Շրջանաձև շարժում. Մարմնի շարժում բացարձակ արժեքով հաստատուն արագությամբ շրջանով Գտնել մարմնի արագությունը շրջանով շարժվելիս

Այս դասում մենք կքննարկենք կորագիծ շարժումը, այն է՝ մարմնի միատեսակ շարժումը շրջանագծի մեջ: Կսովորենք, թե ինչ է գծային արագությունը, կենտրոնաձիգ արագացումը, երբ մարմինը շարժվում է շրջանագծով։ Մենք նաև ներկայացնում ենք մեծություններ, որոնք բնութագրում են պտտման շարժումը (պտտման ժամանակաշրջան, պտտման հաճախականություն, անկյունային արագություն) և կապում այդ մեծությունները միմյանց հետ:

Շրջանակով միատեսակ շարժումով հասկացվում է, որ մարմինը պտտվում է նույն անկյան տակ ցանկացած նույն ժամանակահատվածում (տես նկ. 6):

Բրինձ. 6. Միատեսակ շրջանաձև շարժում

Այսինքն, ակնթարթային արագության մոդուլը չի ​​փոխվում.

Այս արագությունը կոչվում է գծային.

Չնայած արագության մոդուլը չի ​​փոխվում, արագության ուղղությունը անընդհատ փոխվում է։ Դիտարկենք արագության վեկտորները կետերում Աև Բ(տես նկ. 7): Նրանք ուղղված են տարբեր ուղղություններով, ուստի նրանք հավասար չեն: Եթե ​​հանվում է կետի արագությունից Բկետի արագություն Ա, ստանում ենք վեկտոր .

Բրինձ. 7. Արագության վեկտորներ

Արագության () փոփոխության հարաբերակցությունը այն ժամանակին, որի ընթացքում տեղի է ունեցել այդ փոփոխությունը () արագացումն է:

Հետևաբար, ցանկացած կորագիծ շարժում արագացվում է.

Եթե ​​դիտարկենք Նկար 7-ում ստացված արագության եռանկյունը, ապա կետերի շատ մոտ դասավորությամբ. Աև Բմիմյանց նկատմամբ, արագության վեկտորների միջև անկյունը (α) մոտ կլինի զրոյին.

Հայտնի է նաև, որ այս եռանկյունը հավասարաչափ է, ուստի արագությունների մոդուլները հավասար են (միատեսակ շարժում).

Հետևաբար, այս եռանկյան հիմքի երկու անկյուններն էլ անորոշորեն մոտ են.

Սա նշանակում է, որ արագացումը, որն ուղղված է վեկտորի երկայնքով, իրականում ուղղահայաց է շոշափողին: Հայտնի է, որ շոշափողին ուղղահայաց շրջանագծի ուղիղը շառավիղ է, ուստի արագացումն ուղղված է շառավղով դեպի շրջանի կենտրոն: Այս արագացումը կոչվում է կենտրոնաձիգ:

Նկար 8-ը ցույց է տալիս ավելի վաղ քննարկված արագությունների եռանկյունը և հավասարաչափ եռանկյունը (երկու կողմերը շրջանագծի շառավիղներն են): Այս եռանկյունները նման են, քանի որ ունեն հավասար անկյուններ, որոնք ձևավորվում են փոխադարձ ուղղահայաց գծերով (շառավիղը, ինչպես վեկտորը, ուղղահայաց է շոշափողին):

Բրինձ. 8. Կենտրոնաձև արագացման բանաձևի ստացման նկարազարդում

Գծի հատված ԱԲշարժում է (). Մենք դիտարկում ենք միատեսակ շրջանաձև շարժում, ուստի.

Ստացված արտահայտությունը փոխարինում ենք ԱԲեռանկյունի նմանության բանաձևի մեջ.

«Գծային արագություն», «արագացում», «կոորդինատ» հասկացությունները բավարար չեն կոր հետագծի երկայնքով շարժումը նկարագրելու համար։ Ուստի անհրաժեշտ է ներկայացնել պտտվող շարժումը բնութագրող մեծություններ։

1. Պտտման ժամանակահատվածը (Տ ) կոչվում է մեկ ամբողջական հեղափոխության ժամանակ։ Այն չափվում է SI միավորներով վայրկյաններով:

Ժամանակաշրջանների օրինակներ. Երկիրն իր առանցքի շուրջը պտտվում է 24 ժամում (), իսկ Արեգակի շուրջը՝ 1 տարում ():

Ժամանակահատվածի հաշվարկման բանաձև.

որտեղ է ընդհանուր ռոտացիայի ժամանակը; - հեղափոխությունների քանակը.

2. Պտտման հաճախականությունը (n ) - պտույտների քանակը, որը մարմինը կատարում է ժամանակի միավորի վրա: Այն չափվում է SI միավորներով փոխադարձ վայրկյաններով:

Հաճախականությունը գտնելու բանաձև.

որտեղ է ընդհանուր ռոտացիայի ժամանակը; - հեղափոխությունների քանակը

Հաճախականությունը և ժամանակաշրջանը հակադարձ համեմատական ​​են.

3. անկյունային արագություն () կոչվում է մարմնի շրջադարձի անկյան փոփոխության հարաբերակցությունը այն ժամանակին, որի ընթացքում տեղի է ունեցել այդ շրջադարձը: Այն չափվում է SI միավորներով ռադիաններով՝ բաժանված վայրկյաններով:

Անկյունային արագությունը գտնելու բանաձևը.

որտեղ է անկյան փոփոխությունը; այն ժամանակն է, որ պահանջվեց հերթի համար:

Կորագիծ շարժման տարբեր տեսակների շարքում առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում մարմնի միատեսակ շարժումը շրջանագծի մեջ. Սա կորագիծ շարժման ամենապարզ ձևն է: Միևնույն ժամանակ, մարմնի ցանկացած բարդ կորագիծ շարժում իր հետագծի բավական փոքր հատվածում կարող է մոտավորապես դիտարկվել որպես շրջանագծի երկայնքով միատեսակ շարժում:

Նման շարժումը կատարվում է պտտվող անիվների, տուրբինային ռոտորների, ուղեծրերում պտտվող արհեստական ​​արբանյակների միջոցով և այլն: Շրջանաձև միատեսակ շարժման դեպքում արագության թվային արժեքը մնում է հաստատուն: Սակայն նման շարժման ժամանակ արագության ուղղությունը անընդհատ փոխվում է։

Մարմնի արագությունը կորագիծ հետագծի ցանկացած կետում շոշափելիորեն ուղղված է այս կետի հետագծին: Սա կարելի է տեսնել՝ դիտարկելով սկավառակաձև հղկաքարի աշխատանքը՝ սեղմելով պողպատե ձողի ծայրը դեպի պտտվող քար, դուք կարող եք տեսնել տաք մասնիկներ, որոնք դուրս են գալիս քարից: Այս մասնիկները թռչում են նույն արագությամբ, ինչ որ ունեցել են քարից բաժանվելու պահին։ Կայծերի ուղղությունը միշտ համընկնում է շրջանագծի շոշափողի հետ այն կետում, որտեղ ձողը դիպչում է քարին: Սահող մեքենայի անիվներից ցողերը նույնպես շոշափելիորեն շարժվում են դեպի շրջան:

Այսպիսով, կորագիծ հետագծի տարբեր կետերում մարմնի ակնթարթային արագությունը տարբեր ուղղություններ ունի, մինչդեռ արագության մոդուլը կարող է կամ ամենուր նույնը լինել կամ փոխվել կետից կետ։ Բայց եթե անգամ արագության մոդուլը չփոխվի, այն դեռ չի կարող հաստատուն համարվել։ Ի վերջո, արագությունը վեկտորային մեծություն է, իսկ վեկտորային մեծությունների համար մոդուլն ու ուղղությունը հավասարապես կարևոր են։ Ահա թե ինչու կորագիծ շարժումը միշտ արագացված է, նույնիսկ եթե արագության մոդուլը հաստատուն է։

Curvilinear շարժումը կարող է փոխել արագության մոդուլը և դրա ուղղությունը: Կորագիծ շարժումը, որի դեպքում արագության մոդուլը մնում է հաստատուն, կոչվում է միատեսակ կորագիծ շարժում. Նման շարժման ժամանակ արագացումը կապված է միայն արագության վեկտորի ուղղության փոփոխության հետ։

Ե՛վ մոդուլը, և՛ արագացման ուղղությունը պետք է կախված լինեն կոր հետագծի ձևից: Այնուամենայնիվ, անհրաժեշտ չէ հաշվի առնել դրա անհամար ձևերից յուրաքանչյուրը: Յուրաքանչյուր հատվածը ներկայացնելով որպես առանձին շրջան՝ որոշակի շառավղով, կորագիծ հավասարաչափ շարժման մեջ արագացում գտնելու խնդիրը կնվազեցվի մինչև շրջանագծի երկայնքով հավասարաչափ շարժվող մարմնի արագացում գտնելը:

Շրջանակում միատեսակ շարժումը բնութագրվում է շրջանառության շրջանով և հաճախականությամբ:

Այն ժամանակը, որ անհրաժեշտ է մարմնին մեկ հեղափոխություն անելու համար, կոչվում է շրջանառության ժամկետը.

Շրջանակում միատեսակ շարժումով հեղափոխության ժամանակաշրջանը որոշվում է՝ բաժանելով անցած տարածությունը, այսինքն՝ շրջանագծի շրջագիծը շարժման արագության վրա.

Ժամանակահատվածի փոխադարձությունը կոչվում է շրջանառության հաճախականությունը, որը նշվում է տառով ν . Հեղափոխությունների քանակը միավոր ժամանակում ν կանչեց շրջանառության հաճախականությունը:

Արագության ուղղության շարունակական փոփոխության շնորհիվ շրջանով շարժվող մարմինը ունի արագացում, որը բնութագրում է իր ուղղությամբ փոփոխության արագությունը, արագության թվային արժեքը այս դեպքում չի փոխվում։

Շրջանի երկայնքով մարմնի միատեսակ շարժման դեպքում նրա ցանկացած կետում արագացումը միշտ ուղղահայաց է շրջանագծի շառավղով դեպի կենտրոն շարժման արագությանը և կոչվում է. կենտրոնաձիգ արագացում.

Դրա արժեքը գտնելու համար հաշվի առեք արագության վեկտորի փոփոխության հարաբերակցությունը այն ժամանակային միջակայքին, որի ընթացքում տեղի է ունեցել այդ փոփոխությունը: Քանի որ անկյունը շատ փոքր է, մենք ունենք

USE կոդավորիչի թեմաներ. շարժում շրջանով մշտական ​​մոդուլային արագությամբ, կենտրոնաձիգ արագացում:

Միատեսակ շրջանաձև շարժում արագացման վեկտորով շարժման բավականին պարզ օրինակ է, որը կախված է ժամանակից։

Թող կետը պտտվի շառավղով շրջանագծի վրա: Կետի արագությունը հաստատուն մոդուլ է և հավասար է . Արագությունը կոչվում է գծային արագությունմիավորներ.

Շրջանառության ժամկետը մեկ ամբողջական հեղափոխության ժամանակն է։ Ժամանակահատվածի համար մենք ունենք ակնհայտ բանաձև.

. (1)

Շրջանառության հաճախականությունը ժամանակաշրջանի փոխադարձությունն է՝

Հաճախականությունը ցույց է տալիս, թե քանի ամբողջական պտույտ է կատարում կետը վայրկյանում: Հաճախականությունը չափվում է rpm-ով (պտույտ վայրկյանում):

Եկեք, օրինակ, . Սա նշանակում է, որ ժամանակի ընթացքում կետը մեկ ամբողջական է դարձնում
շրջանառություն. Հաճախականությունը այս դեպքում հավասար է. մոտ / վ; Կետը վայրկյանում կատարում է 10 ամբողջական պտույտ։

Անկյունային արագություն.

Դիտարկենք Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում կետի միատեսակ պտույտը: Կոորդինատների սկզբնաղբյուրը տեղադրենք շրջանագծի կենտրոնում (նկ. 1):

Բրինձ. 1. Միատեսակ շրջանաձև շարժում

Թող լինի կետի սկզբնական դիրքը; այլ կերպ ասած, համար, կետն ուներ կոորդինատներ: Թող կետը ժամանակին շրջվի անկյան միջով և գրավի դիրքը:

Պտտման անկյան հարաբերակցությունը ժամանակին կոչվում է անկյունային արագություն կետի ռոտացիա.

. (2)

Անկյունը սովորաբար չափվում է ռադիաններով, ուստի անկյունային արագությունը չափվում է ռադ/վ: Պտտման ժամանակաշրջանին հավասար ժամանակի համար կետը պտտվում է անկյան միջով: Ահա թե ինչու

. (3)

Համեմատելով (1) և (3) բանաձևերը՝ մենք ստանում ենք գծային և անկյունային արագությունների միջև կապը.

. (4)

Շարժման օրենքը.

Այժմ գտնենք պտտվող կետի կոորդինատների կախվածությունը ժամանակից։ Մենք տեսնում ենք Նկ. 1 որ

Բայց բանաձևից (2) ունենք. հետևաբար,

. (5)

Բանաձևերը (5) մեխանիկայի հիմնական խնդրի լուծումն են շրջանագծի երկայնքով կետի միատեսակ շարժման համար:

կենտրոնաձիգ արագացում.

Այժմ մեզ հետաքրքրում է պտտվող կետի արագացումը։ Այն կարելի է գտնել՝ երկու անգամ տարբերակելով հարաբերությունները (5).

Հաշվի առնելով (5) բանաձևերը՝ ունենք.

(6)

Ստացված բանաձևերը (6) կարելի է գրել որպես մեկ վեկտորային հավասարություն.

(7)

որտեղ է պտտվող կետի շառավիղը:

Մենք տեսնում ենք, որ արագացման վեկտորն ուղղված է շառավիղի վեկտորին հակառակ, այսինքն՝ դեպի շրջանագծի կենտրոնը (տես նկ. 1): Հետևաբար, շրջանով հավասարաչափ շարժվող կետի արագացումը կոչվում է կենտրոնաձիգ.

Բացի այդ, բանաձևից (7) մենք ստանում ենք կենտրոնաձիգ արագացման մոդուլի արտահայտություն.

(8)

Մենք արտահայտում ենք անկյունային արագությունը (4)-ից

և փոխարինել (8)-ով: Եկեք ևս մեկ բանաձև ստանանք կենտրոնաձիգ արագացման համար:

Քանի որ գծային արագությունը հավասարաչափ փոխում է ուղղությունը, ապա շրջանագծի երկայնքով շարժումը չի կարելի անվանել միատեսակ, այն միատեսակ արագացված է։

Անկյունային արագություն

Ընտրեք մի կետ շրջանագծի վրա 1 . Եկեք շառավիղ կառուցենք։ Ժամանակի միավորի համար կետը կտեղափոխվի կետ 2 . Այս դեպքում շառավիղը նկարագրում է անկյունը: Անկյունային արագությունը թվայինորեն հավասար է շառավիղի պտտման անկյունին միավոր ժամանակում։

Ժամանակահատվածը և հաճախականությունը

Պտտման ժամանակահատվածը Տայն ժամանակն է, որն անհրաժեշտ է մարմնին մեկ հեղափոխություն անելու համար:

RPM-ը վայրկյանում պտույտների քանակն է:

Հաճախականությունը և ժամանակահատվածը կապված են հարաբերությունների հետ

Կապը անկյունային արագության հետ

Գծի արագություն

Շրջանակի յուրաքանչյուր կետ շարժվում է որոշակի արագությամբ: Այս արագությունը կոչվում է գծային: Գծային արագության վեկտորի ուղղությունը միշտ համընկնում է շրջանագծի շոշափողի հետ։Օրինակ, սրճաղացի տակից կայծերը շարժվում են՝ կրկնելով ակնթարթային արագության ուղղությունը։

Դիտարկենք շրջանագծի մի կետ, որը կատարում է մեկ հեղափոխություն, ծախսված ժամանակը. սա այն ժամանակահատվածն է Տ.Ճանապարհը, որը հաղթահարում է կետը, շրջանագծի շրջագիծն է:

կենտրոնաձիգ արագացում

Շրջանակով շարժվելիս արագացման վեկտորը միշտ ուղղահայաց է արագության վեկտորին՝ ուղղված շրջանագծի կենտրոնին։

Օգտագործելով նախորդ բանաձևերը, մենք կարող ենք դուրս բերել հետևյալ հարաբերությունները

Միևնույն ուղիղ գծի վրա ընկած կետերը, որոնք բխում են շրջանագծի կենտրոնից (օրինակ, դրանք կարող են լինել անիվի ճյուղերի վրա ընկած կետերը) կունենան նույն անկյունային արագությունները, պարբերությունը և հաճախականությունը: Այսինքն՝ նրանք կպտտվեն նույն կերպ, բայց տարբեր գծային արագություններով։ Որքան հեռու է կետը կենտրոնից, այնքան ավելի արագ է շարժվելու:

Արագությունների գումարման օրենքը գործում է նաև պտտվող շարժման համար։ Եթե ​​մարմնի կամ հղման համակարգի շարժումը միատեսակ չէ, ապա օրենքը կիրառվում է ակնթարթային արագությունների վրա։ Օրինակ՝ պտտվող կարուսելի եզրով քայլող մարդու արագությունը հավասար է կարուսելի եզրի պտտման գծային արագության և մարդու արագության վեկտորային գումարին։

Երկիրը մասնակցում է երկու հիմնական պտտվող շարժումների՝ ամենօրյա (իր առանցքի շուրջ) և ուղեծրային (Արևի շուրջ): Արեգակի շուրջ Երկրի պտտման ժամանակահատվածը 1 տարի կամ 365 օր է։ Երկիրը պտտվում է իր առանցքի շուրջ արևմուտքից արևելք, այս պտույտի ժամանակահատվածը 1 օր կամ 24 ժամ է։ Լայնությունը հասարակածի հարթության և Երկրի կենտրոնից դեպի մակերևույթի մի կետ ուղղության միջև ընկած անկյունն է։

Համաձայն Նյուտոնի երկրորդ օրենքի՝ ցանկացած արագացման պատճառը ուժն է։ Եթե ​​շարժվող մարմինը զգում է կենտրոնաձիգ արագացում, ապա այդ արագացումը առաջացնող ուժերի բնույթը կարող է տարբեր լինել: Օրինակ, եթե մարմինը շրջանաձեւ շարժվում է իրեն կապված պարանի վրա, ապա գործող ուժը առաձգական ուժն է։

Եթե ​​սկավառակի վրա ընկած մարմինը սկավառակի հետ միասին պտտվում է իր առանցքի շուրջ, ապա այդպիսի ուժը շփման ուժն է։ Եթե ​​ուժը դադարում է գործել, ապա մարմինը կշարունակի շարժվել ուղիղ գծով

Դիտարկենք շրջանագծի վրա կետի շարժումը A-ից B: Գծային արագությունը հավասար է

Հիմա եկեք անցնենք երկրին միացված ֆիքսված համակարգին: A կետի ընդհանուր արագացումը կմնա նույնը և՛ բացարձակ արժեքով, և՛ ուղղությամբ, քանի որ արագացումը չի փոխվում մի իներցիալ հղման համակարգից մյուսին անցնելիս: Անշարժ դիտորդի տեսանկյունից A կետի հետագիծն այլևս շրջանագիծ չէ, այլ ավելի բարդ կոր (ցիկլոիդ), որի երկայնքով կետը շարժվում է անհավասարաչափ։