Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն. Հավանականությունների տեսություն

Մաթեմատիկան ներառում է մի շարք ոլորտներ, որոնցից մեկը հանրահաշվի և երկրաչափության հետ մեկտեղ հավանականությունների տեսությունն է։ Կան տերմիններ, որոնք ընդհանուր են այս բոլոր ոլորտների համար, բայց դրանցից բացի կան նաև կոնկրետ բառեր, բանաձևեր և թեորեմներ, որոնք բնորոշ են միայն մեկ կոնկրետ «նիշի»:

«Հավանականության տեսություն» արտահայտությունը խուճապ է առաջացնում անպատրաստ ուսանողի մոտ։ Իսկապես, երևակայությունը նկարներ է նկարում, որտեղ հայտնվում են սարսափելի ծավալուն բանաձևեր, և մեկ խնդրի լուծումը պահանջում է մի ամբողջ նոթատետր։ Այնուամենայնիվ, գործնականում ամեն ինչ այնքան էլ սարսափելի չէ. բավական է մեկ անգամ հասկանալ որոշ տերմինների իմաստը և խորամուխ լինել բանականության որոշակիորեն յուրօրինակ տրամաբանության էության մեջ, որպեսզի մեկընդմիշտ դադարենք վախենալ առաջադրանքներից: Այս առումով մենք կդիտարկենք հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական հասկացությունները՝ երիտասարդ, բայց չափազանց հետաքրքիր գիտելիքների ոլորտ:

Ինչու սովորել հասկացությունները:

Լեզվի գործառույթն է տեղեկատվություն փոխանցել մեկ անձից մյուսին, որպեսզի նա հասկանա, հասկանա և կարողանա օգտագործել այն: Յուրաքանչյուր մաթեմատիկական հասկացություն կարելի է բացատրել պարզ բառերով, բայց այս դեպքում տվյալների փոխանակման ակտը շատ ավելի երկար կտևի: Պատկերացրեք, որ «հիպոթենուզ» բառի փոխարեն միշտ պետք է ասեք «ուղղանկյուն եռանկյունու ամենաերկար կողմը», սա չափազանց անհարմար է և ժամանակատար:

Ահա թե ինչու մարդիկ որոշակի երևույթների և գործընթացների համար նոր տերմիններ են առաջարկում: Նույն կերպ են ի հայտ եկել հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունները՝ իրադարձություն, իրադարձության հավանականություն և այլն։ Սա նշանակում է, որ բանաձևեր օգտագործելու, խնդիրներ լուծելու և կյանքում հմտություններ կիրառելու համար հարկավոր է ոչ միայն հիշել նոր բառերը, այլև հասկանալ, թե ինչ է նշանակում դրանցից յուրաքանչյուրը։ Որքան ավելի խորն եք հասկանում դրանք, խորանում դրանց իմաստի մեջ, այնքան ավելի լայն է դառնում ձեր հնարավորությունների շրջանակը և ավելի լիարժեք եք ընկալում ձեզ շրջապատող աշխարհը:

Ո՞րն է օբյեկտի իմաստը

Ծանոթանանք հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացություններին։ Հավանականության դասական սահմանումը հետևյալն է. սա հետազոտողին համապատասխանող արդյունքների հարաբերակցությունն է հնարավորների ընդհանուր թվին: Եկեք մի պարզ օրինակ բերենք. երբ մարդը մեռնում է, այն կարող է վայրէջք կատարել վեց կողմերից որևէ մեկի վրա՝ դեպի վեր: Այսպիսով, արդյունքների ընդհանուր թիվը վեց է։ Պատահականորեն ընտրված կողմի հայտնվելու հավանականությունը 1/6 է:

Որոշակի արդյունքի առաջացումը կանխատեսելու ունակությունը չափազանց կարևոր է տարբեր մասնագետների համար: Քանի՞ թերի դետալ է սպասվում խմբաքանակում: Սա որոշում է, թե որքան պետք է արտադրեք: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ դեղամիջոցը կօգնի հաղթահարել հիվանդությունը: Նման տեղեկատվությունը բացարձակապես կենսական նշանակություն ունի: Բայց եկեք ժամանակ չկորցնենք լրացուցիչ օրինակների վրա և սկսենք ուսումնասիրել մեզ համար նոր ոլորտ:

Առաջին հանդիպում

Եկեք քննարկենք հավանականության տեսության հիմնական հասկացությունները եւ դրանց օգտագործումը: Իրավագիտության, բնական գիտությունների և տնտեսագիտության մեջ ստորև ներկայացված բանաձևերն ու տերմիններն օգտագործվում են ամենուր, քանի որ դրանք ուղղակիորեն կապված են վիճակագրության և չափման սխալների հետ: Այս հարցի ավելի մանրամասն ուսումնասիրությունը ձեզ կբացահայտի նոր բանաձևեր, որոնք օգտակար են ավելի ճշգրիտ և բարդ հաշվարկների համար, բայց եկեք սկսենք պարզից:

Հավանականության տեսության եւ մաթեմատիկական վիճակագրության ամենակարեւոր եւ հիմնական հասկացություններից մեկը պատահական իրադարձություն է: Եկեք բացատրենք հստակ խոսքերով. Փորձի բոլոր հնարավոր արդյունքներից միայն մեկը նկատվում է որպես արդյունք: Նույնիսկ եթե այս իրադարձության հավանականությունը զգալիորեն ավելի մեծ է, քան մյուսը, դա պատահական կլինի, քանի որ տեսականորեն արդյունքը կարող էր տարբեր լինել:

Եթե ​​մենք կատարել ենք մի շարք փորձեր և ստացել ենք որոշակի քանակությամբ արդյունքներ, ապա դրանցից յուրաքանչյուրի հավանականությունը հաշվարկվում է P(A) = m/n բանաձևով: Այստեղ M- ն է մի շարք փորձարկումների մի շարք փորձարկումներ, որոնք մենք նկատեցինք մեզ հետաքրքրության արդյունքի տեսքը: Իր հերթին, N- ը կատարված փորձերի ընդհանուր թիվն է: Եթե ​​մենք 10 անգամ մետաղադրամ ենք նետել եւ 5 անգամ գլուխներ ստացանք, ապա M = 5 եւ n = 10:

Միջոցառումների տեսակները

Պատահում է, որ որոշ արդյունք երաշխավորված է, որ պետք է դիտարկվեն յուրաքանչյուր փորձարկում. Նման իրադարձությունը կկոչվի հուսալի: Եթե ​​դա երբեք չի պատահի, դա կոչվելու է անհնար: Այնուամենայնիվ, նման իրադարձությունները չեն օգտագործվում հավանականության տեսության խնդիրների մեջ: Հիմնական հասկացությունները, որոնք շատ ավելի կարեւոր են իմանալ, համատեղ եւ ոչ համատեղ միջոցառումներ են:

Պատահում է, որ փորձ անցկացնելիս երկու իրադարձություն տեղի են ունենում միաժամանակ: Օրինակ, մենք երկու զառ ենք գցում. այս դեպքում այն ​​փաստը, որ մեկը գցում է «վեցը», չի երաշխավորում, որ երկրորդը այլ թիվ չի գցելու: Նման միջոցառումները կոչվելու են համատեղ։

Եթե ​​մենք գլորում ենք մեկ մեռել, ապա երկու թվեր երբեք չեն կարող հայտնվել միաժամանակ: Այս դեպքում «մեկ», «երկու» և այլնի տեսքով արդյունքները կդիտարկվեն որպես անհամատեղելի իրադարձություններ: Շատ կարևոր է տարբերակել, թե որ ելքերը տեղի են ունենում յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում. սա որոշում է, թե որ բանաձևերն օգտագործել հավանականությունների հայտնաբերման հարցում: Մենք կշարունակենք ուսումնասիրել հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունները մի քանի պարբերություն անց, երբ դիտարկենք գումարման և բազմապատկման առանձնահատկությունները։ Ի վերջո, առանց նրանց ոչ մի խնդիր չի կարող լուծվել։

Գումար և արտադրանք

Ենթադրենք, դուք և ձեր ընկերը գցում եք զառերը, և նրանք ստանում են չորս: Հաղթելու համար հարկավոր է «հինգ» կամ «վեց» ստանալ: Այս դեպքում հավանականությունները կգումարվեն. քանի որ երկու թվերի գծման հավանականությունը 1/6 է, պատասխանը նման կլինի 1/6 + 1/6 = 1/3:

Հիմա պատկերացրեք, որ դուք երկու անգամ գցում եք զառերը, և ձեր ընկերը ստանում է 11 միավոր: Այժմ դուք պետք է երկու անգամ անընդմեջ «վեց» ստանաք: Իրադարձությունները միմյանցից անկախ են, ուստի հավանականությունները պետք է բազմապատկվեն՝ 1/6 * 1/6 = 1/36:

Հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունների և թեորեմների շարքում պետք է ուշադրություն դարձնել համատեղ իրադարձությունների հավանականությունների հանրագումարին, այսինքն՝ նրանց, որոնք կարող են տեղի ունենալ միաժամանակ։ Հավելման բանաձևն այս դեպքում կունենա հետևյալ տեսքը՝ P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB):

Կոմբինատորիկա

Շատ հաճախ մեզ անհրաժեշտ է գտնել որոշ օբյեկտների պարամետրերի բոլոր հնարավոր համակցությունները կամ հաշվարկել ցանկացած համակցությունների քանակը (օրինակ՝ ծածկագիր ընտրելիս): Դրանում մեզ կօգնի կոմբինատորիկան, որը սերտորեն կապված է հավանականության տեսության հետ։ Այստեղ հիմնական հասկացությունները ներառում են մի քանի նոր բառեր, և այս թեմայի մի շարք բանաձևեր, հավանաբար, օգտակար կլինեն:

Ենթադրենք, դուք ունեք երեք թիվ՝ 1, 2, 3: Դուք պետք է օգտագործեք դրանք բոլոր հնարավոր եռանիշ թվերը գրելու համար: Քանի՞սը կլինեն: Պատասխան՝ n! (բացականչական նշանը նշանակում է ֆակտորիկական): Որոշակի թվով տարբեր տարրերի (թվեր, տառեր և այլն) համակցությունները, որոնք տարբերվում են միայն իրենց դասավորության կարգով, կոչվում են փոխակերպումներ։

Այնուամենայնիվ, շատ ավելի հաճախ ենք հանդիպում այս իրավիճակին. կան 10 թվանշաններ (զրոյից ինը), որոնցից գաղտնաբառ կամ ծածկագիր է կազմվում: Եկեք ենթադրենք, որ դրա երկարությունը 4 նիշ է: Ինչպե՞ս հաշվարկել հնարավոր կոդերի ընդհանուր քանակը: Դրա համար կա հատուկ բանաձեւ՝ (n!)/(n - m)!

Հաշվի առնելով վերը ներկայացված խնդրի պայմանը՝ n=10, m=4: Ավելին, պահանջվում են միայն պարզ մաթեմատիկական հաշվարկներ: Ի դեպ, նման համակցությունները կոչվելու են տեղաբաշխում։

Ի վերջո, կա համակցություններ հասկացությունը. դրանք հաջորդականություններ են, որոնք տարբերվում են միմյանցից առնվազն մեկ տարրով: Նրանց թիվը հաշվարկվում է բանաձևով՝ (n!) / (m!(n-m)!):

Ակնկալվող արժեքը

Կարևոր հայեցակարգը, որին հանդիպում է ուսանողն արդեն առարկայի առաջին դասերին, մաթեմատիկական ակնկալիքն է: Սա ստացված բոլոր հնարավոր արժեքների հանրագումարն է՝ բազմապատկված դրանց հավանականությամբ: Ըստ էության, դա միջին թիվն է, որը մենք կարող ենք կանխատեսել որպես թեստի արդյունք: Օրինակ, կան երեք արժեքներ, որոնց համար հավանականությունները նշված են փակագծերում. 0 (0.2); 1 (0,5); 2 (0.3). Հաշվենք մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ M(X) = 0*0.2 + 1*0.5 + 2*0.3 = 1.1: Այսպիսով, առաջարկվող արտահայտությունից կարելի է տեսնել, որ այս արժեքը հաստատուն է և կախված չէ թեստի արդյունքից։

Այս հայեցակարգը օգտագործվում է բազմաթիվ բանաձևերում, և ապագայում դրա հետ մի քանի անգամ կհանդիպեք։ Դրա հետ աշխատելը դժվար չէ. գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է գորգի գումարին: Սպասումներ - M (x + y) = M (x) + մ (Y): Նույնը վերաբերում է արտադրյալին՝ M(XY) = M(X) * M(Y):

Ցրվածություն

Դուք հավանաբար հիշում եք ձեր դպրոցական ֆիզիկայի դասընթացից, որ դիսպերսիան ցրվում է: Ո՞րն է դրա տեղը հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունների շարքում:

Նայեք երկու օրինակ. Մի դեպքում մեզ տրվում է. 10 (0.2); 20 (0.6); 30 (0.2). Մեկ այլում՝ 0(0,2); 20 (0.6); 40 (0.2). Երկու դեպքում էլ մաթեմատիկական ակնկալիքը նույնն է լինելու, այդ դեպքում ինչպե՞ս կարելի է համեմատել այս իրավիճակները: Ի վերջո, մենք անզեն աչքով տեսնում ենք, որ արժեքների տարածումը երկրորդ դեպքում շատ ավելի մեծ է։

Ահա թե ինչու է ներդրվել դիսպերսիա հասկացությունը։ Այն ստանալու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել մաթեմատիկական ակնկալիքը յուրաքանչյուր պատահական փոփոխականի և մաթեմատիկական ակնկալիքի տարբերությունների գումարից։ Վերցնենք նախորդ պարբերությունում գրված առաջին օրինակի թվերը։

Նախ հաշվարկենք մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ M(X) = 10*0.2 + 20*0.6 + 30*0.2 = 20. Այնուհետև դիսպերսիայի արժեքը՝ D(X) = 40:

Վիճակագրության և հավանականության տեսության մեկ այլ հիմնական հայեցակարգը ստանդարտ շեղումն է: Հաշվարկելը շատ պարզ է. պարզապես անհրաժեշտ է վերցնել շեղման քառակուսի արմատը:

Այստեղ մենք կարող ենք նշել նաև այնպիսի պարզ տերմին, ինչպիսին է շրջանակը: Սա արժեք է, որը ներկայացնում է նմուշի առավելագույն և նվազագույն արժեքների տարբերությունը:

Վիճակագրություն

Որոշ հիմնական դպրոցական հասկացություններ շատ հաճախ օգտագործվում են գիտության մեջ: Դրանցից երկուսն են միջին թվաբանականը և միջինը: Իհարկե հիշում եք, թե ինչպես գտնել իրենց իմաստները: Բայց ամեն դեպքում, հիշեցնենք՝ թվաբանական միջինը բոլոր արժեքների գումարն է՝ բաժանված նրանց թվի վրա։ Եթե ​​կա 10 արժեք, ապա ավելացնում ենք դրանք և բաժանում 10-ի։

Միջին արժեքը բոլոր հնարավոր արժեքների մեջ կենտրոնական արժեքն է: Եթե ​​ունենք կենտ քանակություն, ապա դրանք գրում ենք աճման կարգով և ընտրում մեջտեղում գտնվողը։ Եթե ​​ունենք զույգ թվով արժեքներ, վերցնում ենք կենտրոնական երկուսը և բաժանում երկուսի։

Եվս երկու արժեք, որոնք գտնվում են հավաքածուի միջին և երկու ծայրահեղ՝ առավելագույն և նվազագույն արժեքների միջև, կոչվում են քառորդներ: Դրանք հաշվարկվում են նույն կերպ՝ եթե տարրերի թիվը կենտ է, ապա վերցվում է շարքի մեջտեղում գտնվող թիվը, իսկ եթե տարրերի թիվը զույգ է, ապա վերցվում է երկու կենտրոնական տարրերի գումարի կեսը։

Գոյություն ունի նաև հատուկ գրաֆիկ, որի վրա կարող եք տեսնել բոլոր նմուշի արժեքները, դրա միջակայքը, մեդիանը, միջքառորդական միջակայքը, ինչպես նաև արտանետումները՝ արժեքներ, որոնք չեն տեղավորվում վիճակագրական սխալի մեջ: Ստացված պատկերն ունի շատ կոնկրետ (և նույնիսկ ոչ մաթեմատիկական) անուն՝ «բեղերով տուփ»։

Բաշխում

Բաշխումը վերաբերում է նաև հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական հասկացություններին: Մի խոսքով, այն ներկայացնում է ընդհանրացված տեղեկատվություն բոլոր պատահական փոփոխականների մասին, որոնք մենք կարող ենք տեսնել թեստի արդյունքում: Այստեղ հիմնական պարամետրը կլինի յուրաքանչյուր կոնկրետ արժեքի առաջացման հավանականությունը:

Նորմալ բաշխումն այն բաշխումն է, որն ունի մեկ կենտրոնական գագաթ, որը պարունակում է այն արժեքը, որն առավել հաճախ է լինում: Ավելի ու ավելի քիչ հավանական արդյունքները շեղվում են դրանից կամարներով: Ընդհանուր առմամբ, գրաֆիկը արտաքինից «սլայդի» տեսք ունի: Ավելի ուշ դուք կիմանաք, որ բաշխման այս տեսակը սերտորեն կապված է կենտրոնական սահմանային թեորեմի հետ, որը հիմնարար է հավանականությունների տեսության համար: Այն նկարագրում է կարևոր օրինաչափություններ մաթեմատիկայի ճյուղի համար, որոնք մենք դիտարկում ենք, որոնք շատ օգտակար են տարբեր հաշվարկներում:

Բայց վերադառնանք թեմային։ Բաշխման ևս երկու տեսակ կա՝ ասիմետրիկ և բազմամոդալ։ Առաջինը կարծես «նորմալ» գրաֆիկի կեսն է, այսինքն՝ աղեղը գագաթնակետից իջնում ​​է միայն մի կողմ: Ի վերջո, մուլտիմոդալ բաշխումն այն բաշխումն է, որտեղ կան մի քանի «վերին» արժեքներ: Այսպիսով, գրաֆիկը կա՛մ իջնում ​​է, կա՛մ բարձրանում: Ցանկացած բաշխման մեջ ամենահաճախակի արժեքը կոչվում է ռեժիմ: Այն նաև հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական հասկացություններից է։

Գաուսյան բաշխում

Գաուսյան կամ նորմալ բաշխումը այն բաշխումն է, որտեղ դիտումների շեղումը միջինից ենթարկվում է որոշակի օրենքի:

Համառոտ ասած, ընտրանքային արժեքների հիմնական տարածումը երկրաչափականորեն հակված է դեպի ռեժիմը՝ դրանցից ամենահաճախը: Ավելի ճիշտ, բոլոր արժեքների 99.6% -ը գտնվում է երեք ստանդարտ շեղումների սահմաններում (հիշո՞ւմ եք, մենք վերևում քննարկեցինք այս հայեցակարգը):

Գաուսի բաշխումը հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացություններից է։ Օգտագործելով այն, կարող եք հասկանալ, թե արդյոք տարրը, ըստ որոշակի պարամետրերի, ընդգրկված է «Սովորական» կատեգորիայում. Այսպես է գնահատվում մարդու բարձրությունն ու քաշը `հոգեբանական վիճակի, հոգեբանական պետության մակարդակի համաձայն .

Ինչպես դիմել

Հետաքրքիր է, որ «ձանձրալի» մաթեմատիկական տվյալները կարող են օգտագործվել ձեր օգտին: Օրինակ՝ մի երիտասարդ օգտագործեց հավանականության տեսությունը և վիճակագրությունը՝ ռուլետկաում մի քանի միլիոն դոլար շահելու համար: Ճիշտ է, մինչ այս ես պետք է պատրաստվեի` մի քանի ամիս գրանցել խաղերի արդյունքները տարբեր կազինոներում:

Վերլուծությունը կատարելուց հետո նա պարզեց, որ սեղաններից մեկը մի փոքր թեքված է, ինչը նշանակում է, որ մի շարք արժեքներ վիճակագրորեն զգալիորեն ավելի հաճախ են հայտնվում, քան մյուսները: Մի փոքր հաշվարկ և համբերություն, և այժմ հաստատության սեփականատերերը գլուխները քորում են՝ զարմանալով, թե ինչպես կարող է մարդու բախտը բերել:

Կենցաղային կենցաղային խնդիրների մի ամբողջ զանգված կա, որոնք հնարավոր չէ լուծել առանց վիճակագրության դիմելու։ Օրինակ, ինչպե՞ս որոշել, թե խանութը քանի հագուստ պետք է պատվիրի տարբեր չափսերի՝ S, M, L, XL: Դրա համար անհրաժեշտ է վերլուծել, թե ով է ամենից հաճախ հագուստ գնում քաղաքում, մարզում, մոտակա խանութներից։ Եթե ​​նման տեղեկություն չստացվի, սեփականատերը մեծ գումարներ կորցնելու վտանգի տակ է:

Եզրակացություն

Մենք նայեցինք հավանականության տեսության հիմնական հասկացությունների մի ամբողջ հաղորդաշարի. Թեստ, իրադարձություն, թույլտվություններ եւ տեղաբաշխումներ, սպասվող արժեք եւ ցրվածություն, ռեժիմ եւ նորմալ բաշխում ... Բացի այդ, մենք նայեցինք մի շարք բանաձեւեր, որոնք տեւում են ավելի քան մեկ ամիս բարձրագույն ուսումնական հաստատությունում սովորելու դասընթացներ.

Մի մոռացեք՝ մաթեմատիկան անհրաժեշտ է տնտեսագիտություն, բնական գիտություններ, տեղեկատվական տեխնոլոգիաներ, ճարտարագիտություն սովորելիս: Վիճակագրությունը՝ որպես իր ոլորտներից մեկը, այստեղ նույնպես չի կարելի անտեսել։

Հիմա փոքր բաների հարց է՝ պրակտիկա, խնդիրներ լուծել և օրինակներ: Նույնիսկ հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունները և սահմանումները կմոռացվեն, եթե ժամանակ չհատկացնեք վերանայելու համար: Բացի այդ, հետագա բանաձևերը մեծապես հիմնվելու են մեր դիտարկած բանաձևերի վրա: Ուստի փորձեք հիշել դրանք, մանավանդ, որ դրանք շատ չեն։

Շատերը, երբ հանդիպում են «հավանականությունների տեսություն» հասկացությանը, վախենում են՝ մտածելով, որ դա ճնշող, շատ բարդ բան է: Բայց ամեն ինչ իրականում այնքան էլ ողբերգական չէ։ Այսօր մենք կդիտարկենք հավանականությունների տեսության հիմնական հայեցակարգը և կսովորենք, թե ինչպես լուծել խնդիրները՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակներ:

Գիտությունը

Ի՞նչ է ուսումնասիրում մաթեմատիկայի այնպիսի ճյուղը, ինչպիսին է «հավանականությունների տեսությունը»: Նա նշում է օրինաչափություններ և քանակություններ: Այս հարցով գիտնականներն առաջին անգամ հետաքրքրվել են տասնութերորդ դարում, երբ նրանք ուսումնասիրել են մոլախաղերը: Հավանականությունների տեսության հիմնական հայեցակարգը իրադարձություն է: Դա ցանկացած փաստ է, որը հաստատվում է փորձով կամ դիտարկմամբ։ Բայց ի՞նչ է փորձը: Հավանականությունների տեսության ևս մեկ հիմնական հայեցակարգ. Դա նշանակում է, որ այս հանգամանքները ստեղծվել են ոչ թե պատահական, այլ կոնկրետ նպատակով։ Ինչ վերաբերում է դիտարկմանը, ապա այստեղ հետազոտողը չի մասնակցում փորձին, այլ պարզապես վկա է այս իրադարձությունների վրա. Նա չի ազդում այն, ինչ կատարվում է որեւէ կերպ:

Իրադարձություններ

Մենք իմացանք, որ հավանականությունների տեսության հիմնական հայեցակարգը իրադարձություն է, բայց մենք չդիտարկեցինք դասակարգումը: Նրանք բոլորը բաժանված են հետևյալ կատեգորիաների.

• Հուսալի.
• Անհնարին.
• Պատահական.

Անկախ նրանից, թե ինչպիսի իրադարձություններ են դրանք, դիտարկվել կամ ստեղծվել փորձի ընթացքում, դրանք բոլորը ենթակա են այս դասակարգմանը: Հրավիրում ենք ձեզ ծանոթանալու յուրաքանչյուր տեսակին առանձին։

Հուսալի իրադարձություն

Սա մի հանգամանք է, որի համար ձեռնարկվել են միջոցառումների անհրաժեշտ փաթեթ։ Էությունը ավելի լավ հասկանալու համար ավելի լավ է մի քանի օրինակ բերել։ Ֆիզիկան, քիմիան, տնտեսագիտությունը և բարձրագույն մաթեմատիկան ենթարկվում են սույն օրենքին: Հավանականության տեսությունը ներառում է այնպիսի կարևոր հասկացություն, ինչպիսին է հուսալի իրադարձությունը։ Ահա մի քանի օրինակներ.

• Մենք աշխատում ենք և ստանում ենք փոխհատուցում աշխատավարձի տեսքով։
• Մենք լավ հանձնեցինք քննությունները, անցանք մրցույթը, և դրա համար ստանում ենք պարգև՝ ուսումնական հաստատություն ընդունվելու տեսքով։
• Մենք գումար ենք ներդրել բանկում, անհրաժեշտության դեպքում հետ կստանանք։

Նման իրադարձությունները հուսալի են: Եթե ​​բոլոր անհրաժեշտ պայմանները կատարած լինենք, ապա անպայման կստանանք սպասված արդյունքը։

Անհնար իրադարձություններ

Այժմ մենք դիտարկում ենք հավանականության տեսության տարրերը: Մենք առաջարկում ենք անցնել հաջորդ տեսակի իրադարձության բացատրությանը, այն է՝ անհնարինը: Նախ սահմանենք ամենակարեւոր կանոնը՝ անհնարին իրադարձության հավանականությունը զրոյական է։

Խնդիրներ լուծելիս չի կարելի շեղվել այս ձեւակերպումից։ Պարզաբանման համար, ահա այսպիսի իրադարձությունների օրինակներ.

• Ջուրը սառեցրեց պլյուս տասը ջերմաստիճանում (դա անհնար է):
• Էլեկտրաէներգիայի բացակայությունը ոչ մի կերպ չի ազդում արտադրության վրա (նույնքան անհնար, ինչպես նախորդ օրինակում):

Չարժե ավելի շատ օրինակներ տալ, քանի որ վերը նկարագրվածները շատ հստակ արտացոլում են այս կատեգորիայի էությունը: Անհնարին իրադարձություն երբեք տեղի չի ունենա փորձի ժամանակ, ոչ մի դեպքում:

Պատահական իրադարձություններ

Տարրերը ուսումնասիրելիս հատուկ ուշադրություն պետք է դարձնել այս կոնկրետ տեսակի իրադարձությանը: Ահա թե ինչ է ուսումնասիրում գիտությունը։ Փորձի արդյունքում ինչ-որ բան կարող է պատահել կամ չլինել։ Բացի այդ, թեստը կարող է իրականացվել անսահմանափակ քանակությամբ անգամ: Վառ օրինակները ներառում են.

• Մետաղադրամի նետումը փորձ կամ փորձություն է, գլուխների վայրէջքը՝ իրադարձություն։
• Պայուսակից գնդակը կուրորեն հանելը փորձություն է, կարմիր գնդակ ստանալը՝ իրադարձություն և այլն։

Նման օրինակները կարող են լինել անսահմանափակ թվով, բայց, ընդհանուր առմամբ, էությունը պետք է պարզ լինի. Իրադարձությունների վերաբերյալ ստացված գիտելիքներն ամփոփելու և համակարգելու համար տրվում է աղյուսակ. Հավանականությունների տեսությունն ուսումնասիրում է ներկայացված բոլորի միայն վերջին տեսակը:

Օրենքներ

Հավանականությունների տեսությունը գիտություն է, որն ուսումնասիրում է իրադարձության հավանականությունը։ Ինչպես մյուսները, այն ունի որոշ կանոններ. Գոյություն ունեն հավանականությունների տեսության հետևյալ օրենքները.

• Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունների կոնվերգենցիան:
• Մեծ թվերի մասին օրենք:

Բարդ բանի հնարավորությունը հաշվարկելիս կարող եք օգտագործել պարզ իրադարձությունների մի շարք՝ ավելի հեշտ և արագ արդյունքի հասնելու համար: Նշենք, որ հավանականությունների տեսության օրենքները հեշտությամբ ապացուցվում են որոշակի թեորեմների միջոցով: Առաջարկում ենք նախ ծանոթանալ առաջին օրենքին։

Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունների կոնվերգենցիան

Նկատի ունեցեք, որ կան կոնվերգենցիայի մի քանի տեսակներ.

• Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը համընկնում է հավանականության մեջ:
• Գրեթե անհնար է.
• Միջին քառակուսի կոնվերգենցիա:
• Բաշխման կոնվերգենցիա.

Այսպիսով, անմիջապես, շատ դժվար է հասկանալ էությունը: Ահա սահմանումներ, որոնք կօգնեն ձեզ հասկանալ այս թեման: Սկսենք առաջին հայացքից. Հաջորդականությունը կոչվում է հավանականության մեջ կոնվերգենտ, եթե բավարարված է հետևյալ պայմանը՝ n-ն հակված է դեպի անվերջություն, այն թիվը, որին ուղղված է հաջորդականությունը, մեծ է զրոյից և մոտ է մեկին։

Անցնենք հաջորդ հայացքին, գրեթե անկասկած. Ասում են, որ հաջորդականությունը համընկնում է գրեթե անկասկածպատահական փոփոխականին, որտեղ n-ը հակված է դեպի անսահմանություն, իսկ P-ն՝ միասնությանը մոտ արժեքի:

Հաջորդ տեսակն է միջին քառակուսի կոնվերգենցիա. SC կոնվերգենցիան օգտագործելիս վեկտորային պատահական գործընթացների ուսումնասիրությունը կրճատվում է մինչև դրանց կոորդինատային պատահական գործընթացների ուսումնասիրությունը:

Մնում է վերջին տեսակը, հակիրճ նայենք, որ ուղղակի անցնենք խնդիրների լուծմանը։ Բաշխման մեջ կոնվերգենցիան այլ անուն ունի՝ «թույլ», և ինչու կբացատրենք ավելի ուշ: Թույլ կոնվերգենցիաբաշխման ֆունկցիաների կոնվերգենցիան է սահմանափակող բաշխման ֆունկցիայի շարունակականության բոլոր կետերում:

Մենք անպայման կպահենք մեր խոստումը. թույլ կոնվերգենցիան տարբերվում է վերը նշված բոլորից նրանով, որ պատահական փոփոխականը սահմանված չէ հավանականության տարածության մեջ: Դա հնարավոր է, քանի որ պայմանը ձևավորվում է բացառապես բաշխման գործառույթների միջոցով:

Մեծ թվերի օրենքը

Հավանականությունների տեսության թեորեմներ, ինչպիսիք են.

• Չեբիշևի անհավասարությունը.
• Չեբիշևի թեորեմը.
• Ընդհանրացված Չեբիշևի թեորեմը.
• Մարկովի թեորեմը.

Եթե ​​դիտարկենք այս բոլոր թեորեմները, ապա այս հարցը կարող է ձգվել մի քանի տասնյակ թերթերով: Մեր հիմնական խնդիրն է գործնականում կիրառել հավանականությունների տեսությունը։ Մենք առաջարկում ենք դա անել հենց հիմա: Բայց մինչ այդ, եկեք նայենք հավանականությունների տեսության աքսիոմներին, նրանք կլինեն խնդիրների լուծման հիմնական օգնականները:

Աքսիոմներ

Մենք արդեն հանդիպեցինք առաջինին, երբ խոսեցինք անհնարին իրադարձության մասին: Հիշենք. Անհնարին իրադարձության հավանականությունը զրոյական է: Մենք տվեցինք շատ վառ եւ հիշարժան օրինակ. Ձյունը ընկավ երեսուն աստիճանի ջերմաստիճանի ջերմաստիճանում:

Երկրորդը հետեւյալն է. Հուսալի իրադարձություն է տեղի ունենում մեկի համար հավասար հավանականությամբ: Այժմ մենք ցույց կտանք, թե ինչպես գրել սա `օգտագործելով մաթեմատիկական լեզու, P (B) = 1:

Երրորդ. Պատահական իրադարձություն կարող է տեղի ունենալ կամ չլինել, բայց հնարավորությունը միշտ տատանվում է զրոյից մինչև մեկ: Որքան մոտ է արժեքը մեկին, այնքան մեծ են հնարավորությունները. եթե արժեքը մոտենում է զրոյին, հավանականությունը շատ ցածր է: Գրենք սա մաթեմատիկական լեզվով՝ 0<Р(С)<1.

Դիտարկենք վերջին՝ չորրորդ աքսիոմը, որը հնչում է այսպես՝ երկու իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է նրանց հավանականությունների գումարին։ Գրում ենք մաթեմատիկական լեզվով՝ P(A+B)=P(A)+P(B):

Հավանականությունների տեսության աքսիոմներն ամենապարզ կանոններն են, որոնք դժվար չէ հիշել։ Փորձենք լուծել արդեն իսկ ձեռք բերած գիտելիքների հիման վրա որոշ խնդիրներ։

Վիճակախաղի տոմս

Նախ, եկեք նայենք ամենապարզ օրինակին` վիճակախաղին: Պատկերացրեք, որ դուք գնել եք վիճակախաղի մեկ տոմս հաջողության համար: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ դուք կշահեք առնվազն քսան ռուբլի: Ընդհանուր առմամբ, շրջանառությանը մասնակցում է հազար տոմս, որոնցից մեկը հինգ հարյուր ռուբլի է, տասը` յուրաքանչյուրը հարյուր ռուբլի, հիսունը` քսան ռուբլի, հարյուրը` հինգ։ Հավանականության խնդիրները հիմնված են բախտի հավանականությունը գտնելու վրա։ Այժմ մենք միասին կվերլուծենք վերը նշված առաջադրանքի լուծումը:

Եթե ​​Ա տառով նշենք հինգ հարյուր ռուբլի շահումը, ապա Ա ստանալու հավանականությունը հավասար կլինի 0,001-ի։ Ինչպես ստացանք սա: Պարզապես պետք է բաժանել «հաջողակ» տոմսերի քանակը ընդհանուր թվի վրա (այս դեպքում՝ 1/1000):

B-ն հարյուր ռուբլու շահում է, հավանականությունը կլինի 0,01: Այժմ մենք գործեցինք նույն սկզբունքով, ինչ նախորդ գործողության մեջ (10/1000)

Գ - շահումները քսան ռուբլի են: Մենք գտնում ենք հավանականությունը, այն հավասար է 0,05-ի։

Մնացած տոմսերը մեզ չեն հետաքրքրում, քանի որ դրանց մրցանակային ֆոնդը պայմանով նախատեսվածից պակաս է։ Կիրառենք չորրորդ աքսիոմը՝ առնվազն քսան ռուբլի շահելու հավանականությունը P(A)+P(B)+P(C) է։ P տառը նշանակում է տվյալ իրադարձության առաջացման հավանականությունը, մենք դրանք արդեն գտել ենք նախորդ գործողություններում։ Մնում է միայն գումարել անհրաժեշտ տվյալները, և մեր պատասխանը 0,061 է։ Այս թիվը կլինի առաջադրանքի հարցի պատասխանը:

Քարտի տախտակամած

Հավանականությունների տեսության խնդիրները կարող են ավելի բարդ լինել, օրինակ՝ եկեք վերցնենք հետևյալ առաջադրանքը. Ձեր առջև երեսունվեց քարտերից բաղկացած տախտակ է: Ձեր խնդիրն է անընդմեջ երկու քարտ նկարել՝ առանց կույտը խառնելու, առաջին և երկրորդ խաղաթղթերը պետք է լինեն էս, կոստյումը նշանակություն չունի:

Նախ, եկեք գտնենք հավանականությունը, որ առաջին խաղաքարտը կլինի ace, դրա համար մենք չորսը բաժանում ենք երեսունվեցի: Մի կողմ դրեցին։ Մենք հանում ենք երկրորդ խաղաքարտը, դա կլինի էյս երեք երեսունհինգերորդական հավանականությամբ։ Երկրորդ իրադարձության հավանականությունը կախված է նրանից, թե որ խաղաքարտն ենք առաջինը խաղացել, մտածում ենք՝ էյս էր, թե ոչ։ Այստեղից հետևում է, որ B իրադարձությունը կախված է A իրադարձությունից:

Հաջորդ քայլը միաժամանակ տեղի ունենալու հավանականությունը գտնելն է, այսինքն՝ մենք բազմապատկում ենք A-ն և B-ն: Նրանց արտադրյալը ստացվում է հետևյալ կերպ. տեղի ունեցավ իրադարձություն, այսինքն՝ մենք առաջին խաղաթղթով ոչ-ոքի խաղացինք:

Ամեն ինչ պարզ դարձնելու համար եկեք նշենք այնպիսի տարրին, ինչպիսին իրադարձություններն են: Այն հաշվարկվում է ենթադրելով, որ A իրադարձությունը տեղի է ունեցել: Այն հաշվարկվում է հետևյալ կերպ՝ P(B/A):

Շարունակենք լուծել մեր խնդիրը՝ P(A * B) = P(A) * P(B/A) կամ P(A * B) = P(B) * P(A/B): Հավանականությունը հավասար է (4/36) * ((3/35)/(4/36): Հաշվում ենք կլորացնելով մինչև մոտակա հարյուրերորդականը: Ունենք՝ 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0.09 Հավանականությունը, որ մենք անընդմեջ գծենք երկու էյս, ինը հարյուրերորդական է: Արժեքը շատ փոքր է, հետևում է, որ իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը չափազանց փոքր է:

Մոռացված համարը

Մենք առաջարկում ենք վերլուծել առաջադրանքների ևս մի քանի տարբերակներ, որոնք ուսումնասիրվում են հավանականությունների տեսության կողմից: Դրանցից մի քանիսը լուծելու օրինակներ արդեն տեսել եք այս հոդվածում։Փորձենք լուծել հետևյալ խնդիրը՝ տղան մոռացել է ընկերոջ հեռախոսահամարի վերջին նիշը, բայց քանի որ զանգը շատ կարևոր էր, նա սկսեց ամեն ինչ հերթով հավաքել։ . Պետք է հաշվարկենք հավանականությունը, որ նա կզանգահարի ոչ ավելի, քան երեք անգամ։ Խնդրի լուծումն ամենապարզն է, եթե հայտնի են հավանականությունների տեսության կանոնները, օրենքներն ու աքսիոմները։

Նախքան լուծումը նայելը, փորձեք ինքներդ լուծել այն։ Մենք գիտենք, որ վերջին նիշը կարող է լինել զրոյից մինչև ինը, այսինքն՝ ընդհանուր առմամբ տասը արժեք: Ճիշտը ստանալու հավանականությունը 1/10 է։

Հաջորդը, մենք պետք է դիտարկենք իրադարձության ծագման տարբերակները, ենթադրենք, որ տղան ճիշտ է գուշակել և անմիջապես մուտքագրել է ճիշտը, նման իրադարձության հավանականությունը 1/10 է: Երկրորդ տարբերակը. առաջին զանգը բաց է թողնում, իսկ երկրորդը թիրախում է: Հաշվենք նման իրադարձության հավանականությունը՝ 9/10-ը բազմապատկենք 1/9-ով, և արդյունքում ստանում ենք նաև 1/10։ Երրորդ տարբերակը՝ առաջին և երկրորդ զանգերը սխալ հասցեով են եղել, միայն երրորդով տղան հասել է իր ուզածին։ Մենք հաշվարկում ենք նման իրադարձության հավանականությունը՝ 9/10 բազմապատկած 8/9-ով և 1/8-ով, ստացվում է 1/10: Մեզ չեն հետաքրքրում այլ տարբերակներ՝ ըստ խնդրի պայմանների, ուստի պետք է ուղղակի գումարել ստացված արդյունքները, ի վերջո ունենք 3/10։ Պատասխան՝ հավանականությունը, որ տղան երեք անգամից ոչ ավել կզանգի, 0,3 է։

Քարտեր թվերով

Ձեր առջև ինը քարտ է, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա գրված է մեկից ինը թիվ, թվերը չեն կրկնվում։ Դրանք դրեցին տուփի մեջ և լավ խառնեցին։ Դուք պետք է հաշվարկեք դրա հավանականությունը

• կհայտնվի զույգ թիվ;
• երկնիշ.

Նախքան լուծմանը անցնելը, եկեք սահմանենք, որ m-ը հաջողված դեպքերի թիվն է, իսկ n-ը՝ տարբերակների ընդհանուր թիվը։ Գտնենք հավանականությունը, որ թիվը զույգ կլինի։ Դժվար չի լինի հաշվարկել, որ կան չորս զույգ թվեր, սա կլինի մեր m-ը, ընդհանուր առմամբ կա ինը հնարավոր տարբերակ, այսինքն՝ m=9։ Ապա հավանականությունը 0,44 կամ 4/9 է։

Դիտարկենք երկրորդ դեպքը՝ տարբերակների թիվը ինը է, և հաջող ելքեր ընդհանրապես չեն կարող լինել, այսինքն՝ m-ը հավասար է զրոյի։ Զրո է նաև հավանականությունը, որ խաղարկված քարտը երկնիշ թիվ պարունակի։

Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն

• Ագեկյան Թ.Ա. Սխալների տեսության հիմունքները աստղագետների և ֆիզիկոսների համար (2-րդ խմբ.). Մ.: Նաուկա, 1972 (djvu, 2.44 M)
• Ագեկյան Թ.Ա. Հավանականությունների տեսություն աստղագետների և ֆիզիկոսների համար. Մ.: Նաուկա, 1974 (djvu, 2.59 M)
• Anderson T. Ժամանակային շարքերի վիճակագրական վերլուծություն. Մ.: Միր, 1976 (djvu, 14 M)
• Բակելման Ի.Յա. Վերներ Ա.Լ. Kantor B.E. Դիֆերենցիալ երկրաչափության ներածություն «ընդհանուր». Մ.: Նաուկա, 1973 (djvu, 5.71 M)
• Բերնշտեյն Ս.Ն. Հավանականությունների տեսություն. Մ.-Լ.՝ Գ.Ի., 1927 (djvu, 4.51 M)
• Billingsley P. Հավանականության չափումների կոնվերգենցիա. Մ.: Նաուկա, 1977 (djvu, 3,96 M)
• Box J. Jenkins G. Ժամանակային շարքերի վերլուծություն. կանխատեսում և կառավարում: Թողարկում 1. Մ.: Միր, 1974 թ (djvu, 3.38 M)
• Box J. Jenkins G. Ժամանակային շարքերի վերլուծություն. կանխատեսում և կառավարում: Թողարկում 2. Մ.: Միր, 1974 թ (djvu, 1,72 մ)
• Borel E. Հավանականություն և հուսալիություն: Մ.: Նաուկա, 1969 (djvu, 1.19 M)
• Վան դեր Վաերդեն Բ.Լ. Մաթեմատիկայի վիճակագրություն. Մ.: ԻԼ, 1960 (djvu, 6.90 M)
• Վապնիկ Վ.Ն. Էմպիրիկ տվյալների հիման վրա կախվածության վերականգնում: Մ.: Նաուկա, 1979 (djvu, 6.18 M)
• Ventzel E.S. Գործառնական հետազոտությունների ներածություն. Մ.: Սովետական ​​ռադիո, 1964 (djvu, 8.43 M)
• Ventzel E.S. Խաղերի տեսության տարրեր (2-րդ խմբ.). Սերիա՝ Հանրաճանաչ դասախոսություններ մաթեմատիկայի վերաբերյալ. Թողարկում 32. Մ.: Նաուկա, 1961 թ (djvu, 648 K)
• Ventstel E.S. Հավանականությունների տեսություն (4-րդ խմբ.). Մ.: Նաուկա, 1969 (DjVu, 8.05 մ)
• Ventstel E.S., Ovcharov L.A. Հավանականության տեսություն: Առաջադրանքներ եւ վարժություններ: Մ. Nauka, 1969 (DjVu, 7,71 մ)
• Վիլենկին Ն.Յա., Պոտապով Վ.Գ. Գործնական աշխատանքային գիրք հավանականությունների տեսության վերաբերյալ կոմբինատորիկայի և մաթեմատիկական վիճակագրության տարրերով: Մ. Կրթություն, 1979 (DjVu, 1.12 մ)
• Gmurman v.e. Հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության խնդիրների լուծման ուղեցույց (3-րդ խմբ.): Մ.: Ավելի բարձր: Դպրոց, 1979 (DjVu, 4.24 մ)
• Gmurman v.e. Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն (4-րդ խմբ.): Մ. Բարձրագույն դպրոց, 1972 (DjVu, 3.75 մ)
• Գնեդենկո Բ.Վ., Կոլմոգորով Ա.Ն. Սահմանափակ բաշխումները անկախ պատահական փոփոխականների գումարների համար: Մ.-Լ. Գիթլ, 1949 (DjVu, 6.26 մ)
• Գնեդենկո Բ.Վ., Խինչին Ա.Յա. Հավանականությունների տեսության տարրական ներածություն (7-րդ խմբ.): Մ.: Նաուկա, 1970 (djvu, 2.48 M)
• Oak J.L. Հավանական գործընթացներ. Մ.: ԻԼ, 1956 (djvu, 8.48 M)
• David G. Ordinal վիճակագրություն. Մ.: Նաուկա, 1979 (djvu, 2.87 M)
• Իբրահիմով Ի.Ա., Լիննիկ Յու.Վ. Անկախ և անշարժ հարակից քանակություններ: Մ.: Նաուկա, 1965 (djvu, 6.05 M)
• Idier V., Dryard D., James F., Rus M., Sadoulet B. Վիճակագրական մեթոդներ փորձարարական ֆիզիկայում: Մ.: Ատոմիզդատ, 1976 (djvu, 5,95 մ)
• Կամալով Մ.Կ. Քառակուսային ձևերի բաշխումը սովորական պոպուլյացիայի նմուշներում: Տաշքենդ: ԽՍՀՄ Գիտությունների ակադեմիա, 1958 թ (djvu, 6.29 M)
• Կասանդրա Օ.Ն., Լեբեդև Վ.Վ. Դիտարկման արդյունքների մշակում. Մ.: Նաուկա, 1970 (djvu, 867 K)
• Katz M. Հավանականություն և հարակից հարցեր ֆիզիկայում. Մ.: Միր, 1965 (djvu, 3.67 M)
• Katz M. Ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի մի քանի հավանականական խնդիրներ. Մ.: Նաուկա, 1967 (djvu, 1,50 մ)
• Katz M. Վիճակագրական անկախությունը հավանականության տեսության, վերլուծության և թվերի տեսության մեջ: Մ.: ԻԼ, 1963 (djvu, 964 K)
• Քենդալ Մ., Մորան Պ. Երկրաչափական հավանականություններ. Մ.: Նաուկա, 1972 (djvu, 1.40 M)
• Kendall M., Stewart A. Volume 2. Վիճակագրական եզրակացություն և կապեր: Մ.: Նաուկա, 1973 (djvu, 10 M)
• Kendall M., Stewart A. Volume 3. Multivariate վիճակագրական վերլուծություն և ժամանակային շարքեր: Մ.: Նաուկա, 1976 (djvu, 7,96 M)
• Kendall M., Stewart A. Vol. 1. Բաշխումների տեսություն. Մ.: Նաուկա, 1965 (djvu, 6.02 M)
• Կոլմոգորով Ա.Ն. Հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունները (2-րդ խմբ.) Մ.: Նաուկա, 1974 թ. (djvu, 2.14 M)
• Կոլչին Վ.Ֆ., Սևաստյանով Բ.Ա., Չիստյակով Վ.Պ. Պատահական տեղաբաշխումներ. Մ.: Նաուկա, 1976 (djvu, 2.96 M)
• Կրամեր Գ. Վիճակագրության մաթեմատիկական մեթոդներ (2-րդ խմբ.). Մ.: Միր, 1976 (djvu, 9.63 M)
• Leman E. Վիճակագրական վարկածների փորձարկում. Մ.: Գիտություն. 1979 թ (djvu, 5.18 M)
• Լիննիկ Յու.Վ., Օստրովսկի Ի.Վ. Պատահական փոփոխականների և վեկտորների տարրալուծում: Մ.: Նաուկա, 1972 (djvu, 4,86 ​​M)
• Լիխոլետով Ի.Ի., Մացկևիչ Ի.Պ. Բարձրագույն մաթեմատիկայի, հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության խնդիրների լուծման ուղեցույց (2-րդ խմբ.): Մն.՝ Վիշ. դպրոց, 1969 թ (djvu, 4,99 մ)
• Loev M. Հավանականության տեսություն. Մ.: ԻԼ, 1962 (djvu, 7.38 M)
• Մալախով Ա.Ն. Պատահական ոչ Գաուսական գործընթացների կուտակային վերլուծություն և դրանց փոխակերպումները: Մ.: Սով. ռադիո, 1978 (djvu, 6.72 M)
• Մեշալկին Լ.Դ. Հավանականությունների տեսության խնդիրների ժողովածու: Մ.: ՄՊՀ, 1963 (djvu, 1 004 K)
• Միտրոպոլսկի Ա.Կ. Պահերի տեսություն. Մ.-Լ.՝ ԳԻՔՍԼ, 1933 (djvu, 4,49 M)
• Միտրոպոլսկի Ա.Կ. Վիճակագրական հաշվարկների տեխնիկա (2-րդ խմբ.). Մ.: Նաուկա, 1971 (djvu, 8.35 M)
• Mosteller F., Rurke R., Thomas J. հավանականություն. Մ.: Միր, 1969 (djvu, 4,82 M)
• Նալիմով Վ.Վ. Մաթեմատիկական վիճակագրության կիրառումը նյութի վերլուծության մեջ. M.: GIFML, 1960 (djvu, 4.11 M)
• Neveu J. Հավանականությունների տեսության մաթեմատիկական հիմունքները. Մ.: Միր, 1969 (djvu, 3.62 M)
• Preston K. Մաթեմատիկա. Արտասահմանյան գիտության մեջ նորություն No7. Գիբսը նշում է հաշվելի բազմությունների վրա. Մ.: Միր, 1977 (djvu, 2.15 M)
• Սավելև Լ.Յա. Տարրական հավանականության տեսություն. Մաս 1. Նովոսիբիրսկ: NSU, 2005 (

բոլոր մասնագիտությունների 2-րդ կուրսի ուսանողների համար

Բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժին

Ներածական մաս

Սիրելի ուսանողներ.

Ձեր ուշադրությանն ենք ներկայացնում պրոֆեսոր Ն․

Դասախոսությունը քննարկում է առաջադրանքներուսումնասիրելով հավանականությունների տեսությունը և մաթեմատիկական վիճակագրությունը տնտեսագիտական ​​համալսարանում և նրա տեղըժամանակակից տնտեսագետի պատրաստման համակարգում համարվում է կազմակերպություն անկախՏրվում է ուսանողի աշխատանք՝ օգտագործելով համակարգչային ուսուցման համակարգ (CTS) և ավանդական դասագրքեր հիմնական դրույթների ակնարկայս դասընթացը, ինչպես նաև դրա ուսումնասիրության մեթոդական առաջարկությունները:

Տնտեսագիտական ​​համալսարանում սովորած մաթեմատիկական առարկաներից առանձնահատուկ տեղ են գրավում հավանականությունների տեսությունը և մաթեմատիկական վիճակագրությունը։ Նախ, դա վիճակագրական առարկաների տեսական հիմքն է։ Երկրորդ, ուսումնասիրության մեջ ուղղակիորեն օգտագործվում են հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության մեթոդները զանգվածային ագրեգատներդիտարկված երևույթներ, դիտարկման արդյունքների մշակում և պատահական երևույթների օրինաչափությունների բացահայտում: Ի վերջո, հավանականությունների տեսությունը և մաթեմատիկական վիճակագրությունը կարևոր մեթոդաբանական նշանակություն ունեն ճանաչողական գործընթաց, ընդհանուր օրինաչափություն բացահայտելիս հետազոտվել էգործընթացները, ծառայում է որպես տրամաբանական հիմքինդուկտիվ-դեդուկտիվ պատճառաբանություն.

Յուրաքանչյուր երկրորդ կուրսի ուսանող «Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» առարկայից պետք է ունենա հետևյալ հավաքածուն (գործը).

1. Համառոտ կողմնորոշիչ դասախոսությունայս կարգապահության մեջ:

2. ԴասագիրքՆ.Շ. Կրեմեր «Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» - M.: UNITY - DANA, 2007 (այսուհետ մենք այն պարզապես կանվանենք «դասագիրք»):

3. Ուսումնական և մեթոդական ձեռնարկ«Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» / խմբ. Ն.Շ. Կրեմերը։ – Մ.: Համալսարանական դասագիրք, 2005 (այսուհետ՝ ձեռնարկ):

4. Համակարգչային ուսուցման ծրագիր COPR կարգապահության համար (այսուհետ՝ «համակարգչային ծրագիր»):

Ինստիտուտի կայքում՝ «Կորպորատիվ ռեսուրսներ» էջում տեղադրված են KOPR2 համակարգչային ծրագրի առցանց տարբերակները, ակնարկ կողմնորոշիչ դասախոսությունը և ձեռնարկի էլեկտրոնային տարբերակը։ Բացի այդ, ներկայացված են համակարգչային ծրագիրը և ձեռնարկը CD - ROM ախ երկրորդ կուրսի ուսանողների համար. Հետևաբար, «թղթային ձևով» աշակերտին անհրաժեշտ է միայն դասագիրք ունենալ:

Բացատրենք նշված հավաքածուի (գործի) մեջ ներառված ուսումնական նյութերից յուրաքանչյուրի նպատակը.

Դասագրքումներկայացված են առարկայի ուսումնական նյութի հիմնական դրույթները՝ պատկերված բավական մեծ թվով լուծված խնդիրներով։

IN օգուտներըՏրվում են ուսումնական նյութի անկախ ուսումնասիրության մեթոդական առաջարկություններ, կարևորվում են դասընթացի և բնորոշ առաջադրանքների կարևորագույն հասկացությունները, տրված են այս առարկայի ինքնաստուգման թեստային հարցեր, տնային թեստերի տարբերակներ, որոնք ուսանողը պետք է լրացնի, ինչպես նաև մեթոդական տրված են դրանց իրականացման հանձնարարականներ։

Համակարգչային ծրագիրնախագծված է ձեզ առավելագույն օգնություն ցուցաբերելու դասընթացը ռեժիմում յուրացնելու հարցում երկխոսությունծրագրեք աշակերտի հետ, որպեսզի առավելագույն չափով փոխհատուցեք ձեր դասարանում պատրաստվածության բացակայությունը և ուսուցչի հետ համապատասխան շփումը:

Հեռակա ուսուցման համակարգով սովորող ուսանողի համար առաջնային և որոշիչ նշանակություն ունի ինքնուրույն աշխատանքի կազմակերպում.

Երբ սկսում եք ուսումնասիրել այս առարկան, կարդացեք այս ակնարկ (ներածական) դասախոսությունը մինչև վերջ: Սա թույլ կտա ձեզ ընդհանուր պատկերացում կազմել «Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» դասընթացում կիրառվող հիմնական հասկացությունների և մեթոդների և VZFEI ուսանողների պատրաստվածության մակարդակի պահանջների մասին:

Յուրաքանչյուր թեմա ուսումնասիրելուց առաջ Կարդացեք ձեռնարկում այս թեմայի ուսումնասիրության ուղեցույցները:Այստեղ դուք կգտնեք այս թեմայի վերաբերյալ կրթական հարցերի ցանկը, որոնք դուք կուսումնասիրեք. պարզել, թե որ հասկացությունները, սահմանումները, թեորեմները, խնդիրներն են ամենակարևորը, որոնք նախ պետք է ուսումնասիրել և յուրացնել:

Այնուհետև անցեք ուսումնասիրությանը հիմնական ուսումնական նյութդասագրքի համաձայն՝ ստացված մեթոդական առաջարկություններին համապատասխան։ Խորհուրդ ենք տալիս առանձին նոթատետրում գրառումներ կատարել հիմնական սահմանումների, թեորեմների պնդումների, դրանց ապացույցների դիագրամների, բանաձևերի և բնորոշ խնդիրների լուծումների մասին։ Բանաձևերը ցանկալի է դուրս գրել դասընթացի յուրաքանչյուր մասի հատուկ աղյուսակներում՝ հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն: Նշումների, մասնավորապես բանաձևերի աղյուսակների կանոնավոր օգտագործումը նպաստում է դրանց մտապահմանը:

Դասագրքի յուրաքանչյուր թեմայի հիմնական ուսումնական նյութի վրա աշխատելուց հետո միայն կարող եք անցնել այս թեմայի ուսումնասիրությանը համակարգչային ուսուցման ծրագրի միջոցով (KOPR2):

Ուշադրություն դարձրեք յուրաքանչյուր թեմայի համակարգչային ծրագրի կառուցվածքին: Թեմայի անվանումից հետո դասագրքում կա թեմայի հիմնական ուսումնական հարցերի ցանկը՝ նշելով պարբերությունների և էջերի քանակը, որոնք պետք է ուսումնասիրվեն: (Հիշեք, որ այս հարցերի ցանկը յուրաքանչյուր թեմայի համար տրված է նաև ձեռնարկում):

Այնուհետև այս թեմայի վերաբերյալ տեղեկատու նյութը (կամ այս թեմայի առանձին պարբերություններում) տրվում է հակիրճ ձևով `հիմնական սահմանումներ, թեորեմներ, հատկություններ և բնութագրեր, բանաձևեր և այլն: Թեմա ուսումնասիրելիս կարող եք նաև էկրանին ցուցադրել տեղեկատու նյութի այն հատվածները (այս կամ նախորդ թեմաներով), որոնք անհրաժեշտ են տվյալ պահին։

Այնուհետև ձեզ առաջարկվում է ուսումնական նյութ և, իհարկե, ստանդարտ առաջադրանքներ ( օրինակներ),որի լուծումը դիտարկվում է ռեժիմում երկխոսությունծրագրեր ուսանողի հետ. Մի շարք օրինակների գործառույթները սահմանափակվում են աշակերտի ցանկությամբ էկրանին ճիշտ լուծման փուլերը ցուցադրելով: Միևնույն ժամանակ, օրինակների մեծ մասի վերանայման գործընթացում ձեզ տրվելու են այս կամ այն ​​բնույթի հարցեր: Որոշ հարցերի պատասխանները պետք է մուտքագրվեն ստեղնաշարի միջոցով: թվային պատասխան,ուրիշներին - ընտրել ճիշտ պատասխանը (կամ պատասխանները)մի քանի առաջարկներից։

Կախված ձեր մուտքագրած պատասխանից՝ ծրագիրը հաստատում է դրա ճիշտությունը կամ առաջարկում է անհրաժեշտ տեսական սկզբունքներ պարունակող հուշումը կարդալուց հետո կրկին փորձել տալ ճիշտ լուծումն ու պատասխանը։ Բազմաթիվ առաջադրանքներ ունեն լուծման փորձերի քանակի սահմանափակում (եթե այս սահմանը գերազանցվում է, ճիշտ լուծման առաջընթացը անպայմանորեն ցուցադրվում է էկրանին): Կան նաև օրինակներ, որոնցում ակնարկում պարունակվող տեղեկատվության քանակն ավելանում է, քանի որ պատասխանի անհաջող փորձերը կրկնվում են:

Ուսումնական նյութի տեսական դրույթներին և օրինակներին ծանոթանալուց հետո, որոնք տրվում են լուծման մանրամասն վերլուծությամբ, դուք պետք է կատարեք ինքնատիրապետման վարժություններ՝ յուրաքանչյուր թեմայի վերաբերյալ բնորոշ խնդիրների լուծման ձեր հմտությունները համախմբելու համար: Ինքնակառավարման առաջադրանքները պարունակում են նաև սովորողի հետ երկխոսության տարրեր: Լուծումն ավարտելուց հետո կարող եք նայել ճիշտ պատասխանը և համեմատել այն ձեր տվածի հետ։

Յուրաքանչյուր թեմայի շուրջ աշխատանքի վերջում դուք պետք է կատարեք հսկիչ առաջադրանքներ: Դրանց ճիշտ պատասխանները ձեզ չեն ցուցադրվում, և ձեր պատասխանները գրանցվում են համակարգչի կոշտ սկավառակի վրա՝ ուսուցիչ-խորհրդատուի (դաստիարակի) կողմից հետագա վերանայման համար:

1–7 թեմաներն ուսումնասիրելուց հետո դուք պետք է լրացնեք թիվ 3 տնային թեստը, իսկ 8–11 թեմաներն ուսումնասիրելուց հետո՝ թիվ 4 տնային թեստը։ Այս թեստերի տարբերակները տրված են ձեռնարկում (դրա էլեկտրոնային տարբերակում)։ Կատարվող տարբերակի համարը պետք է համապատասխանի ձեր անձնական ֆայլի համարի վերջին թվին (դասագիրք, ուսանողական քարտ): Յուրաքանչյուր թեստի համար դուք պետք է անցնեք հարցազրույց, որի ընթացքում պետք է դրսևորեք թեստի թեմայով խնդիրներ լուծելու ձեր ունակությունը և հիմնական հասկացությունների (սահմանումներ, թեորեմներ (առանց ապացույցների), բանաձևեր և այլն) իմացությունը: Կարգապահության ուսումնասիրությունն ավարտվում է դասընթացի քննությամբ։

Հավանականությունների տեսությունը մաթեմատիկական գիտություն է, որն ուսումնասիրում է պատահական երևույթների օրինաչափությունները։

Ուսումնասիրության համար առաջարկվող առարկան բաղկացած է երկու բաժիններից՝ «Հավանականությունների տեսություն» և «Մաթեմատիկական վիճակագրություն»:

Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն

1. ՏԵՍԱԿԱՆ ՄԱՍ

1 Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունների և հավանականության բաշխումների կոնվերգենցիան

Հավանականությունների տեսության մեջ պետք է գործ ունենալ պատահական փոփոխականների կոնվերգենցիայի տարբեր տեսակների հետ: Դիտարկենք կոնվերգենցիայի հետևյալ հիմնական տեսակները՝ ըստ հավանականության, հավանականությամբ մեկ, p կարգի միջոցով, ըստ բաշխման։

Թող,... լինեն պատահական փոփոխականներ, որոնք սահմանված են հավանականության որոշ տարածության վրա (, Ф, P):

Սահմանում 1. Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը, ... ասվում է, որ հավանականությամբ համընկնում է պատահական փոփոխականին (նշում:), եթե որևէ մեկը > 0-ի համար է:

Սահմանում 2. Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը, ... ասվում է, որ համընկնում է մեկ հավանականությամբ (գրեթե հաստատ, գրեթե ամենուր) պատահական փոփոխականին, եթե

դրանք. եթե ելքերի բազմությունը, որի համար ()-ը չի համընկնում ()-ին, հավանականությունը զրոյական է:

Կոնվերգենցիայի այս տեսակը նշվում է հետևյալ կերպ՝ , կամ, կամ։

Սահմանում 3. Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը ... կոչվում է p կարգի միջին-կոնվերգենտ, 0:< p < , если

Սահմանում 4. Պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը... ասվում է, որ բաշխման մեջ համընկնում է պատահական փոփոխականի (նշում:) եթե որևէ սահմանափակված շարունակական ֆունկցիայի համար

Պատահական փոփոխականների բաշխման մեջ կոնվերգենցիան սահմանվում է միայն դրանց բաշխման ֆունկցիաների կոնվերգենցիայի տեսանկյունից: Հետևաբար, իմաստ ունի խոսել այս տեսակի կոնվերգենցիայի մասին նույնիսկ այն դեպքում, երբ պատահական փոփոխականները նշված են հավանականության տարբեր տարածություններում:

Թեորեմ 1.

ա) (P-a.s.)-ի համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ ցանկացած > 0-ի համար

) () հաջորդականությունը հիմնարար է մեկ հավանականությամբ, եթե և միայն, եթե ցանկացած > 0-ի համար:

Ապացույց.

ա) Թող A = (: |- | ), A = A. Ապա

Հետևաբար, ա) հայտարարությունը հետևանքների հետևյալ շղթայի արդյունքն է.

P(:)= 0 P() = 0 = 0 P(A) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P() 0,

n 0, > 0.) Նշենք = (: ), = . Այնուհետև (: (()) հիմնարար չէ ) = և նույն կերպ, ինչպես a)-ում ցույց է տրվում, որ (: (()) հիմնարար չէ ) = 0 P( ) 0, n:

Թեորեմն ապացուցված է

Թեորեմ 2. (Կոշիի չափանիշ գրեթե որոշակի կոնվերգենցիայի համար)

Որպեսզի պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը () կոնվերգենտ լինի հավանականության մեկին (ինչ-որ պատահական փոփոխականի), անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն հիմնարար լինի հավանականության մեկին:

Ապացույց.

Եթե, ապա +

որից բխում է թեորեմի պայմանների անհրաժեշտությունը.

Հիմա թող հաջորդականությունը () հիմնարար լինի հավանականությամբ: Նշենք L = (: (()) ոչ հիմնարար): Այնուհետեւ բոլորի համար հաջորդականության համար () հիմնարար է, եւ ըստ թիվ հերթականության cauchy չափանիշի, () գոյություն ունի: դնենք

Այս սահմանված ֆունկցիան պատահական փոփոխական է և.

Թեորեմն ապացուցված է.

2 Բնութագրական ֆունկցիաների մեթոդ

Բնութագրական գործառույթների մեթոդը հավանականության տեսության վերլուծական ապարատի հիմնական գործիքներից մեկն է: Պատահական փոփոխականների հետ մեկտեղ (իրական արժեքներ վերցնելը), բնութագրական գործառույթների տեսությունը պահանջում է բարդ գնահատված պատահական փոփոխականների օգտագործում:

Պատահական փոփոխականներին վերաբերող սահմանումներից եւ ունեցվածքներից շատերը հեշտությամբ փոխանցվում են բարդ դեպքի: Այսպիսով, մաթեմատիկական սպասումը Մ ?բարդ արժեք ունեցող պատահական փոփոխական ?=?+?? համարվում է որոշակի, եթե որոշվեն մաթեմատիկական սպասումները ?նրանց ?. Այս դեպքում ըստ սահմանման ենթադրում ենք Մ ?= Մ ? + ?Մ ?. Պատահական տարրերի անկախության սահմանումից հետեւում է այդ բարդ քանակությամբ քանակությամբ ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2անկախ են, եթե եւ միայն այն դեպքում, եթե պատահական փոփոխականների զույգերը անկախ են ( ?1 , ?1) Եվ ( ?2 , ?2), կամ, որը նույնն է՝ անկախ ?-հանրահաշիվ Ֆ ?1, ?1 և Ֆ ?2, ?2.

Տարածության հետ մեկտեղ Լ 2իրական պատահական փոփոխականներ վերջավոր երկրորդ մոմենտով, մենք կարող ենք ներկայացնել Հիլբերտի տարածությունը բարդ արժեք ունեցող պատահական փոփոխականների ?=?+?? Մ-ի հետ | ?|2?|2= ?2+?2և սկալյար արտադրանքը ( ?1 , ?2)= Մ ?1?2¯ , Որտեղ ?2¯ - բարդ խոնարհված պատահական փոփոխական:

Հանրահաշվական գործողություններում Rn վեկտորները դիտվում են որպես հանրահաշվական սյունակներ,

Որպես տողերի վեկտորներ՝ a* - (a1,a2,…,an): Եթե ​​Rn , ապա դրանց սկալյար արտադրյալը (a,b) կհասկանա որպես մեծություն։ Պարզ է, որ

Եթե ​​aRn և R=||rij|| nхn կարգի մատրիցա է, ապա

Սահմանում 1. Թող F = F(x1,....,xn) - n-չափ բաշխման ֆունկցիա (, ()-ում): Նրա բնորոշ ֆունկցիան կոչվում է ֆունկցիա

Սահմանում 2 . Եթե? = (?1,…,?n) պատահական վեկտոր է, որը սահմանվում է հավանականության տարածության վրա՝ ներսում արժեքներով, ապա դրա բնորոշ ֆունկցիան կոչվում է ֆունկցիա։

որտեղ է F. = F?(х1,….,хn) - վեկտորի բաշխման ֆունկցիա?=(?1,…, ?n):

Եթե ​​F(x) բաշխման ֆունկցիան ունի f = f(x), ապա

Այս դեպքում բնորոշ ֆունկցիան ոչ այլ ինչ է, քան f(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի փոխակերպումը։

(3)-ից հետևում է, որ պատահական վեկտորի ??(t) ֆունկցիան կարող է սահմանվել նաև հավասարությամբ.

Բնութագրական ֆունկցիաների հիմնական հատկությունները (n=1 դեպքում).

Թող լինի? = ?(?) - պատահական փոփոխական, F? =F? (x) նրա բաշխման ֆունկցիան է և բնորոշ ֆունկցիան։

Հարկ է նշել, որ եթե, ապա.

Իսկապես,

որտեղ մենք օգտվեցինք այն հանգամանքից, որ անկախ (սահմանափակ) պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին։

Հատկությունը (6) առանցքային է անկախ պատահական փոփոխականների գումարների սահմանային թեորեմներն ապացուցելիս բնորոշ ֆունկցիաների մեթոդով։ Այս առումով բաշխման ֆունկցիան արտահայտվում է առանձին տերմինների բաշխման ֆունկցիաների միջոցով շատ ավելի բարդ ձևով, մասնավորապես, որտեղ * նշանը նշանակում է բաշխումների միաձուլում:

Յուրաքանչյուր բաշխման ֆունկցիա կարող է կապված լինել պատահական փոփոխականի հետ, որն ունի այս ֆունկցիան որպես իր բաշխման ֆունկցիա: Հետևաբար, բնութագրական ֆունկցիաների հատկությունները ներկայացնելիս մենք կարող ենք սահմանափակվել պատահական փոփոխականների բնորոշ գործառույթները դիտարկելով։

Թեորեմ 1.Թող լինի? - F=F(x) բաշխման ֆունկցիայով պատահական փոփոխական և - նրա բնորոշ ֆունկցիան:

Տեղի են ունենում հետևյալ հատկությունները.

) միատեսակ շարունակական է.

) իրական արժեք ունեցող ֆունկցիա է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե F-ի բաշխումը սիմետրիկ է

)եթե որոշ n? 1, ապա բոլորի համար կան ածանցյալներ և

)Եթե գոյություն ունի և վերջավոր է, ապա

) Թող բոլորի համար n ? 1 և

ապա բոլորի համար |t|

Հետևյալ թեորեմը ցույց է տալիս, որ բնորոշ ֆունկցիան եզակիորեն որոշում է բաշխման ֆունկցիան։

Թեորեմ 2 (եզակիություն). Թող F և G երկու բաշխման ֆունկցիաներ լինեն, որոնք ունեն նույն բնորոշ ֆունկցիան, այսինքն՝ բոլորի համար

Թեորեմն ասում է, որ F = F(x) բաշխման ֆունկցիան կարող է եզակի կերպով վերականգնվել իր բնորոշ ֆունկցիայից։ Հետևյալ թեորեմը տալիս է F ֆունկցիայի բացահայտ ներկայացում առումներով.

Թեորեմ 3 (ընդհանրացման բանաձև). Թող F = F(x) լինի բաշխման ֆունկցիան և լինի նրա բնորոշ ֆունկցիան։

ա) Ցանկացած երկու կետերի համար a, b (a< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) Եթե F(x) բաշխման ֆունկցիան ունի f(x) խտություն,

Թեորեմ 4. Որպեսզի պատահական վեկտորի բաղադրիչներն անկախ լինեն, անհրաժեշտ է և բավարար, որ նրա բնորոշ ֆունկցիան լինի բաղադրիչների բնորոշ ֆունկցիաների արտադրյալը.

Բոխներ-Խինչին թեորեմ . Թող լինի շարունակական ֆունկցիա։ Որպեսզի այն բնութագրվի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն լինի ոչ բացասական որոշիչ, այսինքն՝ ցանկացած իրական t1, ... , tn և ցանկացած բարդ թվերի համար։

Թեորեմ 5. Թող լինի պատահական փոփոխականի բնորոշ ֆունկցիա:

ա) Եթե ոմանց համար, ապա պատահական փոփոխականը վանդակավոր է քայլով, այսինքն

) Եթե երկու տարբեր կետերի համար որտե՞ղ է իռացիոնալ թիվը, ապա դա պատահական փոփոխակա՞ն է: այլասերված է.

որտեղ a-ն որոշակի հաստատուն է:

գ) Եթե, ուրեմն դա պատահական փոփոխական է: այլասերված.

1.3 Կենտրոնական սահմանային թեորեմ անկախ նույնական բաշխված պատահական փոփոխականների համար

Թող () լինի անկախ, նույնականորեն բաշխված պատահական փոփոխականների հաջորդականություն: Ակնկալիքը M= a, շեղումը D= , S = , և Ф(х) նորմալ օրենքի բաշխման ֆունկցիան է (0,1): Ներկայացնենք պատահական փոփոխականների հերթական հաջորդականությունը

Թեորեմ. Եթե ​​0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

Այս դեպքում () հաջորդականությունը կոչվում է ասիմպտոտիկ նորմալ:

Այն փաստից, որ M = 1 և շարունակականության թեորեմներից հետևում է, որ թույլ կոնվերգենցիայի հետ մեկտեղ FM f() Mf() ցանկացած շարունակական սահմանափակ f-ի համար, կա նաև կոնվերգենցիա M f() Mf() ցանկացած շարունակական f-ի համար: , այնպիսին, որ |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

Ապացույց.

Միատեսակ կոնվերգենցիան այստեղ Ֆ(x) թույլ կոնվերգենցիայի և շարունակականության հետևանք է։ Ավելին, առանց ընդհանրության կորստի, մենք կարող ենք ենթադրել a = 0, քանի որ հակառակ դեպքում մենք կարող էինք դիտարկել հաջորդականությունը (), իսկ հաջորդականությունը () չէր փոխվի: Հետևաբար, պահանջվող կոնվերգենցիան ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ (t) e երբ a = 0: Մենք ունենք.

(t) = , որտեղ =(t):

Քանի որ M գոյություն ունի, ուրեմն տարրալուծումը գոյություն ունի և վավեր է

Հետեւաբար, համար n

Թեորեմն ապացուցված է.

1.4 Մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական խնդիրները, դրանց համառոտ նկարագրությունը

Զանգվածային պատահական երևույթները կառավարող օրինաչափությունների հաստատումը հիմնված է վիճակագրական տվյալների՝ դիտարկումների արդյունքների ուսումնասիրության վրա։ Մաթեմատիկական վիճակագրության առաջին խնդիրն է ցույց տալ վիճակագրական տեղեկատվության հավաքագրման և խմբավորման ուղիները: Մաթեմատիկական վիճակագրության երկրորդ խնդիրը վիճակագրական տվյալների վերլուծության մեթոդների մշակումն է՝ կախված ուսումնասիրության նպատակներից։

Մաթեմատիկական վիճակագրության ցանկացած խնդիր լուծելիս կա տեղեկատվության երկու աղբյուր. Առաջին և ամենաորոշը (բացահայտը) դիտարկումների (փորձի) արդյունքն է սկալյար կամ վեկտորային պատահական փոփոխականի որոշ ընդհանուր պոպուլյացիայի նմուշի տեսքով: Այս դեպքում նմուշի չափը n կարող է ամրագրվել կամ այն ​​կարող է աճել փորձի ընթացքում (այսինքն՝ կարելի է օգտագործել այսպես կոչված հաջորդական վիճակագրական վերլուծության ընթացակարգերը):

Երկրորդ աղբյուրը ամբողջը a priori տեղեկատվություն է ուսումնասիրվող օբյեկտի հետաքրքրության հատկությունների մասին, որոնք կուտակվել են մինչև ներկա պահը: Ֆորմալ կերպով, a priori տեղեկատվության քանակն արտացոլվում է նախնական վիճակագրական մոդելում, որն ընտրվում է խնդիրը լուծելիս: Այնուամենայնիվ, փորձերի արդյունքների վրա հիմնված իրադարձության հավանականության սովորական իմաստով մոտավոր որոշման մասին խոսելն ավելորդ է։ Ցանկացած քանակի մոտավոր որոշում ասելով սովորաբար ենթադրվում է, որ հնարավոր է նշել սխալի սահմանները, որոնց սահմաններում սխալ տեղի չի ունենա: Իրադարձության հաճախականությունը պատահական է ցանկացած թվով փորձերի համար՝ պայմանավորված առանձին փորձերի արդյունքների պատահականությամբ: Անհատական ​​փորձերի արդյունքների պատահականության պատճառով հաճախականությունը կարող է զգալիորեն շեղվել իրադարձության հավանականությունից: Հետևաբար, սահմանելով իրադարձության անհայտ հավանականությունը որպես այս իրադարձության հաճախականություն մեծ թվով փորձերի ընթացքում, մենք չենք կարող նշել սխալի սահմանները և երաշխավորել, որ սխալը չի ​​գերազանցի այդ սահմանները: Հետևաբար, մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ մենք սովորաբար խոսում ենք ոչ թե անհայտ մեծությունների մոտավոր արժեքների, այլ դրանց հարմար արժեքների, գնահատումների մասին:

Անհայտ պարամետրերի գնահատման խնդիրն առաջանում է այն դեպքերում, երբ բնակչության բաշխման ֆունկցիան հայտնի է մինչև պարամետր: Այս դեպքում անհրաժեշտ է գտնել մի վիճակագրություն, որի նմուշի արժեքը պատահական նմուշի xn-ի դիտարկված իրականացման համար կարող է դիտարկվել որպես պարամետրի մոտավոր արժեք: Վիճակագրությունը, որի նմուշային արժեքը xn կատարման համար ընդունվում է որպես անհայտ պարամետրի մոտավոր արժեք, կոչվում է կետային գնահատում կամ պարզապես գնահատում և հանդիսանում է կետային գնահատման արժեք: Կետային գնահատականը պետք է բավարարի շատ հատուկ պահանջներ, որպեսզի դրա նմուշի արժեքը համապատասխանի պարամետրի իրական արժեքին:

Հնարավոր է նաև քննարկվող խնդրի լուծման մեկ այլ մոտեցում՝ գտնել նման վիճակագրություն և, ամենայն հավանականությամբ. գործում է հետևյալ անհավասարությունը.

Այս դեպքում մենք խոսում ենք ինտերվալների գնահատման մասին: Ինտերվալ

կոչվում է վստահության ինտերվալ համար վստահության գործակցի հետ:

Փորձերի արդյունքների հիման վրա գնահատելով այս կամ այն ​​վիճակագրական բնութագիրը՝ հարց է առաջանում՝ որքանո՞վ է համահունչ այն ենթադրությունը (վարկածը), որ անհայտ բնութագիրը ունի հենց այն արժեքը, որը ստացվել է դրա գնահատման արդյունքում փորձարարական տվյալների հետ: Ահա թե ինչպես է առաջանում մաթեմատիկական վիճակագրության խնդիրների երկրորդ կարևոր դասը՝ վարկածների փորձարկման խնդիրները։

Ինչ-որ իմաստով, վիճակագրական վարկածի փորձարկման խնդիրը պարամետրերի գնահատման խնդրի հակադարձն է: Պարամետրը գնահատելիս մենք ոչինչ չգիտենք դրա իրական արժեքի մասին: Վիճակագրական վարկածը ստուգելիս ինչ-ինչ պատճառներով ենթադրվում է, որ դրա արժեքը հայտնի է, և անհրաժեշտ է ստուգել այդ ենթադրությունը՝ հիմնվելով փորձի արդյունքների վրա:

Մաթ.

Այսպիսով, մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական խնդիրներն են գնահատումներ գտնելու և գնահատվող բնութագրերին դրանց մոտարկման ճշգրտության ուսումնասիրման մեթոդների մշակումը և վարկածների փորձարկման մեթոդների մշակումը:

5 Վիճակագրական վարկածների ստուգում. հիմնական հասկացություններ

Վիճակագրական վարկածների փորձարկման ռացիոնալ մեթոդների մշակման խնդիրը մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական խնդիրներից է։ Վիճակագրական վարկածը (կամ պարզապես հիպոթեզը) ցանկացած հայտարարություն է պատահական փոփոխականների բաշխման տեսակի կամ հատկությունների մասին, որոնք դիտվում են փորձի ժամանակ։

Թող լինի մի նմուշ, որը պատահական նմուշի իրականացում է ընդհանուր բնակչությանից, որի բաշխման խտությունը կախված է անհայտ պարամետրից:

Պարամետրի անհայտ իրական արժեքի վերաբերյալ վիճակագրական վարկածները կոչվում են պարամետրային հիպոթեզներ: Ընդ որում, եթե սկալյար է, ապա խոսքը մեկ պարամետրային վարկածների մասին է, իսկ եթե վեկտոր է, ապա խոսքը բազմապարամետր հիպոթեզների մասին է։

Վիճակագրական վարկածը կոչվում է պարզ, եթե այն ունի ձև

որտեղ է որոշ սահմանված պարամետրի արժեք:

Վիճակագրական վարկածը կոչվում է բարդ, եթե այն ունի ձև

որտեղ կա մեկից ավելի տարրից բաղկացած պարամետրերի արժեքների մի շարք:

Ձևի երկու պարզ վիճակագրական վարկածների փորձարկման դեպքում

որտեղ պարամետրի երկու տրված (տարբեր) արժեքներ են, առաջին վարկածը սովորաբար կոչվում է հիմնական, իսկ երկրորդը կոչվում է այլընտրանքային կամ մրցակցող հիպոթեզ:

Հիպոթեզների փորձարկման չափանիշը կամ վիճակագրական չափանիշը այն կանոնն է, որով ընտրանքային տվյալների հիման վրա որոշում է կայացվում առաջին կամ երկրորդ վարկածի վավերականության մասին:

Չափանիշը սահմանվում է կրիտիկական բազմության միջոցով, որը պատահական նմուշի ընտրանքային տարածության ենթաբազմություն է: Որոշումն ընդունվում է հետևյալ կերպ.

) եթե նմուշը պատկանում է կրիտիկական բազմությանը, ապա մերժիր հիմնական վարկածը և ընդունիր այլընտրանքային վարկածը.

) եթե նմուշը չի պատկանում կրիտիկական բազմությանը (այսինքն՝ այն պատկանում է նմուշի տարածության բազմության լրացմանը), ապա այլընտրանքային վարկածը մերժվում է և հիմնական վարկածն ընդունվում։

Ցանկացած չափանիշ օգտագործելիս հնարավոր են սխալների հետևյալ տեսակները.

1) ընդունել վարկածը, երբ այն ճիշտ է` առաջին տեսակի սխալ.

) վարկածի ընդունումը, երբ այն ճիշտ է, երկրորդ տիպի սխալ է:

Առաջին և երկրորդ տիպի սխալներ թույլ տալու հավանականությունը նշվում է հետևյալով.

որտեղ է իրադարձության հավանականությունը՝ պայմանով, որ վարկածը ճիշտ է: Նշված հավանականությունները հաշվարկվում են՝ օգտագործելով պատահական ընտրանքի բաշխման խտության ֆունկցիան.

I տիպի սխալ թույլ տալու հավանականությունը կոչվում է նաև չափանիշի նշանակության մակարդակ։

Այն արժեքը, որը հավասար է հիմնական վարկածը ճիշտ լինելու դեպքում մերժելու հավանականությանը, կոչվում է թեստի ուժ։

1.6 Անկախության չափանիշ

Երկչափ բաշխումից կա նմուշ ((XY), ..., (XY)):

L-ն անհայտ բաշխման ֆունկցիայով, որի համար անհրաժեշտ է ստուգել H: , որտեղ կան միաչափ բաշխման ֆունկցիաներ:

Մեթոդաբանության հիման վրա կարելի է կառուցել H վարկածի համար հարմարության պարզ թեստ: Այս տեխնիկան օգտագործվում է վերջավոր թվով արդյունքներով դիսկրետ մոդելների համար, ուստի մենք համաձայն ենք, որ պատահական փոփոխականը վերցնում է որոշ արժեքների վերջավոր թվեր s, որոնք մենք կնշենք տառերով, իսկ երկրորդ բաղադրիչը՝ k արժեքներ։ Եթե ​​սկզբնական մոդելն ունի այլ կառուցվածք, ապա պատահական փոփոխականների հնարավոր արժեքները նախապես խմբավորվում են առանձին՝ առաջին և երկրորդ բաղադրիչների մեջ: Այս դեպքում բազմությունը բաժանվում է s միջակայքերի, արժեքը սահմանվում է k ընդմիջումներով, իսկ արժեքը սահմանվում է N=sk ուղղանկյունների։

Նշենք զույգի դիտումների քանակով (ուղղանկյունին պատկանող նմուշի տարրերի քանակով, եթե տվյալները խմբավորված են), այնպես որ. Դիտարկման արդյունքները հարմար է կազմակերպել երկու նշաններից բաղկացած պատահական աղյուսակի տեսքով (Աղյուսակ 1.1): Ծրագրերում և սովորաբար նշանակում է երկու չափանիշ, որոնցով դասակարգվում են դիտարկման արդյունքները:

Թող P, i=1,…,s, j=1,…,k. Այնուհետև անկախության վարկածը նշանակում է, որ կան s+k հաստատուններ այնպիսին, որ և, այսինքն.

Աղյուսակ 1.1

Գումար . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .Գումար . . .n

Այսպիսով, H վարկածը հանգում է այն պնդմանը, որ հաճախականությունները (դրանց թիվը N = sk) բաշխվում են բազմանդամ օրենքի համաձայն՝ նշված կոնկրետ կառուցվածք ունեցող արդյունքների հավանականությամբ (արդյունքների հավանականությունների վեկտորը որոշվում է արժեքներով։ r = s + k-2 անհայտ պարամետրերի.

Այս վարկածը ստուգելու համար մենք կգտնենք առավելագույն հավանականության գնահատումներ անհայտ պարամետրերի համար, որոնք որոշում են դիտարկվող սխեման: Եթե ​​զրոյական վարկածը ճշմարիտ է, ապա հավանականության ֆունկցիան ունի L(p)= ձև, որտեղ c բազմապատկիչը կախված չէ անհայտ պարամետրերից: Այստեղից, օգտագործելով անորոշ բազմապատկիչների Լագրանժի մեթոդը, մենք ստանում ենք, որ պահանջվող գնահատումները ունեն ձև.

Հետեւաբար, վիճակագրություն

L() at, քանի որ սահմանային բաշխման մեջ ազատության աստիճանների թիվը հավասար է N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1):

Այսպիսով, բավականաչափ մեծ n-ի համար կարող է օգտագործվել հիպոթեզի փորձարկման հետևյալ կանոնը. H վարկածը մերժվում է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե փաստացի տվյալներից հաշվարկված t վիճակագրական արժեքը բավարարում է անհավասարությունը:

Այս չափանիշն ունի ասիմպտոտիկ (at) նշանակության մակարդակ և կոչվում է անկախության չափանիշ։

2. ԳՈՐԾՆԱԿԱՆ ՄԱՍ

1 Կոնվերգենցիայի տեսակների վերաբերյալ խնդիրների լուծումներ

1. Ապացուցեք, որ մերձեցումը գրեթե անկասկած ենթադրում է հավանականության մերձեցում: Ներկայացրեք թեստային օրինակ՝ ցույց տալու համար, որ հակառակը ճիշտ չէ:

Լուծում. Թող պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը համընկնի պատահական x փոփոխականի հետ գրեթե հաստատ: Այսպիսով, ինչ-որ մեկի համար: > 0

Այդ ժամանակվանից

և xn-ի x-ի կոնվերգենցիայից գրեթե անկասկած հետևում է, որ xn-ը հակված է xn-ին հավանականությամբ, քանի որ այս դեպքում.

Բայց հակառակ պնդումը ճիշտ չէ։ Թող լինի անկախ պատահական փոփոխականների հաջորդականություն, որոնք ունեն նույն բաշխման ֆունկցիան F(x), որը հավասար է x-ի զրոյի: 0 և հավասար x > 0-ի համար: Դիտարկենք հաջորդականությունը

Այս հաջորդականությունը հակված է զրոյի, քանի որ

հակված է զրոյի ցանկացած ֆիքսված. Եվ. Այնուամենայնիվ, զրոյի մերձեցում գրեթե անկասկած տեղի չի ունենա: Իսկապես

հակված է միասնության, այսինքն՝ ցանկացածի և n-ի համար 1 հավանականության դեպքում կլինեն ?-ն գերազանցող հաջորդականությամբ իրականացումներ։

Նկատի ունեցեք, որ xn մեծությունների վրա դրված որոշ լրացուցիչ պայմանների առկայության դեպքում, հավանականության կոնվերգենցիան գրեթե անկասկած ենթադրում է կոնվերգենցիա:

Թող xn-ը լինի միատոն հաջորդականություն: Ապացուցեք, որ այս դեպքում xn-ի x-ի զուգակցումը հավանականության մեջ հանգեցնում է xn-ի x-ի կոնվերգենցիան 1-ի հավանականությամբ:

Լուծում. Թող xn-ը լինի միապաղաղ նվազող հաջորդականություն, այսինքն. Մեր պատճառաբանությունը պարզեցնելու համար մենք կենթադրենք, որ x º 0, xn ³ 0 բոլոր n-ի համար: Թող xn-ը հավանականության մեջ համընկնի x-ին, բայց կոնվերգենցիան գրեթե հաստատ տեղի չի ունենում: Այդ դեպքում այն ​​գոյություն ունի՞: > 0, այնպիսին, որ բոլոր n-ի համար

Բայց ասվածը նաև նշանակում է, որ բոլոր ն

որը հակասում է xn-ի x-ի հակման հավանականությանը: Այսպիսով, xn միապաղաղ հաջորդականության համար, որը հակված է x-ին, հակված է նաև 1-ին (գրեթե հաստատ):

Թող xn հաջորդականությունը հակված լինի x-ին: Ապացուցեք, որ այս հաջորդականությունից հնարավոր է առանձնացնել մի հաջորդականություն, որը համընկնում է x-ին՝ 1 at հավանականությամբ:

Լուծում. Թող լինեն դրական թվերի ինչ-որ հաջորդականություն, և թող և լինեն այնպիսի դրական թվեր, որ շարքը: Կառուցենք n1 ինդեքսների հաջորդականություն

Հետո շարքը

Քանի որ շարքը համընկնում է, ապա որևէ մեկի համար: > 0 շարքի մնացորդը ձգտում է զրոյի: Բայց հետո այն ձգտում է զրոյի և

Ապացուցեք, որ ցանկացած դրական կարգի միջինում կոնվերգենցիան ենթադրում է հավանականության մերձեցում: Բերեք օրինակ՝ ցույց տալու համար, որ հակառակը ճիշտ չէ:

Լուծում. Թող xn հաջորդականությունը համընկնի x արժեքի միջինում p > 0 կարգի, այսինքն

Եկեք օգտագործենք ընդհանրացված Չեբիշևյան անհավասարությունը. > 0 և p > 0

Ուղղորդելով և հաշվի առնելով դա՝ մենք ստանում ենք դա

այսինքն, xn-ը հակված է x-ին հավանականությամբ:

Այնուամենայնիվ, հավանականության կոնվերգենցիան չի ենթադրում կոնվերգենցիա p > 0 կարգի միջինում: Սա պատկերված է հետևյալ օրինակով: Դիտարկենք հավանականության տարածությունը áW, F, Rñ, որտեղ F = B-ը Բորելի s-հանրահաշիվն է, R-ը Լեբեգի չափն է:

Եկեք սահմանենք պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը հետևյալ կերպ.

xn հաջորդականությունը հավանականությամբ զուգակցվում է 0-ի, քանի որ

բայց ցանկացած p> 0-ի համար

այսինքն՝ միջինում չի զուգակցվի։

Թող, ինչ բոլորի համար n . Ապացուցեք, որ այս դեպքում xn-ը համընկնում է x-ի միջին քառակուսու վրա:

Լուծում. Նշենք, որ... Եկեք գնահատենք դրա համար: Դիտարկենք պատահական փոփոխական: Թող լինի? - կամայական դրական թիվ. Այնուհետև ժամը և ժամը:

Եթե, ապա և. Հետևաբար, . Իսկ որովհետև? կամայականորեն փոքր և, այնուհետև ժամը, այսինքն՝ միջին քառակուսու վրա:

Ապացուցեք, որ եթե xn-ը հակված է x-ին, ապա տեղի է ունենում թույլ կոնվերգենցիա: Ներկայացրեք թեստային օրինակ՝ ցույց տալու համար, որ հակառակը ճիշտ չէ:

Լուծում. Ապացուցենք, որ եթե, ապա յուրաքանչյուր x կետում, որը շարունակականության կետ է (սա անհրաժեշտ և բավարար պայման է թույլ կոնվերգենցիայի համար), xn արժեքի բաշխման ֆունկցիան է, իսկ - x-ի արժեքը։

Թող x լինի F ֆունկցիայի շարունակականության կետ։ Եթե, ապա անհավասարություններից գոնե մեկը ճիշտ է։ Հետո

Նմանապես, անհավասարություններից առնվազն մեկի համար կամ և

Եթե, ապա այնքան փոքրի համար, որքան ցանկանում եք: > 0 կա ​​N այնպիսին, որ բոլորի համար n > N

Մյուս կողմից, եթե x-ը շարունակականության կետ է, հնարավո՞ր է նման բան գտնել: > 0, որը կամայականորեն փոքր է

Այսպիսով, այնքան փոքրի համար, որքան ցանկանում եք: և կա N այնպիսին, որ n >N-ի համար

կամ, ինչ է նույնը,

Սա նշանակում է, որ կոնվերգենցիան և տեղի է ունենում շարունակականության բոլոր կետերում: Հետևաբար, հավանականության մերձեցումից հետևում է թույլ կոնվերգենցիա:

Հակառակ հայտարարությունը, ընդհանուր առմամբ, չի համապատասխանում: Սա ստուգելու համար վերցնենք պատահական փոփոխականների հաջորդականություն, որոնք հավասար չեն 1 հավանականությամբ հաստատուններին և ունեն նույն բաշխման ֆունկցիան F(x): Մենք ենթադրում ենք, որ բոլոր n քանակությունների համար և անկախ են: Ակնհայտ է, որ տեղի է ունենում թույլ կոնվերգենցիա, քանի որ հաջորդականության բոլոր անդամներն ունեն նույն բաշխման ֆունկցիան։ Հաշվի առեք.

|արժեքների անկախությունից ու նույնական բաշխումից բխում է, որ

Եկեք ընտրենք ոչ այլասերված պատահական փոփոխականների բաշխման բոլոր ֆունկցիաներից այնպիսի F(x), որը կլինի ոչ զրոյական բոլոր բավական փոքր ?-ների համար: Այնուհետև այն չի հակվում զրոյի n-ի անսահմանափակ աճով և հավանականության կոնվերգենցիան տեղի չի ունենա:

7. Թող լինի թույլ կոնվերգենցիա, որտեղ 1 հավանականության դեպքում կա հաստատուն։ Ապացուցեք, որ այս դեպքում այն ​​կհամընկնի հավանականության վրա:

Լուծում. Թող հավանականությունը 1 հավասար լինի a-ի: Այնուհետև թույլ կոնվերգենցիան նշանակում է մերձեցում ցանկացածի համար: Քանի որ, հետո ժամը և ժամը: Այսինքն՝ ժամը և ժամը։ Հետևում է, որ որևէ մեկի համար? > 0 հավանականություն

հակված են զրոյի: Դա նշանակում է որ

ձգտում է դեպի զրոյի ժամը, այսինքն՝ համընկնում է հավանականության վրա:

2.2 Կենտրոնական ջեռուցման կենտրոնի խնդիրների լուծում

Գ(x) գամմա ֆունկցիայի արժեքը x=-ում հաշվարկվում է Մոնտե Կառլոյի մեթոդով։ Եկեք գտնենք անհրաժեշտ թեստերի նվազագույն քանակը, որպեսզի 0,95 հավանականությամբ ակնկալենք, որ հաշվարկների հարաբերական սխալը կլինի մեկ տոկոսից պակաս:

Մինչև ճշգրտության մենք ունենք

Հայտնի է, որ

Փոփոխություն կատարելով (1-ում)՝ վերջավոր միջակայքում հասնում ենք ինտեգրալին.

Հետևաբար մեզ հետ

Ինչպես երևում է, այն կարող է ներկայացվել այն տեսքով, որտեղ և բաշխված է միատեսակ վրա։ Թող վիճակագրական թեստեր կատարվեն։ Այնուհետև վիճակագրական անալոգը քանակն է

որտեղ, անկախ պատահական փոփոխականներ են՝ միատեսակ բաշխմամբ: Որտեղ

CLT-ից հետևում է, որ այն ասիմպտոտիկ նորմալ է պարամետրերի հետ:

Սա նշանակում է, որ հաշվարկի հարաբերական սխալը ամենայն հավանականությամբ ապահովող թեստերի նվազագույն թիվը հավասար չէ:

Մենք դիտարկում ենք 2000 անկախ նույնականորեն բաշխված պատահական փոփոխականների հաջորդականություն՝ 4 մաթեմատիկական ակնկալիքով և 1.8 շեղումով: Այս մեծությունների միջին թվաբանականը պատահական փոփոխական է։ Որոշեք այն հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք կընդունի միջակայքում (3.94; 4.12):

Թող, …,… լինի անկախ պատահական փոփոխականների հաջորդականություն, որոնք ունեն նույն բաշխումը M=a=4 և D==1.8-ով: Այնուհետև CLT-ն կիրառելի է (): Պատահական արժեք

Հավանականությունը, որ այն արժեք կընդունի միջակայքում ():

n=2000, 3.94 և 4.12 համար մենք ստանում ենք

3 Հիպոթեզների ստուգում անկախության չափանիշի միջոցով

Հետազոտության արդյունքում պարզվել է, որ 782 բաց աչքերով հայրեր ունեն նաև բաց աչքերով տղաներ, իսկ 89 բաց աչքերով հայրեր՝ մուգ աչքերով։ 50 մուգ աչքերով հայրեր ունեն նաև մուգ աչքերով որդիներ, իսկ 79 մուգ աչքերով հայրեր՝ բաց աչքերով որդիներ։ Արդյո՞ք կապ կա հայրերի և նրանց որդիների աչքերի գույնի միջև: Վերցրեք վստահության մակարդակը 0,99:

Աղյուսակ 2.1

ԵրեխաներՀայրերԳումարԼուսավոր աչքերովՄուգ աչքերովԼուսավոր աչքեր78279861Մուգ աչքեր8950139Sum8711291000

Հ. Երեխաների և հայրերի աչքերի գույնի միջև կապ չկա:

Հ.- Երեխաների և հայրերի աչքերի գույնի միջև կապ կա:

s=k=2 =90.6052 ազատության 1 աստիճանով

Հաշվարկները կատարվել են Mathematica 6-ում։

Քանի որ > , ապա Հ-ի վարկածը՝ հայրերի և երեխաների աչքի գույնի միջև կապի բացակայության մասին, նշանակալիության մակարդակով, պետք է մերժել և ընդունել այլընտրանքային Հ վարկածը։

Նշվում է, որ դեղամիջոցի ազդեցությունը կախված է կիրառման եղանակից։ Ստուգեք այս հայտարարությունը օգտագործելով աղյուսակում ներկայացված տվյալները: 2.2 Վերցրեք վստահության մակարդակը 0.95:

Աղյուսակ 2.2

Արդյունք Կիրառման մեթոդ ABC Անբարենպաստ 111716 Բարենպաստ 202319

Լուծում.

Այս խնդիրը լուծելու համար մենք կօգտագործենք երկու բնութագրերից բաղկացած պատահական աղյուսակ:

Աղյուսակ 2.3

Արդյունք Կիրառման մեթոդ Գումարը ABC Անբարենպաստ 11171644 Բարենպաստ 20231962 Գումար 314035106

H. դեղերի ազդեցությունը կախված չէ ընդունման եղանակից

H. դեղերի ազդեցությունը կախված է կիրառման եղանակից

Վիճակագրությունը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով

s=2, k=3, =0.734626 ազատության 2 աստիճանով:

Mathematica 6-ում կատարված հաշվարկներ

Բաշխման աղյուսակներից մենք գտնում ենք, որ.

Քանի որ< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

Եզրակացություն

Այս աշխատանքում ներկայացված են տեսական հաշվարկներ «Անկախության չափանիշ» բաժնից, ինչպես նաև «Հավանականությունների տեսության սահմանային թեորեմներ», «Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» դասընթացից։ Աշխատանքի ընթացքում անկախության չափանիշը փորձարկվել է գործնականում. Նաև անկախ պատահական փոփոխականների տրված հաջորդականությունների համար ստուգվել է կենտրոնական սահմանային թեորեմի կատարումը։

Այս աշխատանքը օգնեց բարելավել իմ գիտելիքները հավանականությունների տեսության այս բաժինների վերաբերյալ, աշխատել գրական աղբյուրների հետ և ամուր տիրապետել անկախության չափանիշը ստուգելու տեխնիկային:

հավանականության վիճակագրական վարկածի թեորեմ

Հղումների ցանկ

1. Հավանականությունների տեսությունից խնդիրների ժողովածու՝ լուծումներով։ Ուխ. նպաստ / Էդ. Վ.Վ. Սեմենեցներ. - Խարկով: ԽՏՈՒՐԵ, 2000. - 320 էջ.

Գիխման Ի.Ի., Սկորոխոդ Ա.Վ., Յադրենկո Մ.Ի. Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն. - Կ.: Վիշչայի դպրոց, 1979. - 408 էջ.

Իվչենկո Գ.Ի., Մեդվեդև Յու.Ի., Մաթեմատիկական վիճակագրություն. Դասագիրք. նպաստ քոլեջների համար. - Մ.: Ավելի բարձր: դպրոց, 1984. - 248 էջ, .

Մաթեմատիկական վիճակագրություն. Դասագիրք. համալսարանների համար / V.B. Գորյայնով, Ի.Վ. Պավլովը, Գ.Մ. Ցվետկովան և ուրիշներ; Էդ. Վ.Ս. Զարուբինա, Ա.Պ. Կրիշչենկո. - Մ.: ՀՊՏՀ իմ. Ն.Է. Bauman, 2001. - 424 p.

կրկնուսուցում

Օգնության կարիք ունե՞ք թեման ուսումնասիրելու համար:

Մեր մասնագետները խորհուրդ կտան կամ կտրամադրեն կրկնուսուցման ծառայություններ ձեզ հետաքրքրող թեմաներով:
Ներկայացրե՛ք Ձեր դիմումընշելով թեման հենց հիմա՝ խորհրդատվություն ստանալու հնարավորության մասին պարզելու համար: