تعریف حد را بنویسید. محدودیت ها در ریاضیات برای آدمک ها: توضیح، نظریه، نمونه هایی از راه حل ها

(ایکس)در نقطه x 0 :
,
اگر
1) چنین همسایگی سوراخ شده ای از نقطه x وجود دارد 0
2) برای هر دنباله ای (xn)، همگرا به x 0 :
، که عناصر آن متعلق به محله است،
دنباله (f(xn))به یک همگرا می شود:
.

اینجا x 0 و a می تواند اعداد متناهی یا نقاطی در بی نهایت باشد. محله می تواند دو طرفه یا یک طرفه باشد.

.

تعریف دوم از حد یک تابع (طبق نظر کوشی)

عدد a را حد تابع f می نامند (ایکس)در نقطه x 0 :
,
اگر
1) چنین همسایگی سوراخ شده ای از نقطه x وجود دارد 0 ، که تابع بر روی آن تعریف شده است.
2) برای هر عدد مثبت ε > 0 چنین عدد δ ε وجود دارد > 0 بسته به ε، که برای همه x متعلق به δ ε سوراخ شده - همسایگی نقطه x 0 :
,
مقادیر تابع f (ایکس)متعلق به همسایگی ε نقطه a:
.

امتیاز x 0 و a می تواند اعداد متناهی یا نقاطی در بی نهایت باشد. محله نیز می تواند دو طرفه یا یک طرفه باشد.

اجازه دهید این تعریف را با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهان شمول بنویسیم:
.

این تعریف از محله هایی با انتهای مساوی استفاده می کند. یک تعریف معادل را می توان با استفاده از همسایگی دلخواه نقاط ارائه داد.

تعریف با استفاده از محله های دلخواه
عدد a را حد تابع f می نامند (ایکس)در نقطه x 0 :
,
اگر
1) چنین همسایگی سوراخ شده ای از نقطه x وجود دارد 0 ، که تابع بر روی آن تعریف شده است.
2) برای هر محله U (آ)از نقطه a چنین همسایگی سوراخ شده ای از نقطه x وجود دارد 0 که برای تمام x متعلق به همسایگی سوراخ شده نقطه x 0 :
,
مقادیر تابع f (ایکس)متعلق به محله U (آ)نکات الف:
.

با استفاده از نمادهای منطقی هستی و جهان شمول می توان این تعریف را به صورت زیر نوشت:
.

محدودیت های یک طرفه و دو طرفه

تعاریف فوق از این نظر جهانی هستند که می توان از آنها برای هر نوع محله استفاده کرد. اگر به عنوان محله سوراخ شده سمت چپ نقطه پایانی استفاده کنیم، تعریف حد سمت چپ را به دست می آوریم. اگر همسایگی یک نقطه در بینهایت را به عنوان همسایگی استفاده کنیم، تعریف حد در بینهایت را بدست می آوریم.

برای تعیین حد هاینه، این به این واقعیت مربوط می شود که یک محدودیت اضافی بر روی یک دنباله دلخواه که به همگرا می شود اعمال می شود: عناصر آن باید به همسایگی سوراخ شده مربوطه در نقطه تعلق داشته باشند.

برای تعیین حد کوشی، در هر مورد باید با استفاده از تعاریف مناسب همسایگی یک نقطه، عبارات را به نابرابری تبدیل کرد.
به "همسایگی یک نقطه" مراجعه کنید.

تعیین اینکه نقطه a حد تابع نیست

اغلب لازم است از شرطی استفاده کنیم که نقطه a حد تابع در نباشد. اجازه دهید برای تعاریف بالا نفی بسازیم. در آنها فرض می کنیم که تابع f (ایکس)بر روی برخی از محله های سوراخ شده نقطه x تعریف شده است 0 . نقاط a و x 0 می تواند اعداد متناهی یا بی نهایت دور باشد. همه موارد ذکر شده در زیر برای محدودیت های دوجانبه و یک جانبه اعمال می شود.

به گفته هاینه.
شماره a نیستحد تابع f (ایکس)در نقطه x 0 : ,
اگر چنین دنباله ای وجود داشته باشد (xn)، همگرا به x 0 :
,
که عناصر آن متعلق به محله است،
دنباله چیست (f(xn))به یک همگرا نمی شود:
.
.

به گفته کوشی.
شماره a نیستحد تابع f (ایکس)در نقطه x 0 :
,
اگر چنین عدد مثبت ε وجود داشته باشد > 0 بنابراین برای هر عدد مثبت δ > 0 ، یک x وجود دارد که متعلق به همسایگی δ سوراخ شده نقطه x است. 0 :
,
که مقدار تابع f (ایکس)به همسایگی ε نقطه a تعلق ندارد:
.
.

البته اگر نقطه a حد یک تابع در نباشد، به این معنی نیست که نمی تواند محدودیت داشته باشد. ممکن است حدی وجود داشته باشد، اما برابر با a نیست. همچنین ممکن است که تابع در یک محله سوراخ شده از نقطه تعریف شده باشد، اما محدودیتی در آن نداشته باشد.

تابع f(x) = sin(1/x)هیچ محدودیتی به عنوان x → 0 ندارد.

به عنوان مثال، یک تابع در تعریف شده است، اما هیچ محدودیتی وجود ندارد. برای اثبات آن، بیایید دنباله را در نظر بگیریم. به یک نقطه همگرا می شود 0 : . چون پس .
بیایید دنباله را در نظر بگیریم. همچنین به نقطه همگرا می شود 0 : . اما از آن پس .
آنگاه حد نمی تواند با هیچ عدد a برابر باشد. در واقع، برای، دنباله ای وجود دارد که با آن . بنابراین، هر عدد غیر صفر محدودیت نیست. اما این محدودیت نیز نیست، زیرا دنباله ای وجود دارد که با آن .

هم ارزی تعاریف هاینه و کوشی از حد

قضیه
تعاریف هاینه و کوشی از حد یک تابع معادل هستند.

اثبات

در اثبات، فرض می کنیم که تابع در برخی از همسایگی های سوراخ شده یک نقطه (محدود یا در بی نهایت) تعریف شده است. نقطه a همچنین می تواند متناهی یا در بی نهایت باشد.

اثبات هاینه ⇒ کوشی

اجازه دهید تابع در یک نقطه با توجه به تعریف اول (طبق تعریف هاینه) حد a داشته باشد. یعنی برای هر دنباله ای که به همسایگی یک نقطه تعلق دارد و حدی دارد
(1) ,
حد دنباله عبارت است از:
(2) .

اجازه دهید نشان دهیم که تابع در یک نقطه دارای حد کوشی است. یعنی برای همه چیزی هست که برای همه است.

بیایید برعکس فرض کنیم. اجازه دهید شرایط (1) و (2) برآورده شود، اما تابع محدودیت کوشی ندارد. یعنی چیزی وجود دارد که برای هر کسی وجود دارد، بنابراین
.

بیایید، جایی که n یک عدد طبیعی است. سپس وجود دارد، و
.
بنابراین ما یک دنباله همگرا ساخته ایم، اما حد دنباله برابر با a نیست. این با شرایط قضیه در تضاد است.

قسمت اول ثابت شده است.

اثبات کوشی ⇒ اثبات هاینه

طبق تعریف دوم (طبق گفته کوشی) اجازه دهید تابع در نقطه ای یک حد داشته باشد. یعنی برای هر کسی که وجود دارد
(3) برای همه .

اجازه دهید نشان دهیم که تابع یک حد a در نقطه ای مطابق با هاینه دارد.
بیایید یک عدد دلخواه بگیریم. طبق تعریف کوشی، عدد وجود دارد، بنابراین (3) برقرار است.

اجازه دهید یک دنباله دلخواه بگیریم که متعلق به محله سوراخ شده و همگرا به . با تعریف یک دنباله همگرا، برای هر چیزی وجود دارد که وجود دارد
در .
سپس از (3) چنین می شود که
در .
از آنجایی که این برای هر کسی صدق می کند، پس
.

قضیه ثابت شده است.

منابع:
L.D. کودریاوتسف. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 2003.

عدد ثابت آتماس گرفت حد دنباله ها(x n)، اگر برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک باشدε > 0 یک عدد N وجود دارد که تمام مقادیر را دارد x n، که برای آن n>N، نابرابری را برآورده می کند

|x n - a|< ε. (6.1)

آن را به صورت زیر بنویسید: یا x n →آ.

نابرابری (6.1) معادل نابرابری مضاعف است

الف - ε< x n < a + ε, (6.2)

به این معنی که نقاط x nبا شروع از مقداری n>N، در داخل بازه (a-ε، a+ ε ) ، یعنی به هر کوچکی بیفتندε -همسایگی یک نقطه آ.

دنباله ای که حدی دارد نامیده می شود همگرا، در غیر این صورت - واگرا.

مفهوم حد تابع تعمیم مفهوم محدودیت دنباله است، زیرا حد یک دنباله را می توان حد یک تابع x n = f(n) یک آرگومان عدد صحیح در نظر گرفت. n.

اجازه دهید تابع f(x) داده شود و اجازه دهید آ - نقطه حددامنه تعریف این تابع D(f)، یعنی. چنین نقطه ای که هر همسایگی آن حاوی نقاطی از مجموعه D(f) غیر از آ. نقطه آممکن است به مجموعه D(f) تعلق داشته باشد یا نباشد.

تعریف 1.عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f(x) در x→a، اگر برای هر دنباله ای (x n ) از مقادیر آرگومان تمایل به آ، دنباله های مربوطه (f(xn)) حد A یکسانی دارند.

این تعریف نامیده می شود با تعریف حد یک تابع طبق هاینه،یا " به زبان توالی”.

تعریف 2. عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f(x) در x→a، اگر با تعیین یک عدد مثبت دلخواه و کوچک ε، می توان چنین δ را پیدا کرد> 0 (بسته به ε) که برای همه است ایکس، دراز کشیده درε-همسایگی های عدد آ، یعنی برای ایکس، ارضای نابرابری
0 < x-a< ε ، مقادیر تابع f(x) در آن قرار خواهند گرفتε-همسایگی عدد A، یعنی.|f(x)-A|< ε.

این تعریف نامیده می شود با تعریف حد یک تابع مطابق کوشی،یا «در زبان ε - δ “.

تعاریف 1 و 2 معادل هستند. اگر تابع f(x) به صورت x →یک دارد حد، برابر با A، این به شکل نوشته شده است

. (6.3)

در صورتی که دنباله (f(xn)) بدون محدودیت برای هر روش تقریبی افزایش یابد (یا کاهش یابد) ایکستا حد شما آ، سپس خواهیم گفت که تابع f(x) دارد حد بی نهایت،و به شکل زیر بنویسید:

یک متغیر (یعنی یک دنباله یا تابع) که حد آن صفر است نامیده می شود بی نهایت کوچک

متغیری که حد آن برابر با بی نهایت باشد نامیده می شود بی نهایت بزرگ.

برای یافتن حد در عمل از قضایای زیر استفاده می شود.

قضیه 1 . اگر هر حدی وجود داشته باشد

(6.4)

(6.5)

(6.6)

اظهار نظر. عباراتی مانند 0/0، ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - نامشخص هستند، برای مثال، نسبت دو مقدار بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ، و یافتن حدی از این نوع را «عدم قطعیت های آشکار» می نامند.

قضیه 2. (6.7)

آن ها می توان بر اساس توان با توان ثابت به حدی رفت، به ویژه، ;

(6.8)

(6.9)

قضیه 3.

(6.10)

(6.11)

جایی که ه » 2.7 - پایه لگاریتم طبیعی. فرمول های (6.10) و (6.11) اولین نامیده می شوند حد فوق العادهو دومین حد قابل توجه.

پیامدهای فرمول (6.11) نیز در عمل استفاده می شود:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

به ویژه حد،

اگر x → a و در همان زمان x > a، سپس x را بنویسید→a + 0. اگر به طور خاص a = 0 باشد، به جای نماد 0+0 +0 بنویسید. به طور مشابه اگر x →a و همزمان x a-0. شماره و بر این اساس فراخوانی می شوند حد حقو حد چپ کارکرد f(x) در نقطه آ. برای اینکه محدودیتی برای تابع f(x) به صورت x→ وجود داشته باشدالف لازم و کافی است تا . تابع f(x) فراخوانی می شود مداوم در نقطه x 0 اگر محدودیت داشته باشد

. (6.15)

شرط (6.15) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

,

یعنی عبور از حد تحت علامت یک تابع در صورتی امکان پذیر است که در یک نقطه معین پیوسته باشد.

اگر برابری (6.15) نقض شود، آنگاه می گوییم در x = xo تابع f(x) این دارد شکافتابع y = 1/x را در نظر بگیرید. دامنه تعریف این تابع مجموعه است آر، به جز x = 0. نقطه x = 0 یک نقطه حدی از مجموعه D(f) است، زیرا در هر همسایگی آن، i.e. در هر بازه باز حاوی نقطه 0، نقاطی از D(f) وجود دارد، اما خود به این مجموعه تعلق ندارد. مقدار f(x o)= f(0) تعریف نشده است، بنابراین در نقطه x o = 0 تابع دارای ناپیوستگی است.

تابع f(x) فراخوانی می شود پیوسته در سمت راست در نقطه x o اگر حد

,

و پیوسته در سمت چپ در نقطه x o، اگر حد

.

تداوم یک تابع در یک نقطه xoمعادل استمرار آن در این نقطه هم به سمت راست و هم به سمت چپ است.

برای اینکه تابع در یک نقطه پیوسته باشد xoمثلاً در سمت راست لازم است اولاً حد محدودی وجود داشته باشد و ثانیاً این حد برابر با f(x o) باشد. بنابراین، اگر حداقل یکی از این دو شرط برآورده نشود، تابع دارای ناپیوستگی خواهد بود.

1. اگر حد وجود داشته باشد و برابر با f(x o) نباشد، می گویند تابع f(x) در نقطه x o دارد پارگی از نوع اول،یا جهش.

2. اگر حد است+∞ یا -∞ یا وجود ندارد، سپس می گویند که در نقطه xo تابع دارای ناپیوستگی است نوع دوم.

برای مثال، تابع y = cot x در x→ +0 حدی برابر با +∞ داردیعنی در نقطه x=0 ناپیوستگی نوع دوم دارد. تابع y = E(x) (قسمت صحیح از ایکس) در نقاطی با ابسیساهای کامل دارای ناپیوستگی های نوع اول یا پرش است.

تابعی که در هر نقطه از بازه پیوسته باشد نامیده می شود مداوم V . یک تابع پیوسته با یک منحنی جامد نشان داده می شود.

بسیاری از مشکلات مرتبط با رشد مداوم مقداری منجر به دومین حد قابل توجه می شود. از جمله این وظایف می توان به: رشد ذخایر طبق قانون بهره مرکب، رشد جمعیت کشور، تجزیه مواد رادیواکتیو، تکثیر باکتری ها و غیره اشاره کرد.

در نظر بگیریم مثال Ya. I. Perelman، تفسیری از عدد ارائه می دهد هدر مسئله بهره مرکب عدد همحدودیتی وجود دارد . در بانک های پس انداز سالانه پول بهره به سرمایه ثابت اضافه می شود. اگر الحاق بیشتر انجام شود، سرمایه سریعتر رشد می کند، زیرا مقدار بیشتری در شکل گیری سود نقش دارد. بیایید یک مثال کاملاً نظری و بسیار ساده در نظر بگیریم. 100 منکر در بانک واریز شود. واحدها بر اساس 100٪ در سال. اگر پول بهره فقط پس از یک سال به سرمایه ثابت اضافه شود، در این دوره 100 den. واحدها به 200 واحد پولی تبدیل می شود. حالا ببینیم 100 denize به چه چیزی تبدیل می شود. در صورتی که هر شش ماه یکبار پول بهره به سرمایه ثابت اضافه شود. بعد از شش ماه 100 دن. واحدها به 100 افزایش خواهد یافت× 1.5 = 150 و بعد از شش ماه دیگر - 150× 1.5 = 225 (دانه. واحد). اگر الحاق هر 1/3 سال انجام شود، پس از یک سال 100 den. واحدها به 100 تبدیل می شود× (1 +1/3) 3 اینچ 237 (دانشگاه واحد). ما شرایط اضافه کردن پول بهره را به 0.1 سال، به 0.01 سال، به 0.001 سال و غیره افزایش خواهیم داد. سپس از 100 دن. واحدها بعد از یک سال این خواهد شد:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (دنیای واحد)،

100 × (1+1/100) 100 » 270 (دنیای واحد)،

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (دنیای واحد).

با کاهش نامحدود در شرایط اضافه کردن بهره، سرمایه انباشته به طور نامحدود رشد نمی کند، بلکه به حد معینی برابر با 271 نزدیک می شود. سرمایه سپرده شده در سال 100٪ نمی تواند بیش از 2.71 برابر شود، حتی اگر سود تعلق گرفته باشد. هر ثانیه به پایتخت اضافه می شد زیرا محدودیت

مثال 3.1.با استفاده از تعریف حد یک دنباله اعداد، ثابت کنید که دنباله x n =(n-1)/n دارای حدی برابر با 1 است.

راه حل.ما باید این را ثابت کنیم، مهم نیستε > 0، مهم نیست که چه چیزی را بگیریم، برای آن یک عدد طبیعی N وجود دارد به طوری که برای همه n N نابرابری برقرار است.|x n -1|< ε.

بیایید هر e > 0 را در نظر بگیریم. x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n، سپس برای یافتن N کافی است نابرابری 1/n را حل کنیم.< ه. بنابراین n>1/ e و بنابراین، N را می توان به عنوان یک قسمت صحیح از 1 / در نظر گرفت. e، N = E(1/e ). ما بدین وسیله ثابت کرده ایم که حد .

مثال 3.2 . حد یک دنباله را که با یک جمله مشترک داده می شود، پیدا کنید .

راه حل.بیایید حد قضیه جمع را اعمال کنیم و حد هر جمله را پیدا کنیم. وقتی n→ ∞ صورت و مخرج هر جمله به بی نهایت تمایل دارند و ما نمی توانیم مستقیماً قضیه حد نصاب را اعمال کنیم. بنابراین، ابتدا تبدیل می کنیم x n، تقسیم صورت و مخرج جمله اول بر n 2، و دوم در n. سپس با اعمال حد نصاب و حد قضیه حاصل، متوجه می شویم:

.

مثال 3.3. . پیدا کردن .

راه حل. .

در اینجا از حد قضیه استفاده کردیم: حد یک درجه برابر است با درجه حد پایه.

مثال 3.4 . پیدا کردن ( ).

راه حل.اعمال قضیه حد تفاوت غیرممکن است، زیرا ما عدم قطعیت شکل را داریم ∞-∞ . بیایید فرمول اصطلاح کلی را تبدیل کنیم:

.

مثال 3.5 . تابع f(x)=2 1/x داده شده است. ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.بیایید از تعریف 1 حد یک تابع از طریق یک دنباله استفاده کنیم. اجازه دهید دنباله ای ( x n ) بگیریم که به 0 همگرا می شود، یعنی. اجازه دهید نشان دهیم که مقدار f(xn)= برای دنباله های مختلف رفتار متفاوتی دارد. اجازه دهید x n = 1/n. بدیهی است، پس از آن حد اجازه دهید اکنون به عنوان انتخاب کنیم x nدنباله ای با عبارت مشترک x n = -1/n، که به صفر نیز گرایش دارد. بنابراین محدودیتی وجود ندارد.

مثال 3.6 . ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.بگذارید x 1 , x 2 ,..., x n ,... دنباله ای باشد که برای آن
. دنباله (f(xn)) = (sin x n) برای x n های مختلف چگونه رفتار می کند → ∞

اگر x n = p n، آنگاه sin x n = sin p n = 0 برای همه nو حد اگر
x n = 2 p n+ p /2، سپس sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 برای همه nو بنابراین حد. پس وجود ندارد.

ویجت برای محاسبه محدودیت ها به صورت آنلاین

در پنجره بالا به جای sin(x)/x تابعی را که می خواهید حد آن را پیدا کنید وارد کنید. در پنجره پایین عددی را که x به آن تمایل دارد وارد کنید و با کلیک بر روی دکمه Calcular حد مورد نظر را بدست آورید. و اگر در پنجره نتیجه روی Show stepها در گوشه بالا سمت راست کلیک کنید، یک راه حل دقیق دریافت خواهید کرد.

قوانین وارد کردن توابع: sqrt(x) - ریشه مربع، cbrt(x) - ریشه مکعب، exp(x) - توان، ln(x) - لگاریتم طبیعی، sin(x) - سینوس، cos(x) - کسینوس، tan (x) - مماس، cot(x) - cotangent، arcsin(x) - arcsine، arccos(x) - arccosine، arctan(x) - arcttangent. علائم: * ضرب، / تقسیم، ^ توان، در عوض بی نهایتبی نهایت. مثال: تابع به صورت sqrt(tan(x/2)) وارد می شود.

تعریف 1. اجازه دهید E- یک عدد بی نهایت اگر هر محله ای حاوی نقاطی از مجموعه باشد E، متفاوت از نقطه آ، آن آتماس گرفت نهایی نقطه مجموعه E.

تعریف 2. (هاینریش هاینه (1821-1881)). اجازه دهید تابع
در مجموعه تعریف شده است ایکسو آتماس گرفت حد کارکرد
در نقطه (یا چه زمانی
، اگر برای هر دنباله ای از مقادیر آرگومان باشد
، همگرا به ، دنباله مربوط به مقادیر تابع به عدد همگرا می شود آ. آنها می نویسند:
.

مثال ها. 1) عملکرد
دارای حدی برابر با با، در هر نقطه از خط اعداد.

در واقع، برای هر نقطه و هر دنباله ای از مقادیر آرگومان
، همگرا به و متشکل از اعدادی غیر از ، دنباله مربوط به مقادیر تابع دارای شکل است
، و می دانیم که این دنباله به همگرا می شود با. از همین رو
.

2) برای عملکرد

.

این بدیهی است، زیرا اگر
، سپس
.

3) تابع دیریکله
هیچ محدودیتی در هیچ نقطه ای ندارد

در واقع، اجازه دهید
و
، و همه - اعداد گویا. سپس
برای همه n، از همین رو
. اگر
و این همه است پس اعداد غیر منطقی هستند
برای همه n، از همین رو
. بنابراین می بینیم که شرایط تعریف 2 برآورده نمی شود
وجود ندارد.

4)
.

در واقع، اجازه دهید یک توالی دلخواه در نظر بگیریم
، همگرا به

شماره 2. سپس . Q.E.D.

تعریف 3. (کوشی (1789-1857)). اجازه دهید تابع
در مجموعه تعریف شده است ایکسو نقطه حد این مجموعه است. عدد آتماس گرفت حد کارکرد
در نقطه (یا چه زمانی
، در صورت وجود
خواهد بود
، به طوری که برای تمام مقادیر آرگومان ایکس، ارضای نابرابری

,

نابرابری درست است

.

آنها می نویسند:
.

تعریف کوشی را می توان با استفاده از همسایگی ها نیز ارائه داد، اگر توجه داشته باشیم که:

اجازه دهید عملکرد داشته باشد
در مجموعه تعریف شده است ایکسو نقطه حد این مجموعه است. عدد آحد نامیده می شود کارکرد
در نقطه ، در صورت وجود -همسایگی یک نقطه آ
سوراخ شده وجود دارد - همسایگی یک نقطه
،به طوری که
.

توضیح این تعریف با یک نقاشی مفید است.

مثال 5.
.

در واقع، بیایید بگیریم
به صورت تصادفی و پیدا کنید
، به طوری که برای همه ایکس، ارضای نابرابری
نابرابری برقرار است
. آخرین نابرابری معادل نابرابری است
، پس می بینیم که گرفتن کافی است
. بیانیه ثابت شده است.

نمایشگاه

قضیه 1. تعاریف حد تابع از نظر هاینه و کوشی معادل هستند.

اثبات. 1) اجازه دهید
به گفته کوشی اجازه دهید ثابت کنیم که همان عدد از نظر هاینه نیز یک حد است.

بگیریم
خودسرانه طبق تعریف 3 وجود دارد
، به طوری که برای همه
نابرابری برقرار است
. اجازه دهید
– یک توالی دلخواه به گونه ای که
در
. سپس یک عدد وجود دارد نطوری که برای همه
نابرابری برقرار است
، از همین رو
برای همه
، یعنی

به گفته هاینه

2) اکنون اجازه دهید
به گفته هاینه این را ثابت کنیم
و به گفته کوشی.

بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی. چی
به گفته کوشی سپس وجود دارد
طوری که برای هر کسی
خواهد بود
,
و
. دنباله را در نظر بگیرید
. برای مشخص شده
و هر nوجود دارد

و
. این به آن معنا است
، با اينكه
، یعنی عدد آحد نیست
در نقطه به گفته هاینه ما به تناقضی دست یافته ایم که این گفته را ثابت می کند. قضیه ثابت شده است.

قضیه 2 (در منحصر به فرد بودن حد). اگر محدودیتی برای یک تابع در یک نقطه وجود داشته باشد ، پس او تنها است.

اثبات. اگر حدی طبق هاینه تعریف شود، منحصر به فرد بودن آن از منحصر به فرد بودن حد دنباله ناشی می شود. اگر حدی بر اساس کوشی تعریف شود، منحصر به فرد بودن آن از هم ارزی تعاریف حد بر اساس کوشی و هاینه ناشی می شود. قضیه ثابت شده است.

مشابه معیار کوشی برای دنباله ها، معیار کوشی برای وجود حد یک تابع برقرار است. قبل از تدوین آن، اجازه دهید ارائه دهیم

تعریف 4. می گویند که تابع
شرایط کوشی را در نقطه ارضا می کند ، در صورت وجود
وجود دارد

، به طوری که
و
، نابرابری برقرار است
.

قضیه 3 (معیار کوشی برای وجود حد). به منظور عملکرد
در نقطه داشت حد محدود، لازم و کافی است که در این مرحله تابع شرط کوشی را برآورده کند.

اثبات.ضرورت. اجازه دهید
. ما باید این را ثابت کنیم
در نقطه ارضا می کند حالت کوشی

بگیریم
خودسرانه و قرار داده است
. با تعریف حد برای وجود دارد
، به طوری که برای هر مقدار
، ارضای نابرابری ها
و
، نابرابری ها ارضا می شوند
و
. سپس

نیاز ثابت شده است.

کفایت. اجازه دهید تابع
در نقطه ارضا می کند حالت کوشی ما باید ثابت کنیم که آن را در نقطه است حد نهایی

بگیریم
خودسرانه طبق تعریف 4 وجود دارد
، به طوری که از نابرابری ها
,
به دنبال آن است
- این داده شده است.

اجازه دهید ابتدا آن را برای هر دنباله ای نشان دهیم
، همگرا به ، دنباله
مقادیر تابع همگرا می شوند. در واقع، اگر
، سپس، به موجب تعریف حد دنباله، برای یک معین
یک عدد وجود دارد ن، به طوری که برای هر

و
. از آنجا که
در نقطه شرایط کوشی را برآورده می کند، ما داریم
. سپس با معیار کوشی برای دنباله ها، دنباله
همگرا می شود. اجازه دهید نشان دهیم که تمام این دنباله ها
به همان حد همگرا می شوند. بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی. دنباله ها چیست
و
,
,
، به طوری که. بیایید دنباله را در نظر بگیریم. واضح است که همگرا می شود بنابراین، با آنچه در بالا ثابت شد، توالی همگرا می شود، که غیرممکن است، زیرا دنباله های بعدی
و
محدودیت های متفاوتی دارند و . تناقض حاصل نشان می دهد که =. بنابراین، طبق تعریف هاینه، تابع در نقطه است حد نهایی کفایت و از این رو قضیه ثابت شده است.

تابع y = f (ایکس)قانون (قانونی) است که طبق آن هر عنصر x از مجموعه X با یک و تنها یک عنصر y از مجموعه Y مرتبط است.

عنصر x ∈ Xتماس گرفت آرگومان تابعیا متغیر مستقل.
عنصر y ∈ Yتماس گرفت مقدار تابعیا متغیر وابسته.

مجموعه X نامیده می شود دامنه تابع.
مجموعه ای از عناصر y ∈ Y، که دارای پیش تصویر در مجموعه X هستند، نامیده می شود ناحیه یا مجموعه ای از مقادیر تابع.

تابع واقعی نامیده می شود محدود از بالا (از پایین)، اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که نابرابری برای همه برقرار باشد:
.
تابع عدد نامیده می شود محدود، اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که برای همه:
.

لبه بالایییا حد بالایی دقیقیک تابع واقعی به کوچکترین عددی گفته می شود که محدوده مقادیر آن را از بالا محدود می کند. یعنی این یک عدد s است که برای همه و برای هر یک آرگومان وجود دارد که مقدار تابع آن از s بیشتر است: .
کران بالای یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

به ترتیب لبه پایینیا حد پایینی دقیقیک تابع واقعی به بزرگترین عددی گفته می شود که دامنه مقادیر آن را از پایین محدود می کند. یعنی این یک عدد i است که برای همه و برای هر یک آرگومان وجود دارد که مقدار تابع آن کمتر از i است: .
infimum یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

تعیین حد یک تابع

تعیین حد یک تابع با توجه به کوشی

محدودیت های محدود تابع در نقاط پایانی

اجازه دهید تابع در برخی از همسایگی های نقطه پایانی، به استثنای خود نقطه، تعریف شود. در یک نقطه، اگر برای هر یک، چنین چیزی وجود داشته باشد، بسته به آن، برای همه x که برای آن، نابرابری برقرار است
.
حد یک تابع به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در .

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول، تعریف حد تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
.

محدودیت های یک طرفه
حد چپ در یک نقطه (محدودیت سمت چپ):
.
حد راست در یک نقطه (محدودیت سمت راست):
.
حد چپ و راست اغلب به صورت زیر نشان داده می شود:
; .

محدودیت های محدود یک تابع در نقاط بی نهایت

محدودیت ها در نقاط بی نهایت به روشی مشابه تعیین می شوند.
.
.
.
اغلب به آنها اشاره می شود:
; ; .

استفاده از مفهوم همسایگی یک نقطه

اگر مفهوم همسایگی سوراخ شده یک نقطه را معرفی کنیم، می‌توانیم یک تعریف واحد از حد محدود یک تابع در نقاط محدود و بینهایت دور ارائه دهیم:
.
اینجا برای نقاط پایانی
; ;
.
هر همسایگی از نقاط در بی نهایت سوراخ می شود:
; ; .

محدودیت های عملکرد نامحدود

تعریف
اجازه دهید تابع در برخی از همسایگی های سوراخ شده یک نقطه (محدود یا در بی نهایت) تعریف شود. حد تابع f (ایکس)به صورت x → x 0 برابر است با بی نهایت، اگر برای هر عدد دلخواه بزرگ M > 0 ، یک عدد δ M وجود دارد > 0 بسته به M، که برای همه x متعلق به δ M سوراخ شده - همسایگی نقطه:، نابرابری زیر برقرار است:
.
حد نامتناهی به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در .

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول، تعریف حد نامتناهی یک تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
.

همچنین می توانید تعاریفی از حد نامتناهی نشانه های معین برابر با و ارائه کنید:
.
.

تعریف جهانی حد یک تابع

با استفاده از مفهوم همسایگی یک نقطه، می‌توانیم یک تعریف جهانی از حد متناهی و نامتناهی یک تابع ارائه دهیم که هم برای نقاط متناهی (دو طرفه و یک طرفه) و هم برای نقاط بینهایت دور قابل استفاده است:
.

تعیین حد یک تابع از نظر هاینه

اجازه دهید تابع در مجموعه ای از X: تعریف شود.
عدد a حد تابع نامیده می شوددر نقطه:
,
اگر برای هر دنباله ای همگرا به x 0 :
,
که عناصر آن متعلق به مجموعه X است:
.

اجازه دهید این تعریف را با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهان شمول بنویسیم:
.

اگر همسایگی سمت چپ نقطه x را به عنوان مجموعه X در نظر بگیریم 0 ، سپس تعریف حد چپ را بدست می آوریم. اگر راست دست باشد، تعریف حد راست را می گیریم. اگر همسایگی یک نقطه در بینهایت را به عنوان یک مجموعه X بگیریم، تعریف حد یک تابع در بینهایت را به دست می آوریم.

قضیه
تعاریف کوشی و هاینه از حد یک تابع معادل هستند.
اثبات

خواص و قضایای حد یک تابع

علاوه بر این، فرض می کنیم که توابع مورد بررسی در همسایگی متناظر نقطه تعریف می شوند که یک عدد محدود یا یکی از نمادها است: . همچنین می تواند یک نقطه حد یک طرفه باشد، یعنی فرم یا . محله برای حد دو طرفه دو طرفه و برای حد یک طرفه یک طرفه است.

خواص اساسی

اگر مقادیر تابع f (ایکس)تعداد محدودی از نقاط x را تغییر دهید (یا نامشخص کنید). 1، x 2، x 3، ... x n، آنگاه این تغییر بر وجود و مقدار حد تابع در نقطه دلخواه x تأثیری نخواهد داشت 0 .

اگر حد محدودی وجود داشته باشد، آنگاه یک همسایگی سوراخ شده از نقطه x وجود دارد 0 ، که بر روی آن تابع f (ایکس)محدود:
.

اجازه دهید تابع در نقطه x باشد 0 حد غیر صفر محدود:
.
سپس، برای هر عدد c از بازه، چنین همسایگی سوراخ شده ای از نقطه x وجود دارد 0 ، برای چی ،
، اگر ؛
، اگر .

اگر در برخی از محله های سوراخ شده نقطه، , یک ثابت باشد، پس .

اگر حدود محدودی وجود داشته باشد و روی برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه x وجود داشته باشد 0
,
که .

اگر، و در برخی از محله های نقطه
,
که .
به ویژه، اگر در برخی از محله های یک نقطه
,
سپس اگر، سپس و ;
اگر ، پس و .

اگر در محله سوراخ شده نقطه x 0 :
,
و حدهای مساوی متناهی (یا نامتناهی از یک علامت معین) وجود دارد:
، آن
.

اثبات خواص اصلی در صفحه آورده شده است
"ویژگی های اساسی حدود یک تابع."

خواص حسابی حد یک تابع

اجازه دهید توابع و در برخی از محله های سوراخ شده از نقطه تعریف شوند. و بگذارید محدودیت های محدودی وجود داشته باشد:
و .
و C یک ثابت باشد، یعنی یک عدد معین. سپس
;
;
;
، اگر .

اگر پس از آن.

اثبات خواص حسابی در صفحه آورده شده است
"ویژگی های حسابی حدود یک تابع".

معیار کوشی برای وجود حد یک تابع

قضیه
به منظور تابعی که بر روی برخی از همسایگی های سوراخ شده یک محدود یا در نقطه بینهایت x تعریف شده است 0 ، در این نقطه حد محدودی داشت، لازم و کافی است که برای هر ε > 0 چنین محله سوراخ شده ای از نقطه x وجود داشت 0 ، که برای هر نقطه و از این همسایگی، نابرابری زیر برقرار است:
.

حد یک تابع پیچیده

قضیه حد تابع مختلط
اجازه دهید تابع یک حد داشته باشد و یک محله سوراخ شده از یک نقطه را بر روی یک محله سوراخ شده از یک نقطه ترسیم کنید. اجازه دهید تابع در این محله تعریف شود و محدودیتی در آن وجود داشته باشد.
در اینجا نکات نهایی یا بی نهایت دور وجود دارد: . محله ها و حدود مربوط به آنها می تواند دو طرفه یا یک طرفه باشد.
سپس حدی از یک تابع مختلط وجود دارد و برابر است با:
.

قضیه حدی یک تابع مختلط زمانی اعمال می شود که تابع در نقطه ای تعریف نشده باشد یا مقداری متفاوت از حد داشته باشد. برای اعمال این قضیه، باید یک همسایگی سوراخ شده از نقطه ای وجود داشته باشد که مجموعه مقادیر تابع حاوی نقطه نباشد:
.

اگر تابع در نقطه پیوسته باشد، علامت حد را می توان به آرگومان تابع پیوسته اعمال کرد:
.
در زیر یک قضیه مربوط به این مورد است.

قضیه حد تابع پیوسته یک تابع
اجازه دهید حدی از تابع g وجود داشته باشد (t)به عنوان t → t 0 ، و برابر با x است 0 :
.
اینجا نقطه t است 0 می تواند متناهی یا بی نهایت دور باشد: .
و تابع f را بگذارید (ایکس)در نقطه x پیوسته است 0 .
سپس حدی از تابع مختلط f وجود دارد (g(t))، و برابر با f است (x0):
.

اثبات قضایا در صفحه آورده شده است
"محدودیت و تداوم یک تابع پیچیده".

توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ

توابع بی نهایت کوچک

تعریف
به یک تابع می گویند اگر بی نهایت کوچک باشد
.

مجموع، تفاوت و محصولتعداد محدودی از توابع بینهایت کوچک در یک تابع بینهایت کوچک در است.

محصول یک تابع محدود شدهدر برخی از محله های سوراخ شده نقطه، به یک بی نهایت کوچک در یک تابع بینهایت کوچک در است.

برای اینکه یک تابع حد محدودی داشته باشد کافی و لازم است که
,
یک تابع بینهایت کوچک در کجاست.

"خواص توابع بی نهایت کوچک".

توابع بی نهایت بزرگ

تعریف
به یک تابع می گویند بی نهایت بزرگ اگر
.

مجموع یا تفاوت یک تابع محدود، در برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه، و یک تابع بی نهایت بزرگ در یک تابع بی نهایت بزرگ در است.

اگر تابع برای بی نهایت بزرگ باشد و تابع در محله سوراخ شده نقطه محدود شود،
.

اگر تابع، در یک محله سوراخ شده از نقطه، نابرابری را برآورده کند:
,
و تابع بی نهایت کوچک است در:
، و (در برخی از محله های سوراخ شده نقطه)، سپس
.

شواهد خواص در بخش ارائه شده است
"خواص توابع بی نهایت بزرگ".

رابطه بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک

از دو ویژگی قبلی ارتباط بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک به دست می آید.

اگر تابعی در بی نهایت بزرگ باشد، تابع در بی نهایت کوچک است.

اگر تابعی برای و بی نهایت کوچک باشد، آنگاه تابع برای بی نهایت بزرگ است.

رابطه بین یک تابع بی نهایت کوچک و یک تابع بی نهایت بزرگ را می توان به صورت نمادین بیان کرد:
, .

اگر یک تابع بینهایت کوچک علامت مشخصی داشته باشد، یعنی مثبت (یا منفی) در محله سوراخ شده نقطه باشد، این واقعیت را می توان به صورت زیر بیان کرد:
.
به همین ترتیب، اگر یک تابع بی‌نهایت بزرگ علامت مشخصی داشته باشد، می‌نویسند:
.

سپس ارتباط نمادین بین توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ را می توان با روابط زیر تکمیل کرد:
, ,
, .

فرمول های اضافی مربوط به نمادهای بی نهایت را می توان در صفحه یافت
"نقاط در بی نهایت و خواص آنها."

حدود توابع یکنواخت

تعریف
تابعی که روی مجموعه ای از اعداد حقیقی X تعریف شده است فراخوانی می شود به شدت افزایش می یابد، اگر برای همه به گونه ای باشد که نابرابری زیر برقرار باشد:
.
بر این اساس، برای به شدت در حال کاهش استتابع نابرابری زیر برقرار است:
.
برای بدون کاهش:
.
برای غیر افزایشی:
.

نتیجه این است که یک تابع کاملاً افزایشی نیز غیر کاهشی است. یک تابع کاملاً کاهشی نیز غیرافزاینده است.

تابع فراخوانی می شود یکنواخت، اگر غیر کاهشی یا غیر افزایشی باشد.

قضیه
اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن کاهش نمی یابد.
اگر در بالا با عدد M محدود شود: یک حد محدود وجود دارد. اگر از بالا محدود نشده است، پس .
اگر از پایین با عدد m محدود شود: آنگاه یک حد محدود وجود دارد. اگر از پایین محدود نمی شود، پس .

اگر نقاط a و b در بی نهایت باشند، در عبارات علائم حد به این معنی است که .
این قضیه را می توان فشرده تر فرموله کرد.

اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن کاهش نمی یابد. سپس در نقاط a و b محدودیت های یک طرفه وجود دارد:
;
.

یک قضیه مشابه برای یک تابع غیر افزایشی.

اجازه دهید تابع در بازه زمانی که . سپس محدودیت های یک طرفه وجود دارد:
;
.

اثبات قضیه در صفحه ارائه شده است
"حدود توابع یکنواخت".

منابع:
L.D. کودریاوتسف. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 2003.
سانتی متر. نیکولسکی. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 1983.

امروز در کلاس به بررسی خواهیم پرداخت توالی دقیقو تعریف دقیق حد یک تابع، و همچنین حل مسائل مربوط به ماهیت نظری را بیاموزید. این مقاله در درجه اول برای دانشجویان سال اول علوم طبیعی و تخصص های مهندسی است که شروع به مطالعه تئوری تجزیه و تحلیل ریاضی کردند و در درک این بخش از ریاضیات عالی با مشکلاتی مواجه شدند. علاوه بر این، مطالب برای دانش آموزان دبیرستانی کاملاً در دسترس است.

در طول سال‌های فعالیت سایت، ده‌ها نامه با این مضمون دریافت کرده‌ام: «من تحلیل ریاضی را خوب نمی‌فهمم، چه کار کنم؟»، «اصلاً ریاضی را نمی‌فهمم، به ترک تحصیل فکر می کنم و غیره. و در واقع، این متان است که اغلب پس از جلسه اول، گروه دانشجو را نازک می کند. چرا این طور است؟ چون موضوع به طرز غیرقابل تصوری پیچیده است؟ اصلا! تئوری تجزیه و تحلیل ریاضی آنقدرها هم که عجیب است دشوار نیست. و باید او را همان طور که هست بپذیری و دوستش داشته باشی =)

بیایید با سخت ترین مورد شروع کنیم. اولین و مهمترین چیز این است که شما مجبور نیستید تحصیل خود را رها کنید. به درستی درک کنید، همیشه می توانید ترک کنید؛-) البته، اگر بعد از یک یا دو سال از تخصص انتخابی خود احساس بیماری کردید، بله، باید در مورد آن فکر کنید. (و عصبانی نشو!)در مورد تغییر فعالیت اما در حال حاضر ارزش ادامه دادن را دارد. و لطفاً عبارت "من چیزی نمی فهمم" را فراموش کنید - این اتفاق نمی افتد که شما اصلاً چیزی را نمی فهمید.

اگر تئوری بد بود چه باید کرد؟ به هر حال، این نه تنها در مورد تجزیه و تحلیل ریاضی صدق می کند. اگر تئوری بد است، ابتدا باید به طور جدی روی تمرین تمرکز کنید. در این مورد، دو وظیفه استراتژیک به طور همزمان حل می شود:

- اولاً، سهم قابل توجهی از دانش نظری از طریق عمل پدیدار شد. و به همین دلیل است که بسیاری از مردم این نظریه را از طریق ... درک می کنند - درست است! نه، نه، تو به این فکر نمی کنی =)

– و ثانیاً، مهارت‌های عملی به احتمال زیاد شما را از امتحان «کشش» می‌کند، حتی اگر... اما اجازه دهید اینقدر هیجان زده نشویم! همه چیز واقعی است و همه چیز را می توان در یک زمان نسبتاً کوتاه "بالا" کرد. تجزیه و تحلیل ریاضی بخش مورد علاقه من در ریاضیات عالی است و بنابراین نمی توانم کمکی به شما نکنم:

در ابتدای ترم 1، محدودیت های توالی و محدودیت های عملکرد معمولا پوشش داده می شود. نمی دانید اینها چیست و نمی دانید چگونه آنها را حل کنید؟ با مقاله شروع کنید محدودیت های عملکرد، که در آن خود مفهوم "روی انگشتان" بررسی می شود و ساده ترین نمونه ها تجزیه و تحلیل می شود. در مرحله بعد، درس های دیگر را در مورد موضوع، از جمله درسی در مورد آن کار کنید در سکانس ها، که من در واقع قبلاً تعریف دقیقی از آن ارائه کرده ام.

به جز علائم نابرابری و مدول چه نمادهایی را می شناسید؟

- یک چوب بلند عمودی به این صورت است: "چنین آن"، "چنین آن"، "چنین آن" یا "چنین آن"در مورد ما، بدیهی است که ما در مورد یک عدد صحبت می کنیم - بنابراین "چنین"؛

– برای همه «en» بزرگتر از ;

– علامت مدول به معنای فاصله است، یعنی این مدخل به ما می گوید که فاصله بین مقادیر کمتر از اپسیلون است.

خوب، کشنده سخت است؟ =)

پس از تسلط بر تمرین، مشتاقانه منتظر دیدار شما در پاراگراف بعدی هستم:

و در واقع، بیایید کمی فکر کنیم - چگونه یک تعریف دقیق از دنباله را تدوین کنیم؟ ... اولین چیزی که در دنیا به ذهن می رسد درس عملی: "حد یک دنباله عددی است که اعضای دنباله بی نهایت به آن نزدیک می شوند."

خوب، بیایید آن را بنویسیم دنباله :

درک آن کار سختی نیست دنباله بی نهایت نزدیک به عدد -1 و اصطلاحات زوج است - به یک".

یا شاید دو حد وجود دارد؟ اما پس چرا هیچ سکانسی نمی تواند ده یا بیست عدد از آنها را داشته باشد؟ شما می توانید از این راه دور بروید. در این زمینه منطقی است که چنین فرض کنیم اگر یک دنباله دارای محدودیت باشد، پس منحصر به فرد است.

توجه داشته باشید : دنباله محدودیتی ندارد، اما دو دنباله فرعی از آن قابل تشخیص است (به بالا مراجعه کنید) که هر کدام حد خود را دارند.

بنابراین، تعریف فوق غیرقابل دفاع است. بله، برای مواردی از این قبیل کار می کند (که من در توضیح ساده مثال های کاربردی به درستی استفاده نکردم)، اما اکنون باید یک تعریف دقیق پیدا کنیم.

تلاش دوم: "محدودیت یک دنباله، عددی است که همه اعضای دنباله به آن نزدیک می شوند، به جز شاید آنها نهاییمقادیر." این به حقیقت نزدیک‌تر است، اما هنوز کاملاً دقیق نیست. بنابراین، برای مثال، دنباله نیمی از عبارات به هیچ وجه به صفر نزدیک نمی شوند - آنها به سادگی با آن برابر هستند =) به هر حال، "چراغ چشمک زن" معمولاً دو مقدار ثابت می گیرد.

توضیح این فرمول دشوار نیست، اما پس از آن یک سوال دیگر مطرح می شود: چگونه می توان تعریف را در نمادهای ریاضی نوشت؟ دنیای علم برای مدت طولانی با این مشکل دست و پنجه نرم کرد تا این که وضعیت حل شد استاد معروف، که در اصل آنالیز ریاضی کلاسیک را با تمام سختی آن رسمیت بخشید. کوشی عمل جراحی را پیشنهاد کرد محیط اطراف ، که به طور قابل توجهی این نظریه را پیش برد.

یک نکته و آن را در نظر بگیرید دلخواه-محیط اطراف:

ارزش "epsilon" همیشه مثبت است، و علاوه بر این، ما این حق را داریم که خودمان آن را انتخاب کنیم. بیایید فرض کنیم که در این محله اعضای زیادی وجود دارد (نه لزوما همه)چند دنباله اینکه مثلاً ترم دهم در همسایگی است چگونه یادداشت کنیم؟ بگذارید در سمت راست آن باشد. سپس فاصله بین نقاط و باید کمتر از “epsilon” باشد: . اما اگر "x دهم" در سمت چپ نقطه "الف" قرار داشته باشد، این تفاوت منفی خواهد بود و بنابراین علامت باید به آن اضافه شود. مدول: .

تعریف: یک عدد را حد یک دنباله اگر می گویند برای هرچیاطراف آن (از پیش انتخاب شده)یک عدد طبیعی وجود دارد که همهاعضای دنباله با اعداد بالاتر در داخل محله خواهند بود:

یا به طور خلاصه: اگر

به عبارت دیگر، مهم نیست که چقدر مقدار "اپسیلون" را کوچک می گیریم، دیر یا زود "دم بی نهایت" دنباله به طور کامل در این همسایگی خواهد بود.

به عنوان مثال، "دم بی نهایت" دنباله به طور کامل وارد هر محله کوچک دلخواه نقطه می شود. بنابراین این مقدار طبق تعریف، حد توالی است. به شما یادآوری می کنم که دنباله ای که حد آن صفر است نامیده می شود بی نهایت کوچک.

لازم به ذکر است که برای یک سکانس دیگر نمی توان گفت "دم بی پایان" وارد خواهد شد"- اعضای با اعداد فرد در واقع برابر با صفر هستند و "هیچ جا نمی روند" =) به همین دلیل است که در تعریف از فعل "ظاهر می شود" استفاده می شود. و البته اعضای سکانسی مانند این نیز «به جایی نمی‌رسند». به هر حال، بررسی کنید که آیا تعداد محدودیت آن است یا خیر.

اکنون نشان خواهیم داد که دنباله محدودیتی ندارد. برای مثال، همسایگی نقطه را در نظر بگیرید. کاملاً واضح است که چنین عددی وجود ندارد که پس از آن همه عبارت‌ها در یک محله مشخص به پایان برسند - عبارت‌های فرد همیشه به «منهای یک» «بیرون می‌روند». به همین دلیل، هیچ محدودیتی در نقطه وجود ندارد.

بیایید مطالب را با تمرین ادغام کنیم:

مثال 1

ثابت کنید که حد دنباله صفر است. عددی را مشخص کنید که پس از آن همه اعضای دنباله تضمین می‌شوند که در هر محله کوچک دلخواه نقطه قرار دارند.

توجه داشته باشید : برای بسیاری از دنباله ها، عدد طبیعی مورد نیاز به مقدار بستگی دارد - از این رو نماد .

راه حل: در نظر گرفتن دلخواه هستتعداد - به طوری که همه اعضای با تعداد بالاتر در این محله باشند:

برای نشان دادن وجود عدد مورد نیاز، آن را از طریق بیان می کنیم.

از آنجایی که برای هر مقدار "en"، علامت مدول را می توان حذف کرد:

ما از اقدامات "مدرسه ای" با نابرابری هایی استفاده می کنیم که در کلاس تکرار کردم نابرابری های خطیو دامنه تابع. در این مورد، یک شرایط مهم این است که "epsilon" و "en" مثبت هستند:

از آنجایی که ما در مورد اعداد طبیعی در سمت چپ صحبت می کنیم، و سمت راست به طور کلی کسری است، باید گرد شود:

توجه داشته باشید : گاهی اوقات یک واحد به سمت راست اضافه می شود تا در سمت امن باشد، اما در واقع این بیش از حد است. به طور نسبی، اگر نتیجه را با گرد کردن به پایین تضعیف کنیم، نزدیکترین عدد مناسب ("سه") همچنان نابرابری اصلی را برآورده می کند.

اکنون به نابرابری نگاه می کنیم و آنچه را در ابتدا در نظر گرفتیم به یاد می آوریم دلخواه- همسایگی، یعنی "epsilon" می تواند برابر باشد هر کسییک عدد مثبت

نتیجه: برای هر محله کوچک دلخواه یک نقطه، مقدار پیدا شد . بنابراین، عدد بر اساس تعریف، حد یک دنباله است. Q.E.D.

به هر حال، از نتیجه به دست آمده یک الگوی طبیعی به وضوح قابل مشاهده است: هر چه محله کوچکتر باشد، تعداد آن بزرگتر است، پس از آن همه اعضای دنباله در این محله خواهند بود. اما مهم نیست که "اپسیلون" چقدر کوچک باشد، همیشه یک "دم بی نهایت" در داخل و خارج وجود خواهد داشت - حتی اگر بزرگ باشد. نهاییتعداد اعضا

برداشت شما چگونه است؟ =) موافقم که کمی عجیب است. اما به شدت!لطفا دوباره بخوانید و دوباره به همه چیز فکر کنید.

بیایید به یک مثال مشابه نگاه کنیم و با سایر تکنیک های فنی آشنا شویم:

مثال 2

راه حل: با تعریف یک دنباله اثبات آن ضروری است (این را بلند بگو!!!).

در نظر بگیریم دلخواه-همسایگی نقطه و بررسی، آیا وجود داردعدد طبیعی - به طوری که برای همه اعداد بزرگتر نابرابری زیر برقرار است:

برای نشان دادن وجود چنین، باید "en" را از طریق "epsilon" بیان کنید. عبارت زیر علامت مدول را ساده می کنیم:

ماژول علامت منفی را از بین می برد:

مخرج برای هر "en" مثبت است، بنابراین، میله ها را می توان حذف کرد:

بر زدن:

اکنون باید ریشه دوم را استخراج کنیم، اما نکته مهم این است که برای برخی از "اپسیلون" سمت راست سمت راست منفی خواهد بود. برای جلوگیری از این دردسر تقویت کنیمنابرابری بر اساس مدول:

چرا می توان این کار را انجام داد؟ اگر، به طور نسبی، معلوم شود که، آنگاه شرط نیز برآورده می شود. ماژول می تواند فقط افزایش دهیدشماره مورد نظر، و این برای ما نیز مناسب است! به طور کلی اگر صدم مناسب است، دو صدم هم مناسب است! طبق تعریف، باید نشان دهید حقیقت وجود عدد(حداقل برخی)، پس از آن همه اعضای دنباله در همسایگی خواهند بود. به هر حال، به همین دلیل است که ما از گرد شدن نهایی سمت راست به سمت بالا نمی ترسیم.

استخراج ریشه:

و نتیجه را گرد کنید:

نتیجه: زیرا مقدار "epsilon" به طور دلخواه انتخاب شد، سپس برای هر محله کوچک دلخواه نقطه، مقدار آن پیدا شد. ، به طوری که برای همه اعداد بزرگتر نابرابری برقرار است . بدین ترتیب، اولی. Q.E.D.

من توصیه میکنم بخصوصدرک تقویت و تضعیف نابرابری ها یک تکنیک معمولی و بسیار رایج در تحلیل ریاضی است. تنها چیزی که باید نظارت کنید صحت این یا آن عمل است. بنابراین، برای مثال، نابرابری تحت هیچ شرایطی امکان پذیر نیست شل کردن، تفریق، بگویید، یک:

باز هم به صورت مشروط: اگر عدد دقیقاً مطابقت داشته باشد، ممکن است شماره قبلی دیگر مناسب نباشد.

مثال زیر برای یک راه حل مستقل:

مثال 3

با استفاده از تعریف یک دنباله، آن را ثابت کنید

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس.

اگر دنباله بی نهایت بزرگ، سپس تعریف یک حد به روشی مشابه فرموله می شود: یک نقطه حد یک دنباله نامیده می شود اگر وجود داشته باشد، به اندازه ای که دوست داریدعدد، عددی وجود دارد که برای همه اعداد بزرگتر، نابرابری برآورده می شود. شماره تماس گرفته می شود مجاورت نقطه "به علاوه بی نهایت":

به عبارت دیگر، مهم نیست که چقدر مقدار را انتخاب کنیم، "دم نامتناهی" دنباله لزوماً به همسایگی نقطه می رود و فقط تعداد محدودی از عبارت ها در سمت چپ باقی می ماند.

مثال استاندارد:

و علامت کوتاه شده: , if

برای مورد، تعریف را خودتان بنویسید. نسخه صحیح در انتهای درس آمده است.

پس از بررسی مثال‌های عملی و فهمیدن تعریف حد یک دنباله، می‌توانید به ادبیات حسابان و/یا دفتر سخنرانی خود مراجعه کنید. توصیه می کنم جلد 1 بوهان را دانلود کنید (ساده تر - برای دانشجویان مکاتبه ای)و فیختنهولتز (با جزئیات و جزئیات بیشتر). در میان نویسندگان دیگر، من Piskunov را توصیه می کنم، که دوره اش برای دانشگاه های فنی است.

سعی کنید با وجدان قضایایی را که مربوط به حد توالی، اثبات آنها، پیامدها است، مطالعه کنید. در ابتدا، این نظریه ممکن است "ابری" به نظر برسد، اما این طبیعی است - فقط باید به آن عادت کنید. و بسیاری حتی طعم آن را خواهند چشید!

تعریف دقیق حد یک تابع

بیایید با همین موضوع شروع کنیم - چگونه این مفهوم را فرموله کنیم؟ تعریف شفاهی حد یک تابع بسیار ساده تر است: "عدد حد یک تابع است اگر "x" تمایل به (هم چپ و هم راست)، مقادیر تابع مربوطه به » (نقاشی را ببینید). به نظر می رسد همه چیز عادی است، اما کلمات کلمه هستند، معنی معنی است، نماد یک نماد است، و نمادهای ریاضی دقیق کافی وجود ندارد. و در پاراگراف دوم با دو رویکرد برای حل این موضوع آشنا می شویم.

اجازه دهید تابع در یک بازه زمانی مشخص، به استثنای نقطه، تعریف شود. در ادبیات آموزشی به طور کلی پذیرفته شده است که عملکرد وجود دارد نهتعریف شده است:

این انتخاب تاکید می کند ماهیت حد یک تابع: "ایکس" بی نهایت نزدیکرویکردها و مقادیر مربوط به تابع هستند بی نهایت نزدیکبه . به عبارت دیگر، مفهوم حد به معنای «رویکرد دقیق» به نقاط نیست، بلکه به معنای آن است تقریب بی نهایت نزدیک، فرقی نمی کند که تابع در نقطه تعریف شده باشد یا خیر.

تعریف اول از حد یک تابع، تعجب آور نیست، با استفاده از دو دنباله فرموله شده است. اولاً، مفاهیم مرتبط هستند، و ثانیاً، حدود توابع معمولاً پس از محدودیت‌های توالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند.

دنباله را در نظر بگیرید نکته ها (روی نقاشی نیست)، متعلق به فاصله و متفاوت از، که همگرا می شودبه . سپس مقادیر تابع مربوطه نیز یک دنباله عددی را تشکیل می دهند که اعضای آن در محور ارتین قرار دارند.

حد یک تابع طبق هاینه برای هرچیدنباله ای از نقاط (متعلق و متفاوت از)، که به نقطه همگرا می شود، دنباله مربوط به مقادیر تابع به همگرا می شود.

ادوارد هاینه یک ریاضیدان آلمانی است. ... و نیازی به چنین چیزی نیست، فقط یک همجنسگرا در اروپا وجود دارد - گی-لوساک =)

تعریف دوم حد ایجاد شد... بله بله درست می فرمایید. اما ابتدا بیایید طراحی آن را درک کنیم. یک همسایگی دلخواه نقطه را در نظر بگیرید (محله "سیاه"). بر اساس پاراگراف قبل، مدخل به این معناست که مقداری ارزشتابع در داخل محله "epsilon" واقع شده است.

اکنون - همسایگی را می یابیم که با - همسایگی داده شده مطابقت دارد (خطوط نقطه چین سیاه را از چپ به راست و سپس از بالا به پایین بکشید). توجه داشته باشید که مقدار انتخاب شده است در طول بخش کوچکتر، در این مورد - در امتداد طول بخش سمت چپ کوتاهتر. علاوه بر این، "تمشک" - همسایگی یک نقطه حتی می تواند کاهش یابد، زیرا در تعریف زیر حقیقت وجود مهم استاین محله و به طور مشابه، نماد به این معنی است که مقداری در همسایگی "دلتا" قرار دارد.

محدودیت عملکرد کوشی: یک عدد حد تابع در یک نقطه if نامیده می شود برای هرچی از پیش انتخاب شدهمحله (هرچقدر که دوست دارید کوچک), وجود دارد-همسایگی نقطه، چنین، که: AS ONLY مقادیر (متعلق به)در این حوزه گنجانده شده است: (فلش های قرمز)- بنابراین بلافاصله مقادیر تابع مربوطه برای وارد کردن - همسایگی تضمین می شود: (فلش های آبی).

باید به شما هشدار بدهم که برای شفافیت، کمی بداهه نوشتم، پس زیاده روی نکنید =)

ورودی کوتاه:، اگر

اصل تعریف چیست؟ به بیان تصویری، با کاهش بی‌نهایت همسایگی، مقادیر تابع را تا حد آنها «همراه» می‌کنیم، و هیچ جایگزینی برای نزدیک شدن به جای دیگری باقی نمی‌گذاریم. کاملا غیر معمول، اما باز هم سختگیرانه! برای درک کامل ایده، عبارت را دوباره بخوانید.

! توجه: اگر فقط نیاز به فرمول بندی دارید تعریف هاینهیا فقط تعریف کوشیلطفا در مورد را فراموش نکنید قابل توجهنظرات اولیه: "یک تابع را در نظر بگیرید که در یک بازه زمانی مشخص تعریف شده است، به استثنای یک نقطه". این را در همان ابتدا یک بار گفتم و هر بار تکرار نکردم.

با توجه به قضیه مربوط به تحلیل ریاضی، تعاریف هاینه و کوشی معادل هستند، اما گزینه دوم معروف ترین است. (هنوز این کار را انجام خواهد داد!)، که به آن "محدودیت زبان" نیز می گویند:

مثال 4

با استفاده از تعریف حد، آن را ثابت کنید

راه حل: تابع در کل خط عددی به جز نقطه تعریف شده است. با استفاده از تعریف، وجود یک حد را در یک نقطه معین اثبات می کنیم.

توجه داشته باشید : ارزش محله "دلتا" به "epsilon" بستگی دارد، از این رو تعیین می شود

در نظر بگیریم دلخواه-محیط اطراف. وظیفه این است که از این مقدار برای بررسی اینکه آیا استفاده کنید آیا وجود دارد-محیط اطراف، چنین، که از نابرابری نابرابری به دنبال دارد .

با این فرض، آخرین نابرابری را تبدیل می کنیم:
(سه جمله ای درجه دوم را گسترش داد)