چگونه مجموع یک تصاعد حسابی را پیدا کنیم. مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی

کسی با کلمه "پیشرفت" به عنوان یک اصطلاح بسیار پیچیده از بخش های ریاضیات عالی با احتیاط برخورد می کند. در همین حال، ساده ترین پیشروی حسابی کار تاکسی پیشخوان است (جایی که هنوز باقی مانده اند). و درک ماهیت (و در ریاضیات هیچ چیز مهمتر از "درک ماهیت" نیست) یک دنباله حسابی با تجزیه و تحلیل چند مفهوم ابتدایی چندان دشوار نیست.

دنباله اعداد ریاضی

مرسوم است که یک دنباله عددی را مجموعه ای از اعداد نامیده می شود که هر کدام شماره مخصوص به خود را دارند.

و 1 اولین عضو دنباله است.

و 2 دومین عضو دنباله است.

و 7 هفتمین عضو دنباله است.

و n n امین عضو دنباله است.

با این حال، هیچ مجموعه ای از ارقام و اعداد دلخواه ما را مورد توجه قرار نمی دهد. ما توجه خود را بر روی یک دنباله عددی متمرکز خواهیم کرد که در آن مقدار عضو n با یک وابستگی که می تواند به وضوح به صورت ریاضی فرموله شود با عدد ترتیبی آن مرتبط است. به عبارت دیگر: مقدار عددی عدد n تابعی از n است.

a - مقدار عضوی از دنباله عددی؛

n شماره سریال آن است.

f(n) تابعی است که در آن ترتیبی در دنباله عددی n آرگومان است.

تعریف

یک پیشروی حسابی معمولاً دنباله ای عددی نامیده می شود که در آن هر جمله بعدی با همان عدد بزرگتر (کمتر) از جمله قبلی است. فرمول n ام یک دنباله حسابی به شرح زیر است:

a n - مقدار عضو فعلی پیشرفت حسابی.

a n+1 - فرمول عدد بعدی؛

د - تفاوت (عدد معین).

به راحتی می توان تعیین کرد که اگر اختلاف مثبت باشد (d>0)، آنگاه هر عضو بعدی از سری مورد نظر بزرگتر از قبلی خواهد بود و چنین پیشرفت حسابی افزایش می یابد.

در نمودار زیر به راحتی می توان فهمید که چرا دنباله اعداد "افزایش" نامیده می شود.

در مواردی که تفاوت منفی است (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

مقدار عضو مشخص شده

گاهی اوقات لازم است مقدار یک جمله دلخواه a n یک پیشرفت حسابی تعیین شود. شما می توانید این کار را با محاسبه متوالی مقادیر تمام اعضای پیشروی حسابی، از اول تا مورد نظر، انجام دهید. با این حال، این راه همیشه قابل قبول نیست، به عنوان مثال، نیاز به یافتن ارزش عبارت پنج هزارم یا هشت میلیونی است. محاسبه سنتی زمان زیادی می برد. با این حال، یک پیشرفت محاسباتی خاص را می توان با استفاده از فرمول های خاصی بررسی کرد. همچنین فرمولی برای جمله n وجود دارد: مقدار هر عضو یک پیشرفت حسابی را می توان به عنوان مجموع اولین عضو پیشرفت با اختلاف پیشروی، ضرب در تعداد عضو مورد نظر، منهای یک تعیین کرد. .

فرمول جهانی برای افزایش و کاهش پیشرفت است.

مثالی از محاسبه مقدار یک عضو معین

بیایید مشکل زیر را در یافتن مقدار عضو n یک پیشرفت حسابی حل کنیم.

شرط: یک پیشرفت حسابی با پارامترها وجود دارد:

اولین عضو دنباله 3 است.

تفاوت در سری اعداد 1.2 است.

وظیفه: باید مقدار 214 عبارت را پیدا کرد

راه حل: برای تعیین مقدار یک عضو معین، از فرمول استفاده می کنیم:

a(n) = a1 + d(n-1)

با جایگزینی داده های دستور مشکل به عبارت، داریم:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

پاسخ: عضو 214 دنباله برابر با 258.6 است.

مزایای این روش محاسبه واضح است - کل راه حل بیش از 2 خط طول نمی کشد.

مجموع تعداد معینی از اعضا

اغلب اوقات، در یک سری حسابی معین، لازم است که مجموع مقادیر برخی از بخش های آن تعیین شود. همچنین نیازی به محاسبه مقادیر هر عبارت و سپس جمع بندی آنها نیست. این روش در صورتی قابل اجرا است که تعداد عباراتی که جمع آنها باید یافت شود کم باشد. در موارد دیگر، استفاده از فرمول زیر راحت تر است.

مجموع اعضای یک پیشروی حسابی از 1 به n برابر است با مجموع اعضای اول و n ام که در عدد عضو n ضرب و بر دو تقسیم می شود. اگر در فرمول مقدار عضو n با عبارت پاراگراف قبلی مقاله جایگزین شود، دریافت می کنیم:

مثال محاسبه

به عنوان مثال، اجازه دهید یک مشکل را با شرایط زیر حل کنیم:

جمله اول دنباله صفر است.

تفاوت 0.5 است.

در مسئله باید مجموع عبارت های سری از 56 تا 101 مشخص شود.

راه حل. بیایید از فرمول برای تعیین مجموع پیشرفت استفاده کنیم:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ابتدا مجموع مقادیر 101 عضو پیشرفت را با جایگزین کردن شرایط داده شده مسئله خود در فرمول تعیین می کنیم:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

بدیهی است که برای فهمیدن مجموع شرایط پیشرفت از 56 به 101 باید S 55 را از S 101 کم کرد.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

بنابراین مجموع پیشروی حسابی برای این مثال به صورت زیر است:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

مثالی از کاربرد عملی پیشروی حسابی

در پایان مقاله، اجازه دهید به مثال دنباله حسابی ارائه شده در پاراگراف اول - یک تاکسی متر (تاکسی متر) برگردیم. بیایید چنین مثالی را در نظر بگیریم.

سوار شدن به تاکسی (که شامل 3 کیلومتر است) 50 روبل هزینه دارد. هر کیلومتر بعدی با نرخ 22 روبل در کیلومتر پرداخت می شود. مسافت سفر 30 کیلومتر. هزینه سفر را محاسبه کنید.

1. بیایید 3 کیلومتر اول را که قیمت آن در هزینه فرود گنجانده شده است.

30 - 3 = 27 کیلومتر.

2. محاسبه بیشتر چیزی نیست جز تجزیه یک سری اعداد حسابی.

شماره عضو تعداد کیلومترهای طی شده (منهای سه اول) است.

ارزش عضو جمع است.

اولین عبارت در این مشکل برابر با 1 = 50 روبل خواهد بود.

اختلاف پیشرفت d = 22 p.

تعداد مورد علاقه ما - مقدار (27 + 1)امین عضو پیشرفت حسابی - قرائت متر در پایان کیلومتر 27 - 27.999 ... = 28 کیلومتر.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

محاسبات داده های تقویم برای یک دوره دلخواه طولانی بر اساس فرمول هایی است که توالی های عددی خاصی را توصیف می کند. در نجوم، طول مدار از نظر هندسی به فاصله جسم آسمانی تا نور بستگی دارد. علاوه بر این، سری های عددی مختلف با موفقیت در آمار و سایر شاخه های کاربردی ریاضیات استفاده می شود.

نوع دیگری از دنباله اعداد هندسی است

یک پیشرفت هندسی با یک نرخ تغییر بزرگ در مقایسه با یک تغییر حسابی مشخص می شود. تصادفی نیست که در سیاست، جامعه شناسی، پزشکی، اغلب برای نشان دادن سرعت بالای گسترش یک پدیده خاص، مثلاً یک بیماری در طول یک بیماری همه گیر، می گویند که این روند به طور تصاعدی توسعه می یابد.

عضو N-امین سری اعداد هندسی با شماره قبلی متفاوت است زیرا در یک عدد ثابت ضرب می شود - مخرج، به عنوان مثال، اولین عضو 1 است، مخرج به ترتیب 2 است، سپس:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32،

b n - مقدار عضو فعلی پیشرفت هندسی.

b n+1 - فرمول عضو بعدی پیشرفت هندسی.

q مخرج یک تصاعد هندسی (عدد ثابت) است.

اگر نمودار یک پیشروی حسابی یک خط مستقیم باشد، نمودار هندسی یک تصویر کمی متفاوت ترسیم می کند:

همانطور که در مورد حساب، یک پیشرفت هندسی فرمولی برای مقدار یک عضو دلخواه دارد. هر جمله n ام یک تصاعد هندسی برابر است با حاصل ضرب جمله اول و مخرج پیشرفت به توان n یک کاهش می یابد:

مثال. ما یک تصاعد هندسی داریم که جمله اول برابر با 3 و مخرج پیشروی برابر با 1.5 است. جمله پنجم پیشرفت را پیدا کنید

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

مجموع تعداد معینی از اعضا نیز با استفاده از فرمول خاصی محاسبه می شود. مجموع n عضو اول یک پیشرفت هندسی برابر است با تفاوت بین حاصلضرب عضو n پیشرفت و مخرج آن و اولین عضو پیشرفت، تقسیم بر مخرج تقلیل شده بر یک:

اگر b n با استفاده از فرمول مورد بحث در بالا جایگزین شود، مقدار مجموع n عضو اول سری اعداد در نظر گرفته شده به شکل زیر خواهد بود:

مثال. پیشروی هندسی با جمله اول برابر با 1 شروع می شود. مخرج برابر با 3 است. بیایید مجموع هشت جمله اول را پیدا کنیم.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

هنگام مطالعه جبر در دبیرستان (پایه نهم)، یکی از موضوعات مهم مطالعه دنباله های عددی است که شامل پیشرفت ها - هندسی و حسابی است. در این مقاله یک پیشروی حسابی و مثال هایی همراه با جواب را در نظر خواهیم گرفت.

پیشروی حسابی چیست؟

برای درک این موضوع، لازم است تعریفی از پیشرفت در نظر گرفته شود و همچنین فرمول های اساسی ارائه شود که بیشتر در حل مسائل مورد استفاده قرار می گیرند.

پیشروی حسابی یا جبری مجموعه ای از اعداد گویا مرتب شده است که هر عضو آن با مقداری ثابت با عضو قبلی متفاوت است. این مقدار تفاوت نامیده می شود. یعنی با دانستن هر عضوی از یک سری اعداد مرتب شده و تفاوت، می توانید کل پیشروی حسابی را بازیابی کنید.

بیایید یک مثال بزنیم. دنباله بعدی اعداد یک پیشرفت حسابی خواهد بود: 4، 8، 12، 16، ...، زیرا تفاوت در این مورد 4 است (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). اما مجموعه اعداد 3، 5، 8، 12، 17 را دیگر نمی توان به نوع پیشرفت در نظر گرفته نسبت داد، زیرا تفاوت برای آن یک مقدار ثابت نیست (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

فرمول های مهم

اکنون فرمول های اساسی را ارائه می دهیم که برای حل مسائل با استفاده از پیشروی حسابی مورد نیاز است. بگذارید a n نشانگر nامین عضو دنباله باشد، جایی که n یک عدد صحیح است. تفاوت با حرف لاتین d نشان داده می شود. سپس عبارات زیر درست هستند:

1. برای تعیین مقدار عبارت n، فرمول مناسب است: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. برای تعیین مجموع n جمله اول: S n = (a n + a 1)*n/2.

برای درک هر نمونه ای از یک پیشروی حسابی با یک راه حل در درجه 9، کافی است این دو فرمول را به خاطر بسپارید، زیرا هر گونه مشکل از نوع مورد بررسی بر اساس استفاده از آنها است. همچنین، فراموش نکنید که تفاوت پیشرفت با فرمول تعیین می شود: d = a n - a n-1 .

مثال شماره 1: یافتن یک عضو ناشناس

ما یک مثال ساده از یک پیشروی حسابی و فرمول هایی که باید برای حل استفاده شوند، ارائه می دهیم.

بگذارید دنباله 10، 8، 6، 4، ... داده شود، لازم است پنج عبارت در آن پیدا شود.

قبلاً از شرایط مسئله بر می آید که 4 عبارت اول شناخته شده است. پنجم را می توان به دو صورت تعریف کرد:

1. بیایید ابتدا تفاوت را محاسبه کنیم. ما داریم: d = 8 - 10 = -2. به طور مشابه، می توان هر دو اصطلاح دیگر را در کنار یکدیگر قرار داد. به عنوان مثال، d = 4 - 6 = -2. از آنجایی که مشخص است d \u003d a n - a n-1 ، سپس d \u003d a 5 - a 4 ، از جایی که می گیریم: a 5 \u003d a 4 + d. مقادیر شناخته شده را جایگزین می کنیم: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. روش دوم همچنین نیاز به آگاهی از تفاوت پیشرفت مورد نظر دارد، بنابراین ابتدا باید آن را تعیین کنید، همانطور که در بالا نشان داده شده است (d = -2). با دانستن اینکه جمله اول a 1 = 10 است، از فرمول n عدد دنباله استفاده می کنیم. ما داریم: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. با جایگزینی n = 5 به آخرین عبارت، به دست می آوریم: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

همانطور که می بینید، هر دو راه حل به یک نتیجه منجر می شوند. توجه داشته باشید که در این مثال تفاوت d پیشرفت منفی است. این دنباله ها را کاهشی می نامند زیرا هر جمله متوالی کمتر از عبارت قبلی است.

مثال شماره 2: تفاوت پیشرفت

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم، مثالی از چگونگی آن بزنید

مشخص است که در برخی جمله اول برابر با 6 و جمله هفتم برابر با 18 است.

بیایید از فرمول برای تعیین عبارت مجهول استفاده کنیم: a n = (n - 1) * d + a 1 . ما داده های شناخته شده از شرط را در آن جایگزین می کنیم، یعنی اعداد a 1 و a 7، داریم: 18 \u003d 6 + 6 * d. از این عبارت، می توانید به راحتی تفاوت را محاسبه کنید: d = (18 - 6) / 6 = 2. بنابراین، بخش اول مسئله پاسخ داده شد.

برای بازگرداندن دنباله به عضو هفتم، باید از تعریف پیشروی جبری استفاده کنید، یعنی a 2 = a 1 + d، a 3 = a 2 + d و غیره. در نتیجه، کل دنباله را بازیابی می کنیم: a 1 = 6، a 2 = 6 + 2=8، a 3 = 8 + 2 = 10، a 4 = 10 + 2 = 12، a 5 = 12 + 2 = 14 6 = 14 + 2 = 16 و 7 = 18.

مثال شماره 3: ایجاد یک پیشرفت

اجازه دهید شرایط مشکل را حتی بیشتر پیچیده کنیم. اکنون باید به این سوال پاسخ دهید که چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنید. می‌توانیم مثال زیر را بزنیم: دو عدد داده می‌شود، مثلاً 4 و 5. لازم است یک پیشروی جبری انجام دهیم تا سه عبارت دیگر بین اینها قرار گیرد.

قبل از شروع حل این مشکل، لازم است بدانیم اعداد داده شده چه جایگاهی در پیشرفت آینده خواهند داشت. از آنجایی که سه عبارت دیگر بین آنها وجود خواهد داشت، سپس یک 1 \u003d -4 و یک 5 \u003d 5. پس از ایجاد این، به کار مشابه قبلی ادامه می دهیم. دوباره برای ترم n از فرمول استفاده می کنیم: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. از: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. در اینجا، تفاوت یک مقدار صحیح نیست، بلکه یک عدد گویا است، بنابراین فرمول‌های پیشروی جبری ثابت می‌مانند.

حالا بیایید تفاوت پیدا شده را به 1 اضافه کنیم و اعضای گمشده پیشرفت را بازیابی کنیم. دریافت می کنیم: a 1 = - 4، a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، a 5 \u003d 2.75 + 2.35 \u. که مصادف با شرایط مشکل بود.

مثال شماره 4: اولین عضو پیشرفت

ما به ارائه مثال هایی از یک پیشرفت حسابی با یک راه حل ادامه می دهیم. در تمام مسائل قبلی، عدد اول پیشروی جبری مشخص بود. اکنون یک مسئله از نوع دیگری را در نظر بگیرید: اجازه دهید دو عدد داده شود، که در آن 15 = 50 و 43 = 37. باید مشخص شود که این دنباله از چه عددی شروع می شود.

فرمول هایی که تاکنون استفاده شده است، دانش 1 و d را فرض می کند. در مورد این اعداد در شرایط مشکل چیزی مشخص نیست. با این وجود، بیایید عباراتی را برای هر عبارتی که اطلاعاتی در مورد آن داریم بنویسیم: a 15 = a 1 + 14 * d و a 43 = a 1 + 42 * d. ما دو معادله به دست آوردیم که در آنها 2 کمیت مجهول وجود دارد (a 1 و d). این بدان معنی است که مسئله به حل یک سیستم معادلات خطی کاهش می یابد.

اگر در هر معادله 1 را بیان کنید و سپس عبارات حاصل را با هم مقایسه کنید، سیستم مشخص شده ساده ترین حل است. معادله اول: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; معادله دوم: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. با معادل سازی این عبارات، به دست می آوریم: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d، از آنجا تفاوت d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (فقط 3 رقم اعشار داده شده است).

با دانستن d، می توانید از هر یک از 2 عبارت بالا برای 1 استفاده کنید. به عنوان مثال، ابتدا: 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

اگر در مورد نتیجه شک دارید، می توانید آن را بررسی کنید، به عنوان مثال، عضو 43 پیشرفت را که در شرط مشخص شده است، تعیین کنید. دریافت می کنیم: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. یک خطای کوچک به این دلیل است که از گرد کردن به هزارم در محاسبات استفاده شده است.

مثال شماره 5: جمع

حال بیایید به چند مثال با راه حل هایی برای مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه کنیم.

یک پیشروی عددی به شکل زیر داده شود: 1، 2، 3، 4، ...،. چگونه می توان مجموع 100 عدد از این اعداد را محاسبه کرد؟

به لطف توسعه فناوری رایانه، می توان این مشکل را حل کرد، یعنی به صورت متوالی همه اعداد را جمع کرد، که رایانه به محض فشار دادن کلید Enter انجام می دهد. با این حال، اگر توجه داشته باشید که سری اعداد ارائه شده یک پیشرفت جبری است و تفاوت آن 1 است، مشکل را می توان به صورت ذهنی حل کرد. / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

جالب است بدانید که این مشکل "گاوسی" نامیده می شود، زیرا در آغاز قرن هجدهم آلمانی مشهور، هنوز در سن 10 سالگی، توانست آن را در چند ثانیه در ذهن خود حل کند. پسر فرمول مجموع یک پیشرفت جبری را نمی دانست، اما متوجه شد که اگر جفت اعدادی را که در لبه های دنباله قرار دارند اضافه کنید، همیشه یک نتیجه را دریافت می کنید، یعنی 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ...، و از آنجایی که این مجموع دقیقاً 50 خواهد بود (100 / 2)، پس برای به دست آوردن پاسخ صحیح کافی است 50 را در 101 ضرب کنید.

مثال شماره 6: مجموع عبارت ها از n تا m

نمونه معمولی دیگر از مجموع یک پیشروی حسابی به شرح زیر است: با توجه به یک سری اعداد: 3، 7، 11، 15، ...، باید دریابید که مجموع عبارت های آن از 8 تا 14 چقدر خواهد بود.

مشکل به دو صورت حل می شود. اولین مورد شامل یافتن عبارات مجهول از 8 تا 14 و سپس جمع بندی آنها به ترتیب است. از آنجایی که اصطلاحات کمی وجود دارد، این روش به اندازه کافی پر زحمت نیست. با این وجود، حل این مشکل با روش دوم پیشنهاد می شود که جهانی تر است.

ایده این است که فرمولی برای مجموع یک پیشروی جبری بین ترم های m و n بدست آوریم که در آن n > m اعداد صحیح هستند. برای هر دو مورد، دو عبارت برای جمع می نویسیم:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

از آنجایی که n > m، بدیهی است که مجموع 2 شامل اولین است. نتیجه آخر به این معناست که اگر تفاضل بین این مجموع را بگیریم و عبارت a m را به آن اضافه کنیم (در صورت گرفتن اختلاف از مجموع S n کسر شود)، پاسخ لازم را برای مسئله می گیریم. داریم: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). لازم است که فرمول های n و m را در این عبارت جایگزین کنید. سپس دریافت می کنیم: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

فرمول حاصل تا حدودی دست و پا گیر است، با این حال، مجموع S mn فقط به n، m، a 1 و d بستگی دارد. در مورد ما، a 1 = 3، d = 4، n = 14، m = 8. با جایگزینی این اعداد، به دست می آوریم: S mn = 301.

همانطور که از راه حل های بالا مشاهده می شود، همه مسائل بر اساس دانش عبارت ترم n و فرمول مجموع مجموعه جمله های اول است. قبل از شروع حل هر یک از این مشکلات، توصیه می شود که شرایط را به دقت بخوانید، به وضوح بفهمید که چه چیزی می خواهید پیدا کنید و تنها پس از آن راه حل را ادامه دهید.

نکته دیگر این است که برای سادگی تلاش کنید، یعنی اگر بتوانید بدون استفاده از محاسبات پیچیده ریاضی به سؤال پاسخ دهید، باید دقیقاً این کار را انجام دهید، زیرا در این حالت احتمال اشتباه کمتر است. به عنوان مثال، در مثال یک پیشروی حسابی با حل شماره 6، می توان در فرمول S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m متوقف شد و وظیفه کلی را به وظایف فرعی جداگانه تقسیم کنید (در این مورد ابتدا عبارت a n و a m را پیدا کنید).

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، توصیه می شود همانطور که در برخی از مثال های ارائه شده انجام شد، آن را بررسی کنید. چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنیم، متوجه شدیم. وقتی آن را فهمیدید، آنقدرها هم سخت نیست.

به عنوان مثال، دنباله \(2\); \(5\); \(هشت\)؛ \(یازده\)؛ \(14\)… یک تصاعد حسابی است، زیرا هر عنصر بعدی با عنصر قبلی سه تفاوت دارد (با اضافه کردن سه عنصر با عنصر قبلی می توان به دست آورد):

در این پیشرفت، تفاوت \(d\) مثبت است (برابر با \(3\)) و بنابراین هر جمله بعدی از جمله قبلی بیشتر است. چنین پیشرفت هایی نامیده می شود افزایش می یابد.

با این حال، \(d\) همچنین می تواند یک عدد منفی باشد. مثلا، در پیشروی حسابی \(16\); \(ده\)؛ \(چهار\)؛ \(-2\); \(-8\)… اختلاف پیشرفت \(d\) برابر با منهای شش است.

و در این صورت هر عنصر بعدی کمتر از عنصر قبلی خواهد بود. این پیشرفت ها نامیده می شوند در حال کاهش.

نماد پیشرفت حسابی

پیشرفت با یک حرف کوچک لاتین نشان داده می شود.

اعدادی که یک پیشروی را تشکیل می دهند آن را می گویند اعضا(یا عناصر).

آنها را با همان حروف پیشروی حسابی نشان می دهند، اما با یک شاخص عددی برابر با عدد عنصر به ترتیب.

برای مثال، پیشروی حسابی \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) از عناصر \(a_1=2\) تشکیل شده است. \(a_2=5\); \(a_3=8\) و غیره.

به عبارت دیگر، برای پیشرفت \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

حل مسائل بر روی پیشروی حسابی

در اصل، اطلاعات فوق در حال حاضر برای حل تقریباً هر مشکلی در یک پیشرفت حسابی (از جمله موارد ارائه شده در OGE) کافی است.

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط \(b_1=7؛ d=4\) داده می شود. \(b_5\) را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \(b_5=23\)

مثال (OGE). سه جمله اول یک تصاعد حسابی آورده شده است: \(62; 49; 36…\) مقدار اولین جمله منفی این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

پاسخ: \(-3\)

مثال (OGE). چندین عنصر متوالی از یک پیشروی حسابی داده می شود: \(...5; x; 10; 12.5...\) مقدار عنصر را که با حرف \(x\) نشان داده شده است بیابید.
راه حل:

پاسخ: \(7,5\).

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط زیر داده می شود: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) مجموع شش جمله اول این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

پاسخ: \(S_6=9\).

مثال (OGE). در پیشروی حسابی \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). تفاوت این پیشرفت را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \(d=7\).

فرمول های مهم پیشرفت حسابی

همانطور که می بینید، بسیاری از مسائل پیشروی حسابی را می توان به سادگی با درک نکته اصلی حل کرد - اینکه یک پیشروی حسابی زنجیره ای از اعداد است و هر عنصر بعدی در این زنجیره با اضافه کردن همان عدد به عدد قبلی به دست می آید (تفاوت از پیشرفت).

با این حال، گاهی اوقات شرایطی وجود دارد که حل کردن "روی پیشانی" بسیار ناخوشایند است. به عنوان مثال، تصور کنید که در همان مثال اول، نه عنصر پنجم \(b_5\)، بلکه سیصد و هشتاد و ششمین \(b_(386)\) را باید پیدا کنیم. چه چیزی است، ما \ (385 \) بار برای اضافه کردن چهار؟ یا تصور کنید که در مثال ماقبل آخر، باید مجموع هفتاد و سه عنصر اول را پیدا کنید. شمارش گیج کننده است...

بنابراین، در چنین مواردی، آنها "روی پیشانی" را حل نمی کنند، بلکه از فرمول های ویژه ای استفاده می کنند که برای پیشرفت حسابی به دست آمده است. و اصلی ترین آنها فرمول nامین ترم پیشرفت و فرمول مجموع \(n\) جمله های اول هستند.

فرمول \(n\)امین عضو: \(a_n=a_1+(n-1)d\)، که در آن \(a_1\) اولین عضو پیشرفت است.
\(n\) - تعداد عنصر مورد نیاز.
\(a_n\) عضوی از پیشرفت با عدد \(n\) است.

این فرمول به ما اجازه می دهد تا حداقل عنصر سه صدم و حتی میلیونمین عنصر را به سرعت پیدا کنیم، تنها با دانستن تفاوت اول و پیشرفت.

مثال. پیشروی حسابی با شرایط داده می شود: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \(b_(246)=1850\).

فرمول مجموع n جمله اول این است: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)، که در آن

\(a_n\) آخرین عبارت جمع شده است.

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط \(a_n=3.4n-0.6\) داده می شود. مجموع اولین \(25\) عبارت های این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

پاسخ: \(S_(25)=1090\).

برای مجموع \(n\) جمله های اول، می توانید فرمول دیگری دریافت کنید: فقط باید \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) به جای \(a_n\) فرمول را جایگزین کنید \(a_n=a_1+(n-1)d\). ما گرفتیم:

فرمول مجموع n عبارت اول این است: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)، جایی که

\(S_n\) - جمع مورد نیاز \(n\) عناصر اول؛
\(a_1\) اولین جمله ای است که جمع می شود.
\(d\) - تفاوت پیشرفت؛
\(n\) - تعداد عناصر موجود در جمع.

مثال. مجموع اولین ترم های \(33\)-ex پیشروی حسابی را بیابید: \(17\); \(15,5\); \(چهارده\)…
راه حل:

پاسخ: \(S_(33)=-231\).

مسائل پیچیده تر پیشرفت حسابی

اکنون شما تمام اطلاعات مورد نیاز برای حل تقریباً هر مشکل پیشروی حسابی را دارید. بیایید موضوع را با در نظر گرفتن مسائلی به پایان برسانیم که در آنها نه تنها باید فرمول ها را اعمال کنید، بلکه کمی فکر کنید (در ریاضیات، این می تواند مفید باشد ☺)

مثال (OGE). مجموع تمام عبارات منفی پیشرفت را بیابید: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
راه حل:

پاسخ: \(S_(65)=-630.5\).

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط داده می شود: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). حاصل جمع عنصر \(26\)th تا \(42\) را بیابید.
راه حل:

پاسخ: \(S=1683\).

برای یک پیشروی حسابی، چندین فرمول دیگر وجود دارد که در این مقاله به دلیل کاربرد عملی کم آنها را در نظر نگرفته ایم. با این حال، شما به راحتی می توانید آنها را پیدا کنید.

پس بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. مثلا:
شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند به تعداد دلخواه (در مورد ما، آنها) باشد. مهم نیست که چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام یک از آنها اول است، کدام دوم و به همین ترتیب تا آخرین، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله عددی
به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک شماره دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد -امین) همیشه یکسان است.
به عددی که دارای عدد است، -امین عضو دنباله گفته می شود.

ما معمولاً کل دنباله را یک حرف می نامیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله را - همان حرف با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

در مورد ما:

فرض کنید یک دنباله عددی داریم که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.
مثلا:

و غیره.
چنین دنباله عددی را پیشروی حسابی می نامند.
اصطلاح «پیشرفت» در اوایل قرن ششم توسط نویسنده رومی بوئتیوس معرفی شد و در معنای وسیع‌تر به عنوان یک دنباله عددی بی پایان شناخته شد. نام "حساب" از نظریه نسبت های پیوسته که یونانیان باستان به آن مشغول بودند منتقل شد.

این یک دنباله عددی است که هر عضو آن برابر با قبلی است که با همان عدد اضافه می شود. این عدد را تفاضل یک تصاعد حسابی می نامند و نشان می دهند.

سعی کنید تعیین کنید که کدام دنباله اعداد یک تصاعد حسابی هستند و کدام یک نیستند:

آ)
ب)
ج)
د)

فهمیدم؟ پاسخ های ما را مقایسه کنید:
استپیشرفت حسابی - b، c.
نیستپیشرفت حسابی - a, d.

بیایید به پیشرفت داده شده () برگردیم و سعی کنیم مقدار عضو آن را پیدا کنیم. وجود دارد دوراهی برای پیدا کردن آن

1. روش

می توانیم به مقدار قبلی عدد پیشرفت اضافه کنیم تا زمانی که به ترم امین پیشرفت برسیم. خوب است که چیز زیادی برای خلاصه کردن نداریم - فقط سه مقدار:

بنابراین، عضو -مین پیشرفت حسابی توصیف شده برابر است با.

2 راه

اگر نیاز به یافتن مقدار ترم ترم پیشرفت داشته باشیم چه می‌شود؟ جمع بندی بیش از یک ساعت زمان می برد و این یک واقعیت نیست که هنگام جمع کردن اعداد اشتباه نمی کردیم.
البته، ریاضیدانان راهی را ارائه کرده اند که در آن نیازی نیست تفاوت یک پیشروی حسابی را به مقدار قبلی اضافه کنید. به تصویر کشیده شده با دقت نگاه کنید ... مطمئناً قبلاً متوجه الگوی خاصی شده اید ، یعنی:

برای مثال، بیایید ببینیم که چه چیزی مقدار عضو -امین این پیشروی حسابی را تشکیل می‌دهد:


به عبارت دیگر:

سعی کنید به طور مستقل از این طریق مقدار یکی از اعضای این پیشروی حسابی را بیابید.

محاسبه شد؟ نوشته های خود را با پاسخ مقایسه کنید:

توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را که در روش قبلی وجود داشت، دریافت کردید، زمانی که اعضای یک پیشرفت حسابی را به صورت متوالی به مقدار قبلی اضافه کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصیت" کنیم - آن را به شکل کلی در می آوریم و می گیریم:

پیشروی های حسابی یا در حال افزایش یا کاهش هستند.

در حال افزایش است- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها از مقدار قبلی بیشتر است.
مثلا:

نزولی- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها کمتر از مقدار قبلی است.
مثلا:

فرمول مشتق شده در محاسبه عبارات در هر دو حالت افزایشی و کاهشی یک پیشروی حسابی استفاده می شود.
بیایید آن را در عمل بررسی کنیم.
به ما یک پیشرفت حسابی داده می شود که از اعداد زیر تشکیل شده است:

از آن به بعد:

بنابراین، ما متقاعد شدیم که این فرمول هم در کاهش و هم در افزایش پیشرفت حسابی کار می کند.
سعی کنید اعضای -ام و -ام این پیشروی حسابی را خودتان پیدا کنید.

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

خاصیت پیشرفت حسابی

بیایید کار را پیچیده کنیم - ما ویژگی یک پیشرفت حسابی را استخراج می کنیم.
فرض کنید شرایط زیر به ما داده شده است:
- پیشرفت حسابی، مقدار را پیدا کنید.
شما می گویید آسان است و بر اساس فرمولی که از قبل می دانید شروع به شمارش کنید:

اجازه دهید، a، سپس:

کاملا درسته معلوم می شود که ما ابتدا پیدا می کنیم، سپس آن را به عدد اول اضافه می کنیم و آنچه را که به دنبال آن هستیم به دست می آوریم. اگر پیشرفت با مقادیر کوچک نشان داده شود، هیچ چیز پیچیده ای در مورد آن وجود ندارد، اما اگر در شرایط به ما اعداد داده شود چه؟ موافقم، احتمال اشتباه در محاسبات وجود دارد.
حال فکر کنید آیا با استفاده از هر فرمولی می توان این مشکل را در یک مرحله حل کرد؟ البته، بله، و ما اکنون سعی خواهیم کرد آن را ارائه دهیم.

بیایید عبارت مورد نظر پیشروی حسابی را به این صورت مشخص کنیم که فرمول پیدا کردن آن را می‌دانیم - این همان فرمولی است که در ابتدا استخراج کردیم:
، سپس:

• عضو قبلی پیشرفت این است:
• ترم بعدی پیشرفت عبارت است از:

بیایید اعضای قبلی و بعدی پیشرفت را جمع آوری کنیم:

معلوم می شود که مجموع اعضای قبلی و بعدی پیشرفت دو برابر مقدار عضو پیشروی است که بین آنها قرار دارد. به عبارت دیگر، برای یافتن مقدار یک عضو پیشرفت با مقادیر قبلی و متوالی شناخته شده، باید آنها را جمع کرد و بر آن تقسیم کرد.

درست است، ما همین عدد را گرفتیم. بیایید مواد را درست کنیم. مقدار پیشرفت را خودتان محاسبه کنید، زیرا اصلاً سخت نیست.

آفرین! شما تقریباً همه چیز را در مورد پیشرفت می دانید! باقی مانده است که فقط یک فرمول را پیدا کنیم، که طبق افسانه ها، یکی از بزرگترین ریاضیدانان تمام دوران، "پادشاه ریاضیدانان" - کارل گاوس، به راحتی برای خود استنباط کرد ...

وقتی کارل گاوس 9 ساله بود، معلم که مشغول بررسی کار دانش‌آموزان کلاس‌های دیگر بود، این کار را در درس پرسید: «مجموع تمام اعداد طبیعی از تا (بر اساس منابع دیگر تا) را محاسبه کنید. " تعجب معلم چه بود وقتی یکی از شاگردانش (این کارل گاوس بود) بعد از یک دقیقه پاسخ صحیح به تکلیف را داد در حالی که اکثر همکلاسی های جسور پس از محاسبات طولانی نتیجه اشتباه را دریافت کردند ...

کارل گاوس جوان متوجه الگویی شد که به راحتی می توانید متوجه آن شوید.
فرض کنید ما یک تصاعد حسابی داریم که از اعضای -ti تشکیل شده است: باید مجموع اعضای داده شده پیشروی حسابی را پیدا کنیم. البته، ما می‌توانیم به صورت دستی همه مقادیر را جمع کنیم، اما اگر لازم باشد مجموع عبارت‌های آن را همانطور که گاوس به دنبال آن بود، در کار پیدا کنیم، چه؟

بیایید پیشرفتی که به ما داده شده را به تصویر بکشیم. به اعداد برجسته شده دقت کنید و سعی کنید با آنها عملیات ریاضی مختلفی انجام دهید.


تلاش کرد؟ چه چیزی را متوجه شدید؟ به درستی! مجموع آنها مساوی است

حالا پاسخ دهید، چند جفت از این دست در پیشرفتی که به ما داده می شود وجود خواهد داشت؟ البته دقیقاً نیمی از اعداد، یعنی.
بر اساس این واقعیت که مجموع دو جمله یک پیشروی حسابی مساوی است و جفت های مساوی مشابه، به این نتیجه می رسیم که مجموع کل برابر است با:
.
بنابراین، فرمول مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

در برخی مسائل، ترم هفتم را نمی دانیم، اما تفاوت پیشرفت را می دانیم. سعی کنید در فرمول جمع، فرمول عضو هفتم را جایگزین کنید.
چی به دست آوردی؟

آفرین! حالا بیایید به مسئله ای که به کارل گاوس داده شد برگردیم: خودتان محاسبه کنید مجموع اعدادی که از -th شروع می شوند و مجموع اعدادی که از -th شروع می شوند چقدر است.

چقدر گرفتی؟
گاوس معلوم شد که مجموع شرایط برابر است و مجموع شرایط. اینطوری تصمیم گرفتی؟

در واقع، فرمول مجموع اعضای یک پیشروی حسابی توسط دانشمند یونان باستان دیوفانتوس در قرن سوم به اثبات رسید و در تمام این مدت، افراد شوخ طبع از خواص یک پیشروی حسابی با قدرت و اصلی استفاده می کردند.
به عنوان مثال، مصر باستان و بزرگترین سایت ساخت و ساز آن زمان را تصور کنید - ساخت یک هرم ... شکل یک طرف آن را نشان می دهد.

اینجا که میگی پیشرفت کجاست؟ با دقت نگاه کنید و الگویی از تعداد بلوک های شنی در هر ردیف دیوار هرم پیدا کنید.


چرا یک پیشرفت حسابی نیست؟ اگر آجرهای بلوکی در پایه قرار داده شوند، شمارش کنید که برای ساخت یک دیوار چند بلوک لازم است. امیدوارم با حرکت انگشت روی مانیتور بشمارید، آخرین فرمول و هر چیزی که در مورد پیشروی حسابی گفتیم را به خاطر دارید؟

در این مورد، پیشرفت به صورت زیر است:
تفاوت پیشروی حسابی
تعداد اعضای یک پیشرفت حسابی.
بیایید داده های خود را با آخرین فرمول ها جایگزین کنیم (تعداد بلوک ها را به 2 روش می شماریم).

روش 1.

روش 2.

و اکنون می توانید روی مانیتور نیز محاسبه کنید: مقادیر به دست آمده را با تعداد بلوک هایی که در هرم ما هستند مقایسه کنید. موافق بود؟ آفرین، شما بر مجموع ترم های یک پیشروی حسابی تسلط دارید.
البته، شما نمی توانید یک هرم از بلوک های پایه بسازید، اما از؟ سعی کنید محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار با این شرایط چند آجر شنی لازم است.
توانستی مدیریت کنی؟
پاسخ صحیح بلوک است:

تمرین

وظایف:

1. ماشا برای تابستان در حال خوش فرم شدن است. او هر روز تعداد اسکات ها را افزایش می دهد. اگر ماشا در اولین تمرین اسکوات انجام دهد، چند بار در هفته ها چمباتمه خواهد زد.
2. مجموع همه اعداد فرد موجود در چیست؟
3. هنگام ذخیره کنده‌ها، چوب‌برها آن‌ها را به‌گونه‌ای روی هم می‌چینند که هر لایه بالایی یک کنده کمتر از لایه قبلی داشته باشد. اگر پایه سنگ تراشی کنده است، در یک سنگ تراشی چند کنده وجود دارد.

پاسخ ها:

1. اجازه دهید پارامترهای پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. در این مورد
   (هفته = روز).

   پاسخ:در دو هفته، ماشا باید یک بار در روز چمباتمه بزند.

2. اولین عدد فرد، آخرین عدد.
   تفاوت پیشروی حسابی
   تعداد اعداد فرد در - نصف، با این حال، این واقعیت را با استفاده از فرمول برای یافتن عضو -امین یک پیشرفت حسابی بررسی کنید:

   اعداد حاوی اعداد فرد هستند.
   داده های موجود را با فرمول جایگزین می کنیم:

   پاسخ:مجموع تمام اعداد فرد موجود در برابر است با.

3. مشکل اهرام را به خاطر بیاورید. برای مورد ما، a، از آنجایی که هر لایه بالایی با یک لاگ کاهش می یابد، تنها یک دسته لایه وجود دارد، یعنی.
   داده ها را در فرمول جایگزین کنید:

   پاسخ:در سنگ تراشی کنده هایی وجود دارد.

جمع بندی

1. - دنباله عددی که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است. در حال افزایش و کاهش است.
2. یافتن فرمولامین عضو یک پیشروی حسابی با فرمول - نوشته می شود، جایی که تعداد اعداد در پیشرفت است.
3. ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی- - کجا - تعداد اعداد در پیشرفت.
4. مجموع اعضای یک تصاعد حسابیرا می توان به دو صورت یافت:
   
   ، تعداد مقادیر کجاست.

پیشرفت حسابی. سطح متوسط

دنباله عددی

بیا بشینیم و شروع کنیم به نوشتن چند عدد. مثلا:

شما می توانید هر عددی را بنویسید و هر تعداد که دوست دارید می تواند باشد. اما شما همیشه می توانید تشخیص دهید که کدام یک از آنها اول است، کدام دوم و به همین ترتیب، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است.

دنباله عددیمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک شماره منحصر به فرد اختصاص داد.

به عبارت دیگر، هر عدد را می توان با یک عدد طبیعی خاص و فقط یک عدد مرتبط کرد. و این شماره را به هیچ شماره دیگری از این مجموعه اختصاص نمی دهیم.

به عددی که دارای عدد است، -امین عضو دنباله گفته می شود.

ما معمولاً کل دنباله را یک حرف می نامیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله را - همان حرف با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

بسیار راحت است اگر بتوان عضو -امین دنباله را با فرمولی به دست آورد. به عنوان مثال، فرمول

دنباله را تنظیم می کند:

و فرمول به ترتیب زیر است:

به عنوان مثال، یک پیشرفت حسابی یک دنباله است (جمله اول در اینجا برابر است و تفاوت). یا (، تفاوت).

فرمول ترم n

ما فرمولی را تکراری می نامیم که در آن، برای یافتن عبارت -ام، باید موارد قبلی یا چند مورد قبلی را بدانید:

برای مثال، برای یافتن ترم پیشروی با استفاده از چنین فرمولی، باید نه قبلی را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس:

خب حالا معلوم شد فرمولش چیه؟

در هر سطر، به عددی ضرب می کنیم. برای چی؟ خیلی ساده: این تعداد عضو فعلی منهای است:

الان خیلی راحت تره، درسته؟ بررسی می کنیم:

خودتان تصمیم بگیرید:

در یک تصاعد حسابی، فرمول جمله n را پیدا کنید و جمله صدم را پیدا کنید.

راه حل:

جمله اول برابر است. و چه تفاوتی دارد؟ و این چیزی است که:

(به هر حال به آن تفاوت می گویند زیرا برابر است با اختلاف اعضای متوالی پیشرفت).

پس فرمول این است:

سپس جمله صدم این است:

مجموع همه اعداد طبیعی از تا چقدر است؟

طبق افسانه ها، ریاضیدان بزرگ کارل گاوس که پسری 9 ساله بود، این مقدار را در چند دقیقه محاسبه کرد. او متوجه شد که مجموع عدد اول و آخر برابر است، مجموع عدد دوم و ماقبل آخر یکسان است، مجموع عدد سوم و سوم از آخر یکسان است و غیره. چند جفت از این دست وجود دارد؟ درست است، دقیقاً نصف تعداد تمام اعداد، یعنی. بنابراین،

فرمول کلی برای مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

مثال:
مجموع همه مضرب های دو رقمی را پیدا کنید.

راه حل:

اولین چنین عددی این است. هر بعدی با اضافه کردن یک عدد به عدد قبلی بدست می آید. بنابراین، اعداد مورد علاقه ما یک پیشرفت حسابی را با جمله اول و تفاوت تشکیل می دهند.

فرمول ترم برای این پیشرفت عبارت است از:

اگر همه آنها باید دو رقمی باشند، چند عبارت در پیشرفت وجود دارد؟

بسیار آسان: .

آخرین ترم پیشرفت برابر خواهد بود. سپس مجموع:

پاسخ: .

حالا خودتان تصمیم بگیرید:

1. هر روز ورزشکار 1 متر بیشتر از روز قبل می دود. اگر روز اول کیلومتر متر را بدود چند کیلومتر در هفته خواهد دوید؟
2. یک دوچرخه‌سوار هر روز مایل‌های بیشتری را نسبت به دوچرخه‌سوار قبلی طی می‌کند. روز اول کیلومتر را طی کرد. چند روز باید رانندگی کند تا یک کیلومتر را طی کند؟ روز آخر سفر چند کیلومتر را طی خواهد کرد؟
3. قیمت یخچال در فروشگاه هر سال به همین میزان کاهش می یابد. تعیین کنید که قیمت یک یخچال هر سال چقدر کاهش می یابد اگر شش سال بعد به روبل برای فروش گذاشته شود.

پاسخ ها:

1. مهمترین چیز در اینجا تشخیص پیشروی حسابی و تعیین پارامترهای آن است. در این صورت، (هفته = روز). شما باید مجموع جمله های اول این پیشرفت را تعیین کنید:
   .
   پاسخ:
2. در اینجا داده شده است:، لازم است پیدا شود.
   بدیهی است که باید از همان فرمول جمع مانند مشکل قبلی استفاده کنید:
   .
   مقادیر را جایگزین کنید:

   ریشه بدیهی است که مناسب نیست، بنابراین پاسخ.
   بیایید مسافت طی شده در روز گذشته را با استفاده از فرمول جمله -م محاسبه کنیم:
   (کیلومتر).
   پاسخ:

3. داده شده: . پیدا کردن: .
   ساده تر نمی شود:
   (مالیدن).
   پاسخ:

پیشروی حسابی. به طور خلاصه در مورد اصلی

این یک دنباله عددی است که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.

پیشرفت حسابی در حال افزایش () و کاهش () است.

مثلا:

فرمول یافتن عضو n یک پیشرفت حسابی

به عنوان یک فرمول نوشته شده است، که در آن تعداد اعداد در پیشرفت است.

ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی

اگر اعضای همسایه آن شناخته شده باشند، یافتن عضوی از پیشرفت را آسان می کند - تعداد اعداد در پیشرفت کجاست.

مجموع اعضای یک تصاعد حسابی

دو راه برای یافتن مجموع وجود دارد:

تعداد مقادیر کجاست.

تعداد مقادیر کجاست.

2/3 مقاله باقیمانده فقط برای دانش‌آموزان باهوش در دسترس است!

شاگرد YouClever شوید،

برای OGE یا استفاده در ریاضیات به قیمت "یک فنجان قهوه در ماه" آماده شوید.

و همچنین دسترسی نامحدود به کتاب درسی "YouClever"، برنامه آموزشی "100gia" (کتاب راه حل)، استفاده آزمایشی نامحدود و OGE، 6000 کار با تجزیه و تحلیل راه حل ها و سایر خدمات YouClever و 100gia داشته باشید.

نوع درس:یادگیری مطالب جدید

اهداف درس:

• بسط و تعمیق ایده های دانش آموزان در مورد وظایف حل شده با استفاده از پیشرفت حسابی. سازماندهی فعالیت جستجوی دانش آموزان هنگام استخراج فرمول مجموع n عضو اول یک پیشرفت حسابی.
• توسعه مهارت ها برای کسب مستقل دانش جدید، استفاده از دانش از قبل به دست آمده برای دستیابی به کار؛
• توسعه میل و نیاز به تعمیم حقایق به دست آمده، توسعه استقلال.

وظایف:

• تعمیم و نظام مند کردن دانش موجود در مورد "پیشرفت حسابی"؛
• فرمول هایی برای محاسبه مجموع n عضو اول یک پیشرفت حسابی استخراج کنید.
• آموزش نحوه استفاده از فرمول های به دست آمده در حل مسائل مختلف.
• توجه دانش آموزان را به روش یافتن مقدار یک عبارت عددی جلب کنید.

تجهیزات:

• کارت هایی با وظایف برای کار در گروه ها و جفت ها؛
• مقاله ارزیابی؛
• ارائه"پیشرفت حسابی".

I. به فعلیت رساندن دانش پایه.

1. کار مستقل به صورت دو نفره.

گزینه 1:

یک پیشرفت حسابی را تعریف کنید. یک فرمول بازگشتی که یک پیشرفت حسابی را تعریف می کند بنویسید. یک مثال از پیشروی حسابی بزنید و تفاوت آن را نشان دهید.

گزینه دوم:

فرمول n ام یک پیشروی حسابی را بنویسید. صدمین جمله یک پیشرفت حسابی را پیدا کنید ( a n}: 2, 5, 8 …
در این زمان، دو دانش آموز پشت تخته در حال آماده سازی پاسخ به سوالات مشابه هستند.
دانش آموزان کار شریک را با مقایسه آن با تابلو ارزیابی می کنند. (بروشورهایی با پاسخنامه تحویل داده می شود).

2. لحظه بازی.

تمرین 1.

معلم.من مقداری پیشرفت حسابی را تصور کردم. فقط دو تا سوال از من بپرس تا بعد از جواب ها بتونی سریع اسم هفتمین عضو این پیشرفت رو نام ببری. (1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15…)

سوالات دانش آموزان.

1. ترم ششم پیشرفت چیست و چه تفاوتی دارد؟
2. ترم هشتم پیشرفت چیست و چه تفاوتی دارد؟

اگر سؤال دیگری وجود نداشته باشد ، معلم می تواند آنها را تحریک کند - "ممنوعیت" در مورد d (تفاوت) ، یعنی نمی توان پرسید که تفاوت چیست. می توانید سؤال کنید: ترم 6 ترم پیشرفت چیست و ترم 8 ترم پیشرفت چیست؟

وظیفه 2.

20 عدد روی تابلو نوشته شده است: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

معلم با پشت به تخته سیاه می ایستد. دانش آموزان شماره شماره را می گویند و معلم بلافاصله با خود شماره تماس می گیرد. توضیح دهید چگونه می توانم آن را انجام دهم؟

معلم فرمول ترم n را به خاطر می آورد a n \u003d 3n - 2و با جایگزینی مقادیر داده شده n، مقادیر مربوطه را پیدا می کند یک n .

II. بیانیه تکلیف آموزشی

من پیشنهاد می کنم یک مشکل قدیمی که مربوط به هزاره دوم قبل از میلاد است، که در پاپیروس های مصری یافت می شود، حل شود.

یک وظیفه:به شما گفته شود: 10 پیمانه جو را بین 10 نفر تقسیم کنید، تفاوت هر نفر با همسایه اش 8/1 پیمانه است.

• این مسئله چگونه با مبحث پیشروی حسابی ارتباط دارد؟ (هر نفر بعدی 1/8 اندازه بیشتر می گیرد، بنابراین تفاوت d=1/8، 10 نفر است، بنابراین n=10.)
• به نظر شما عدد 10 به چه معناست؟ (مجموع همه اعضای پیشرفت.)
• چه چیز دیگری باید بدانید تا تقسیم جو بر اساس شرایط مشکل آسان و ساده باشد؟ (ترم اول پیشرفت.)

هدف درس- به دست آوردن وابستگی مجموع شرایط پیشرفت به تعداد آنها، جمله اول و تفاوت و بررسی اینکه آیا مشکل در زمان های قدیم به درستی حل شده است یا خیر.

قبل از استخراج فرمول، بیایید ببینیم مصریان باستان چگونه مشکل را حل کردند.

و آنها آن را اینگونه حل کردند:

1) 10 اندازه: 10 = 1 اندازه - سهم متوسط;
2) 1 پیمانه ∙ = 2 پیمانه - دو برابر شده میانگیناشتراک گذاری.
دو برابر شد میانگینسهم مجموع سهام شخص پنجم و ششم است.
3) 2 پیمانه - 1/8 پیمانه = 1 7/8 پیمانه - دو برابر سهم نفر پنجم.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - سهم پنجم؛ و غیره، می توانید سهم هر فرد قبلی و بعدی را پیدا کنید.

دنباله را می گیریم:

III. راه حل تکلیف.

1. به صورت گروهی کار کنید

گروه 1:مجموع 20 عدد طبیعی متوالی را پیدا کنید: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

به طور کلی

گروه دوم:مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 100 را بیابید (افسانه گاوس کوچک).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

نتیجه:

گروه سوم:مجموع اعداد طبیعی 1 تا 21 را بیابید.

راه حل: 1+21=2+20=3+19=4+18…

نتیجه:

گروه چهارم:مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 101 را بیابید.

نتیجه:

این روش برای حل مسائل در نظر گرفته شده "روش گاوس" نامیده می شود.

2. هر گروه راه حل مسئله را روی تخته ارائه می کند.

3. تعمیم راه حل های پیشنهادی برای یک پیشروی حسابی دلخواه:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

ما این مجموع را با استدلال مشابه به دست می آوریم:

4. آیا ما تکلیف را حل کرده ایم؟(آره.)

IV. درک اولیه و کاربرد فرمول های به دست آمده در حل مسائل.

1. بررسی راه حل یک مشکل قدیمی با فرمول.

2. کاربرد فرمول در حل مسائل مختلف.

3. تمرین هایی برای شکل گیری توانایی اعمال فرمول در حل مسائل.

الف) شماره 613

داده شده :( و ن) -پیشرفت حسابی؛

(a n): 1، 2، 3، ...، 1500

پیدا کردن: S 1500

راه حل: , و 1 = 1، و 1500 = 1500،

ب) با توجه به: ( و ن) -پیشرفت حسابی؛
(و n): 1، 2، 3، ...
S n = 210

پیدا کردن: n
راه حل:

V. کار مستقل با تأیید متقابل.

دنیس به عنوان یک پیک برای کار رفت. در ماه اول، حقوق او 200 روبل بود، در هر ماه بعد 30 روبل افزایش یافت. او در یک سال چقدر درآمد داشت؟

داده شده :( و ن) -پیشرفت حسابی؛
a 1 = 200، d = 30، n = 12
پیدا کردن: S 12
راه حل:

پاسخ: دنیس برای سال 4380 روبل دریافت کرد.

VI. آموزش تکلیف.

1. ص 4.3 - اشتقاق فرمول را یاد بگیرید.
2. №№ 585, 623 .
3. مسئله ای بسازید که با استفاده از فرمول حاصل از مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی حل شود.

VII. جمع بندی درس.

1. برگه امتیاز

2. جملات را ادامه دهید

• امروز سر کلاس یاد گرفتم...
• فرمول های آموخته شده ...
• فکر می کنم که…

3. آیا می توانید مجموع اعداد 1 تا 500 را پیدا کنید؟ از چه روشی برای حل این مشکل استفاده خواهید کرد؟

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. جبر، پایه نهم. کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی. اد. G.V. دوروفیوا.مسکو: روشنگری، 2009.