংশনের টেবিল ব্যবহার করে, আমরা পাই:

উদাহরণ। প্রতিটি 700 স্বাধীন অভিজ্ঞতা, একটি ঘটনা কিন্তুধ্রুবক সম্ভাবনার সাথে ঘটে আর= 0.35। ইভেন্ট যে সম্ভাবনা খুঁজুন কিন্তুহবে:

• 1) ঠিক 270 বার;
• 2) 270 এর কম এবং 230 বারের বেশি;
• 3) 270 বারের বেশি।

গাণিতিক প্রত্যাশা খোঁজা ক = ইত্যাদিএবং আদর্শ বিচ্যুতি:

এলোমেলো পরিবর্তনশীল - ঘটনার সংঘটনের সংখ্যা কিন্তু:

কেন্দ্রীভূত এবং স্বাভাবিক মান খোঁজা এক্স:

স্বাভাবিক বন্টনের ঘনত্বের সারণী অনুযায়ী আমরা খুঁজে পাই f(x):

এখন খুঁজে বের করা যাক R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1.98) == 1 - 0.97615 = 0.02385।

1867 সালে পি.এল. চেবিশেভ দ্বারা বিশাল সংখ্যার সমস্যা অধ্যয়নের একটি গুরুতর পদক্ষেপ করা হয়েছিল। তিনি একটি খুব সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করেছিলেন, যখন গাণিতিক প্রত্যাশা এবং ভিন্নতার অস্তিত্ব ছাড়া স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল থেকে কিছুই প্রয়োজন হয় না।

চেবিশেভের অসমতা।ইচ্ছাকৃতভাবে ছোট ধনাত্মক সংখ্যার জন্য, নিম্নলিখিত অসমতা ধারণ করে:

চেবিশেভের উপপাদ্য।যদি একটি x x, x 2, ..., x n -পেয়ারওয়াইজ স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল, যার প্রতিটিরই গাণিতিক প্রত্যাশা রয়েছে ই(এক্সজে) = ciএবং বিচ্ছুরণ D(x,) =), এবং প্রকরণগুলি অভিন্নভাবে আবদ্ধ, যেমন 1,2 ..., তারপর একটি নির্বিচারে ছোট ধনাত্মক সংখ্যার জন্য eসম্পর্ক পূর্ণ হয়:

পরিণতি। যদি একটি a,= aio, -o 2, i= 1,2 ..., তারপর

একটি কাজ. একটি কয়েন কতবার নিক্ষেপ করতে হবে যাতে অন্তত সম্ভাবনা থাকে y - 0.997, এটা কি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে কোট অফ আর্মসের ফ্রিকোয়েন্সি ব্যবধানে হবে (0.499; 0.501)?

ধরুন মুদ্রাটি প্রতিসম, p - q - 0.5। আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবলে চেবিশেভ উপপাদ্যটি সূত্রে (9.19) প্রয়োগ করি এক্স-মধ্যে অস্ত্র কোট উপস্থিতির ফ্রিকোয়েন্সি পৃমুদ্রা নিক্ষেপ আমরা ইতিমধ্যে এটি উপরে দেখিয়েছি X = X x + X 2 + ... +Х„,কোথায় এক্স টি -একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা 1 মান নেয় যদি অস্ত্রের কোট পড়ে যায় এবং যদি লেজ পড়ে যায় তাহলে মান 0। তাই:

সম্ভাব্যতা চিহ্নের অধীনে নির্দেশিত ইভেন্টের বিপরীতে একটি ইভেন্টের জন্য আমরা অসমতা (9.19) লিখি:

আমাদের ক্ষেত্রে, [e \u003d 0.001, cj 2 \u003d /? -p)] t হল অস্ত্রের কোটগুলির সংখ্যা পৃনিক্ষেপ এই পরিমাণগুলিকে শেষ অসমতায় প্রতিস্থাপিত করে এবং বিবেচনা করে যে, সমস্যার শর্ত অনুসারে, অসমতা অবশ্যই সন্তুষ্ট হতে হবে, আমরা পাই:

প্রদত্ত উদাহরণটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের নির্দিষ্ট বিচ্যুতির সম্ভাব্যতা অনুমান করার জন্য চেবিশেভের অসমতা ব্যবহার করার সম্ভাবনাকে চিত্রিত করে (পাশাপাশি এই সম্ভাব্যতার গণনার সাথে সম্পর্কিত এই উদাহরণের মতো সমস্যাগুলি)। চেবিশেভের অসমতার সুবিধা হল যে এর জন্য এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টনের নিয়ম সম্পর্কে জ্ঞানের প্রয়োজন নেই। অবশ্যই, যদি এই ধরনের একটি আইন জানা যায়, তাহলে চেবিশেভের অসমতা খুব মোটামুটি অনুমান দেয়।

একই উদাহরণ বিবেচনা করুন, কিন্তু এই সত্যটি ব্যবহার করে যে কয়েন টসিং বার্নৌলি স্কিমের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। সাফল্যের সংখ্যা (উদাহরণস্বরূপ - অস্ত্রের কোট সংখ্যা) দ্বিপদ আইন মেনে চলে এবং একটি বড় পৃএই আইনটি গাণিতিক প্রত্যাশা সহ একটি সাধারণ আইন হিসাবে Moivre - Laplace-এর অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে a = pr = n? 0.5 এবং প্রমিত বিচ্যুতি সহ a = yfnpq- 25=0.5l/l এলোমেলো পরিবর্তনশীল - কোট অফ আর্মসের ফ্রিকোয়েন্সি - এর একটি গাণিতিক প্রত্যাশা = 0.5 এবং একটি আদর্শ বিচ্যুতি রয়েছে

তারপর আমাদের আছে:

শেষ অসমতা থেকে আমরা পাই:

স্বাভাবিক বন্টন টেবিল থেকে আমরা খুঁজে পাই:

আমরা দেখতে পাই যে সাধারণ অনুমান কয়েন টসের সংখ্যা দেয় যা কোট অফ আর্মসের সম্ভাব্যতা অনুমান করার ক্ষেত্রে একটি প্রদত্ত ত্রুটি প্রদান করে, যা চেবিশেভ অসমতা ব্যবহার করে প্রাপ্ত অনুমানের চেয়ে 37 গুণ ছোট (কিন্তু চেবিশেভ অসমতা এটি সম্পাদন করা সম্ভব করে তোলে) অনুরূপ গণনা এমনকি সেই ক্ষেত্রেও যখন আমাদের কাছে অধ্যয়নের অধীনে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের আইনের তথ্য নেই)।

আসুন এখন সূত্রের সাহায্যে সমাধান করা একটি প্রয়োগিত সমস্যা বিবেচনা করুন (9.16)।

প্রতিযোগিতার সমস্যা। দুটি প্রতিযোগী রেলওয়ে কোম্পানির প্রতিটি মস্কো এবং সেন্ট পিটার্সবার্গের মধ্যে একটি করে ট্রেন চলছে। এই ট্রেনগুলি প্রায় একই ভাবে সজ্জিত, তারা প্রায় একই সময়ে ছেড়ে যায় এবং পৌঁছায়। এর ভান করা যাক পৃ= 1000 যাত্রী স্বাধীনভাবে এবং এলোমেলোভাবে নিজেদের জন্য একটি ট্রেন বেছে নেয়, তাই যাত্রীদের দ্বারা একটি ট্রেন বেছে নেওয়ার জন্য একটি গাণিতিক মডেল হিসাবে, আমরা বার্নোলি স্কিমটি ব্যবহার করি পৃপরীক্ষা এবং সাফল্যের সম্ভাবনা আর= 0.5। দুটি পারস্পরিক পরস্পরবিরোধী শর্ত বিবেচনায় নিয়ে ট্রেনে কতগুলি আসন সরবরাহ করতে হবে তা কোম্পানিকে অবশ্যই নির্ধারণ করতে হবে: একদিকে, তারা খালি আসন রাখতে চায় না, অন্যদিকে, তারা অসন্তুষ্ট দেখাতে চায় না আসনের অভাব (পরের বার তারা প্রতিযোগী সংস্থাগুলিকে পছন্দ করবে)। অবশ্যই, আপনি ট্রেনে প্রদান করতে পারেন পৃ= 1000টি আসন, তবে সেখানে অবশ্যই খালি আসন থাকবে। এলোমেলো পরিবর্তনশীল - ট্রেনে যাত্রীর সংখ্যা - ডি মোইভারের অবিচ্ছেদ্য তত্ত্ব ব্যবহার করে গৃহীত গাণিতিক মডেলের কাঠামোর মধ্যে - ল্যাপ্লেস গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে স্বাভাবিক আইন মেনে চলে a = pr = n/2 এবং বিচ্ছুরণ a 2 = npq = p/4ক্রমানুসারে ট্রেন আসার সম্ভাবনা বেশি sযাত্রী অনুপাত দ্বারা নির্ধারিত হয়:

ঝুঁকির মাত্রা সেট করুন ক, অর্থাৎ সম্ভাবনা যে এর চেয়ে বেশি sযাত্রী:

এখান থেকে:

যদি একটি ক- শেষ সমীকরণের ঝুঁকির মূল, যা সাধারণ আইনের বন্টন ফাংশনের টেবিলে পাওয়া যায়, আমরা পাই:

যদি, উদাহরণস্বরূপ, পৃ = 1000, ক= 0.01 (ঝুঁকির এই স্তরের মানে হল স্থানের সংখ্যা s 100টির মধ্যে 99টি ক্ষেত্রে যথেষ্ট হবে), তারপর x a ~ 2.33 এবং s= 537 জায়গা। তদুপরি, উভয় সংস্থা যদি একই স্তরের ঝুঁকি গ্রহণ করে ক= 0.01, তাহলে দুটি ট্রেনে মোট 1074টি আসন থাকবে, যার মধ্যে 74টি খালি থাকবে। একইভাবে, কেউ গণনা করতে পারে যে সমস্ত ক্ষেত্রে 80% ক্ষেত্রে 514টি আসন যথেষ্ট এবং 1000টির মধ্যে 999টি ক্ষেত্রে 549টি আসন।

অনুরূপ বিবেচনা অন্যান্য প্রতিযোগিতামূলক পরিষেবা সমস্যা প্রযোজ্য. উদাহরণস্বরূপ, যদি tসিনেমা একই জন্য প্রতিদ্বন্দ্বিতা পৃদর্শক, এটা গ্রহণ করা উচিত আর=-। আমরা পেতে

যে আসন সংখ্যা sসিনেমায় অনুপাত দ্বারা নির্ধারিত করা উচিত:

মোট খালি আসন সংখ্যা সমান:

জন্য ক = 0,01, পৃ= 1000 এবং t= 2, 3, 4 এই সংখ্যার মান যথাক্রমে 74, 126, 147 এর সমান।

আরও একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। ট্রেন থাকুক পি - 100টি ওয়াগন। প্রতিটি ওয়াগনের ওজন গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল একটি - 65 টন এবং গড় বর্গাকার প্রত্যাশা o = 9 টন। একটি লোকোমোটিভ একটি ট্রেন বহন করতে পারে যদি এর ওজন 6600 টনের বেশি না হয়; অন্যথায়, আপনাকে দ্বিতীয় লোকোমোটিভটি সংযুক্ত করতে হবে। আমাদের সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করতে হবে যে এটি প্রয়োজনীয় হবে না।

পৃথক ওয়াগনের ওজন: একই গাণিতিক প্রত্যাশা থাকা একটি - 65 এবং একই ভিন্নতা d- o 2 \u003d 81. গাণিতিক প্রত্যাশার নিয়ম অনুসারে: E(x) - 100 * 65 = 6500। ভিন্নতা যোগ করার নিয়ম অনুযায়ী: D(x) \u003d 100 x 81 \u003d 8100। রুট নিলে, আমরা আদর্শ বিচ্যুতি খুঁজে পাই। একটি লোকোমোটিভ একটি ট্রেন টানতে সক্ষম হওয়ার জন্য, ট্রেনের ওজন হওয়া প্রয়োজন এক্সসীমাবদ্ধ বলে প্রমাণিত হয়েছে, অর্থাৎ, ব্যবধানের সীমার মধ্যে পড়েছে (0; 6600)। র্যান্ডম ভেরিয়েবল x - 100টি পদের যোগফল - সাধারণভাবে বিতরণ করা বিবেচনা করা যেতে পারে। সূত্র দ্বারা (9.16) আমরা পাই:

এটি অনুসরণ করে যে লোকোমোটিভ প্রায় 0.864 সম্ভাব্যতার সাথে ট্রেনটিকে "হ্যান্ডেল" করবে। এখন ট্রেনে গাড়ির সংখ্যা দুই কমিয়ে দেই, অর্থাৎ নিন পৃ= 98. লোকোমোটিভ ট্রেনটিকে "হ্যান্ডেল" করবে এমন সম্ভাবনা এখন গণনা করে, আমরা 0.99 অর্ডারের একটি মান পাই, অর্থাৎ একটি প্রায় নির্দিষ্ট ইভেন্ট, যদিও এর জন্য কেবল দুটি গাড়ি সরাতে হয়েছিল।

সুতরাং, যদি আমরা প্রচুর সংখ্যক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল নিয়ে কাজ করি, তাহলে আমরা স্বাভাবিক নিয়ম ব্যবহার করতে পারি। স্বাভাবিকভাবেই, এটি প্রশ্ন উত্থাপন করে: কতগুলি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যোগ করতে হবে যাতে যোগফলের বন্টন আইন ইতিমধ্যেই "স্বাভাবিক" হয়? এটা নির্ভর করে পদ বন্টনের আইন কি। এমন জটিল আইন রয়েছে যেগুলি কেবলমাত্র খুব বড় সংখ্যক পদের সাথে স্বাভাবিককরণ ঘটে। কিন্তু এই আইনগুলি গণিতবিদদের দ্বারা উদ্ভাবিত হয়, যখন প্রকৃতি, একটি নিয়ম হিসাবে, বিশেষভাবে এই ধরনের ঝামেলার ব্যবস্থা করে না। সাধারণত অনুশীলনে, স্বাভাবিক আইন ব্যবহার করতে সক্ষম হওয়ার জন্য, পাঁচ বা ছয়টি পদ যথেষ্ট।

যে গতির সাথে অভিন্নভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের বণ্টনের নিয়মটি "স্বাভাবিক করে" ব্যবধানে (0, 1) একটি অভিন্ন বন্টন সহ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ দ্বারা চিত্রিত করা যেতে পারে। এই ধরনের বণ্টনের বক্ররেখা একটি আয়তক্ষেত্রের আকার ধারণ করে, যা ইতিমধ্যেই স্বাভাবিক নিয়মের বিপরীত। আসুন এই জাতীয় দুটি স্বতন্ত্র পরিমাণ যোগ করি - আমরা তথাকথিত সিম্পসনের সূত্র অনুসারে বিতরণ করা একটি এলোমেলো চলক পাই, যার গ্রাফিক উপস্থাপনাটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের আকার ধারণ করে। এটি একটি সাধারণ আইনের মতো দেখায় না, তবে এটি আরও ভাল। এবং যদি আপনি তিনটি সমানভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবল যোগ করেন, আপনি একটি বক্ররেখা পাবেন যা প্যারাবোলার তিনটি অংশ নিয়ে গঠিত, যা একটি সাধারণ বক্ররেখার মতো। আপনি যদি ছয়টি এলোমেলো ভেরিয়েবল যোগ করেন, তাহলে আপনি একটি বক্ররেখা পাবেন যা একটি স্বাভাবিকের থেকে আলাদা নয়। এটি একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবল পাওয়ার জন্য বহুল ব্যবহৃত পদ্ধতির ভিত্তি, যখন সমস্ত আধুনিক কম্পিউটার একইভাবে বিতরণ করা (0, 1) র্যান্ডম সংখ্যার সেন্সর দিয়ে সজ্জিত।

এটি পরীক্ষা করার জন্য একটি ব্যবহারিক উপায় হিসাবে নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি সুপারিশ করা হয়। আমরা একটি স্তর সহ একটি ইভেন্টের ফ্রিকোয়েন্সির জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করি এ= 0.997 তিনটি সিগমা নিয়ম অনুযায়ী:

এবং যদি এর উভয় প্রান্ত সেগমেন্ট (0, 1) এর বাইরে না যায় তবে স্বাভাবিক নিয়ম ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সীমানার যেকোনও সেগমেন্ট (0, 1) এর বাইরে থাকে, তাহলে স্বাভাবিক নিয়ম ব্যবহার করা যাবে না। যাইহোক, কিছু শর্তের অধীনে, কিছু এলোমেলো ঘটনার কম্পাঙ্কের জন্য দ্বিপদী আইন, যদি এটি স্বাভাবিকের দিকে ঝোঁক না থাকে তবে অন্য আইনের দিকে ঝুঁকতে পারে।

অনেক অ্যাপ্লিকেশনে, বার্নোলি স্কিমটি একটি এলোমেলো পরীক্ষার একটি গাণিতিক মডেল হিসাবে ব্যবহৃত হয়, যেখানে পরীক্ষার সংখ্যা পৃবড়, একটি এলোমেলো ঘটনা বেশ বিরল, যেমন আর = ইত্যাদিছোট নয়, তবে বড় নয় (ও -5 - 20 এর পরিসরে ওঠানামা করে)। এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত সম্পর্ক ধারণ করে:

সূত্র (9.20) কে দ্বিপদ সূত্রের জন্য পয়সন অনুমান বলা হয়, যেহেতু এর ডান দিকে সম্ভাব্যতা বণ্টনকে বলা হয় পয়সনের সূত্র। পয়সন ডিস্ট্রিবিউশনকে বিরল ইভেন্টগুলির জন্য একটি সম্ভাব্যতা বন্টন বলা হয়, যেহেতু এটি ঘটে যখন সীমা পূরণ হয়: পৃ -»°°, আর-»0, কিন্তু এক্স = pr oo.

উদাহরণ। জন্মদিন। সম্ভাবনা কতটুকু আর টি (কে)যে 500 জনের একটি সমাজে প্রতিনববর্ষের দিনে জন্ম নেওয়া মানুষ? যদি এই 500 জনকে এলোমেলোভাবে বাছাই করা হয়, তবে বার্নোলি স্কিমটি সফল হওয়ার সম্ভাবনার সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে। পি = 1/365। তারপর

বিভিন্ন জন্য সম্ভাব্যতা গণনা প্রতিনিম্নলিখিত মান দিন: আরইউ = 0,3484...; আর 2 = 0,2388...; আর ঘ = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; আর 5 = 0,0101...; আর 6= 0.0023... এর জন্য পয়সন সূত্র দ্বারা অনুরূপ অনুমান X= 500 1/365 = 1,37

নিম্নলিখিত মান দিন: রু = 0,3481...; আর 2 = 0,2385...; Р খ = 0,1089; আর 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0.0023... সমস্ত ত্রুটি শুধুমাত্র চতুর্থ দশমিক স্থানে।

আসুন আমরা এমন পরিস্থিতিতে উদাহরণ দিই যেখানে পয়সনের বিরল ঘটনার সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে।

টেলিফোন এক্সচেঞ্জে, একটি ভুল সংযোগ ঘটতে অসম্ভাব্য। আর,সাধারণত আর~0.005। তারপর Poisson সূত্র আপনাকে একটি প্রদত্ত মোট সংযোগের জন্য ভুল সংযোগের সম্ভাবনা খুঁজে পেতে অনুমতি দেয় n~ 1000 যখন X = pr =1000 0,005 = 5.

বান বেক করার সময়, কিসমিস ময়দার মধ্যে রাখা হয়। এটা আশা করা উচিত যে নাড়ার কারণে, কিশমিশ রোলের ফ্রিকোয়েন্সি প্রায় পয়সন বিতরণকে অনুসরণ করবে P n (k, X),কোথায় এক্স-ময়দায় কিশমিশের ঘনত্ব।

একটি তেজস্ক্রিয় পদার্থ এন-কণা নির্গত করে। সময়ের সাথে সাথে ডি-কণার সংখ্যা পৌঁছানোর ঘটনা tস্থানের প্রদত্ত এলাকা, একটি নির্দিষ্ট মান নেয় প্রতি,পয়সনের আইন মেনে চলে।

এক্স-রে-র প্রভাবে পরিবর্তিত ক্রোমোজোম সহ জীবিত কোষের সংখ্যা পয়সন বিতরণকে অনুসরণ করে।

সুতরাং, বৃহৎ সংখ্যার আইন এলোমেলো অভিজ্ঞতার প্রাথমিক ফলাফলের অজানা সম্ভাব্যতা অনুমান করার সাথে যুক্ত গাণিতিক পরিসংখ্যানের সমস্যা সমাধানের অনুমতি দেয়। এই জ্ঞানের জন্য ধন্যবাদ, আমরা সম্ভাব্যতা তত্ত্বের পদ্ধতিগুলিকে ব্যবহারিকভাবে অর্থবহ এবং দরকারী করে তুলি। বৃহৎ সংখ্যার আইনগুলি অন্য ফর্মে অজানা প্রাথমিক সম্ভাব্যতা সম্পর্কে তথ্য পাওয়ার সমস্যা সমাধান করা সম্ভব করে - পরিসংখ্যানগত অনুমান পরীক্ষার ফর্ম।

আসুন আমরা পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার সমস্যা সমাধানের জন্য প্রণয়ন এবং সম্ভাব্য প্রক্রিয়াটি আরও বিশদে বিবেচনা করি।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন এবং এর বৈশিষ্ট্য।

বিতরণ ফাংশনর্যান্ডম ভেরিয়েবল X কে ফাংশন F(X) বলা হয়, প্রতিটি x এর জন্য সম্ভাব্যতা প্রকাশ করে যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল X x এর চেয়ে কম মান নেয়: F(x)=P(X