ریشه دوم. نظریه تفصیلی با مثال

واقعیت 1.
$\bullet$ تعدادی عدد غیر منفی $a$ را در نظر بگیرید (یعنی $a\geqslant 0$). سپس (حساب) ریشه دوماز عدد $a$ چنین عدد غیر منفی $b$ فراخوانی می شود که هنگام مربع کردن آن عدد $a$ را بدست می آوریم: \[\sqrt a=b\quad \text(همانند)\quad a=b^2\]از تعریف بر می آید که $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. این محدودیت ها شرط مهمی برای وجود جذر است و باید به خاطر داشت!
به یاد بیاورید که هر عددی که مجذور شود یک نتیجه غیر منفی می دهد. یعنی $100^2=10000\geqslant 0$ و $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ $\sqrt(25)$ چیست؟ می دانیم که $5^2=25$ و $(-5)^2=25$ . از آنجایی که طبق تعریف باید یک عدد غیر منفی پیدا کنیم، $-5$ مناسب نیست، بنابراین $\sqrt(25)=5$ (از آنجایی که $25=5^2$ ).
یافتن مقدار $\sqrt a$ را گرفتن جذر عدد $a$ و عدد $a$ را عبارت ریشه می نامند.
$\bullet$ بر اساس تعریف، عبارات $\sqrt(-25)$ , $\sqrt(-4)$ و غیره. منطقی نیست

واقعیت 2.
برای محاسبات سریع، یادگیری جدول مربع های اعداد طبیعی از $1$ تا $20$ مفید خواهد بود: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \\quad14^5 &\42=5^2=196 2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100\\ 10^2=100&\\4ray0]

واقعیت 3.
با ریشه های مربع چه کاری می توان انجام داد؟
$\گلوله$ مجموع یا اختلاف ریشه های مربع با جذر مجموع یا تفاوت برابر نیست، یعنی. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]بنابراین، اگر برای مثال نیاز دارید $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ را محاسبه کنید، ابتدا باید مقادیر $\sqrt(25)$ و $\sqrt(49)$ را پیدا کنید و سپس آنها را اضافه کنید. از این رو، \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] اگر مقادیر $\sqrt a$ یا $\sqrt b$ در هنگام اضافه کردن $\sqrt a+\sqrt b$ یافت نشد، پس چنین عبارتی دیگر تبدیل نمی شود و همانطور که هست باقی می ماند. به عنوان مثال، در مجموع $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ می توانیم $\sqrt(49)$ را پیدا کنیم - این $7$ است، اما $\sqrt 2$ به هیچ وجه قابل تبدیل نیست، بنابراین $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. علاوه بر این، این عبارت، متأسفانه، به هیچ وجه نمی تواند ساده شود.$\bullet$ حاصل ضرب/ضریب ریشه های مربع برابر است با جذر حاصلضرب/ضریب، یعنی. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (مشروط بر اینکه هر دو بخش برابری ها معنا داشته باشد)
مثال: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ با استفاده از این ویژگی ها، یافتن ریشه های مربع اعداد بزرگ با فاکتورگیری آنها راحت است.
یک مثال را در نظر بگیرید. $\sqrt(44100)$ را پیدا کنید. از آنجایی که $44100:100=441$ ، سپس $44100=100\cdot 441$ . با معیار تقسیم پذیری عدد $441$ بر $9$ بخش پذیر است (چون مجموع ارقام آن 9 است و بر 9 بخش پذیر است) بنابراین $441:9=49$ یعنی $441=9\cdot 49$ .
بنابراین، ما دریافتیم: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3)) = \sqrt(\dfrac(16\cdot(16\cdot)(16\cdot4\c) dot \ sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3=\dfrac(56)3\]
$\bullet$ بیایید نحوه وارد کردن اعداد را در زیر علامت ریشه مربع با استفاده از مثال عبارت $5\sqrt2$ (مخفف عبارت $5\cdot \sqrt2$) نشان دهیم. از آنجایی که $5=\sqrt(25)$ پس \ همچنین توجه داشته باشید که برای مثال،
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

چرا اینطور است؟ بیایید با مثال 1 توضیح دهیم). همانطور که قبلا متوجه شدید، ما نمی توانیم به نحوی عدد $\sqrt2$ را تبدیل کنیم. تصور کنید $\sqrt2$ مقداری $a$ باشد. بر این اساس، عبارت $\sqrt2+3\sqrt2$ چیزی نیست جز $a+3a$ (یک عدد $a$ به اضافه سه عدد دیگر از همان اعداد $a$). و می دانیم که این برابر با چهار عدد از جمله $a$ است، یعنی $4\sqrt2$ .

واقعیت 4.
$\bullet$ اغلب گفته می شود "نمی توان ریشه را استخراج کرد" زمانی که نمی توان از علامت $\sqrt () \$ ریشه (رادیکال) هنگام یافتن مقدار یک عدد خلاص شد. به عنوان مثال، می توانید عدد $16$ را روت کنید زیرا $16=4^2$ , بنابراین $\sqrt(16)=4$ . اما استخراج ریشه از عدد $3$ یعنی یافتن $\sqrt3$ غیرممکن است، زیرا چنین عددی وجود ندارد که مربع $3$ را بدهد.
چنین اعدادی (یا عباراتی با چنین اعدادی) غیر منطقی هستند. مثلا اعداد $\sqrt3، \ 1+\sqrt2، \ \sqrt(15)$و غیره غیر منطقی هستند
همچنین اعداد $\pi$ (عدد "pi" تقریباً برابر با $3،14$)، $e$ (به این عدد عدد اویلر گفته می شود، تقریباً برابر با $2،7$) غیر منطقی هستند.
$\bullet$ لطفاً توجه داشته باشید که هر عددی یا گویا یا غیرمنطقی خواهد بود. و همه اعداد گویا و غیر منطقی با هم مجموعه ای به نام را تشکیل می دهند مجموعه ای از اعداد واقعی (واقعی).این مجموعه با حرف $\mathbb(R)$ نشان داده می شود.
این بدان معنی است که تمام اعدادی که در حال حاضر می شناسیم، اعداد واقعی نامیده می شوند.

واقعیت 5.
$\bullet$ مدول یک عدد واقعی $a$ یک عدد غیر منفی $|a|$ برابر با فاصله از نقطه $a$ تا $0$ روی خط واقعی است. برای مثال، $|3|$ و $|-3|$ برابر با 3 هستند زیرا فواصل نقاط $3$ و $-3$ تا $0$ یکسان و برابر با $3$ هستند.
$\bullet$ اگر $a$ یک عدد غیر منفی است، آنگاه $|a|=a$ .
مثال: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ اگر $a$ یک عدد منفی است، آنگاه $|a|=-a$ .
مثال: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
آنها می گویند که برای اعداد منفی، ماژول منهای را "می خورد" و اعداد مثبت و همچنین عدد $0$ ، ماژول بدون تغییر باقی می ماند.
ولیاین قانون فقط برای اعداد اعمال می شود. اگر در زیر علامت ماژول یک $x$ مجهول (یا یک مجهول دیگر) دارید، به عنوان مثال، $|x|$ که نمی دانیم مثبت است، برابر با صفر یا منفی است، نمی توانیم از شر ماژول خلاص شویم. در این حالت، این عبارت به این صورت باقی می ماند: $|x|$ . $\bullet$ فرمول های زیر برقرار است: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a))، \text( ارائه شده ) a\geqslant 0\]اشتباه زیر اغلب انجام می شود: آنها می گویند که $\sqrt(a^2)$ و $(\sqrt a)^2$ یکسان هستند. این فقط زمانی درست است که $a$ یک عدد مثبت یا صفر باشد. اما اگر $a$ یک عدد منفی باشد، این درست نیست. توجه به چنین مثالی کافی است. بیایید به جای $a$ عدد $-1$ را در نظر بگیریم. سپس $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$، اما عبارت $(\sqrt (-1))^2$ اصلا وجود ندارد (چون نمی توانید اعداد منفی را زیر علامت ریشه قرار دهید!).
بنابراین توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که $\sqrt(a^2)$ برابر با $(\sqrt a)^2$ نیست!مثال: 1) $\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$، زیرا $-\sqrt2<0$ ;

$\فانتوم(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\bullet$ از آنجایی که $\sqrt(a^2)=|a|$ , سپس \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (عبارت $2n$ یک عدد زوج را نشان می دهد)
یعنی هنگام استخراج ریشه از عددی که در درجه ای است، این درجه نصف می شود.
مثال:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (توجه داشته باشید که اگر ماژول تنظیم نشده باشد، معلوم می شود که ریشه عدد برابر با $-25$ است؛ اما به یاد می آوریم که با تعریف ریشه، این نمی تواند باشد: هنگام استخراج ریشه، همیشه باید یک عدد مثبت یا صفر بدست آوریم)
3) $\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (زیرا هر عددی به توان زوج غیرمنفی است)

واقعیت 6.
چگونه دو جذر را با هم مقایسه کنیم؟
$\bullet$ درست برای ریشه های مربع: اگر $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aمثال:
1) \(\sqrt(50)$ و $6\sqrt2$ را مقایسه کنید. ابتدا عبارت دوم را به شکل تبدیل می کنیم $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. بنابراین، از زمانی که $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) $\sqrt(50)$ بین کدام اعداد صحیح قرار دارد؟
از آنجایی که $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ و $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) $\sqrt 2-1$ و $0,5$ را با هم مقایسه کنید. فرض کنید $\sqrt2-1>0.5$ : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((یکی را به هر دو طرف اضافه کنید))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((هر دو قسمت را مربع))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end (تراز شده)\]می بینیم که یک نابرابری نادرست به دست آورده ایم. بنابراین، فرض ما اشتباه بود و $\sqrt 2-1<0,5$ .
توجه داشته باشید که افزودن یک عدد معین به دو طرف نامساوی تاثیری بر علامت آن ندارد. ضرب/تقسیم هر دو قسمت نامساوی بر عدد مثبت نیز بر علامت آن تاثیری ندارد، اما ضرب/تقسیم بر عدد منفی علامت نامساوی را معکوس می‌کند!
هر دو طرف یک معادله/نابرابری را می توان تنها در صورتی مربع کرد که هر دو طرف غیر منفی باشند. به عنوان مثال، در نابرابری مثال قبلی، می توانید هر دو طرف را مربع کنید، در نابرابری $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ توجه داشته باشید که \[\شروع (تراز شده) &\sqrt 2\حدود 1,4\\ &\sqrt 3\حدود 1,7 \پایان (تراز شده)\]دانستن معنای تقریبی این اعداد به شما در مقایسه اعداد کمک می کند! $\bullet$ برای استخراج ریشه (اگر استخراج شده باشد) از یک عدد بزرگ که در جدول مربع ها نیست، ابتدا باید بین کدام "صدها" و سپس بین کدام "ده ها" و سپس آخرین رقم این عدد را مشخص کنید. بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه کار می کند.
$\sqrt(28224)$ را بگیرید. می دانیم که $100^2=10\,000$ , $200^2=40\,000$ و غیره. توجه داشته باشید که $28224$ بین $10\,000$ و $40\,000$ است. بنابراین، $\sqrt(28224)$ بین $100$ و $200$ است.
حالا بیایید تعیین کنیم که عدد ما بین کدام "ده ها" قرار دارد (یعنی مثلاً بین $120$ و $130$ ). همچنین از جدول مربع ها می دانیم که $11^2=121$ , $12^2=144$ و غیره، سپس $110^2=12100$ , $120^2=14400$ , $130^2=16900$ , $130^2=16900$ , $130^2=16900$ , $130^2=16900$ , $130^2=16900$ , $2=16900$ ^02=1,40 0 \) ، $160^2=25600$ ، $170^2=28900$ . بنابراین می بینیم که $28224$ بین $160^2$ و $170^2$ است. بنابراین، عدد $\sqrt(28224)$ بین $160$ و $170$ است.
بیایید سعی کنیم رقم آخر را تعیین کنیم. بیایید به یاد بیاوریم که اعداد تک رقمی هنگام مربع کردن در پایان \ (4 \) چه می دهند؟ اینها $2^2$ و $8^2$ هستند. بنابراین، $\sqrt(28224)$ به 2 یا 8 ختم می شود. بیایید این را بررسی کنیم. $162^2$ و $168^2$ را پیدا کنید:
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
بنابراین $\sqrt(28224)=168$ . وویلا!

برای حل مناسب امتحان ریاضی، اول از همه، مطالعه مطالب نظری ضروری است که قضایای متعدد، فرمول‌ها، الگوریتم‌ها و غیره را معرفی می‌کند. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این بسیار ساده است. با این حال، یافتن منبعی که در آن تئوری آزمون دولتی واحد در ریاضیات برای دانش‌آموزان با هر سطح آموزشی به راحتی و قابل درک ارائه شود، در واقع کار نسبتاً دشواری است. کتاب های درسی مدرسه را نمی توان همیشه در دسترس داشت. و یافتن فرمول های اساسی برای امتحان ریاضی حتی در اینترنت نیز می تواند دشوار باشد.

چرا مطالعه تئوری در ریاضیات نه تنها برای کسانی که در امتحان شرکت می کنند، بسیار مهم است؟

زیرا افق دید شما را گسترده تر می کند. مطالعه مطالب نظری در ریاضیات برای هر کسی که می خواهد به طیف گسترده ای از سوالات مرتبط با دانش جهان پاسخ دهد مفید است. همه چیز در طبیعت منظم است و منطق روشنی دارد. این دقیقاً همان چیزی است که در علم منعکس شده است و از طریق آن می توان جهان را درک کرد.
زیرا باعث رشد عقل می شود. با مطالعه مواد مرجع برای امتحان در ریاضیات و همچنین حل مسائل مختلف، فرد یاد می گیرد که به طور منطقی فکر کند و استدلال کند، افکار را به درستی و واضح فرموله کند. او توانایی تجزیه و تحلیل، تعمیم، نتیجه گیری را توسعه می دهد.

ما از شما دعوت می کنیم تا شخصاً تمام مزایای رویکرد ما در سیستم سازی و ارائه مطالب آموزشی را ارزیابی کنید.

جذر یک عدد ایکسبه شماره ای زنگ زد آ، که در روند تکثیر خودش در خودش ( A*A) می تواند یک عدد بدهد ایکس.
آن ها A * A = A 2 = X، و √X = A.

بیش از ریشه مربع ( √x)، مانند سایر اعداد، می توانید عملیات حسابی مانند تفریق و جمع را انجام دهید. برای تفریق و افزودن ریشه ها، آنها باید با استفاده از علائم مربوط به این اقدامات (به عنوان مثال √x- √y ).
و سپس ریشه ها را به ساده ترین شکل خود برسانید - اگر موارد مشابهی بین آنها وجود داشته باشد، باید یک قالب بسازید. این شامل این واقعیت است که ضرایب عبارت‌های مشابه با علائم عبارت‌های مربوطه گرفته می‌شوند، سپس آنها در براکت قرار می‌گیرند و ریشه مشترک در خارج از براکت‌های ضرب نمایش داده می‌شود. ضریبی که به دست آورده ایم طبق قوانین معمول ساده شده است.

مرحله 1. استخراج ریشه های مربع

ابتدا برای افزودن ریشه های مربع، ابتدا باید این ریشه ها را استخراج کنید. اگر اعداد زیر علامت ریشه مربع کامل باشند این کار را می توان انجام داد. به عنوان مثال، عبارت داده شده را در نظر بگیرید √4 + √9 . شماره اول 4 مربع عدد است 2 . شماره دوم 9 مربع عدد است 3 . بنابراین، برابری زیر را می توان به دست آورد: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
همه چیز، مثال حل شده است. اما همیشه اینطور نمی شود.

مرحله 2. ضریب یک عدد را از زیر ریشه خارج کنید

اگر هیچ مربع کاملی در زیر علامت ریشه وجود ندارد، می توانید سعی کنید ضریب عدد را از زیر علامت ریشه خارج کنید. به عنوان مثال، عبارت را در نظر بگیرید √24 + √54 .

بیایید اعداد را فاکتورسازی کنیم:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

در میان 24 ما یک ضریب داریم 4 ، می توان آن را از زیر علامت ریشه مربع بیرون آورد. در میان 54 ما یک ضریب داریم 9 .

برابری را بدست می آوریم:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

با در نظر گرفتن این مثال، ما حذف عامل را از زیر علامت ریشه دریافت می کنیم، در نتیجه عبارت داده شده را ساده می کنیم.

مرحله 3. کاهش مخرج

وضعیت زیر را در نظر بگیرید: مجموع دو ریشه مربع مخرج کسری است، برای مثال، A / (√a + √b).
اکنون با وظیفه «رهایی از بی منطقی در مخرج» روبرو هستیم.
بیایید از روش زیر استفاده کنیم: صورت و مخرج کسر را در عبارت ضرب کنیم. √a - √b.

اکنون فرمول ضرب اختصاری را در مخرج دریافت می کنیم:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

به همین ترتیب، اگر مخرج شامل اختلاف ریشه ها باشد: √a - √b، صورت و مخرج کسر در عبارت ضرب می شود √a + √b.

بیایید کسری را به عنوان مثال در نظر بگیریم:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

نمونه ای از کاهش مخرج مخرج

اکنون یک مثال نسبتاً پیچیده از خلاص شدن از غیر منطقی در مخرج را در نظر خواهیم گرفت.

بیایید کسری را به عنوان مثال در نظر بگیریم: 12 / (√2 + √3 + √5) .
شما باید صورت و مخرج آن را بگیرید و در عبارت ضرب کنید √2 + √3 - √5 .

ما گرفتیم:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

مرحله 4. مقدار تقریبی ماشین حساب را محاسبه کنید

اگر فقط به یک مقدار تقریبی نیاز دارید، این کار را می توان در ماشین حساب با محاسبه مقدار ریشه های مربع انجام داد. به طور جداگانه برای هر عدد مقدار با دقت مورد نیاز محاسبه و ثبت می شود که با تعداد ارقام اعشار مشخص می شود. علاوه بر این، تمام عملیات مورد نیاز مانند اعداد معمولی انجام می شود.

مثال محاسبه تخمینی

محاسبه مقدار تقریبی این عبارت ضروری است √7 + √5 .

در نتیجه، دریافت می کنیم:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

لطفا توجه داشته باشید: تحت هیچ شرایطی نباید جذر را به عنوان اعداد اول اضافه کرد، این کاملا غیر قابل قبول است. یعنی اگر جذر پنج و سه را جمع کنید، نمی توانیم جذر هشت را بدست آوریم.

توصیه مفید: اگر تصمیم به فاکتورگیری یک عدد دارید، برای استخراج مربع از زیر علامت ریشه، باید یک بررسی معکوس انجام دهید، یعنی همه عواملی را که از محاسبات به دست آمده را ضرب کنید و نتیجه نهایی این محاسبه ریاضی باید عددی باشد که در ابتدا به ما داده شده است.

تئوری

جمع و تفریق ریشه ها در درس ریاضی مقدماتی بررسی می شود. فرض می کنیم که خواننده مفهوم مدرک را می داند.

تعریف 1

یک ریشه $n$ از یک عدد واقعی $a$ یک عدد واقعی $b$ است که توان $n$-امین آن برابر است با $a$: $b=\sqrt[n]a، b^n=a.$ در اینجا $a$ عبارت ریشه است، $n$ نشان دهنده ریشه، $b$ مقدار ریشه است. علامت ریشه رادیکال می نامند.

معکوس استخراج ریشه قدرت است.

عملیات اصلی با ریشه های حسابی:

شکل 1. عملیات اساسی با ریشه های حسابی. نویسنده24 - تبادل آنلاین مقالات دانشجویی

همانطور که می بینیم، در اقدامات ذکر شده هیچ فرمولی برای جمع و تفریق وجود ندارد. این اعمال با ریشه به صورت تبدیل انجام می شود. برای این تبدیل ها باید از فرمول های ضرب اختصاری استفاده شود:

$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$

$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a-b;$

$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt(a^2)-\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a+b;$

$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt(ab)+b);$

$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt(ab)+b).$

شایان ذکر است که عملیات جمع و تفریق در مثال هایی از عبارات غیر منطقی یافت می شود: $ab\sqrt(m-n); 1+\sqrt3.$

مثال ها

اجازه دهید با مثال مواردی را در نظر بگیریم که "تخریب" غیرعقلانی در مخرج قابل اعمال است. هنگامی که در نتیجه دگرگونی ها، هم در صورت و هم در مخرج یک عبارت غیرمنطقی به دست می آید، در این صورت باید غیرعقلانی بودن در مخرج را «از بین برد».

مثال 1

$\frac(1)(\sqrt7-\sqrt6)=\frac(\sqrt7+\sqrt6)((\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6))=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(7-6)=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)

در این مثال، صورت و مخرج کسری را در مزدوج مخرج ضرب کرده ایم. بنابراین، مخرج با فرمول اختلاف مربع ها تبدیل می شود.

استخراج جذر یک عدد تنها عملیاتی نیست که می توان با این پدیده ریاضی انجام داد. درست مانند اعداد معمولی، ریشه های مربع را می توان جمع و تفریق کرد.

قوانین جمع و تفریق ریشه های مربع

تعریف 1

اعمالی مانند جمع و تفریق یک جذر فقط در صورتی امکان پذیر است که عبارت ریشه یکسان باشد.

مثال 1

می توانید عبارات 2 3 را اضافه یا کم کنید و 6 3، اما نه 5 6 و 9 4 . اگر می توان عبارت را ساده کرد و آن را به ریشه هایی با همان عدد ریشه رساند، سپس ساده کرد و سپس جمع یا تفریق کرد.

Root Actions: The Basics

مثال 2

6 50 - 2 8 + 5 12

الگوریتم اقدام:

عبارت ریشه را ساده کنید. برای انجام این کار، باید عبارت ریشه را به 2 عامل تجزیه کرد که یکی از آنها یک عدد مربع است (عددی که کل ریشه مربع از آن استخراج می شود، مثلاً 25 یا 9).
سپس باید ریشه عدد مربع را بگیریدو مقدار حاصل را قبل از علامت ریشه بنویسید. لطفا توجه داشته باشید که فاکتور دوم در زیر علامت ریشه وارد می شود.
پس از فرآیند ساده سازی، لازم است که ریشه ها را با همان عبارات رادیکال خط بکشید - فقط آنها را می توان اضافه و کم کرد.
برای ریشه هایی با عبارات رادیکال یکسان، باید عواملی را که قبل از علامت ریشه هستند جمع یا کم کرد. عبارت ریشه بدون تغییر باقی می ماند. اعداد ریشه را اضافه یا کم نکنید!

نکته 1

اگر مثالی با تعداد زیادی عبارات رادیکال یکسان دارید، برای تسهیل فرآیند محاسبات زیر این عبارات با خطوط تک، دوتایی و سه گانه خط بکشید.

مثال 3

بیایید این مثال را امتحان کنیم:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . ابتدا باید 50 را به 2 عامل 25 و 2 تجزیه کنید سپس ریشه 25 را که 5 می شود بردارید و 5 را از زیر ریشه خارج کنید. پس از آن، باید 5 را در 6 ضرب کنید (ضرب در ریشه) و 30 2 بدست آورید.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . ابتدا باید 8 را به 2 عامل 4 و 2 تجزیه کنید سپس از 4 ریشه را که برابر با 2 است استخراج کنید و 2 را از زیر ریشه خارج کنید. پس از آن، باید 2 را در 2 (ضریب ریشه) ضرب کنید و 4 2 بدست آورید.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . ابتدا باید 12 را به 2 عامل تجزیه کنید: 4 و 3. سپس ریشه را از 4 که 2 است استخراج کنید و از زیر ریشه خارج کنید. پس از آن، باید 2 را در 5 (ضریب ریشه) ضرب کنید و 10 3 بدست آورید.

نتیجه ساده سازی: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

در نتیجه، دیدیم که در این مثال چند عبارت رادیکال یکسان وجود دارد. حالا بیایید با مثال های دیگر تمرین کنیم.

مثال 4

ساده کردن (45). ما 45 را فاکتور می کنیم: (45) = (9 × 5) ;
3 را از زیر ریشه خارج می کنیم (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
فاکتورها را در ریشه جمع می کنیم: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

مثال 5

6 40 - 3 10 + 5:

ساده سازی 6 40 . ما 40 را فاکتور می کنیم: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) .
2 را از زیر ریشه خارج می کنیم (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10؛
فاکتورهایی که جلوی ریشه هستند را ضرب می کنیم: 12 10;
ما عبارت را به شکل ساده شده می نویسیم: 12 10 - 3 10 + 5;
از آنجایی که دو عبارت اول دارای اعداد ریشه یکسانی هستند، می توانیم آنها را کم کنیم: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

مثال 6

همانطور که می بینیم نمی توان اعداد رادیکال را ساده کرد، بنابراین در مثال به دنبال اعضایی با اعداد رادیکال یکسان می گردیم، عملیات ریاضی (جمع، تفریق و ...) را انجام می دهیم و نتیجه را می نویسیم:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

نصیحت:

قبل از جمع یا تفریق، ساده کردن (در صورت امکان) عبارات رادیکال ضروری است.
افزودن و تفریق ریشه هایی با عبارات ریشه متفاوت اکیداً ممنوع است.
یک عدد صحیح یا جذر را اضافه یا کم نکنید: 3 + (2 x) 1/2 .
هنگام انجام اعمال با کسر، باید عددی را پیدا کنید که بر هر مخرج بخش پذیر باشد، سپس کسرها را به یک مخرج مشترک بیاورید، سپس اعداد را جمع کنید و مخرج ها را بدون تغییر رها کنید.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

سلام بچه گربه ها! آخرین بار ما با جزئیات تجزیه و تحلیل کردیم که ریشه چیست (اگر به خاطر ندارید، توصیه می کنم بخوانید). نتیجه اصلی آن درس: تنها یک تعریف جهانی از ریشه وجود دارد که باید آن را بدانید. بقیه چیزهای بیهوده و اتلاف وقت است.

امروز جلوتر می رویم. ما یاد خواهیم گرفت که ریشه ها را ضرب کنیم، برخی از مشکلات مرتبط با ضرب را مطالعه خواهیم کرد (اگر این مشکلات حل نشد، در امتحان می توانند کشنده شوند) و به درستی تمرین می کنیم. پس پاپ کورن تهیه کنید، خودتان را راحت کنید - و ما شروع می کنیم. :)

هنوز سیگار نکشیده ای؟

درس بسیار بزرگ بود، بنابراین آن را به دو بخش تقسیم کردم:

ابتدا قوانین ضرب را بررسی می کنیم. به نظر می رسد که کلاه اشاره می کند: این زمانی است که دو ریشه وجود دارد، علامت "ضرب" بین آنها وجود دارد - و ما می خواهیم کاری با آن انجام دهیم.
سپس وضعیت معکوس را تحلیل خواهیم کرد: یک ریشه بزرگ وجود دارد و ما بی تاب بودیم که آن را به عنوان محصول دو ریشه به روشی ساده تر ارائه دهیم. با چه ترسی لازم است یک سؤال جداگانه است. ما فقط الگوریتم را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

برای کسانی که نمی توانند منتظر بمانند تا مستقیماً وارد قسمت 2 شوند، خوش آمدید. بیایید با بقیه به ترتیب شروع کنیم.

قانون ضرب اصلی

بیایید با ساده ترین - ریشه های مربع کلاسیک شروع کنیم. آنهایی که با $\sqrt(a)$ و $\sqrt(b)$ نشان داده می شوند. برای آنها، همه چیز به طور کلی روشن است:

قانون ضرب برای ضرب یک جذر در دیگری، فقط باید عبارات رادیکال آنها را ضرب کنید و نتیجه را زیر رادیکال مشترک بنویسید:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

هیچ محدودیت اضافی برای اعداد سمت راست یا چپ اعمال نمی شود: اگر ریشه های ضرب وجود داشته باشد، محصول نیز وجود دارد.

مثال ها. چهار مثال را با اعداد به طور همزمان در نظر بگیرید:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \پایان (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید معنای اصلی این قانون ساده سازی عبارات غیر منطقی است. و اگر در مثال اول ریشه‌های 25 و 4 را بدون هیچ قانون جدیدی استخراج می‌کردیم، tin شروع می‌شود: $\sqrt(32)$ و $\sqrt(2)$ به خودی خود حساب نمی‌شوند، اما حاصل ضرب آنها یک مربع دقیق است، بنابراین ریشه آن برابر با یک عدد گویا است.

به طور جداگانه، من می خواهم به آخرین خط توجه کنم. در آنجا، هر دو عبارت رادیکال کسری هستند. به لطف محصول، بسیاری از عوامل باطل می شوند و کل عبارت به یک عدد مناسب تبدیل می شود.

البته همیشه همه چیز به این زیبایی نخواهد بود. گاهی اوقات در زیر ریشه ها تلخی کامل وجود دارد - مشخص نیست که با آن چه باید کرد و چگونه پس از ضرب تغییر شکل داد. کمی بعد، وقتی شروع به مطالعه معادلات و نابرابری های غیرمنطقی می کنید، به طور کلی انواع متغیرها و توابع وجود خواهد داشت. و اغلب، کامپایلرهای مشکلات فقط روی این واقعیت حساب می کنند که شما برخی از شرایط یا عوامل قراردادی را پیدا خواهید کرد، پس از آن کار تا حد زیادی ساده می شود.

علاوه بر این، لازم نیست دقیقاً دو ریشه را ضرب کنید. شما می توانید سه را در یک بار ضرب کنید، چهار - بله حتی ده! این قانون را تغییر نخواهد داد. نگاهی بیاندازید:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1)(1000))=\sqrt(1)(1)(1)=fra. \\ \پایان (تراز کردن)\]

و باز هم یک نکته کوچک در مورد مثال دوم. همانطور که می بینید، در ضریب سوم، یک کسری اعشاری در زیر ریشه وجود دارد - در فرآیند محاسبات، آن را با یک معمولی جایگزین می کنیم، پس از آن همه چیز به راحتی کاهش می یابد. بنابراین: من به شدت توصیه می کنم از شر کسرهای اعشاری در هر عبارت غیر منطقی (یعنی حداقل یک نماد رادیکال) خلاص شوید. این کار باعث صرفه جویی در زمان و اعصاب شما در آینده می شود.

اما این یک انحراف غزلی بود. حال بیایید یک مورد کلی تر را در نظر بگیریم - زمانی که توان ریشه حاوی یک عدد دلخواه $n$ باشد و نه فقط دو "کلاسیک".

مورد یک شاخص دلخواه

بنابراین، ما ریشه های مربع را فهمیدیم. و با مکعب ها چه کنیم؟ یا به طور کلی با ریشه های درجه دلخواه $n$؟ بله، همه چیز یکسان است. قاعده ثابت می ماند:

برای ضرب دو ریشه درجه $n$ کافی است عبارات رادیکال آنها را ضرب کنیم و بعد از آن نتیجه زیر یک رادیکال نوشته می شود.

به طور کلی، هیچ چیز پیچیده نیست. مگر اینکه حجم محاسبات بیشتر شود. بیایید به چند مثال نگاه کنیم:

مثال ها. محاسبه محصولات:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)=5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625)\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt(\frac(64)(((25)^(2) (25) ^(2) fra =\c (3))) (((25)^(3))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \راست))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \پایان (تراز کردن)\]

و باز هم به عبارت دوم توجه کنید. ما ریشه های مکعب را ضرب می کنیم، از کسر اعشاری خلاص می شویم و در نتیجه حاصلضرب اعداد 625 و 25 را در مخرج می گیریم. این عدد نسبتاً بزرگی است - شخصاً من بلافاصله محاسبه نمی کنم که برابر است.

بنابراین، ما به سادگی مکعب دقیق را در صورت و مخرج انتخاب کردیم و سپس از یکی از ویژگی های کلیدی (یا اگر دوست داشتید، تعریف) ریشه درجه $n$th استفاده کردیم:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\راست|. \\ \پایان (تراز کردن)\]

چنین «کلاهبرداری‌هایی» می‌تواند زمان زیادی را در امتحان یا آزمون صرفه‌جویی کند، بنابراین به یاد داشته باشید:

برای ضرب اعداد در عبارت رادیکال عجله نکنید. ابتدا بررسی کنید: اگر درجه دقیق هر عبارتی در آنجا "رمگذاری" شده باشد، چه؟

با تمام بدیهیات این تذکر، باید اعتراف کنم که اکثر دانش‌آموزان ناآماده درجات دقیق را نمی‌بینند. در عوض، آنها همه چیز پیش رو را ضرب می کنند، و سپس تعجب می کنند: چرا آنها به این اعداد وحشیانه دست یافته اند؟ :)

با این حال، همه اینها در مقایسه با آنچه که اکنون مطالعه خواهیم کرد، بازی کودکانه است.

ضرب ریشه ها با توان های مختلف

خوب، حالا می‌توانیم ریشه‌ها را با توان‌های یکسان ضرب کنیم. اگر نمرات متفاوت باشد چه؟ بگویید، چگونه می توان یک $\sqrt(2)$ معمولی را در مقداری مزخرف مانند $\sqrt(23)$ ضرب کرد؟ آیا حتی امکان انجام این کار وجود دارد؟

بله، البته که شما می توانید. همه چیز طبق این فرمول انجام می شود:

قانون ضرب ریشه برای ضرب $\sqrt[n](a)$ در $\sqrt[p](b)$، فقط تبدیل زیر را انجام دهید:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

با این حال، این فرمول تنها در صورتی کار می کند که عبارات رادیکال غیر منفی هستند. این نکته بسیار مهمی است که کمی بعد به آن خواهیم پرداخت.

در حال حاضر، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81\cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)=\sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)=\sqrt(5625). \\ \پایان (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای نیست. حالا بیایید بفهمیم شرط غیر منفی از کجا آمده است و اگر آن را نقض کنیم چه اتفاقی می افتد. :)

تکثیر ریشه ها آسان است.

چرا عبارات رادیکال باید غیر منفی باشند؟

البته می توانید مانند معلمان مدرسه شوید و با نگاهی هوشمندانه از کتاب درسی نقل قول کنید:

لازمه عدم منفی بودن با تعاریف مختلفی از ریشه های درجات زوج و فرد همراه است (به ترتیب حوزه های تعریف آنها نیز متفاوت است).

خب واضح تر شد؟ من شخصاً وقتی این مزخرفات را در کلاس هشتم خواندم ، چیزی شبیه به این را برای خودم فهمیدم: "ضرورت عدم منفی با *#&^@(*#@^#)~% مرتبط است" - خلاصه من آن زمان چیزهای مزخرفی را نمی فهمیدم. :)

بنابراین اکنون همه چیز را به صورت عادی توضیح خواهم داد.

ابتدا بیایید دریابیم که فرمول ضرب بالا از کجا آمده است. برای انجام این کار، اجازه دهید یک ویژگی مهم ریشه را به شما یادآوری کنم:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

به عبارت دیگر، می‌توانیم با خیال راحت عبارت ریشه را به هر توان طبیعی $k$ برسانیم - در این حالت، شاخص ریشه باید در همان توان ضرب شود. بنابراین، به راحتی می توانیم هر ریشه را به یک شاخص مشترک کاهش دهیم، پس از آن ضرب می کنیم. فرمول ضرب از اینجا می آید:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

اما یک مشکل وجود دارد که کاربرد همه این فرمول ها را به شدت محدود می کند. این عدد را در نظر بگیرید:

طبق فرمولی که داده شد، می توانیم هر مدرکی را اضافه کنیم. بیایید سعی کنیم $k=2$ را اضافه کنیم:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

منهای را دقیقاً حذف کردیم زیرا مربع منهای را می سوزاند (مانند هر درجه زوج دیگری). و اکنون اجازه دهید تبدیل معکوس را انجام دهیم: این دو را در توان و درجه "کاهش" کنیم. از این گذشته، هر برابری را می توان هم از چپ به راست و هم از راست به چپ خواند:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\arrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(5). \\ \پایان (تراز کردن)\]

اما بعد یک اتفاق دیوانه کننده می افتد:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

این نمی تواند به این دلیل باشد که $\sqrt(-5) \lt 0$ و $\sqrt(5) \gt 0$. این بدان معناست که برای توان های زوج و اعداد منفی، فرمول ما دیگر کار نمی کند. پس از آن دو گزینه داریم:

مبارزه با دیوار برای بیان اینکه ریاضیات یک علم احمقانه است، جایی که "قوانینی وجود دارد، اما این نادرست است".
محدودیت های اضافی را معرفی کنید که تحت آن فرمول 100٪ کار می کند.

در گزینه اول، ما باید دائماً موارد "غیر کاری" را بگیریم - این دشوار، طولانی و به طور کلی فو. بنابراین، ریاضیدانان گزینه دوم را ترجیح دادند. :)

اما نگران نباشید! در عمل، این محدودیت به هیچ وجه بر محاسبات تأثیر نمی گذارد، زیرا تمام مشکلات توصیف شده فقط به ریشه های یک درجه فرد مربوط می شود و می توان موارد منفی را از آنها خارج کرد.

بنابراین، ما قانون دیگری را فرموله می کنیم که به طور کلی برای همه اقدامات با ریشه اعمال می شود:

قبل از ضرب ریشه ها، از غیر منفی بودن عبارات رادیکال مطمئن شوید.

مثال. در عدد $\sqrt(-5)$، می توانید منهای را از زیر علامت ریشه خارج کنید - سپس همه چیز خوب خواهد بود:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\night arrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))=-\sqrt(25)=-\sqrt((((5)^)(2)))=-\sqrt(-\s)=-\sqrt

تفاوت را احساس کنید؟ اگر یک منهای زیر ریشه بگذارید، وقتی عبارت رادیکال مربع شد، ناپدید می‌شود و مزخرف شروع می‌شود. و اگر ابتدا منهای را بیرون بیاورید، حتی می توانید یک مربع را بلند یا بردارید تا زمانی که در صورت آبی شوید - عدد منفی باقی می ماند. :)

بنابراین، صحیح ترین و مطمئن ترین راه برای ضرب ریشه ها به شرح زیر است:

تمام منفی ها را از زیر رادیکال ها حذف کنید. منفی ها فقط در ریشه های تعدد فرد هستند - می توان آنها را در جلوی ریشه قرار داد و در صورت لزوم آنها را کاهش داد (مثلاً اگر دو مورد از این موارد منفی وجود داشته باشد).
ضرب را طبق قوانینی که در درس امروز در بالا توضیح داده شد، انجام دهید. اگر شاخص های ریشه ها یکسان است، به سادگی عبارات ریشه را ضرب کنید. و اگر متفاوت باشند، از فرمول شیطانی \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))) استفاده می کنیم.
3. ما از نتیجه و نمرات خوب لذت می بریم. :)

خوب؟ تمرین کنیم؟

مثال 1. عبارت را ساده کنید:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3)) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(4)(3) = c(4) (3))=-\sqrt(64)=-4; \پایان (تراز کردن)\]

این ساده ترین گزینه است: شاخص های ریشه ها یکسان و عجیب هستند، مشکل فقط در منهای ضریب دوم است. ما این منهای نافیگ را تحمل می کنیم که پس از آن همه چیز به راحتی در نظر گرفته می شود.

مثال 2. عبارت را ساده کنید:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt((((2)^(2)))=\sqrt(((\left(((2)^(5)) \راست))^(3)(2)(2)((2))\c\cdo )= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end(تراز کردن)\]

در اینجا، بسیاری از این واقعیت که خروجی یک عدد غیر منطقی است، گیج می شوند. بله، این اتفاق می افتد: ما نتوانستیم به طور کامل از ریشه خلاص شویم، اما حداقل بیان را به طور قابل توجهی ساده کردیم.

مثال 3. عبارت را ساده کنید:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((a)^(4)) \راست))^(6)))=\sqrt((((a)^(4)((a)^(3) a)^(27)))=\sq rt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(تراز)\]

این همان چیزی است که می خواهم توجه شما را به آن جلب کنم. در اینجا دو نکته وجود دارد:

زیر ریشه یک عدد یا درجه خاص نیست، بلکه متغیر $a$ است. در نگاه اول، این کمی غیر معمول است، اما در واقعیت، هنگام حل مسائل ریاضی، اغلب باید با متغیرها سر و کار داشته باشید.
در پایان، ما موفق شدیم نما و درجه ریشه در بیان رادیکال را "کاهش" دهیم. این اغلب اتفاق می افتد. و این بدان معنی است که در صورت استفاده نکردن از فرمول اصلی، محاسبات به طور قابل توجهی ساده می شود.

به عنوان مثال، می توانید این کار را انجام دهید:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^(4)) \راست))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(a)\cdot \sqrt(a)\cdot \sqrt(a) )^(8))=\sq rt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \\ \end(تراز کردن)\]

در واقع، تمام تحولات فقط با رادیکال دوم انجام شد. و اگر تمام مراحل میانی را با جزئیات نقاشی نکنید، در پایان میزان محاسبات به میزان قابل توجهی کاهش می یابد.

در واقع، ما قبلاً هنگام حل مثال $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ با یک کار مشابه در بالا روبرو شده ایم. حالا خیلی راحت تر میشه نوشت:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(((\left(((((5)^(2))\cdot 3 \sqrt(3))^(2)(2))(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2))= \\ =\sqrt(75). \پایان (تراز کردن)\]

خوب، ما ضرب ریشه ها را فهمیدیم. حال عمل معکوس را در نظر بگیرید: وقتی اثری در زیر ریشه وجود دارد چه باید کرد؟