ماشین حساب آنلاین مستقیم معادله. معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده، مثال ها، راه حل ها می گذرد

بگذارید خط مستقیم از نقاط M 1 (x 1; y 1) و M 2 (x 2; y 2) عبور کند. معادله خط مستقیمی که از نقطه M 1 می گذرد به شکل y- y 1 \u003d است. ک (x - x 1)، (10.6)

جایی که ک - ضریب هنوز ناشناخته.

از آنجایی که خط مستقیم از نقطه M 2 می گذرد (x 2 y 2)، پس مختصات این نقطه باید معادله (10.6) را برآورده کند: y 2 -y 1 \u003d ک (x 2 - x 1).

از اینجا جایگزینی مقدار یافت شده را پیدا می کنیم ک در رابطه (10.6)، معادله خط مستقیمی را که از نقاط M 1 و M 2 می گذرد، بدست می آوریم:

فرض بر این است که در این معادله x 1 ≠ x 2، y 1 ≠ y 2

اگر x 1 \u003d x 2، آنگاه خط مستقیمی که از نقاط M 1 (x 1، y I) و M 2 (x2، y 2) می گذرد با محور y موازی است. معادله آن است x = x 1 .

اگر y 2 \u003d y I ، می توان معادله خط مستقیم را به صورت y \u003d y 1 نوشت ، خط مستقیم M 1 M 2 با محور x موازی است.

معادله یک خط مستقیم در پاره ها

بگذارید خط مستقیم محور Ox را در نقطه M 1 (a؛ 0) و محور Oy - در نقطه M 2 (0؛ b) را قطع کند. معادله به شکل زیر خواهد بود:
آن ها
. این معادله نامیده می شود معادله یک خط مستقیم در پاره ها، زیرا اعداد a و b نشان می دهد که خط مستقیم کدام بخش ها را بر روی محورهای مختصات قطع می کند.

معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد

بیایید معادله یک خط مستقیم را پیدا کنیم که از نقطه معینی می گذرد Mo (x O; y o) عمود بر یک بردار غیر صفر معین n = (A; B).

یک نقطه دلخواه M(x; y) روی خط مستقیم بگیرید و بردار M 0 M (x - x 0؛ y - y o) را در نظر بگیرید (شکل 1 را ببینید). از آنجایی که بردارهای n و M o M عمود هستند، حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است:

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

معادله (8/10) نامیده می شود معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد .

بردار n = (A; B) عمود بر خط عادی نامیده می شود بردار معمولی این خط .

معادله (10.8) را می توان به صورت بازنویسی کرد Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

که در آن A و B مختصات بردار معمولی هستند، C \u003d -Ax o - Vu o - عضو آزاد. معادله (10.9) معادله کلی یک خط مستقیم است(شکل 2 را ببینید).

Fig.1 Fig.2

معادلات متعارف خط مستقیم

,

جایی که
مختصات نقطه ای هستند که خط از آن می گذرد و
- بردار جهت.

منحنی های دایره مرتبه دوم

دایره مجموعه ای از تمام نقاط یک صفحه است که از یک نقطه معین فاصله مساوی دارند که مرکز نامیده می شود.

معادله متعارف یک دایره با شعاع آر متمرکز بر یک نقطه
:

به طور خاص، اگر مرکز سهام با مبدا منطبق باشد، معادله به شکل زیر خواهد بود:

بیضی

بیضی مجموعه ای از نقاط در یک صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده است. و ، که کانون نامیده می شود، یک مقدار ثابت است
، بیشتر از فاصله بین کانون ها است
.

معادله متعارف بیضی که کانون‌های آن روی محور Ox و مبدأ آن در وسط بین کانون‌ها قرار دارد، شکل دارد.
جی deآ طول نیم محور اصلی؛ب طول نیم محور فرعی است (شکل 2).

رابطه بین پارامترهای بیضی
و با نسبت بیان می شود:

(4)

خارج از مرکز بیضینسبت فاصله بین کانونی نامیده می شود2 ثانیهبه محور اصلی2a:

خانم های مدیر بیضی به خطوط مستقیم موازی با محور y گفته می شود که در فاصله ای از این محور قرار دارند. معادلات Directrix:
.

اگر در معادله بیضی
، سپس کانون های بیضی روی محور y هستند.

بنابراین،

این مقاله در ادامه مبحث معادله خط مستقیم در یک صفحه است: چنین معادله ای را معادله کلی خط مستقیم در نظر بگیرید. بیایید یک قضیه را تعریف کنیم و آن را اثبات کنیم. بیایید بفهمیم که یک معادله کلی ناقص یک خط مستقیم چیست و چگونه می توان از یک معادله کلی به انواع دیگر معادلات یک خط مستقیم انتقال داد. ما کل نظریه را با تصاویر و حل مسائل عملی تجمیع خواهیم کرد.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی O x y در صفحه داده شود.

قضیه 1

هر معادله درجه اول با شکل A x + B y + C \u003d 0، که در آن A، B، C برخی از اعداد واقعی هستند (A و B همزمان با صفر نیستند) یک خط مستقیم را در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک هواپیما. به نوبه خود، هر خط در یک سیستم مختصات مستطیلی روی هواپیما با معادله ای تعیین می شود که به شکل A x + B y + C = 0 برای مجموعه خاصی از مقادیر A، B، C است.

اثبات

این قضیه از دو نکته تشکیل شده است که هر کدام را ثابت می کنیم.

1. اجازه دهید ثابت کنیم که معادله A x + B y + C = 0 یک خط را در صفحه تعریف می کند.

بگذارید نقطه ای M 0 (x 0 , y 0) وجود داشته باشد که مختصات آن با معادله A x + B y + C = 0 مطابقت دارد. بنابراین: A x 0 + B y 0 + C = 0 . از سمت چپ و راست معادلات A x + B y + C \u003d 0 سمت چپ و راست معادله A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 کم کنید، معادله جدیدی به نظر می رسد که شبیه A است. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . معادل A x + B y + C = 0 است.

معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 شرط لازم و کافی برای عمود بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x است. 0, y - y 0 ) . بنابراین، مجموعه نقاط M (x, y) در یک سیستم مختصات مستطیلی یک خط مستقیم عمود بر جهت بردار n → = (A, B) را تعریف می کند. می توانیم فرض کنیم که اینطور نیست، اما پس از آن بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) عمود نخواهند بود و برابری A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 درست نیست.

بنابراین، معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 خطی را در یک سیستم مختصات مستطیلی در صفحه تعریف می کند و بنابراین معادله معادل A x + B y + C \u003d 0 تعریف می کند. همان خط بنابراین قسمت اول قضیه را ثابت کردیم.

1. اجازه دهید ثابت کنیم که هر خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه را می توان با معادله درجه اول Ax + B y + C = 0 به دست آورد.

بیایید یک خط مستقیم a را در یک سیستم مختصات مستطیلی روی صفحه قرار دهیم. نقطه M 0 (x 0 , y 0) که این خط از آن عبور می کند و همچنین بردار عادی این خط n → = (A , B) .

اجازه دهید نقطه ای M (x, y) نیز وجود داشته باشد - یک نقطه شناور از خط. در این حالت بردارهای n → = (A , B) و M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) بر یکدیگر عمود هستند و حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

بیایید معادله A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 را بازنویسی کنیم، C = - A x 0 - B y 0 را تعریف کنیم و در نهایت معادله A x + B y + C = 0 را بدست آوریم.

بنابراین، ما جزء دوم قضیه را ثابت کرده ایم و کل قضیه را به طور کلی ثابت کرده ایم.

تعریف 1

معادله ای که به نظر می رسد A x + B y + C = 0 - این هست معادله کلی یک خط مستقیمدر یک صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی شکلO x y .

بر اساس قضیه اثبات شده، می‌توان نتیجه گرفت که یک خط مستقیم داده‌شده روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی ثابت و معادله کلی آن به‌طور جدایی ناپذیری به هم مرتبط هستند. به عبارت دیگر، خط اصلی با معادله کلی آن مطابقت دارد. معادله کلی یک خط مستقیم با یک خط مستقیم مشخص مطابقت دارد.

همچنین از اثبات قضیه برمی‌آید که ضرایب A و B برای متغیرهای x و y مختصات بردار معمولی خط مستقیم هستند که با معادله کلی خط مستقیم Ax + B y + به دست می‌آید. C = 0.

یک مثال خاص از معادله کلی یک خط مستقیم را در نظر بگیرید.

اجازه دهید معادله 2 x + 3 y - 2 = 0 داده شود که مربوط به یک خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی است. بردار معمولی این خط بردار است n → = (2، 3). یک خط مستقیم داده شده را در نقاشی بکشید.

موارد زیر را نیز می توان استدلال کرد: خط مستقیمی که در نقاشی می بینیم با معادله کلی 2 x + 3 y - 2 = 0 تعیین می شود، زیرا مختصات تمام نقاط یک خط مستقیم داده شده با این معادله مطابقت دارد.

می‌توانیم معادله λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 را با ضرب دو طرف معادله خط مستقیم عمومی در یک عدد غیر صفر λ بدست آوریم. معادله به دست آمده معادل معادله کلی اصلی است، بنابراین، همان خط را در صفحه توصیف می کند.

معادله کلی یک خط مستقیم را کامل کنید- چنین معادله کلی از خط A x + B y + C \u003d 0، که در آن اعداد A، B، C غیر صفر هستند. در غیر این صورت، معادله است ناقص.

اجازه دهید همه تغییرات معادله کلی ناقص خط مستقیم را تجزیه و تحلیل کنیم.

1. وقتی A \u003d 0، B ≠ 0، C ≠ 0، معادله کلی B y + C \u003d 0 می شود. چنین معادله کلی ناقص خط مستقیمی را در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y تعریف می کند که موازی با محور Ox است، زیرا برای هر مقدار واقعی x، متغیر y مقدار را به خود می گیرد. - C B. به عبارت دیگر، معادله کلی خط A x + B y + C \u003d 0، زمانی که A \u003d 0، B ≠ 0، مکان نقاط (x، y) را مشخص می کند که مختصات آنها با همان عدد برابر است. - C B.
2. اگر A \u003d 0، B ≠ 0، C \u003d 0، معادله کلی تبدیل به y \u003d 0 می شود. چنین معادله ناقصی محور x Ox را تعریف می کند.
3. وقتی A ≠ 0، B \u003d 0، C ≠ 0، یک معادله کلی ناقص A x + C \u003d 0 دریافت می کنیم که یک خط مستقیم موازی با محور y تعریف می کند.
4. اجازه دهید A ≠ 0، B \u003d 0، C \u003d 0، سپس معادله کلی ناقص به شکل x \u003d 0 خواهد بود و این معادله خط مختصات O y است.
5. در نهایت، وقتی A ≠ 0، B ≠ 0، C \u003d 0، معادله کلی ناقص شکل A x + B y \u003d 0 را به خود می گیرد. و این معادله یک خط مستقیم را توصیف می کند که از مبدا می گذرد. در واقع، جفت اعداد (0، 0) با برابری A x + B y = 0 مطابقت دارد، زیرا A · 0 + B · 0 = 0.

اجازه دهید تمام انواع بالا از معادله کلی ناقص یک خط مستقیم را به صورت گرافیکی نشان دهیم.

مثال 1

مشخص است که خط مستقیم داده شده موازی با محور y است و از نقطه 2 7 , - 11 می گذرد. نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

یک خط مستقیم موازی با محور y با معادله ای به شکل A x + C \u003d 0 داده می شود که در آن A ≠ 0 است. شرط همچنین مختصات نقطه ای را که خط از آن می گذرد مشخص می کند و مختصات این نقطه با شرایط معادله کلی ناقص A x + C = 0 مطابقت دارد، یعنی. برابری صحیح است:

A 2 7 + C = 0

می توان C را با دادن مقداری غیر صفر به A، به عنوان مثال، A = 7 از آن تعیین کرد. در این مورد، ما دریافت می کنیم: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. ما هر دو ضریب A و C را می دانیم، آنها را در معادله A x + C = 0 جایگزین می کنیم و معادله مورد نیاز خط را بدست می آوریم: 7 x - 2 = 0

پاسخ: 7 x - 2 = 0

مثال 2

نقاشی یک خط مستقیم را نشان می دهد، لازم است معادله آن را بنویسید.

راه حل

نقشه داده شده به ما اجازه می دهد تا به راحتی داده های اولیه را برای حل مسئله برداریم. در نقاشی می بینیم که خط داده شده موازی با محور Ox است و از نقطه (0 و 3) می گذرد.

خط مستقیم که موازی با آبسیسا است با معادله کلی ناقص B y + С = 0 تعیین می شود. مقادیر B و C را پیدا کنید. مختصات نقطه (0، 3)، از آنجایی که خط مستقیم داده شده از آن عبور می کند، معادله خط مستقیم B y + С = 0 را برآورده می کند، پس تساوی معتبر است: В · 3 + С = 0. بیایید B را مقداری غیر از صفر قرار دهیم. فرض کنید B \u003d 1، در این مورد، از برابری B · 3 + C \u003d 0 می توانیم C: C \u003d - 3 را پیدا کنیم. با استفاده از مقادیر شناخته شده B و C، معادله مورد نیاز خط مستقیم را بدست می آوریم: y - 3 = 0.

پاسخ: y - 3 = 0.

معادله کلی خط مستقیمی که از نقطه معینی از صفحه می گذرد

بگذارید خط داده شده از نقطه M 0 (x 0, y 0) عبور کند، سپس مختصات آن با معادله کلی خط مطابقت دارد، یعنی. برابری درست است: A x 0 + B y 0 + C = 0. سمت چپ و راست این معادله را از سمت چپ و راست معادله کامل کلی خط مستقیم کم کنید. دریافت می کنیم: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0، این معادله معادل معادله اصلی اصلی است، از نقطه M 0 (x 0، y 0) عبور می کند و دارای یک بردار عادی n → \u003d (A, B) .

نتیجه ای که به دست آوردیم امکان نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم را برای مختصات شناخته شده بردار عادی خط مستقیم و مختصات یک نقطه معین از این خط مستقیم فراهم می کند.

مثال 3

با توجه به نقطه M 0 (- 3, 4) که خط از آن عبور می کند و بردار عادی این خط n → = (1، - 2) . نوشتن معادله یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

شرایط اولیه به ما امکان می دهد داده های لازم را برای تدوین معادله به دست آوریم: A \u003d 1، B \u003d - 2، x 0 \u003d - 3، y 0 \u003d 4. سپس:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

مشکل را می شد به گونه ای دیگر حل کرد. معادله کلی یک خط مستقیم به شکل A x + B y + C = 0 است. بردار نرمال داده شده به شما امکان می دهد مقادیر ضرایب A و B را بدست آورید، سپس:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

حالا بیایید مقدار C را با استفاده از نقطه M 0 (- 3, 4) که با شرط مسئله که خط از آن عبور می کند، پیدا کنیم. مختصات این نقطه با معادله x - 2 · y + C = 0 مطابقت دارد، یعنی. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. بنابراین C = 11. معادله خط مستقیم مورد نیاز به شکل: x - 2 · y + 11 = 0 است.

پاسخ: x - 2 y + 11 = 0 .

مثال 4

با توجه به یک خط 2 3 x - y - 1 2 = 0 و یک نقطه M 0 که روی این خط قرار دارد. فقط آبسیسا این نقطه مشخص است و برابر با - 3 است. تعیین ترتیب نقطه داده شده ضروری است.

راه حل

بیایید تعیین مختصات نقطه M 0 را x 0 و y 0 قرار دهیم. داده های اولیه نشان می دهد که x 0 \u003d - 3. از آنجایی که نقطه متعلق به یک خط معین است، پس مختصات آن با معادله کلی این خط مطابقت دارد. سپس برابری زیر صادق خواهد بود:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 را تعریف کنید: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

پاسخ: - 5 2

انتقال از معادله کلی یک خط مستقیم به انواع دیگر معادلات یک خط مستقیم و بالعکس

همانطور که می دانیم چندین نوع از معادله یک خط مستقیم در صفحه وجود دارد. انتخاب نوع معادله به شرایط مسئله بستگی دارد. می توان گزینه ای را انتخاب کرد که برای راه حل آن راحت تر باشد. اینجاست که مهارت تبدیل یک معادله از یک نوع به یک معادله از نوع دیگر بسیار مفید است.

ابتدا، انتقال از معادله عمومی شکل A x + B y + C = 0 به معادله متعارف x - x 1 a x = y - y 1 a y را در نظر بگیرید.

اگر A ≠ 0 باشد، عبارت B y را به سمت راست معادله عمومی منتقل می کنیم. در سمت چپ، A را از پرانتز خارج می کنیم. در نتیجه به دست می آوریم: A x + C A = - B y .

این برابری را می توان به صورت یک نسبت نوشت: x + C A - B = y A .

اگر B ≠ 0 باشد، فقط عبارت A x را در سمت چپ معادله کلی می گذاریم، بقیه را به سمت راست منتقل می کنیم، دریافت می کنیم: A x \u003d - B y - C. ما - B را از پرانتز خارج می کنیم، سپس: A x \u003d - B y + C B.

بیایید تساوی را به صورت نسبت بازنویسی کنیم: x - B = y + C B A .

البته نیازی به حفظ فرمول های به دست آمده نیست. کافی است الگوریتم اقدامات را در طول انتقال از معادله عمومی به معادله متعارف بدانیم.

مثال 5

معادله کلی خط 3 y - 4 = 0 داده شده است. باید به یک معادله متعارف تبدیل شود.

راه حل

معادله اصلی را به صورت 3 y - 4 = 0 می نویسیم. بعد، طبق الگوریتم عمل می کنیم: عبارت 0 x در سمت چپ باقی می ماند. و در سمت راست بیرون می آوریم - 3 از براکت ها؛ دریافت می کنیم: 0 x = - 3 y - 4 3 .

بیایید تساوی حاصل را به صورت نسبت بنویسیم: x - 3 = y - 4 3 0 . بنابراین، معادله ای از شکل متعارف را به دست آورده ایم.

پاسخ: x - 3 = y - 4 3 0.

برای تبدیل معادله کلی یک خط مستقیم به پارامتری، ابتدا انتقال به شکل متعارف و سپس انتقال از معادله متعارف خط مستقیم به معادلات پارامتری انجام می شود.

مثال 6

خط مستقیم با معادله 2 x - 5 y - 1 = 0 به دست می آید. معادلات پارامتری این خط را بنویسید.

راه حل

بیایید انتقال از معادله عمومی به معادله متعارف را انجام دهیم:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

حال بیایید هر دو بخش از معادله متعارف حاصل را برابر λ در نظر بگیریم، سپس:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

پاسخ:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

معادله کلی را می توان به یک معادله خط مستقیم با شیب y = k x + b تبدیل کرد، اما فقط زمانی که B≠ 0 باشد. برای انتقال در سمت چپ، عبارت B y را ترک می کنیم، بقیه به سمت راست منتقل می شوند. دریافت می کنیم: B y = - A x - C . بیایید هر دو قسمت تساوی حاصل را بر B تقسیم کنیم که با صفر متفاوت است: y = - A B x - C B .

مثال 7

معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است: 2 x + 7 y = 0 . شما باید آن معادله را به یک معادله شیب تبدیل کنید.

راه حل

بیایید طبق الگوریتم اقدامات لازم را انجام دهیم:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

پاسخ: y = - 2 7 x .

از معادله کلی یک خط مستقیم، کافی است به سادگی یک معادله در بخش هایی به شکل x a + y b \u003d 1 به دست آوریم. برای انجام چنین انتقالی، عدد C را به سمت راست برابری منتقل می کنیم، هر دو قسمت تساوی حاصل را بر - С تقسیم می کنیم و در نهایت، ضرایب متغیرهای x و y را به مخرج ها منتقل می کنیم:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

مثال 8

لازم است معادله کلی خط مستقیم x - 7 y + 1 2 = 0 به معادله یک خط مستقیم در پاره ها تبدیل شود.

راه حل

بیایید 1 2 را به سمت راست حرکت دهیم: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

دو طرف معادله را بر 1/2- تقسیم کنید: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

پاسخ: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

به طور کلی، انتقال معکوس نیز آسان است: از انواع دیگر معادلات به معادلات عمومی.

معادله یک خط مستقیم در بخش ها و معادله با یک شیب را می توان به سادگی با جمع آوری تمام عبارت های سمت چپ معادله به یک معادله کلی تبدیل کرد:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

معادله متعارف طبق طرح زیر به معادله عمومی تبدیل می شود:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

برای عبور از پارامتری، ابتدا انتقال به متعارف و سپس به کلی انجام می شود:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

مثال 9

معادلات پارامتری خط راست x = - 1 + 2 · λ y = 4 داده شده است. باید معادله کلی این خط را یادداشت کرد.

راه حل

بیایید انتقال از معادلات پارامتری به استاندارد را انجام دهیم:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

بیایید از متعارف به کلی حرکت کنیم:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

پاسخ: y - 4 = 0

مثال 10

معادله یک خط مستقیم در قطعات x 3 + y 1 2 = 1 داده شده است. لازم است انتقال به شکل کلی معادله انجام شود.

راه حل:

بیایید فقط معادله را به شکل مورد نیاز بازنویسی کنیم:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

پاسخ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

ترسیم معادله کلی خط مستقیم

در بالا گفتیم که معادله کلی را می توان با مختصات مشخص بردار نرمال و مختصات نقطه ای که خط از آن عبور می کند، نوشت. چنین خط مستقیمی با معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 تعریف می شود. در همان مکان مثال مربوطه را تحلیل کردیم.

حال بیایید به مثال های پیچیده تری نگاه کنیم که در آنها ابتدا لازم است مختصات بردار نرمال تعیین شود.

مثال 11

یک خط موازی با خط 2 x - 3 y + 3 3 = 0 داده می شود. همچنین نقطه M 0 (4، 1) که خط داده شده از آن عبور می کند نیز شناخته شده است. نوشتن معادله یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

شرایط اولیه به ما می گوید که خطوط موازی هستند، در حالی که، به عنوان بردار معمولی خطی که معادله آن باید نوشته شود، بردار هدایت کننده خط n را می گیریم → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. اکنون تمام داده های لازم برای ایجاد معادله کلی یک خط مستقیم را می دانیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

پاسخ: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

مثال 12

خط داده شده از مبدأ عمود بر خط x - 2 3 = y + 4 5 عبور می کند. نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

بردار معمولی خط داده شده بردار هدایت کننده خط x - 2 3 = y + 4 5 خواهد بود.

سپس n → = (3، 5) . خط مستقیم از مبدا می گذرد، یعنی. از نقطه O (0, 0) . بیایید معادله کلی یک خط مستقیم داده شده را بسازیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

پاسخ: 3 x + 5 y = 0 .

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

این مقاله دریافت کرد معادله خطی که از دو نقطه داده شده می گذرددر یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی روی صفحه، و همچنین معادلات یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی می گذرد. پس از ارائه تئوری، راه‌حل‌هایی از مثال‌ها و مسائل معمولی نشان داده می‌شود که در آنها باید معادلات یک خط مستقیم از انواع مختلف، زمانی که مختصات دو نقطه از این خط مستقیم مشخص است، تشکیل داد.

پیمایش صفحه.

معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده در یک صفحه می گذرد.

قبل از به دست آوردن معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه می گذرد، اجازه دهید چند واقعیت را یادآوری کنیم.

یکی از بدیهیات هندسه می گوید که از طریق دو نقطه غیرمتناسب در یک صفحه، می توان یک خط مستقیم را رسم کرد. به عبارت دیگر با تعیین دو نقطه در صفحه، خط مستقیمی را که از این دو نقطه می گذرد به صورت منحصر به فرد تعیین می کنیم (در صورت لزوم به قسمت نحوه تعیین خط مستقیم در صفحه مراجعه کنید).

بگذارید Oxy در هواپیما ثابت شود. در این سیستم مختصات، هر خط مستقیم با معادله ای از یک خط مستقیم در یک صفحه مطابقت دارد. بردار جهت خط به طور ناگسستنی با همان خط مرتبط است. این دانش برای ایجاد معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد کاملاً کافی است.

بیایید شرط مسئله را فرموله کنیم: معادله خط مستقیم a را بسازیم که در سیستم مختصات دکارتی مستطیلی Oxy از دو نقطه ناهمخوان عبور می کند و .

اجازه دهید ساده ترین و جهانی ترین راه حل را برای این مشکل نشان دهیم.

می دانیم که معادله متعارف یک خط در صفحه شکل است یک خط مستقیم را در سیستم مختصات مستطیلی Oxy تعریف می کند که از نقطه عبور می کند و بردار جهت دارد.

بیایید معادله متعارف خط مستقیم a را بنویسیم که از دو نقطه داده شده عبور می کند و .

بدیهی است که بردار جهت دهنده خط مستقیم a که از نقاط M 1 و M 2 می گذرد، بردار است، دارای مختصات است. (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید). بنابراین، ما تمام داده های لازم برای نوشتن معادله متعارف خط مستقیم a - مختصات بردار جهت آن را داریم. و مختصات نقطه روی آن (و ). به نظر می رسد (یا ).

همچنین می توانیم معادلات پارامتریک یک خط مستقیم را روی صفحه ای که از دو نقطه می گذرد بنویسیم و . به نظر می رسند یا .

بیایید به یک نمونه راه حل نگاهی بیندازیم.

مثال.

معادله خطی را بنویسید که از دو نقطه داده شده می گذرد. .

راه حل.

متوجه شدیم که معادله متعارف خط مستقیمی که از دو نقطه با مختصات می گذرد و شکل دارد .

از شرایط مشکلی که داریم . این داده ها را در معادله جایگزین کنید . ما گرفتیم .

پاسخ:

.

اگر به یک معادله متعارف یک خط مستقیم و نه معادلات پارامتریک یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، بلکه به معادله ای از یک خط مستقیم از نوع متفاوت نیاز داشته باشیم، در این صورت همیشه می توان از معادله متعارف یک خط مستقیم به دست آمد. به آن

مثال.

معادله کلی خط مستقیم را بسازید که در سیستم مختصات مستطیلی اکسی در صفحه از دو نقطه عبور می کند و.

راه حل.

ابتدا معادله متعارف خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده می گذرد را می نویسیم. به نظر می رسد. حالا معادله به دست آمده را به شکل مورد نیاز می آوریم: .

پاسخ:

.

در این مورد، می توانید با معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه می گذرد، پایان دهید. اما من می خواهم به شما یادآوری کنم که چگونه چنین مشکلی را در دبیرستان در درس جبر حل کردیم.

ما در مدرسه فقط معادله یک خط مستقیم با شیب شکل را می دانستیم. بیایید مقدار ضریب شیب k و عدد b را پیدا کنیم که در آن معادله در سیستم مختصات مستطیلی Oxy در صفحه یک خط مستقیم را که از نقاط و در می گذرد تعریف می کند. (اگر x 1 \u003d x 2 ، شیب خط مستقیم بی نهایت است و خط مستقیم M 1 M 2 معادله کلی ناقص خط مستقیم به شکل x-x 1 \u003d 0 را تعیین می کند).

از آنجایی که نقاط M 1 و M 2 روی یک خط مستقیم قرار دارند، مختصات این نقاط معادله یک خط مستقیم، یعنی برابری ها را برآورده می کند و معتبر است. حل یک سیستم معادلات فرم با توجه به متغیرهای مجهول k و b پیدا می کنیم یا . برای این مقادیر k و b معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه می گذرد شکل می گیرد یا .

به خاطر سپردن این فرمول ها معنی ندارد؛ هنگام حل مثال ها، تکرار اقدامات مشخص شده آسان تر است.

مثال.

معادله یک خط مستقیم با شیب را بنویسید اگر این خط مستقیم از نقاط و .

راه حل.

در حالت کلی، معادله یک خط مستقیم با شیب شکل دارد. k و b را پیدا کنید که معادله مربوط به خط مستقیمی است که از دو نقطه می گذرد و .

از آنجایی که نقاط M 1 و M 2 روی یک خط مستقیم قرار دارند، پس مختصات آنها معادله یک خط مستقیم را برآورده می کند، یعنی تساوی ها صادق هستند. و . مقادیر k و b به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات یافت می شوند (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید):

باقی مانده است که مقادیر یافت شده و معادله را جایگزین کنیم. بنابراین، معادله مورد نظر یک خط مستقیم که از دو نقطه می گذرد و به شکل .

کار عظیم، درست است؟

نوشتن معادله متعارف خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد بسیار ساده تر است و شکل آن ، و از آن به معادله یک خط مستقیم با شیب بروید: .

پاسخ:

معادلات یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده در فضای سه بعدی می گذرد.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضای سه بعدی ثابت شود و دو نقطه نامتناسب داده شود. و که خط مستقیم M 1 M 2 از آن عبور می کند. معادلات این خط را بدست می آوریم.

می دانیم که معادلات متعارف یک خط در فضای شکل است و معادلات پارامتریک یک خط مستقیم در فضای فرم یک خط مستقیم در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz تعریف کنید که از نقطه ای با مختصات می گذرد و یک بردار جهت دارد. .

بردار هدایت کننده خط M 1 M 2 بردار است و این خط از نقطه می گذرد (و ، سپس معادلات متعارف این خط دارای شکل (یا ) و معادلات پارامتری - (یا ).

.

اگر نیاز به تنظیم یک خط مستقیم M 1 M 2 با استفاده از معادلات دو صفحه متقاطع دارید، ابتدا باید معادلات متعارف یک خط مستقیم را که از دو نقطه می گذرد بنویسید. و ، و از این معادلات معادلات مورد نظر هواپیماها را بدست آوریم.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Atanasyan L.S.، Butuzov V.F.، Kadomtsev S.B.، Poznyak E.G.، Yudina I.I. هندسه. کلاس 7 تا 9: کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی.
• Atanasyan L.S.، Butuzov V.F.، Kadomtsev S.B.، Kiseleva L.S.، Poznyak E.G. هندسه. کتاب درسی 10-11 دبیرستان.
• Pogorelov A.V.، هندسه. کتاب درسی برای پایه های 7-11 موسسات آموزشی.
• Bugrov Ya.S.، Nikolsky S.M. ریاضیات عالی جلد اول: عناصر جبر خطی و هندسه تحلیلی.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. هندسه تحلیلی

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

خطوط بی نهایت زیادی وجود دارد که می توان از هر نقطه ای ترسیم کرد.

از طریق هر دو نقطه غیر متقابل، فقط یک خط مستقیم وجود دارد.

دو خط غیر منطبق در صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (پیروی از قبلی).

در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط وجود دارد:

• خطوط متقاطع؛

• خطوط مستقیم موازی هستند.

• خطوط مستقیم همدیگر را قطع می کنند

سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: در دستگاه مختصات دکارتی، یک خط مستقیم

در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.

معادله کلی یک خط مستقیم

تعریف. هر خطی در صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

Ah + Wu + C = 0،

و ثابت الف، بهمزمان با صفر برابر نیست. این معادله مرتبه اول نامیده می شود عمومی

معادله خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو از جانبموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠ 0، B ≠ 0- خط از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠0، C ≠0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠ 0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU

. B = C = 0، A ≠ 0- خط با محور منطبق است OU

. A = C = 0، B ≠ 0- خط با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم را می توان به اشکال مختلف بسته به هر داده ای نشان داد

شرایط اولیه.

معادله یک خط مستقیم با یک نقطه و یک بردار نرمال.

تعریف. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B)

عمود بر خط داده شده توسط معادله

Ah + Wu + C = 0.

مثال. معادله خط مستقیمی که از یک نقطه می گذرد را پیدا کنید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل. بیایید در A \u003d 3 و B \u003d -1 معادله خط مستقیم را بسازیم: 3x - y + C \u003d 0. برای پیدا کردن ضریب C

مختصات نقطه A را در عبارت حاصل جایگزین می کنیم.

C = -1. مجموع: معادله مورد نظر: 3x - y - 1 \u003d 0.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1 , y 1 , z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله خط مستقیم,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها برابر با صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد. در

در صفحه، معادله یک خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسر = kتماس گرفت فاکتور شیب سر راست.

مثال. معادله خط مستقیمی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

راه حل. با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با یک نقطه و یک شیب.

اگر معادله کلی یک خط مستقیم باشد Ah + Wu + C = 0به فرم بیاورید:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم روی یک نقطه و یک بردار جهت دهنده.

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید کار را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت یک خط مستقیم.

تعریف. هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)، که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aα 1 + Bα 2 = 0تماس گرفت بردار جهت خط مستقیم

Ah + Wu + C = 0.

مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل. معادله خط مستقیم مورد نظر را به شکل زیر جستجو می کنیم: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. A = B.

سپس معادله یک خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x=1، y=2ما گرفتیم C/A = -3، یعنی معادله مورد نظر:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ah + Wu + C = 0 C≠0، با تقسیم بر -C، به دست می‌آید:

یا کجا

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است.

مستقیم با محور اوه،آ ب- مختصات نقطه تقاطع خط با محور OU.

مثال. معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

معادله عادی یک خط مستقیم.

اگر هر دو طرف معادله Ah + Wu + C = 0تقسیم بر عدد ، که نامیده می شود

عامل عادی سازی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی یک خط مستقیم.

علامت ± فاکتور نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ * C< 0.

آر- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط،

آ φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال. با توجه به معادله کلی یک خط مستقیم 12x - 5y - 65 = 0. برای نوشتن انواع مختلف معادلات مورد نیاز است

این خط مستقیم

معادله این خط مستقیم در قطعات:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط مستقیم:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط در یک صفحه.

تعریف. اگر دو خط داده شود y \u003d k 1 x + b 1، y \u003d k 2 x + b 2، سپس زاویه حاد بین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2. دو خط عمود بر هم هستند

اگر k 1 \u003d -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم Ah + Wu + C = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0زمانی که ضرایب متناسب باشند موازی هستند

A 1 \u003d λA، B 1 \u003d λB. اگر همچنین С 1 \u003d λС، سپس خطوط منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط یافت می شوند.

معادله خطی که از یک نقطه معین می گذرد بر یک خط معین عمود است.

تعریف. خطی که از نقطه ای می گذرد M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

قضیه. اگر امتیاز داده شود M(x 0، y 0)،سپس فاصله تا خط Ah + Wu + C = 0که تعریف میشود:

اثبات. بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده عمود از نقطه افتاد مبرای یک معین

مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از نقطه معین M 0 به طور عمود عبور می کند.

خط داده شده اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت شده است.

این مقاله استخراج معادله یک خط مستقیم را نشان می دهد که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی واقع در یک صفحه می گذرد. ما معادله یک خط مستقیم را که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی می گذرد استخراج می کنیم. چندین مثال مرتبط با مطالب پوشش داده شده را به صورت بصری نشان داده و حل خواهیم کرد.

قبل از به دست آوردن معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، باید به نکاتی توجه کرد. یک اصل بدیهی وجود دارد که می گوید از طریق دو نقطه غیرمتناسب در یک صفحه می توان یک خط مستقیم و فقط یک را رسم کرد. به عبارت دیگر، دو نقطه داده شده از صفحه توسط یک خط مستقیم که از این نقاط می گذرد تعیین می شود.

اگر صفحه توسط سیستم مختصات مستطیلی Oxy داده شود، هر خط مستقیمی که در آن نشان داده شده است با معادله خط مستقیم روی صفحه مطابقت دارد. همچنین ارتباطی با بردار جهت دهنده خط مستقیم وجود دارد که این داده ها برای ترسیم معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد کافی است.

مثالی از حل یک مشکل مشابه را در نظر بگیرید. لازم است معادله یک خط مستقیم a که از دو نقطه ناهمخوان M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) واقع در سیستم مختصات دکارتی عبور می کند، بسازیم.

در معادله متعارف یک خط مستقیم روی یک صفحه، به شکل x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y، یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با یک خط مستقیم مشخص می شود که در نقطه ای با مختصات M با آن قطع می شود. 1 (x 1, y 1) با بردار راهنما a → = (a x , a y) .

لازم است معادله متعارف خط مستقیم a را بسازیم که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) عبور می کند.

خط مستقیم a دارای بردار جهت M 1 M 2 → با مختصات (x 2 - x 1، y 2 - y 1) است، زیرا نقاط M 1 و M 2 را قطع می کند. ما داده های لازم را به منظور تبدیل معادله متعارف با مختصات بردار جهت M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) و مختصات نقاط M 1 که روی آنها قرار دارد به دست آورده ایم. (x 1, y 1) و M 2 (x 2 , y 2) . معادله ای به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 به دست می آوریم.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

پس از محاسبات، معادلات پارامتریک یک خط مستقیم را در صفحه ای که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) عبور می کند، می نویسیم. معادله ای به شکل x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ یا x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ بدست می آوریم y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

بیایید نگاهی دقیق تر به چند مثال بیندازیم.

مثال 1

معادله خط مستقیمی را که از 2 نقطه داده شده با مختصات M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 عبور می کند بنویسید.

راه حل

معادله متعارف خط مستقیمی که در دو نقطه با مختصات x 1 , y 1 و x 2 , y 2 قطع می شود به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 می باشد. با توجه به شرایط مشکل، ما داریم که x 1 \u003d - 5، y 1 \u003d 2 3، x 2 \u003d 1، y 2 \u003d - 1 6. لازم است مقادیر عددی را در معادله x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 جایگزین کنید. از اینجا دریافتیم که معادله متعارف به شکل x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 خواهد بود.

پاسخ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

اگر حل مشکلی با نوع دیگری از معادله ضروری است، برای شروع می توانید به معادله متعارف بروید، زیرا رسیدن به هر دیگری از آن آسان تر است.

مثال 2

معادله کلی خط مستقیمی را که از نقاطی با مختصات M 1 (1, 1) و M 2 (4, 2) در سیستم مختصات O x y می گذرد بنویسید.

راه حل

ابتدا باید معادله متعارف یک خط معین را که از دو نقطه داده شده می گذرد، یادداشت کنید. معادله ای به شکل x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 بدست می آوریم.

معادله متعارف را به شکل مورد نظر می آوریم، سپس به دست می آوریم:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

پاسخ: x - 3 y + 2 = 0 .

نمونه هایی از این کارها در کتاب های درسی مدرسه در درس جبر در نظر گرفته شد. وظایف مدرسه از این نظر متفاوت بود که معادله یک خط مستقیم با ضریب شیب شناخته شده بود، به شکل y \u003d k x + b. اگر باید مقدار شیب k و عدد b را پیدا کنید، که در آن معادله y \u003d k x + b خطی را در سیستم Oxy تعریف می کند که از نقاط M 1 (x 1, y 1) و M می گذرد. 2 (x 2، y 2)، که در آن x 1 ≠ x 2 . وقتی x 1 = x 2 ، سپس شیب مقدار بی نهایت را به خود می گیرد و خط مستقیم M 1 M 2 با یک معادله کلی ناقص به شکل x - x 1 = 0 تعریف می شود. .

چون نقطه ها M 1و M 2روی یک خط مستقیم هستند، سپس مختصات آنها معادله y 1 = k x 1 + b و y 2 = k x 2 + b را برآورده می کند. حل سیستم معادلات y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b نسبت به k و b ضروری است.

برای انجام این کار، k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x پیدا می کنیم 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

با چنین مقادیر k و b، معادله خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده می گذرد به شکل زیر است: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

به خاطر سپردن چنین تعداد زیادی فرمول به طور همزمان کار نخواهد کرد. برای این کار باید تعداد تکرارها را در حل مسائل افزایش داد.

مثال 3

معادله یک خط مستقیم با شیب عبور از نقاط با مختصات M 2 (2، 1) و y = k x + b را بنویسید.

راه حل

برای حل مشکل، از فرمولی با شیب استفاده می کنیم که به شکل y \u003d k x + b است. ضرایب k و b باید چنان مقداری داشته باشند که این معادله مطابق با خط مستقیمی باشد که از دو نقطه با مختصات M 1 (- 7 , - 5) و M 2 (2 , 1) می گذرد.

نکته ها M 1و M 2بر روی یک خط مستقیم قرار دارند، سپس مختصات آنها باید معادله y = k x + b برابری صحیح را معکوس کنند. از اینجا دریافت می کنیم که - 5 = k · (- 7) + b و 1 = k · 2 + b. بیایید معادله را در سیستم ترکیب کنیم - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b و حل کنیم.

پس از تعویض، آن را دریافت می کنیم

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

اکنون مقادیر k = 2 3 و b = - 1 3 در معادله y = k x + b جایگزین می شوند. دریافتیم که معادله مورد نظر که از نقاط داده شده می گذرد معادله ای خواهد بود که به شکل y = 2 3 x - 1 3 است.

این روش حل، صرف زمان زیادی را از پیش تعیین می کند. راهی وجود دارد که در آن کار به معنای واقعی کلمه در دو مرحله حل می شود.

ما معادله متعارف خط مستقیمی را که از M 2 (2، 1) و M 1 (- 7، - 5) می گذرد، می نویسیم که به شکل x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) است. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

حالا بیایید به معادله شیب برویم. دریافت می کنیم که: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

پاسخ: y = 2 3 x - 1 3 .

اگر در فضای سه بعدی یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z با دو نقطه داده شده غیر منطبق با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) وجود داشته باشد. خط مستقیم M که از آنها 1 M 2 عبور می کند، لازم است معادله این خط به دست آید.

معادلات متعارف شکل x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z و معادلات پارامتری شکل x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + داریم. a z λ می توانند خطی را در سیستم مختصات O x y z تنظیم کنند که از نقاط دارای مختصات (x 1, y 1, z 1) با بردار جهت دهنده a → = (a x, a y, a z) عبور می کند.

راست M 1 M 2 دارای یک بردار جهت به شکل M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ، جایی که خط از نقطه M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) می گذرد 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2)، بنابراین معادله متعارف می تواند به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z باشد. 2 - z 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1، به نوبه خود، پارامتری x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ یا x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

شکلی را در نظر بگیرید که 2 نقطه داده شده در فضا و معادله یک خط مستقیم را نشان می دهد.

مثال 4

معادله یک خط مستقیم تعریف شده در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z فضای سه بعدی را بنویسید که از دو نقطه داده شده با مختصات M 1 (2, - 3, 0) و M 2 (1, - 3, - 5) عبور می کند. ) .

راه حل

ما باید معادله متعارف را پیدا کنیم. از آنجایی که ما در مورد فضای سه بعدی صحبت می کنیم، به این معنی است که وقتی یک خط مستقیم از نقاط داده شده عبور می کند، معادله متعارف مورد نظر به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = خواهد بود. z - z 1 z 2 - z 1 .

با شرط، داریم که x 1 = 2، y 1 = - 3، z 1 = 0، x 2 = 1، y 2 = - 3، z 2 = - 5. از این رو می توان معادلات لازم را به صورت زیر نوشت:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

پاسخ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید