پیشروی حسابی a n. پیشرفت حسابی

ریاضیات زیبایی خاص خود را دارد، مانند نقاشی و شعر.

دانشمند روسی، مکانیک N.E. ژوکوفسکی

کارهای بسیار رایج در آزمون های ورودی ریاضی، وظایف مربوط به مفهوم پیشروی حسابی است. برای حل موفقیت آمیز چنین مسائلی، لازم است ویژگی های یک پیشروی حسابی را به خوبی بشناسیم و مهارت های خاصی در کاربرد آنها داشته باشیم.

اجازه دهید ابتدا خصوصیات اصلی یک پیشروی حسابی را یادآوری کنیم و مهم ترین فرمول ها را ارائه کنیم, مرتبط با این مفهوم

تعریف. دنباله عددی, که در آن هر عبارت بعدی با همان عدد قبلی متفاوت است, پیشرفت حسابی نامیده می شود. در همان زمان، تعدادتفاوت پیشرفت نامیده می شود.

برای یک پیشرفت حسابی، فرمول ها معتبر هستند

, (1)

جایی که . فرمول (1) فرمول عبارت مشترک یک پیشروی حسابی نامیده می شود و فرمول (2) ویژگی اصلی یک پیشروی حسابی است: هر عضو پیشرفت با میانگین حسابی اعضای همسایه خود منطبق است.

توجه داشته باشید که دقیقاً به دلیل این خاصیت است که پیشرفت مورد بررسی را "حساب" می نامند.

فرمول های (1) و (2) فوق به شرح زیر خلاصه می شوند:

(3)

برای محاسبه جمعاولین اعضای یک پیشرفت حسابیفرمول معمولا استفاده می شود

(5) کجا و .

اگر فرمول (1) را در نظر بگیریم), سپس فرمول (5) دلالت دارد

اگر تعیین کنیم

جایی که . از آنجایی که فرمول های (7) و (8) تعمیم فرمول های مربوطه (5) و (6) هستند.

به خصوص ، از فرمول (5) به شرح زیر است، چی

یکی از مواردی که برای اکثر دانش‌آموزان کمتر شناخته شده است، ویژگی یک تصاعد حسابی است که با استفاده از قضیه زیر فرمول‌بندی شده است.

قضیه.اگر پس از آن

اثباتاگر پس از آن

قضیه ثابت شده است.

مثلا ، با استفاده از قضیه، می توان نشان داد که

بیایید به بررسی نمونه های معمولی حل مسائل در موضوع "پیشرفت حسابی" بپردازیم.

مثال 1بگذار و . پیدا کردن .

راه حل.با استفاده از فرمول (6) بدست می آوریم. از آنجایی که و پس از آن یا .

مثال 2بگذارید سه برابر بیشتر شود و هنگام تقسیم بر ضریب 2 و باقیمانده 8 می شود. و را تعیین کنید.

راه حل.سیستم معادلات از شرط مثال به دست می آید

از آنجایی که , و , سپس از سیستم معادلات (10) بدست می آوریم

حل این سیستم معادلات عبارتند از و .

مثال 3پیدا کردن اگر و .

راه حل.طبق فرمول (5) داریم یا . با این حال، با استفاده از ویژگی (9)، ما به دست می آوریم.

از آنجا که و، سپس از برابری معادله به شرح زیر استیا .

مثال 4پیدا کنید اگر .

راه حل.با فرمول (5) داریم

با این حال، با استفاده از قضیه، می توان نوشت

از اینجا و از فرمول (11) بدست می آوریم.

مثال 5. داده شده: . پیدا کردن .

راه حل.از آن به بعد . با این حال، بنابراین.

مثال 6اجازه دهید، و. پیدا کردن .

راه حل.با استفاده از فرمول (9) به دست می آوریم. بنابراین، اگر، پس یا .

از آنجایی که و سپس در اینجا ما یک سیستم معادلات داریم

با حل آن، به دست می آوریم و .

ریشه طبیعی معادلهاست .

مثال 7پیدا کردن اگر و .

راه حل.از آنجایی که طبق فرمول (3) آن را داریم، پس سیستم معادلات از شرط مسئله نتیجه می گیرد

اگر عبارت را جایگزین کنیمبه معادله دوم سیستم، سپس می گیریم یا .

ریشه های معادله درجه دوم هستندو .

بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

1. اجازه دهید، سپس. از آن زمان و پس از آن .

در این صورت طبق فرمول (6) داریم

2. اگر، پس، و

پاسخ: و.

مثال 8معلوم است که و پیدا کردن .

راه حل.با در نظر گرفتن فرمول (5) و شرط مثال می نویسیم و .

این به معنای سیستم معادلات است

اگر معادله اول سیستم را در 2 ضرب کنیم و سپس آن را به معادله دوم اضافه کنیم، به دست می آید.

طبق فرمول (9) داریم. در این رابطه از (12) آمده استیا .

از آن زمان و پس از آن .

پاسخ: .

مثال 9پیدا کردن اگر و .

راه حل.از آنجا که , و به شرط , سپس یا .

از فرمول (5) معلوم است، چی . از آن به بعد .

در نتیجه ، در اینجا ما یک سیستم معادلات خطی داریم

از اینجا می گیریم و . با در نظر گرفتن فرمول (8) می نویسیم.

مثال 10معادله را حل کنید.

راه حل.از معادله داده شده بر می آید که . بیایید فرض کنیم که , و . در این مورد .

با توجه به فرمول (1) می توانیم بنویسیم یا .

از آنجایی که معادله (13) یک ریشه مناسب منحصر به فرد دارد.

مثال 11.حداکثر مقدار را به شرطی که و .

راه حل.از آنجایی که، پس پیشرفت حسابی در نظر گرفته شده در حال کاهش است. در این رابطه، عبارت زمانی حداکثر مقدار را به خود می گیرد که تعداد حداقل عضو مثبت پیشرفت باشد.

ما از فرمول (1) و واقعیت استفاده می کنیم، که و . سپس آن را دریافت می کنیم یا .

زیرا، پس یا . با این حال، در این نابرابریبزرگترین عدد طبیعی، از همین رو .

اگر مقادیر و به فرمول (6) جایگزین شوند، دریافت می کنیم.

پاسخ: .

مثال 12.مجموع تمام اعداد طبیعی دو رقمی را که با تقسیم بر 6 باقیمانده آن 5 است را بیابید.

راه حل.با مجموعه تمام اعداد طبیعی دو مقداری نشان دهید، یعنی. . در مرحله بعد، یک زیرمجموعه متشکل از آن عناصر (اعداد) مجموعه می سازیم که با تقسیم بر عدد 6، باقیمانده 5 به دست می آید.

نصب آسان، چی . به طور مشخص ، که عناصر مجموعهیک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند، که در آن و .

برای تعیین کاردینالیته (تعداد عناصر) مجموعه، فرض می کنیم که . از آنجایی که و، پس فرمول (1) دلالت دارد یا . با در نظر گرفتن فرمول (5) به دست می آوریم.

مثال های فوق از حل مسائل به هیچ وجه نمی توانند مدعی جامع بودن باشند. این مقاله بر اساس تجزیه و تحلیل روش های مدرن برای حل مسائل معمولی در یک موضوع خاص نوشته شده است. برای مطالعه عمیق‌تر روش‌های حل مسائل مربوط به پیشروی حسابی، توصیه می‌شود به فهرست مقالات توصیه‌شده مراجعه کنید.

1. مجموعه تکالیف ریاضی برای متقاضیان دانشگاه فنی / ویرایش. M.I. اسکانوی. - م .: جهان و آموزش، 2013. - 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه درسی مدرسه. - M.: Lenand / URSS، 2014. - 216 ص.

3. Medynsky M.M. دوره کامل ریاضیات ابتدایی در وظایف و تمرینات. کتاب 2: توالی اعداد و پیشرفت ها. - M.: Editus، 2015. - 208 ص.

آیا هیچ سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

کسی با کلمه "پیشرفت" به عنوان یک اصطلاح بسیار پیچیده از بخش های ریاضیات عالی با احتیاط برخورد می کند. در همین حال، ساده ترین پیشروی حسابی کار تاکسی پیشخوان است (جایی که هنوز باقی مانده اند). و درک ماهیت (و در ریاضیات هیچ چیز مهمتر از "درک ماهیت" نیست) یک دنباله حسابی با تجزیه و تحلیل چند مفهوم ابتدایی چندان دشوار نیست.

دنباله اعداد ریاضی

مرسوم است که یک دنباله عددی را مجموعه ای از اعداد نامیده می شود که هر کدام شماره مخصوص به خود را دارند.

و 1 اولین عضو دنباله است.

و 2 دومین عضو دنباله است.

و 7 هفتمین عضو دنباله است.

و n n امین عضو دنباله است.

با این حال، هیچ مجموعه ای از ارقام و اعداد دلخواه ما را مورد توجه قرار نمی دهد. ما توجه خود را بر روی یک دنباله عددی متمرکز خواهیم کرد که در آن مقدار عضو n با یک وابستگی که می تواند به وضوح به صورت ریاضی فرموله شود با عدد ترتیبی آن مرتبط است. به عبارت دیگر: مقدار عددی عدد n تابعی از n است.

a - مقدار عضوی از دنباله عددی؛

n شماره سریال آن است.

f(n) تابعی است که در آن ترتیبی در دنباله عددی n آرگومان است.

تعریف

یک پیشروی حسابی معمولاً دنباله ای عددی نامیده می شود که در آن هر جمله بعدی با همان عدد بزرگتر (کمتر) از جمله قبلی است. فرمول n ام یک دنباله حسابی به شرح زیر است:

a n - مقدار عضو فعلی پیشرفت حسابی.

a n+1 - فرمول عدد بعدی؛

د - تفاوت (عدد معین).

به راحتی می توان تعیین کرد که اگر اختلاف مثبت باشد (d>0)، آنگاه هر عضو بعدی از سری مورد نظر بزرگتر از قبلی خواهد بود و چنین پیشرفت حسابی افزایش می یابد.

در نمودار زیر به راحتی می توان فهمید که چرا دنباله اعداد "افزایش" نامیده می شود.

در مواردی که تفاوت منفی است (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

مقدار عضو مشخص شده

گاهی اوقات لازم است مقدار یک جمله دلخواه a n یک پیشرفت حسابی تعیین شود. شما می توانید این کار را با محاسبه متوالی مقادیر تمام اعضای پیشروی حسابی، از اول تا مورد نظر، انجام دهید. با این حال، این راه همیشه قابل قبول نیست، به عنوان مثال، نیاز به یافتن ارزش عبارت پنج هزارم یا هشت میلیونی است. محاسبه سنتی زمان زیادی می برد. با این حال، یک پیشرفت محاسباتی خاص را می توان با استفاده از فرمول های خاصی بررسی کرد. همچنین فرمولی برای جمله n وجود دارد: مقدار هر عضو یک پیشرفت حسابی را می توان به عنوان مجموع اولین عضو پیشرفت با اختلاف پیشروی، ضرب در تعداد عضو مورد نظر، منهای یک تعیین کرد. .

فرمول جهانی برای افزایش و کاهش پیشرفت است.

مثالی از محاسبه مقدار یک عضو معین

بیایید مشکل زیر را در یافتن مقدار عضو n یک پیشرفت حسابی حل کنیم.

شرط: یک پیشرفت حسابی با پارامترها وجود دارد:

اولین عضو دنباله 3 است.

تفاوت در سری اعداد 1.2 است.

وظیفه: باید مقدار 214 عبارت را پیدا کرد

راه حل: برای تعیین مقدار یک عضو معین، از فرمول استفاده می کنیم:

a(n) = a1 + d(n-1)

با جایگزینی داده های دستور مشکل به عبارت، داریم:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

پاسخ: عضو 214 دنباله برابر با 258.6 است.

مزایای این روش محاسبه واضح است - کل راه حل بیش از 2 خط طول نمی کشد.

مجموع تعداد معینی از اصطلاحات

اغلب اوقات، در یک سری حسابی معین، لازم است که مجموع مقادیر برخی از بخش های آن تعیین شود. همچنین نیازی به محاسبه مقادیر هر عبارت و سپس جمع بندی آنها نیست. این روش در صورتی قابل اجرا است که تعداد عباراتی که جمع آنها باید یافت شود کم باشد. در موارد دیگر، استفاده از فرمول زیر راحت تر است.

مجموع اعضای یک پیشروی حسابی از 1 به n برابر است با مجموع اعضای اول و n ام که در عدد عضو n ضرب و بر دو تقسیم می شود. اگر در فرمول مقدار عضو n با عبارت پاراگراف قبلی مقاله جایگزین شود، دریافت می کنیم:

مثال محاسبه

به عنوان مثال، اجازه دهید یک مشکل را با شرایط زیر حل کنیم:

جمله اول دنباله صفر است.

تفاوت 0.5 است.

در مسئله باید مجموع عبارت های سری از 56 تا 101 مشخص شود.

راه حل. بیایید از فرمول برای تعیین مجموع پیشرفت استفاده کنیم:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ابتدا مجموع مقادیر 101 عضو پیشرفت را با جایگزین کردن شرایط داده شده مسئله خود در فرمول تعیین می کنیم:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

بدیهی است که برای فهمیدن مجموع شرایط پیشرفت از 56 به 101 باید S 55 را از S 101 کم کرد.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

بنابراین مجموع پیشروی حسابی برای این مثال به صورت زیر است:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

مثالی از کاربرد عملی پیشروی حسابی

در پایان مقاله، اجازه دهید به مثال دنباله حسابی ارائه شده در پاراگراف اول - یک تاکسی متر (تاکسی متر) برگردیم. بیایید چنین مثالی را در نظر بگیریم.

سوار شدن به تاکسی (که شامل 3 کیلومتر است) 50 روبل هزینه دارد. هر کیلومتر بعدی با نرخ 22 روبل در کیلومتر پرداخت می شود. مسافت سفر 30 کیلومتر. هزینه سفر را محاسبه کنید.

1. بیایید 3 کیلومتر اول را که قیمت آن در هزینه فرود گنجانده شده است.

30 - 3 = 27 کیلومتر.

2. محاسبه بیشتر چیزی نیست جز تجزیه یک سری اعداد حسابی.

شماره عضو تعداد کیلومترهای طی شده (منهای سه اول) است.

ارزش عضو جمع است.

اولین عبارت در این مشکل برابر با 1 = 50 روبل خواهد بود.

اختلاف پیشرفت d = 22 p.

تعداد مورد علاقه ما - مقدار (27 + 1)امین عضو پیشرفت حسابی - قرائت متر در پایان کیلومتر 27 - 27.999 ... = 28 کیلومتر.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

محاسبات داده های تقویم برای یک دوره دلخواه طولانی بر اساس فرمول هایی است که توالی های عددی خاصی را توصیف می کند. در نجوم، طول مدار از نظر هندسی به فاصله جسم آسمانی تا نور بستگی دارد. علاوه بر این، سری های عددی مختلف با موفقیت در آمار و سایر شاخه های کاربردی ریاضیات استفاده می شود.

نوع دیگری از دنباله اعداد هندسی است

یک پیشرفت هندسی با یک نرخ تغییر بزرگ در مقایسه با یک تغییر حسابی مشخص می شود. تصادفی نیست که در سیاست، جامعه شناسی، پزشکی، اغلب برای نشان دادن سرعت بالای گسترش یک پدیده خاص، مثلاً یک بیماری در طول یک بیماری همه گیر، می گویند که این روند به طور تصاعدی توسعه می یابد.

عضو N-امین سری اعداد هندسی با شماره قبلی متفاوت است زیرا در یک عدد ثابت ضرب می شود - مخرج، به عنوان مثال، اولین عضو 1 است، مخرج به ترتیب 2 است، سپس:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32،

b n - مقدار عضو فعلی پیشرفت هندسی.

b n+1 - فرمول عضو بعدی پیشرفت هندسی.

q مخرج یک تصاعد هندسی (عدد ثابت) است.

اگر نمودار یک پیشروی حسابی یک خط مستقیم باشد، نمودار هندسی یک تصویر کمی متفاوت ترسیم می کند:

همانطور که در مورد حساب، یک پیشرفت هندسی فرمولی برای مقدار یک عضو دلخواه دارد. هر جمله n ام یک تصاعد هندسی برابر است با حاصل ضرب جمله اول و مخرج پیشرفت به توان n یک کاهش می یابد:

مثال. ما یک تصاعد هندسی داریم که جمله اول برابر با 3 و مخرج پیشروی برابر با 1.5 است. جمله پنجم پیشرفت را پیدا کنید

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

مجموع تعداد معینی از اعضا نیز با استفاده از فرمول خاصی محاسبه می شود. مجموع n عضو اول یک پیشرفت هندسی برابر است با تفاوت بین حاصلضرب عضو n پیشرفت و مخرج آن و اولین عضو پیشرفت، تقسیم بر مخرج تقلیل شده بر یک:

اگر b n با استفاده از فرمول مورد بحث در بالا جایگزین شود، مقدار مجموع n عضو اول سری اعداد در نظر گرفته شده به شکل زیر خواهد بود:

مثال. پیشروی هندسی با جمله اول برابر با 1 شروع می شود. مخرج برابر با 3 است. بیایید مجموع هشت جمله اول را پیدا کنیم.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

خوب، دوستان، اگر شما این متن را می خوانید، پس شواهد سرپوش داخلی به من می گوید که شما هنوز نمی دانید پیشروی حسابی چیست، اما واقعا (نه، مانند این: SOOOOO!) می خواهید بدانید. بنابراین، من شما را با معرفی طولانی عذاب نمی دهم و بلافاصله دست به کار خواهم شد.

برای شروع، چند مثال. چندین مجموعه از اعداد را در نظر بگیرید:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

وجه اشتراک همه این مجموعه ها چیست؟ در نگاه اول هیچی. اما در واقع چیزی وجود دارد. برای مثال: هر عنصر بعدی با یک عدد قبلی متفاوت است.

خودت قضاوت کن مجموعه اول فقط اعداد متوالی است که هر کدام از مجموعه قبلی بیشتر است. در حالت دوم، تفاوت بین اعداد مجاور در حال حاضر برابر با پنج است، اما این تفاوت همچنان ثابت است. در مورد سوم به طور کلی ریشه وجود دارد. با این حال، $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$، در حالی که $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$، یعنی. در این صورت هر عنصر بعدی به سادگی $\sqrt(2)$ افزایش می یابد (و نترسید که این عدد غیرمنطقی است).

بنابراین: همه این دنباله ها را فقط پیشروی های حسابی می نامند. بیایید یک تعریف دقیق ارائه دهیم:

تعریف. دنباله ای از اعداد که در آن هر عدد بعدی دقیقاً به همان مقدار با اعداد قبلی متفاوت است، پیشرفت حسابی نامیده می شود. همان مقداری که اعداد با هم تفاوت دارند، اختلاف پیشروی نامیده می شود و اغلب با حرف $d$ نشان داده می شود.

نماد: $\left(((a)_(n)) \right)$ خود پیشرفت است، $d$ تفاوت آن است.

و فقط چند نکته مهم. اول، پیشرفت فقط در نظر گرفته می شود منظمدنباله ای از اعداد: آنها مجاز به خواندن دقیق به ترتیبی که نوشته شده اند - و نه چیز دیگر. شما نمی توانید اعداد را دوباره مرتب کنید یا عوض کنید.

ثانیاً خود دنباله می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. برای مثال، مجموعه (1؛ 2؛ 3) آشکارا یک پیشرفت محاسباتی محدود است. اما اگر چیزی شبیه به (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) بنویسید - این یک پیشرفت بی نهایت است. بیضی بعد از چهار، همانطور که بود، نشان می دهد که تعداد زیادی از اعداد فراتر می روند. مثلا بی نهایت زیاد. :)

من همچنین می خواهم توجه داشته باشم که پیشرفت ها در حال افزایش و کاهش است. ما قبلاً شاهد افزایش آنها بوده ایم - همان مجموعه (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). در اینجا نمونه هایی از کاهش پیشرفت ها آورده شده است:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

خوب، خوب: آخرین مثال ممکن است بیش از حد پیچیده به نظر برسد. اما بقیه، فکر می کنم، متوجه می شوید. بنابراین تعاریف جدیدی را معرفی می کنیم:

تعریف. یک پیشرفت حسابی نامیده می شود:

1. اگر هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی باشد افزایش می یابد.
2. کاهش می یابد، اگر برعکس، هر عنصر بعدی کمتر از عنصر قبلی باشد.

علاوه بر این، توالی های به اصطلاح "ایستا" وجود دارد - آنها از همان تعداد تکرار شونده تشکیل شده اند. به عنوان مثال، (3; 3; 3; ...).

فقط یک سوال باقی می ماند: چگونه یک پیشرفت فزاینده را از یک روند کاهشی تشخیص دهیم؟ خوشبختانه، همه چیز در اینجا فقط به علامت عدد $d$ بستگی دارد، یعنی. تفاوت های پیشرفت:

1. اگر $d \gt 0$ باشد، آنگاه پیشرفت در حال افزایش است.
2. اگر $d \lt 0$، آنگاه پیشرفت آشکارا در حال کاهش است.
3. در نهایت، حالت $d=0$ وجود دارد - در این مورد کل پیشرفت به دنباله ای ثابت از اعداد یکسان کاهش می یابد: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...) و غیره.

بیایید سعی کنیم تفاوت $d$ را برای سه روند کاهشی بالا محاسبه کنیم. برای انجام این کار، کافی است هر دو عنصر مجاور (به عنوان مثال، اول و دوم) را بردارید و از عدد سمت راست، عدد سمت چپ را کم کنید. شبیه این خواهد شد:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

همانطور که می بینید، در هر سه مورد تفاوت واقعا منفی بود. و اکنون که کم و بیش تعاریف را فهمیدیم، زمان آن رسیده است که بفهمیم پیشرفت ها چگونه توصیف می شوند و چه ویژگی هایی دارند.

اعضای پیشرفت و فرمول مکرر

از آنجایی که عناصر دنباله های ما قابل تعویض نیستند، می توان آنها را شماره گذاری کرد:

\[\left(((a)_(n)) \راست)=\چپ\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 ))،... \درست\)\]

عناصر منفرد این مجموعه را اعضای پیشروی می نامند. آنها به این ترتیب با کمک یک عدد نشان داده می شوند: عضو اول، عضو دوم و غیره.

علاوه بر این، همانطور که قبلاً می دانیم، اعضای همسایه پیشرفت با فرمول مرتبط هستند:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\ فلش راست ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

به طور خلاصه، برای یافتن $n$th ترم پیشروی، باید ترم $n-1$th و تفاوت $d$ را بدانید. چنین فرمولی تکراری نامیده می شود، زیرا با کمک آن می توانید هر عددی را پیدا کنید، تنها با دانستن شماره قبلی (و در واقع، تمام موارد قبلی). این بسیار ناخوشایند است، بنابراین فرمول پیچیده تری وجود دارد که هر گونه محاسبه را به ترم اول و تفاوت کاهش می دهد:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\چپ(n-1 \راست)d\]

احتمالاً قبلاً با این فرمول برخورد کرده اید. آنها دوست دارند آن را در انواع کتاب های مرجع و رشبنیک ها ارائه دهند. و در هر کتاب درسی معقولی در مورد ریاضیات، یکی از اولین هاست.

با این حال پیشنهاد می کنم کمی تمرین کنید.

کار شماره 1. سه جمله اول پیشروی حسابی $\left(((a)_(n)) \right)$ را بنویسید اگر $((a)_(1))=8,d=-5$.

راه حل. بنابراین، اولین عبارت $((a)_(1))=8$ و تفاوت پیشرفت $d=-5$ را می دانیم. بیایید از فرمول ارائه شده استفاده کنیم و $n=1$، $n=2$ و $n=3$ را جایگزین کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\چپ(2-1 \راست)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\چپ(3-1 \راست)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \پایان (تراز کردن)\]

پاسخ: (8؛ 3؛ -2)

همین! توجه داشته باشید که پیشرفت ما در حال کاهش است.

البته، $n=1$ نمی‌توانست جایگزین شود - ما قبلاً عبارت اول را می‌دانیم. با این حال، با جایگزین کردن واحد، مطمئن شدیم که حتی برای ترم اول فرمول ما کار می کند. در موارد دیگر، همه چیز به حساب پیش پا افتاده بود.

کار شماره 2. اگر جملۀ هفتم آن 40- و جملۀ هفدهم آن 50- باشد، سه جمله اول یک تصاعد حسابی را بنویسید.

راه حل. ما شرط مسئله را با عبارات معمول می نویسیم:

\[((a)_(7))=-40;\چهار ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \پایان (تراز کردن) \راست.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end (تراز کردن) \درست.\]

من علامت سیستم را گذاشتم زیرا این الزامات باید به طور همزمان برآورده شوند. و اکنون توجه می کنیم که اگر معادله اول را از معادله دوم کم کنیم (حق انجام این کار را داریم، زیرا سیستم داریم)، ​​به این نتیجه می رسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \پایان (تراز کردن)\]

درست مثل آن، ما تفاوت پیشرفت را پیدا کردیم! باقی مانده است که عدد پیدا شده را در هر یک از معادلات سیستم جایگزین کنیم. به عنوان مثال، در مورد اول:

\[\begin(ماتریس) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \پایان (ماتریس)\]

حال، با دانستن عبارت اول و تفاوت، باقی مانده است که عبارت دوم و سوم را بیابیم:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \پایان (تراز کردن)\]

آماده! مشکل حل شد.

پاسخ: (-34؛ -35؛ -36)

به ویژگی عجیبی از پیشرفتی که کشف کردیم توجه کنید: اگر عبارت‌های $n$th و $m$th را بگیریم و آنها را از یکدیگر کم کنیم، تفاوت پیشرفت را در عدد $n-m$ ضرب می‌کنیم:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \چپ(n-m \راست)\]

یک ویژگی ساده اما بسیار مفید که قطعاً باید بدانید - با کمک آن می توانید حل بسیاری از مشکلات پیشرفت را به میزان قابل توجهی سرعت بخشید. در اینجا یک مثال بارز از این است:

کار شماره 3. ترم پنجم پیشروی حسابی 8.4 و جمله دهم آن 14.4 است. عبارت پانزدهم این پیشرفت را بیابید.

راه حل. از آنجایی که $((a)_(5))=8.4$، $((a)_(10))=14.4$، و ما باید $((a)_(15))$ را پیدا کنیم، به موارد زیر توجه می کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اما طبق شرط $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$، بنابراین $5d=6$، از این رو داریم:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \پایان (تراز کردن)\]

پاسخ: 20.4

همین! ما نیازی به ساختن هیچ سیستم معادله ای نداشتیم و اولین جمله و تفاوت را محاسبه می کردیم - همه چیز فقط در چند خط تصمیم گرفت.

اکنون بیایید نوع دیگری از مشکل را در نظر بگیریم - جستجوی اعضای منفی و مثبت پیشرفت. بر کسی پوشیده نیست که اگر پیشرفت افزایش یابد، در حالی که اولین ترم آن منفی است، دیر یا زود اصطلاحات مثبت در آن ظاهر می شود. و بالعکس: شرایط یک پیشرفت کاهشی دیر یا زود منفی خواهد شد.

در عین حال ، یافتن این لحظه "روی پیشانی" همیشه امکان پذیر نیست و به طور متوالی عناصر را مرتب می کند. اغلب، مشکلات به گونه‌ای طراحی می‌شوند که بدون دانستن فرمول‌ها، محاسبات چندین برگه می‌گیرد - تا زمانی که پاسخ را پیدا کنیم، فقط به خواب می‌رویم. بنابراین سعی خواهیم کرد این مشکلات را با سرعت بیشتری حل کنیم.

کار شماره 4. چند عبارت منفی در یک تصاعد حسابی -38.5; -35.8; …؟

راه حل. بنابراین، $((a)_(1))=-38.5$، $((a)_(2))=-35.8$، که ما بلافاصله تفاوت را پیدا می کنیم:

توجه داشته باشید که تفاوت مثبت است، بنابراین پیشرفت در حال افزایش است. جمله اول منفی است، بنابراین در برخی مواقع به اعداد مثبت برخورد خواهیم کرد. تنها سوال این است که چه زمانی این اتفاق خواهد افتاد.

بیایید سعی کنیم دریابیم: منفی بودن عبارات برای چه مدت (یعنی تا چه عدد طبیعی $n$) حفظ می شود:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \راست. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \پایان (تراز کردن)\]

خط آخر نیاز به توضیح دارد. بنابراین می دانیم که $n \lt 15\frac(7)(27)$. از طرف دیگر، فقط مقادیر صحیح عدد برای ما مناسب است (به علاوه: $n\in \mathbb(N)$)، بنابراین بزرگترین عدد مجاز دقیقاً $n=15$ است و در هیچ موردی 16 است.

کار شماره 5. در پیشروی حسابی $(()_(5))=-150،(()_(6))=-147$. عدد اولین جمله مثبت این پیشرفت را بیابید.

این دقیقاً همان مشکل قبلی خواهد بود، اما ما $((a)_(1))$ را نمی دانیم. اما اصطلاحات همسایه شناخته شده اند: $((a)_(5))$ و $((a)_(6))$، بنابراین ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

علاوه بر این، بیایید سعی کنیم جمله پنجم را بر حسب اول و تفاوت با استفاده از فرمول استاندارد بیان کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اکنون به قیاس با مشکل قبلی پیش می رویم. ما متوجه می شویم که اعداد مثبت در چه نقطه ای از دنباله ما ظاهر می شوند:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ فلش راست ((n)_(\min ))=56. \\ \پایان (تراز کردن)\]

حداقل جواب عدد صحیح این نابرابری عدد 56 است.

لطفاً توجه داشته باشید که در آخرین کار همه چیز به نابرابری شدید کاهش یافت، بنابراین گزینه $n=55$ برای ما مناسب نیست.

اکنون که یاد گرفتیم چگونه مسائل ساده را حل کنیم، بیایید به مسائل پیچیده تر برویم. اما ابتدا بیایید یکی دیگر از ویژگی های بسیار مفید پیشرفت های حسابی را بیاموزیم که در آینده باعث صرفه جویی در زمان و سلول های نابرابر خواهد شد. :)

میانگین حسابی و تورفتگی مساوی

چندین عبارت متوالی از پیشرفت محاسباتی فزاینده $\left(((a)_(n)) \right)$ را در نظر بگیرید. بیایید سعی کنیم آنها را روی یک خط اعداد علامت گذاری کنیم:

من به طور خاص به اعضای دلخواه $((a)_(n-3))،...،((a)_(n+3))$ اشاره کردم، و نه هیچ $((a)_(1))، \ ((a)_(2))،\ ((a)_(3))$ و غیره. زیرا قاعده ای که اکنون به شما خواهم گفت، برای هر «بخشی» یکسان عمل می کند.

و قانون بسیار ساده است. بیایید فرمول بازگشتی را به خاطر بسپاریم و آن را برای همه اعضای علامت‌گذاری شده بنویسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \پایان (تراز کردن)\]

با این حال، این برابری ها را می توان به طور متفاوت بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \پایان (تراز کردن)\]

خب پس چی؟ اما این واقعیت که عبارت‌های $((a)_(n-1))$ و $((a)_(n+1))$ در فاصله یکسانی از $((a)_(n)) قرار دارند. . و این فاصله برابر با $d$ است. همین امر را می توان در مورد عبارات $((a)_(n-2))$ و $((a)_(n+2))$ گفت - آنها نیز از $((a)_(n) حذف شده اند. )$ با همان فاصله برابر با $2d$. شما می توانید به طور نامحدود ادامه دهید، اما تصویر معنی را به خوبی نشان می دهد

معنی این برای ما چیست؟ این بدان معنی است که اگر اعداد مجاور شناخته شده باشند، می توانید $((a)_(n))$ را پیدا کنید:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ما یک جمله باشکوه استنباط کرده ایم: هر عضو یک پیشرفت حسابی برابر است با میانگین حسابی اعضای همسایه! علاوه بر این، می‌توانیم از $((a)_(n))$ خود به چپ و راست نه با یک مرحله، بلکه با $k$ انحراف داشته باشیم - و همچنان فرمول صحیح خواهد بود:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

آن ها ما به راحتی می توانیم مقداری $((a)_(150))$ پیدا کنیم اگر $((a)_(100))$ و $((a)_(200))$ را بدانیم، زیرا $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این واقعیت چیز مفیدی به ما نمی دهد. با این حال، در عمل، بسیاری از وظایف به طور ویژه برای استفاده از میانگین حسابی "تیز" می شوند. نگاهی بیاندازید:

کار شماره 6. همه مقادیر $x$ را پیدا کنید به طوری که اعداد $-6((x)^(2))$، $x+1$ و $14+4((x)^(2))$ اعضای متوالی باشند یک پیشرفت حسابی (به ترتیب مشخص).

راه حل. از آنجایی که این اعداد اعضای یک پیشرفت هستند، شرط میانگین حسابی برای آنها برآورده می شود: عنصر مرکزی $x+1$ را می توان بر حسب عناصر همسایه بیان کرد:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

نتیجه یک معادله درجه دوم کلاسیک است. ریشه های آن: $x=2$ و $x=-3$ پاسخ هستند.

پاسخ: -3; 2.

کار شماره 7. مقادیر $$ را به گونه ای بیابید که اعداد $-1;4-3;(()^(2))+1$ یک پیشرفت حسابی (به ترتیب) تشکیل دهند.

راه حل. باز هم عبارت میانی را بر حسب میانگین حسابی اصطلاحات همسایه بیان می کنیم:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\راست. \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

یک معادله درجه دوم دیگر. و دوباره دو ریشه: $x=6$ و $x=1$.

پاسخ 1؛ 6.

اگر در روند حل یک مشکل تعدادی اعداد بی رحمانه به دست می آورید یا کاملاً از صحت پاسخ های یافت شده مطمئن نیستید، ترفند فوق العاده ای وجود دارد که به شما امکان می دهد بررسی کنید: آیا ما مشکل را به درستی حل کردیم؟

فرض کنید در مسئله 6 به پاسخ های -3 و 2 رسیدیم. چگونه می توانیم درستی این پاسخ ها را بررسی کنیم؟ بیایید آنها را به حالت اولیه وصل کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ما سه عدد ($-6(()^(2))$، $+1$ و $14+4(()^(2))$ داریم که باید یک پیشروی حسابی تشکیل دهند. جایگزین $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \پایان (تراز کردن)\]

ما اعداد -54 را گرفتیم. −2; 50 که با 52 تفاوت دارند بدون شک یک پیشرفت حسابی است. همین اتفاق برای $x=2$ نیز می افتد:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \پایان (تراز کردن)\]

دوباره یک پیشرفت، اما با اختلاف 27. بنابراین، مشکل به درستی حل می شود. کسانی که مایل هستند می توانند کار دوم را به تنهایی بررسی کنند، اما من فوراً می گویم: آنجا هم همه چیز درست است.

به طور کلی، در حین حل آخرین مشکلات، به واقعیت جالب دیگری برخوردیم که باید به خاطر بسپاریم:

اگر سه عدد به گونه ای باشد که دومی میانگین عدد اول و آخر باشد، این اعداد یک تصاعد حسابی را تشکیل می دهند.

در آینده، درک این بیانیه به ما این امکان را می دهد که به معنای واقعی کلمه پیشرفت های لازم را بر اساس شرایط مشکل "ساخت" کنیم. اما قبل از پرداختن به چنین "ساختمانی"، باید به یک واقعیت دیگر توجه کنیم، که مستقیماً از آنچه قبلاً در نظر گرفته شده است ناشی می شود.

گروه بندی و مجموع عناصر

بیایید دوباره به خط اعداد برگردیم. ما در آنجا چندین عضو از پیشرفت را یادداشت می کنیم که شاید بین آنها وجود داشته باشد. ارزش بسیاری از اعضای دیگر:

بیایید سعی کنیم "دم چپ" را برحسب $((a)_(n))$ و $d$، و "دم سمت راست" را برحسب $((a)_(k))$ و $ بیان کنیم. d$. خیلی ساده است:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \پایان (تراز کردن)\]

حالا توجه داشته باشید که مجموع زیر برابر است:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= اس. \پایان (تراز کردن)\]

به بیان ساده، اگر دو عنصر پیشرفت را که در مجموع برابر با مقداری $S$ هستند، به عنوان شروع در نظر بگیریم و سپس از این عناصر در جهت مخالف (به سمت یکدیگر یا برعکس برای دور شدن) قدم برداریم. سپس مجموع عناصری که به آنها برخورد خواهیم کرد نیز برابر خواهد بود$S$. این را می توان به بهترین شکل به صورت گرافیکی نشان داد:

درک این واقعیت به ما این امکان را می دهد که مشکلاتی را با سطح پیچیدگی اساساً بالاتر از مواردی که در بالا در نظر گرفتیم حل کنیم. مثلاً اینها:

کار شماره 8. تفاوت یک تصاعد حسابی را که جمله اول 66 و حاصل ضرب جمله دوم و دوازدهم کوچکترین است را تعیین کنید.

راه حل. بیایید همه چیزهایی را که می دانیم بنویسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=؟ \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، ما تفاوت پیشرفت $d$ را نمی دانیم. در واقع، کل راه حل حول این تفاوت ساخته می شود، زیرا محصول $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \راست)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \پایان (تراز کردن)\]

برای کسانی که در مخزن هستند: من فاکتور مشترک 11 را از براکت دوم حذف کردم. بنابراین، محصول مورد نظر یک تابع درجه دوم با توجه به متغیر $d$ است. بنابراین، تابع $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ را در نظر بگیرید - نمودار آن یک سهمی با شاخه‌های بالا خواهد بود، زیرا اگر پرانتزها را باز کنیم، دریافت می کنیم:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

همانطور که می بینید، ضریب با بالاترین جمله 11 است - این یک عدد مثبت است، بنابراین ما واقعاً با یک سهمی با شاخه های بالا سر و کار داریم:

نمودار یک تابع درجه دوم - سهمی

لطفاً توجه داشته باشید: این سهمی حداقل مقدار خود را در رأس خود با آبسیسا $((d)_(0))$ می گیرد. البته، می‌توانیم این آبسیسا را ​​طبق طرح استاندارد محاسبه کنیم (فرمول $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ وجود دارد)، اما بسیار معقول‌تر خواهد بود که توجه داشته باشید که راس مورد نظر روی تقارن محور سهمی قرار دارد، بنابراین نقطه $((d)_(0))$ از ریشه های معادله $f\left(d \right)=0$ مساوی است:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\چهار ((د)_(2))=-6. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به همین دلیل است که من عجله ای برای باز کردن براکت ها نداشتم: در شکل اصلی، ریشه ها بسیار بسیار آسان بود. بنابراین، آبسیسا برابر است با میانگین حسابی اعداد -66 و -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

چه چیزی عدد کشف شده را به ما می دهد؟ با آن، محصول مورد نیاز کوچکترین مقدار را می گیرد (به هر حال، ما $((y)_(\min ))$ را محاسبه نکردیم - این مورد نیاز نیست). در عین حال، این عدد تفاوت پیشرفت اولیه است، یعنی. ما جواب را پیدا کردیم. :)

پاسخ: -36

کار شماره 9. سه عدد را بین اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac(1)(6)$ قرار دهید تا همراه با اعداد داده شده یک تصاعد حسابی تشکیل دهند.

راه حل. در واقع باید دنباله ای از پنج عدد بسازیم که اولین و آخرین عدد از قبل مشخص شده باشد. اعداد گمشده را با متغیرهای $x$، $y$ و $z$ نشان دهید:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

توجه داشته باشید که عدد $y$ "وسط" دنباله ما است - از اعداد $x$ و $z$ و از اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac فاصله دارد. (1) (6) دلار. و اگر در حال حاضر نتوانیم $y$ را از اعداد $x$ و $z$ بدست آوریم، در این صورت وضعیت با انتهای پیشرفت متفاوت است. میانگین حسابی را به خاطر بسپار:

اکنون با دانستن $y$، اعداد باقیمانده را خواهیم یافت. توجه داشته باشید که $x$ بین $-\frac(1)(2)$ و $y=-\frac(1)(3)$ که تازه پیدا شده است قرار دارد. از همین رو

با استدلال مشابه، عدد باقیمانده را پیدا می کنیم:

آماده! ما هر سه عدد را پیدا کردیم. بیایید آنها را به ترتیبی که باید بین اعداد اصلی درج شوند، در پاسخ بنویسیم.

پاسخ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

کار شماره 10. بین اعداد 2 و 42، چند عدد درج کنید که همراه با اعداد داده شده، یک تصاعد حسابی تشکیل دهند، اگر معلوم شود که مجموع اعداد اول، دوم و آخر 56 است.

راه حل. یک کار حتی دشوارتر، که با این حال، به همان روش قبلی - از طریق میانگین حسابی حل می شود. مشکل این است که ما دقیقا نمی دانیم چند عدد را وارد کنیم. بنابراین، برای قطعیت، فرض می کنیم که پس از درج دقیقاً اعداد $n$ وجود خواهد داشت که اولین آنها 2 و آخرین آن 42 است. در این حالت، پیشرفت محاسباتی مورد نظر را می توان به صورت زیر نشان داد:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \راست\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

البته توجه داشته باشید که اعداد $((a)_(2))$ و $((a)_(n-1))$ از اعداد 2 و 42 که در لبه ها ایستاده اند یک قدم به سمت یکدیگر به دست می آیند. ، یعنی . به مرکز دنباله و این به این معنی است

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

اما سپس عبارت فوق را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \پایان (تراز کردن)\]

با دانستن $((a)_(3))$ و $((a)_(1))$، ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\چپ(3-1 \راست)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\arrow d=5. \\ \پایان (تراز کردن)\]

تنها برای یافتن اعضای باقی مانده باقی مانده است:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، در مرحله نهم به انتهای سمت چپ دنباله خواهیم رسید - عدد 42. در مجموع، فقط 7 عدد باید درج می شد: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

پاسخ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

تکالیف متنی با پیشرفت

در پایان، من می خواهم چند مشکل نسبتا ساده را در نظر بگیرم. خب، به همین سادگی: برای اکثر دانش‌آموزانی که در مدرسه ریاضی می‌خوانند و آنچه در بالا نوشته شده است را نخوانده‌اند، این کارها ممکن است یک حرکت به نظر برسد. با این وجود، دقیقاً چنین وظایفی در OGE و USE در ریاضیات دیده می شود، بنابراین توصیه می کنم که با آنها آشنا شوید.

کار شماره 11. این تیم در ژانویه 62 قسمت تولید کرد و در هر ماه بعد 14 قسمت بیشتر از ماه قبل تولید کرد. تیپ در آبان چند قطعه تولید کرد؟

راه حل. بدیهی است که تعداد قطعات رنگ آمیزی شده بر حسب ماه، یک پیشرفت محاسباتی فزاینده خواهد بود. و:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\چپ(n-1 \راست)\cdot 14. \\ \end (تراز کردن)\]

نوامبر یازدهمین ماه سال است، بنابراین باید $((a)_(11))$ را پیدا کنیم:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

بنابراین در آبان ماه 202 قطعه ساخته خواهد شد.

کار شماره 12. کارگاه صحافی در دی ماه 216 جلد کتاب صحافی کرد و هر ماه 4 جلد کتاب بیشتر از ماه قبل صحافی کرد. کارگاه در آذرماه چند کتاب صحافی کرد؟

راه حل. همه یکسان:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \راست)\cdot 4. \\ \end (تراز کردن)$

دسامبر آخرین و دوازدهمین ماه سال است، بنابراین ما به دنبال $((a)_(12))$ هستیم:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

پاسخ این است - 260 کتاب در دسامبر صحافی می شود.

خوب، اگر تا اینجا خوانده اید، من عجله می کنم به شما تبریک بگویم: شما "دوره مبارزان جوان" را در پیشرفت های حسابی با موفقیت به پایان رساندید. می توانیم با خیال راحت به درس بعدی برویم، جایی که فرمول جمع پیشرفت و همچنین پیامدهای مهم و بسیار مفید آن را مطالعه خواهیم کرد.

نوع درس:یادگیری مطالب جدید

اهداف درس:

• بسط و تعمیق ایده های دانش آموزان در مورد وظایف حل شده با استفاده از پیشرفت حسابی. سازماندهی فعالیت جستجوی دانش آموزان هنگام استخراج فرمول مجموع n عضو اول یک پیشرفت حسابی.
• توسعه مهارت ها برای کسب مستقل دانش جدید، استفاده از دانش از قبل به دست آمده برای دستیابی به کار؛
• توسعه میل و نیاز به تعمیم حقایق به دست آمده، توسعه استقلال.

وظایف:

• تعمیم و نظام مند کردن دانش موجود در مورد "پیشرفت حسابی"؛
• فرمول هایی برای محاسبه مجموع n عضو اول یک پیشرفت حسابی استخراج کنید.
• آموزش نحوه استفاده از فرمول های به دست آمده در حل مسائل مختلف.
• توجه دانش آموزان را به روش یافتن مقدار یک عبارت عددی جلب کنید.

تجهیزات:

• کارت هایی با وظایف برای کار در گروه ها و جفت ها؛
• مقاله ارزیابی؛
• ارائه"پیشرفت حسابی".

I. به فعلیت رساندن دانش پایه.

1. کار مستقل به صورت دو نفره.

گزینه 1:

یک پیشرفت حسابی را تعریف کنید. یک فرمول بازگشتی که یک پیشرفت حسابی را تعریف می کند بنویسید. یک مثال از پیشروی حسابی بزنید و تفاوت آن را نشان دهید.

گزینه دوم:

فرمول n ام یک پیشروی حسابی را بنویسید. صدمین جمله یک پیشرفت حسابی را پیدا کنید ( a n}: 2, 5, 8 …
در این زمان، دو دانش آموز پشت تخته در حال آماده سازی پاسخ به سوالات مشابه هستند.
دانش آموزان کار شریک را با مقایسه آن با تابلو ارزیابی می کنند. (بروشورهایی با پاسخنامه تحویل داده می شود).

2. لحظه بازی.

تمرین 1.

معلم.من مقداری پیشرفت حسابی را تصور کردم. فقط دو تا سوال از من بپرس تا بعد از جواب ها بتونی سریع اسم هفتمین عضو این پیشرفت رو نام ببری. (1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15…)

سوالات دانش آموزان.

1. ترم ششم پیشرفت چیست و چه تفاوتی دارد؟
2. ترم هشتم پیشرفت چیست و چه تفاوتی دارد؟

اگر سؤال دیگری وجود نداشته باشد ، معلم می تواند آنها را تحریک کند - "ممنوعیت" در مورد d (تفاوت) ، یعنی نمی توان پرسید که تفاوت چیست. می توانید سؤال کنید: ترم 6 ترم پیشرفت چیست و ترم 8 ترم پیشرفت چیست؟

وظیفه 2.

20 عدد روی تابلو نوشته شده است: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

معلم با پشت به تخته سیاه می ایستد. دانش آموزان شماره شماره را می گویند و معلم بلافاصله با خود شماره تماس می گیرد. توضیح دهید چگونه می توانم آن را انجام دهم؟

معلم فرمول ترم n را به خاطر می آورد a n \u003d 3n - 2و با جایگزینی مقادیر داده شده n، مقادیر مربوطه را پیدا می کند یک n .

II. بیانیه تکلیف آموزشی

من پیشنهاد می کنم یک مشکل قدیمی که مربوط به هزاره دوم قبل از میلاد است، که در پاپیروس های مصری یافت می شود، حل شود.

یک وظیفه:به شما گفته شود: 10 پیمانه جو را بین 10 نفر تقسیم کنید، تفاوت هر نفر با همسایه اش 8/1 پیمانه است.

• این مسئله چگونه با مبحث پیشروی حسابی ارتباط دارد؟ (هر نفر بعدی 1/8 اندازه بیشتر می گیرد، بنابراین تفاوت d=1/8، 10 نفر است، بنابراین n=10.)
• به نظر شما عدد 10 به چه معناست؟ (مجموع همه اعضای پیشرفت.)
• چه چیز دیگری باید بدانید تا تقسیم جو بر اساس شرایط مشکل آسان و ساده باشد؟ (ترم اول پیشرفت.)

هدف درس- به دست آوردن وابستگی مجموع شرایط پیشرفت به تعداد آنها، جمله اول و تفاوت و بررسی اینکه آیا مشکل در زمان های قدیم به درستی حل شده است یا خیر.

قبل از استخراج فرمول، بیایید ببینیم مصریان باستان چگونه مشکل را حل کردند.

و آنها آن را اینگونه حل کردند:

1) 10 اندازه: 10 = 1 اندازه - سهم متوسط;
2) 1 پیمانه ∙ = 2 پیمانه - دو برابر شده میانگیناشتراک گذاری.
دو برابر شد میانگینسهم مجموع سهام شخص پنجم و ششم است.
3) 2 پیمانه - 1/8 پیمانه = 1 7/8 پیمانه - دو برابر سهم نفر پنجم.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - سهم پنجم؛ و غیره، می توانید سهم هر فرد قبلی و بعدی را پیدا کنید.

دنباله را می گیریم:

III. راه حل تکلیف.

1. به صورت گروهی کار کنید

گروه 1:مجموع 20 عدد طبیعی متوالی را پیدا کنید: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

به طور کلی

گروه دوم:مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 100 را بیابید (افسانه گاوس کوچک).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

نتیجه:

گروه سوم:مجموع اعداد طبیعی 1 تا 21 را بیابید.

راه حل: 1+21=2+20=3+19=4+18…

نتیجه:

گروه چهارم:مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 101 را بیابید.

نتیجه:

این روش برای حل مسائل در نظر گرفته شده "روش گاوس" نامیده می شود.

2. هر گروه راه حل مسئله را روی تخته ارائه می کند.

3. تعمیم راه حل های پیشنهادی برای یک پیشروی حسابی دلخواه:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

ما این مجموع را با استدلال مشابه به دست می آوریم:

4. آیا ما تکلیف را حل کرده ایم؟(آره.)

IV. درک اولیه و کاربرد فرمول های به دست آمده در حل مسائل.

1. بررسی راه حل یک مشکل قدیمی با فرمول.

2. کاربرد فرمول در حل مسائل مختلف.

3. تمرین هایی برای شکل گیری توانایی اعمال فرمول در حل مسائل.

الف) شماره 613

داده شده :( و ن) -پیشرفت حسابی؛

(a n): 1، 2، 3، ...، 1500

پیدا کردن: S 1500

راه حل: , و 1 = 1، و 1500 = 1500،

ب) با توجه به: ( و ن) -پیشرفت حسابی؛
(و n): 1، 2، 3، ...
S n = 210

پیدا کردن: n
راه حل:

V. کار مستقل با تأیید متقابل.

دنیس به عنوان یک پیک برای کار رفت. در ماه اول، حقوق او 200 روبل بود، در هر ماه بعد 30 روبل افزایش یافت. او در یک سال چقدر درآمد داشت؟

داده شده :( و ن) -پیشرفت حسابی؛
a 1 = 200، d = 30، n = 12
پیدا کردن: S 12
راه حل:

پاسخ: دنیس برای سال 4380 روبل دریافت کرد.

VI. آموزش تکلیف.

1. ص 4.3 - اشتقاق فرمول را یاد بگیرید.
2. №№ 585, 623 .
3. مسئله ای بسازید که با استفاده از فرمول حاصل از مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی حل شود.

VII. جمع بندی درس.

1. برگه امتیاز

2. جملات را ادامه دهید

• امروز سر کلاس یاد گرفتم...
• فرمول های آموخته شده ...
• فکر می کنم که…

3. آیا می توانید مجموع اعداد 1 تا 500 را پیدا کنید؟ از چه روشی برای حل این مشکل استفاده خواهید کرد؟

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. جبر، پایه نهم. کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی. اد. G.V. دوروفیوا.مسکو: روشنگری، 2009.

هنگام مطالعه جبر در دبیرستان (پایه نهم)، یکی از موضوعات مهم مطالعه دنباله های عددی است که شامل پیشرفت ها - هندسی و حسابی است. در این مقاله یک پیشروی حسابی و مثال هایی همراه با جواب را در نظر خواهیم گرفت.

پیشروی حسابی چیست؟

برای درک این موضوع، لازم است تعریفی از پیشرفت در نظر گرفته شود و همچنین فرمول های اساسی ارائه شود که بیشتر در حل مسائل مورد استفاده قرار می گیرند.

پیشروی حسابی یا جبری مجموعه ای از اعداد گویا مرتب شده است که هر عضو آن با مقداری ثابت با عضو قبلی متفاوت است. این مقدار تفاوت نامیده می شود. یعنی با دانستن هر عضوی از یک سری اعداد مرتب شده و تفاوت، می توانید کل پیشروی حسابی را بازیابی کنید.

بیایید یک مثال بزنیم. دنباله بعدی اعداد یک پیشرفت حسابی خواهد بود: 4، 8، 12، 16، ...، زیرا تفاوت در این مورد 4 است (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). اما مجموعه اعداد 3، 5، 8، 12، 17 را دیگر نمی توان به نوع پیشرفت در نظر گرفته نسبت داد، زیرا تفاوت برای آن یک مقدار ثابت نیست (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

فرمول های مهم

اکنون فرمول های اساسی را ارائه می دهیم که برای حل مسائل با استفاده از پیشروی حسابی مورد نیاز است. بگذارید a n نشانگر nامین عضو دنباله باشد، جایی که n یک عدد صحیح است. تفاوت با حرف لاتین d نشان داده می شود. سپس عبارات زیر درست هستند:

1. برای تعیین مقدار عبارت n، فرمول مناسب است: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. برای تعیین مجموع n جمله اول: S n = (a n + a 1)*n/2.

برای درک هر نمونه ای از یک پیشروی حسابی با یک راه حل در درجه 9، کافی است این دو فرمول را به خاطر بسپارید، زیرا هر گونه مشکل از نوع مورد بررسی بر اساس استفاده از آنها است. همچنین، فراموش نکنید که تفاوت پیشرفت با فرمول تعیین می شود: d = a n - a n-1 .

مثال شماره 1: یافتن یک عضو ناشناس

ما یک مثال ساده از یک پیشروی حسابی و فرمول هایی که باید برای حل استفاده شوند، ارائه می دهیم.

بگذارید دنباله 10، 8، 6، 4، ... داده شود، لازم است پنج عبارت در آن پیدا شود.

قبلاً از شرایط مسئله بر می آید که 4 عبارت اول شناخته شده است. پنجم را می توان به دو صورت تعریف کرد:

1. بیایید ابتدا تفاوت را محاسبه کنیم. ما داریم: d = 8 - 10 = -2. به طور مشابه، می توان هر دو اصطلاح دیگر را در کنار یکدیگر قرار داد. به عنوان مثال، d = 4 - 6 = -2. از آنجایی که مشخص است d \u003d a n - a n-1 ، سپس d \u003d a 5 - a 4 ، از جایی که می گیریم: a 5 \u003d a 4 + d. مقادیر شناخته شده را جایگزین می کنیم: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. روش دوم همچنین نیاز به آگاهی از تفاوت پیشرفت مورد نظر دارد، بنابراین ابتدا باید آن را تعیین کنید، همانطور که در بالا نشان داده شده است (d = -2). با دانستن اینکه جمله اول a 1 = 10 است، از فرمول n عدد دنباله استفاده می کنیم. ما داریم: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. با جایگزینی n = 5 به آخرین عبارت، به دست می آوریم: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

همانطور که می بینید، هر دو راه حل به یک نتیجه منجر می شوند. توجه داشته باشید که در این مثال تفاوت d پیشرفت منفی است. این دنباله ها را کاهشی می نامند زیرا هر جمله متوالی کمتر از عبارت قبلی است.

مثال شماره 2: تفاوت پیشرفت

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم، مثالی از چگونگی آن بزنید

مشخص است که در برخی جمله اول برابر با 6 و جمله هفتم برابر با 18 است.

بیایید از فرمول برای تعیین عبارت مجهول استفاده کنیم: a n = (n - 1) * d + a 1 . ما داده های شناخته شده از شرط را در آن جایگزین می کنیم، یعنی اعداد a 1 و a 7، داریم: 18 \u003d 6 + 6 * d. از این عبارت، می توانید به راحتی تفاوت را محاسبه کنید: d = (18 - 6) / 6 = 2. بنابراین، بخش اول مسئله پاسخ داده شد.

برای بازگرداندن دنباله به عضو هفتم، باید از تعریف پیشروی جبری استفاده کنید، یعنی a 2 = a 1 + d، a 3 = a 2 + d و غیره. در نتیجه، کل دنباله را بازیابی می کنیم: a 1 = 6، a 2 = 6 + 2=8، a 3 = 8 + 2 = 10، a 4 = 10 + 2 = 12، a 5 = 12 + 2 = 14 6 = 14 + 2 = 16 و 7 = 18.

مثال شماره 3: ایجاد یک پیشرفت

اجازه دهید شرایط مشکل را حتی بیشتر پیچیده کنیم. اکنون باید به این سوال پاسخ دهید که چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنید. می‌توانیم مثال زیر را بزنیم: دو عدد داده می‌شود، مثلاً 4 و 5. لازم است یک پیشروی جبری انجام دهیم تا سه عبارت دیگر بین اینها قرار گیرد.

قبل از شروع حل این مشکل، لازم است بدانیم اعداد داده شده چه جایگاهی در پیشرفت آینده خواهند داشت. از آنجایی که سه عبارت دیگر بین آنها وجود خواهد داشت، سپس یک 1 \u003d -4 و یک 5 \u003d 5. پس از ایجاد این، به کار مشابه قبلی ادامه می دهیم. دوباره برای ترم n از فرمول استفاده می کنیم: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. از: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. در اینجا، تفاوت یک مقدار صحیح نیست، بلکه یک عدد گویا است، بنابراین فرمول‌های پیشروی جبری ثابت می‌مانند.

حالا بیایید تفاوت پیدا شده را به 1 اضافه کنیم و اعضای گمشده پیشرفت را بازیابی کنیم. دریافت می کنیم: a 1 = - 4، a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، a 5 \u003d 2.75 + 2.35 \u. که مصادف با شرایط مشکل بود.

مثال شماره 4: اولین عضو پیشرفت

ما به ارائه مثال هایی از یک پیشرفت حسابی با یک راه حل ادامه می دهیم. در تمام مسائل قبلی، عدد اول پیشروی جبری مشخص بود. اکنون یک مسئله از نوع دیگری را در نظر بگیرید: اجازه دهید دو عدد داده شود، که در آن 15 = 50 و 43 = 37. باید مشخص شود که این دنباله از چه عددی شروع می شود.

فرمول هایی که تاکنون استفاده شده است، دانش 1 و d را فرض می کند. در مورد این اعداد در شرایط مشکل چیزی مشخص نیست. با این وجود، بیایید عباراتی را برای هر عبارتی که اطلاعاتی در مورد آن داریم بنویسیم: a 15 = a 1 + 14 * d و a 43 = a 1 + 42 * d. ما دو معادله به دست آوردیم که در آنها 2 کمیت مجهول وجود دارد (a 1 و d). این بدان معنی است که مسئله به حل یک سیستم معادلات خطی کاهش می یابد.

اگر در هر معادله 1 را بیان کنید و سپس عبارات حاصل را با هم مقایسه کنید، سیستم مشخص شده ساده ترین حل است. معادله اول: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; معادله دوم: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. با معادل سازی این عبارات، به دست می آوریم: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d، از آنجا تفاوت d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (فقط 3 رقم اعشار داده شده است).

با دانستن d، می توانید از هر یک از 2 عبارت بالا برای 1 استفاده کنید. به عنوان مثال، ابتدا: 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

اگر در مورد نتیجه شک دارید، می توانید آن را بررسی کنید، به عنوان مثال، عضو 43 پیشرفت را که در شرط مشخص شده است، تعیین کنید. دریافت می کنیم: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. یک خطای کوچک به این دلیل است که از گرد کردن به هزارم در محاسبات استفاده شده است.

مثال شماره 5: جمع

حال بیایید به چند مثال با راه حل هایی برای مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه کنیم.

یک پیشروی عددی به شکل زیر داده شود: 1، 2، 3، 4، ...،. چگونه می توان مجموع 100 عدد از این اعداد را محاسبه کرد؟

به لطف توسعه فناوری رایانه، می توان این مشکل را حل کرد، یعنی به صورت متوالی همه اعداد را جمع کرد، که رایانه به محض فشار دادن کلید Enter انجام می دهد. با این حال، اگر توجه داشته باشید که سری اعداد ارائه شده یک پیشرفت جبری است و تفاوت آن 1 است، مشکل را می توان به صورت ذهنی حل کرد. / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

جالب است بدانید که این مشکل "گاوسی" نامیده می شود، زیرا در آغاز قرن هجدهم آلمانی مشهور، هنوز در سن 10 سالگی، توانست آن را در چند ثانیه در ذهن خود حل کند. پسر فرمول مجموع یک پیشرفت جبری را نمی دانست، اما متوجه شد که اگر جفت اعدادی را که در لبه های دنباله قرار دارند اضافه کنید، همیشه یک نتیجه را دریافت می کنید، یعنی 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ...، و از آنجایی که این مجموع دقیقاً 50 خواهد بود (100 / 2)، پس برای به دست آوردن پاسخ صحیح کافی است 50 را در 101 ضرب کنید.

مثال شماره 6: مجموع عبارت ها از n تا m

نمونه معمولی دیگر از مجموع یک پیشروی حسابی به شرح زیر است: با توجه به یک سری اعداد: 3، 7، 11، 15، ...، باید دریابید که مجموع عبارت های آن از 8 تا 14 چقدر خواهد بود.

مشکل به دو صورت حل می شود. اولین مورد شامل یافتن عبارات مجهول از 8 تا 14 و سپس جمع بندی آنها به ترتیب است. از آنجایی که اصطلاحات کمی وجود دارد، این روش به اندازه کافی پر زحمت نیست. با این وجود، حل این مشکل با روش دوم پیشنهاد می شود که جهانی تر است.

ایده این است که فرمولی برای مجموع یک پیشروی جبری بین ترم های m و n بدست آوریم که در آن n > m اعداد صحیح هستند. برای هر دو مورد، دو عبارت برای جمع می نویسیم:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

از آنجایی که n > m، بدیهی است که مجموع 2 شامل اولین است. نتیجه آخر به این معناست که اگر تفاضل بین این مجموع را بگیریم و عبارت a m را به آن اضافه کنیم (در صورت گرفتن اختلاف از مجموع S n کسر شود)، پاسخ لازم را برای مسئله می گیریم. داریم: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). لازم است که فرمول های n و m را در این عبارت جایگزین کنید. سپس دریافت می کنیم: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

فرمول حاصل تا حدودی دست و پا گیر است، با این حال، مجموع S mn فقط به n، m، a 1 و d بستگی دارد. در مورد ما، a 1 = 3، d = 4، n = 14، m = 8. با جایگزینی این اعداد، به دست می آوریم: S mn = 301.

همانطور که از راه حل های بالا مشاهده می شود، همه مسائل بر اساس دانش عبارت ترم n و فرمول مجموع مجموعه جمله های اول است. قبل از شروع حل هر یک از این مشکلات، توصیه می شود که شرایط را به دقت بخوانید، به وضوح بفهمید که چه چیزی می خواهید پیدا کنید و تنها پس از آن راه حل را ادامه دهید.

نکته دیگر این است که برای سادگی تلاش کنید، یعنی اگر بتوانید بدون استفاده از محاسبات پیچیده ریاضی به سؤال پاسخ دهید، باید دقیقاً این کار را انجام دهید، زیرا در این حالت احتمال اشتباه کمتر است. به عنوان مثال، در مثال یک پیشروی حسابی با حل شماره 6، می توان در فرمول S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m متوقف شد و وظیفه کلی را به وظایف فرعی جداگانه تقسیم کنید (در این مورد ابتدا عبارت a n و a m را پیدا کنید).

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، توصیه می شود همانطور که در برخی از مثال های ارائه شده انجام شد، آن را بررسی کنید. چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنیم، متوجه شدیم. وقتی آن را فهمیدید، آنقدرها هم سخت نیست.