بزرگترین مقسوم علیه مشترک. اعداد همزمان اول

اعداد اول و مرکب

تعریف 1. مقسوم علیه مشترک چند عدد طبیعی عددی است که مقسوم علیه هر یک از این اعداد باشد.

تعریف 2. بزرگترین مقسوم علیه مشترک نامیده می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترک (gcd).

مثال 1. مقسوم علیه مشترک اعداد 30، 45 و 60، اعداد 3، 5، 15 خواهند بود. بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد خواهد بود

gcd(30، 45، 10) = 15.

تعریف 3. اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک چند عدد 1 باشد، این اعداد نامیده می شوند coprime.

مثال 2. اعداد 40 و 3 هم اول خواهند بود اما اعداد 56 و 21 هم اول نیستند زیرا اعداد 56 و 21 مقسوم علیه مشترک 7 دارند که بزرگتر از 1 است.

تذکر . اگر صورت کسری و مخرج کسری اعداد نسبتاً اول باشند، چنین کسری تقلیل ناپذیر است.

الگوریتم یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک

در نظر گرفتن الگوریتمی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترکچندین عدد در مثال زیر

مثال 3. بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 100، 750 و 800 را پیدا کنید.

راه حل . بیایید این اعداد را به عوامل اول تجزیه کنیم:

ضریب اول 2 در فاکتورسازی اول به توان 2، در فاکتورگیری دوم به توان 1 و فاکتورسازی سوم به توان 5 گنجانده شده است. مشخص کن کمترین از این درجات با حرف الف. بدیهی است که آ = 1 .

ضریب اول 3 وارد فاکتورگیری اول به توان 0 می شود (به عبارت دیگر ضریب 3 اصلاً وارد فاکتورگیری اول نمی شود) فاکتورسازی دوم به توان 1 و فاکتورسازی سوم به توان 0 وارد می شود. مشخص کن کمترین از این درجات با حرف b. بدیهی است که ب = 0 .

ضریب اول 5 به فاکتورگیری اول به توان 2، فاکتورسازی دوم به توان 3 و فاکتورسازی سوم به توان 2 وارد می شود. مشخص کن کمترین از این درجات با حرف ج. بدیهی است که ج = 2 .

بخش ها: ریاضیات، مسابقه "ارائه برای درس"

کلاس: 6

ارائه برای درس

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلاید فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است گستره کامل ارائه را نشان ندهد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

این اثر برای همراهی با توضیح یک موضوع جدید در نظر گرفته شده است. معلم به صلاحدید خود تکالیف عملی و مشق شب را انتخاب می کند.

تجهیزات:کامپیوتر، پروژکتور، صفحه نمایش

پیشرفت توضیح

اسلاید 1. بزرگترین مقسوم علیه مشترک.

کار شفاهی

1. محاسبه کنید:

آ) 0,7 * 10 : 2 - 0,3 : 0,4 _________ ?

ب) 5 : 10 * 0,2 + 2 : 0,7 _______ ?

پاسخ ها: الف) 8; ب) 3.

2. این جمله را رد کنید: عدد "2" مقسوم علیه مشترک همه اعداد است."

بدیهی است که اعداد فرد بر 2 بخش پذیر نیستند.

3- به اعدادی که مضرب 2 هستند چه نامیده می شوند؟

4- عددی را که مقسوم علیه هر عددی است نام ببرید.

در نوشتار.

1. عدد 2376 را به فاکتورهای اول تبدیل کنید.

2. همه مقسوم علیه های 18 و 60 را پیدا کنید.

مقسوم‌کننده‌های عدد 18: 1؛ 2 3; 6; 9; 18.

مقسوم علیه 60: 1; 2 3; 4 5 6; 10; 12; 15; 20; سی 60.

بزرگترین مقسوم علیه 18 و 60 چیست؟

سعی کنید فرمول بندی کنید که چه عددی را بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد طبیعی می نامند

قانون. بزرگترین عدد طبیعی را که می توان بدون باقیمانده تقسیم کرد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک نامیده می شود.

آنها می نویسند: GCD (18؛ 60) = 6.

لطفاً به من بگویید، آیا روش در نظر گرفته شده برای یافتن GCD راحت است؟

اعداد ممکن است خیلی بزرگ باشند و فهرست کردن همه مقسوم‌کننده‌ها برایشان مشکل باشد.

بیایید سعی کنیم راه دیگری برای یافتن GCD پیدا کنیم.

بیایید اعداد 18 و 60 را به عوامل اول تجزیه کنیم:

18 =

از مقسوم علیه های عدد 18 مثال بزنید.

اعداد: 1; 2 3; 6; 9; 18.

از مقسوم علیه های عدد 60 مثال بزنید.

اعداد: 1; 2 3; 4 5 6; 10; 12; 15; 20; سی 60.

از مقسوم علیه های 18 و 60 مثال بزنید.

اعداد: 1; 2 3; 6.

چگونه می توان بزرگترین مقسوم علیه 18 و 60 را پیدا کرد؟

الگوریتم.

1. این اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید.

یاد آوردن!

اگر یک عدد طبیعی فقط بر 1 و خودش بخش پذیر باشد، آن را اول می گویند.

هر عدد طبیعی همیشه بر 1 و خودش بخش پذیر است.

عدد 2 کوچکترین عدد اول است. این تنها عدد اول زوج است، بقیه اعداد اول فرد هستند.

اعداد اول زیادی وجود دارد و اولین عدد در میان آنها عدد 2 است. با این حال، آخرین عدد اول وجود ندارد. در قسمت "برای مطالعه" می توانید جدول اعداد اول تا 997 را دانلود کنید.

اما بسیاری از اعداد طبیعی به طور مساوی بر سایر اعداد طبیعی بخش پذیرند.

مثلا:

• عدد 12 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12 بخش پذیر است.
• 36 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12، بر 18، بر 36 بخش پذیر است.

اعدادی که عدد بر آنها به طور مساوی بخش پذیر است (برای 12 اینها 1، 2، 3، 4، 6 و 12 هستند) مقسوم علیه اعداد نامیده می شوند.

یاد آوردن!

مقسوم علیه یک عدد طبیعی a عددی طبیعی است که عدد داده شده "a" را بدون باقیمانده تقسیم می کند.

عدد طبیعی که بیش از دو عامل داشته باشد، عدد مرکب نامیده می شود.

توجه داشته باشید که اعداد 12 و 36 مقسوم علیه مشترک دارند. اینها اعداد هستند: 1، 2، 3، 4، 6، 12. بزرگترین مقسوم علیه این اعداد 12 است.

مقسوم علیه مشترک دو عدد داده شده "الف" و "ب" عددی است که هر دو عدد "الف" و "ب" بدون باقیمانده بر آن تقسیم می شوند.

یاد آوردن!

بزرگترین مقسوم علیه مشترک(GCD) از دو عدد داده شده "a" و "b" - این بزرگترین عددی است که هر دو اعداد "a" و "b" بدون باقی مانده بر آن تقسیم می شوند.

به طور خلاصه بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد «الف» و «ب» به صورت زیر نوشته می شود:

gcd (الف؛ ب) .

مثال: gcd (12; 36) = 12.

مقسوم علیه اعداد در رکورد حل با حرف بزرگ "D" نشان داده می شود.

D(7) = (1، 7)

D(9) = (1، 9)

gcd (7؛ 9) = 1

اعداد 7 و 9 فقط یک مقسوم علیه مشترک دارند - عدد 1. چنین اعدادی نامیده می شوند اعداد همزمان اول.

یاد آوردن!

اعداد همزمان اولاعداد طبیعی هستند که فقط یک مقسوم علیه مشترک دارند - عدد 1. GCD آنها 1 است.

چگونه بزرگترین مقسوم علیه مشترک را پیدا کنیم

برای پیدا کردن gcd دو یا چند عدد طبیعی به موارد زیر نیاز دارید:

1. تقسیم کننده های اعداد را به ضرایب اول تجزیه کنید.

محاسبات به راحتی با استفاده از یک نوار عمودی نوشته می شوند. در سمت چپ خط، ابتدا سود سهام را یادداشت کنید، در سمت راست - تقسیم کننده. در ادامه در ستون سمت چپ مقادیر private را یادداشت می کنیم.

بیایید بلافاصله با یک مثال توضیح دهیم. بیایید اعداد 28 و 64 را به فاکتورهای اول فاکتور کنیم.

1. زیر عوامل اول یکسان در هر دو عدد خط بکشید.
   28 = 2 2 7

   64 = 2 2 2 2 2 2

2. حاصل ضرب عوامل اول یکسان را پیدا کرده و پاسخ را یادداشت می کنیم.
   GCD (28؛ 64) = 2 2 = 4

   پاسخ: GCD (28؛ 64) = 4

شما می توانید مکان GCD را به دو روش ترتیب دهید: در یک ستون (همانطور که در بالا انجام شد) یا "در یک خط".

منطقه شهری تولیاتی

"بزرگترین مقسوم علیه مشترک. اعداد همزمان اول

معلم کوستینا T.K.

g. o. تولیاتی

ارائه با موضوع: "بزرگترین تقسیم کننده مشترک.

اعداد همزمان"

آمادگی اولیه برای درس:دانش آموزان باید موضوعات زیر را بدانند: "قسمت کننده ها و مضرب ها"، "علائم بخش پذیری بر 10، 5، 2، 3، 9"، "اعداد اول و مرکب"، "تجزیه به عوامل اول"

اهداف درس:

1. 
   آموزشی: برای مطالعه مفاهیم GCD و اعداد نسبتا اول. به دانش آموزان بیاموزید اعداد GCD را پیدا کنند. ایجاد شرایط برای توسعه توانایی خلاصه کردن مطالب مورد مطالعه، تجزیه و تحلیل، مقایسه و نتیجه گیری.
2. 
   آموزشی: شکل گیری مهارت های خودکنترلی. پرورش احساس مسئولیت
3. 
   توسعه: رشد حافظه، تخیل، تفکر، توجه، نبوغ.

در طول کلاس ها

صورتجلسه کارهای منطقی کار شفاهی.

1. پدربزرگ ها و مادربزرگ ها تعداد فرد زردآلو از باغ برای دو نوه خود آورده اند. آیا این زردآلوها را می توان به طور مساوی بین نوه ها تقسیم کرد؟ [می توان]

2. از یک روستا به روستای دیگر 3 کیلومتر. دو نفر با همان سرعت از این روستاها به سمت یکدیگر بیرون آمدند. جلسه بعد از نیم ساعت انجام شد. سرعت هر کدام را بیابید.

3. گردشگر 2/5 کل راه را پشت سر گذاشته است. بعد از آن باید 4 کیلومتر بیشتر از او می رفت. تمام راه را پیدا کنید.

4-تعداد تخم مرغ ها در سبد کمتر از 40 عدد باشد اگر جفت بشمارند 1 عدد باقی می ماند. اگر آنها را سه قلو بشمارید، باز هم هر کدام یک تخم وجود دارد. چند تخم مرغ در سبد وجود دارد؟ (31)

2. تکرار.

با توجه به جدول، تعریف مقسوم علیه، مضرب، علائم بخش پذیری، تعریف اعداد اول و مرکب را تکرار می کنیم. بر روی صفحه نمایش اسلایدهایی که حیوانات را به تصویر می کشند، نقشه ای از منطقه سامارا، عکس هایی از یک VAZ وجود دارد.

3. یادگیری مطالب جدید در قالب گفتگو.

• 
  مقسوم علیه های اعداد 18، 21، 24 کدامند.
• 
  مساحت VAZ 500 هکتار است. این عدد به چه عوامل اولی قابل تجزیه است؟ 500=2*5*2*5*5=2 2 *5 3
• 
  مقسوم علیه مشترک اعداد 120 و 80 کدامند؟
• 
  وزن خرس 525 کیلوگرم است. جرم یک فیل 5025 کیلوگرم است. چند مقسوم علیه مشترک را نام ببرید
• 
  وزن بیش از حد 24 کیلوگرم و طول آن 97 سانتی متر است کدام اعداد ساده یا پیچیده هستند؟ مقسوم علیه های مشترک آنها را نام ببرید.
• 
  56640 تن اکسیژن توسط 1 هواپیمای مسافربری برای 9 ساعت کارکرد مصرف می شود. این مقدار اکسیژن طی فتوسنتز 35000 هکتار از جنگل آزاد می شود. چند مقسوم علیه این عدد را نام ببرید.
• 
  کدام یک از این اعداد اول و کدام مرکب هستند؟ 111، 313، 323، 437، 549، 677، 781، 891؟

• 
  کدام عدد بر همه اعداد بدون باقی مانده بخش پذیر است؟
• 
  مقسوم علیه هر عدد طبیعی چیست؟
• 
  آیا عبارت 34*28+85*20 بر 17 بخش پذیر است؟
• 
  آیا عبارت 4132*7008 بر 3 بخش پذیر است؟
• 
  ضریب (3*5*2*7*13)/(5*2*13)= چقدر است؟
• 
  حاصل ضرب (2*5*5*5*3)*(2*2*2*2*3) چیست؟
• 
  چند عدد اول را نام ببرید.

هر چه از سری طبیعی اعداد جلوتر می رویم، یافتن اعداد اول دشوارتر می شود. تصور کنید که ما در حال پرواز در هواپیمایی هستیم که در امتداد یک خط طبیعی پرواز می کند. اطراف تاریک است و فقط اعداد اول با چراغ مشخص می شوند. در ابتدای سفر چراغ های زیادی وجود دارد و سپس کمتر و کمتر می شود.

اقلیدس دانشمند یونانی باستان 2300 سال پیش ثابت کرد که بی نهایت اعداد اول وجود دارد و بزرگترین عدد اول وجود ندارد.

مسئله اعداد اول توسط بسیاری از ریاضیدانان از جمله دانشمند یونان باستان اراتوستن مورد مطالعه قرار گرفت. روش او برای یافتن اعداد اول غربال اراتوستن نام داشت.

گلدباخ و اویلر که در قرن هجدهم زندگی می کردند و از اعضای آکادمی علوم سن پترزبورگ بودند، با مشکل اعداد اول سر و کار داشتند. آنها فرض کردند که هر عدد طبیعی را می توان به عنوان مجموع اعداد اول نشان داد، اما این ثابت نشده است. در سال 1937، وینوگرادوف، آکادمیک شوروی، این گزاره را اثبات کرد.

• 
  یک فیل هندی 65 سال، یک تمساح 51 سال، یک شتر 23 سال و یک اسب 19 سال زندگی کرد. کدام یک از این اعداد اول و مرکب هستند؟
• 
  گرگ در حال تعقیب خرگوش است، او باید از لابیرنت عبور کند. اگر پاسخ یک عدد اول باشد [پیچ و خم هایی به شکل دایره، که روی آن سه مثال وجود دارد و در مرکز آن یک خانه وجود دارد] می توانید پاس کنید.

1. 
   1000-2; 250*2+9; 310/5
2. 
   24/4, 2 2 +41, 23+140
3. 
   10-3; 133+12; 28*5

به وظیفه در رکورد هیئت مدیره:

مقسم 48: 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 16، 48

مقسم 36: 1، 2، 3، 4، 6، 12، 18، 36

GCD (48؛ 36) \u003d 12  12 هدیه  تعیین GCD مقسوم علیه  قانون برای یافتن GCD

و چگونه می توان GCD اعداد بزرگ را پیدا کرد، زمانی که فهرست کردن همه مقسوم علیه ها دشوار است. طبق جدول و کتاب درسی قاعده را استخراج می کنیم. ما کلمات اصلی را برجسته می کنیم: تجزیه، ترکیب، ضرب.

من نمونه هایی از یافتن GCD از اعداد بزرگ را نشان می دهم، در اینجا می توان گفت که GCD اعداد بزرگ را می توان با استفاده از الگوریتم اقلیدسی پیدا کرد. با این الگوریتم در کلاس درس مدرسه ریاضی به تفصیل آشنا می شویم.

الگوریتم قاعده ای است که بر اساس آن اقدامات انجام می شود. در قرن نهم چنین قوانینی توسط ریاضیدان عرب الخوارومی ارائه شد.

4. در گروه های 4 نفره کار کنید.

هر کس یکی از 4 گزینه برای کارها را دریافت می کند که موارد زیر نشان داده شده است:

1. 
   دانش آموز باید تئوری را از روی کتاب درسی مطالعه کند و به یک سوال پاسخ دهد
2. 
   نمونه ای از یافتن GCD را مطالعه کنید
3. 
   وظایف را برای کار مستقل کامل کنید.

در پایان کار یک کار مستقل کوچک انجام می شود.

کارت های CSR

انتخاب 1

1- چه عددی را اول می گویند؟ عدد مرکب چیست؟

2. GCD را پیدا کنید (96; 36)

برای یافتن GCD اعداد، باید اعداد داده شده را به فاکتورهای اول تجزیه کنید.

96=2 5 *3

بسط عددی که GCD اعداد 96 و 36 است شامل عوامل اول مشترک با کوچکترین توان خواهد بود:

GCD (96;36)=2 2 *3=4*3=12

3. خودتان تصمیم بگیرید. GCD (102; 84)، GCD (75; 28)، GCD (120; 144)

گزینه 2

1-تجزیه یک عدد طبیعی به عوامل اول به چه معناست؟ مقسوم علیه مشترک این اعداد چیست؟

2. نمونه GCD (54; 72)=18

3. خود را حل کنید GCD(144; 128)، GCD (81; 64)، GCD (360; 840)

گزینه 3

1- چه اعدادی را نسبتا اول می نامند؟ مثال زدن.

2. نمونه GCD (72; 96) =24

3. خود را حل کنید GCD(102; 170)، GCD (45; 64)، GCD (864; 192)

گزینه 4

1. چگونه یک مقسوم علیه مشترک اعداد پیدا کنیم؟

2. نمونه GCD (360; 432)

3. خود را حل کنید GCD (135؛ 105)، GCD (128؛ 75)، GCD (360؛ 8400)

کار مستقل

حل مسائل از کتاب مسئله Vilenkin، Zhokhov، Chesnokov، Schwarzburd برای کلاس 6 در ریاضیات با موضوع:

146 تمام مقسوم علیه های مشترک اعداد 18 و 60 را بیابید. 72، 96 و 120; 35 و 88.
راه حل

147 اگر a = 2 2 3 3 و b = 2 3 3 5، فاکتورسازی اول بزرگترین مقسوم علیه مشترک a و b را بیابید. a = 5 5 7 7 7 و b = 3 5 7 7.
راه حل

148 بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 12 و 18 را بیابید. 50 و 175; 675 و 825; 7920 و 594; 324، 111 و 432; 320، 640 و 960.
راه حل

149 آیا اعداد 35 و 40 همزمان هستند. 77 و 20; 10، 30، 41; 231 و 280؟
راه حل

150 آیا اعداد 35 و 40 همزمان هستند. 77 و 20; 10، 30، 41; 231 و 280؟
راه حل

151 همه کسرهای مناسب با مخرج 12 را بنویسید که صورت و مخرج آنها اعداد نسبتاً اول هستند.
راه حل

152 بچه ها همان هدایا را روی درخت سال نو دریافت کردند. همه هدایا با هم شامل 123 پرتقال و 82 سیب بود. چند کودک در درخت کریسمس حضور داشتند؟ در هر هدیه چند پرتقال و چند سیب وجود داشت؟
راه حل

153 برای یک سفر خارج از شهر، چندین اتوبوس با همین تعداد صندلی به کارکنان کارخانه اختصاص داده شد. 424 نفر به جنگل رفتند و 477 نفر به دریاچه رفتند. تمام صندلی های اتوبوس ها اشغال شده بود و حتی یک نفر هم بدون صندلی نمانده بود. چند اتوبوس اختصاص داده شد و هر کدام چند مسافر داشتند؟
راه حل

154 به صورت شفاهی در یک ستون محاسبه کنید
راه حل

155 از شکل 7 برای تعیین اینکه آیا اعداد a، b و c اول هستند یا خیر استفاده کنید.
راه حل

156 آیا مکعبی وجود دارد که لبه آن با یک عدد طبیعی و مجموع طول تمام یال ها با عدد اول بیان شود؟ سطح به صورت عدد اول بیان می شود؟
راه حل

157 اعداد 875 را فاکتورسازی کنید. 2376; 5625; 2025; 3969; 13125.
راه حل

158 چرا، اگر یک عدد را بتوان به دو عامل اول و دومی را به سه تقسیم کرد، این اعداد برابر نیستند؟
راه حل

159 آیا می توان چهار عدد اول متمایز را به گونه ای یافت که حاصل ضرب دو عدد از آنها با حاصلضرب دو عدد دیگر برابر باشد؟
راه حل

160 از چند طریق می توان 9 مسافر را در یک مینی بوس نه نفره جا داد؟ اگر یکی از آنها که مسیر را خوب بلد است کنار راننده بنشیند از چند طریق می توانند خودشان را جا بدهند؟
راه حل

161 مقادیر عبارات را بیابید (3 8 5-11):(8 11); (2 2 3 5 7): (2 3 7); (2 3 7 1 3): (3 7); (3 5 11 17 23): (3 11 17).
راه حل

162 مقایسه 3/7 و 5/7; 11/13 و 8/13; 1 2/3 و 5/3; 2 2/7 و 3 1/5.
راه حل

163 از نقاله برای ترسیم AOB=35° و DEF=140° استفاده کنید.
راه حل

164 1) پرتو OM زاویه توسعه یافته AOB را به دو قسمت تقسیم کرد: AOM و MOB. زاویه AOM 3 برابر MOB است. زوایای AOM و BOM چیست؟ آنها را بسازید. 2) Beam OK COD زاویه توسعه یافته را به دو تقسیم کرد: SOK و KOD. زاویه SOC 4 برابر کمتر از KOD است. زوایای COK و KOD کدامند؟ آنها را بسازید.
راه حل

165 1) کارگران جاده ای به طول 820 متر را در سه روز تعمیر کردند. روز سه شنبه 2/5 این جاده و روز چهارشنبه 2/3 بقیه جاده را تعمیر کردند. کارگران روز پنجشنبه چند متر از جاده را تعمیر کردند؟ 2) مزرعه شامل گاو، گوسفند و بز، در مجموع 3400 حیوان است. گوسفند و بز با هم 9/17 کل حیوانات را تشکیل می دهند و بزها 2/9 از کل گوسفند و بز را تشکیل می دهند. چند گاو، گوسفند و بز در مزرعه وجود دارد؟
راه حل

166 اعداد 0.3 را به صورت کسر مشترک بیان کنید. 0.13; 0.2 و به عنوان کسر اعشاری 3/8. 4 1/2; 3 7/25
راه حل

167 عمل را انجام دهید، هر عدد را به صورت کسری اعشاری بنویسید 1/2 + 2/5; 1 1/4 + 2 3/25
راه حل

168 اعداد 10، 36، 54، 15، 27 و 49 را به عنوان مجموع عبارات اول بیان کنید تا حد امکان کمتر باشد. در مورد نمایش اعداد به صورت مجموع عبارات اول چه پیشنهادی می توانید داشته باشید؟
راه حل

169 بزرگترین مقسوم علیه a و b را بیابید اگر a = 3 3 5 5 5 7, b = 3 5 5 11; a = 2 2 2 3 5 7، b = 3 11 13.