فاصله از یک نقطه تا یک خط در یک صفحه. چگونه فاصله نقطه تا خط را پیدا کنیم؟ فاصله نقطه M تا یک خط را بیابید: فرمول فاصله از نقطه تا بردار در یک صفحه

این مقاله در مورد موضوع صحبت می کند « فاصله از نقطه به خط », تعاریف فاصله از یک نقطه تا یک خط با مثال های مصور با روش مختصات در نظر گرفته شده است. هر بلوک نظریه در پایان نمونه هایی از حل مسائل مشابه را نشان داده است.

فاصله یک نقطه تا یک خط با تعیین فاصله یک نقطه تا یک نقطه به دست می آید. بیایید با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم.

بگذارید یک خط a و یک نقطه M 1 وجود داشته باشد که به خط داده شده تعلق ندارد. از میان آن خطی عمود بر خط a رسم کنید. نقطه تقاطع خطوط را H 1 در نظر بگیرید. دریافتیم که M 1 H 1 یک عمود است که از نقطه M 1 به خط a کاهش یافته است.

تعریف 1

فاصله از نقطه M 1 تا خط مستقیم aفاصله بین نقاط M 1 و H 1 نامیده می شود.

رکوردهایی از تعریف با شکل طول عمود وجود دارد.

تعریف 2

فاصله از نقطه به خططول عمود رسم شده از یک نقطه به یک خط معین است.

تعاریف معادل هستند. شکل زیر را در نظر بگیرید.

مشخص است که فاصله از یک نقطه تا یک خط مستقیم کوچکترین فاصله ممکن است. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم.

اگر نقطه Q را که روی خط a قرار دارد و با نقطه M 1 منطبق نیست، در نظر بگیریم، در این صورت می‌گیریم که قطعه M 1 Q مایل نامیده می‌شود که از M 1 به خط a کاهش یافته است. لازم به ذکر است که عمود از نقطه M 1 کمتر از هر مورب دیگری است که از نقطه به خط مستقیم کشیده شده است.

برای اثبات این موضوع، مثلث M 1 Q 1 H 1 را در نظر بگیرید که در آن M 1 Q 1 هیپوتانوس است. مشخص است که طول آن همیشه از طول هر یک از پاها بیشتر است. بنابراین، ما M 1 H 1 را داریم< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

داده های اولیه برای یافتن از یک نقطه به یک خط مستقیم امکان استفاده از چندین روش حل را فراهم می کند: از طریق قضیه فیثاغورث، تعاریف سینوس، کسینوس، مماس زاویه و غیره. اکثر وظایف از این نوع در مدرسه در درس هندسه حل می شود.

هنگامی که هنگام یافتن فاصله از یک نقطه تا یک خط، می توانید یک سیستم مختصات مستطیلی را وارد کنید، سپس از روش مختصات استفاده می شود. در این پاراگراف دو روش اصلی برای یافتن فاصله مورد نظر از یک نقطه معین را در نظر می گیریم.

روش اول شامل یافتن فاصله به صورت عمود رسم شده از M 1 به خط a است. روش دوم از معادله معمولی خط مستقیم a برای یافتن فاصله مورد نیاز استفاده می کند.

اگر نقطه ای در صفحه با مختصات M 1 (x 1، y 1) در یک سیستم مختصات مستطیلی، یک خط مستقیم وجود دارد و باید فاصله M 1 H 1 را پیدا کنید، می توانید به دو روش محاسبه کنید. بیایید آنها را در نظر بگیریم.

راه اول

اگر مختصات نقطه H 1 برابر با x 2، y 2 باشد، فاصله نقطه تا خط از مختصات فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y محاسبه می شود. 2 - y 1) 2.

حالا بیایید به سراغ یافتن مختصات نقطه H 1 برویم.

مشخص است که یک خط مستقیم در O x y با معادله یک خط مستقیم در یک صفحه مطابقت دارد. بیایید با نوشتن یک معادله کلی از یک خط مستقیم یا یک معادله با شیب، یک خط مستقیم a را تعریف کنیم. معادله خط مستقیمی را می سازیم که از نقطه M 1 عمود بر یک خط معین a می گذرد. بیایید خط را با راش b نشان دهیم. H 1 نقطه تلاقی خطوط a و b است، بنابراین برای تعیین مختصات باید از مقاله ای استفاده کنید که به مختصات نقاط تلاقی دو خط می پردازد.

مشاهده می شود که الگوریتم برای یافتن فاصله از یک نقطه معین M 1 (x 1, y 1) تا خط مستقیم a با توجه به نقاط انجام می شود:

تعریف 3

• پیدا کردن معادله کلی خط مستقیم a با شکل A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 یا معادله ای با ضریب شیب با شکل y \u003d k 1 x + b 1.
• به دست آوردن معادله کلی خط b که به شکل A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 یا معادله ای با شیب y \u003d k 2 x + b 2 است اگر خط b نقطه M 1 را قطع کند. و بر خط داده شده a عمود است.
• تعیین مختصات x 2, y 2 نقطه H 1 که نقطه تلاقی a و b است برای این کار سیستم معادلات خطی حل می شود A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 یا y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• محاسبه فاصله مورد نیاز از یک نقطه تا یک خط مستقیم با استفاده از فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

راه دوم

این قضیه می تواند به پاسخ به سؤال یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط معین در یک صفحه کمک کند.

قضیه

یک سیستم مختصات مستطیلی دارای O x y دارای یک نقطه M 1 (x 1, y 1) است که از آن یک خط مستقیم به صفحه رسم می شود که با معادله نرمال صفحه به شکل cos α x + cos β داده می شود. y - p \u003d 0، برابر با مدول مقدار به دست آمده در سمت چپ معادله خط مستقیم عادی، محاسبه شده در x = x 1، y = y 1، به این معنی است که M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

اثبات

خط a مطابق با معادله نرمال صفحه است که به شکل cos α x + cos β y - p = 0 است، سپس n → = (cos α , cos β) بردار نرمال خط a در a در نظر گرفته می شود. فاصله از مبدا تا خط a با p واحد. لازم است تمام داده ها را در شکل به تصویر بکشید، یک نقطه با مختصات M 1 (x 1، y 1) اضافه کنید، جایی که بردار شعاع نقطه M 1 - O M 1 → = (x 1، y 1) . لازم است یک خط مستقیم از یک نقطه به یک خط مستقیم بکشیم که آن را با M 1 H 1 نشان می دهیم. لازم است پیش بینی های M 2 و H 2 نقاط M 1 و H 2 را بر روی یک خط مستقیم که از نقطه O با بردار جهت دهنده به شکل n → = (cos α , cos β) می گذرد و طرح عددی نشان داده شود. از بردار به صورت O M 1 → = (x 1 , y 1) به جهت n → = (cos α , cos β) به صورت n p n → O M 1 → نشان داده می شود.

تغییرات به محل خود نقطه M 1 بستگی دارد. شکل زیر را در نظر بگیرید.

ما نتایج را با استفاده از فرمول M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p ثابت می کنیم. سپس تساوی را به این شکل M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p می آوریم تا n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 به دست آوریم.

حاصل ضرب اسکالر بردارها منجر به فرمول تبدیل شده ای به شکل n →، O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → می شود که حاصل ضربی به شکل مختصات است. شکل n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . از این رو، به دست می آوریم که n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . نتیجه می شود که M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . قضیه ثابت شده است.

ما دریافتیم که برای یافتن فاصله از نقطه M 1 (x 1, y 1) تا خط مستقیم a در صفحه، چندین عمل باید انجام شود:

تعریف 4

• به دست آوردن معادله عادی خط a cos α · x + cos β · y - p = 0، مشروط بر اینکه در کار نباشد.
• محاسبه عبارت cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ، که در آن مقدار حاصل M 1 H 1 می گیرد.

بیایید این روش ها را برای حل مسائل مربوط به یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه اعمال کنیم.

مثال 1

فاصله نقطه با مختصات M 1 (- 1 , 2) تا خط 4 x - 3 y + 35 = 0 را بیابید.

راه حل

بیایید از روش اول برای حل استفاده کنیم.

برای انجام این کار، باید معادله کلی خط b را پیدا کنید، که از نقطه معین M 1 (- 1 , 2) عمود بر خط 4 x - 3 y + 35 = 0 عبور می کند. از شرایطی که خط b عمود بر خط a است، مشخص می شود، سپس بردار جهت آن دارای مختصاتی برابر با (4، - 3) است. بنابراین، ما این فرصت را داریم که معادله متعارف خط b را روی صفحه بنویسیم، زیرا مختصاتی از نقطه M 1 وجود دارد، متعلق به خط b است. بیایید مختصات بردار هدایت کننده خط مستقیم b را تعیین کنیم. دریافت می کنیم که x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . معادله متعارف حاصل باید به یک معادله عمومی تبدیل شود. سپس ما آن را دریافت می کنیم

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

بیایید مختصات نقاط تقاطع خطوط را پیدا کنیم که به عنوان نام H 1 در نظر می گیریم. تحولات به این صورت است:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

با توجه به موارد فوق، داریم که مختصات نقطه H 1 (- 5; 5) است.

محاسبه فاصله از نقطه M 1 تا خط مستقیم a ضروری است. مختصات نقاط M 1 (- 1, 2) و H 1 (- 5, 5) را داریم، سپس در فرمول یافتن فاصله جایگزین می کنیم و به این نتیجه می رسیم که

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

راه حل دوم.

برای حل به روشی دیگر، باید معادله عادی یک خط مستقیم را به دست آورد. مقدار ضریب نرمال سازی را محاسبه می کنیم و دو طرف معادله را 4 x - 3 y + 35 = 0 ضرب می کنیم. از اینجا دریافت می کنیم که ضریب نرمال کننده - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 است، و معادله نرمال به شکل - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - خواهد بود. 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

با توجه به الگوریتم محاسبه، لازم است معادله عادی یک خط مستقیم را به دست آوریم و آن را با مقادیر x = - 1، y = 2 محاسبه کنیم. سپس ما آن را دریافت می کنیم

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

از اینجا دریافتیم که فاصله از نقطه M 1 (- 1 , 2) تا خط مستقیم داده شده 4 x - 3 y + 35 = 0 دارای مقدار - 5 = 5 است.

پاسخ: 5 .

مشاهده می شود که در این روش استفاده از معادله عادی یک خط مستقیم مهم است، زیرا این روش کوتاه ترین است. اما روش اول از این نظر راحت است که سازگار و منطقی است، اگرچه امتیازات محاسبه بیشتری دارد.

مثال 2

در صفحه یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با نقطه M 1 (8، 0) و یک خط مستقیم y = 1 2 x + 1 وجود دارد. فاصله یک نقطه معین تا یک خط مستقیم را پیدا کنید.

راه حل

راه حل به روش اول دلالت بر کاهش یک معادله داده شده با ضریب شیب به یک معادله کلی دارد. برای ساده‌تر شدن، می‌توانید آن را متفاوت انجام دهید.

اگر حاصل ضرب شیب خطوط عمود بر - 1 باشد، شیب خط عمود بر y = 1 2 x + 1 داده شده 2 است. اکنون معادله خط مستقیمی را که از نقطه ای با مختصات M 1 (8, 0) می گذرد بدست می آوریم. داریم که y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

ما به یافتن مختصات نقطه H 1 ، یعنی نقاط تقاطع y \u003d - 2 x + 16 و y \u003d 1 2 x + 1 ادامه می دهیم. ما یک سیستم معادلات می سازیم و به دست می آوریم:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d سال \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6، 4)

نتیجه این است که فاصله از نقطه با مختصات M 1 (8, 0) تا خط y = 1 2 x + 1 برابر با فاصله از نقطه شروع و نقطه پایان با مختصات M 1 (8, 0) و H است. 1 (6، 4). بیایید محاسبه کنیم و بدست آوریم که M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

راه حل در راه دوم این است که از معادله با ضریب به شکل عادی آن عبور کنیم. یعنی y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 بدست می آوریم ، سپس مقدار ضریب نرمال سازی - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 خواهد بود. . بنابراین معادله معمولی یک خط مستقیم به شکل - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 است. بیایید از نقطه M 1 8 , 0 تا یک خط مستقیم از شکل - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 محاسبه کنیم. ما گرفتیم:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

پاسخ: 2 5 .

مثال 3

لازم است فاصله از نقطه با مختصات M 1 (- 2 , 4) تا خطوط مستقیم 2 x - 3 = 0 و y + 1 = 0 محاسبه شود.

راه حل

معادله شکل عادی خط مستقیم 2 x - 3 = 0 را بدست می آوریم:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

سپس فاصله نقطه M 1 - 2, 4 تا خط مستقیم x - 3 2 = 0 را محاسبه می کنیم. ما گرفتیم:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

معادله خط مستقیم y + 1 = 0 دارای ضریب نرمال کننده با مقدار -1 است. این بدان معنی است که معادله به شکل - y - 1 = 0 خواهد بود. ما به محاسبه فاصله از نقطه M 1 (- 2 , 4) تا خط مستقیم - y - 1 = 0 ادامه می دهیم. دریافت می کنیم که برابر است - 4 - 1 = 5.

پاسخ: 3 1 2 و 5 .

اجازه دهید تعیین فاصله از یک نقطه معین از صفحه تا محورهای مختصات Ox و Oy را با جزئیات در نظر بگیریم.

در یک سیستم مختصات مستطیلی، محور O y معادله ای از یک خط مستقیم دارد که ناقص است و به شکل x \u003d 0 و O x - y \u003d 0 است. معادلات برای محورهای مختصات نرمال هستند، پس باید فاصله نقطه با مختصات M 1 x 1 , y 1 تا خطوط مستقیم را پیدا کرد. این کار بر اساس فرمول های M 1 H 1 = x 1 و M 1 H 1 = y 1 انجام می شود. شکل زیر را در نظر بگیرید.

مثال 4

فاصله نقطه M 1 (6, - 7) تا خطوط مختصات واقع در صفحه O x y را بیابید.

راه حل

از آنجایی که معادله y \u003d 0 به خط O x اشاره دارد، می توانید فاصله M 1 را با مختصات داده شده به این خط با استفاده از فرمول پیدا کنید. ما می گیریم که 6 = 6.

از آنجایی که معادله x \u003d 0 به خط O y اشاره دارد، می توانید فاصله M 1 تا این خط را با استفاده از فرمول پیدا کنید. سپس دریافت می کنیم که - 7 = 7.

پاسخ:فاصله M 1 تا O x دارای مقدار 6 و از M 1 تا O y دارای مقدار 7 است.

وقتی در فضای سه بعدی نقطه ای با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) داریم، لازم است فاصله نقطه A تا خط a را پیدا کنیم.

دو روش را در نظر بگیرید که به شما امکان می دهد فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم a واقع در فضا را محاسبه کنید. حالت اول فاصله نقطه M 1 تا خط را در نظر می گیرد که نقطه روی خط H 1 نامیده می شود و پایه عمود رسم شده از نقطه M 1 به خط a است. مورد دوم نشان می دهد که نقاط این صفحه را باید به عنوان ارتفاع متوازی الاضلاع جستجو کرد.

راه اول

از تعریف داریم که فاصله از نقطه M 1 واقع در خط مستقیم a به اندازه طول عمود بر M 1 H 1 است ، سپس با مختصات یافت شده نقطه H 1 دریافت می کنیم ، سپس فاصله را پیدا می کنیم. بین M 1 (x 1, y 1, z 1 ) و H 1 (x 1, y 1, z 1) بر اساس فرمول M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

نتیجه می گیریم که کل راه حل به یافتن مختصات قاعده عمود رسم شده از M 1 به خط a می رود. این کار به صورت زیر انجام می شود: H 1 نقطه ای است که خط a با صفحه ای که از نقطه داده شده می گذرد تلاقی می کند.

این بدان معنی است که الگوریتم تعیین فاصله از نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) تا خط مستقیم a از فضا متضمن چندین نقطه است:

تعریف 5

• ترسیم معادله صفحه χ به عنوان معادله صفحه ای که از نقطه معینی عمود بر خط عبور می کند.
• تعیین مختصات (x 2 , y 2 , z 2 ) متعلق به نقطه H 1 که نقطه تلاقی خط a و صفحه χ .
• محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط با استفاده از فرمول M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

راه دوم

از شرطی که یک خط a داریم، سپس می توانیم بردار جهت a → = a x، a y، a z را با مختصات x 3، y 3، z 3 و یک نقطه M 3 متعلق به خط a تعیین کنیم. با توجه به مختصات نقاط M 1 (x 1 , y 1) و M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → می توان محاسبه کرد:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3)

لازم است بردارهای a → \u003d a x، a y، a z و M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3 را از نقطه M 3 به تعویق بیندازید، وصل کنید و دریافت کنید. یک شکل متوازی الاضلاع M 1 H 1 ارتفاع متوازی الاضلاع است.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

ما داریم که ارتفاع M 1 H 1 فاصله مورد نظر است، سپس باید آن را با استفاده از فرمول پیدا کنید. یعنی ما به دنبال M 1 H 1 هستیم.

مساحت متوازی الاضلاع را با حرف S مشخص کنید، با فرمول با استفاده از بردار a → = (a x، a y، a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3 یافت می شود. y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . فرمول مساحت به شکل S = a → × M 3 M 1 → است. همچنین مساحت شکل برابر است با حاصل ضرب طول اضلاع و ارتفاع آن، دریافت می کنیم که S \u003d a → M 1 H 1 با → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2، که طول بردار a → \u003d (a x، a y، a z) است که برابر با ضلع متوازی الاضلاع است. بنابراین، M 1 H 1 فاصله نقطه تا خط است. با فرمول M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → یافت می شود.

برای پیدا کردن فاصله از یک نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) تا یک خط مستقیم a در فضا، باید چندین نقطه از الگوریتم را انجام دهید:

تعریف 6

• تعیین بردار جهت خط مستقیم a - a → = (a x , a y , a z) ;
• محاسبه طول بردار جهت a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• به دست آوردن مختصات x 3 , y 3 , z 3 متعلق به نقطه M 3 واقع در خط a.
• محاسبه مختصات بردار M 3 M 1 → ;
• یافتن ضرب ضربدری بردارهای a → (a x, a y, a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 به صورت a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 برای بدست آوردن طول طبق فرمول a → × M 3 M 1 → ;
• محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

حل مسائل مربوط به یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط مستقیم در فضا

فاصله نقطه با مختصات M 1 2 , - 4 , - 1 تا خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 را بیابید.

راه حل

روش اول با نوشتن معادله صفحه χ که از M 1 می گذرد و بر یک نقطه معین عمود می شود شروع می شود. ما عبارتی مانند:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

لازم است مختصات نقطه H 1 را که نقطه تقاطع با صفحه χ به خط مستقیم شرط است، پیدا کنیم. حرکت از شکل متعارف به حالت متقاطع ضروری است. سپس یک سیستم معادلات به شکل زیر بدست می آوریم:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

محاسبه سیستم x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 ضروری است. 2 x - y + 5 z = 3 با روش کرامر، سپس به این نتیجه می رسیم:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

از این رو داریم که H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

روش دوم باید با جستجوی مختصات در معادله متعارف شروع شود. برای این کار به مخرج کسر توجه کنید. سپس a → = 2 , - 1 , 5 بردار جهت خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 است. لازم است طول را با استفاده از فرمول a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 محاسبه کنید.

واضح است که خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 نقطه M 3 (- 1 , 0 , - 5) را قطع می کند، از این رو داریم که بردار با مبدا M 3 (- 1 , 0) , - 5) و انتهای آن در نقطه M 1 2 , - 4 , - 1 M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 است. حاصل ضرب برداری a → = (2, - 1, 5) و M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) را بیابید.

عبارتی به شکل a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j بدست می آوریم. → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

دریافت می کنیم که طول حاصلضرب متقاطع یک → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 است.

ما تمام داده ها را برای استفاده از فرمول برای محاسبه فاصله از یک نقطه برای یک خط مستقیم داریم، بنابراین آن را اعمال می کنیم و به دست می آوریم:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

پاسخ: 11 .

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

فرمول محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط در یک صفحه

اگر معادله خط Ax + By + C = 0 داده شود، با استفاده از فرمول زیر می توان فاصله نقطه M(M x , M y) تا خط را پیدا کرد.

نمونه هایی از کارها برای محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط در یک صفحه

مثال 1

فاصله بین خط 3x + 4y - 6 = 0 و نقطه M(-1, 3) را پیدا کنید.

راه حل.در فرمول ضرایب خط و مختصات نقطه را جایگزین کنید

پاسخ:فاصله یک نقطه تا یک خط 0.6 است.

معادله صفحه ای که از نقاط عمود بر بردار می گذرد معادله کلی یک صفحه

بردار غیر صفر عمود بر یک صفحه معین نامیده می شود بردار معمولی (یا به طور خلاصه طبیعی ) برای این هواپیما.

در فضای مختصات (در یک سیستم مختصات مستطیلی) بگذارید:

یک نقطه ;

ب) یک بردار غیر صفر (شکل 4.8، a).

نوشتن معادله برای صفحه ای که از یک نقطه می گذرد الزامی است عمود بر بردار پایان اثبات

اکنون انواع مختلف معادلات یک خط مستقیم را در یک صفحه در نظر می گیریم.

1) معادله کلی هواپیماپ .

از اشتقاق معادله نتیجه می شود که در همان زمان آ, بو سیبرابر 0 نیست (توضیح دهید که چرا).

نقطه متعلق به هواپیما است پفقط در صورتی که مختصات آن معادله هواپیما را برآورده کند. بسته به ضرایب آ, ب, سیو Dسطح پیک موقعیت یا موقعیت دیگر را اشغال می کند.

- هواپیما از مبدا سیستم مختصات عبور می کند، - هواپیما از مبدا سیستم مختصات عبور نمی کند،

- صفحه موازی با محور است ایکس,

ایکس,

- صفحه موازی با محور است Y,

- هواپیما موازی با محور نیست Y,

- صفحه موازی با محور است ز,

- هواپیما موازی با محور نیست ز.

این گفته ها را خودتان ثابت کنید.

معادله (6) به راحتی از رابطه (5) به دست می آید. در واقع، اجازه دهید نقطه در هواپیما قرار گیرد پ. سپس مختصات آن معادله را برآورده می کند. با کم کردن رابطه (7) از رابطه (5) و گروه بندی عبارت ها، معادله (6) را به دست می آوریم. اکنون دو بردار را به ترتیب با مختصات در نظر بگیرید. از فرمول (6) بر می آید که حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است. بنابراین، بردار عمود بر بردار است. ابتدا و انتهای آخرین بردار به ترتیب در نقاطی هستند که به صفحه تعلق دارند. پ. بنابراین، بردار عمود بر صفحه است پ. فاصله از نقطه به هواپیما پ، که معادله کلی آن است با فرمول تعیین می شود اثبات این فرمول کاملاً شبیه اثبات فرمول فاصله بین یک نقطه و یک خط است (شکل 2 را ببینید).
برنج. 2. به اشتقاق فرمول فاصله بین صفحه و خط مستقیم.

در واقع فاصله دبین یک خط و یک هواپیما است

نقطه ای در هواپیما کجاست از اینجا مانند سخنرانی شماره 11 فرمول فوق بدست می آید. دو صفحه موازی هستند اگر بردارهای عادی آنها موازی باشند. از اینجا شرط موازی بودن دو صفحه را بدست می آوریم - ضرایب معادلات عمومی صفحات. دو صفحه عمودند اگر بردارهای نرمال آنها عمود بر هم باشند، از این رو شرط عمود بودن دو صفحه را در صورتی به دست می آوریم که معادلات کلی آنها مشخص باشد.

گوشه fبین دو صفحه برابر است با زاویه بین بردارهای عادی آنها (شکل 3 را ببینید) و بنابراین می توان از فرمول محاسبه کرد.
تعیین زاویه بین صفحات

(11)

فاصله نقطه تا هواپیما و نحوه پیدا کردن آن

فاصله از نقطه تا سطحطول عمودی است که از یک نقطه به این صفحه کاهش می یابد. حداقل دو راه برای یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه وجود دارد: هندسیو جبری.

با روش هندسیابتدا باید بفهمید که چگونه عمود از یک نقطه به یک صفحه قرار گرفته است: ممکن است در یک صفحه مناسب قرار داشته باشد، این یک ارتفاع در یک مثلث راحت (یا نه) باشد، یا شاید این عمود به طور کلی ارتفاعی در یک هرم باشد. .

پس از این اولین و دشوارترین مرحله، مسئله به چندین مسئله پلانیمتری خاص (شاید در سطوح مختلف) تقسیم می شود.

با روش جبریبرای یافتن فاصله نقطه تا صفحه باید وارد یک سیستم مختصات شده، مختصات نقطه و معادله صفحه را بیابید و سپس فرمول فاصله نقطه تا صفحه را اعمال کنید.

هنگام حل یک مثال، کاربرد روش های تحلیل شده را برای یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط مستقیم در یک صفحه در نظر بگیرید.

فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید:

ابتدا بیایید به روش اول مشکل را حل کنیم.

در شرایط مسئله، معادله کلی خط مستقیم a شکل را به ما داده می شود:

بیایید معادله کلی خط b را که از نقطه معینی عمود بر خط می گذرد، پیدا کنیم:

از آنجایی که خط b بر خط a عمود است، بردار جهت خط b بردار عادی خط داده شده است:

یعنی بردار جهت خط b مختصاتی دارد. اکنون می‌توانیم معادله متعارف خط مستقیم b را روی صفحه بنویسیم، زیرا مختصات نقطه M 1 که خط مستقیم b از آن عبور می‌کند و مختصات بردار جهت‌دهنده خط مستقیم b را می‌دانیم:

از معادله متعارف خط مستقیم b به معادله کلی خط مستقیم می رسیم:

حال با حل سیستم معادلات مرکب از معادلات کلی خطوط a و b مختصات نقطه تلاقی خطوط a و b را پیدا کنیم (آن را H 1 نشان می دهیم) (در صورت لزوم به سیستم های حل مقاله مراجعه کنید. معادلات خطی):

بنابراین نقطه H 1 مختصاتی دارد.

باقی مانده است که فاصله مورد نظر از نقطه M 1 تا خط مستقیم a را به عنوان فاصله بین نقاط و:

راه دوم برای حل مشکل.

معادله نرمال خط داده شده را به دست می آوریم. برای انجام این کار، مقدار ضریب نرمال کننده را محاسبه می کنیم و هر دو قسمت معادله عمومی اصلی خط مستقیم را در آن ضرب می کنیم:

(در این مورد در بخش آوردن معادله کلی خط مستقیم به حالت عادی صحبت کردیم).

ضریب نرمال کننده برابر است با

سپس معادله عادی خط مستقیم به شکل زیر است:

حال عبارت سمت چپ معادله معمولی خط مستقیم را می گیریم و مقدار آن را برای:

فاصله مورد نظر از یک نقطه معین تا یک خط مستقیم معین:

برابر قدر مطلق مقدار دریافتی است، یعنی پنج ().

فاصله از نقطه تا خط:

بدیهی است که مزیت روش یافتن فاصله از یک نقطه تا یک خط مستقیم در یک صفحه، بر اساس استفاده از معادله معمولی یک خط مستقیم، کار محاسباتی نسبتاً کمتری است. به نوبه خود، اولین راه برای یافتن فاصله از یک نقطه تا یک خط بصری است و با ثبات و منطق متمایز می شود.

یک سیستم مختصات مستطیلی Oxy بر روی صفحه ثابت است، یک نقطه و یک خط مستقیم داده می شود:

فاصله یک نقطه معین تا یک خط معین را پیدا کنید.

راه اول

می توانید از یک معادله مشخص از یک خط مستقیم با شیب به معادله کلی این خط مستقیم بروید و به همان روشی که در مثال مورد بحث در بالا توضیح داده شد، ادامه دهید.

اما شما می توانید آن را متفاوت انجام دهید.

می دانیم که حاصل ضرب شیب خطوط عمود بر هم برابر با 1 است (به مقاله خطوط عمود بر عمود خطوط مراجعه کنید). بنابراین، شیب خطی که بر یک خط معین عمود است:

برابر 2 است. سپس معادله یک خط مستقیم عمود بر یک خط مستقیم داده شده و از نقطه ای می گذرد به شکل:

اکنون مختصات نقطه H 1 - نقطه تقاطع خطوط را پیدا می کنیم:

بنابراین، فاصله مورد نظر از یک نقطه تا یک خط مستقیم:

برابر فاصله بین نقاط و:

راه دوم.

بیایید از معادله داده شده یک خط مستقیم با شیب به معادله عادی این خط مستقیم حرکت کنیم:

ضریب نرمال کننده برابر است با:

بنابراین، معادله عادی یک خط مستقیم به شکل زیر است:

اکنون فاصله مورد نیاز از نقطه تا خط را محاسبه می کنیم:

محاسبه فاصله نقطه تا خط:

و به خط مستقیم:

معادله عادی خط مستقیم را بدست می آوریم:

اکنون فاصله نقطه تا خط را محاسبه کنید:

عامل عادی برای معادله خط مستقیم:

برابر 1 است. سپس معادله عادی این خط به شکل زیر است:

اکنون می توانیم فاصله یک نقطه تا یک خط را محاسبه کنیم:

برابر است

پاسخ: و 5.

در پایان، ما به طور جداگانه در نظر خواهیم گرفت که چگونه فاصله یک نقطه معین از هواپیما تا خطوط مختصات Ox و Oy پیدا می شود.

در سیستم مختصات مستطیلی Oxy، خط مختصات Oy با معادله کلی ناقص خط x=0 و خط مختصات Ox با معادله y=0 به دست می آید. این معادلات معادلات عادی خطوط Oy و Ox هستند، بنابراین فاصله یک نقطه تا این خطوط با فرمول های زیر محاسبه می شود:

به ترتیب.

شکل 5

یک سیستم مختصات مستطیلی Oxy در هواپیما معرفی شده است. فواصل نقطه تا خطوط مختصات را بیابید.

فاصله نقطه داده شده M 1 تا خط مختصات Ox (با معادله y=0 به دست می آید) برابر است با مدول مختصات نقطه M 1 یعنی .

فاصله از نقطه داده شده M 1 تا خط مختصات Oy (منطبق بر معادله x=0) برابر است با قدر مطلق آبسیسا نقطه M 1: .

پاسخ: فاصله نقطه M 1 تا خط Ox 6 و فاصله نقطه داده شده تا خط مختصات Oy برابر است.

روش مختصات (فاصله بین یک نقطه و یک صفحه، بین خطوط مستقیم)

فاصله بین یک نقطه و یک صفحه.

فاصله بین یک نقطه و یک خط.

فاصله بین دو خط.

اولین نکته مفیدی که باید بدانید این است که چگونه فاصله یک نقطه تا یک هواپیما را پیدا کنید:

مقادیر A، B، C، D - ضرایب هواپیما

x، y، z - مختصات نقطه

یک وظیفه. فاصله بین نقطه A = (3؛ 7؛ −2) و صفحه 4x + 3y + 13z - 20 = 0 را بیابید.

همه چیز داده شده است، می توانید بلافاصله مقادیر را در معادله جایگزین کنید:

یک وظیفه. فاصله نقطه K = (1؛ −2؛ 7) تا خطی که از نقاط V = (8؛ 6؛ 13-) و T = (-1؛ −6؛ 7) می گذرد را بیابید.

1. یک بردار خط مستقیم پیدا می کنیم.
2. بردار عبور از نقطه مورد نظر و هر نقطه از خط را محاسبه می کنیم.
   
3. ماتریس را تنظیم می کنیم و تعیین کننده دو بردار به دست آمده را در پاراگراف 1 و 2 پیدا می کنیم.
4. وقتی جذر مجذور مجذور ضرایب ماتریس را بر طول بردار تعیین کننده خط تقسیم می کنیم، فاصله را بدست می آوریم.(من فکر می کنم واضح نیست، بنابراین اجازه دهید به یک مثال خاص برویم).

1) تلویزیون = (8-(-1)؛ 6-(-6)؛ -13-7) = (9؛ 12؛ 20-)

2) بردار را از طریق نقاط K و T پیدا می کنیم، اگرچه از طریق K و V یا هر نقطه دیگری در این خط نیز امکان پذیر است.

TK = (1-(-1)؛ -2-(-6)؛ 7-7) = (2؛ 4؛ 0)

3) ماتریسی بدون ضریب D دریافت می کنید (در اینجا برای حل مورد نیاز نیست):

4) هواپیما با ضرایب A = 80، B = 40، C = 12 معلوم شد،

x، y، z - مختصات بردار خط مستقیم، در این مورد، تلویزیون برداری دارای مختصات است (9؛ 12؛ 20-)

یک وظیفه. فاصله بین خط عبوری از نقاط E = (1؛ 0؛ −2)، G = (2؛ 2؛ −1) و خطی که از نقاط M = (4؛ -1؛ 4) می گذرد را بیابید. L = (-2;3;0).

1. بردارهای هر دو خط را تنظیم می کنیم.
2. با گرفتن یک نقطه از هر خط بردار را پیدا می کنیم.
3. ماتریسی از 3 بردار را می نویسیم (دو خط از نقطه 1، یک خط از 2) و تعیین کننده عددی آن را پیدا می کنیم.
4. ماتریس دو بردار اول را (در مرحله 1) تنظیم می کنیم. خط اول را x، y، z قرار می دهیم.
5. فاصله را زمانی بدست می آوریم که مقدار حاصل از مدول نقطه 3 را بر جذر مجموع مربع های نقطه 4 تقسیم کنیم.

بیایید به سراغ اعداد برویم.

بگذارید یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی ثابت شود Oxyz, نقطه داده شده , خط آو برای یافتن فاصله از نقطه لازم است ولیبه راست آ.

دو روش برای محاسبه فاصله یک نقطه تا یک خط در فضا نشان خواهیم داد. در حالت اول، یافتن فاصله از یک نقطه م 1 به راست آبه یافتن فاصله از یک نقطه می رسد م 1 به نقطه اچ 1 ، جایی که اچ 1 - قاعده عمود از نقطه افتاد م 1 به طور مستقیم آ. در حالت دوم، فاصله یک نقطه تا یک صفحه به عنوان ارتفاع متوازی الاضلاع در نظر گرفته می شود.

پس بیایید شروع کنیم.

اولین راه برای یافتن فاصله از یک نقطه تا یک خط a در فضا.

از آنجایی که طبق تعریف، فاصله از یک نقطه است م 1 به راست آطول عمود است م 1 اچ 1 ، سپس با تعیین مختصات نقطه اچ 1 ، می توانیم فاصله مورد نظر را به عنوان فاصله بین نقاط محاسبه کنیم و طبق فرمول .

بنابراین، مسئله به یافتن مختصات قاعده عمود ساخته شده از نقطه کاهش می یابد م 1 به یک خط مستقیم آ. انجام آن به اندازه کافی آسان است: نقطه اچ 1 نقطه تلاقی خط است آبا هواپیمایی که از یک نقطه می گذرد م 1 عمود بر خط آ.

در نتیجه، الگوریتمی که به شما امکان می دهد فاصله از یک نقطه را تعیین کنید به راستآ در فضای، است:

روش دوم، که به شما امکان می دهد فاصله یک نقطه تا یک خط a را در فضا پیدا کنید.

از آنجایی که در شرایط مشکل یک خط مستقیم به ما داده می شود آ، سپس می توانیم بردار جهت آن را تعیین کنیم و مختصات یک نقطه م 3 دراز کشیدن روی یک خط مستقیم آ. سپس با توجه به مختصات نقاط و می توانیم مختصات یک بردار را محاسبه کنیم:

بردارها را کنار بگذارید و از نقطه م 3 و بر روی آنها متوازی الاضلاع بسازید. در این متوازی الاضلاع یک ارتفاع رسم کنید م 1 اچ 1 .

معلومه ارتفاع م 1 اچ 1 متوازی الاضلاع ساخته شده برابر با فاصله مورد نظر از نقطه است م 1 به راست آ. بیایید پیدا کنیم.

از یک طرف، مساحت متوازی الاضلاع (ما آن را نشان می دهیم اس) را می توان از طریق حاصل ضرب برداری بردارها یافت و طبق فرمول . از طرف دیگر، مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب طول ضلع و ارتفاع آن، یعنی: ، جایی که - طول برداری ، برابر با طول ضلع متوازی الاضلاع در نظر گرفته شده است. بنابراین فاصله از نقطه داده شده م 1 به یک خط داده شده آرا می توان از برابری یافت چگونه .

بنابراین، برای پیدا کردن فاصله از یک نقطه به راستآ مورد نیاز در فضا

حل مسائل مربوط به یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط مستقیم در فضا.

بیایید یک مثال راه حل را در نظر بگیریم.

مثال.

فاصله یک نقطه را پیدا کنید به راست .

راه حل.

راه اول

معادله هواپیمای عبوری از نقطه را بنویسیم م 1 عمود بر یک خط معین:

مختصات یک نقطه را پیدا کنید اچ 1 - نقاط تقاطع صفحه و خط داده شده. برای این کار، انتقال از معادلات متعارف خط مستقیم را به معادلات دو صفحه متقاطع انجام می دهیم.

پس از آن سیستم معادلات خطی را حل می کنیم روش کرامر:

به این ترتیب، .

باقی مانده است که فاصله مورد نیاز از نقطه تا خط را به عنوان فاصله بین نقاط محاسبه کنیم و : .

راه دوم.

اعداد موجود در مخرج کسری در معادلات متعارف خط مستقیم مختصات مربوط به بردار جهت دهنده این خط مستقیم هستند، یعنی: - بردار جهت مستقیم . بیایید طول آن را محاسبه کنیم: .

واضح است که خط مستقیم از نقطه ای عبور می کند ، سپس بردار با مبدا در نقطه و به یک نقطه ختم می شود وجود دارد . حاصل ضرب بردارها را بیابید و :
سپس طول این محصول متقاطع است .

اکنون ما تمام داده ها را برای استفاده از فرمول برای محاسبه فاصله از یک نقطه معین تا یک صفحه معین داریم: .

پاسخ:

چینش متقابل خطوط در فضا