Հեռավորությունը հարթության կետից մինչև գիծ: Ինչպե՞ս գտնել կետից ուղիղ հեռավորությունը: Գտե՛ք M կետից ուղիղ հեռավորությունը. բանաձև Հեռավորությունը հարթության վրա գտնվող կետից մինչև վեկտոր

Այս հոդվածը խոսում է թեմայի մասին « հեռավորությունը կետից տող », Կետից մինչև ուղիղ հեռավորության սահմանումները դիտարկվում են պատկերազարդ օրինակներով՝ կոորդինատների մեթոդով: Տեսության յուրաքանչյուր բլոկ վերջում ցույց է տվել նմանատիպ խնդիրների լուծման օրինակներ:

Կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը հայտնաբերվում է կետից մինչև կետ հեռավորությունը որոշելով: Դիտարկենք ավելի մանրամասն:

Թող լինեն տրված ուղղին չպատկանող a ուղիղ և M 1 կետ: Նրա միջով a ուղիղին ուղղահայաց գծիր: Վերցրեք ուղիղների հատման կետը որպես H 1: Ստանում ենք, որ M 1 H 1-ը ուղղահայաց է, որը M 1 կետից իջեցվել է a ուղիղ:

Սահմանում 1

Հեռավորությունը M 1 կետից ուղիղ aկոչվում է M 1 և H 1 կետերի միջև եղած հեռավորությունը:

Կան սահմանման գրառումներ ուղղահայաց երկարության գործչի հետ:

Սահմանում 2

Հեռավորությունը կետից տողտրված կետից տրված ուղիղ գծված ուղղահայաց երկարությունն է:

Սահմանումները համարժեք են. Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Հայտնի է, որ կետից ուղիղ գիծ հեռավորությունը բոլոր հնարավորներից ամենափոքրն է։ Սրան նայենք օրինակով։

Եթե ​​վերցնենք a ուղիղի վրա ընկած Q կետը, որը չի համընկնում M 1 կետի հետ, ապա կստացվի, որ M 1 Q հատվածը կոչվում է թեք՝ M 1-ից իջեցված a ուղիղ։ Անհրաժեշտ է նշել, որ M 1 կետից ուղղահայացը փոքր է կետից դեպի ուղիղ գծված ցանկացած այլ թեք:

Դա ապացուցելու համար դիտարկենք M 1 Q 1 H 1 եռանկյունը, որտեղ M 1 Q 1 հիպոթենուսն է: Հայտնի է, որ նրա երկարությունը միշտ ավելի մեծ է, քան ցանկացած ոտքի երկարությունը։ Այսպիսով, մենք ունենք M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Կետից ուղիղ գիծ գտնելու նախնական տվյալները թույլ են տալիս օգտագործել լուծման մի քանի մեթոդներ՝ Պյութագորասի թեորեմի միջոցով, սինուսի, կոսինուսի, անկյան շոշափողի սահմանումներ և այլն։ Այս տեսակի առաջադրանքների մեծ մասը լուծվում է դպրոցում՝ երկրաչափության դասերին։

Երբ կետից ուղիղ հեռավորությունը գտնելիս կարող եք մուտքագրել ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, ապա օգտագործվում է կոորդինատային մեթոդը։ Այս պարբերությունում մենք դիտարկում ենք տվյալ կետից ցանկալի հեռավորությունը գտնելու հիմնական երկու մեթոդները:

Առաջին մեթոդը ներառում է M 1-ից a ուղիղը գծված ուղղահայաց հեռավորությունը գտնելը: Երկրորդ մեթոդը օգտագործում է a ուղիղ գծի նորմալ հավասարումը` պահանջվող հեռավորությունը գտնելու համար:

Եթե ​​հարթության վրա կա M 1 (x 1, y 1) կոորդինատներով կետ, որը գտնվում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, ուղիղ a, և անհրաժեշտ է գտնել M 1 H 1 հեռավորությունը, կարող եք հաշվարկել երկու եղանակով. Դիտարկենք դրանք։

Առաջին ճանապարհը

Եթե ​​կան H 1 կետի կոորդինատներ, որոնք հավասար են x 2-ին, y 2-ին, ապա կետից մինչև գիծ հեռավորությունը հաշվարկվում է M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y) բանաձևի կոորդինատներից: 2 - y 1) 2.

Այժմ անցնենք H 1 կետի կոորդինատները գտնելուն։

Հայտնի է, որ O x y-ում ուղիղը համապատասխանում է հարթության ուղիղ գծի հավասարմանը: Եկեք որոշենք a ուղիղ գիծը` գրելով ուղիղ գծի ընդհանուր կամ թեքությամբ հավասարում: Կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը, որն անցնում է տրված a ուղղին ուղղահայաց M 1 կետով: Տողը նշանակենք հաճարենի b-ով: H 1-ը a և b ուղիղների հատման կետն է, ուստի կոորդինատները որոշելու համար պետք է օգտագործել հոդվածը, որը վերաբերում է երկու ուղիղների հատման կետերի կոորդինատներին։

Երևում է, որ M 1 (x 1, y 1) կետից մինչև a ուղիղ գիծ հեռավորությունը գտնելու ալգորիթմն իրականացվում է ըստ կետերի.

Սահմանում 3

• գտնելով a-ի ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, որն ունի A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ձև, կամ թեքության գործակիցով հավասարում, որն ունի y \u003d k 1 x + b 1 ձև;
• ստանալով b ուղղի ընդհանուր հավասարումը, որն ունի A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ձև կամ y \u003d k 2 x + b 2 թեքությամբ հավասարում, եթե b ուղիղը հատում է M 1 կետը և ուղղահայաց է տրված a ուղիղին;
• H 1 կետի x 2, y 2 կոորդինատների որոշումը, որը a-ի և b-ի հատման կետն է, դրա համար գծային հավասարումների համակարգը լուծվում է A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x. + B 2 y + C 2 = 0 կամ y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• կետից մինչև ուղիղ գիծ պահանջվող հեռավորության հաշվարկ՝ օգտագործելով M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 բանաձևը.

Երկրորդ ճանապարհ

Թեորեմը կարող է օգնել պատասխանել հարթության վրա տրված կետից մինչև տրված ուղիղ հեռավորությունը գտնելու հարցին:

Թեորեմ

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը ունի O x y-ն ունի M 1 կետ (x 1, y 1), որից ուղիղ գիծ է գծվում a դեպի հարթությունը, որը տրված է հարթության նորմալ հավասարմամբ, որն ունի cos α x + cos β ձև: y - p \u003d 0, հավասար է նորմալ ուղիղ հավասարման ձախ կողմում ստացված արժեքի մոդուլին, որը հաշվարկվում է x = x 1, y = y 1, նշանակում է, որ M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Ապացույց

a ուղիղը համապատասխանում է հարթության նորմալ հավասարմանը, որն ունի cos α x + cos β y - p = 0 ձև, այնուհետև n → = (cos α, cos β) համարվում է a ուղիղի նորմալ վեկտոր: հեռավորությունը սկզբնակետից մինչև a տողը՝ p միավորներով։ Անհրաժեշտ է պատկերել նկարի բոլոր տվյալները, ավելացնել M 1 կոորդինատներով կետ (x 1, y 1) , որտեղ M 1 - O M 1 կետի շառավիղ վեկտորը → = (x 1 , y 1) . Անհրաժեշտ է մի կետից ուղիղ գծել ուղիղ, որը կնշենք M 1 H 1-ով։ Անհրաժեշտ է ցույց տալ M 1 և H 2 կետերի M 2 և H 2 պրոյեկցիաները O կետով անցնող ուղիղ գծի վրա n → = (cos α , cos β) ձևի ուղղորդող վեկտորով և թվային պրոյեկցիան: վեկտորը կնշանակվի որպես O M 1 → = (x 1 , y 1) դեպի n → = (cos α , cos β) ուղղությունը որպես n p n → O M 1 → :

Տատանումները կախված են հենց M 1 կետի գտնվելու վայրից: Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Մենք ամրագրում ենք արդյունքները, օգտագործելով M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p բանաձեւը: Այնուհետև հավասարությունը բերում ենք այս ձևին M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, որպեսզի ստացվի n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1:

Վեկտորների սկալյար արտադրյալի արդյունքում ստացվում է n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ձևի փոխակերպված բանաձև, որը կոորդինատային ձևի արտադրյալ է։ ձև n →, O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1: Այսպիսով, մենք ստանում ենք, որ n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1: Հետևում է, որ M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Թեորեմն ապացուցված է.

Մենք ստանում ենք, որ հարթության վրա M 1 (x 1, y 1) կետից մինչև a ուղիղ գիծ հեռավորությունը գտնելու համար պետք է կատարել մի քանի գործողություններ.

Սահմանում 4

• ստանալով a cos α · x + cos β · y - p = 0 ուղղի նորմալ հավասարումը, պայմանով, որ այն առաջադրանքի մեջ չէ.
• cos α · x 1 + cos β · y 1 - p արտահայտության հաշվարկը, որտեղ ստացված արժեքը վերցնում է M 1 H 1:

Եկեք կիրառենք այս մեթոդները՝ կետից հարթություն հեռավորությունը գտնելու հետ կապված խնդիրները լուծելու համար:

Օրինակ 1

Գտե՛ք հեռավորությունը M 1 (- 1 , 2) կոորդինատներով կետից մինչև 4 x - 3 y + 35 = 0 ուղիղը:

Լուծում

Եկեք կիրառենք լուծման առաջին մեթոդը.

Դա անելու համար անհրաժեշտ է գտնել b ուղղի ընդհանուր հավասարումը, որն անցնում է M 1 (- 1 , 2) 4 x - 3 y + 35 = 0 ուղղին ուղղահայաց կետով: Դա երևում է այն պայմանից, որ b ուղիղը ուղղահայաց է a ուղիղին, ապա նրա ուղղության վեկտորն ունի (4, - 3) հավասար կոորդինատներ։ Այսպիսով, մենք հնարավորություն ունենք հարթության վրա գրել b ուղիղի կանոնական հավասարումը, քանի որ կան M 1 կետի կոորդինատներ, պատկանում է b տողին։ Որոշենք b ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները: Մենք ստանում ենք, որ x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3: Ստացված կանոնական հավասարումը պետք է վերածվի ընդհանուրի: Հետո մենք ստանում ենք դա

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Գտնենք ուղիղների հատման կետերի կոորդինատները, որոնք կընդունենք որպես H 1 նշանակում։ Փոխակերպումները հետևյալ տեսքն ունեն.

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Վերոհիշյալից մենք ունենք, որ H 1 կետի կոորդինատներն են (- 5; 5):

Անհրաժեշտ է հաշվարկել M 1 կետից մինչև ուղիղ գիծ a. Մենք ունենք M 1 (- 1, 2) և H 1 (- 5, 5) կետերի կոորդինատները, այնուհետև փոխարինում ենք հեռավորությունը գտնելու բանաձևով և ստանում ենք.

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Երկրորդ լուծումը.

Այլ կերպ լուծելու համար անհրաժեշտ է ստանալ ուղիղ գծի նորմալ հավասարումը։ Մենք հաշվարկում ենք նորմալացնող գործոնի արժեքը և հավասարման երկու կողմերը բազմապատկում ենք 4 x - 3 y + 35 = 0: Այստեղից մենք ստանում ենք, որ նորմալացնող գործակիցը - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , իսկ նորմալ հավասարումը կլինի - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0:

Ըստ հաշվարկման ալգորիթմի, անհրաժեշտ է ստանալ ուղիղ գծի նորմալ հավասարումը և այն հաշվարկել x = - 1, y = 2 արժեքներով: Հետո մենք ստանում ենք դա

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Այստեղից ստանում ենք, որ M 1 (- 1 , 2) կետից մինչև տրված ուղիղ 4 x - 3 y + 35 = 0 հեռավորությունը ունի - 5 = 5 արժեքը։

Պատասխան. 5 .

Կարելի է տեսնել, որ այս մեթոդում կարևոր է օգտագործել ուղիղ գծի նորմալ հավասարումը, քանի որ այս մեթոդը ամենակարճն է: Բայց առաջին մեթոդը հարմար է նրանով, որ այն հետևողական է և տրամաբանական, թեև ունի ավելի շատ հաշվարկային միավորներ։

Օրինակ 2

Հարթության վրա կա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y կետով M 1 (8, 0) և ուղիղ y = 1 2 x + 1: Գտի՛ր տրված կետից ուղիղ գիծ հեռավորությունը:

Լուծում

Լուծումը առաջին ձևով ենթադրում է թեքության գործակցով տրված հավասարման կրճատում ընդհանուր հավասարման։ Պարզեցնելու համար դուք կարող եք դա անել այլ կերպ:

Եթե ​​ուղղահայաց գծերի թեքությունների արտադրյալը - 1 է, ապա տրված y = 1 2 x + 1-ին ուղղահայաց գծի թեքությունը 2 է։ Այժմ մենք ստանում ենք M 1 (8, 0) կոորդինատներով կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը: Մենք ունենք, որ y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16:

Մենք անցնում ենք H 1 կետի կոորդինատները գտնելու, այսինքն ՝ y \u003d - 2 x + 16 և y \u003d 1 2 x + 1 հատման կետերը: Մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ և ստանում.

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Հետևում է, որ M 1 (8, 0) կոորդինատներով կետից մինչև y = 1 2 x + 1 ուղիղը հավասար է M 1 (8, 0) և H կոորդինատներով ելակետից և վերջնակետից հեռավորությանը: 1 (6, 4) . Հաշվենք և ստանանք, որ M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5:

Երկրորդ ճանապարհով լուծումն այն է, որ գործակիցով հավասարումից անցնենք իր նորմալ ձևին։ Այսինքն, մենք ստանում ենք y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, ապա նորմալացնող գործոնի արժեքը կլինի - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Հետևում է, որ ուղիղ գծի նորմալ հավասարումը ստանում է ձև - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0: Հաշվենք M 1 8 , 0 կետից մինչև ձևի ուղիղ գիծ՝ 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 ։ Մենք ստանում ենք.

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Պատասխան. 2 5 .

Օրինակ 3

Անհրաժեշտ է հաշվարկել M 1 (- 2 , 4) կոորդինատներով կետից մինչև 2 x - 3 = 0 և y + 1 = 0 ուղիղները:

Լուծում

Մենք ստանում ենք ուղիղ գծի նորմալ ձևի հավասարումը 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Այնուհետև մենք անցնում ենք M 1 - 2, 4 կետից մինչև x - 3 2 = 0 ուղիղ գծի հեռավորությունը: Մենք ստանում ենք.

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Ուղիղ գիծ y + 1 = 0 հավասարումը ունի նորմալացնող գործակից՝ -1 արժեքով: Սա նշանակում է, որ հավասարումը կունենա - y - 1 = 0 ձև: Շարունակում ենք հաշվարկել M 1 (- 2, 4) կետից մինչև ուղիղ - y - 1 = 0 հեռավորությունը: Մենք ստանում ենք, որ այն հավասար է - 4 - 1 = 5:

Պատասխան. 3 1 2 և 5 .

Եկեք մանրամասն քննարկենք հարթության տվյալ կետից O x և O y կոորդինատային առանցքների հեռավորության որոշումը։

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում O y առանցքը ունի ուղիղ գծի հավասարում, որը թերի է և ունի x \u003d 0 և O x - y \u003d 0 ձևը: Հավասարումները նորմալ են կոորդինատային առանցքների համար, ապա անհրաժեշտ է գտնել M 1 x 1 , y 1 կոորդինատներով կետից մինչև ուղիղ գծերի հեռավորությունը։ Դա արվում է M 1 H 1 = x 1 և M 1 H 1 = y 1 բանաձևերի հիման վրա: Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Օրինակ 4

Գտե՛ք M 1 (6, - 7) կետից մինչև O x y հարթությունում գտնվող կոորդինատային գծերի հեռավորությունը։

Լուծում

Քանի որ y \u003d 0 հավասարումը վերաբերում է O x տողին, դուք կարող եք գտնել M 1-ից հեռավորությունը այս տողի տրված կոորդինատներով՝ օգտագործելով բանաձևը: Մենք ստանում ենք, որ 6 = 6:

Քանի որ x \u003d 0 հավասարումը վերաբերում է O y տողին, դուք կարող եք գտնել M 1-ից այս տողի հեռավորությունը՝ օգտագործելով բանաձևը: Այնուհետև մենք ստանում ենք, որ - 7 = 7:

Պատասխան. M 1-ից O x հեռավորությունը ունի 6 արժեք, իսկ M 1-ից O y-ն ունի 7 արժեք:

Երբ եռաչափ տարածության մեջ ունենք M 1 կոորդինատներով կետ (x 1, y 1, z 1), անհրաժեշտ է գտնել A կետից մինչև a ուղիղ հեռավորությունը։

Դիտարկենք երկու եղանակ, որոնք թույլ են տալիս հաշվարկել տարածության մեջ գտնվող կետից a ուղիղ գիծ հեռավորությունը: Առաջին դեպքում դիտարկվում է M 1 կետից ուղիղ հեռավորությունը, որտեղ գծի կետը կոչվում է H 1 և հանդիսանում է M 1 կետից a ուղիղը գծված ուղղահայաց հիմքը։ Երկրորդ դեպքը ենթադրում է, որ այս հարթության կետերը պետք է փնտրել որպես զուգահեռագծի բարձրություն։

Առաջին ճանապարհը

Սահմանումից ունենք, որ a ուղիղ գծի վրա գտնվող M 1 կետից հեռավորությունը M 1 H 1 ուղղահայաց երկարությունն է, այնուհետև մենք ստանում ենք, որ H 1 կետի գտնված կոորդինատներով, ապա գտնում ենք հեռավորությունը. M 1 (x 1, y 1, z 1) և H 1 (x 1, y 1, z 1) միջև՝ հիմնված M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z բանաձևի վրա 2 - z 1 2 .

Մենք ստանում ենք, որ ամբողջ լուծումը գնում է M 1-ից a ուղիղին գծված ուղղահայաց հիմքի կոորդինատները գտնելու համար: Դա արվում է հետևյալ կերպ. H 1 այն կետն է, որտեղ a ուղիղը հատվում է տվյալ կետով անցնող հարթության հետ։

Սա նշանակում է, որ M 1 կետից (x 1, y 1, z 1) կետից մինչև a ուղիղ գիծը որոշելու ալգորիթմը ենթադրում է մի քանի կետեր.

Սահմանում 5

• կազմելով χ հարթության հավասարումը որպես ուղիղին ուղղահայաց տրված կետով անցնող հարթության հավասարում.
• H 1 կետին պատկանող կոորդինատների որոշում (x 2, y 2, z 2), որը a ուղիղի և χ հարթության հատման կետն է.
• կետից մինչև գիծ հեռավորության հաշվարկ՝ օգտագործելով M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 բանաձևը:

Երկրորդ ճանապարհ

Պայմանից ունենք a ուղիղ, ապա կարող ենք որոշել a → = a x, a y, a z ուղղության վեկտորը՝ x 3, y 3, z 3 կոորդինատներով և a ուղղին պատկանող որոշակի կետով M 3։ Հաշվի առնելով M 1 (x 1 , y 1) և M 3 x 3, y 3, z 3, M 3 M 1 → կետերի կոորդինատները կարելի է հաշվել.

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Անհրաժեշտ է հետաձգել a → \u003d a x, a y, a z և M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 վեկտորները M 3 կետից, միացնել և ստանալ. զուգահեռագիծ պատկեր: M 1 H 1 զուգահեռագծի բարձրությունն է:

Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Մենք ունենք, որ M 1 H 1 բարձրությունը ցանկալի հեռավորությունն է, ապա դուք պետք է գտնեք այն բանաձևով: Այսինքն, մենք փնտրում ենք M 1 H 1:

Նշեք զուգահեռագծի տարածքը S տառով, որը գտնում ենք բանաձևով՝ օգտագործելով a → = (a x, a y, a z) և M 3 M 1 → = x 1 - x 3 վեկտորը: y 1 - y 3, z 1 - z 3: Տարածքի բանաձևն ունի S = a → × M 3 M 1 → ձևը: Նաև նկարի մակերեսը հավասար է նրա կողմերի երկարությունների և բարձրության արտադրյալին, մենք ստանում ենք, որ S \u003d a → M 1 H 1 → \u003d a x 2 + a y 2 +-ով: a z 2, որը a → \u003d (a x, a y, a z) վեկտորի երկարությունն է, որը հավասար է զուգահեռագծի կողմին: Այսպիսով, M 1 H 1 հեռավորությունն է կետից մինչև ուղիղ: Այն հայտնաբերվել է M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → բանաձեւով:

M 1 (x 1, y 1, z 1) կոորդինատներով կետից մինչև a ուղիղ գիծ հեռավորությունը գտնելու համար հարկավոր է կատարել ալգորիթմի մի քանի կետեր.

Սահմանում 6

• ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի որոշումը a - a → = (a x , a y , a z) ;
• ուղղության վեկտորի երկարության հաշվարկը a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• ստանալով a ուղիղի վրա գտնվող M 3 կետին պատկանող x 3, y 3, z 3 կոորդինատները.
• M 3 M 1 → վեկտորի կոորդինատների հաշվարկը;
• գտնելով a → (a x, a y, a z) և M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 վեկտորների խաչաձև արտադրյալը որպես → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 երկարությունը ստանալու համար a → × M 3 M 1 → բանաձեւով;
• կետից մինչև ուղիղ M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → հեռավորության հաշվարկ:

Տիեզերքում տվյալ կետից մինչև տրված ուղիղ գիծ հեռավորությունը գտնելու խնդիրների լուծում

Գտե՛ք M 1 2 , - 4 , - 1 կոորդինատներով կետից հեռավորությունը x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ուղիղը:

Լուծում

Առաջին մեթոդը սկսվում է M 1-ով անցնող χ հարթության հավասարումը գրելով տվյալ կետին ուղղահայաց։ Մենք ստանում ենք նման արտահայտություն.

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Անհրաժեշտ է գտնել H 1 կետի կոորդինատները, որը χ հարթության հետ պայմանով տրված ուղիղ գծի հատման կետն է։ Պետք է կանոնական ձևից անցնել հատվողին։ Այնուհետև մենք ստանում ենք ձևի հավասարումների համակարգ.

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Անհրաժեշտ է հաշվարկել համակարգը x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Քրամերի մեթոդով, ապա մենք ստանում ենք, որ.

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Այսպիսով, մենք ունենք, որ H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Երկրորդ մեթոդը պետք է սկսել կանոնական հավասարման մեջ կոորդինատների որոնմամբ: Դա անելու համար ուշադրություն դարձրեք կոտորակի հայտարարներին: Ապա a → = 2 , - 1 , 5 x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ուղղի ուղղության վեկտորն է: Անհրաժեշտ է հաշվարկել երկարությունը՝ օգտագործելով a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 բանաձեւը։

Հասկանալի է, որ x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ուղիղը հատում է M 3 կետը (- 1 , 0 , - 5), հետևաբար ունենք, որ M 3 (- 1, 0) սկզբնավորմամբ վեկտորը. , - 5) և դրա վերջը M 1 2, - 4, - 1 կետում M 3 M 1 → = 3, - 4, 4 է: Գտեք վեկտորի արտադրյալը a → = (2, - 1, 5) և M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Ստանում ենք a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j ձևի արտահայտություն. → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

մենք ստանում ենք, որ խաչաձեւ արտադրյալի երկարությունը → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 է:

Մենք ունենք բոլոր տվյալները ուղիղ գծի համար կետից հեռավորությունը հաշվարկելու բանաձևը օգտագործելու համար, ուստի մենք կիրառում ենք այն և ստանում.

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Պատասխան. 11 .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Հարթության կետից մինչև գիծ հեռավորությունը հաշվարկելու բանաձև

Եթե ​​տրված է Ax + By + C = 0 ուղիղի հավասարումը, ապա M(M x , M y) կետից մինչև ուղիղը կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևով հեռավորությունը.

Հարթության կետից մինչև գիծ հեռավորությունը հաշվելու առաջադրանքների օրինակներ

Օրինակ 1

Գտե՛ք հեռավորությունը 3x + 4y - 6 = 0 տողի և M(-1, 3) կետի միջև։

Լուծում.Բանաձևում փոխարինի՛ր ուղիղի գործակիցները և կետի կոորդինատները

Պատասխան.հեռավորությունը կետից մինչև ուղիղ 0,6 է:

վեկտորին ուղղահայաց կետերով անցնող հարթության հավասարումը Հարթության ընդհանուր հավասարումը

Տրված հարթությանը ուղղահայաց ոչ զրոյական վեկտորը կոչվում է նորմալ վեկտոր (կամ, մի խոսքով, նորմալ ) այս ինքնաթիռի համար:

Կոորդինատային տարածությունում (ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում) տրված է.

ա) կետ ;

բ) ոչ զրոյական վեկտոր (նկ. 4.8, ա):

Կետով անցնող հարթության համար պահանջվում է հավասարում գրել ուղղահայաց վեկտորին Ապացույցի ավարտ.

Այժմ դիտարկենք հարթության ուղիղ գծի տարբեր տեսակի հավասարումներ:

1) Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումըՊ .

Հավասարման ածանցումից հետևում է, որ միաժամանակ Ա, Բև Գհավասար չէ 0-ի (բացատրեք ինչու):

Կետը պատկանում է ինքնաթիռին Պմիայն այն դեպքում, եթե դրա կոորդինատները բավարարում են հարթության հավասարումը: Կախված գործակիցներից Ա, Բ, Գև ԴԻնքնաթիռ Պզբաղեցնում է այս կամ այն ​​դիրքը.

- ինքնաթիռն անցնում է կոորդինատային համակարգի սկզբնակետով, - ինքնաթիռը չի անցնում կոորդինատային համակարգի սկզբնակետով,

- հարթությունը զուգահեռ է առանցքին X,

X,

- հարթությունը զուգահեռ է առանցքին Յ,

- հարթությունը զուգահեռ չէ առանցքին Յ,

- հարթությունը զուգահեռ է առանցքին Զ,

- հարթությունը զուգահեռ չէ առանցքին Զ.

Ինքներդ ապացուցեք այս պնդումները։

Հավասարումը (6) հեշտությամբ ստացվում է (5) հավասարումից: Իսկապես, թող կետը ընկնի հարթության վրա Պ. Այնուհետև նրա կոորդինատները բավարարում են հավասարումը Հանելով (7) հավասարումը (5) և խմբավորելով անդամները՝ ստանում ենք (6) հավասարումը։ Այժմ դիտարկենք երկու վեկտոր՝ համապատասխանաբար կոորդինատներով: Բանաձևից (6) հետևում է, որ դրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի։ Հետևաբար, վեկտորը ուղղահայաց է վեկտորին Վերջին վեկտորի սկիզբը և վերջը համապատասխանաբար գտնվում են հարթությանը պատկանող կետերում Պ. Հետեւաբար, վեկտորը ուղղահայաց է հարթությանը Պ. Հեռավորությունը կետից ինքնաթիռ Պ, որի ընդհանուր հավասարումն է որոշվում է բանաձևով Այս բանաձևի ապացույցը լիովին նման է կետի և ուղիղի միջև հեռավորության բանաձևի ապացույցին (տե՛ս նկ. 2):
Բրինձ. 2. Հարթության և ուղիղ գծի միջև հեռավորության բանաձևի ստացմանը:

Իրոք, հեռավորությունը դգծի և հարթության միջև է

որտեղ է կետը ընկած ինքնաթիռում. Այստեղից, ինչպես թիվ 11 դասախոսության դեպքում, ստացվում է վերը նշված բանաձեւը. Երկու հարթություններ զուգահեռ են, եթե դրանց նորմալ վեկտորները զուգահեռ են: Այստեղից մենք ստանում ենք երկու հարթությունների զուգահեռության պայմանը - հարթությունների ընդհանուր հավասարումների գործակիցները. Երկու հարթություններ ուղղահայաց են, եթե դրանց նորմալ վեկտորները ուղղահայաց են, հետևաբար մենք ստանում ենք երկու հարթությունների ուղղահայացության պայմանը, եթե նրանց ընդհանուր հավասարումները հայտնի են:

Անկյուն զերկու հարթությունների միջև հավասար է նրանց նորմալ վեկտորների միջև եղած անկյունին (տես նկ. 3) և, հետևաբար, կարելի է հաշվարկել բանաձևով
Ինքնաթիռների միջև անկյունի որոշում.

(11)

Հեռավորությունը կետից մինչև ինքնաթիռ և ինչպես գտնել այն

Հեռավորությունը կետից մինչև Ինքնաթիռմի կետից այս հարթության վրա ընկած ուղղահայաց երկարությունն է: Կետից մինչև հարթություն հեռավորությունը գտնելու առնվազն երկու եղանակ կա. երկրաչափականև հանրահաշվական.

Երկրաչափական մեթոդովնախ պետք է հասկանալ, թե ինչպես է ուղղահայացը գտնվում մի կետից դեպի հարթություն. միգուցե այն գտնվում է ինչ-որ հարմար հարթության մեջ, այն ինչ-որ հարմար (կամ ոչ այնքան) եռանկյունու բարձրություն է, կամ գուցե այս ուղղահայացը ընդհանրապես ինչ-որ բուրգի բարձրություն է: .

Այս առաջին և ամենադժվար փուլից հետո խնդիրը բաժանվում է մի քանի հատուկ պլանաչափական խնդիրների (գուցե տարբեր հարթություններում):

Հանրահաշվական եղանակովԿետից հարթություն հեռավորությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է մուտքագրել կոորդինատային համակարգ, գտնել կետի կոորդինատները և հարթության հավասարումը, այնուհետև կիրառել կետից հարթություն հեռավորության բանաձևը:

Դիտարկենք օրինակ լուծելիս հարթության վրա տվյալ կետից մինչև տրված ուղիղ գիծ հեռավորությունը գտնելու վերլուծված մեթոդների կիրառումը:

Գտեք կետից ուղիղ հեռավորությունը.

Նախ, եկեք խնդիրը լուծենք առաջին ճանապարհով.

Խնդրի պայմանում մեզ տրվում է ձևի a ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Գտնենք b ուղղի ընդհանուր հավասարումը, որն անցնում է ուղիղին ուղղահայաց տրված կետով.

Քանի որ b ուղիղը ուղղահայաց է a ուղղին, ապա b ուղղի ուղղության վեկտորը տվյալ ուղիղի նորմալ վեկտորն է.

այսինքն b ուղղի ուղղության վեկտորն ունի կոորդինատներ։ Այժմ մենք կարող ենք հարթության վրա գրել b ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը, քանի որ գիտենք M 1 կետի կոորդինատները, որով անցնում է b ուղիղը, և b ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները.

Ստացված b ուղիղ գծի կանոնական հավասարումից անցնում ենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմանը.

Այժմ գտնենք a և b ուղիղների հատման կետի կոորդինատները (նշենք այն H 1) լուծելով a և b ուղիղների ընդհանուր հավասարումներից կազմված հավասարումների համակարգը (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հոդվածներ լուծելու համակարգեր. գծային հավասարումների):

Այսպիսով, H 1 կետն ունի կոորդինատներ:

Մնում է հաշվարկել ցանկալի հեռավորությունը M 1 կետից մինչև a ուղիղ գիծը որպես կետերի միջև հեռավորություն և.

Խնդրի լուծման երկրորդ ճանապարհը.

Ստանում ենք տրված տողի նորմալ հավասարումը։ Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք նորմալացնող գործոնի արժեքը և դրանով բազմապատկում ենք ուղիղ գծի սկզբնական ընդհանուր հավասարման երկու մասերը.

(Այս մասին մենք խոսեցինք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը նորմալ ձևի բերելու բաժնում):

Նորմալացնող գործոնը հավասար է

ապա ուղիղ գծի նորմալ հավասարումն ունի ձև.

Այժմ մենք վերցնում ենք ուղիղ գծի ստացված նորմալ հավասարման ձախ կողմի արտահայտությունը և հաշվարկում դրա արժեքը հետևյալի համար.

Ցանկալի հեռավորությունը տվյալ կետից մինչև տրված ուղիղ գիծ.

հավասար է ստացված արժեքի բացարձակ արժեքին, այսինքն՝ հինգ ():

հեռավորությունը կետից տող.

Ակնհայտ է, որ հարթության վրա կետից ուղիղ գիծ հեռավորությունը գտնելու մեթոդի առավելությունը, որը հիմնված է ուղիղ գծի նորմալ հավասարման օգտագործման վրա, համեմատաբար ավելի փոքր քանակի հաշվողական աշխատանք է: Իր հերթին, կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը գտնելու առաջին միջոցը ինտուիտիվ է և առանձնանում է հետևողականությամբ և տրամաբանությամբ:

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ Oxy ամրագրված է հարթության վրա, տրված է կետ և ուղիղ գիծ.

Գտի՛ր տրված կետից մինչև տրված ուղիղ հեռավորությունը:

Առաջին ճանապարհը.

Դուք կարող եք թեքությամբ ուղիղ գծի տրված հավասարումից անցնել այս ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմանը և շարունակել նույն կերպ, ինչպես վերը քննարկված օրինակում:

Բայց դուք կարող եք դա անել այլ կերպ:

Մենք գիտենք, որ ուղղահայաց գծերի թեքությունների արտադրյալը հավասար է 1-ի (տես ուղղահայաց գծեր հոդվածը, ուղիղների ուղղահայացություն)։ Հետևաբար, գծի թեքությունը, որն ուղղահայաց է տվյալ գծին.

հավասար է 2. Այնուհետև տրված ուղիղին ուղղահայաց և կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև.

Այժմ եկեք գտնենք H 1 կետի կոորդինատները՝ ուղիղների հատման կետը.

Այսպիսով, ցանկալի հեռավորությունը կետից ուղիղ գիծ.

հավասար է կետերի միջև եղած հեռավորությանը և.

Երկրորդ ճանապարհը.

Թեքությամբ ուղիղ գծի տրված հավասարումից անցնենք այս ուղիղի նորմալ հավասարմանը.

նորմալացնող գործոնը հավասար է.

հետևաբար, տրված ուղիղ գծի նորմալ հավասարումն ունի ձև.

Այժմ մենք հաշվարկում ենք անհրաժեշտ հեռավորությունը կետից մինչև գիծ.

Հաշվել հեռավորությունը կետից մինչև ուղիղ.

և դեպի ուղիղ գիծ:

Մենք ստանում ենք ուղիղ գծի նորմալ հավասարումը.

Այժմ հաշվարկեք հեռավորությունը կետից մինչև գիծ.

Նորմալացնող գործոն ուղիղ գծի հավասարման համար.

հավասար է 1-ի: Այնուհետև այս ուղիղի նորմալ հավասարումն ունի ձև.

Այժմ մենք կարող ենք հաշվարկել հեռավորությունը կետից մինչև ուղիղ.

դա հավասար է.

Պատասխան՝ և 5.

Եզրափակելով՝ մենք առանձին կքննարկենք, թե ինչպես է գտնվել հարթության տվյալ կետից Ox և Oy կոորդինատային գծերի հեռավորությունը։

Oxy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Oy կոորդինատային ուղիղը տրվում է x=0 ուղղի թերի ընդհանուր հավասարմամբ, իսկ Ox կոորդինատային ուղիղը՝ y=0: Այս հավասարումները Oy և Ox ուղիղների նորմալ հավասարումներ են, հետևաբար, կետից այս ուղիղների հեռավորությունը հաշվարկվում է բանաձևերով.

համապատասխանաբար.

Նկար 5

Օքսի ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ է ներկայացվում հարթության վրա: Գտի՛ր կետից մինչև կոորդինատային գծերի հեռավորությունները:

Տրված M 1 կետից մինչև Ox կոորդինատային ուղիղը (այն տրված է y=0 հավասարմամբ) հեռավորությունը հավասար է M 1 կետի օրդինատի մոդուլին, այսինքն՝ .

Տրված M 1 կետից Oy կոորդինատային ուղիղ հեռավորությունը (համապատասխանում է x=0 հավասարմանը) հավասար է M 1 կետի աբսցիսայի բացարձակ արժեքին:

Պատասխան՝ M 1 կետից մինչև Ox ուղիղը 6 է, իսկ տրված կետից մինչև Oy կոորդինատային ուղիղը հավասար է։

Կոորդինատների մեթոդ (կետի և հարթության միջև հեռավորությունը, ուղիղ գծերի միջև)

Կետի և հարթության միջև հեռավորությունը:

Կետի և գծի միջև հեռավորությունը:

Երկու տողերի միջև հեռավորությունը.

Առաջին օգտակար բանը, որ պետք է իմանալ, այն է, թե ինչպես գտնել կետից մինչև հարթության հեռավորությունը.

Արժեքներ A, B, C, D - ինքնաթիռի գործակիցները

x, y, z - կետի կոորդինատները

Առաջադրանք. Գտե՛ք հեռավորությունը A = (3; 7; −2) կետի և 4x + 3y + 13z - 20 = 0 հարթության միջև։

Ամեն ինչ տրված է, դուք կարող եք անմիջապես փոխարինել արժեքները հավասարման մեջ.

Առաջադրանք. Գտե՛ք հեռավորությունը K = (1; −2; 7) կետից մինչև V = (8; 6; −13) և T = (−1; −6; 7) կետերով անցնող ուղիղը:

1. Մենք գտնում ենք ուղիղ գծի վեկտոր:
2. Մենք հաշվարկում ենք ցանկալի կետով և գծի ցանկացած կետով անցնող վեկտորը:
   
3. Մենք դնում ենք մատրիցը և գտնում ենք 1-ին և 2-րդ պարբերության երկու ստացված վեկտորների որոշիչը։
4. Հեռավորությունը ստանում ենք, երբ մատրիցայի գործակիցների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատը բաժանում ենք ուղիղը սահմանող վեկտորի երկարության վրա։(Կարծում եմ՝ պարզ չէ, ուստի անցնենք կոնկրետ օրինակին):

1) հեռուստացույց = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Մենք վեկտորը գտնում ենք K և T կետերի միջով, չնայած դա հնարավոր կլինի նաև K և V կամ այս ուղիղի ցանկացած այլ կետի միջոցով:

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) Դուք ստանում եք մատրիցա առանց D գործակցի (այստեղ այն պետք չէ լուծման համար).

4) Ինքնաթիռը ստացվել է A = 80, B = 40, C = 12 գործակիցներով,

x, y, z - ուղիղ գծի վեկտորի կոորդինատները, այս դեպքում, հեռուստացույցի վեկտորն ունի կոորդինատներ (9; 12; −20)

Առաջադրանք. Գտե՛ք հեռավորությունը E = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1) և M = (4; −1; 4) կետերով անցնող ուղիղի միջև։ L = (-2;3;0):

1. Մենք սահմանեցինք երկու տողերի վեկտորները:
2. Մենք գտնում ենք վեկտորը՝ յուրաքանչյուր տողից վերցնելով մեկ կետ:
3. Գրում ենք 3 վեկտորից բաղկացած մատրիցա (երկու տող 1-ին կետից, մեկ տող 2-րդից) և գտնում ենք դրա թվային որոշիչը։
4. Մենք սահմանեցինք առաջին երկու վեկտորների մատրիցը (1-ին քայլում): Մենք սահմանում ենք առաջին տողը x, y, z:
5. Հեռավորությունը ստանում ենք, երբ ստացված արժեքը 3-րդ կետից մոդուլից բաժանում ենք 4-րդ կետի քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատին։

Անցնենք թվերին։

Թող ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը ամրագրվի եռաչափ տարածության մեջ Օքսիզ, տրված կետ , գիծ աև պահանջվում է գտնել կետից հեռավորությունը ԲԱՅՑդեպի ուղիղ ա.

Մենք ցույց կտանք տարածության կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը հաշվարկելու երկու եղանակ: Առաջին դեպքում՝ գտնելով հեռավորությունը մի կետից Մ 1 դեպի ուղիղ ահանգում է կետից հեռավորությունը գտնելուն Մ 1 դեպի կետ Հ 1 , որտեղ Հ 1 - կետից ընկել է ուղղահայաց հիմքը Մ 1 ուղղակիորեն ա. Երկրորդ դեպքում կետից մինչև հարթություն հեռավորությունը կգտնվի որպես զուգահեռագծի բարձրություն:

Այսպիսով, եկեք սկսենք:

Տարածության մեջ կետից մինչև a ուղիղ հեռավորությունը գտնելու առաջին եղանակը:

Քանի որ, ըստ սահմանման, հեռավորությունը կետից Մ 1 դեպի ուղիղ աուղղահայաց երկարությունն է Մ 1 Հ 1 , ապա՝ որոշելով կետի կոորդինատները Հ 1 , մենք կարող ենք հաշվարկել ցանկալի հեռավորությունը որպես կետերի միջև հեռավորություն և ըստ բանաձևի.

Այսպիսով, խնդիրը կրճատվում է կետից կառուցված ուղղահայաց հիմքի կոորդինատները գտնելով Մ 1 դեպի ուղիղ գիծ ա. Դա բավականին հեշտ է անել. կետ Հ 1 գծի հատման կետն է ակետով անցնող ինքնաթիռով Մ 1 գծին ուղղահայաց ա.

հետևաբար, ալգորիթմ, որը թույլ է տալիս որոշել կետից հեռավորությունը դեպի ուղիղա տարածության մեջ, է.

Երկրորդ մեթոդը, որը թույլ է տալիս գտնել տարածության կետից մինչև a ուղիղ հեռավորությունը:

Քանի որ խնդրի վիճակում մեզ տրված է ուղիղ գիծ ա, ապա մենք կարող ենք որոշել նրա ուղղության վեկտորը և ինչ-որ կետի կոորդինատները Մ 3 ուղիղ գծի վրա պառկած ա. Այնուհետև, ըստ կետերի կոորդինատների և մենք կարող ենք հաշվել վեկտորի կոորդինատները.

Մի կողմ դրեք վեկտորները և կետից Մ 3 և դրանց վրա զուգահեռագիծ կառուցիր: Գծե՛ք բարձրություն այս զուգահեռագծի վրա Մ 1 Հ 1 .

Ակնհայտ է բարձրությունը Մ 1 Հ 1 կառուցված զուգահեռագիծը հավասար է կետից ցանկալի հեռավորությանը Մ 1 դեպի ուղիղ ա. Եկեք գտնենք.

Մի կողմից, զուգահեռագծի տարածքը (մենք նշում ենք այն Ս) կարելի է գտնել վեկտորների վեկտորային արտադրյալի միջոցով և ըստ բանաձևի . Մյուս կողմից, զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա կողմի երկարության և բարձրության արտադրյալին, այսինքն. , որտեղ - վեկտորի երկարությունը , հավասար է դիտարկվող զուգահեռագծի կողմի երկարությանը։ Հետեւաբար, հեռավորությունը տվյալ կետից Մ 1 տրված տողին ակարելի է գտնել հավասարությունից ինչպես .

Այսպիսով, գտնել հեռավորությունը մի կետից դեպի ուղիղա անհրաժեշտ է տարածության մեջ

Տիեզերքում տվյալ կետից մինչև տրված ուղիղ գիծ հեռավորությունը գտնելու խնդիրների լուծում:

Դիտարկենք լուծման օրինակ.

Օրինակ.

Գտեք հեռավորությունը կետից դեպի ուղիղ .

Լուծում.

Առաջին ճանապարհը.

Գրենք կետով անցնող հարթության հավասարումը Մ 1 տրված ուղղին ուղղահայաց.

Գտե՛ք կետի կոորդինատները Հ 1 - հարթության և տրված ուղիղի հատման կետերը. Դա անելու համար մենք անցում ենք կատարում ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներից երկու հատվող հարթությունների հավասարումների։

որից հետո լուծում ենք գծային հավասարումների համակարգը Կրամերի մեթոդը.

Այս կերպ, .

Մնում է հաշվարկել կետից մինչև գիծ պահանջվող հեռավորությունը որպես կետերի միջև հեռավորություն և.

Երկրորդ ճանապարհը.

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումների կոտորակների հայտարարների թվերը այս ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի համապատասխան կոորդինատներն են, այսինքն. - ուղղության վեկտորը ուղիղ . Հաշվենք դրա երկարությունը. .

Ակնհայտորեն ուղիղ գիծ անցնում է մի կետով , ապա կետում ծագման վեկտորը և ավարտվում է մի կետով կա . Գտե՛ք վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալը և :
ապա այս խաչաձև արտադրանքի երկարությունը կազմում է .

Այժմ մենք ունենք բոլոր տվյալները՝ տվյալ կետից մինչև տվյալ հարթություն հեռավորությունը հաշվարկելու բանաձևը օգտագործելու համար. .

Պատասխան.

Գծերի փոխադարձ դասավորությունը տարածության մեջ