حل معادلات منطقی در ریاضیات. روشهای حل سیستم معادلات منطقی سیستم معادلات بولی

حل سیستم معادلات منطقی با تغییر متغیرها

روش تغییر متغیرها در صورتی استفاده می شود که برخی از متغیرها فقط به صورت یک عبارت خاص در معادلات گنجانده شوند و نه چیز دیگر. سپس این عبارت را می توان با یک متغیر جدید نشان داد.

مثال 1

چند مجموعه مختلف از مقادیر متغیرهای منطقی x1، x2، x3، x4، x5، x6، x7، x8 وجود دارد که همه شرایط زیر را برآورده می‌کند؟

(x1 → x2) → (x3 → x4) = 1

(x3 → x4) → (x5 → x6) = 1

(x5 → x6) → (x7 → x8) = 1

در پاسخ نیازی به فهرست کردن مجموعه‌های مختلف مقادیر متغیرهای x1، x2، x3، x4، x5، x6، x7، x8 نیست که تحت این سیستم برابری‌ها برآورده می‌شود. به عنوان پاسخ، باید تعداد این مجموعه ها را مشخص کنید.

راه حل:

(x1 → x2) = y1; (x3 → x4) = y2; (x5 → x6) = y3; (x7 → x8) = y4.

سپس سیستم را می توان به صورت یک معادله نوشت:

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. وقتی هر عملوند 1 را ارزیابی می کند، ربط 1 است (درست است). هر یک از مفاهیم باید درست باشد، و این برای همه مقادیر به جز (1 → 0) صادق است. آن ها در جدول مقادیر متغیرهای y1، y2، y3، y4، واحد نباید در سمت چپ صفر باشد:

آن ها شرایط برای 5 مجموعه y1-y4 برآورده شده است.

زیرا y1 = x1 → x2، سپس مقدار y1 = 0 در یک مجموعه منفرد x1، x2: (1، 0) به دست می‌آید و مقدار y1 = 1 در سه مجموعه x1، x2 به دست می‌آید: (0.0) , ( 0،1)، (1.1). به طور مشابه برای y2، y3، y4.

از آنجایی که هر مجموعه (x1,x2) برای متغیر y1 با هر مجموعه (x3,x4) برای متغیر y2 و غیره ترکیب می‌شود، تعداد مجموعه‌های متغیر x ضرب می‌شوند:

بیایید تعداد مجموعه ها را اضافه کنیم: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.

پاسخ: 121

مثال 2

چند مجموعه مختلف از مقادیر متغیرهای بولی x1، x2، ... x9، y1، y2، ... y9 وجود دارد که همه شرایط زیر را برآورده می کند؟

(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)

(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)

(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)

در پاسخ نیازی نیستتمام مجموعه های مختلف مقادیر متغیرهای x1، x2، ... x9، y1، y2، ... y9 را فهرست کنید، که تحت آن سیستم برابری داده شده برآورده می شود. به عنوان پاسخ، باید تعداد این مجموعه ها را مشخص کنید.

راه حل:

بیایید تغییری در متغیرها ایجاد کنیم:

(x1 ≡ y1) = z1، (x2 ≡ y2) = z2،…. ,(x9 ≡ y9) = z9

سیستم را می توان به صورت یک معادله نوشت:

(¬z1 ≡ z2) ∧ (¬z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬z8 ≡ z9)

هم ارزی تنها در صورتی صادق است که هر دو عملوند برابر باشند. راه حل های این معادله دو مجموعه خواهد بود:

زیرا zi = (xi ≡ yi)، سپس مقدار zi = 0 مربوط به دو مجموعه (xi,yi) است: (0,1) و (1,0) و مقدار zi = 1 مربوط به دو مجموعه (xi,yi) است. ): (0،0) و (1،1).

سپس اولین مجموعه z1, z2,…, z9 مربوط به 2 9 مجموعه (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9) است.

همین عدد مربوط به مجموعه دوم z1, z2,…, z9 است. سپس در مجموع 2 9 + 2 9 = 1024 مجموعه وجود دارد.

پاسخ: 1024

حل سیستم های معادلات منطقی با تعریف بصری بازگشت.

این روش در صورتی استفاده می شود که سیستم معادلات به اندازه کافی ساده باشد و ترتیب افزایش تعداد مجموعه ها هنگام اضافه کردن متغیرها مشخص باشد.

مثال 3

سیستم معادلات چند راه حل مختلف دارد

¬x9 ∨ x10 = 1،

که در آن x1، x2، ... x10 متغیرهای بولی هستند؟

پاسخ نیازی به شمارش مجموعه‌های مختلف مقادیر x1، x2، ... x10 ندارد که سیستم برابری داده‌شده برای آن‌ها صادق است. به عنوان پاسخ، باید تعداد این مجموعه ها را مشخص کنید.

راه حل:

بیایید معادله اول را حل کنیم. یک تفکیک مساوی 1 است اگر حداقل یکی از عملوندهای آن برابر با 1 باشد. راه حل ها مجموعه ها هستند:

برای x1=0 دو مقدار x2 (0 و 1) و برای x1=1 فقط یک مقدار x2 (1) وجود دارد، به طوری که مجموعه (x1,x2) راه حل معادله است. فقط 3 ست

بیایید متغیر x3 را اضافه کرده و معادله دوم را در نظر بگیریم. مشابه مورد اول است، به این معنی که برای x2=0 دو مقدار x3 (0 و 1) و برای x2=1 فقط یک مقدار x3 (1) وجود دارد، به طوری که مجموعه ( x2,x3) جواب معادله است. در کل 4 ست وجود دارد.

به راحتی می توان فهمید که هنگام اضافه کردن متغیر دیگری، یک مجموعه اضافه می شود. آن ها فرمول بازگشتی برای تعداد مجموعه روی متغیرهای (i+1):

N i +1 = N i + 1. سپس برای ده متغیر ما 11 مجموعه می گیریم.

پاسخ: 11

حل سیستم های معادلات منطقی در انواع مختلف

مثال 4

چند مجموعه مختلف از مقادیر متغیرهای بولی x 1 , ..., x 4 , y 1 ,..., y 4 , z 1 ,..., z 4 وجود دارد که همه شرایط زیر را برآورده کند؟

(x 1 → x 2) ∧ (x 2 → x 3) ∧ (x 3 → x 4) = 1

(y 1 → y 2) ∧ (y 2 → y 3) ∧ (y 3 → y 4) = 1

(z 1 → z 2) ∧ (z 2 → z 3) ∧ (z 3 → z 4) = 1

x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0

در پاسخ نیازی نیستتمام مجموعه های مختلف مقادیر متغیرهای x 1 , ..., x 4 , y 1 , ..., y 4 , z 1 , ..., z 4 را فهرست کنید که تحت آن سیستم برابری داده شده برآورده می شود. .

به عنوان پاسخ، باید تعداد این مجموعه ها را مشخص کنید.

راه حل:

توجه داشته باشید که سه معادله سیستم در مجموعه‌های مختلف مستقل از متغیرها یکسان هستند.

معادله اول را در نظر بگیرید. یک ربط فقط در صورتی درست است (برابر 1) که همه عملوندهای آن درست (برابر 1) باشند. مفهوم 1 در همه مجموعه ها به جز (1,0) است. این بدان معنی است که راه حل معادله اول مجموعه های x1، x2، x3، x4 خواهد بود که در آنها 1 در سمت چپ 0 نیست (5 مجموعه):

به همین ترتیب، جواب های معادله دوم و سوم دقیقاً همان مجموعه های y1,…,y4 و z1,…,z4 خواهند بود.

حال بیایید معادله چهارم سیستم را تجزیه و تحلیل کنیم: x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0. راه حل تمام مجموعه های x4, y4, z4 خواهد بود که حداقل یکی از متغیرها برابر با 0 است.

آن ها برای x4 = 0، تمام مجموعه های ممکن (y4، z4) مناسب هستند و برای x4 = 1، مجموعه هایی (y4، z4) که حداقل یک صفر دارند مناسب هستند: (0, 0), (0,1) , ( 1، 0).

تعداد کل مجموعه ها 25 + 4*9 = 25 + 36 = 61 است.

پاسخ: 61

حل سیستم های معادلات منطقی با ساخت فرمول های مکرر

از روش ساخت فرمول های مکرر برای حل سیستم های پیچیده ای استفاده می شود که ترتیب افزایش تعداد مجموعه ها در آنها مشخص نیست و ساخت درخت به دلیل حجم ها غیرممکن است.

مثال 5

چند مجموعه مختلف از مقادیر متغیرهای بولی x1، x2، ... x7، y1، y2، ... y7 وجود دارد که همه شرایط زیر را برآورده می کند؟

(x1 ∨ y1) ∧ ((x2 ∧ y2) → (x1 ∧ y1)) = 1

(x2 ∨ y2) ∧ ((x3 ∧ y3) → (x2 ∧ y2)) = 1

(x6 ∨ y6) ∧ ((x7 ∧ y7) → (x6 ∧ y6)) = 1

در پاسخ نیازی به فهرست کردن مجموعه‌های مختلف مقادیر متغیرهای x1، x2، ...، x7، y1، y2، ...، y7 نیست که سیستم برابری‌های داده شده تحت آن قرار دارد. به عنوان پاسخ، باید تعداد این مجموعه ها را مشخص کنید.

راه حل:

توجه داشته باشید که شش معادله اول سیستم یکسان هستند و فقط در مجموعه متغیرها با هم تفاوت دارند. معادله اول را در نظر بگیرید. راه حل آن مجموعه ای از متغیرهای زیر خواهد بود:

مشخص کن:

تعداد مجموعه ها (0,0) روی متغیرهای (x1,y1) تا A 1,

تعداد مجموعه ها (0،1) روی متغیرهای (x1,y1) تا B1،

تعداد مجموعه ها (1,0) روی متغیرهای (x1,y1) از طریق C 1،

تعداد مجموعه (1،1) روی متغیرهای (x1،y1) از طریق D 1.

تعداد مجموعه ها (0,0) روی متغیرهای (x2,y2) تا A2,

تعداد مجموعه ها (0،1) روی متغیرهای (x2،y2) از طریق B2،

تعداد مجموعه ها (1,0) روی متغیرهای (x2,y2) از طریق C2،

تعداد مجموعه ها (1,1) روی متغیرهای (x2,y2) از طریق D 2 .

از درخت تصمیم می بینیم که

A 1 = 0، B 1 = 1، C 1 = 1، D 1 = 1.

توجه داشته باشید که تاپل (0,0) روی متغیرهای (x2,y2) از تاپلهای (0,1,1,0) و (1,1) روی متغیرهای (x1,y1) به دست می آید. آن ها A 2 \u003d B 1 + C 1 + D 1.

مجموعه (0,1) روی متغیرهای (x2,y2) از مجموعه (0,1,1,0) و (1,1) روی متغیرهای (x1,y1) بدست می آید. آن ها B 2 \u003d B 1 + C 1 + D 1.

با استدلال مشابه، توجه می کنیم که C 2 \u003d B 1 + C 1 + D 1. D2 = D1.

بنابراین، فرمول های بازگشتی را به دست می آوریم:

A i+1 = B i + C i + D i

B i+1 = B i + C i + D i

C i+1 = B i + C i + D i

D i+1 = A i + B i + C i + D i

بیا یه میز درست کنیم

آخرین معادله (x7 ∨ y7) = 1 توسط همه مجموعه ها به جز مجموعه هایی که x7=0 و y7=0 هستند ارضا می شود. در جدول ما، تعداد این مجموعه ها A 7 است.

سپس تعداد کل مجموعه ها B 7 + C 7 + D 7 = 127 + 127 + 1 = 255 است.

پاسخ: 255

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده و از آن زمان استفاده از آنها تنها افزایش یافته است. در ریاضیات، وظایف خاصی وجود دارد که به منطق گزاره ها اختصاص دارد. برای حل این نوع معادله، باید مقدار معینی دانش داشته باشید: دانش قوانین منطق گزاره ای، آگاهی از جداول صدق توابع منطقی 1 یا 2 متغیر، روش های تبدیل عبارات منطقی. علاوه بر این، شما باید ویژگی های زیر عملیات منطقی را بدانید: ربط ها، تفکیک ها، وارونگی ها، مفاهیم و معادل ها.

هر تابع منطقی از \ متغیرها - \ را می توان با یک جدول حقیقت مشخص کرد.

بیایید چند معادله منطقی را حل کنیم:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

بیایید راه حل را با \[X1\] شروع کنیم و تعیین کنیم که این متغیر چه مقادیری می تواند داشته باشد: 0 و 1. سپس، هر یک از مقادیر بالا را در نظر بگیرید و ببینید چه مقدار \[X2.\] می تواند در این مورد باشد

همانطور که از جدول مشخص است، معادله منطقی ما 11 راه حل دارد.

کجا می توانم یک معادله منطقی را به صورت آنلاین حل کنم؟

شما می توانید معادله را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما یاد بگیرید. و اگر سوالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک کنیم.

روشهای حل سیستم معادلات منطقی

Kirgizova E.V.، Nemkova A.E.

موسسه آموزشی لسوسیبیرسک -

شعبه دانشگاه فدرال سیبری روسیه

توانایی تفکر مداوم، استدلال قطعی، ساختن فرضیه ها، رد نتایج منفی، به خودی خود به دست نمی آید، این مهارت توسط علم منطق ایجاد می شود. منطق علمی است که روشهای اثبات صدق یا نادرستی برخی گزاره ها را بر اساس صدق یا نادرستی گزاره های دیگر مطالعه می کند.

تسلط بر مبانی این علم بدون حل مسائل منطقی غیر ممکن است. بررسی شکل گیری مهارت ها برای به کارگیری دانش آنها در موقعیت جدید با قبولی انجام می شود. به ویژه، این توانایی حل مشکلات منطقی است. وظایف B15 در امتحان، وظایفی با پیچیدگی افزایش یافته است، زیرا آنها حاوی سیستم های معادلات منطقی هستند. روش های مختلفی برای حل سیستم های معادلات منطقی وجود دارد. این کاهش به یک معادله، ساخت جدول حقیقت، تجزیه، حل متوالی معادلات و غیره است.

یک وظیفه:حل یک سیستم معادلات منطقی:

در نظر گرفتن روش کاهش به یک معادله . این روش شامل تبدیل معادلات منطقی است، به طوری که سمت راست آنها برابر با مقدار صدق (یعنی 1) باشد. برای این کار از عملیات نفی منطقی استفاده کنید. سپس، اگر عملیات منطقی پیچیده در معادلات وجود داشته باشد، آنها را با موارد اصلی جایگزین می کنیم: "AND"، "OR"، "NO". مرحله بعدی این است که با استفاده از عملیات منطقی "AND" معادلات را در یک معادله با سیستم ترکیب کنید. پس از آن، باید معادله حاصل را بر اساس قوانین جبر منطق تبدیل کنید و یک راه حل مشخص برای سیستم بدست آورید.

راه حل 1:وارونگی را در دو طرف معادله اول اعمال کنید:

بیایید مفهوم را از طریق عملیات اصلی "OR"، "NOT" نشان دهیم:

از آنجایی که سمت چپ معادلات برابر با 1 است، می توانید آنها را با استفاده از عملیات "AND" در یک معادله که معادل سیستم اصلی است ترکیب کنید:

براکت اول را طبق قانون دو مورگان باز می کنیم و نتیجه را تبدیل می کنیم:

معادله به دست آمده یک راه حل دارد: A= 0، B=0 و C=1.

راه بعدی این است ساخت جداول حقیقت . از آنجایی که مقادیر منطقی فقط دو مقدار دارند، می توانید به سادگی تمام گزینه ها را مرور کنید و از بین آنها مواردی را پیدا کنید که سیستم معادلات داده شده برای آنها برآورده شده است. یعنی یک جدول حقیقت مشترک برای تمام معادلات سیستم می سازیم و یک خط با مقادیر مورد نظر پیدا می کنیم.

راه حل 2:بیایید یک جدول حقیقت برای سیستم درست کنیم:

پررنگ خطی است که برای آن شرایط مشکل برآورده شده است. بنابراین A = 0 , B = 0 و C = 1 .

مسیر تجزیه . ایده این است که مقدار یکی از متغیرها را ثابت کنیم (آن را برابر 0 یا 1 قرار دهیم) و در نتیجه معادلات را ساده کنیم. سپس می توانید مقدار متغیر دوم و غیره را ثابت کنید.

راه حل 3:اجازه دهید A = 0، سپس:

از معادله اول به دست می آوریمب = 0، و از دوم - С=1. راه حل سیستم: A = 0، B = 0 و C = 1.

شما همچنین می توانید از روش استفاده کنید حل متوالی معادلات ، در هر مرحله یک متغیر به مجموعه مورد نظر اضافه کنید. برای این کار لازم است معادلات را به گونه ای تبدیل کنیم که متغیرها به ترتیب حروف الفبا وارد شوند. در مرحله بعد، یک درخت تصمیم می سازیم و متوالی متغیرهایی را به آن اضافه می کنیم.

معادله اول سیستم فقط به A و B بستگی دارد و معادله دوم به A و C. متغیر A می تواند 2 مقدار 0 و 1 بگیرد:

از معادله اول برمی آید که ، بنابراین، هنگامی که A = 0 B = 0 و برای A = 1 B = 1 داریم. بنابراین، معادله اول با توجه به متغیرهای A و B دو راه حل دارد.

معادله دوم را رسم می کنیم که از روی آن مقادیر C را برای هر گزینه تعیین می کنیم. برای A=1، مفهوم نمی تواند نادرست باشد، یعنی شاخه دوم درخت راه حلی ندارد. در A= 0 ما تنها راه حل را دریافت می کنیم C= 1 :

بنابراین، ما جواب سیستم را دریافت کردیم: A = 0، B = 0 و C = 1.

در استفاده از علوم کامپیوتر، اغلب لازم است تعداد راه حل های یک سیستم معادلات منطقی تعیین شود، بدون یافتن خود راه حل ها، روش های خاصی نیز برای این کار وجود دارد. راه اصلی برای یافتن تعداد جواب های یک سیستم معادلات منطقی است تغییر متغیرها. ابتدا باید هر یک از معادلات را تا حد امکان بر اساس قوانین جبر منطق ساده کرد و سپس اجزای پیچیده معادلات را با متغیرهای جدید جایگزین کرد و تعداد جواب های سیستم جدید را تعیین کرد. سپس به جایگزین برگردید و تعداد راه حل های آن را تعیین کنید.

یک وظیفه:معادله چند راه حل دارد ( A → B ) + (C → D ) = 1؟ که در آن A، B، C، D متغیرهای بولی هستند.

راه حل:بیایید متغیرهای جدید را معرفی کنیم: X = A → B و Y = C → D . با در نظر گرفتن متغیرهای جدید، معادله را می توان به صورت زیر نوشت: X + Y = 1.

تفکیک در سه مورد صادق است: (0;1)، (1;0) و (1;1)، در حالی که X و Y دلالت است، یعنی در سه مورد صحیح و در یک مورد نادرست است. بنابراین، حالت (0;1) با سه ترکیب ممکن از پارامترها مطابقت دارد. مورد (1;1) - با 9 ترکیب ممکن از پارامترهای معادله اصلی مطابقت دارد. بنابراین، 3+9=15 جواب ممکن برای این معادله وجود دارد.

روش زیر برای تعیین تعداد جواب های یک سیستم معادلات منطقی - است درخت دوتایی. اجازه دهید این روش را با یک مثال در نظر بگیریم.

یک وظیفه:سیستم معادلات منطقی چند راه حل مختلف دارد:

سیستم معادلات داده شده معادل معادله است:

( ایکس 1 → ایکس 2 )*( ایکس 2 → ایکس 3 )*…*( x m -1 → x m) = 1.

بیایید وانمود کنیم کهایکس 1 درست است، پس از معادله اول آن را دریافت می کنیمایکس 2 همچنین درست است، از دوم -ایکس 3 =1 و به همین ترتیب تا زمانی که x m= 1. از این رو مجموعه (1؛ 1؛ ...؛ 1) ازمتر واحد راه حل سیستم است. بگذار حالاایکس 1 = 0، سپس از معادله اول داریمایکس 2 =0 یا ایکس 2 =1.

چه زمانی ایکس 2 true، دریافتیم که سایر متغیرها نیز درست هستند، یعنی مجموعه (0; 1; ...; 1) راه حل سیستم است. درایکس 2 =0 ما آن را دریافت می کنیم ایکس 3 =0 یا ایکس 3 =، و غیره. با ادامه آخرین متغیر، متوجه می شویم که راه حل های معادله مجموعه ای از متغیرهای زیر هستند (متر +1 محلول، در هر محلولمتر مقادیر متغیر):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

این رویکرد با ساختن یک درخت باینری به خوبی نشان داده شده است. تعداد راه حل های ممکن تعداد شاخه های مختلف درخت ساخته شده است. به راحتی می توان فهمید که هست m+1.

در صورت مشکل در استدلال و ایجاد درخت تصمیم، می توانید با استفاده از آن به دنبال راه حل باشید جداول حقیقت، برای یک یا دو معادله.

ما سیستم معادلات را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

و بیایید جدول صدق را جداگانه برای یک معادله بسازیم:

بیایید یک جدول صدق برای دو معادله بسازیم:

بعد، می توانید ببینید که یک معادله در سه حالت زیر درست است: (0؛ 0)، (0؛ 1)، (1؛ 1). سیستم دو معادله در چهار حالت (0؛ 0؛ 0)، (0؛ 0؛ 1)، (0؛ 1؛ 1)، (1؛ 1؛ 1) صادق است. در این مورد، بلافاصله مشخص می شود که راه حلی وجود دارد که فقط از صفر و بیشتر تشکیل شده است مترراه حل هایی که در آنها یک واحد اضافه می شود، از آخرین موقعیت شروع می شود تا تمام مکان های ممکن پر شود. می توان فرض کرد که راه حل کلی یک شکل خواهد داشت، اما برای تبدیل شدن چنین رویکردی به یک راه حل، اثبات درستی فرض لازم است.

با جمع بندی همه موارد فوق ، می خواهم توجه را به این واقعیت جلب کنم که همه روش های در نظر گرفته شده جهانی نیستند. هنگام حل هر سیستم معادلات منطقی باید ویژگی های آن را در نظر گرفت که بر اساس آن روش حل انتخاب شود.

ادبیات:

1. وظایف منطقی / O.B. بوگومولوف - ویرایش دوم. - M.: BINOM. آزمایشگاه دانش، 1385. - 271 ص: ill.

2. پولیاکوف K.Yu. سیستم های معادلات منطقی / روزنامه آموزشی و روشی معلمان علوم کامپیوتر: انفورماتیک شماره 14، 1390

روش های حل سیستم های معادلات منطقی

شما می توانید یک سیستم معادلات منطقی را حل کنید، مثلاً با استفاده از جدول صدق (اگر تعداد متغیرها خیلی زیاد نباشد) یا با استفاده از درخت تصمیم، پس از ساده کردن هر معادله.

1. روش تغییر متغیرها.

معرفی متغیرهای جدید، ساده سازی سیستم معادلات را با کاهش تعداد مجهولات ممکن می سازد.متغیرهای جدید باید مستقل از یکدیگر باشند. پس از حل سیستم ساده شده، لازم است دوباره به متغیرهای اصلی برگردید.

کاربرد این روش را در یک مثال خاص در نظر بگیرید.

مثال.

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

راه حل:

بیایید متغیرهای جدیدی را معرفی کنیم: А=(X1≡X2)؛ B=(X3 ≡ X4); С=(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); E=(X9 ≡ X10).

(توجه! هر یک از متغیرهای آنها x1، x2، ...، x10 باید فقط در یکی از متغیرهای جدید A، B، C، D، E قرار گیرد، یعنی متغیرهای جدید مستقل از یکدیگر هستند).

سپس سیستم معادلات به شکل زیر خواهد بود:

(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)=0

(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)=0

(C ∧ D) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0

(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0

بیایید یک درخت تصمیم از سیستم حاصل بسازیم:

معادله A=0 را در نظر بگیرید، یعنی. (X1≡ X2) = 0. 2 ریشه دارد:

از همان جدول می توان دید که معادله A \u003d 1 نیز 2 ریشه دارد. بیایید تعداد ریشه های درخت تصمیم را مرتب کنیم:

برای یافتن تعداد راه حل های یک شاخه، باید تعداد راه حل ها را در هر سطح ضرب کنید. شاخه سمت چپ 2 دارد⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 راه حل; شاخه سمت راست نیز 32 راه حل دارد. آن ها کل سیستم 32+32=64 راه حل دارد.

جواب: 64.

2. روش استدلال.

پیچیدگی حل سیستم های معادلات منطقی در حجیم بودن درخت تصمیم کامل است. روش استدلال به شما امکان می دهد کل درخت را به طور کامل نسازید، اما در عین حال متوجه شوید که چند شاخه خواهد داشت. بیایید این روش را بر روی مثال های خاص در نظر بگیریم.

مثال 1 چند مجموعه مختلف از مقادیر متغیرهای بولی x1، x2، x3، x4، x5، y1، y2، y3، y4، y5 وجود دارد که همه شرایط زیر را برآورده می کند؟

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1\/y1 =1

در پاسخ نیازی به فهرست کردن مجموعه‌های مختلف مقادیر متغیرهای x1، x2، x3، x4، x5، y1، y2، y3، y4، y5 نیست که تحت آن سیستم برابری‌های داده شده برآورده می‌شود. به عنوان پاسخ، باید تعداد این مجموعه ها را مشخص کنید.

راه حل :

معادلات اول و دوم شامل متغیرهای مستقلی هستند که با یک شرط سوم مرتبط هستند. اجازه دهید یک درخت تصمیم برای معادله اول و دوم بسازیم.

برای نشان دادن درخت تصمیم سیستم از معادلات اول و دوم، باید هر شاخه از درخت اول را با یک درخت برای متغیرها ادامه داد.در . درختی که به این ترتیب ساخته می شود دارای 36 شاخه خواهد بود. برخی از این شاخه ها معادله سوم سیستم را برآورده نمی کنند. روی درخت اول به تعداد شاخه های درخت توجه کنید"در" ، که معادله سوم را برآورده می کند:

اجازه دهید توضیح دهیم: برای تحقق شرط سوم در x1=0 باید y1=1، یعنی تمام شاخه های درخت وجود داشته باشد."ایکس" ، که در آن x1=0 را می توان تنها با یک شاخه از درخت ادامه داد"در" . و فقط برای یک شاخه از درخت"ایکس" (راست) متناسب با تمام شاخه های درخت"در". بنابراین، درخت کامل کل سیستم شامل 11 شاخه است. هر شاخه نشان دهنده یک راه حل برای سیستم اصلی معادلات است. بنابراین کل سیستم 11 راه حل دارد.

جواب: 11.

مثال 2 سیستم معادلات چند راه حل مختلف دارد

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬X10) = 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬X10) = 1.

………………

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬X10) = 1

(X1 ≡ X10) = 0

که در آن x1، x2، ...، x10 متغیرهای بولی هستند؟ پاسخ نیازی به فهرست کردن تمام مجموعه‌های مختلف مقادیر متغیری که این برابری برای آنها وجود دارد، ندارد. به عنوان پاسخ، باید تعداد این مجموعه ها را مشخص کنید.

راه حل : بیایید سیستم را ساده کنیم. بیایید یک جدول حقیقت از قسمت معادله اول بسازیم:

به ستون آخر توجه کنید، با نتیجه عمل مطابقت دارد X1 ≡ X10.

پس از ساده سازی، دریافت می کنیم:

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1

(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1

……

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10) = 1

(X1 ≡ X10) = 0

معادله آخر را در نظر بگیرید:(X1 ≡ X10) = 0، یعنی. x1 نباید با x10 یکی باشد. برای اینکه اولین معادله برابر با 1 باشد، تساوی باید برقرار باشد(X1 ≡ X2)=1، یعنی. x1 باید با x2 مطابقت داشته باشد.

بیایید یک درخت تصمیم برای معادله اول بسازیم:

معادله دوم را در نظر بگیرید: برای x10=1 و برای x2=0 براکتباید برابر با 1 باشد (یعنی x2 همان x3 است). در x10=0 و در x2=1 براکت(X2 ≡ X10) = 0، بنابراین براکت (X2 ≡ X3) باید برابر با 1 باشد (یعنی x2 همان x3 است):

با استدلال به این روش، یک درخت تصمیم برای تمام معادلات می سازیم:

بنابراین، سیستم معادلات تنها 2 راه حل دارد.

جواب: 2.

مثال 3

چند مجموعه مختلف از مقادیر متغیرهای بولی x1، x2، x3، x4، y1، y2، y3، y4، z1، z2، z3، z4 وجود دارد که همه شرایط زیر را برآورده می‌کند؟

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

راه حل:

بیایید یک درخت تصمیم از معادله 1 بسازیم:

معادله دوم را در نظر بگیرید:

• وقتی x1=0 : براکت دوم و سوم 0 خواهد بود. برای اینکه اولین براکت برابر با 1 باشد، باید y1=1، z1=1 (یعنی در این مورد - 1 راه حل)
• با x1=1 : پرانتز اول 0 خواهد بود. دومینیا پرانتز سوم باید برابر با 1 باشد. براکت دوم برابر با 1 خواهد بود که y1=0 و z1=1 باشد. براکت سوم برابر با 1 برای y1=1 و z1=0 خواهد بود (یعنی در این مورد - 2 راه حل).

به همین ترتیب برای بقیه معادلات. به تعداد راه حل های به دست آمده برای هر گره درخت توجه کنید:

برای فهمیدن تعداد راه حل های هر شاخه، اعداد به دست آمده را به طور جداگانه برای هر شاخه (از چپ به راست) ضرب می کنیم.

1 شاخه: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 محلول

2 شاخه: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 2 محلول

شاخه سوم: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 محلول

4 شاخه: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 محلول

5 شاخه: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 محلول

بیایید اعداد به دست آمده را جمع کنیم: در مجموع 31 راه حل.

جواب: 31.

3. افزایش منظم تعداد ریشه ها

در برخی از سیستم ها، تعداد ریشه های معادله بعدی به تعداد ریشه های معادله قبلی بستگی دارد.

مثال 1 چند مجموعه مختلف از مقادیر متغیرهای بولی x1، x2، x3، x4، x5، x6، x7، x8، x9، x10 وجود دارد که همه شرایط زیر را برآورده می‌کند؟

¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

ساده کردن معادله اول:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). سپس سیستم به شکل زیر در می آید:

¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0

و غیره.

هر معادله زیر 2 ریشه بیشتر از معادله قبلی دارد.

معادله 4 دارای 12 ریشه است.

معادله 5 دارای 14 ریشه است

معادله 8 20 ریشه دارد.

جواب: 20 ریشه.

گاهی اوقات تعداد ریشه ها طبق قانون اعداد فیبوناچی رشد می کند.

حل یک سیستم معادلات منطقی نیاز به یک رویکرد خلاقانه دارد.

موسسه آموزشی بودجه شهرداری

"دبیرستان شماره 18"

ناحیه شهری شهر صلوات جمهوری باشقیرستان

سیستم های معادلات منطقی

در تکالیف آزمون انفورماتیک

بخش "مبانی جبر منطق" در تکالیف آزمون یکی از سخت ترین و ضعیف ترین ها به حساب می آید. میانگین درصد انجام وظایف در این موضوع کمترین و 43.2 است.

این بلوک بر اساس مشخصات KIM 2018 شامل چهار وظیفه با سطوح مختلف پیچیدگی است.

کار 23 سطح دشواری بالایی دارد، بنابراین کمترین درصد تکمیل را دارد. از بین فارغ التحصیلان آموزش دیده (81-100 امتیاز) 49.8٪ این کار را انجام دادند، به طور متوسط ​​​​آماده (61-80 امتیاز) با 13.7٪ از عهده بر آمدند، گروه باقی مانده از دانش آموزان این کار را کامل نمی کنند.

موفقیت در حل یک سیستم معادلات منطقی به آگاهی از قوانین منطق و به کاربرد دقیق روش ها برای حل سیستم بستگی دارد.

حل یک سیستم معادلات منطقی را با روش نگاشت در نظر بگیرید.

(23.154 Polyakov K.Yu.) سیستم معادلات چند راه حل مختلف دارد؟

((ایکس1  y1 )  (ایکس2  y2 ))  (ایکس1  ایکس2 )  (y1  y2 ) =1

((ایکس2  y2 )  (ایکس3  y3 ))  (ایکس2  ایکس3 )  (y2  y3 ) =1

((ایکس7  y7 )  (ایکس8  y8 ))  (ایکس7  ایکس8 )  (y7  y8 ) =1

جایی که ایکس1 , ایکس2 ,…, ایکس8, در1 ، y2 ,…,y8 - متغیرهای بولی؟ پاسخ نیازی به فهرست کردن تمام مجموعه‌های مختلف مقادیر متغیری که این برابری برای آنها وجود دارد، ندارد. به عنوان پاسخ، باید تعداد این مجموعه ها را مشخص کنید.

راه حل. تمام معادلات موجود در سیستم از یک نوع هستند و در هر معادله چهار متغیر گنجانده شده است. با دانستن x1 و y1، می‌توانیم تمام مقادیر ممکن x2 و y2 را که معادله اول را برآورده می‌کنند، پیدا کنیم. با استدلال به روش مشابه، از x2 و y2 شناخته شده می توانیم x3، y3 را پیدا کنیم که معادله دوم را برآورده می کند. یعنی با دانستن جفت (x1, y1) و تعیین مقدار جفت (x2, y2) جفت (x3, y3) را پیدا می کنیم که به نوبه خود به جفت (x4, y4) می رسد و به همین ترتیب بر.

بیایید همه راه حل های معادله اول را پیدا کنیم. این را می توان به دو طریق انجام داد: ایجاد جدول حقیقت، از طریق استدلال و اعمال قوانین منطق.

جدول درستی:

ساختن جدول حقیقت پر زحمت و زمان ناکارآمد است، بنابراین از روش دوم - استدلال منطقی استفاده می کنیم. محصول 1 است اگر و فقط اگر هر عامل 1 باشد.

(ایکس1  y1 )  (ایکس2  y2 ))=1

(ایکس1  ایکس2 ) =1

(y1  y2 ) =1

معادله اول را در نظر بگیرید. زیر برابر است با 1، زمانی که 0 0، 0 1، 1 1، سپس (x1 y1)=0 در (01)، (10)، سپس جفت (ایکس2  y2 ) می تواند هر (00)، (01)، (10)، (11)، و برای (x1 y1)=1، یعنی (00) و (11) جفت (x2 y2)=1 مقادیر یکسانی را می گیرد. (00) و (11). جفت هایی را که معادله دوم و سوم نادرست هستند، یعنی x1=1، x2=0، y1=1، y2=0 از این راه حل حذف می کنیم.

تعداد کل جفت ها 1+1+1+22= 25

2) (23.160 Polyakov K.Yu.) یک سیستم معادلات منطقی چند راه حل مختلف دارد

(ایکس 1  (ایکس 2  y 2 ))  (y 1  y 2 ) = 1

(ایکس 2  (ایکس 3  y 3 ))  (y 2  y 3 ) = 1

...

( ایکس 6  ( ایکس 7  y 7 ))  ( y 6  y 7 ) = 1

ایکس 7  y 7 = 1

راه حل. 1) معادلات از یک نوع هستند، بنابراین با روش استدلال تمام جفت های ممکن (x1,y1)، (x2,y2) معادله اول را خواهیم یافت.

(ایکس1  (ایکس2  y2 ))=1

(y1  y2 ) = 1

جواب معادله دوم جفت (00)، (01)، (11) است.

بیایید راه حل های معادله اول را پیدا کنیم. اگر x1=0، آنگاه x2، y2 - هر، اگر x1=1، آنگاه x2، y2 مقدار (11) را می گیرد.

بیایید بین جفت (x1، y1) و (x2، y2) ارتباط برقرار کنیم.

بیایید یک جدول برای محاسبه تعداد جفت ها در هر مرحله درست کنیم.

با در نظر گرفتن جواب های آخرین معادله ایکس 7  y 7 = 1, جفت (10) را حذف می کنیم. تعداد کل راه حل های 1+7+0+34=42 را بیابید

3)(23.180) سیستم معادلات منطقی چند راه حل مختلف دارد

(ایکس1  ایکس2 )  (ایکس3  ایکس4 ) = 1

(ایکس3  ایکس4 )  (ایکس5  ایکس6 ) = 1

(ایکس5  ایکس6 )  (ایکس7  ایکس8 ) = 1

(ایکس7  ایکس8 )  (ایکس9  ایکس10 ) = 1

ایکس1  ایکس3  ایکس5  ایکس7  ایکس9 = 1

راه حل. 1) معادلات از یک نوع هستند، بنابراین با روش استدلال تمام جفت های ممکن (x1,x2)، (x3,x4) معادله اول را خواهیم یافت.

(ایکس1  ایکس2 )  (ایکس3  ایکس4 ) = 1

جفت هایی را که در زیر 0 (1 0) می دهند از راه حل حذف می کنیم، این جفت ها (01، 00، 11) و (10) هستند.

ایجاد پیوند بین جفت ها (x1،x2)، (x3،x4)