بررسی نمودار تابع y x 1 2. بررسی کامل تابع و رسم

اگر در کار لازم است با ساخت نمودار آن یک مطالعه کامل از تابع f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 انجام شود، آنگاه این اصل را با جزئیات در نظر خواهیم گرفت.

برای حل مشکلی از این نوع، باید از خصوصیات و نمودارهای توابع ابتدایی اصلی استفاده کرد. الگوریتم تحقیق شامل مراحل زیر است:

یافتن حوزه تعریف

از آنجایی که تحقیقات در حوزه تابع انجام می شود، لازم است از این مرحله شروع شود.

مثال 1

مثال داده شده شامل یافتن صفرهای مخرج به منظور حذف آنها از DPV است.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

در نتیجه می توانید ریشه، لگاریتم و غیره را بدست آورید. سپس ODZ را می توان برای ریشه یک درجه زوج از نوع g (x) 4 با نابرابری g (x) ≥ 0، برای لاگاریتم لگاریتم a g (x) با نابرابری g (x) > 0 جستجو کرد.

بررسی مرزهای ODZ و یافتن مجانب عمودی

در مرزهای تابع مجانبی عمودی وجود دارد، زمانی که حدود یک طرفه در چنین نقاطی بی نهایت باشد.

مثال 2

برای مثال، نقاط مرزی را برابر با x = ± 1 2 در نظر بگیرید.

سپس برای یافتن حد یک طرفه باید تابع را مطالعه کرد. سپس دریافت می کنیم که: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

این نشان می دهد که حدود یک طرفه بی نهایت هستند، به این معنی که خطوط x = ± 1 2 مجانب عمودی نمودار هستند.

بررسی تابع و برای زوج یا فرد

وقتی شرط y (- x) = y (x) برقرار باشد، تابع زوج در نظر گرفته می شود. این نشان می دهد که نمودار با توجه به O y به صورت متقارن قرار دارد. هنگامی که شرط y (- x) = - y (x) برقرار است، تابع فرد در نظر گرفته می شود. این بدان معنی است که تقارن با توجه به مبدأ مختصات پیش می رود. اگر حداقل یک نابرابری از کار بیفتد، تابعی از شکل کلی به دست می آوریم.

تحقق برابری y (- x) = y (x) نشان می دهد که تابع زوج است. هنگام ساخت، باید در نظر داشت که تقارن با توجه به O y وجود خواهد داشت.

برای حل نابرابری، فواصل افزایش و کاهش به ترتیب با شرایط f "(x) ≥ 0 و f" (x) ≤ 0 استفاده می شود.

تعریف 1

نقاط ثابتنقاطی هستند که مشتق را صفر می کنند.

نقاط بحرانینقاط داخلی از دامنه ای هستند که مشتق تابع برابر با صفر است یا وجود ندارد.

هنگام تصمیم گیری باید به نکات زیر توجه کرد:

برای فواصل موجود افزایش و کاهش نابرابری شکل f "(x) > 0، نقاط بحرانی در راه حل گنجانده نشده است.
نقاطی که در آن تابع بدون مشتق متناهی تعریف می شود باید در فواصل افزایش و کاهش گنجانده شود (به عنوان مثال، y \u003d x 3، جایی که نقطه x \u003d 0 تابع را تعریف می کند، مشتق دارای مقدار بی نهایت است. در این مرحله، y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞، x = 0 در بازه افزایش گنجانده شده است.
برای جلوگیری از اختلاف نظر، استفاده از ادبیات ریاضی پیشنهاد شده توسط وزارت آموزش و پرورش توصیه می شود.

گنجاندن نقاط بحرانی در فواصل افزایش و کاهش در صورتی که دامنه تابع را برآورده کنند.

تعریف 2

برای برای تعیین فواصل افزایش و کاهش تابع، باید پیدا شود:

مشتق؛
نقاط بحرانی؛
دامنه تعریف را با کمک نقاط بحرانی به فواصل تقسیم کنید.
علامت مشتق را در هر یک از فواصل تعیین کنید، جایی که + افزایش و - کاهش است.

مثال 3

مشتق را در دامنه f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) بیابید. 2 .

راه حل

برای حل شما نیاز دارید:

نقاط ثابت را پیدا کنید، این مثال دارای x = 0 است.
صفرهای مخرج را پیدا کنید، مثال مقدار صفر را در x = ± 1 2 می گیرد.

برای تعیین مشتق در هر بازه، نقاط روی محور عددی را در معرض دید قرار می دهیم. برای این کار کافی است هر نقطه ای را از بازه بردارید و محاسبه کنید. اگر نتیجه مثبت باشد، + را روی نمودار رسم می کنیم که به معنای افزایش تابع و - به معنای کاهش آن است.

به عنوان مثال، f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0، به این معنی که اولین بازه سمت چپ دارای علامت + است. عدد را در نظر بگیرید خط

پاسخ:

افزایشی در تابع در بازه - ∞ وجود دارد. - 1 2 و (- 1 2 ; 0 ] ;
کاهش در فاصله [0; 1 2) و 1 2 ; +∞ .

در نمودار، با استفاده از + و -، مثبت و منفی تابع به تصویر کشیده شده است و فلش ها نشان دهنده کاهش و افزایش هستند.

نقاط انتهایی یک تابع، نقاطی هستند که تابع در آنها تعریف می شود و مشتق از طریق آنها علامت تغییر می دهد.

مثال 4

اگر مثالی را در نظر بگیریم که در آن x \u003d 0 است، مقدار تابع در آن f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0 است. هنگامی که علامت مشتق از + به - تغییر می کند و از نقطه x \u003d 0 عبور می کند، نقطه با مختصات (0؛ 0) حداکثر نقطه در نظر گرفته می شود. وقتی علامت از - به + تغییر کرد، حداقل نقطه را به دست می آوریم.

تحدب و تقعر با حل نابرابری های شکل f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 تعیین می شود. کمتر از نام bulge down به جای تقعر و bulge up به جای bulge استفاده می کنند.

تعریف 3

برای تعیین شکاف های تقعر و تحدبلازم:

مشتق دوم را پیدا کنید.
صفرهای تابع مشتق دوم را بیابید.
دامنه تعریف را با نقاطی که به فواصل ظاهر می شوند، بشکنید.
علامت شکاف را تعیین کنید.

مثال 5

مشتق دوم را از حوزه تعریف بیابید.

راه حل

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

ما صفرهای صورت و مخرج را پیدا می کنیم، جایی که، با استفاده از مثال ما، داریم که صفرهای مخرج x = ± 1 2

اکنون باید نقاطی را روی خط اعداد قرار دهید و علامت مشتق دوم را از هر بازه مشخص کنید. ما آن را دریافت می کنیم

پاسخ:

تابع از بازه - 1 2 محدب است. 12 ;
تابع از شکاف ها مقعر است - ∞ ; - 1 2 و 1 2 ; +∞ .

تعریف 4

نقطه عطفنقطه ای به شکل x 0 است. f(x0). هنگامی که یک مماس بر نمودار تابع داشته باشد، پس از عبور از x 0، تابع علامت آن را به عکس تغییر می دهد.

به عبارت دیگر، این نقطه ای است که مشتق دوم از آن عبور می کند و علامت تغییر می دهد و در خود نقاط برابر با صفر یا وجود ندارد. همه نقاط به عنوان دامنه تابع در نظر گرفته می شوند.

در مثال، مشاهده شد که هیچ نقطه عطفی وجود ندارد، زیرا مشتق دوم هنگام عبور از نقاط x = ± 1 2 علامت تغییر می دهد. آنها به نوبه خود در محدوده تعریف قرار نمی گیرند.

یافتن مجانب افقی و مایل

هنگام تعریف تابع در بی نهایت، باید مجانب افقی و مایل را جستجو کرد.

تعریف 5

مجانب مایلبا استفاده از خطوط داده شده توسط معادله y = k x + b، که در آن k = lim x → ∞ f (x) x و b = lim x → ∞ f (x) - k x ترسیم می شوند.

برای k = 0 و b مساوی بی نهایت نیست، متوجه می شویم که مجانب مایل می شود افقی.

به عبارت دیگر مجانب خطوطی هستند که نمودار تابع در بی نهایت به آنها نزدیک می شود. این به ساخت سریع نمودار تابع کمک می کند.

اگر مجانبی وجود نداشته باشد، اما تابع در هر دو بینهایت تعریف شده باشد، لازم است حد تابع در این بینهایت ها محاسبه شود تا بفهمیم نمودار تابع چگونه رفتار خواهد کرد.

مثال 6

به عنوان مثال، آن را در نظر بگیرید

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

مجانبی افقی است. پس از بررسی عملکرد، می توانید شروع به ساخت آن کنید.

محاسبه مقدار یک تابع در نقاط میانی

برای اینکه نمودار دقیق تر باشد، توصیه می شود چندین مقدار تابع را در نقاط میانی پیدا کنید.

مثال 7

از مثالی که در نظر گرفتیم، لازم است مقادیر تابع را در نقاط x \u003d - 2، x \u003d - 1، x \u003d - 3 4، x \u003d - 1 4 پیدا کنیم. از آنجایی که تابع زوج است، دریافت می کنیم که مقادیر با مقادیر در این نقاط منطبق هستند، یعنی x \u003d 2، x \u003d 1، x \u003d 3 4، x \u003d 1 4 را دریافت می کنیم.

بیایید بنویسیم و حل کنیم:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

برای تعیین ماکزیمم و مینیمم تابع، نقاط عطف، نقاط میانی، لازم است مجانبی بسازیم. برای تعیین راحت، فواصل افزایش، کاهش، تحدب، تقعر ثابت است. شکل زیر را در نظر بگیرید.

لازم است خطوط نمودار را از طریق نقاط مشخص شده ترسیم کنید، که به شما امکان می دهد با دنبال کردن فلش ها به مجانب نزدیک شوید.

این مطالعه کامل تابع را به پایان می رساند. مواردی از ساخت برخی توابع ابتدایی وجود دارد که برای آنها از تبدیل های هندسی استفاده می شود.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

رشبنیک کوزنتسوف.
III نمودارها

وظیفه 7. یک مطالعه کامل از تابع انجام دهید و نمودار آن را بسازید.

قبل از شروع دانلود گزینه های خود، سعی کنید مشکل را مطابق نمونه زیر برای گزینه 3 حل کنید. برخی از گزینه ها با فرمت rar. آرشیو شده اند.

7.3 مطالعه کاملی از تابع انجام دهید و آن را رسم کنید

راه حل.

1) دامنه: یا یعنی .
.
بنابراین: .

2) هیچ نقطه تقاطعی با محور Ox وجود ندارد. در واقع، معادله هیچ راه حلی ندارد.
هیچ نقطه تقاطعی با محور Oy وجود ندارد زیرا .

3) تابع نه زوج است و نه فرد. هیچ تقارنی در مورد محور y وجود ندارد. در مورد مبدا نیز تقارنی وجود ندارد. زیرا
.
می بینیم که و .

4) تابع در دامنه پیوسته است
.

; .

; .
بنابراین نقطه یک نقطه ناپیوستگی از نوع دوم (ناپیوستگی بی نهایت) است.

5) مجانب عمودی:

مجانب اریب را پیدا کنید. اینجا

;
.
بنابراین، ما یک مجانب افقی داریم: y=0. هیچ مجانب مایل وجود ندارد.

6) اولین مشتق را پیدا کنید. مشتق اول:
.
و به همین دلیل
.
بیایید نقاط ثابتی را پیدا کنیم که مشتق آن برابر با صفر است، یعنی
.

7) مشتق دوم را پیدا کنید. مشتق دوم:
.
و این به راحتی قابل بررسی است، زیرا

چگونه یک تابع را بررسی کنیم و نمودار آن را رسم کنیم؟

به نظر می رسد که من در حال درک چهره روحی رهبر پرولتاریای جهانی، نویسنده آثار گردآوری شده در 55 جلد هستم. سفر طولانی با اطلاعات اولیه در مورد شروع شد توابع و نمودارها ، و اکنون کار بر روی یک موضوع پر زحمت با یک نتیجه طبیعی به پایان می رسد - یک مقاله در مورد مطالعه عملکرد کامل. وظیفه مدتها مورد انتظار به شرح زیر است:

تابع را با روش های حساب دیفرانسیل بررسی کرده و بر اساس نتایج مطالعه، نمودار آن را بسازید.

یا به طور خلاصه: تابع را بررسی کرده و آن را رسم کنید.

چرا کاوش کنیم؟در موارد ساده، پرداختن به توابع ابتدایی برای ما دشوار نخواهد بود، نموداری را که با استفاده از آن به دست آمده را رسم کنید تحولات هندسی ابتدایی و غیره. با این حال، ویژگی‌ها و نمایش‌های گرافیکی توابع پیچیده‌تر چندان واضح نیستند، به همین دلیل است که یک مطالعه کامل مورد نیاز است.

مراحل اصلی راه حل در مواد مرجع خلاصه شده است طرح مطالعه تابع ، این راهنمای بخش شماست. Dummies نیاز به توضیح گام به گام موضوع دارند، برخی از خوانندگان نمی دانند از کجا شروع کنند و چگونه مطالعه را سازماندهی کنند، و دانش آموزان پیشرفته ممکن است فقط به چند نکته علاقه مند باشند. اما بازدید کننده عزیز هر که هستید خلاصه پیشنهادی با اشاره به دروس مختلف در کمترین زمان ممکن شما را در جهت علاقه مندی راهنمایی می کند. ربات ها اشک می ریزند =) دفترچه راهنما در قالب یک فایل pdf ساخته شده و جایگاه واقعی خود را در صفحه به خود اختصاص داده است. فرمول ها و جداول ریاضی .

من مطالعه تابع را به 5-6 نقطه تقسیم می کردم:

6) امتیاز و نمودار اضافی بر اساس نتایج مطالعه.

در مورد اقدام نهایی، من فکر می کنم همه همه چیز را درک می کنند - اگر در عرض چند ثانیه خط کشیده شود و کار برای تجدید نظر برگردانده شود، بسیار ناامید کننده خواهد بود. یک نقاشی صحیح و دقیق نتیجه اصلی راه حل است! بسیار محتمل است که نظارت های تحلیلی را "پوشانده" کند، در حالی که یک برنامه نادرست و/یا شلختگی حتی با یک مطالعه کاملاً انجام شده باعث ایجاد مشکل می شود.

لازم به ذکر است که در منابع دیگر، تعداد موارد تحقیق، ترتیب اجرای آنها و سبک طراحی ممکن است تفاوت قابل توجهی با طرح پیشنهادی من داشته باشد، اما در اکثر موارد کاملاً کافی است. ساده‌ترین نسخه مسئله فقط از 2-3 مرحله تشکیل شده است و چیزی شبیه به این فرموله شده است: "کاوش تابع با استفاده از مشتق و نمودار" یا "کاوش تابع با استفاده از مشتق 1 و 2، نمودار".

به طور طبیعی، اگر الگوریتم دیگری در کتابچه راهنمای آموزشی شما به طور دقیق تجزیه و تحلیل شود یا معلم شما به شدت از شما بخواهد که به سخنرانی های او پایبند باشید، باید تنظیماتی را در راه حل انجام دهید. سخت تر از تعویض چنگال با قاشق اره برقی نیست.

بیایید تابع را برای زوج / فرد بررسی کنیم:

به دنبال آن لغو اشتراک الگو انجام می شود:
، بنابراین این تابع نه زوج است و نه فرد.

از آنجایی که تابع روی پیوسته است، هیچ مجانبی عمودی وجود ندارد.

مجانب مایل نیز وجود ندارد.

توجه داشته باشید : به شما یادآوری می کنم که بالاتر ترتیب رشد از , بنابراین حد نهایی دقیقا " یک مثبتبی نهایت."

بیایید دریابیم که تابع در بی نهایت چگونه رفتار می کند:

به عبارت دیگر، اگر به سمت راست برویم، نمودار بی نهایت به سمت بالا می رود، اگر به سمت چپ برویم، بی نهایت به پایین می رود. بله، در یک ورودی نیز دو محدودیت وجود دارد. اگر در رمزگشایی علائم مشکل دارید، لطفاً به درس مربوطه مراجعه کنید توابع بی نهایت کوچک .

بنابراین تابع از بالا محدود نیستو از پایین محدود نیست. با توجه به اینکه نقاط شکست نداریم مشخص می شود و محدوده عملکرد: همچنین هر عدد واقعی است.

تکنیک مفید

هر مرحله از کار اطلاعات جدیدی در مورد نمودار تابع به ارمغان می آورد، بنابراین در طول راه حل استفاده از نوعی LAYOUT راحت است. بیایید یک سیستم مختصات دکارتی روی پیش نویس رسم کنیم. چه چیزی مشخص است؟ اولا، نمودار مجانبی ندارد، بنابراین نیازی به ترسیم خطوط مستقیم نیست. دوم، ما می دانیم که تابع در بی نهایت چگونه رفتار می کند. با توجه به تجزیه و تحلیل، ما اولین تقریب را ترسیم می کنیم:

توجه داشته باشید که در عمل تداوم تابع روشن است و این واقعیت که نمودار باید حداقل یک بار از محور عبور کند. یا شاید چندین نقطه تقاطع وجود دارد؟

3) صفرهای تابع و فواصل علامت ثابت.

ابتدا نقطه تلاقی نمودار را با محور y پیدا کنید. ساده است. محاسبه مقدار تابع زمانی ضروری است که:

نیمی بالاتر از سطح دریا.

برای پیدا کردن نقاط تقاطع با محور (صفرهای تابع)، باید معادله را حل کنید و در اینجا یک شگفتی ناخوشایند در انتظار ما است:

در پایان، یک عضو رایگان در کمین است، که به طور قابل توجهی کار را پیچیده می کند.

چنین معادله ای حداقل یک ریشه واقعی دارد و اغلب این ریشه غیرمنطقی است. در بدترین افسانه، سه خوک کوچک در انتظار ما هستند. معادله با استفاده از به اصطلاح قابل حل است فرمول های کاردانو، اما آسیب کاغذ تقریباً با کل مطالعه قابل مقایسه است. در این رابطه، عاقلانه تر است که به صورت شفاهی یا پیش نویس سعی کنید حداقل یکی را انتخاب کنید کلریشه بیایید بررسی کنیم که آیا این اعداد عبارتند از:
- مناسب نیست؛
- وجود دارد!

اینجا خوش شانسه در صورت شکست، شما همچنین می توانید تست کنید و، و اگر این اعداد مطابقت ندارند، می ترسم که شانس بسیار کمی برای یک راه حل سودآور برای معادله وجود داشته باشد. سپس بهتر است از نقطه تحقیق به طور کامل صرف نظر کنید - شاید در مرحله نهایی، زمانی که نکات اضافی از بین می روند، چیزی واضح تر شود. و اگر ریشه (ریشه ها) به وضوح "بد" است ، بهتر است در مورد فواصل پایداری علائم سکوت کنید و نقاشی را با دقت بیشتری کامل کنید.

با این حال، ما یک ریشه زیبا داریم، بنابراین چند جمله ای را تقسیم می کنیم بدون باقی مانده:

الگوریتم تقسیم چند جمله ای بر چند جمله ای در اولین مثال درس به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است. محدودیت های پیچیده .

در نتیجه، سمت چپ معادله اصلی به یک محصول گسترش می یابد:

و اکنون کمی در مورد یک سبک زندگی سالم. البته من این را درک می کنم معادلات درجه دوم باید هر روز حل شود، اما امروز یک استثنا قائل می شویم: معادله دو ریشه واقعی دارد

در خط اعداد، مقادیر یافت شده را رسم می کنیم و روش فاصله علائم تابع را تعریف کنید:

og بنابراین، در فواصل نمودار واقع شده است
زیر محور x و در فواصل - بالای این محور.

یافته‌های به‌دست‌آمده به ما امکان می‌دهند طرح‌بندی خود را اصلاح کنیم، و تقریب دوم نمودار به این صورت است:

لطفاً توجه داشته باشید که تابع باید حداقل یک حداکثر در بازه و حداقل یک حداقل در بازه داشته باشد. اما نمی دانیم که چند بار، کجا و چه زمانی برنامه «پیچیده می شود». به هر حال، یک تابع می تواند بی نهایت تعداد زیادی داشته باشد افراط .

4) افزایش، کاهش و افراط در عملکرد.

بیایید نکات مهم را پیدا کنیم:

این معادله دو ریشه واقعی دارد. بیایید آنها را روی خط اعداد قرار دهیم و علائم مشتق را مشخص کنیم:

بنابراین، تابع افزایش می یابد و کاهش می یابد.
در نقطه ای که تابع به حداکثر خود می رسد: .
در نقطه ای که تابع به حداقل خود می رسد: .

حقایق ثابت شده الگوی ما را به یک چارچوب نسبتاً سفت و سخت هدایت می کند:

نیازی به گفتن نیست که حساب دیفرانسیل چیز قدرتمندی است. در نهایت به شکل نمودار می پردازیم:

5) نقاط تحدب، تقعر و عطف.

نقاط بحرانی مشتق دوم را بیابید:

بیایید علائم را تعریف کنیم:

نمودار تابع روی محدب و روی مقعر است. ترتیب نقطه عطف را محاسبه می کنیم: .

تقریباً همه چیز روشن شد.

6) یافتن نکات اضافی باقی مانده است که به ساختن نمودار دقیق تر و انجام خودآزمایی کمک می کند. در این مورد، آنها کم هستند، اما ما غفلت نمی کنیم:

بیایید طراحی را اجرا کنیم:

نقطه عطف با رنگ سبز مشخص شده است، نقاط اضافی با ضربدر مشخص شده اند. نمودار یک تابع مکعب متقارن در مورد نقطه عطف آن است که همیشه دقیقاً در وسط بین حداکثر و حداقل قرار دارد.

در حین انجام تکلیف، سه طرح فرضی میانی دادم. در عمل کافی است یک سیستم مختصات رسم کنید، نقاط پیدا شده را علامت گذاری کنید و بعد از هر نقطه از مطالعه، به طور ذهنی بفهمید که نمودار تابع ممکن است چگونه باشد. برای دانش آموزانی که سطح آمادگی خوبی دارند، انجام چنین تحلیلی صرفاً در ذهن خود بدون درگیر کردن پیش نویس دشوار نخواهد بود.

برای یک راه حل مستقل:

مثال 2

تابع را کاوش کرده و یک نمودار بسازید.

همه چیز در اینجا سریعتر و سرگرم کننده تر است، یک مثال تقریبی از اتمام در پایان درس.

با مطالعه توابع گویا کسری اسرار زیادی آشکار می شود:

مثال 3

با استفاده از روش‌های حساب دیفرانسیل، تابع را بررسی کرده و بر اساس نتایج مطالعه، نمودار آن را بسازید.

راه حل: مرحله اول مطالعه در هیچ چیز قابل توجهی تفاوتی ندارد، به استثنای یک سوراخ در ناحیه تعریف:

1) تابع در کل خط عددی به جز نقطه تعریف شده و پیوسته است. دامنه : .

، بنابراین این تابع نه زوج است و نه فرد.

بدیهی است که تابع غیر تناوبی است.

نمودار تابع شامل دو شاخه پیوسته است که در نیم صفحه چپ و راست واقع شده اند - این شاید مهمترین نتیجه پاراگراف 1 باشد.

2) مجانب، رفتار یک تابع در بی نهایت.

الف) با کمک محدودیت های یک طرفه، رفتار تابع را در نزدیکی نقطه مشکوک مطالعه می کنیم، جایی که مجانب عمودی باید به وضوح باشد:

در واقع، عملکردها ماندگار هستند شکاف بی پایان در نقطه
و خط مستقیم (محور) است مجانب عمودی هنرهای گرافیک .

ب) بررسی کنید که آیا مجانب مورب وجود دارد:

بله، خط است مجانب مایل گرافیک اگر .

تحلیل محدودیت ها بی معنی است، زیرا از قبل واضح است که تابع در یک آغوش با مجانب مایل آن از بالا محدود نیستو از پایین محدود نیست.

نکته دوم مطالعه اطلاعات مهم زیادی در مورد عملکرد به ارمغان آورد. بیایید یک طرح کلی انجام دهیم:

نتیجه شماره 1 مربوط به فواصل پایداری علامت است. در "منهای بی نهایت" نمودار تابع به طور منحصر به فرد در زیر محور x قرار دارد و در "به علاوه بی نهایت" بالای این محور قرار دارد. علاوه بر این، محدودیت های یک طرفه به ما گفت که هم در سمت چپ و هم در سمت راست نقطه، تابع نیز بزرگتر از صفر است. لطفاً توجه داشته باشید که در نیم صفحه سمت چپ، نمودار باید حداقل یک بار از محور x عبور کند. در نیم صفحه سمت راست، ممکن است هیچ صفری از تابع وجود نداشته باشد.

نتیجه شماره 2 این است که تابع در و سمت چپ نقطه افزایش می یابد (از پایین به بالا می رود). در سمت راست این نقطه، تابع کاهش می یابد (از بالا به پایین می رود). شاخه سمت راست نمودار قطعا باید حداقل یک حداقل داشته باشد. در سمت چپ، افراط تضمین نمی شود.

نتیجه گیری شماره 3 اطلاعات قابل اعتمادی در مورد تقعر نمودار در مجاورت نقطه می دهد. ما هنوز نمی‌توانیم در مورد تحدب/تعرفه در بی‌نهایت چیزی بگوییم، زیرا می‌توان خط را هم از بالا و هم از پایین به مجانب آن فشار داد. به طور کلی، در حال حاضر یک روش تحلیلی برای فهمیدن این موضوع وجود دارد، اما شکل نمودار "برای هیچ" در مرحله بعد واضح تر خواهد شد.

چرا این همه کلمه؟ برای کنترل نکات تحقیقاتی بعدی و جلوگیری از اشتباه! محاسبات بیشتر نباید با نتایج به دست آمده مغایرت داشته باشد.

3) نقاط تقاطع نمودار با محورهای مختصات، فواصل علامت ثابت تابع.

نمودار تابع از محور عبور نمی کند.

با استفاده از روش فاصله، علائم را تعیین می کنیم:

، اگر ؛
، اگر .

نتایج پاراگراف کاملاً با نتیجه گیری شماره 1 مطابقت دارد. پس از هر مرحله، به پیش نویس نگاه کنید، به طور ذهنی به مطالعه مراجعه کنید و رسم نمودار تابع را به پایان برسانید.

در این مثال، صورت به ترم با مخرج تقسیم می شود که برای تمایز بسیار مفید است:

در واقع، این قبلاً هنگام یافتن مجانبی انجام شده است.

- نقطه بحرانی.

بیایید علائم را تعریف کنیم:

افزایش می یابد و به کاهش می یابد

در نقطه ای که تابع به حداقل خود می رسد: .

همچنین هیچ مغایرتی با نتیجه گیری شماره 2 وجود نداشت و به احتمال زیاد ما در مسیر درستی هستیم.

این بدان معنی است که نمودار تابع در کل دامنه تعریف مقعر است.

عالی - و نیازی به کشیدن چیزی ندارید.

هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

تقعر مطابق با نتیجه شماره 3 است، علاوه بر این، نشان می دهد که در بی نهایت (هم آنجا و هم آنجا) نمودار تابع قرار دارد. در بالامجانب مایل آن

6) ما با وجدان وظیفه را با نکات اضافی پین می کنیم. در اینجا ما باید سخت کار کنیم، زیرا ما فقط دو نکته را از مطالعه می دانیم.

و تصویری که احتمالاً بسیاری مدتهاست ارسال کرده اند:

در طول انجام تکلیف باید مراقب بود که بین مراحل مطالعه تضاد وجود نداشته باشد، اما گاهی اوقات وضعیت فوری یا حتی به شدت به بن بست می رسد. در اینجا تحلیل ها "همگرا نمی شوند" - و بس. در این مورد، من یک تکنیک اضطراری را توصیه می کنم: تا حد امکان نقاط مربوط به نمودار را پیدا می کنیم (چقدر صبر کافی است) و آنها را در صفحه مختصات علامت گذاری می کنیم. تجزیه و تحلیل گرافیکی مقادیر یافت شده در بیشتر موارد به شما می گوید که کجا حقیقت و کجا دروغ است. علاوه بر این، نمودار را می توان با استفاده از برخی برنامه ها از پیش ساخته شد، به عنوان مثال، در همان اکسل (معلوم است که این نیاز به مهارت دارد).

مثال 4

با استفاده از روش های حساب دیفرانسیل، تابع را بررسی کرده و نمودار آن را بسازید.

این یک مثال برای خودتان است. در آن، خودکنترلی با یکنواختی تابع افزایش می یابد - نمودار متقارن در مورد محور است، و اگر چیزی در مطالعه شما با این واقعیت در تضاد است، به دنبال یک خطا باشید.

یک تابع زوج یا فرد را فقط می توان برای بررسی کرد و سپس می توان از تقارن نمودار استفاده کرد. این راه حل بهینه است، اما به نظر من بسیار غیر معمول به نظر می رسد. من شخصاً کل محور عددی را در نظر می‌گیرم، اما هنوز نکات اضافی را فقط در سمت راست می‌بینم:

مثال 5

یک مطالعه کامل از تابع انجام دهید و نمودار آن را رسم کنید.

راه حل: به شدت عجله کرد:

1) تابع در کل خط واقعی تعریف و پیوسته است: .

این بدان معنی است که این تابع فرد است، نمودار آن با توجه به مبدا متقارن است.

بدیهی است که تابع غیر تناوبی است.

2) مجانب، رفتار یک تابع در بی نهایت.

از آنجایی که تابع روی پیوسته است، هیچ مجانبی عمودی وجود ندارد

معمولاً برای تابعی که دارای یک توان است جداگانه، مجزامطالعه "به علاوه" و "منهای بی نهایت"، با این حال، زندگی ما فقط با تقارن نمودار تسهیل می شود - یا مجانبی در سمت چپ و راست وجود دارد، یا نیست. بنابراین، هر دو حد نامحدود را می توان تحت یک مدخل مرتب کرد. در طول راه حل، ما استفاده می کنیم قانون L'Hopital :

خط مستقیم (محور) مجانب افقی نمودار در .

به این توجه کنید که چگونه از الگوریتم کامل برای یافتن مجانب مورب اجتناب کردم: حد کاملاً قانونی است و رفتار تابع را در بینهایت روشن می کند و مجانب افقی "گویی در همان زمان" پیدا شد.

از تداوم روی و وجود مجانب افقی نتیجه می شود که تابع محدود از بالاو از پایین محدود شده است.

3) نقاط تقاطع نمودار با محورهای مختصات، فواصل ثبات.

در اینجا نیز راه حل را کوتاه می کنیم:
نمودار از مبدا عبور می کند.

هیچ نقطه تقاطع دیگری با محورهای مختصات وجود ندارد. علاوه بر این، فواصل ثبات واضح هستند و محور را نمی توان ترسیم کرد: ، به این معنی که علامت تابع فقط به "x" بستگی دارد:
، اگر ؛
، اگر .

4) افزایش، کاهش، افراطی تابع.

نقاط بحرانی هستند

نقاط متقارن در مورد صفر هستند، همانطور که باید باشد.

بیایید علائم مشتق را تعریف کنیم:

تابع در بازه افزایش می یابد و در فواصل کاهش می یابد

در نقطه ای که تابع به حداکثر خود می رسد: .

با توجه به اموال (عجیب بودن تابع) حداقل را می توان حذف کرد:

از آنجایی که تابع در بازه کاهش می یابد، پس واضح است که نمودار در "منهای بی نهایت" قرار دارد. زیربا مجانب آن در بازه، تابع نیز کاهش می یابد، اما در اینجا برعکس است - پس از عبور از حداکثر نقطه، خط از بالا به محور نزدیک می شود.

همچنین از مطالب فوق نتیجه می گیرد که نمودار تابع در «منهای بی نهایت» محدب و در «به علاوه بی نهایت» مقعر است.

پس از این مرحله از مطالعه، مساحت مقادیر تابع نیز ترسیم شد:

اگر از نکاتی سوء تفاهم دارید، یک بار دیگر از شما می‌خواهم که محورهای مختصات را در دفتر خود ترسیم کنید و با مدادی در دست، هر نتیجه‌گیری از تکلیف را مجدداً تحلیل کنید.

5) تحدب، تقعر، انحراف نمودار.

نقاط بحرانی هستند

تقارن نقاط حفظ شده است و به احتمال زیاد ما اشتباه نمی کنیم.

بیایید علائم را تعریف کنیم:

نمودار تابع محدب است و مقعر در .

تحدب / تقعر در فواصل شدید تایید شد.

در تمام نقاط بحرانی انحرافات در نمودار وجود دارد. بیایید مختصات نقاط عطف را پیدا کنیم، در حالی که دوباره تعداد محاسبات را با استفاده از عجیب بودن تابع کاهش می دهیم: