چند ضلعی چیست؟ چند ضلعی ها نظریه تفصیلی با مثال چند ضلعی چه شکل می دهد

بخش ها: ریاضی

موضوع، سن دانش آموزان: هندسه، پایه نهم

هدف درس: بررسی انواع چند ضلعی ها.

وظیفه آموزشی: به روز رسانی، گسترش و تعمیم دانش دانش آموزان از چند ضلعی. ایده ای از "اجزای" یک چند ضلعی ایجاد کنید. بررسی تعداد عناصر تشکیل دهنده چند ضلعی های منظم (از مثلث تا n-ضلعی)؛

وظیفه توسعه: توسعه توانایی تجزیه و تحلیل، مقایسه، نتیجه‌گیری، توسعه مهارت‌های محاسباتی، گفتار ریاضی شفاهی و کتبی، حافظه، و همچنین استقلال در فعالیت‌های تفکر و یادگیری، توانایی کار به صورت زوجی و گروهی. توسعه فعالیت های پژوهشی و آموزشی؛

وظیفه آموزشی: آموزش استقلال، فعالیت، مسئولیت در قبال وظیفه محوله، پشتکار در دستیابی به هدف.

در طول کلاس ها:یک نقل قول روی تخته سیاه نوشته شده است

"طبیعت به زبان ریاضیات صحبت می کند، حروف این زبان ... ارقام ریاضی." G. Gallilei

در ابتدای درس، کلاس به گروه های کاری تقسیم می شود (در مورد ما، تقسیم به گروه های 4 نفره هر کدام - تعداد اعضای گروه برابر با تعداد گروه های سوال است).

1. مرحله تماس

اهداف:

الف) به روز رسانی دانش دانش آموزان در مورد موضوع؛

ب) بیدار شدن علاقه به موضوع مورد مطالعه، انگیزه هر دانش آموز برای فعالیت های یادگیری.

پذیرایی: بازی "آیا باور داری که ..."، سازماندهی کار با متن.

اشکال کار: پیشانی، گروهی.

"آیا باور دارید که…."

1. ... کلمه "چند ضلعی" نشان می دهد که تمام چهره های این خانواده "گوشه های زیادی" دارند؟

2. ... یک مثلث متعلق به یک خانواده بزرگ از چند ضلعی ها است که در میان بسیاری از اشکال هندسی مختلف در صفحه متمایز است؟

3. ... آیا مربع یک هشت ضلعی منظم است (چهار ضلع + چهار گوشه)؟

امروز در درس در مورد چند ضلعی صحبت خواهیم کرد. می آموزیم که این شکل با یک خط شکسته بسته محدود شده است که به نوبه خود می تواند ساده و بسته باشد. بیایید در مورد این واقعیت صحبت کنیم که چند ضلعی ها مسطح، منظم، محدب هستند. یکی از چند ضلعی های مسطح مثلثی است که مدت هاست با آن آشنا بوده اید (می توانید پوسترهایی را به دانش آموزان نشان دهید که چند ضلعی ها، یک خط شکسته را نشان می دهد، انواع مختلف آنها را نشان می دهد، همچنین می توانید از TCO استفاده کنید).

2. مرحله درک

هدف: به دست آوردن اطلاعات جدید، درک آن، انتخاب.

پذیرایی: زیگزاگ.

اشکال کار: فردی->جفتی->گروهی.

به هر گروه متنی در مورد موضوع درس داده می شود و متن به گونه ای طراحی شده است که هم اطلاعاتی را که قبلاً برای دانش آموزان شناخته شده است و هم اطلاعات کاملاً جدیدی را شامل می شود. همراه با متن، دانش آموزان سوالاتی دریافت می کنند که پاسخ آنها را باید در این متن یافت.

چند ضلعی ها انواع چند ضلعی.

چه کسی در مورد مثلث مرموز برمودا، جایی که کشتی ها و هواپیماها بدون هیچ ردی ناپدید می شوند، چیزی نشنیده است؟ اما مثلث آشنای ما از دوران کودکی مملو از چیزهای جالب و مرموز است.

این مثلث علاوه بر انواع مثلث هایی که قبلاً برای ما شناخته شده است، تقسیم بر اضلاع (مقیاس، متساوی الساقین، متساوی الاضلاع) و زوایا (زاویه حاد، مبهم، قائم الزاویه)، به خانواده بزرگی از چند ضلعی ها تعلق دارد. بسیاری از اشکال هندسی مختلف در هواپیما.

کلمه "چند ضلعی" نشان می دهد که تمام چهره های این خانواده "گوشه های زیادی" دارند. اما این برای مشخص کردن شکل کافی نیست.

خط شکسته A 1 A 2 ... A n شکلی است که از نقاط A 1، A 2، ... A n و قطعات A 1 A 2، A 2 A 3، ... تشکیل شده است که آنها را به هم متصل می کند. نقاط را رئوس چند خط و پاره ها را پیوندهای چندخط می نامند. (عکس. 1)

خط شکسته در صورتی ساده نامیده می شود که خود تقاطع نداشته باشد (شکل 2،3).

یک خط شکسته بسته نامیده می شود که انتهای آن منطبق باشد. طول یک خط شکسته مجموع طول پیوندهای آن است (شکل 4).

یک خط شکسته بسته ساده را چند ضلعی می گویند که پیوندهای مجاور آن روی یک خط مستقیم قرار نگیرند (شکل 5).

در کلمه "چند ضلعی" به جای قسمت "بسیار" یک عدد خاص را جایگزین کنید، به عنوان مثال 3. یک مثلث خواهید داشت. یا 5. سپس - یک پنج ضلعی. توجه داشته باشید که به تعداد اضلاع زاویه وجود دارد، بنابراین می‌توان این اشکال را چند جانبه نامید.

رئوس چند خط را رئوس چند ضلعی و پیوندهای چندخط را اضلاع چند ضلعی می نامند.

چند ضلعی صفحه را به دو ناحیه داخلی و خارجی تقسیم می کند (شکل 6).

چند ضلعی صفحه یا ناحیه چند ضلعی قسمتی محدود از صفحه است که به یک چندضلعی محدود شده است.

دو رأس یک چند ضلعی که انتهای یک ضلع هستند همسایه نامیده می شوند. رئوس هایی که انتهای یک طرف نیستند، مجاور نیستند.

چند ضلعی با n رأس و در نتیجه n ضلع، n-ضلعی نامیده می شود.

اگرچه کوچکترین تعداد ضلع های یک چند ضلعی 3 است. اما مثلث ها با اتصال به یکدیگر می توانند اشکال دیگری را تشکیل دهند که به نوبه خود آنها نیز چند ضلعی هستند.

بخش هایی که رئوس غیر همسایه یک چند ضلعی را به هم متصل می کنند، مورب نامیده می شوند.

یک چند ضلعی محدب نامیده می شود که در یک نیم صفحه نسبت به هر خطی که ضلع خود را دارد قرار گیرد. در این حالت خود خط مستقیم متعلق به نیم صفحه در نظر گرفته می شود.

زاویه یک چند ضلعی محدب در یک راس معین، زاویه ای است که اضلاع آن در آن راس همگرا می شوند.

بیایید قضیه را ثابت کنیم (بر روی مجموع زوایای یک n-ضلعی محدب): مجموع زوایای یک n-ضلعی محدب برابر است با 180 0 *(n - 2).

اثبات در مورد n=3 قضیه معتبر است. فرض کنید А 1 А 2 …А n یک چندضلعی محدب داده شده باشد و n>3 باشد. بیایید قطرهایی را در آن رسم کنیم (از یک راس). از آنجایی که چند ضلعی محدب است، این مورب ها آن را به n - 2 مثلث تقسیم می کنند. مجموع زوایای چند ضلعی برابر است با مجموع زوایای همه این مثلث ها. مجموع زوایای هر مثلث 180 0 است و تعداد این مثلث ها n - 2 است. بنابراین مجموع زوایای یک n محدب - زاویه A 1 A 2 ... A n 180 0 * ( n - 2). قضیه ثابت شده است.

زاویه بیرونی یک چند ضلعی محدب در یک راس مشخص، زاویه مجاور با زاویه داخلی چند ضلعی در آن راس است.

اگر همه ضلع ها مساوی و همه زوایا مساوی باشند به چند ضلعی محدب منظم می گویند.

بنابراین مربع را می توان متفاوت نامید - یک چهار ضلعی منظم. مثلث های متساوی الاضلاع نیز منظم هستند. چنین چهره هایی از دیرباز مورد توجه استادانی بوده است که ساختمان ها را تزئین کرده اند. آنها الگوهای زیبایی را مثلاً روی پارکت درست کردند. اما نمی توان از همه چند ضلعی های منظم برای تشکیل پارکت استفاده کرد. پارکت را نمی توان از هشت ضلعی منظم تشکیل داد. واقعیت این است که هر زاویه آنها برابر با 135 0 است. و اگر هر نقطه ای راس دو هشت ضلعی از این قبیل باشد، 270 0 خواهند داشت و جایی برای هشت ضلعی سوم وجود ندارد: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. اما برای یک مربع کافی است. بنابراین می توان پارکت را از هشت ضلعی و مربع معمولی تا کرد.

ستاره ها درست هستند ستاره پنج پر ما یک ستاره پنج ضلعی منظم است. و اگر مربع را به اندازه 45 0 به دور مرکز بچرخانید، یک ستاره هشت ضلعی منظم بدست می آورید.

1 گروه

خط شکسته چیست؟ رئوس و پیوندهای چندخط را توضیح دهید.

به کدام خط شکسته ساده می گویند؟

به کدام خط شکسته بسته می گویند؟

چند ضلعی چیست؟ رئوس چند ضلعی چه نام دارد؟ اضلاع یک چند ضلعی کدامند؟

2 گروه

چند ضلعی تخت چیست؟ چند ضلعی را مثال بزنید.

n-gon چیست؟

توضیح دهید که کدام رئوس چند ضلعی مجاور هستند و کدام نه.

قطر چند ضلعی چقدر است؟

3 گروه

چند ضلعی محدب چیست؟

توضیح دهید کدام گوشه های چند ضلعی خارجی و کدامیک داخلی هستند؟

چند ضلعی منظم چیست؟ چند ضلعی های منظم را مثال بزنید.

4 گروه

مجموع زوایای یک n-ضلعی محدب چقدر است؟ اثباتش کن.

دانش آموزان با متن کار می کنند، به دنبال پاسخ به سوالات مطرح شده می گردند، پس از آن گروه های متخصص تشکیل می شوند، که در آن کار بر روی همان موضوعات انجام می شود: دانش آموزان نکته اصلی را برجسته می کنند، یک چکیده پشتیبان تهیه می کنند، اطلاعات را در یکی از موارد ارائه می دهند. فرم های گرافیکی در پایان کار، دانش آموزان به گروه های کاری خود باز می گردند.

3. مرحله بازتاب -

الف) ارزیابی دانش آنها، چالش در مرحله بعدی دانش؛

ب) درک و تخصیص اطلاعات دریافتی.

پذیرش: کار پژوهشی.

اشکال کار: فردی->جفتی->گروهی.

کارگروه ها در پاسخ به هر یک از بخش های سؤالات پیشنهادی متخصص هستند.

در بازگشت به کارگروه، کارشناس سایر اعضای گروه را با پاسخ به سوالات آنها معرفی می کند. در گروه تبادل اطلاعات همه اعضای کارگروه وجود دارد. بدین ترتیب در هر کارگروه به برکت کار کارشناسان، ایده ای کلی در مورد موضوع مورد بررسی شکل می گیرد.

کار پژوهشی دانش آموزان - پر کردن جدول.

حل مسائل جالب در مورد موضوع درس.

• در چهارضلعی یک خط بکشید تا به سه مثلث تقسیم شود.
• یک چند ضلعی منتظم چند ضلع دارد که هر یک از زوایای داخلی آن برابر با 135 0 است؟
• در یک چند ضلعی مشخص، تمام زوایای داخلی با یکدیگر برابر هستند. آیا مجموع زوایای داخلی این چند ضلعی می تواند: 360 0 , 380 0 باشد؟

جمع بندی درس. ضبط تکالیف.

در مورد آنچه که چند ضلعی در نظر گرفته می شود، دیدگاه های مختلفی وجود دارد. در درس هندسه مدرسه از یکی از تعاریف زیر استفاده می شود.

تعریف 1

چند ضلعی

شکلی است که از بخش ها تشکیل شده است

به طوری که بخش های مجاور(یعنی بخش های مجاور با یک راس مشترک، به عنوان مثال، A1A2 و A2A3) روی یک خط مستقیم دراز نکشید و بخش های غیر مجاور هیچ نقطه مشترکی ندارند.

تعریف 2

به یک چند ضلعی بسته ساده، چند ضلعی می گویند.

نکته ها

تماس گرفت رئوس چند ضلعی، بخش ها

— اضلاع چند ضلعی.

مجموع طول تمام اضلاع نامیده می شود محیط چند ضلعی.

چند ضلعی که دارای n راس (و در نتیجه n ضلع) باشد نامیده می شود n - مربع.

چند ضلعی که در یک صفحه قرار دارد نامیده می شود تخت. هنگامی که در مورد یک چند ضلعی صحبت می شود، مگر اینکه خلاف آن ذکر شود، درک می شود که ما در مورد یک چند ضلعی مسطح صحبت می کنیم.

دو رأس در یک سمت یک چند ضلعی نامیده می شوند همسایه. به عنوان مثال، A1 و A2، A5 و A6 رئوس همسایه هستند.

پاره خطی که دو راس غیر مجاور را به هم متصل می کند نامیده می شود مورب چند ضلعی.

ببینید یک چند ضلعی چند قطر دارد.

از هر یک از n راس چند ضلعی، n-3 قطر می آید

(در مجموع n راس وجود دارد. خود راس و دو راس همسایه را که با این راس مورب تشکیل نمی دهند را نمی شمریم. مثلا برای راس A1 خود A1 و راس های همسایه A2 و A3 را در نظر نمی گیریم. ).

بنابراین، هر یک از n راس مربوط به n-3 قطر است. از آنجایی که یک مورب به دو راس همزمان اشاره دارد، برای یافتن تعداد قطرهای یک چند ضلعی، حاصل ضرب n (n-3) باید به نصف تقسیم شود.

بنابراین، n-gon دارد

مورب ها

هر چند ضلعی صفحه را به دو قسمت تقسیم می کند - ناحیه داخلی و خارجی چند ضلعی. به شکلی که از یک چند ضلعی و داخل آن تشکیل شده باشد، چندضلعی نیز می گویند.

ویژگی های چند ضلعی

چند ضلعی یک شکل هندسی است که معمولاً به عنوان یک چندضلعی بسته بدون خودتقاطع تعریف می شود (یک چند ضلعی ساده (شکل 1a))، اما گاهی اوقات خودتقاطع مجاز است (در این صورت چند ضلعی ساده نیست).

رئوس چند خط را رئوس چند ضلعی و پاره ها را اضلاع چند ضلعی می نامند. رئوس چند ضلعی اگر انتهای یکی از ضلع های آن باشد همسایه نامیده می شود. پاره های خطی که رئوس غیر همسایه یک چند ضلعی را به هم متصل می کنند، مورب نامیده می شوند.

زاویه (یا زاویه داخلی) یک چند ضلعی محدب در یک راس معین، زاویه ای است که توسط اضلاع آن در این راس همگرا می شود و زاویه از سمت چند ضلعی در نظر گرفته می شود. به طور خاص، اگر چند ضلعی محدب نباشد، زاویه ممکن است از 180 درجه بیشتر شود.

زاویه بیرونی یک چند ضلعی محدب در یک راس مشخص، زاویه مجاور با زاویه داخلی چند ضلعی در آن راس است. به طور کلی، زاویه بیرونی تفاوت بین 180 درجه و زاویه داخلی است. از هر رأس -گون برای > 3، - 3 مورب وجود دارد، بنابراین تعداد کل قطرهای -گون برابر است.

چند ضلعی با سه راس مثلث، با چهار - چهار ضلعی، با پنج - یک پنج ضلعی، و غیره نامیده می شود.

چند ضلعی با nقله ها نامیده می شود n-مربع.

چند ضلعی مسطح شکلی است که از یک چند ضلعی و قسمت محدودی از ناحیه محدود به آن تشکیل شده است.

یک چند ضلعی محدب نامیده می شود که یکی از شرایط زیر (معادل) برقرار باشد:

• 1. در یک طرف هر خط مستقیمی قرار دارد که رئوس همسایه خود را به هم متصل می کند. (یعنی امتداد اضلاع یک چند ضلعی اضلاع دیگر آن را قطع نمی کنند).
• 2. تقاطع (یعنی قسمت مشترک) چند نیم صفحه است.
• 3. هر پاره ای که انتهای آن در نقاط متعلق به چند ضلعی باشد، به طور کامل به آن تعلق دارد.

یک چند ضلعی محدب منظم نامیده می شود که همه اضلاع برابر و همه زوایا مساوی باشند، مثلاً مثلث متساوی الاضلاع، مربع و پنج ضلعی.

به چند ضلعی محدب گفته می شود که در مورد دایره ای محاط می شود که همه اضلاع آن بر دایره ای مماس باشد.

چند ضلعی منتظم به چند ضلعی گفته می شود که تمام ضلع ها و زوایا با هم برابر باشند.

ویژگی های چند ضلعی:

1 هر مورب از یک ضلعی محدب، که در آن > 3، آن را به دو چند ضلعی محدب تجزیه می کند.

2 مجموع تمام زوایای یک گونۀ محدب برابر است با.

د-این: قضیه را با روش استقرای ریاضی اثبات می کنیم. برای = 3 واضح است. فرض کنید که این قضیه برای یک -gon درست است، جایی که <, و آن را برای -gon ثابت کنید.

اجازه دهید یک چند ضلعی داده شده باشد. قطری از این چند ضلعی رسم کنید. با قضیه 3، چند ضلعی به یک مثلث و یک ضلعی محدب تجزیه می شود (شکل 5). با فرضیه استقرایی. از سوی دیگر، . اضافه کردن این برابری ها و در نظر گرفتن آن (- زاویه پرتو داخلی ) و (- زاویه پرتو داخلی ), می گیریم وقتی می گیریم: .

3 در مورد هر چند ضلعی منتظم می توان یک دایره و علاوه بر این، فقط یک دایره را توصیف کرد.

D-in: یک چند ضلعی منتظم و و را نیمساز زوایا و (شکل 150) بگذارید. از آنجا که، بنابراین، * 180 درجه< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O.این را ثابت کنیم O = OA 2 = O =… = OA پ . مثلث Oبنابراین متساوی الساقین O= O. بنابراین با توجه به معیار دوم برای تساوی مثلث ها، O = O. به همین ترتیب ثابت می شود که O = Oو غیره. بنابراین نکته Oاز تمام رئوس چند ضلعی مساوی فاصله دارد، بنابراین دایره با مرکز Oشعاع Oحدود یک چند ضلعی است.

اجازه دهید اکنون ثابت کنیم که فقط یک دایره محدود وجود دارد. برای مثال، سه رأس یک چند ضلعی را در نظر بگیرید، ولی 2 , . از آنجایی که فقط یک دایره از این نقاط می گذرد، پس در مورد چندضلعی … شما نمی توانید بیش از یک حلقه را توصیف کنید.

• 4 در هر چند ضلعی منظم، می توانید یک دایره و علاوه بر این، فقط یک دایره را ثبت کنید.
• 5 دایره ای که در یک چند ضلعی منظم حک شده است، اضلاع چند ضلعی را در نقاط میانی آنها لمس می کند.
• 6 مرکز دایره ای که یک چند ضلعی منتظم را دور می زند با مرکز دایره ای که در همان چند ضلعی محاط شده است منطبق است.
• 7 تقارن:

به شکلی متقارن (متقارن) گفته می شود که چنین حرکتی (نه یکسان) وجود داشته باشد که این شکل را به خود تبدیل کند.

• 7.1. یک مثلث کلی هیچ محور یا مرکز تقارن ندارد، متقارن نیست. یک مثلث متساوی الساقین (اما نه متساوی الاضلاع) دارای یک محور تقارن است: عمود بر قاعده.
• 7.2. یک مثلث متساوی الاضلاع دارای سه محور تقارن (نصف عمود بر اضلاع) و تقارن چرخشی حول مرکز با زاویه چرخش 120 درجه است.

7.3 هر n-gon منظم دارای n محور تقارن است که همه آنها از مرکز آن عبور می کنند. همچنین دارای تقارن چرخشی در مورد مرکز با زاویه چرخش است.

زوج nبرخی از محورهای تقارن از رئوس مخالف و برخی دیگر از وسط اضلاع مخالف عبور می کنند.

برای فرد nهر محور از راس و نقطه میانی طرف مقابل عبور می کند.

مرکز یک چند ضلعی منتظم با تعداد اضلاع زوج مرکز تقارن آن است. یک چندضلعی منتظم با تعداد اضلاع فرد هیچ مرکز تقارن ندارد.

8 شباهت:

با شباهت، و -gon به یک -گون، نیمه صفحه - به یک نیم صفحه، بنابراین محدب می شود n-گون محدب می شود n-گون

قضیه: اگر اضلاع و زوایای چندضلعی های محدب و تساوی ها را برآورده کنند:

ضریب سکو کجاست

پس این چند ضلعی ها مشابه هستند.

• 8.1 نسبت محیط دو چند ضلعی مشابه برابر با ضریب تشابه است.
• 8.2. نسبت مساحت دو چند ضلعی مشابه محدب برابر است با مجذور ضریب تشابه.

قضیه محیط مثلث چند ضلعی

چند ضلعی- این یک شکل هندسی است که توسط یک چندخط بسته محدود شده است که خود تقاطع ندارد.

پیوندهای خط شکسته نامیده می شوند اضلاع چند ضلعیو رئوس آن رئوس چند ضلعی.

گوشه هاچند ضلعی به زوایای داخلی گفته می شود که از اضلاع مجاور تشکیل شده اند. تعداد گوشه های یک چند ضلعی برابر است با تعداد رئوس و اضلاع آن.

چند ضلعی ها بر اساس تعداد اضلاع نامگذاری می شوند. چند ضلعی که کمترین تعداد ضلع را دارد، مثلث نامیده می شود که فقط سه ضلع دارد. چند ضلعی با چهار ضلع چهار ضلعی نامیده می شود، با پنج - یک پنج ضلعی و غیره.

تعیین یک چند ضلعی از حروف در رأس آن تشکیل شده است که آنها را به ترتیب (در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت) نامگذاری می کنند. مثلاً می گویند یا می نویسند: پنج ضلعی ABCDE :

در یک پنج ضلعی ABCDEنکته ها آ, ب, سی, Dو Eرئوس پنج ضلعی و قطعات هستند AB, قبل از میلاد مسیح, سی دی, DEو EAاضلاع یک پنج ضلعی

محدب و مقعر

چند ضلعی نامیده می شود محدباگر هیچ یک از اضلاع آن که به یک خط مستقیم کشیده شده است، آن را قطع نمی کند. در غیر این صورت، چند ضلعی نامیده می شود مقعر:

محیط

مجموع طول تمام ضلع های یک چند ضلعی را آن می گویند محیط.

محیط چند ضلعی ABCDEبرابر است با:

AB + قبل از میلاد مسیح+ سی دی + DE + EA

اگر یک چند ضلعی همه ضلع ها و همه زوایا برابر باشند، آن را می گویند درست. فقط چند ضلعی های محدب می توانند چند ضلعی منظم باشند.

مورب

مورب چند ضلعیپاره خطی است که رئوس دو زاویه را که ضلع مشترکی ندارند به هم وصل می کند. به عنوان مثال، برش آگهییک مورب است:

تنها چند ضلعی که یک قطر ندارد یک مثلث است، زیرا هیچ گوشه ای در آن وجود ندارد که اضلاع مشترک نداشته باشد.

اگر همه قطرهای ممکن از هر رأس چند ضلعی رسم شوند، آنگاه چند ضلعی را به مثلث تقسیم می کنند:

دقیقاً دو مثلث کمتر از اضلاع خواهد بود:

تی = n - 2

جایی که تیتعداد مثلث ها و n- تعداد اضلاع

تقسیم یک چند ضلعی به مثلث ها با استفاده از مورب ها برای یافتن مساحت یک چند ضلعی استفاده می شود، زیرا برای پیدا کردن مساحت یک چند ضلعی، باید آن را به مثلث ها تقسیم کنید، مساحت این مثلث ها را پیدا کنید و نتایج را اضافه کنید..

به قسمتی از صفحه که توسط یک خط شکسته بسته محدود می شود، چندضلعی می گویند.

پاره های این خط شکسته نامیده می شوند مهمانیچند ضلعی. AB، BC، CD، DE، EA (شکل 1) - اضلاع چند ضلعی ABCDE. مجموع اضلاع یک چند ضلعی را آن می گویند محیط.

چند ضلعی نامیده می شود محدب، اگر در یک طرف هر یک از اضلاع آن واقع شده باشد، به طور نامحدودی فراتر از هر دو رئوس گسترش یافته است.

چند ضلعی MNPKO (شکل 1) محدب نخواهد بود، زیرا در بیش از یک طرف خط مستقیم KP قرار دارد.

ما فقط چند ضلعی های محدب را در نظر خواهیم گرفت.

زوایایی که توسط دو ضلع مجاور یک چند ضلعی تشکیل می شود، آن نامیده می شود درونی؛ داخلیگوشه ها و بالای آنها - رئوس چند ضلعی.

پاره خطی که دو راس غیر مجاور یک چند ضلعی را به هم متصل می کند، مورب چندضلعی نامیده می شود.

AC، AD - مورب های چند ضلعی (شکل 2).

گوشه های مجاور گوشه های داخلی چند ضلعی را گوشه های خارجی چند ضلعی می نامند (شکل 3).

بسته به تعداد زوایا (اضلاع)، چند ضلعی را مثلث، چهار ضلعی، پنج ضلعی و غیره می نامند.

به دو چند ضلعی مساوی گفته می شود اگر بتوان آنها را روی هم قرار داد.

چند ضلعی های محاطی و محاطی

اگر همه رئوس یک چند ضلعی روی یک دایره قرار گیرند، آن چند ضلعی نامیده می شود نوشته شده استبه یک دایره، و دایره شرح داده شدهنزدیک چندضلعی (شکل).

اگر همه ضلع های یک چند ضلعی مماس بر یک دایره باشند، آن چند ضلعی نامیده می شود شرح داده شدهدور دایره، و دایره نامیده می شود نوشته شده استبه یک چند ضلعی (شکل).

شباهت چند ضلعی ها

دو چند ضلعی همنام در صورتی شبیه نامیده می شوند که زوایای یکی از آنها به ترتیب با زوایای دیگری برابر باشد و اضلاع مشابه چند ضلعی ها متناسب باشند.

چند ضلعی هایی با تعداد ضلع (زاویه) یکسان را چند ضلعی های همنام می گویند.

اضلاع چند ضلعی های مشابه اگر رئوس زوایای مشابه را به هم وصل کنند، مشابه نامیده می شوند (شکل).

بنابراین، برای مثال، برای اینکه چند ضلعی ABCDE شبیه چند ضلعی A'B'C'D'E' باشد، لازم است: E = ∠E' و علاوه بر این، AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'.

نسبت محیطی چند ضلعی های مشابه

ابتدا ویژگی یک سری نسبت های مساوی را در نظر بگیرید. بیایید، به عنوان مثال، روابط: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 = 2.

بیایید مجموع اعضای قبلی این روابط را پیدا کنیم، سپس - مجموع اعضای بعدی آنها را پیدا کنیم و نسبت مبالغ دریافتی را پیدا کنیم، دریافت می کنیم:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

اگر تعدادی رابطه دیگر را در نظر بگیریم، به همین شکل به دست خواهیم آورد، به عنوان مثال: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 و سپس نسبت این مجموع را پیدا کنیم. ، ما گرفتیم:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

در هر دو مورد، مجموع اعضای قبلی یک سری از روابط مساوی با مجموع اعضای بعدی همان سری مرتبط است، همانطور که عضو قبلی هر یک از این روابط به رابطه بعدی آن مربوط می شود.

ما این ویژگی را با در نظر گرفتن تعدادی مثال عددی استنباط کردیم. می توان آن را به صورت دقیق و کلی استنباط کرد.

حال نسبت محیط چند ضلعی های مشابه را در نظر بگیرید.

بگذارید چند ضلعی ABCDE شبیه چند ضلعی A'B'C'D'E' باشد (شکل).

از شباهت این چند ضلعی ها بر می آید که

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

بر اساس ویژگی یک سری روابط مساوی که به دست آورده ایم، می توانیم بنویسیم:

مجموع عبارت‌های قبلی روابطی که گرفته‌ایم، محیط چند ضلعی اول (P) است و مجموع جمله‌های بعدی این روابط، محیط چند ضلعی دوم (P ') است، بنابراین P / P' = AB / A'B '.

در نتیجه، محیط چند ضلعی های مشابه به عنوان اضلاع متناظر آنها مرتبط است.

نسبت مساحت چند ضلعی های مشابه

بگذارید ABCDE و A'B'C'D'E چند ضلعی مشابه باشند (شکل).

مشخص است که ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' و ΔADE ~ ΔA'D'E'.

بعلاوه،

;

از آنجایی که نسبت های دوم این نسبت ها برابر هستند که از شباهت چندضلعی ها ناشی می شود، پس

با استفاده از ویژگی یک سری نسبت های مساوی، به دست می آوریم:

یا

که در آن S و S' مساحت این چندضلعی های مشابه هستند.

در نتیجه، مساحت چند ضلعی های مشابه به عنوان مربع اضلاع مشابه به هم مرتبط هستند.

فرمول حاصل را می توان به این شکل تبدیل کرد: S / S '= (AB / A'B ') 2

مساحت یک چند ضلعی دلخواه

اجازه دهید محاسبه مساحت یک ABDC چهارضلعی دلخواه لازم باشد (شکل).

بیایید یک مورب در آن بکشیم، برای مثال AD. دو مثلث ABD و ACD بدست می آوریم که مساحت آنها را می توانیم محاسبه کنیم. سپس مجموع مساحت های این مثلث ها را پیدا می کنیم. حاصل جمع مساحت چهار ضلعی داده شده را بیان می کند.

اگر باید مساحت یک پنج ضلعی را محاسبه کنید، به همین ترتیب عمل می کنیم: از یکی از رئوس مورب ها را ترسیم می کنیم. سه مثلث بدست می آوریم که مساحت آنها را می توانیم محاسبه کنیم. بنابراین می توانیم مساحت این پنج ضلعی را پیدا کنیم. هنگام محاسبه مساحت هر چندضلعی همین کار را انجام می دهیم.

منطقه طرح چند ضلعی

به یاد بیاورید که زاویه بین یک خط و یک صفحه، زاویه بین یک خط معین و طرح ریزی آن بر روی صفحه است (شکل).

قضیه. مساحت برآمدگی متعامد چند ضلعی بر روی صفحه برابر است با مساحت چند ضلعی پیش بینی شده ضرب در کسینوس زاویه تشکیل شده توسط صفحه چند ضلعی و صفحه طرح.

هر چند ضلعی را می توان به مثلث هایی تقسیم کرد که مجموع مساحت آنها برابر با مساحت چند ضلعی است. بنابراین برای اثبات قضیه مثلث کافی است.

اجازه دهید ΔABC بر روی صفحه نمایش داده شود آر. دو مورد را در نظر بگیرید:

الف) یکی از اضلاع ΔABS با صفحه موازی است آر;

ب) هیچ یک از اضلاع ΔABC موازی نیست آر.

در نظر گرفتن مورد اول: اجازه دهید [AB] || آر.

از صفحه (AB) بکشید آر 1 || آرو به صورت متعامد ΔABC روی آن قرار دهید آر 1 و به بعد آر(برنج.)؛ ما ΔABC 1 و ΔA’B’C را دریافت می کنیم.

با خاصیت طرح ریزی، ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’ داریم و بنابراین

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

بیایید ⊥ و قطعه D 1 C 1 را رسم کنیم. سپس ⊥، a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ زاویه بین صفحه ΔABC و صفحه است. آریکی . از همین رو

S ∆ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | سی دی 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

و بنابراین، S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

بیایید به بررسی ادامه دهیم مورد دوم. یک هواپیما بکشید آر 1 || آراز طریق آن رأس ΔАВС، فاصله ای که از آن تا صفحه آرکوچکترین (بگذارید راس A باشد).

بیایید ΔABC را در هواپیما طراحی کنیم آر 1 و آر(برنج.)؛ بگذارید پیش بینی های آن به ترتیب ΔAB 1 C 1 و ΔA’B’C’ باشند.

اجازه دهید (پیش از میلاد) ∩ پ 1 = D. سپس

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ