جابجایی زاویه ای، سرعت زاویه ای، شتاب زاویه ای، رابطه آنها. جابجایی زاویه ای، سرعت زاویه ای، شتاب زاویه ای، رابطه آنها بردار زاویه چرخش چیست؟

زوایای اویلر، زوایای هواپیما (کشتی).

به طور سنتی، زاویه های اویلر به شرح زیر معرفی می شوند. انتقال از موقعیت مرجع به موقعیت واقعی با سه چرخش انجام می شود (شکل 4.3):

1. دور گوشه بچرخانید تقدمدر همان زمان به موقعیت (ج) می رود. .

2. دور گوشه بچرخانید nutation. که در آن، . (4.10)

4. دور گوشه بچرخانید چرخش خود (خالص).

برای درک بهتر، شکل 4.4 یک زاویه بالا و اویلر را نشان می دهد که آن را توصیف می کند.

1. دور گوشه بچرخانید اوه، که در آن

2. با زاویه گام به اطراف بچرخید، در حالی که (4.12)

3. زاویه رول در اطراف

تعبیر «می توان انجام داد» تصادفی نیست. درک اینکه گزینه های دیگری امکان پذیر است، به عنوان مثال، چرخش حول محورهای ثابت دشوار نیست

1. دور گوشه بچرخانید رول(در خطر شکستن بالها)

2. دور گوشه بچرخانید گام صدا(بالا بردن "بینی") (4.13)

3. به دور با زاویه بچرخانید اوه

با این حال، هویت (4.12) و (4.13) نیز نیاز به اثبات دارد.

بیایید یک فرمول برداری آشکار برای بردار موقعیت هر نقطه بنویسیم (شکل 4.6) به شکل ماتریس. مختصات بردار را نسبت به مبنای مرجع پیدا کنید. اجازه دهید بردار را بر اساس مبنای واقعی گسترش دهیم و بردار "انتقالی" را معرفی کنیم که مختصات آن در مبنای مرجع با مختصات بردار در بردار واقعی برابر است. به عبارت دیگر، - یک بردار همراه با بدن "چرخش" است (شکل 4.6).

ما یک ماتریس چرخش و ستون ها را معرفی می کنیم،

فرمول برداری در نمادگذاری ماتریسی دارای فرم است

1. ماتریس چرخش متعامد است، یعنی.

گواه این جمله فرمول (4.9) است.

با محاسبه دترمینان حاصلضرب (4.15)، به دست می آوریم و از آنجایی که در موقعیت مرجع، آنگاه (ماتریس های متعامد با دترمینان برابر با (1) نامیده می شوند. مناسبماتریس های متعامد یا چرخشی). ماتریس چرخش، وقتی در بردارها ضرب شود، نه طول بردارها و نه زوایای بین آنها را تغییر نمی دهد، یعنی. واقعا آنها چرخش.

2. ماتریس چرخش دارای یک بردار ویژه (ثابت) است که محور چرخش را مشخص می کند. به عبارت دیگر، باید نشان داد که سیستم معادلات دارای یک راه حل منحصر به فرد است. ما سیستم را به شکل (. تعیین کننده این سیستم همگن برابر با صفر است، زیرا

بنابراین سیستم یک راه حل غیر صفر دارد. با فرض وجود دو راه حل، بلافاصله به این نتیجه می رسیم که عمود بر آنها نیز یک راه حل است (زوایای بین بردارها تغییر نمی کند) به این معنی که i.e. نوبت نیست..

ماتریس بر اساس متعارف

نگاهی دارد

2. با متمایز کردن (4.15)، ماتریس یا با نشان دادن - بدست می آوریم پشت (eng. to spin - twirl).بنابراین، ماتریس اسپین متقارن است: . با ضرب از راست در، فرمول پواسون را برای ماتریس چرخش بدست می آوریم:

ما در چارچوب توصیف ماتریس به سخت ترین لحظه رسیده ایم - تعیین بردار سرعت زاویه ای.

البته می توانید به روشی استاندارد عمل کنید (مثلاً روش را ببینید و بنویسید: ما نمادگذاری عناصر ماتریس متقارن - چوله را معرفی می کنیماس طبق فرمول

اگر بردار بسازیم , سپس حاصل ضرب یک ماتریس در یک بردار را می توان به صورت یک ضربدری نشان داد". در نقل قول بالا - بردار سرعت زاویه ای.

با تمایز (4.14)، نمایش ماتریسی فرمول اصلی برای سینماتیک یک جسم صلب را به دست می آوریم. :

روش ماتریسی که برای محاسبات راحت است، برای تحلیل و استخراج روابط بسیار مناسب نیست. هر فرمولی که به زبان بردار و تانسور نوشته شود را می توان به راحتی به صورت ماتریسی نوشت، اما به دست آوردن یک فرمول فشرده و رسا برای توصیف هر پدیده فیزیکی به شکل ماتریس دشوار است.

علاوه بر این، نباید فراموش کرد که عناصر ماتریس در برخی موارد مختصات (مولفه‌های) تانسور هستند. خود تانسور به انتخاب مبنا بستگی ندارد، بلکه اجزای آن بستگی دارد. برای نوشتن بدون خطا به صورت ماتریسی، لازم است که تمام بردارها و تانسورهای موجود در عبارت بر اساس یکسان نوشته شوند، و این همیشه راحت نیست، زیرا تانسورهای مختلف در پایه های مختلف یک شکل "ساده" دارند، بنابراین شما نیاز به محاسبه مجدد ماتریس ها با استفاده از ماتریس های انتقال است.

روی یک دایره با بردار شعاع $ \overrightarrow (r)$ که از مرکز دایره کشیده شده است تعیین می شود. مدول بردار شعاع برابر با شعاع دایره R است (شکل 1).

شکل 1. بردار شعاع، جابجایی، مسیر و زاویه چرخش هنگامی که یک نقطه در امتداد یک دایره حرکت می کند.

در عین حال، حرکت یک جسم در امتداد یک دایره را می توان بدون ابهام با استفاده از ویژگی های سینماتیکی مانند زاویه چرخش، سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای توصیف کرد.

در طول زمان ∆t، جسم با حرکت از نقطه A به نقطه B، یک جابجایی $\مثلث r$ برابر با وتر AB ایجاد می کند و مسیری برابر با طول کمان l را طی می کند. بردار شعاع از طریق زاویه ∆$ \varphi $ می چرخد.

زاویه چرخش را می توان با بردار جابجایی زاویه ای $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ مشخص کرد که مدول آن برابر با زاویه چرخش ∆$ \varphi $ است و جهت منطبق با محور چرخش، و به گونه ای که جهت چرخش با قاعده پیچ سمت راست مطابق با جهت بردار $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ مطابقت داشته باشد.

بردار $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ یک بردار محوری (یا بردار شبه) نامیده می شود، در حالی که بردار جابجایی $\مثلث \overrightarrow(r)$ یک بردار قطبی است (آنها همچنین شامل سرعت و بردارهای شتاب). تفاوت آنها در این است که بردار قطبی علاوه بر طول و جهت، یک نقطه کاربرد (قطب) دارد و بردار محوری فقط طول و جهت دارد (محور - در محور لاتین)، اما نقطه کاربرد ندارد. از این نوع بردارها اغلب در فیزیک استفاده می شود. برای مثال، همه بردارهایی که حاصل ضرب متقاطع دو بردار قطبی هستند، شامل می شود.

یک کمیت فیزیکی اسکالر از نظر عددی برابر با نسبت زاویه چرخش بردار شعاع به بازه زمانی که در طی آن این چرخش رخ داده است، سرعت زاویه‌ای متوسط ​​نامیده می‌شود: $\left\langle \omega \right\rangle =\frac(\ مثلث \varphi )(\مثلث t)$. واحد SI سرعت زاویه ای رادیان در ثانیه $(\frac (rad) (c))$ است.

تعریف

سرعت زاویه ای چرخش بردار عددی برابر با مشتق اول زاویه چرخش بدنه نسبت به زمان است و بر اساس قانون پیچ سمت راست در امتداد محور چرخش هدایت می شود:

\[\overrightarrow((\mathbf \omega ))\left(t\right)=(\mathop(lim)_(\مثلث t\to 0) \frac(\ مثلث (\mathbf \varphi ))(\مثلث t)=\frac(d\overrightarrow((\mathbf \varphi )))(dt)\ )\]

با حرکت یکنواخت در طول یک دایره، سرعت زاویه ای و مدول سرعت خطی مقادیر ثابتی هستند: $(\mathbf \omega )=const$; $v=const$.

با توجه به اینکه $\مثلث \varphi =\frac(l)(R)$، فرمول رابطه بین سرعت خطی و زاویه ای را بدست می آوریم: $\omega =\frac(l)(R\مثلث t)=\frac( v)(R)$. سرعت زاویه ای نیز با شتاب عادی مرتبط است: $a_n=\frac(v^2)(R)=(\omega )^2R$

برای حرکت دایره ای غیر یکنواخت، بردار سرعت زاویه ای یک تابع برداری از زمان است $\overrightarrow(\omega )\left(t\right)=(\overrightarrow(\omega))_0+\overrightarrow(\varepsilon )\left( t\right) t$، جایی که $(\overrightarrow((\mathbf \omega )))_0$ سرعت زاویه ای اولیه است، $\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)$ شتاب زاویه ای در مورد حرکت یکنواخت، $\left|\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)\right|=\varepsilon =const$ و $\left|\overrightarrow((\mathbf \ omega ) )\left(t\right)\right|=\omega \left(t\right)=(\omega)_0+\varepsilon t$.

حرکت یک جسم صلب در حال چرخش را در مواردی که سرعت زاویه ای مطابق با نمودارهای 1 و 2 نشان داده شده در شکل 2 تغییر می کند، توضیح دهید.

شکل 2.

چرخش در دو جهت انجام می شود - در جهت عقربه های ساعت و خلاف جهت عقربه های ساعت. جهت چرخش با شبه بردار زاویه چرخش و سرعت زاویه ای مرتبط است. اجازه دهید جهت چرخش در جهت عقربه های ساعت مثبت در نظر گرفته شود.

برای حرکت 1، سرعت زاویه ای افزایش می یابد، اما شتاب زاویه ای $\varepsilon $=d$\omega $/dt (مشتق) کاهش می یابد در حالی که مثبت باقی می ماند. بنابراین، این حرکت در جهت عقربه های ساعت با کاهش شتاب شتاب می گیرد.

برای حرکت 2، سرعت زاویه ای کاهش می یابد، سپس در نقطه تقاطع با محور آبسیسا به صفر می رسد و سپس منفی می شود و قدر مطلق افزایش می یابد. شتاب زاویه ای منفی است و در مقدار مطلق کاهش می یابد. بنابراین، در ابتدا نقطه به آرامی با کاهش شتاب زاویه ای در جهت عقربه های ساعت حرکت کرد، سپس متوقف شد و با کاهش شتاب در مقدار مطلق شروع به چرخش سریع کرد.

شعاع R یک چرخ دوار را بیابید اگر بدانیم سرعت خطی $v_1$ نقطه ای که روی لبه قرار دارد 2.5 برابر بیشتر از سرعت خطی $v_2$ نقطه ای است که در فاصله $r = 5cm$ قرار دارد. به محور چرخ نزدیک تر است.

شکل 3

$$R_2 = R_1 - 5$$ $$v_1 = 2.5v_2$$$$R_1 = ?$$

نقاط در امتداد دایره های متحدالمرکز حرکت می کنند، بردارهای سرعت زاویه ای آنها برابر است، $\left|(\overrightarrow(\omega ))_1\right|=\left|(\overrightarrow(\omega))_2\right|=\omega $ بنابراین می توان به صورت اسکالر نوشت:

پاسخ: شعاع چرخ R = 8.3 سانتی متر

جهت مقدار کریستال تحریف شده توری، شرطی شده انحراف: پیچش - زاویه چرخش قسمتی از یک کریستال نسبت به دیگری. تغییر گوه در زاویه چرخش a هنگام تغییر ترتیب محور تقارن. … کتابچه راهنمای مترجم فنی

وکتور فرانک- مقدار هدایت شده اعوجاج شبکه کریستالی به دلیل انحراف: زاویه پیچش چرخش بخشی از کریستال نسبت به دیگری. تغییر گوه در زاویه چرخش a هنگام تغییر ترتیب محور تقارن. ببین…… فرهنگ لغت دایره المعارف متالورژی

ماتریس چرخش- اطلاعات را بررسی کنید بررسی صحت حقایق و قابل اعتماد بودن اطلاعات ارائه شده در این مقاله ضروری است. در صفحه بحث باید توضیحات ... ویکی پدیا

بردار رانش کنترل شده- کنترل بردار رانش (UVT) انحراف جت جت موتور جت از جهت مربوط به حالت کروز. در حال حاضر کنترل بردار رانش عمدتاً با چرخاندن کل نازل ... ... ویکی پدیا

ژیروسکوپ- یک دستگاه ناوبری که عنصر اصلی آن یک روتور سریع در حال چرخش است، ثابت شده است تا محور چرخش آن قابل چرخش باشد. سه درجه آزادی (محورهای چرخش احتمالی) روتور ژیروسکوپ توسط دو قاب ... ... دایره المعارف کولیر

اثر فارادی- یکی از اثرات مغناطیسی اپتیک. این شامل چرخش صفحه پلاریزاسیون قطبشگرهای خطی است. انتشار نور در ve در طول پست. بزرگ فیلدهایی که رم در آنها قرار دارد. توسط M. Faraday در سال 1845 کشف شد و اولین مدرک ... ... دایره المعارف فیزیکی

خط لوله گرافیک- مجموعه سخت افزاری-نرم افزاری خط لوله گرافیکی برای تجسم گرافیک های سه بعدی. محتویات 1 عناصر یک صحنه سه بعدی 1.1 سخت افزار 1.2 رابط های نرم افزاری ... ویکی پدیا

مغناطیس- الکترودینامیک کلاسیک ... ویکی پدیا

GOST 22268-76: ژئودزی. اصطلاحات و تعاریف- اصطلاحات GOST 22268 76: Geodesy. اصطلاحات و تعاریف سند اصلی: 114. Outline Ndp. کروکی دی. فرهنگ لغت - کتاب مرجع شرایط اسناد هنجاری و فنی

سیستم جهت گیری آرایه خورشیدی- سبک این مقاله دایره المعارفی نیست و یا ناقض هنجارهای زبان روسی است. مقاله باید بر اساس قوانین سبک ویکی پدیا ... ویکی پدیا تصحیح شود

سرعت زاویهای- کمیت برداری که سرعت چرخش یک جسم صلب را مشخص می کند. با چرخش یکنواخت یک جسم حول یک محور ثابت، از نظر عددی U.s. w=Dj/Dt که در آن Dj افزایش زاویه چرخش j در بازه زمانی Dt و در حالت کلی w=dj/dt است. وکتور W. ...... دایره المعارف فیزیکی

حرکت جسم کشیده ای که نمی توان ابعاد آن را در شرایط مسئله مورد بررسی نادیده گرفت. بدنه غیرقابل تغییر شکل و به عبارت دیگر کاملاً سفت در نظر گرفته خواهد شد.

جنبشی که در آن هرخط مستقیم متصل به جسم متحرک که موازی با خودش باقی می ماند، نامیده می شود ترقی خواه.

یک خط مستقیم "به طور صلب با جسم متصل است" به عنوان یک خط مستقیم درک می شود که فاصله هر نقطه از آن تا هر نقطه از بدن در طول حرکت آن ثابت می ماند.

حرکت انتقالی یک جسم کاملا صلب را می توان با حرکت هر نقطه از این جسم مشخص کرد، زیرا در حرکت انتقالی تمام نقاط بدن با سرعت و شتاب یکسان حرکت می کنند و مسیر حرکت آنها همخوان است. با تعیین حرکت هر یک از نقاط یک جسم صلب، در همان زمان حرکت تمام نقاط دیگر آن را نیز تعیین می کنیم. بنابراین، هنگام توصیف حرکت انتقالی، هیچ مشکل جدیدی در مقایسه با سینماتیک یک نقطه مادی ایجاد نمی شود. نمونه ای از حرکت انتقالی در شکل نشان داده شده است. 2.20.

شکل 2.20. حرکت انتقالی بدن

نمونه ای از حرکت انتقالی در شکل زیر نشان داده شده است:

شکل 2.21. حرکت مسطح بدن

یکی دیگر از موارد خاص مهم حرکت یک جسم صلب، حرکتی است که در آن دو نقطه از جسم ثابت می مانند.

حرکتی که در آن دو نقطه از بدن ثابت بماند نامیده می شود چرخش حول یک محور ثابت

خط اتصال این نقاط نیز ثابت است و نامیده می شود محور چرخش

شکل 2.22. چرخش یک جسم صلب

با چنین حرکتی، تمام نقاط بدن در امتداد دایره های واقع در صفحات عمود بر محور چرخش حرکت می کنند. مرکز دایره ها روی محور چرخش قرار دارند. در این حالت می توان محور چرخش را در خارج از بدنه نیز قرار داد.

ویدئو 2.4. حرکات انتقالی و چرخشی.

سرعت زاویه ای، شتاب زاویه ای.هنگامی که جسمی حول یک محور می چرخد، تمام نقاط آن دایره هایی با شعاع های مختلف را توصیف می کنند و بنابراین جابجایی ها، سرعت ها و شتاب های متفاوتی دارند. با این حال، می توان حرکت چرخشی تمام نقاط بدن را به یک شکل توصیف کرد. برای این کار، از ویژگی های حرکتی حرکتی دیگر (در مقایسه با یک نقطه مادی) استفاده می شود - زاویه چرخش، سرعت زاویه ای، شتاب زاویه ای.

برنج. 2.23. بردار شتاب نقطه ای که به صورت دایره ای حرکت می کند

نقش جابجایی در حرکت چرخشی توسط بردار چرخش کوچک، حول محور چرخش 00" (شکل 2.24.). برای هر نقطه یکسان خواهد بود بدنه کاملا سفت(مثلاً نقاط 1, 2, 3 ).

برنج. 2.24. چرخش یک جسم کاملاً صلب حول یک محور ثابت

ماژول بردار چرخش برابر با مقدار زاویه چرخش است و زاویه با رادیان اندازه گیری می شود.

بردار یک چرخش بینهایت کوچک در امتداد محور چرخش به سمت حرکت پیچ سمت راست (گیملت) که در همان جهت بدنه چرخیده است هدایت می شود.

ویدئو 2.5. جابجایی‌های زاویه‌ای نهایی بردار نیستند، زیرا طبق قانون متوازی الاضلاع جمع نمی‌شوند. جابجایی های زاویه ای بی نهایت کوچک بردار هستند.

بردارهایی که جهت آنها با قانون gimlet مرتبط است نامیده می شوند محوری(از انگلیسی. محور- محور) بر خلاف قطبی. بردارهایی که قبلا استفاده کردیم بردارهای قطبی برای مثال بردار شعاع، بردار سرعت، بردار شتاب و بردار نیرو هستند. بردارهای محوری را شبه بردارها نیز می نامند، زیرا آنها در رفتار خود در حین عمل بازتاب در آینه (وارونگی یا همان انتقال از راست به سیستم مختصات چپ) با بردارهای واقعی (قطبی) متفاوت هستند. می توان نشان داد (این کار بعداً انجام خواهد شد) که جمع بردارهای چرخش بینهایت کوچک مانند جمع بردارهای واقعی اتفاق می افتد، یعنی طبق قانون متوازی الاضلاع (مثلث). بنابراین، اگر عمل بازتاب در یک آینه در نظر گرفته نشود، تفاوت بین بردارهای کاذب و بردارهای واقعی به هیچ وجه خود را نشان نمی دهد و می توان با آنها مانند بردارهای معمولی (واقعی) رفتار کرد.

نسبت بردار یک چرخش بینهایت کوچک به زمانی که در طی آن این چرخش انجام شده است

تماس گرفت سرعت زاویه ای چرخش

واحد اصلی برای اندازه گیری بزرگی سرعت زاویه ای است راد/ثانیه. در نشریات چاپی، به دلایلی که ربطی به فیزیک ندارد، اغلب می نویسند 1/sیا از -1که به بیان دقیق، نادرست است. زاویه یک کمیت بدون بعد است، اما واحدهای اندازه گیری آن متفاوت است (درجات، رمب، درجه ...) و حداقل برای جلوگیری از سوء تفاهم باید آنها را نشان داد.

ویدئو 2.6. اثر استروبوسکوپی و استفاده از آن برای اندازه گیری از راه دور سرعت زاویه ای چرخش

سرعت زاویه ای، مانند بردار که متناسب با آن است، بردار محوری است. هنگام چرخیدن به اطراف بی حرکتسرعت زاویه ای محور جهت آن را تغییر نمی دهد. با چرخش یکنواخت، مقدار آن نیز ثابت می ماند، به طوری که بردار . در صورت ثبات کافی در زمان مقدار سرعت زاویه ای، چرخش را می توان به راحتی با دوره آن مشخص کرد. تی :

دوره چرخش- این زمانی است که بدن یک چرخش (چرخش از طریق زاویه 2π) حول محور چرخش انجام می دهد.

بدیهی است که کلمات "ثبات کافی" به این معنی است که در طول دوره (زمان یک چرخش) مدول سرعت زاویه ای به طور ناچیز تغییر می کند.

همچنین اغلب استفاده می شود تعداد دور در واحد زمان

در عین حال، در کاربردهای فنی (اول از همه، انواع موتورها)، مرسوم است که نه یک ثانیه، بلکه یک دقیقه را به عنوان واحد زمان در نظر بگیرید. یعنی سرعت زاویه ای چرخش بر حسب دور بر دقیقه نشان داده می شود. همانطور که به راحتی می بینید، رابطه بین (بر حسب رادیان در ثانیه) و (برحسب دور در دقیقه) به شرح زیر است.

جهت بردار سرعت زاویه ای در شکل نشان داده شده است. 2.25.

بر اساس قیاس با شتاب خطی، شتاب زاویه ای به عنوان نرخ تغییر بردار سرعت زاویه ای معرفی می شود. شتاب زاویه ای نیز بردار محوری (شبه بردار) است.

شتاب زاویه ای - بردار محوری که به عنوان مشتق زمانی سرعت زاویه ای تعریف می شود.

هنگام چرخش حول یک محور ثابت، عموماً هنگام چرخش حول محوری که موازی با خود باقی می‌ماند، بردار سرعت زاویه‌ای نیز به موازات محور چرخش هدایت می‌شود. با افزایش مقدار سرعت زاویه ای || شتاب زاویه ای با آن در جهت منطبق است، در حالی که کاهش می یابد - در جهت مخالف هدایت می شود. تاکید می کنیم که این فقط یک مورد خاص از تغییرناپذیری جهت محور چرخش است، در حالت کلی (چرخش حول یک نقطه) خود محور چرخش می چرخد ​​و پس از آن موارد فوق درست نیست.

اتصال سرعت ها و شتاب های زاویه ای و خطی.هر یک از نقاط جسم دوار با سرعت خطی معینی به صورت مماس بر دایره مربوطه حرکت می کند (شکل 19 را ببینید). اجازه دهید نقطه مادی حول محور بچرخد 00" دور دایره ای با شعاع آر. برای مدت کمی از مسیر مربوط به زاویه چرخش عبور می کند. سپس

با عبور از حد، عبارتی برای مدول سرعت خطی یک نقطه از یک جسم در حال چرخش به دست می آوریم.

اینجا را به خاطر بیاور آر- فاصله از نقطه مورد نظر بدن تا محور چرخش.

برنج. 2.26.

از آنجایی که شتاب معمولی است

سپس با در نظر گرفتن رابطه سرعت های زاویه ای و خطی به دست می آوریم

شتاب طبیعی نقاط در یک جسم صلب در حال چرخش اغلب به عنوان نامیده می شود شتاب گریز از مرکز

تمایز با توجه به زمان عبارت برای را پیدا می کنیم

شتاب مماسی نقطه ای است که در امتداد دایره ای با شعاع حرکت می کند آر.

بنابراین، هر دو شتاب مماسی و نرمال به صورت خطی با افزایش شعاع رشد می کنند آر- فاصله از محور چرخش. شتاب کل نیز به صورت خطی بستگی دارد آر :

مثال.اجازه دهید سرعت خطی و شتاب مرکزی نقاط واقع در سطح زمین در خط استوا و در عرض جغرافیایی مسکو را پیدا کنیم (= 56 درجه). ما دوره چرخش زمین به دور محور خود را می دانیم T \u003d 24 ساعت \u003d 24x60x60 \u003d 86400 ثانیه. از اینجا سرعت زاویه ای چرخش است

شعاع میانگین زمین

فاصله تا محور چرخش در عرض جغرافیایی است

از اینجا سرعت خطی را پیدا می کنیم

و شتاب گریز از مرکز

در خط استوا = 0، cos = 1، بنابراین،

در عرض جغرافیایی مسکو cos = cos 56 درجه = 0.559و دریافت می کنیم:

می بینیم که تأثیر چرخش زمین چندان زیاد نیست: نسبت شتاب مرکزگرا در استوا به شتاب سقوط آزاد است.

با این حال، همانطور که بعداً خواهیم دید، اثرات چرخش زمین کاملاً قابل مشاهده است.

رابطه بین بردارهای سرعت خطی و زاویه ای.روابط بین سرعت های زاویه ای و خطی به دست آمده در بالا برای ماژول های بردارها و . برای نوشتن این روابط به صورت برداری از مفهوم محصول برداری استفاده می کنیم.

اجازه دهید 0z- محور چرخش یک جسم کاملاً صلب (شکل 2.28).

برنج. 2.28. رابطه بین بردارهای سرعت خطی و زاویه ای

نقطه آدور دایره ای با شعاع می چرخد آر. آر- فاصله از محور چرخش تا نقطه در نظر گرفته شده بدنه. بیایید یک نکته را در نظر بگیریم 0 برای مبدا مختصات سپس

و از

سپس با تعریف حاصلضرب بردار، برای تمام نقاط بدن

در اینجا بردار شعاع نقطه بدن است که از نقطه O شروع می شود و در یک مکان ثابت دلخواه قرار دارد. لزوماً در محور چرخش

اما به شکلی دیگر

جمله اول برابر با صفر است، زیرا حاصلضرب برداری بردارهای خطی برابر با صفر است. از این رو،

جایی که بردار آربر محور چرخش عمود است و از آن دور است و مدول آن برابر با شعاع دایره ای است که نقطه مادی در امتداد آن حرکت می کند و این بردار از مرکز این دایره شروع می شود.

برنج. 2.29. به تعریف محور لحظه ای چرخش

شتاب معمولی (مرکزی) را می توان به صورت برداری نیز نوشت:

و علامت "-" نشان می دهد که به سمت محور چرخش هدایت شده است. با افتراق رابطه سرعت خطی و زاویه ای نسبت به زمان، عبارت شتاب کل را پیدا می کنیم.

جمله اول به صورت مماس بر مسیر یک نقطه روی یک جسم در حال چرخش است و مدول آن است، زیرا

با مقایسه با عبارت شتاب مماسی، نتیجه می گیریم که این بردار شتاب مماسی است.

بنابراین، جمله دوم شتاب عادی همان نقطه است:

در واقع، در امتداد شعاع هدایت می شود آربه محور چرخش و مدول آن برابر است

بنابراین، این رابطه برای شتاب معمولی شکل دیگری از نوشتن فرمول به دست آمده قبلی است.

اطلاعات تکمیلی

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. درس عمومی فیزیک جلد 1 مکانیک ویرایش. Science 1979 - صفحات 242-243 (§46، ص 7): یک سوال نسبتاً دشوار در مورد ماهیت برداری چرخش های زاویه ای یک جسم صلب مورد بحث قرار گرفته است.

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. درس عمومی فیزیک جلد 1 مکانیک ویرایش. Science 1979 - pp. 233-242 (§45, §46 pp. 1-6): محور لحظه ای چرخش یک جسم صلب، افزودن چرخش ها.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - مجله کوانت - کینماتیک پرتاب بسکتبال (R. Vinokur);

http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - مجله Kvant، 2003، شماره 6، - صفحات 5–11، میدان سرعتهای لحظه ای یک جسم صلب (S. Krotov);

زاویه اولیه چرخش، سرعت زاویه ای

شکل 9. زاویه اولیه چرخش ()

چرخش های ابتدایی (بی نهایت کوچک) به عنوان بردار در نظر گرفته می شوند. ماژول بردار برابر با زاویه چرخش است و جهت آن با جهت حرکت انتقالی نوک پیچ مطابقت دارد که سر آن در جهت حرکت نقطه در امتداد دایره می چرخد. ، از قانون پیچ راست پیروی می کند.

سرعت زاویهای

بردار در امتداد محور چرخش مطابق با قانون پیچ راست هدایت می شود، یعنی به همان روش بردار (شکل 10 را ببینید).

شکل 10.

شکل 11

مقدار برداری تعیین شده توسط اولین مشتق زاویه چرخش بدن نسبت به زمان.

رابطه بین مدول های سرعت خطی و زاویه ای

شکل 12

رابطه بین بردارهای سرعت خطی و زاویه ای

موقعیت نقطه مورد نظر با بردار شعاع (از مبدا 0 که روی محور چرخش قرار دارد گرفته شده است) داده می شود. حاصلضرب بردار در جهت بردار منطبق است و مدول آن برابر است

واحد سرعت زاویه ای است.

شبه بردارها (بردارهای محوری) بردارهایی هستند که جهت آنها با جهت چرخش مرتبط است (مثلاً). این بردارها نقاط کاربردی خاصی ندارند: آنها را می توان از هر نقطه در محور چرخش رسم کرد.

حرکت یکنواخت یک نقطه مادی در امتداد دایره

حرکت یکنواخت در یک دایره - حرکتی که در آن یک نقطه مادی (جسم) برای دوره های زمانی مساوی از قوس های یک دایره به طول مساوی عبور می کند.

سرعت زاویهای

: (-- زاویه چرخش).

دوره چرخش T زمانی است که در طی آن نقطه مادی یک دور کامل به دور محیط می چرخد، یعنی در یک زاویه می چرخد.

از آنجایی که مربوط به فاصله زمانی است، پس.

فرکانس چرخش - تعداد دورهای کاملی که یک نقطه مادی با حرکت یکنواخت آن در امتداد یک دایره در واحد زمان انجام می دهد.

شکل 13

ویژگی بارز حرکت یکنواخت در یک دایره

حرکت دایره ای یکنواخت یک مورد خاص از حرکت منحنی است. حرکت در امتداد دایره با مدول ثابت سرعت () شتاب می گیرد. این به دلیل این واقعیت است که در یک مدول ثابت، جهت سرعت همیشه تغییر می کند.

شتاب یک نقطه مادی که به طور یکنواخت در یک دایره حرکت می کند

مولفه مماسی شتاب در حرکت یکنواخت یک نقطه در امتداد دایره برابر با صفر است.

جزء نرمال شتاب (شتاب مرکز) در امتداد شعاع به سمت مرکز دایره هدایت می شود (شکل 13 را ببینید). در هر نقطه از دایره، بردار شتاب عادی بر بردار سرعت عمود است. شتاب یک نقطه مادی که به طور یکنواخت در امتداد یک دایره در هر یک از نقاط آن حرکت می کند، مرکز آن است.

شتاب زاویه ای رابطه بین کمیت های خطی و زاویه ای

شتاب زاویه ای یک کمیت برداری است که توسط اولین مشتق سرعت زاویه ای نسبت به زمان تعیین می شود.

جهت بردار شتاب زاویه ای

هنگامی که بدن حول یک محور ثابت می چرخد، بردار شتاب زاویه ای در امتداد محور چرخش به سمت بردار افزایش اولیه سرعت زاویه ای هدایت می شود.

با حرکت شتابدار، بردار با بردار تراز می شود، با حرکت آهسته، برعکس آن است. بردار یک شبه بردار است.

واحد شتاب زاویه ای است.

رابطه بین کمیت های خطی و زاویه ای

(-- شعاع دایره؛ - سرعت خطی؛ - شتاب مماسی؛ - شتاب عادی؛ - سرعت زاویه ای).