Ինչպես գտնել թվաբանական առաջընթացի գումարը: Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը

Ինչ-որ մեկը զգուշությամբ է վերաբերվում «առաջընթաց» բառին, որպես բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժիններից շատ բարդ տերմին: Մինչդեռ ամենապարզ թվաբանական առաջընթացը տաքսիների հաշվիչի աշխատանքն է (որտեղ դեռ մնում են)։ Իսկ թվաբանական հաջորդականության էությունը հասկանալը (իսկ մաթեմատիկայի մեջ ավելի կարևոր բան չկա, քան «էությունը հասկանալը») այնքան էլ դժվար չէ՝ վերլուծելով մի քանի տարրական հասկացություններ։

Մաթեմատիկական թվերի հաջորդականություն

Ընդունված է թվային հաջորդականություն անվանել թվերի շարք, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր համարը։

իսկ 1-ը հաջորդականության առաջին անդամն է.

իսկ 2-ը հաջորդականության երկրորդ անդամն է.

իսկ 7-ը հաջորդականության յոթերորդ անդամն է.

իսկ n-ը հաջորդականության n-րդ անդամն է.

Այնուամենայնիվ, ոչ մի կամայական թվեր և թվեր մեզ չեն հետաքրքրում։ Մենք կկենտրոնացնենք մեր ուշադրությունը թվային հաջորդականության վրա, որտեղ n-րդ անդամի արժեքը կապված է նրա հերթական թվի հետ կախվածության միջոցով, որը կարող է հստակ ձևակերպվել մաթեմատիկորեն: Այլ կերպ ասած՝ n-րդ թվի թվային արժեքը n-ի որոշ ֆունկցիա է:

a - թվային հաջորդականության անդամի արժեքը.

n-ը նրա սերիական համարն է.

f(n) ֆունկցիան է, որտեղ n թվային հաջորդականության հերթականությունը արգումենտն է:

Սահմանում

Թվաբանական առաջընթացը սովորաբար կոչվում է թվային հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը նույն թվով մեծ է (պակաս) նախորդից։ Թվաբանական հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը հետևյալն է.

a n - թվաբանական առաջընթացի ընթացիկ անդամի արժեքը.

a n+1 - հաջորդ թվի բանաձևը.

դ - տարբերություն (որոշակի թիվ):

Հեշտ է որոշել, որ եթե տարբերությունը դրական է (d>0), ապա դիտարկվող շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ավելի մեծ կլինի, քան նախորդը, և նման թվաբանական առաջընթացը կաճի։

Ստորև բերված գրաֆիկում հեշտ է հասկանալ, թե ինչու է թվերի հաջորդականությունը կոչվում «աճող»:

Այն դեպքերում, երբ տարբերությունը բացասական է (դ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Նշված անդամի արժեքը

Երբեմն անհրաժեշտ է որոշել թվաբանական պրոգրեսիայի որոշ կամայական a n անդամի արժեքը: Դուք կարող եք դա անել՝ հաջորդաբար հաշվարկելով թվաբանական առաջընթացի բոլոր անդամների արժեքները՝ առաջինից մինչև ցանկալիը: Սակայն այս ճանապարհը միշտ չէ, որ ընդունելի է, եթե, օրինակ, անհրաժեշտ է գտնել հինգ հազարերորդ կամ ութ միլիոներորդ անդամի արժեքը։ Ավանդական հաշվարկը երկար ժամանակ կպահանջի։ Այնուամենայնիվ, որոշակի թվաբանական առաջընթացը կարող է ուսումնասիրվել որոշակի բանաձևերի միջոցով: Գոյություն ունի նաև n-րդ անդամի բանաձև՝ թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի արժեքը կարող է որոշվել որպես առաջընթացի առաջին անդամի գումար՝ առաջընթացի տարբերությամբ՝ բազմապատկելով ցանկալի անդամի թվով, հանած մեկ։ .

Բանաձևը ունիվերսալ է առաջընթացի ավելացման և նվազման համար:

Տվյալ անդամի արժեքը հաշվարկելու օրինակ

Լուծենք թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի արժեքը գտնելու հետևյալ խնդիրը.

Պայման՝ առկա է թվաբանական առաջընթաց՝ պարամետրերով.

Հերթականության առաջին անդամը 3-ն է;

Թվերի շարքի տարբերությունը 1,2 է։

Առաջադրանք՝ անհրաժեշտ է գտնել 214 տերմինների արժեքը

Լուծում. տվյալ անդամի արժեքը որոշելու համար օգտագործում ենք բանաձևը.

a(n) = a1 + d(n-1)

Խնդրի դրույթի տվյալները փոխարինելով արտահայտության մեջ՝ ունենք.

a (214) = a1 + d (n-1)

ա(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Պատասխան՝ հաջորդականության 214-րդ անդամը հավասար է 258,6-ի։

Այս հաշվարկման մեթոդի առավելություններն ակնհայտ են. ամբողջ լուծումը տևում է ոչ ավելի, քան 2 տող:

Տրված թվով տերմինների գումարը

Շատ հաճախ, տվյալ թվաբանական շարքում պահանջվում է որոշել դրա որոշ հատվածների արժեքների գումարը: Նաև կարիք չկա հաշվարկել յուրաքանչյուր տերմինի արժեքները և այնուհետև ամփոփել դրանք: Այս մեթոդը կիրառելի է, եթե այն տերմինների թիվը, որոնց գումարը պետք է գտնել, փոքր է: Այլ դեպքերում ավելի հարմար է օգտագործել հետեւյալ բանաձեւը.

1-ից n թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը հավասար է առաջին և n-րդ անդամների գումարին՝ բազմապատկված n անդամի վրա և բաժանված երկուսի։ Եթե ​​բանաձևում n-րդ անդամի արժեքը փոխարինվում է հոդվածի նախորդ պարբերության արտահայտությամբ, ապա ստանում ենք.

Հաշվարկի օրինակ

Օրինակ՝ լուծենք խնդիր հետևյալ պայմաններով.

Հերթականության առաջին անդամը զրո է.

Տարբերությունը 0,5 է։

Խնդրում պահանջվում է որոշել շարքի տերմինների գումարը 56-ից մինչև 101։

Լուծում. Առաջընթացի գումարը որոշելու համար օգտագործենք բանաձևը.

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Նախ՝ մենք որոշում ենք պրոգրեսիայի 101 անդամների արժեքների գումարը՝ մեր խնդրի տվյալ պայմանները փոխարինելով բանաձևով.

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Ակնհայտ է, որ 56-րդից 101-րդ առաջընթացի պայմանների գումարը պարզելու համար անհրաժեշտ է S 101-ից հանել S 55-ը։

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Այսպիսով, այս օրինակի համար թվաբանական առաջընթացի գումարը հետևյալն է.

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782.5

Թվաբանական առաջընթացի գործնական կիրառման օրինակ

Հոդվածի վերջում վերադառնանք առաջին պարբերությունում տրված թվաբանական հաջորդականության օրինակին՝ տաքսիմետր (տաքսի մեքենայի հաշվիչ)։ Դիտարկենք նման օրինակ.

Տաքսի նստելը (որը ներառում է 3 կմ) արժե 50 ռուբլի։ Յուրաքանչյուր հաջորդ կիլոմետրը վճարվում է 22 ռուբլի / կմ փոխարժեքով: Ճանապարհորդության հեռավորությունը 30 կմ: Հաշվեք ուղևորության արժեքը.

1. Եկեք դեն նետենք առաջին 3 կմ-ը, որի գինը ներառված է վայրէջքի արժեքի մեջ։

30 - 3 = 27 կմ.

2. Հետագա հաշվարկը ոչ այլ ինչ է, քան թվաբանական թվերի շարքի վերլուծություն:

Անդամի համարը անցած կիլոմետրերի թիվն է (բացի առաջին երեքը):

Անդամի արժեքը գումարն է:

Այս խնդրի առաջին տերմինը հավասար կլինի 1 = 50 ռուբլի:

Առաջընթացի տարբերություն d = 22 p.

մեզ հետաքրքրող թիվը - թվաբանական առաջընթացի (27 + 1) անդամի արժեքը - 27-րդ կիլոմետրի վերջում մետրի ցուցանիշը - 27,999 ... = 28 կմ:

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Օրացույցային տվյալների հաշվարկները կամայականորեն երկար ժամանակահատվածի համար հիմնված են որոշակի թվային հաջորդականություններ նկարագրող բանաձևերի վրա: Աստղագիտության մեջ ուղեծրի երկարությունը երկրաչափորեն կախված է երկնային մարմնի և լուսատուի հեռավորությունից։ Բացի այդ, տարբեր թվային շարքեր հաջողությամբ օգտագործվում են վիճակագրության և մաթեմատիկայի այլ կիրառական ճյուղերում։

Թվերի հաջորդականության մեկ այլ տեսակ երկրաչափական է

Երկրաչափական պրոգրեսիան բնութագրվում է փոփոխությունների մեծ արագությամբ, համեմատած թվաբանականի հետ: Պատահական չէ, որ քաղաքականության, սոցիոլոգիայի, բժշկության մեջ հաճախ, որպեսզի ցույց տան կոնկրետ երեւույթի տարածման մեծ արագությունը, օրինակ՝ հիվանդության համաճարակի ժամանակ, ասում են, որ այդ գործընթացը զարգանում է երկրաչափական ծավալով։

Երկրաչափական թվերի շարքի N-րդ անդամը տարբերվում է նախորդից նրանով, որ այն բազմապատկվում է ինչ-որ հաստատուն թվով` հայտարարով, օրինակ, առաջին անդամը 1 է, հայտարարը համապատասխանաբար 2 է, ապա.

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4՝ 8 ∙ 2 = 16

n=5՝ 16 ∙ 2 = 32,

b n - երկրաչափական պրոգրեսիայի ընթացիկ անդամի արժեքը.

b n+1 - երկրաչափական պրոգրեսիայի հաջորդ անդամի բանաձեւը.

q-ն երկրաչափական պրոգրեսիայի (հաստատուն թվի) հայտարարն է։

Եթե ​​թվաբանական առաջընթացի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, ապա երկրաչափականը մի փոքր այլ պատկեր է գծում.

Ինչպես թվաբանության դեպքում, երկրաչափական պրոգրեսիան ունի կամայական անդամի արժեքի բանաձև։ Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած n-րդ անդամ հավասար է առաջին անդամի արտադրյալին և n-ի հզորության առաջընթացի հայտարարին՝ կրճատված մեկով.

Օրինակ. Մենք ունենք երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը հավասար է 3-ի, իսկ առաջընթացի հայտարարը հավասար է 1,5-ի: Գտե՛ք առաջընթացի 5-րդ անդամը

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

Տվյալ թվի անդամների գումարը նույնպես հաշվարկվում է հատուկ բանաձևով. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը հավասար է պրոգրեսիայի n-րդ անդամի և նրա հայտարարի արտադրյալի և պրոգրեսիայի առաջին անդամի արտադրյալի տարբերությանը, որը բաժանվում է մեկով կրճատված հայտարարի վրա.

Եթե ​​b n-ը փոխարինվի վերը քննարկված բանաձևով, ապա դիտարկվող թվային շարքի առաջին n անդամների գումարի արժեքը կստանա հետևյալ ձևը.

Օրինակ. Երկրաչափական պրոգրեսիան սկսվում է առաջին անդամից, որը հավասար է 1-ի: Հայտարարը հավասար է 3-ի: Գտնենք առաջին ութ անդամների գումարը:

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Միջնակարգ դպրոցում հանրահաշիվ ուսումնասիրելիս (9-րդ դասարան) կարևոր թեմաներից է թվային հաջորդականությունների ուսումնասիրությունը, որոնք ներառում են առաջընթացներ՝ երկրաչափական և թվաբանական: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք թվաբանական առաջընթացը և լուծումներով օրինակներ:

Ի՞նչ է թվաբանական առաջընթացը:

Սա հասկանալու համար անհրաժեշտ է տալ դիտարկվող առաջընթացի սահմանումը, ինչպես նաև տալ հիմնական բանաձևերը, որոնք հետագայում կկիրառվեն խնդիրների լուծման ժամանակ։

Թվաբանական կամ հանրահաշվական պրոգրեսիան դասավորված ռացիոնալ թվերի այնպիսի բազմություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ տարբերվում է նախորդից որոշակի հաստատուն արժեքով։ Այս արժեքը կոչվում է տարբերություն: Այսինքն, իմանալով պատվիրված թվերի շարքի ցանկացած անդամի և տարբերությունը, դուք կարող եք վերականգնել ամբողջ թվաբանական առաջընթացը:

Օրինակ բերենք. Թվերի հաջորդ հաջորդականությունը կլինի թվաբանական առաջընթաց՝ 4, 8, 12, 16, ..., քանի որ տարբերությունն այս դեպքում 4 է (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12): Բայց 3, 5, 8, 12, 17 թվերի բազմությունը այլևս չի կարող վերագրվել առաջընթացի դիտարկվող տեսակին, քանի որ դրա տարբերությունը հաստատուն արժեք չէ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12):

Կարևոր բանաձևեր

Այժմ մենք տալիս ենք հիմնական բանաձևերը, որոնք անհրաժեշտ կլինեն թվաբանական առաջընթացի միջոցով խնդիրները լուծելու համար: Թող a n-ը նշանակի հաջորդականության n-րդ անդամը, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: Տարբերությունը նշվում է լատինական d տառով: Ապա ճշմարիտ են հետևյալ արտահայտությունները.

1. N-րդ անդամի արժեքը որոշելու համար հարմար է բանաձևը. a n \u003d (n-1) * d + a 1:
2. Առաջին n անդամների գումարը որոշելու համար՝ S n = (a n + a 1)*n/2:

9-րդ դասարանում լուծում ունեցող թվաբանական առաջընթացի ցանկացած օրինակ հասկանալու համար բավական է հիշել այս երկու բանաձևերը, քանի որ քննարկվող տիպի ցանկացած խնդիր հիմնված է դրանց օգտագործման վրա: Նաև մի մոռացեք, որ առաջընթացի տարբերությունը որոշվում է բանաձևով. d = a n - a n-1:

Օրինակ #1. Անհայտ անդամ գտնելը

Մենք տալիս ենք թվաբանական առաջընթացի պարզ օրինակ և այն բանաձևերը, որոնք պետք է օգտագործվեն լուծելու համար:

Թող տրվի 10, 8, 6, 4, ... հաջորդականությունը, նրանում անհրաժեշտ է գտնել հինգ անդամ։

Խնդրի պայմաններից արդեն բխում է, որ առաջին 4 տերմինները հայտնի են։ Հինգերորդը կարելի է սահմանել երկու ձևով.

1. Եկեք նախ հաշվարկենք տարբերությունը: Մենք ունենք՝ d = 8 - 10 = -2: Նմանապես, կարելի է ընդունել ցանկացած երկու այլ տերմին, որոնք կանգնած են միմյանց կողքին: Օրինակ, d = 4 - 6 = -2: Քանի որ հայտնի է, որ d \u003d a n - a n-1, ապա d \u003d a 5 - a 4, որտեղից մենք ստանում ենք. a 5 \u003d a 4 + d: Մենք փոխարինում ենք հայտնի արժեքները՝ a 5 = 4 + (-2) = 2:
2. Երկրորդ մեթոդը նաև պահանջում է խնդրո առարկա առաջընթացի տարբերության իմացություն, այնպես որ նախ անհրաժեշտ է որոշել այն, ինչպես ցույց է տրված վերևում (d = -2): Իմանալով, որ առաջին անդամը a 1 = 10, մենք օգտագործում ենք հաջորդականության n թվի բանաձևը: Մենք ունենք՝ a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n: Փոխարինելով n = 5-ը վերջին արտահայտության մեջ՝ մենք ստանում ենք՝ a 5 = 12-2 * 5 = 2:

Ինչպես տեսնում եք, երկու լուծումներն էլ հանգեցնում են նույն արդյունքի։ Նկատի ունեցեք, որ այս օրինակում առաջընթացի d տարբերությունը բացասական է: Նման հաջորդականությունները կոչվում են նվազող, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդական անդամ ավելի փոքր է, քան նախորդը:

Օրինակ #2. առաջընթացի տարբերություն

Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը, օրինակ բերենք, թե ինչպես

Հայտնի է, որ ոմանց մոտ 1-ին անդամը հավասար է 6-ի, իսկ 7-րդ անդամը հավասար է 18-ի։ Անհրաժեշտ է գտնել տարբերությունը և վերականգնել այս հաջորդականությունը 7-րդ անդամի։

Անհայտ տերմինը որոշելու համար օգտագործենք բանաձևը՝ a n = (n - 1) * d + a 1 : Մենք պայմանից հայտնի տվյալները փոխարինում ենք դրա մեջ, այսինքն՝ a 1 և a 7 թվերը, ունենք՝ 18 \u003d 6 + 6 * d. Այս արտահայտությունից դուք հեշտությամբ կարող եք հաշվարկել տարբերությունը. d = (18 - 6) / 6 = 2: Այսպիսով, խնդրի առաջին մասի պատասխանը տրվեց:

Հերթականությունը 7-րդ անդամին վերականգնելու համար պետք է օգտագործել հանրահաշվական պրոգրեսիայի սահմանումը, այսինքն՝ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d և այլն: Արդյունքում մենք վերականգնում ենք ամբողջ հաջորդականությունը՝ a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 և 7 = 18:

Օրինակ #3. առաջընթաց կատարելը

Եկեք էլ ավելի բարդացնենք խնդրի վիճակը։ Այժմ դուք պետք է պատասխանեք այն հարցին, թե ինչպես գտնել թվաբանական առաջընթաց: Կարող ենք բերել հետևյալ օրինակը. տրված է երկու թիվ, օրինակ՝ 4 և 5։ Անհրաժեշտ է հանրահաշվական առաջընթաց կատարել, որպեսզի դրանց միջև տեղավորվեն ևս երեք անդամ։

Նախքան այս խնդրի լուծումը սկսելը, պետք է հասկանալ, թե ապագա առաջընթացում ինչ տեղ են գրավելու տվյալ թվերը։ Քանի որ նրանց միջև կլինեն ևս երեք տերմիններ, այնուհետև 1 \u003d -4 և 5 \u003d 5: Սա հաստատելով ՝ մենք անցնում ենք մի առաջադրանքի, որը նման է նախորդին: Կրկին, n-րդ անդամի համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը, ստանում ենք՝ a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Սկսած՝ d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25: Այստեղ տարբերությունը ոչ թե ամբողջ թիվ է, այլ ռացիոնալ թիվ, ուստի հանրահաշվական առաջընթացի բանաձևերը մնում են նույնը։

Հիմա եկեք ավելացնենք գտնված տարբերությունը 1-ին և վերականգնենք առաջընթացի բացակայող անդամները: Մենք ստանում ենք՝ a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u որը համընկավ խնդրի վիճակի հետ։

Օրինակ #4. Առաջընթացի առաջին անդամը

Մենք շարունակում ենք տալ թվաբանական առաջընթացի օրինակներ՝ լուծումով։ Նախորդ բոլոր խնդիրներում հայտնի էր հանրահաշվական պրոգրեսիայի առաջին թիվը։ Այժմ դիտարկենք այլ տեսակի խնդիր. թող տրվի երկու թիվ, որտեղ 15 = 50 և 43 = 37: Պետք է պարզել, թե որ թվից է սկսվում այս հաջորդականությունը:

Մինչ այժմ օգտագործված բանաձևերը ենթադրում են 1-ի և դ-ի իմացություն: Խնդրի պայմաններում այս թվերի մասին ոչինչ հայտնի չէ։ Այնուամենայնիվ, եկեք դուրս գրենք յուրաքանչյուր տերմինի այն արտահայտությունները, որոնց մասին մենք տեղեկություն ունենք. a 15 = a 1 + 14 * d և a 43 = a 1 + 42 * d: Ստացանք երկու հավասարումներ, որոնցում կան 2 անհայտ մեծություններ (a 1 և d): Սա նշանակում է, որ խնդիրը կրճատվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծման վրա:

Նշված համակարգը ամենահեշտ է լուծել, եթե յուրաքանչյուր հավասարման մեջ արտահայտեք 1, այնուհետև համեմատեք ստացված արտահայտությունները: Առաջին հավասարումը. a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; երկրորդ հավասարումը. a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Հավասարեցնելով այս արտահայտությունները՝ ստանում ենք՝ 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, որտեղից d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (տրված է ընդամենը 3 տասնորդական տեղ):

Իմանալով d-ն, դուք կարող եք օգտագործել վերը նշված 2 արտահայտություններից որևէ մեկը 1-ի համար: Օրինակ, նախ՝ a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496:

Եթե ​​արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ կան, կարող եք ստուգել այն, օրինակ՝ որոշել պրոգրեսիայի 43-րդ անդամը, որը նշված է պայմանում։ Մենք ստանում ենք՝ a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008: Փոքր սխալը պայմանավորված է նրանով, որ հաշվարկներում օգտագործվել է կլորացում մինչև հազարերորդական:

Օրինակ # 5. Գումար

Այժմ դիտարկենք թվաբանական առաջընթացի գումարի լուծումներով մի քանի օրինակ:

Թող տրվի հետևյալ ձևի թվային առաջընթացը՝ 1, 2, 3, 4, ...,: Ինչպե՞ս հաշվարկել այս թվերից 100-ի գումարը:

Համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման շնորհիվ այս խնդիրը կարելի է լուծել, այսինքն՝ հաջորդաբար գումարել բոլոր թվերը, ինչը համակարգիչը կանի հենց որ մարդը սեղմի Enter ստեղնը։ Այնուամենայնիվ, խնդիրը կարող է լուծվել մտովի, եթե ուշադրություն դարձնեք, որ թվերի ներկայացված շարքը հանրահաշվական պրոգրեսիա է, և դրա տարբերությունը 1 է: Կիրառելով գումարի բանաձևը, մենք ստանում ենք S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050:

Հետաքրքիր է նշել, որ այս խնդիրը կոչվում է «գաուսյան», քանի որ 18-րդ դարի սկզբին հայտնի գերմանացին, դեռ ընդամենը 10 տարեկանում, կարողացավ մի քանի վայրկյանում լուծել այն իր մտքում։ Տղան չգիտեր հանրահաշվական առաջընթացի գումարի բանաձևը, բայց նա նկատեց, որ եթե գումարում եք թվերի զույգեր, որոնք գտնվում են հաջորդականության եզրերին, դուք միշտ ստանում եք նույն արդյունքը, այսինքն՝ 1 + 100 = 2 + 99։ = 3 + 98 = ..., և քանի որ այդ գումարները կլինեն ուղիղ 50 (100 / 2), ապա ճիշտ պատասխան ստանալու համար բավական է 50-ը բազմապատկել 101-ով:

Օրինակ #6. n-ից մինչև m տերմինների գումարը

Թվաբանական պրոգրեսիայի գումարի մեկ այլ տիպիկ օրինակ հետևյալն է՝ տրված թվերի շարքը՝ 3, 7, 11, 15, ..., դուք պետք է գտեք, թե որքան կլինի դրա 8-ից 14 անդամների գումարը:

Խնդիրը լուծվում է երկու ճանապարհով. Դրանցից առաջինը ներառում է 8-ից 14-ը անհայտ տերմիններ գտնելը, այնուհետև հաջորդաբար ամփոփելը: Քանի որ տերմինները քիչ են, այս մեթոդը բավականաչափ աշխատատար չէ: Այնուամենայնիվ, առաջարկվում է լուծել այս խնդիրը երկրորդ մեթոդով, որն ավելի ունիվերսալ է։

Գաղափարն այն է, որ ստանալ բանաձև m և n տերմինների միջև հանրահաշվական առաջընթացի գումարի համար, որտեղ n > m ամբողջ թվեր են: Երկու դեպքում էլ գումարի համար գրում ենք երկու արտահայտություն.

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Քանի որ n > m, ակնհայտ է, որ 2 գումարը ներառում է առաջինը: Վերջին եզրակացությունը նշանակում է, որ եթե վերցնենք այս գումարների տարբերությունը, և դրան ավելացնենք a m տերմինը (տարբերությունը վերցնելու դեպքում այն ​​հանվում է S n գումարից), ապա ստանում ենք խնդրի անհրաժեշտ պատասխանը։ Մենք ունենք՝ S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2): Այս արտահայտության մեջ անհրաժեշտ է փոխարինել a-ի և a-ի բանաձևերը: Այնուհետև մենք ստանում ենք՝ S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2:

Ստացված բանաձևը որոշ չափով դժվար է, սակայն S mn գումարը կախված է միայն n, m, a 1 և d-ից: Մեր դեպքում a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8: Փոխարինելով այս թվերը, մենք ստանում ենք S mn = 301:

Ինչպես երևում է վերը նշված լուծումներից, բոլոր խնդիրները հիմնված են n-րդ անդամի արտահայտության և առաջին անդամների բազմության գումարի բանաձևի իմացության վրա: Նախքան այս խնդիրներից որևէ մեկի լուծումը սկսելը, խորհուրդ է տրվում ուշադիր կարդալ պայմանը, հստակ հասկանալ, թե ինչ եք ուզում գտնել և միայն դրանից հետո շարունակել լուծումը:

Մեկ այլ խորհուրդ՝ ձգտել պարզության, այսինքն՝ եթե կարող եք հարցին պատասխանել առանց բարդ մաթեմատիկական հաշվարկների, ապա պետք է դա անել, քանի որ այս դեպքում սխալվելու հավանականությունն ավելի քիչ է։ Օրինակ, թիվ 6 լուծումով թվաբանական առաջընթացի օրինակում կարելի էր կանգ առնել S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m բանաձևի վրա և. ընդհանուր առաջադրանքը բաժանեք առանձին ենթաառաջադրանքների (այս դեպքում նախ գտե՛ք a n և a m տերմինները):

Ստացված արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ ունենալու դեպքում խորհուրդ է տրվում ստուգել այն, ինչպես արվել է բերված որոշ օրինակներում։ Ինչպես գտնել թվաբանական պրոգրեսիա, պարզվեց: Երբ դուք դա պարզեք, դա այնքան էլ դժվար չէ:

Օրինակ, հաջորդականությունը \(2\); \(5\); \(ութ\); \(տասնմեկ\); \(14\)… թվաբանական պրոգրեսիա է, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը նախորդից տարբերվում է երեքով (կարելի է ստանալ նախորդից՝ ավելացնելով երեքը).

Այս առաջընթացում \(d\) տարբերությունը դրական է (հավասար է \(3\)-ին), և հետևաբար յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ավելի մեծ է, քան նախորդը: Նման առաջընթացները կոչվում են աճող.

Այնուամենայնիվ, \(d\)-ը կարող է լինել նաև բացասական թիվ։ Օրինակ, թվաբանական առաջընթացում \(16\); \(տասը\); \(չորս\); \(-2\); \(-8\)… առաջընթացի տարբերությունը \(d\) հավասար է մինուս վեցի:

Եվ այս դեպքում յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը ավելի քիչ կլինի, քան նախորդը: Այս առաջընթացները կոչվում են նվազում է.

Թվաբանական առաջընթացի նշում

Առաջընթացը նշվում է փոքր լատինատառով:

Այն թվերը, որոնք կազմում են պրոգրեսիա, կոչվում են այն անդամներ(կամ տարրեր):

Նրանք նշվում են նույն տառով, ինչ թվաբանական պրոգրեսիան, բայց թվային ինդեքսով, որը հավասար է տարրի թվին ըստ հերթականության։

Օրինակ, թվաբանական առաջընթացը \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) բաղկացած է տարրերից \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) և այլն:

Այլ կերպ ասած, առաջընթացի համար \(a_n = \ձախ\(2; 5; 8; 11; 14…\աջ\)\)

Խնդիրների լուծում թվաբանական առաջընթացով

Սկզբունքորեն, վերը նշված տեղեկատվությունը արդեն բավական է թվաբանական պրոգրեսիայի վերաբերյալ գրեթե ցանկացած խնդիր լուծելու համար (ներառյալ OGE-ում առաջարկվողները):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը տրվում է \(b_1=7; d=4\) պայմաններով: Գտեք \(b_5\):
Լուծում:

Պատասխան. \(b_5=23\)

Օրինակ (OGE): Տրված են թվաբանական առաջընթացի առաջին երեք անդամները՝ \(62; 49; 36…\) Գտե՛ք այս առաջընթացի առաջին բացասական անդամի արժեքը։
Լուծում:

Պատասխան. \(-3\)

Օրինակ (OGE): Տրված են թվաբանական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական տարրեր՝ \(...5; x; 10; 12.5...\) Գտե՛ք \(x\) տառով նշանակված տարրի արժեքը։
Լուծում:

Պատասխան. \(7,5\).

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հետևյալ պայմաններով. \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Գտե՛ք այս պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամների գումարը:
Լուծում:

Պատասխան. \(S_6=9\):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացում \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\): Գտեք այս առաջընթացի տարբերությունը:
Լուծում:

Պատասխան. \(d=7\):

Կարևոր թվաբանական առաջընթացի բանաձևեր

Ինչպես տեսնում եք, թվաբանական առաջընթացի շատ խնդիրներ կարելի է լուծել՝ պարզապես հասկանալով հիմնականը, որ թվաբանական առաջընթացը թվերի շղթա է, և այս շղթայի յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը ստացվում է նույն թիվը նախորդին ավելացնելով (տարբերությունը. առաջընթացի մասին):

Այնուամենայնիվ, երբեմն լինում են իրավիճակներ, երբ շատ անհարմար է լուծել «ճակատին»։ Օրինակ, պատկերացրեք, որ հենց առաջին օրինակում մենք պետք է գտնենք ոչ թե հինգերորդ տարրը \(b_5\), այլ երեք հարյուր ութսունվեցերորդ \(b_(386)\): Ի՞նչ է դա, մենք \ (385 \) անգամ ավելացնենք չորս: Կամ պատկերացրեք, որ նախավերջին օրինակում պետք է գտնել առաջին յոթանասուներեք տարրերի գումարը: Հաշվելը շփոթեցնող է...

Հետևաբար, նման դեպքերում նրանք ոչ թե լուծում են «ճակատի վրա», այլ օգտագործում են թվաբանական առաջընթացի համար ստացված հատուկ բանաձևեր։ Իսկ հիմնականներն են առաջընթացի n-րդ անդամի և առաջին անդամների \(n\) գումարի բանաձևը։

\(n\)-րդ անդամի բանաձևը՝ \(a_n=a_1+(n-1)d\), որտեղ \(a_1\) պրոգրեսիայի առաջին անդամն է;
\(n\) – պահանջվող տարրի համարը;
\(a_n\) պրոգրեսիայի անդամ է \(n\) թվով:

Այս բանաձևը թույլ է տալիս արագ գտնել առնվազն երեք հարյուրերորդ, նույնիսկ միլիոներորդ տարրը՝ իմանալով միայն առաջինի և առաջընթացի տարբերությունը:

Օրինակ. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հետևյալ պայմաններով՝ \(b_1=-159\); \(d=8,2\): Գտեք \(b_(246)\):
Լուծում:

Պատասխան. \(b_(246)=1850\):

Առաջին n տերմինների գումարի բանաձևը հետևյալն է. \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), որտեղ

\(a_n\) վերջին ամփոփված անդամն է.

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը տրվում է \(a_n=3.4n-0.6\) պայմաններով։ Գտեք այս առաջընթացի առաջին \(25\) անդամների գումարը:
Լուծում:

Պատասխան. \(S_(25)=1090\):

Առաջին անդամների \(n\) գումարի համար կարող եք ստանալ մեկ այլ բանաձև. պարզապես անհրաժեշտ է \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\)-ի փոխարեն փոխարինեք դրա բանաձևը \(a_n=a_1+(n-1)d\): Մենք ստանում ենք.

Առաջին n տերմինների գումարի բանաձևը հետևյալն է. \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), որտեղ

\(S_n\) – առաջին տարրերի պահանջվող գումարը \(n\);
\(a_1\) առաջին անդամն է, որը պետք է ամփոփվի;
\(d\) - առաջընթացի տարբերություն;
\(n\) - գումարի տարրերի քանակը:

Օրինակ. Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին \(33\)-նախ անդամների գումարը՝ \(17\); \(15,5\); \(տասնչորս)…
Լուծում:

Պատասխան. \(S_(33)=-231\):

Ավելի բարդ թվաբանական առաջընթացի խնդիրներ

Այժմ դուք ունեք բոլոր անհրաժեշտ տեղեկությունները թվաբանական առաջընթացի գրեթե ցանկացած խնդիր լուծելու համար: Եկեք ավարտենք թեման՝ դիտարկելով խնդիրներ, որոնցում անհրաժեշտ է ոչ միայն կիրառել բանաձևեր, այլև մի փոքր մտածել (մաթեմատիկայի մեջ դա կարող է օգտակար լինել ☺)

Օրինակ (OGE): Գտեք առաջընթացի բոլոր բացասական անդամների գումարը. \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Լուծում:

Պատասխան. \(S_(65)=-630.5\):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հետևյալ պայմաններով՝ \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\): Գտեք \(26\)րդից \(42\) տարրի գումարը ներառյալ:
Լուծում:

Պատասխան. \(S=1683\):

Թվաբանական առաջընթացի համար կան ևս մի քանի բանաձևեր, որոնք մենք չենք դիտարկել այս հոդվածում իրենց ցածր գործնական օգտակարության պատճառով: Այնուամենայնիվ, դուք հեշտությամբ կարող եք գտնել դրանք:

Այսպիսով, եկեք նստենք և սկսենք գրել որոշ թվեր: Օրինակ:
Կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք (մեր դեպքում դրանք): Ինչքան էլ թվեր գրենք, միշտ կարող ենք ասել, թե դրանցից որն է առաջինը, որը երկրորդը, և այսպես մինչև վերջինը, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է.

Թվային հաջորդականություն
Օրինակ, մեր հաջորդականության համար.

Նշանակված համարը հատուկ է միայն մեկ հաջորդական համարին: Այսինքն՝ հաջորդականության մեջ չկան երեք երկրորդ թվեր։ Երկրորդ թիվը (ինչպես --րդ թիվը) միշտ նույնն է։
Թիվ ունեցող թիվը կոչվում է հաջորդականության --րդ անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունն անվանում ենք ինչ-որ տառ (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ՝ նույն տառը՝ այս անդամի թվին հավասար ինդեքսով.

Մեր դեպքում.

Ենթադրենք, մենք ունենք թվային հաջորդականություն, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասար:
Օրինակ:

և այլն:
Նման թվային հաջորդականությունը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։
«Պրոգրեսիա» տերմինը ներմուծվել է հռոմեացի հեղինակ Բոեթիուսի կողմից դեռ 6-րդ դարում և ավելի լայն իմաստով հասկացվել է որպես անվերջ թվային հաջորդականություն։ «Թվաբանություն» անվանումը փոխանցվել է շարունակական համամասնությունների տեսությունից, որով զբաղվում էին հին հույները։

Սա թվային հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նախորդին՝ ավելացված նույն թվով։ Այս թիվը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերություն և նշվում։

Փորձեք որոշել, թե որ թվային հաջորդականություններն են թվաբանական առաջընթաց, որոնք՝ ոչ.

ա)
բ)
գ)
դ)

Հասկացա? Համեմատեք մեր պատասխանները.
Էթվաբանական պրոգրեսիա - բ, գ.
Չէթվաբանական պրոգրեսիա - ա, դ.

Վերադառնանք տրված առաջընթացին () և փորձենք գտնել դրա րդ անդամի արժեքը։ Գոյություն ունի երկուայն գտնելու միջոց:

1. Մեթոդ

Մենք կարող ենք ավելացնել առաջընթացի համարի նախորդ արժեքին, մինչև հասնենք պրոգրեսիայի երրորդ անդամին: Լավ է, որ մենք շատ բան չունենք ամփոփելու՝ ընդամենը երեք արժեք.

Այսպիսով, նկարագրված թվաբանական առաջընթացի --րդ անդամը հավասար է.

2. Ճանապարհ

Ի՞նչ կլիներ, եթե մեզ անհրաժեշտ լիներ գտնել առաջընթացի եռամսյակի արժեքը: Գումարը մեզ մեկ ժամից ավելի կխներ, և փաստ չէ, որ թվերը գումարելիս սխալներ թույլ չէինք տա։
Իհարկե, մաթեմատիկոսները գտել են մի ձև, որով պետք չէ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը ավելացնել նախորդ արժեքին։ Ուշադիր նայեք գծված նկարին... Անշուշտ, դուք արդեն նկատել եք որոշակի օրինաչափություն, այն է՝

Օրինակ՝ տեսնենք, թե ինչն է կազմում այս թվաբանական առաջընթացի -րդ անդամի արժեքը.


Այլ կերպ ասած:

Փորձեք ինքնուրույն գտնել այս կերպ թվաբանական առաջընթացի անդամի արժեքը:

Հաշվարկվե՞լ է: Համեմատեք ձեր գրառումները պատասխանի հետ.

Ուշադրություն դարձրեք, որ դուք ստացել եք ճիշտ նույն թիվը, ինչ նախորդ մեթոդում, երբ մենք հաջորդաբար ավելացնում էինք թվաբանական առաջընթացի անդամները նախորդ արժեքին:
Փորձենք «ապանձնավորել» այս բանաձևը՝ այն բերում ենք ընդհանուր ձևի և ստանում.

Թվաբանական առաջընթացները կա՛մ ավելանում են, կա՛մ նվազում:

Աճող- առաջընթացներ, որոնցում տերմինների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքն ավելի մեծ է, քան նախորդը:
Օրինակ:

Նվազող- առաջընթացներ, որոնցում տերմինների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքը նախորդից փոքր է:
Օրինակ:

Ստացված բանաձևը օգտագործվում է թվաբանական պրոգրեսիայի ինչպես աճող, այնպես էլ նվազող տերմինների հաշվարկման ժամանակ:
Եկեք ստուգենք այն գործնականում:
Մեզ տրվում է թվաբանական առաջընթաց, որը բաղկացած է հետևյալ թվերից.

Այդ ժամանակվանից:

Այսպիսով, մենք համոզվեցինք, որ բանաձևը գործում է ինչպես նվազման, այնպես էլ թվաբանական առաջընթացի մեծացման մեջ։
Փորձեք ինքնուրույն գտնել այս թվաբանական առաջընթացի -րդ և -րդ անդամները:

Եկեք համեմատենք արդյունքները.

Թվաբանական առաջընթացի հատկություն

Եկեք բարդացնենք առաջադրանքը. մենք ստանում ենք թվաբանական առաջընթացի հատկությունը:
Ենթադրենք մեզ տրված է հետևյալ պայմանը.
- թվաբանական առաջընթաց, գտեք արժեքը:
Հեշտ է, ասում ես, և սկսիր հաշվել արդեն իմացած բանաձևով.

Թող, a, ապա.

Բացարձակապես ճիշտ. Ստացվում է, որ մենք նախ գտնում ենք, հետո ավելացնում ենք առաջին թվին ու ստանում այն, ինչ փնտրում ենք։ Եթե ​​պրոգրեսիան ներկայացված է փոքր արժեքներով, ապա դրանում բարդ բան չկա, բայց ի՞նչ, եթե պայմանում մեզ թվեր տրվեն: Համաձայնեք՝ հաշվարկներում սխալվելու հավանականություն կա։
Հիմա մտածեք՝ հնարավո՞ր է այս խնդիրը մեկ քայլով լուծել՝ օգտագործելով որևէ բանաձև։ Իհարկե, այո, և մենք կփորձենք դա դուրս բերել հիմա։

Նշենք թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկալի տերմինը, քանի որ մենք գիտենք այն գտնելու բանաձևը. սա նույն բանաձևն է, որը մենք սկզբում ստացանք.
, ապա՝

• Առաջընթացի նախորդ անդամն է.
• Առաջընթացի հաջորդ ժամկետն է.

Ամփոփենք առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամները.

Ստացվում է, որ առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամների գումարը երկու անգամ մեծ է նրանց միջև գտնվող պրոգրեսիայի անդամի արժեքից։ Այլ կերպ ասած՝ հայտնի նախորդ և հաջորդական արժեքներով պրոգրեսիոն անդամի արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է դրանք ավելացնել և բաժանել։

Ճիշտ է, մենք ստացել ենք նույն թիվը: Եկեք շտկենք նյութը: Ինքներդ հաշվարկեք առաջընթացի արժեքը, քանի որ դա ամենևին էլ դժվար չէ։

Լավ արեցիր։ Դուք գիտեք գրեթե ամեն ինչ առաջընթացի մասին: Մնում է պարզել միայն մեկ բանաձև, որը, ըստ լեգենդի, բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը՝ «մաթեմատիկոսների արքան»՝ Կառլ Գաուսը, հեշտությամբ եզրակացրեց իր համար…

Երբ Կարլ Գաուսը 9 տարեկան էր, ուսուցիչը, զբաղված լինելով այլ դասարանների աշակերտների աշխատանքը ստուգելով, դասի ժամանակ տվեց հետևյալ առաջադրանքը. « Ինչպիսի՞ն էր ուսուցչի զարմանքը, երբ իր աշակերտներից մեկը (դա Կառլ Գաուսն էր) մեկ րոպե անց ճիշտ պատասխան տվեց առաջադրանքին, մինչդեռ համարձակի դասընկերներից շատերը երկար հաշվարկներից հետո սխալ արդյունք ստացան ...

Երիտասարդ Կարլ Գաուսը նկատեց մի օրինաչափություն, որը դուք հեշտությամբ կարող եք նկատել:
Ենթադրենք, ունենք թվաբանական պրոգրեսիա՝ բաղկացած -ti անդամներից. Պետք է գտնել թվաբանական պրոգրեսիայի տրված անդամների գումարը։ Իհարկե, մենք կարող ենք ձեռքով գումարել բոլոր արժեքները, բայց ի՞նչ, եթե մեզ անհրաժեշտ լինի գտնել առաջադրանքի մեջ դրա տերմինների գումարը, ինչպես փնտրում էր Գաուսը:

Եկեք պատկերենք մեզ տրված առաջընթացը։ Ուշադիր նայեք ընդգծված թվերին և փորձեք դրանցով կատարել տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ:


Փորձե՞լ եք: Ի՞նչ նկատեցիք։ Ճիշտ! Նրանց գումարները հավասար են

Հիմա պատասխանեք՝ մեզ տրված պրոգրեսիայում քանի՞ այդպիսի զույգ կլինի։ Իհարկե, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն.
Ելնելով այն փաստից, որ թվաբանական պրոգրեսիայի երկու անդամների գումարը հավասար է, և նմանատիպ հավասար զույգերը, մենք ստանում ենք, որ ընդհանուր գումարը հավասար է.
.
Այսպիսով, ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի բանաձևը կլինի.

Որոշ խնդիրների դեպքում մենք չգիտենք երրորդ տերմինը, բայց գիտենք առաջընթացի տարբերությունը: Փորձեք գումարի բանաձևում փոխարինել րդ անդամի բանաձևը:
Ի՞նչ ստացաք:

Լավ արեցիր։ Հիմա վերադառնանք Կարլ Գաուսին տրված խնդրին. ինքներդ հաշվարկեք, թե ինչ է -րդ-ից սկսվող թվերի գումարը, իսկ -րդ-ից սկսվող թվերի գումարը։

Որքա՞ն եք ստացել:
Գաուսը պարզեց, որ տերմինների գումարը հավասար է, և անդամների գումարը։ Այդպե՞ս եք որոշել։

Փաստորեն, թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը ապացուցվել է հին հույն գիտնական Դիոֆանտոսի կողմից դեռ 3-րդ դարում, և այս ամբողջ ընթացքում սրամիտ մարդիկ օգտագործել են թվաբանական առաջընթացի հատկությունները հզոր և հիմնական:
Օրինակ, պատկերացրեք Հին Եգիպտոսը և այն ժամանակվա ամենամեծ շինհրապարակը` բուրգի կառուցումը... Նկարը ցույց է տալիս դրա մի կողմը:

Որտեղ է այստեղ առաջընթացը, դուք ասում եք: Ուշադիր նայեք և բուրգի պատի յուրաքանչյուր շարքում ավազի բլոկների քանակով օրինակ գտեք:


Ինչու՞ ոչ թվաբանական առաջընթաց: Հաշվեք, թե քանի բլոկ է անհրաժեշտ մեկ պատի կառուցման համար, եթե հիմքում տեղադրված են բլոկային աղյուսներ: Հուսով եմ, որ մատը մոնիտորի վրայով շարժելով չեք հաշվի, հիշու՞մ եք վերջին բանաձևը և այն ամենը, ինչ մենք ասացինք թվաբանական առաջընթացի մասին:

Այս դեպքում առաջընթացը հետևյալն է.
Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
Թվաբանական առաջընթացի անդամների թիվը:
Եկեք փոխարինենք մեր տվյալները վերջին բանաձևերով (մենք հաշվում ենք բլոկների քանակը 2 եղանակով):

Մեթոդ 1.

Մեթոդ 2.

Եվ հիմա կարող եք նաև հաշվարկել մոնիտորի վրա՝ համեմատեք ստացված արժեքները մեր բուրգում գտնվող բլոկների քանակի հետ։ Համաձայնվե՞լ է։ Լավ արեցիք, դուք յուրացրել եք թվաբանական առաջընթացի րդ անդամների գումարը:
Իհարկե, դուք չեք կարող բուրգ կառուցել հիմքի բլոկներից, բայց դրանից: Փորձեք հաշվել, թե քանի ավազի աղյուս է անհրաժեշտ այս պայմանով պատ կառուցելու համար։
Դուք հասցրե՞լ եք:
Ճիշտ պատասխանը բլոկներն են.

Մշակել

Առաջադրանքներ.

1. Մաշան ամառային մարզավիճակ է ձեռք բերում։ Ամեն օր նա ավելացնում է squats-ի քանակը: Քանի՞ անգամ է Մաշան կնճռոտվելու շաբաթների ընթացքում, եթե նա առաջին մարզման ժամանակ նվնվացներ:
2. Որքա՞ն է պարունակվող բոլոր կենտ թվերի գումարը:
3. Գերանները պահելու ժամանակ փայտահատները դրանք դնում են այնպես, որ յուրաքանչյուր վերին շերտը պարունակում է մեկ գերան պակաս, քան նախորդը: Քանի գերան կա մեկ որմնադրությանը, եթե որմնադրության հիմքը գերաններ են։

Պատասխանները:

1. Սահմանենք թվաբանական առաջընթացի պարամետրերը։ Այս դեպքում
   (շաբաթներ = օրեր):

   Պատասխան.Երկու շաբաթվա ընթացքում Մաշան պետք է օրական մեկ անգամ կծկվի:

2. Առաջին կենտ թիվը, վերջին թիվը.
   Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
   Կենտ թվերի թիվը կիսով չափ, այնուամենայնիվ, ստուգեք այս փաստը՝ օգտագործելով թվաբանական առաջընթացի -րդ անդամը գտնելու բանաձևը.

   Թվերը պարունակում են կենտ թվեր:
   Մենք հասանելի տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով.

   Պատասխան.Ներառված բոլոր կենտ թվերի գումարը հավասար է.

3. Հիշեք բուրգերի խնդիրը: Մեր դեպքում, a, քանի որ յուրաքանչյուր վերին շերտը կրճատվում է մեկ գերանով, կան միայն մի փունջ շերտեր, այսինքն.
   Տվյալները փոխարինեք բանաձևով.

   Պատասխան.Որմնադրությանը մեջ կան գերաններ։

Ամփոփելով

1. - թվային հաջորդականություն, որում հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասարը: Աճում ու նվազում է։
2. Բանաձևի որոնումԹվաբանական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը գրվում է բանաձևով, որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:
3. Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը- - որտեղ - առաջընթացի թվերի թիվը:
4. Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարըկարելի է գտնել երկու եղանակով.
   
   , որտեղ է արժեքների թիվը։

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Թվային հաջորդականություն

Եկեք նստենք և սկսենք թվեր գրել։ Օրինակ:

Դուք կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք: Բայց դուք միշտ կարող եք ասել, թե դրանցից որն է առաջինը, որը երկրորդը և այլն, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է։

Թվային հաջորդականությունթվերի հավաքածու է, որոնցից յուրաքանչյուրին կարելի է եզակի համար հատկացնել։

Այլ կերպ ասած, յուրաքանչյուր թիվ կարող է կապված լինել որոշակի բնական թվի հետ, այն էլ միայն մեկի հետ։ Եվ մենք այս համարը չենք վերագրի այս հավաքածուից որևէ այլ համարի:

Թիվ ունեցող թիվը կոչվում է հաջորդականության --րդ անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունն անվանում ենք ինչ-որ տառ (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ՝ նույն տառը՝ այս անդամի թվին հավասար ինդեքսով.

Շատ հարմար է, եթե հաջորդականության --րդ անդամը կարելի է տալ ինչ-որ բանաձևով։ Օրինակ, բանաձեւը

սահմանում է հաջորդականությունը.

Իսկ բանաձևը հետևյալ հաջորդականությունն է.

Օրինակ՝ թվաբանական առաջընթացը հաջորդականություն է (այստեղ առաջին անդամը հավասար է, իսկ տարբերությունը)։ Կամ (, տարբերություն):

n-րդ տերմինի բանաձևը

Մենք կոչում ենք կրկնվող բանաձև, որի դեպքում --րդ տերմինը պարզելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նախորդ կամ մի քանի նախորդները.

Նման բանաձևով, օրինակ, առաջընթացի տերմինը գտնելու համար պետք է հաշվենք նախորդ ինը: Օրինակ, թող. Ապա.

Դե, հիմա պարզ է, թե որն է բանաձեւը:

Յուրաքանչյուր տողում մենք ավելացնում ենք՝ բազմապատկելով ինչ-որ թվով: Ինչի համար? Շատ պարզ. սա ներկա անդամի թիվն է՝ հանած.

Հիմա շատ ավելի հարմարավետ, չէ՞: Մենք ստուգում ենք.

Ինքներդ որոշեք.

Թվաբանական առաջընթացում գտե՛ք n-րդ անդամի բանաձևը և գտե՛ք հարյուրերորդ անդամը:

Լուծում:

Առաջին տերմինը հավասար է. Իսկ ո՞րն է տարբերությունը։ Եվ ահա թե ինչ.

(ի վերջո, դա կոչվում է տարբերություն, քանի որ այն հավասար է պրոգրեսիայի հաջորդական անդամների տարբերությանը):

Այսպիսով, բանաձևը հետևյալն է.

Այնուհետև հարյուրերորդ անդամը հետևյալն է.

Որքա՞ն է բոլոր բնական թվերի գումարը սկսած մինչև:

Ըստ լեգենդի՝ մեծ մաթեմատիկոս Կարլ Գաուսը, լինելով 9-ամյա տղա, մի քանի րոպեում հաշվարկել է այս գումարը։ Նա նկատեց, որ առաջին և վերջին թվերի գումարը հավասար է, երկրորդի և նախավերջինի գումարը նույնն է, երրորդի և վերջից 3-րդի գումարը նույնն է և այլն։ Քանի՞ այդպիսի զույգ կա: Ճիշտ է, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն. Այսպիսով,

Ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի ընդհանուր բանաձևը կլինի.

Օրինակ:
Գտե՛ք բոլոր երկնիշ բազմապատիկների գումարը:

Լուծում:

Առաջին նման թիվը սա է. Յուրաքանչյուր հաջորդը ստացվում է նախորդին մի թիվ ավելացնելով: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց առաջին անդամի և տարբերության հետ:

Այս առաջընթացի տերմինի բանաձևը հետևյալն է.

Քանի՞ անդամ կա առաջընթացում, եթե դրանք բոլորը պետք է լինեն երկնիշ:

Շատ հեշտ: .

Առաջընթացի վերջին ժամկետը հավասար կլինի։ Այնուհետև գումարը.

Պատասխան.

Հիմա որոշեք ինքներդ.

1. Ամեն օր մարզիկը վազում է 1 մ-ով ավելի, քան նախորդ օրը։ Քանի՞ կիլոմետր նա կվազի շաբաթների ընթացքում, եթե առաջին օրը վազի կմ մ:
2. Հեծանվորդն ամեն օր ավելի շատ մղոն է քշում, քան նախորդը: Առաջին օրը նա անցել է կմ. Քանի՞ օր պետք է նա քշի մեկ կիլոմետր անցնելու համար: Քանի՞ կիլոմետր կանցնի նա ճանապարհորդության վերջին օրը:
3. Խանութում սառնարանի գինը ամեն տարի նույն չափով նվազում է։ Որոշեք, թե ամեն տարի որքանով է նվազել սառնարանի գինը, եթե ռուբլով վաճառքի հանվել, վեց տարի հետո այն վաճառվել է ռուբլով։

Պատասխանները:

1. Այստեղ ամենակարևորը թվաբանական պրոգրեսիան ճանաչելն ու դրա պարամետրերը որոշելն է։ Այս դեպքում (շաբաթներ = օրեր): Դուք պետք է որոշեք այս առաջընթացի առաջին անդամների գումարը.
   .
   Պատասխան.
2. Այստեղ տրված է., անհրաժեշտ է գտնել.
   Ակնհայտ է, որ դուք պետք է օգտագործեք նույն գումարի բանաձևը, ինչպես նախորդ խնդիրում.
   .
   Փոխարինեք արժեքները.

   Արմատն ակնհայտորեն չի տեղավորվում, ուստի պատասխանը.
   Հաշվենք վերջին օրվա ընթացքում անցած ճանապարհը՝ օգտագործելով -րդ անդամի բանաձևը.
   (կմ):
   Պատասխան.

3. Տրված է. Գտեք.
   Ավելի հեշտ չի դառնում.
   (ռուբ.):
   Պատասխան.

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Սա թվային հաջորդականություն է, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասար:

Թվաբանական առաջընթացը աճում է () և նվազում ():

Օրինակ:

Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամը գտնելու բանաձևը

գրվում է որպես բանաձև, որտեղ գտնվում է առաջընթացի թվերի թիվը:

Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը

Այն հեշտացնում է առաջընթացի անդամ գտնելը, եթե հայտնի են նրա հարևան անդամները. որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:

Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը

Գումարը գտնելու երկու եղանակ կա.

Որտեղ է արժեքների թիվը:

Որտեղ է արժեքների թիվը:

ՄՆԱՑՎԱԾ 2/3 ՀՈԴՎԱԾՆԵՐԸ ՀԱՍԱՆԵԼԻ ԵՆ ՄԻԱՅՆ ՁԵԶ ՈՒՍԱՆՈՂՆԵՐԻՆ:

Դարձեք YouClever-ի ուսանող,

Պատրաստվեք OGE-ին կամ մաթեմատիկայի օգտագործմանը «ամսական մեկ բաժակ սուրճի» գնով:

Եվ նաև ստացեք անսահմանափակ մուտք դեպի «YouClever» դասագիրք, «100gia» ուսումնական ծրագիր (լուծումների գիրք), անսահմանափակ փորձնական USE և OGE, 6000 առաջադրանքներ լուծումների վերլուծությամբ և այլ YouClever և 100gia ծառայություններ:

Դասի տեսակը.նոր նյութ սովորելը.

Դասի նպատակները.

• թվաբանական առաջընթացի միջոցով լուծված առաջադրանքների վերաբերյալ ուսանողների պատկերացումների ընդլայնում և խորացում. ուսանողների որոնման գործունեության կազմակերպում` թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարի բանաձևը հանելիս.
• նոր գիտելիքներ ինքնուրույն ձեռք բերելու հմտությունների զարգացում, առաջադրանքին հասնելու համար արդեն իսկ ձեռք բերված գիտելիքներն օգտագործելու համար.
• ձեռք բերված փաստերն ընդհանրացնելու ցանկության և անհրաժեշտության զարգացում, անկախության զարգացում։

Առաջադրանքներ.

• ընդհանրացնել և համակարգել առկա գիտելիքները «Թվաբանական առաջընթաց» թեմայով.
• դուրս բերել բանաձևեր թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարը հաշվարկելու համար.
• սովորեցնել, թե ինչպես կիրառել ստացված բանաձևերը տարբեր խնդիրներ լուծելիս.
• Ուսանողների ուշադրությունը հրավիրել թվային արտահայտության արժեքը գտնելու կարգի վրա:

Սարքավորումներ:

• քարտեր խմբերով և զույգերով աշխատելու առաջադրանքներով.
• գնահատման թուղթ;
• ներկայացում«Թվաբանական առաջընթաց».

I. Հիմնական գիտելիքների ակտուալացում.

1. Անկախ աշխատանք զույգերով.

1-ին տարբերակ.

Սահմանեք թվաբանական առաջընթացը: Գրեք ռեկուրսիվ բանաձև, որը սահմանում է թվաբանական առաջընթացը: Բերե՛ք թվաբանական առաջընթացի օրինակ և նշե՛ք դրա տարբերությունը:

2-րդ տարբերակ.

Գրի՛ր թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը. Գտեք թվաբանական առաջընթացի 100-րդ անդամը ( a n}: 2, 5, 8 …
Այս պահին գրատախտակի հետևում գտնվող երկու ուսանող պատրաստում են նույն հարցերի պատասխանները:
Աշակերտները գնահատում են գործընկերոջ աշխատանքը՝ համեմատելով այն գրատախտակի հետ: (Հանձնվում են պատասխաններով թռուցիկներ):

2. Խաղի պահը.

Վարժություն 1.

Ուսուցիչ.Ես հասկացա որոշ թվաբանական առաջընթաց: Ինձ միայն երկու հարց տվեք, որպեսզի պատասխաններից հետո կարողանաք արագ անվանել այս առաջընթացի 7-րդ անդամին: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Հարցեր ուսանողներից.

1. Ո՞րն է առաջընթացի վեցերորդ անդամը և ո՞րն է տարբերությունը:
2. Ո՞րն է առաջընթացի ութերորդ անդամը և ո՞րն է տարբերությունը:

Եթե ​​այլևս հարցեր չկան, ապա ուսուցիչը կարող է խթանել դրանք՝ «արգելք» դ (տարբերություն), այսինքն՝ չի կարելի հարցնել, թե որն է տարբերությունը։ Կարող եք հարցեր տալ՝ ո՞րն է առաջընթացի 6-րդ և ո՞րն է առաջընթացի 8-րդ անդամը:

Առաջադրանք 2.

Գրատախտակին գրված է 20 թիվ. 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Ուսուցիչը կանգնած է մեջքով դեպի գրատախտակը: Աշակերտներն ասում են համարի համարը, իսկ ուսուցիչը անմիջապես զանգում է այդ համարին։ Բացատրեք, թե ինչպես կարող եմ դա անել:

Ուսուցիչը հիշում է n-րդ կիսամյակի բանաձեւը a n \u003d 3n - 2և, փոխարինելով n-ի տրված արժեքները, գտնում է համապատասխան արժեքները ա ն .

II. Ուսումնական առաջադրանքի հայտարարություն.

Առաջարկում եմ լուծել մի հին խնդիր, որը թվագրվում է մ.թ.ա 2-րդ հազարամյակից, որը գտնվել է եգիպտական ​​պապիրուսներում։

Առաջադրանք.«Թող ձեզ ասվի՝ 10 չափ գարի բաժանեք 10 հոգու, յուրաքանչյուր մարդու և իր հարևանի տարբերությունը չափի 1/8-ն է»։

• Ինչպե՞ս է այս խնդիրը վերաբերում թվաբանական առաջընթացի թեմային: (Յուրաքանչյուր հաջորդ մարդ ստանում է չափի 1/8-ով ավելի, ուստի տարբերությունը d=1/8 է, 10 հոգի, ուրեմն n=10):
• Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ է նշանակում 10 թիվը: (Առաջընթացի բոլոր անդամների գումարը):
• Էլ ի՞նչ պետք է իմանաք, որպեսզի հեշտ և պարզ լինի գարին բաժանել ըստ խնդրի վիճակի: (Առաջընթացի առաջին տերմինը):

Դասի նպատակը- առաջընթացի պայմանների գումարի կախվածությունը ստանալ նրանց թվից, առաջին անդամից և տարբերությունից և ստուգել, ​​թե արդյոք խնդիրը ճիշտ է լուծվել հին ժամանակներում:

Նախքան բանաձևը դուրս բերելը, տեսնենք, թե ինչպես են հին եգիպտացիները լուծել խնդիրը:

Եվ նրանք լուծեցին այսպես.

1) 10 միջոց՝ 10 = 1 չափում՝ միջին մասնաբաժին;
2) 1 չափ ∙ = 2 չափ՝ կրկնապատկված միջինկիսվել.
կրկնապատկվել է միջինբաժնեմասը 5-րդ և 6-րդ անձի բաժնետոմսերի հանրագումարն է:
3) 2 միջոց՝ 1/8 չափ = 1 7/8 չափ՝ հինգերորդ անձի կրկնակի չափաբաժին։
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - հինգերորդի բաժինը; և այլն, դուք կարող եք գտնել յուրաքանչյուր նախորդ և հաջորդ անձի բաժինը:

Մենք ստանում ենք հաջորդականությունը.

III. Առաջադրանքի լուծումը.

1. Աշխատեք խմբերով

1-ին խումբ.Գտե՛ք 20 հաջորդական բնական թվերի գումարը. S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210:

Ընդհանրապես

II խումբ.Գտե՛ք 1-ից մինչև 100 բնական թվերի գումարը (Լեգենդ փոքրիկ Գաուսի մասին):

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Եզրակացություն:

III խումբ:Գտե՛ք 1-ից 21-ի բնական թվերի գումարը:

Լուծում. 1+21=2+20=3+19=4+18…

Եզրակացություն:

IV խումբ.Գտե՛ք 1-ից մինչև 101 բնական թվերի գումարը:

Եզրակացություն:

Դիտարկված խնդիրների լուծման այս մեթոդը կոչվում է «Գաուսի մեթոդ»:

2. Յուրաքանչյուր խումբ գրատախտակին ներկայացնում է խնդրի լուծումը:

3. Առաջարկվող լուծումների ընդհանրացում կամայական թվաբանական առաջընթացի համար.

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n:

Մենք գտնում ենք այս գումարը՝ նույն կերպ վիճելով.

4. Լուծե՞լ ենք առաջադրանքը:(Այո):

IV. Ստացված բանաձևերի առաջնային ըմբռնում և կիրառում խնդիրների լուծման ժամանակ.

1. Հին խնդրի լուծման ստուգում բանաձևով.

2. Բանաձեւի կիրառում տարբեր խնդիրների լուծման ժամանակ.

3. Խնդիրներ լուծելու բանաձևը կիրառելու կարողության ձևավորման վարժություններ.

Ա) Թիվ 613

Տրված է :( և ժ) ​​-թվաբանական առաջընթաց;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Գտնել. S 1500

Լուծում: , և 1 = 1, և 1500 = 1500,

Բ) Հաշվի առնելով. և ժ) ​​-թվաբանական առաջընթաց;
(և n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Գտնել. n
Լուծում:

V. Անկախ աշխատանք՝ փոխադարձ ստուգմամբ.

Դենիսը գնաց աշխատելու որպես առաքիչ։ Առաջին ամսում նրա աշխատավարձը կազմում էր 200 ռուբլի, յուրաքանչյուր հաջորդ ամիս այն ավելանում էր 30 ռուբլով։ Որքա՞ն է նա վաստակել մեկ տարվա ընթացքում:

Տրված է :( և ժ) ​​-թվաբանական առաջընթաց;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Գտնել. Ս 12
Լուծում:

Պատասխան. Դենիսը տարեկան ստացել է 4380 ռուբլի:

VI. Տնային աշխատանքների ցուցում.

1. էջ 4.3 - սովորել բանաձևի ածանցումը:
2. №№ 585, 623 .
3. Կազմի՛ր խնդիր, որը կլուծվի՝ օգտագործելով թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարի բանաձևը:

VII. Ամփոփելով դասը.

1. Միավորների թերթիկ

2. Շարունակի՛ր նախադասությունները

• Այսօր դասարանում սովորեցի...
• Սովորած բանաձևեր...
• Ես կարծում եմ, որ …

3. Կարո՞ղ եք գտնել 1-ից մինչև 500 թվերի գումարը: Ի՞նչ մեթոդ կկիրառեք այս խնդիրը լուծելու համար:

Մատենագիտություն.

1. Հանրահաշիվ, 9-րդ դաս. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար. Էդ. Գ.Վ. Դորոֆեևա.Մոսկվա: Լուսավորություն, 2009 թ.