Գրեք սահմանաչափի սահմանումը: Սահմանները մաթեմատիկայի մեջ խաբեբաների համար՝ բացատրություն, տեսություն, լուծումների օրինակներ

(x) x կետում 0 :
,
Եթե
1) կա x կետի նման ծակված հարևանություն 0
2) ցանկացած հաջորդականության համար (xn), համընկնում է x-ին 0 :
, որի տարրերը պատկանում են հարևանությանը,
հաջորդականություն (f(xn))համընկնում է մի.
.

Այստեղ x 0 իսկ a-ն կարող է լինել կամ վերջավոր թվեր կամ կետեր անսահմանության վրա: Հարեւանությունը կարող է լինել ինչպես երկկողմանի, այնպես էլ միակողմանի:

.

Ֆունկցիայի սահմանի երկրորդ սահմանումը (ըստ Քոշիի)

a թիվը կոչվում է f ֆունկցիայի սահման (x) x կետում 0 :
,
Եթե
1) կա x կետի նման ծակված հարևանություն 0 , որի վրա սահմանված է ֆունկցիան;
2) ցանկացած դրական թվի համար > 0 կա այդպիսի դ ε > 0 , կախված ε-ից, որ բոլոր x-ի համար, որոնք պատկանում են ծակված δ ε - x կետի հարևանությամբ 0 :
,
ֆունկցիայի արժեքները f (x)պատկանում են ա կետի ε-հարևանությանը.
.

Միավոր x 0 իսկ a-ն կարող է լինել կամ վերջավոր թվեր կամ կետեր անսահմանության վրա: Հարևանությունը կարող է լինել նաև երկկողմանի կամ միակողմանի:

Եկեք գրենք այս սահմանումը` օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները.
.

Այս սահմանումը օգտագործում է հավասար հեռավոր ծայրերով թաղամասեր: Համարժեք սահմանում կարելի է տալ՝ օգտագործելով կետերի կամայական հարևանությունները:

Սահմանում կամայական թաղամասերի օգտագործմամբ
a թիվը կոչվում է f ֆունկցիայի սահման (x) x կետում 0 :
,
Եթե
1) կա x կետի նման ծակված հարևանություն 0 , որի վրա սահմանված է ֆունկցիան;
2) ցանկացած U թաղամասի համար (ա) a կետում կա x կետի նման ծակված հարևանություն 0 որ բոլոր x-ի համար, որոնք պատկանում են x կետի ծակված հարևանությանը 0 :
,
ֆունկցիայի արժեքները f (x)պատկանում են U թաղամասին (ա)կետեր ա:
.

Օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները, այս սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
.

Միակողմանի և երկկողմանի սահմաններ

Վերոնշյալ սահմանումները համընդհանուր են այն առումով, որ դրանք կարող են օգտագործվել ցանկացած տեսակի թաղամասի համար: Եթե ​​մենք օգտագործենք որպես վերջնակետի ձախակողմյան ծակված հարևանություն, մենք ստանում ենք ձախակողմյան սահմանի սահմանում: Եթե ​​որպես հարևանություն օգտագործենք անվերջության կետի հարևանությունը, ապա կստանանք անսահմանության սահմանի սահմանումը:

Հայնեի սահմանը որոշելու համար սա հանգում է նրան, որ լրացուցիչ սահմանափակում է դրվում կամայական հաջորդականության վրա, որը համընկնում է դեպի . նրա տարրերը պետք է պատկանեն կետի համապատասխան ծակված հարևանությանը:

Կոշիի սահմանը որոշելու համար յուրաքանչյուր դեպքում անհրաժեշտ է արտահայտությունները վերածել անհավասարությունների՝ օգտագործելով կետի հարևանության համապատասխան սահմանումները։
Տե՛ս «Կետի հարևանություն»:

Այդ a կետի որոշումը ֆունկցիայի սահմանը չէ

Հաճախ անհրաժեշտ է դառնում օգտագործել այն պայմանը, որ a կետը ֆունկցիայի սահմանը չէ: Եկեք կառուցենք վերը նշված սահմանումների ժխտումները: Դրանցում ենթադրում ենք, որ ֆ ֆունկցիան (x)սահմանվում է x կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ 0 . a և x կետերը 0 կարող են լինել կամ վերջավոր թվեր կամ անսահման հեռավոր: Ստորև նշված ամեն ինչ վերաբերում է ինչպես երկկողմ, այնպես էլ միակողմանի սահմաններին:

Ըստ Հայնեի.
Համար ա չէ f ֆունկցիայի սահմանը (x) x կետում 0 : ,
եթե այդպիսի հաջորդականություն կա (xn), համընկնում է x-ին 0 :
,
որի տարրերը պատկանում են հարևանությանը,
որն է հաջորդականությունը (f(xn))չի համընկնում մի.
.
.

Ըստ Քոշիի.
Համար ա չէ f ֆունկցիայի սահմանը (x) x կետում 0 :
,
եթե կա այդպիսի դրական ε > 0 , ուրեմն ցանկացած դրական թվի համար δ > 0 , գոյություն ունի x, որը պատկանում է x կետի ծակված δ-հարեւանությանը 0 :
,
որ f ֆունկցիայի արժեքը (x)ա կետի ε հարևանությանը չի պատկանում.
.
.

Իհարկե, եթե a կետը ֆունկցիայի սահմանը չէ , դա չի նշանակում, որ այն սահման չի կարող ունենալ։ Կարող է սահման լինել, բայց դա հավասար չէ a-ին. Հնարավոր է նաև, որ ֆունկցիան սահմանված է կետի ծակված հարևանությամբ, բայց չունի սահման:

Գործառույթ f(x) = մեղք (1/x)չունի սահման x → 0:

Օրինակ, ֆունկցիան սահմանված է , բայց սահմանափակում չկա: Դա ապացուցելու համար վերցնենք հաջորդականությունը. Այն համընկնում է մի կետի 0 : Որովհետև, ուրեմն.
Վերցնենք հաջորդականությունը. Այն նաև համընկնում է կետին 0 : Բայց այդ ժամանակից ի վեր.
Այդ դեպքում սահմանը չի կարող հավասար լինել որևէ թվի a. Իսկապես, համար, կա մի հաջորդականություն, որով . Հետևաբար, ցանկացած ոչ զրոյական թիվ սահման չէ: Բայց դա նաև սահման չէ, քանի որ կա մի հաջորդականություն, որով .

Սահմանի Հայնեի և Կոշիի սահմանումների համարժեքությունը

Թեորեմ
Ֆունկցիայի սահմանի Հայնեի և Կոշիի սահմանումները համարժեք են։

Ապացույց

Ապացույցում մենք ենթադրում ենք, որ ֆունկցիան սահմանվում է կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ (վերջավոր կամ անվերջության վրա): a կետը կարող է լինել նաև վերջավոր կամ անվերջության վրա:

Հայնեի ապացույցը ⇒ Քոշիի

Թող ֆունկցիան ունենա a սահման՝ ըստ առաջին սահմանման (ըստ Հայնեի): Այսինքն՝ կետի հարևանությանը պատկանող և սահման ունեցող ցանկացած հաջորդականության համար
(1) ,
հաջորդականության սահմանը հետևյալն է.
(2) .

Եկեք ցույց տանք, որ ֆունկցիան մի կետում ունի Կոշիի սահման: Այսինքն՝ բոլորի համար կա մի բան, որը բոլորի համար է։

Ենթադրենք հակառակը. Թող (1) և (2) պայմանները բավարարվեն, բայց ֆունկցիան չունի Կոշիի սահման: Այսինքն՝ կա մի բան, որը գոյություն ունի ցանկացածի համար, ուրեմն
.

Վերցնենք, որտեղ n-ը բնական թիվ է: Հետո կա, և
.
Այսպիսով, մենք կառուցել ենք հաջորդականություն, որը համընկնում է դեպի , բայց հաջորդականության սահմանը հավասար չէ a-ին: Սա հակասում է թեորեմի պայմաններին։

Առաջին մասը ապացուցված է.

Քոշիի ապացույցը ⇒ Հայնեի

Թող ֆունկցիան ունենա a սահման՝ ըստ երկրորդ սահմանման (ըստ Քոշիի): Այսինքն՝ ցանկացածի համար դա կա
(3) բոլորի համար .

Եկեք ցույց տանք, որ ֆունկցիան ունի a սահման՝ ըստ Հայնեի:
Վերցնենք կամայական թիվ. Համաձայն Քոշիի սահմանման՝ թիվը գոյություն ունի, ուստի (3)-ն է։

Եկեք վերցնենք կամայական հաջորդականություն, որը պատկանում է ծակված թաղամասին և համընկնում է . Կոնվերգենտ հաջորդականության սահմանմամբ ցանկացածի համար գոյություն ունի այդպիսին
ժամը .
Այնուհետեւ (3)-ից հետեւում է, որ
ժամը .
Քանի որ սա վերաբերում է ցանկացածին, ուրեմն
.

Թեորեմն ապացուցված է.

Հղումներ:
Լ.Դ. Կուդրյավցև. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1. Մոսկվա, 2003 թ.

Մշտական ​​թիվ Ականչեց սահման հաջորդականություններ(x n), եթե որևէ կամայականորեն փոքր դրական թվի համարε > 0 կա N թիվ, որն ունի բոլոր արժեքները x n, որի համար n>N-ը բավարարում է անհավասարությունը

|x n - a|< ε. (6.1)

Գրի՛ր այն հետևյալ կերպ՝ կամ x n →ա.

Անհավասարությունը (6.1) համարժեք է կրկնակի անհավասարությանը

ա- է< x n < a + ε, (6.2)

ինչը նշանակում է, որ միավորները x n, սկսած ինչ-որ n>N թվից, ընկած է միջակայքի ներսում (a-ε, a+ ε ), այսինքն. ընկնել ցանկացած փոքրε - կետի հարևանություն Ա.

Սահման ունեցող հաջորդականությունը կոչվում է կոնվերգենտ, հակառակ դեպքում - տարբերվող.

Ֆունկցիայի սահման հասկացությունը հաջորդականության սահման հասկացության ընդհանրացումն է, քանի որ հաջորդականության սահմանը կարելի է համարել որպես ամբողջ թվային արգումենտի x n = f(n) ֆունկցիայի սահման։ n.

Թող տրվի f(x) ֆունկցիան և թող ա - սահմանային կետԱյս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը D(f), այսինքն. այնպիսի կետ, որի ցանկացած հարևանություն պարունակում է D(f) բազմության կետեր, բացի ա. Կետ ակարող է պատկանել կամ չպատկանել D(f) բազմությանը:

Սահմանում 1.Կոչվում է հաստատուն A թիվը սահման գործառույթները f(x) ժամը x→a, եթե ցանկացած հաջորդականության համար (x n) արգումենտների արժեքները հակված են Ա, համապատասխան հաջորդականությունները (f(x n)) ունեն նույն սահմանագիծը A.

Այս սահմանումը կոչվում է սահմանելով ֆունկցիայի սահմանը՝ ըստ Հայնեի,կամ " հաջորդական լեզվով”.

Սահմանում 2. Կոչվում է հաստատուն A թիվը սահման գործառույթները f(x) ժամը x→ա, եթե, նշելով կամայականորեն փոքր դրական ε, կարելի է գտնել այդպիսի δ>0 (կախված ε), որը բոլորի համար է x, պառկածε- թվի հարևանություններ Ա, այսինքն. Համար x, բավարարելով անհավասարությունը
0 < x-a< ε , f(x) ֆունկցիայի արժեքները կլինենε- A թվի հարևանությունը, այսինքն.|f(x)-A|< ε.

Այս սահմանումը կոչվում է Կոշիի համաձայն ֆունկցիայի սահմանը սահմանելով,կամ «լեզվով ε - δ “.

1 և 2 սահմանումները համարժեք են: Եթե ​​f(x) ֆունկցիան որպես x →ա ունի սահման, հավասար է A-ին, սա գրված է ձևով

. (6.3)

Այն դեպքում, երբ (f(x n)) հաջորդականությունը մեծանում է (կամ նվազում) առանց որևէ սահմանափակման մոտարկման որևէ մեթոդի. xձեր սահմանին Ա, ապա կասենք, որ f(x) ֆունկցիան ունի անսահման սահման,և գրիր այն ձևով.

Այն փոփոխականը (այսինքն՝ հաջորդականությունը կամ ֆունկցիան), որի սահմանը զրո է, կոչվում է անսահման փոքր:

Այն փոփոխականը, որի սահմանը հավասար է անսահմանության, կոչվում է անսահման մեծ.

Գործնականում սահմանը գտնելու համար օգտագործվում են հետևյալ թեորեմները.

Թեորեմ 1 . Եթե ​​ամեն սահման գոյություն ունի

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Մեկնաբանություն. 0/0 նման արտահայտություններ, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - անորոշ են, օրինակ, երկու անսահման փոքր կամ անսահման մեծ քանակությունների հարաբերակցությունը, և այս տեսակի սահման գտնելը կոչվում է «բացահայտող անորոշություններ»:

Թեորեմ 2. (6.7)

դրանք. կարելի է հասնել սահմանագծին՝ հիմնվելով հաստատուն ցուցիչով հզորության վրա, մասնավորապես. ;

(6.8)

(6.9)

Թեորեմ 3.

(6.10)

(6.11)

Որտեղ ե » 2.7 - բնական լոգարիթմի հիմք: Բանաձևերը (6.10) և (6.11) կոչվում են առաջին հրաշալի սահմանև երկրորդ ուշագրավ սահմանը.

Գործնականում կիրառվում են նաև բանաձևի (6.11) հետևանքները.

(6.12)

(6.13)

(6.14)

մասնավորապես սահմանը,

Եթե ​​x → a և միևնույն ժամանակ x > a, ապա գրի՛ր x→a + 0. Եթե, մասնավորապես, a = 0, ապա 0+0 նշանի փոխարեն գրել +0։ Նմանապես, եթե x→a և միևնույն ժամանակ x ա-0. Թվեր և կոչվում են համապատասխանաբար ճիշտ սահմանըԵվ ձախ սահմանը գործառույթները f(x) կետում Ա. Որպեսզի լինի f(x) ֆունկցիայի սահման՝ x→ա-ն անհրաժեշտ և բավարար է, որպեսզի . Կանչվում է f(x) ֆունկցիան շարունակական կետում x 0, եթե սահմանը

. (6.15)

Պայման (6.15) կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

,

այսինքն՝ ֆունկցիայի նշանով անցում դեպի սահման հնարավոր է, եթե այն շարունակական է տվյալ կետում։

Եթե ​​հավասարությունը (6.15) խախտված է, ուրեմն ասում ենք ժամը x = xo ֆունկցիան f(x) Այն ունի բացըԴիտարկենք y = 1/x ֆունկցիան: Այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը բազմությունն է Ռ, բացառությամբ x = 0-ի: x = 0 կետը D(f) բազմության սահմանային կետն է, քանի որ դրա ցանկացած հարևանությամբ, այ. 0 կետը պարունակող ցանկացած բաց միջակայքում կան D(f) կետեր, բայց այն ինքնին չի պատկանում այս բազմությանը: f(x o)= f(0) արժեքը սահմանված չէ, ուստի x o = 0 կետում ֆունկցիան ունի դադար:

Կանչվում է f(x) ֆունկցիան շարունակական աջ կողմում կետում x o եթե սահմանը

,

Եվ շարունակական ձախ կողմում կետում x o, եթե սահմանը

.

Գործառույթի շարունակականությունը մի կետում x oհամարժեք է իր շարունակականությանը այս կետում և՛ աջ, և՛ ձախ:

Որպեսզի ֆունկցիան մի կետում շարունակական լինի x o, օրինակ, աջ կողմում անհրաժեշտ է, որ նախ լինի վերջավոր սահման, և երկրորդը, որ այդ սահմանը հավասար լինի f(x o): Հետևաբար, եթե այս երկու պայմաններից գոնե մեկը չկատարվի, ապա ֆունկցիան կունենա դադար։

1. Եթե սահմանը գոյություն ունի և հավասար չէ f(x o-ին), ապա ասում են ֆունկցիան f(x) կետում x o ունի առաջին տեսակի խզում,կամ ցատկ.

2. Եթե սահմանն է+∞ կամ -∞ կամ գոյություն չունի, ապա ասում են, որ ներս կետ x o ֆունկցիան ունի դադար երկրորդ տեսակ.

Օրինակ՝ y ֆունկցիան = cot x x-ում→ +0-ն ունի +∞-ի հավասար սահման, ինչը նշանակում է, որ x=0 կետում ունի երկրորդ տեսակի ընդհատում։ y ֆունկցիան = E(x) (ի ամբողջական մասը x) ամբողջ աբսցիսներով կետերում ունի առաջին տեսակի ընդհատումներ կամ թռիչքներ:

Այն ֆունկցիան, որը շարունակական է միջակայքի յուրաքանչյուր կետում, կոչվում է շարունակականՎ . Շարունակական ֆունկցիան ներկայացված է ամուր կորով:

Որոշ քանակի շարունակական աճի հետ կապված բազմաթիվ խնդիրներ հանգեցնում են երկրորդ ուշագրավ սահմանին։ Նման խնդիրներն, օրինակ, ներառում են՝ ավանդների աճ՝ ըստ բարդ տոկոսների օրենքի, երկրի բնակչության աճ, ռադիոակտիվ նյութերի քայքայում, բակտերիաների տարածում և այլն։

Եկեք դիտարկենք Ya. I. Perelman-ի օրինակ, տալով թվի մեկնաբանություն եբարդ տոկոսադրույքի խնդրի մեջ։ Թիվ եսահման կա . Խնայբանկերում տարեկան տոկոսադրույքը ավելացվում է հիմնական կապիտալին: Եթե ​​միացումը կատարվում է ավելի հաճախ, ապա կապիտալն ավելի արագ է աճում, քանի որ ավելի մեծ գումար է ներգրավված տոկոսների ձևավորման մեջ։ Բերենք զուտ տեսական, շատ պարզեցված օրինակ։ Թող 100 ժխտող բանկում պահվի։ միավորներ տարեկան 100% հիման վրա: Եթե ​​տոկոսագումարը հիմնական կապիտալին ավելացվում է միայն մեկ տարի հետո, ապա այս ժամանակահատվածում 100 դեն. միավորներ կվերածվի 200 դրամական միավորի։ Հիմա տեսնենք, թե ինչի կվերածվի 100 դենիզը։ միավորներ, եթե յուրաքանչյուր վեց ամիսը մեկ տոկոսային գումար է ավելացվում հիմնական կապիտալին: Վեց ամիս հետո 100 դ. միավորներ կաճի մինչև 100× 1,5 = 150, և ևս վեց ամիս հետո՝ 150-ին× 1,5 = 225 (դեն. միավոր): Եթե ​​միացումը կատարվում է տարվա 1/3-ը մեկ, ապա մեկ տարի հետո 100 դեն. միավորներ կվերածվի 100-ի× (1 +1/3) 3" 237 (դենտ. միավոր). Տոկոսագումարի ավելացման ժամկետները կավելացնենք մինչև 0,1 տարի, մինչև 0,01 տարի, մինչև 0,001 տարի և այլն: Հետո 100 դենից. միավորներ մեկ տարի հետո կլինի.

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (դենտ. միավոր),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (դենտ. միավոր),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (դեն. միավոր).

Տոկոսների ավելացման ժամկետների անսահմանափակ կրճատման դեպքում կուտակված կապիտալը չի ​​աճում անորոշ ժամանակով, այլ մոտենում է որոշակի սահմանի, որը հավասար է մոտավորապես 271-ի: Տարեկան 100% ավանդադրված կապիտալը չի ​​կարող աճել ավելի քան 2,71 անգամ, նույնիսկ եթե հաշվեգրված տոկոսները: ամեն վայրկյան ավելանում էին մայրաքաղաքին, քանի որ սահման

Օրինակ 3.1.Օգտագործելով թվային հաջորդականության սահմանի սահմանումը, ապացուցեք, որ x n =(n-1)/n հաջորդականությունն ունի 1-ի հավասար սահման։

Լուծում.Մենք պետք է դա ապացուցենք, անկախ ամեն ինչիցε > 0, անկախ նրանից, թե ինչ ենք վերցնում, նրա համար կա այնպիսի բնական թիվ N, որ բոլոր n N-ի համար անհավասարությունը պահպանվում է|x n -1|< ε.

Վերցնենք ցանկացած e > 0: Քանի որ ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, ապա N գտնելու համար բավական է լուծել 1/n անհավասարությունը.< ե. Հետևաբար n>1/ e և, հետևաբար, N-ը կարող է ընդունվել որպես 1/-ի ամբողջական մաս e , N = E(1/ e ) Մենք դրանով ապացուցել ենք, որ սահմանը.

Օրինակ 3.2 . Գտի՛ր ընդհանուր անդամով տրված հաջորդականության սահմանը .

Լուծում.Կիրառենք գումարի թեորեմի սահմանը և գտնենք յուրաքանչյուր անդամի սահմանը։ Երբ n→ ∞ Յուրաքանչյուր անդամի համարիչն ու հայտարարը հակված են դեպի անվերջություն, և մենք չենք կարող ուղղակիորեն կիրառել քանորդի սահմանային թեորեմը: Հետևաբար, նախ մենք փոխակերպում ենք x n, առաջին անդամի համարիչն ու հայտարարը բաժանելով n 2, իսկ երկրորդը վրա n. Այնուհետև, կիրառելով քանորդի և գումարի թեորեմի սահմանը, գտնում ենք.

.

Օրինակ 3.3. . Գտնել.

Լուծում. .

Այստեղ մենք օգտագործեցինք աստիճանի թեորեմի սահմանը՝ աստիճանի սահմանը հավասար է հիմքի սահմանի աստիճանին։

Օրինակ 3.4 . Գտնել ( ).

Լուծում.Անհնար է կիրառել տարբերության սահմանի թեորեմը, քանի որ ունենք ձևի անորոշություն ∞-∞ . Եկեք փոխակերպենք ընդհանուր տերմինի բանաձևը.

.

Օրինակ 3.5 . Տրված է f(x)=2 1/x ֆունկցիան։ Ապացուցեք, որ սահման չկա։

Լուծում.Օգտագործենք ֆունկցիայի սահմանի 1 սահմանումը հաջորդականության միջոցով։ Վերցնենք ( x n ) հաջորդականությունը, որը համընկնում է 0-ի, այսինքն. Եկեք ցույց տանք, որ f(x n)= արժեքը տարբեր հաջորդականությունների համար տարբեր կերպ է վարվում: Թող x n = 1/n: Ակնհայտ է, ապա սահմանը Եկեք հիմա ընտրենք որպես x nհաջորդականություն ընդհանուր տերմինով x n = -1/n, որը նույնպես հակված է զրոյի: Հետևաբար սահման չկա։

Օրինակ 3.6 . Ապացուցեք, որ սահման չկա։

Լուծում.Թող x 1 , x 2 ,..., x n ,... լինի հաջորդականություն, որի համար
. Ինչպե՞ս է (f(x n)) = (sin x n) հաջորդականությունն իրեն պահում տարբեր x n → ∞

Եթե ​​x n = p n, ապա sin x n = մեղք p n = 0 բոլորի համար nիսկ սահմանը Եթե
x n =2 p n+ p /2, ապա sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 բոլորի համար nև հետևաբար սահմանը: Այսպիսով, այն գոյություն չունի:

Վիջեթ՝ առցանց սահմանաչափերի հաշվարկման համար

Վերին պատուհանում sin(x)/x-ի փոխարեն մուտքագրեք այն ֆունկցիան, որի սահմանը ցանկանում եք գտնել։ Ներքևի պատուհանում մուտքագրեք այն թիվը, որին ձգտում է x-ը և սեղմեք Հաշվի կոճակը, ստացեք ցանկալի սահմանաչափը: Իսկ եթե արդյունքի պատուհանում սեղմեք Ցույց տալ քայլերը վերին աջ անկյունում, ապա մանրամասն լուծում կստանաք։

Ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ՝ sqrt(x) - քառակուսի արմատ, cbrt(x) - խորանարդ արմատ, exp(x) - ցուցիչ, ln(x) - բնական լոգարիթմ, sin(x) - սինուս, cos(x) - կոսինուս, tan (x) - շոշափող, cot(x) - կոտանգենս, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, actan(x) - արկտանգենս: Նշաններ՝ * բազմապատկում, / բաժանում, ^ հզորացում, փոխարենը անսահմանությունԱնսահմանություն. Օրինակ՝ ֆունկցիան մուտքագրվում է որպես sqrt(tan(x/2)):

Սահմանում 1. Թող Ե- անսահման թիվ. Եթե ​​որևէ հարևանություն պարունակում է բազմության կետեր Ե, տարբերվում է կետից Ա, Դա Ականչեց վերջնական հավաքածուի կետը Ե.

Սահմանում 2. (Հենրիխ Հայնե (1821-1881)): Թողեք գործառույթը
սահմանված է նկարահանման հրապարակում XԵվ Ականչեց սահման գործառույթները
կետում (կամ երբ
, եթե արգումենտների արժեքների որևէ հաջորդականության համար
, համընկնում է , ֆունկցիայի արժեքների համապատասխան հաջորդականությունը համընկնում է թվին Ա. Նրանք գրում են:
.

Օրինակներ. 1) գործառույթ
ունի սահմանաչափ, որը հավասար է Հետ, թվային գծի ցանկացած կետում:

Իրոք, ցանկացած կետի համար և արգումենտների արժեքների ցանկացած հաջորդականություն
, համընկնում է և բաղկացած այլ թվերից, քան , ֆունկցիայի արժեքների համապատասխան հաջորդականությունն ունի ձևը
, և մենք գիտենք, որ այս հաջորդականությունը համընկնում է Հետ. Ահա թե ինչու
.

2) ֆունկցիայի համար

.

Սա ակնհայտ է, քանի որ եթե
, ապա
.

3) Դիրիխլեի ֆունկցիա
ոչ մի կետում սահման չունի:

Իսկապես, թող
Եվ
, եւ բոլորը - ռացիոնալ թվեր. Հետո
բոլորի համար n, Ահա թե ինչու
. Եթե
և վերջ իռացիոնալ թվեր են, ուրեմն
բոլորի համար n, Ահա թե ինչու
. Մենք տեսնում ենք, որ 2-րդ սահմանման պայմանները բավարարված չեն, հետևաբար
գոյություն չունի.

4)
.

Իսկապես, եկեք կամայական հաջորդականություն վերցնենք
, համընկնում է

թիվ 2. Հետո . Ք.Ե.Դ.

Սահմանում 3. (Կոշի (1789-1857)): Թողեք գործառույթը
սահմանված է նկարահանման հրապարակում XԵվ այս հավաքածուի սահմանային կետն է: Թիվ Ականչեց սահման գործառույթները
կետում (կամ երբ
, եթե որևէ մեկի համար
կլինի
, այնպես, որ փաստարկի բոլոր արժեքների համար X, բավարարելով անհավասարությունը

,

անհավասարությունը ճիշտ է

.

Նրանք գրում են:
.

Կոշիի սահմանումը կարող է տրվել նաև թաղամասերի միջոցով, եթե նկատենք, որ a.

թող գործի
սահմանված է նկարահանման հրապարակում XԵվ այս հավաքածուի սահմանային կետն է: Թիվ Ակոչվում է սահմանաչափ գործառույթները
կետում , եթե որևէ մեկի համար - կետի հարևանություն Ա
կա պիրսինգ - կետի հարևանություն
,այնպիսին է, որ
.

Օգտակար է այս սահմանումը նկարազարդել գծանկարով:

Օրինակ 5.
.

Իսկապես, եկեք վերցնենք
պատահականորեն և գտնել
, այնպիսին, որ բոլորի համար X, բավարարելով անհավասարությունը
անհավասարությունը պահպանվում է
. Վերջին անհավասարությունը համարժեք է անհավասարությանը
, ուրեմն տեսնում ենք, որ բավական է վերցնել
. Հայտարարությունն ապացուցված է.

Արդար

Թեորեմ 1. Ֆունկցիայի սահմանի սահմանումները ըստ Հայնեի և ըստ Քոշիի համարժեք են։

Ապացույց. 1) Թող
ըստ Քոշիի. Փաստենք, որ նույն թիվը նույնպես սահման է ըստ Հայնեի։

Վերցնենք
կամայականորեն։ Ըստ սահմանման 3-ի՝ կա
, այնպիսին, որ բոլորի համար
անհավասարությունը պահպանվում է
. Թող
– կամայական հաջորդականություն այնպիսին, որ
ժամը
. Հետո կա մի թիվ Նայնպիսին, որ բոլորի համար
անհավասարությունը պահպանվում է
, Ահա թե ինչու
բոլորի համար
, այսինքն.

ըստ Հայնեի.

2) Թող հիմա
ըստ Հայնեի. Ապացուցենք դա
և ըստ Քոշիի.

Ենթադրենք հակառակը, այսինքն. Ինչ
ըստ Քոշիի. Հետո կա
այնպիսին, որ որևէ մեկի համար
կլինի
,
Եվ
. Դիտարկենք հաջորդականությունը
. Նշվածի համար
և ցանկացած nգոյություն ունի

Եվ
. Դա նշանակում է որ
, Չնայած նրան
, այսինքն. թիվ Ասահմանը չէ
կետում ըստ Հայնեի. Մենք հակասություն ենք ձեռք բերել, որն ապացուցում է հայտարարությունը։ Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 2 (սահմանի եզակիության մասին): Եթե ​​մի կետում կա ֆունկցիայի սահման , ուրեմն նա միակն է։

Ապացույց. Եթե ​​սահմանը սահմանվում է ըստ Հայնեի, ապա դրա եզակիությունը բխում է հաջորդականության սահմանի եզակիությունից։ Եթե ​​սահմանը սահմանվում է ըստ Քոշիի, ապա դրա եզակիությունը բխում է սահմանի սահմանումների համարժեքությունից՝ ըստ Քոշիի և ըստ Հայնեի։ Թեորեմն ապացուցված է.

Հերթականությունների համար Քոշիի չափանիշի նման, գործում է ֆունկցիայի սահմանի գոյության Քոշի չափանիշը: Մինչև այն ձևակերպելը, եկեք տանք

Սահմանում 4. Ասում են, որ ֆունկցիան
կետում բավարարում է Քոշիի պայմանը , եթե որևէ մեկի համար
գոյություն ունի

, այնպիսին է, որ
Եվ
, անհավասարությունը պահպանվում է
.

Թեորեմ 3 (Կոշիի չափանիշը սահմանի առկայության համար): Գործառույթի համար
ուներ կետում վերջավոր սահման, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այս պահին ֆունկցիան բավարարի Կոշիի պայմանը։

Ապացույց.Անհրաժեշտություն. Թող
. Մենք պետք է դա ապացուցենք
կետում բավարարում է Կոշի վիճակ.

Վերցնենք
կամայականորեն եւ դրեց
. համար սահմանաչափի սահմանմամբ գոյություն ունի
, այնպիսին, որ ցանկացած արժեքի համար
, բավարարելով անհավասարությունները
Եվ
, անհավասարությունները բավարարված են
Եվ
. Հետո

Անհրաժեշտությունն ապացուցված է.

Համարժեքություն. Թողեք գործառույթը
կետում բավարարում է Կոշի վիճակ. Մենք պետք է ապացուցենք, որ այն ունի կետում վերջնական սահմանը.

Վերցնենք
կամայականորեն։ Ըստ սահմանման կա 4
, այնպիսին, որ անհավասարություններից
,
հետևում է դրան
- սա տրված է:

Եկեք նախ ցույց տանք դա ցանկացած հաջորդականության համար
, համընկնում է , հաջորդականություն
ֆունկցիայի արժեքները համընկնում են: Իսկապես, եթե
, ապա, հաջորդականության սահմանի սահմանման ուժով, տրվածի համար
մի թիվ կա Ն, այնպիսին, որ ցանկացածի համար

Եվ
. Քանի որ
կետում բավարարում է Քոշիի պայմանը, ունենք
. Այնուհետև, հաջորդականությունների համար Կոշի չափանիշով, հաջորդականությունը
համընկնում է. Եկեք ցույց տանք, որ բոլոր նման հաջորդականությունները
համընկնել նույն սահմանին: Ենթադրենք հակառակը, այսինքն. ինչ են հաջորդականությունները
Եվ
,
,
, այնպիսին է, որ. Դիտարկենք հաջորդականությունը. Պարզ է, որ այն համընկնում է հետևաբար, վերևում ապացուցվածով, հաջորդականությունը զուգակցվում է, ինչը անհնար է, քանի որ հաջորդականությունները.
Եվ
ունեն տարբեր սահմաններ Եվ . Ստացված հակասությունը ցույց է տալիս, որ =. Հետևաբար, Հայնեի սահմանմամբ, ֆունկցիան ունի կետում վերջնական սահմանը. Բավարարությունն ու հետևաբար թեորեմն ապացուցված է։

Գործառույթ y = f (x)օրենք է (կանոն), ըստ որի X բազմության յուրաքանչյուր x տարր կապված է Y բազմության մեկ և միայն մեկ տարրի y-ի հետ։

X տարր ∈ Xկանչեց ֆունկցիայի փաստարկկամ անկախ փոփոխական.
Տարր y ∈ Յկանչեց ֆունկցիայի արժեքըկամ կախյալ փոփոխական.

X բազմությունը կոչվում է ֆունկցիայի տիրույթը.
Տարրերի բազմություն y ∈ Յ, որոնք X բազմության մեջ ունեն նախապատկերներ, կոչվում է տարածքը կամ ֆունկցիայի արժեքների հավաքածուն.

Փաստացի ֆունկցիան կոչվում է վերևից սահմանափակված (ներքևից), եթե կա M այնպիսի թիվ, որ անհավասարությունը պահպանվի բոլորի համար.
.
Թվային ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակ, եթե կա M այնպիսի թիվ, որ բոլորի համար՝
.

Վերին եզրկամ ճշգրիտ վերին սահմանըԻրական ֆունկցիան կոչվում է ամենափոքր թիվը, որը սահմանափակում է նրա արժեքների շրջանակը վերևից: Այսինքն՝ սա s թիվ է, որի համար բոլորի և ցանկացածի համար կա արգումենտ, որի ֆունկցիայի արժեքը գերազանցում է s′-ը:
Ֆունկցիայի վերին սահմանը կարող է նշանակվել հետևյալ կերպ.
.

Համապատասխանաբար ստորին եզրկամ ստույգ ստորին սահմանըԻրական ֆունկցիան կոչվում է ամենամեծ թիվը, որը սահմանափակում է դրա արժեքների միջակայքը ներքևից: Այսինքն՝ սա i թիվ է, որի համար բոլորի և ցանկացածի համար կա արգումենտ, որի ֆունկցիայի արժեքը փոքր է i′-ից:
Ֆունկցիայի infimum-ը կարող է նշանակվել հետևյալ կերպ.
.

Ֆունկցիայի սահմանի որոշում

Ֆունկցիայի սահմանի որոշումը ըստ Քոշիի

Վերջնական կետերում ֆունկցիայի վերջավոր սահմանները

Թող ֆունկցիան սահմանվի վերջնակետի ինչ-որ հարևանությամբ, հնարավոր բացառությամբ հենց կետի: մի կետում, եթե որևէ մեկի համար կա այդպիսի բան, կախված նրանից, որ բոլոր x-ի համար, որոնց համար անհավասարությունը պահպանվում է
.
Ֆունկցիայի սահմանը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Կամ ժամը.

Օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները՝ ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
.

Միակողմանի սահմաններ.
Ձախ սահմանը մի կետում (ձախ կողմի սահման).
.
Աջ սահմանը մի կետում (աջակողմյան սահման).
.
Ձախ և աջ սահմանները հաճախ նշվում են հետևյալ կերպ.
; .

Անսահմանության կետերում ֆունկցիայի վերջավոր սահմանները

Անսահմանության կետերի սահմանները որոշվում են նույն կերպ:
.
.
.
Դրանք հաճախ կոչվում են.
; ; .

Օգտագործելով կետի հարևանություն հասկացությունը

Եթե ​​ներդնենք կետի ծակված հարևանության հասկացությունը, ապա կարող ենք վերջավոր և անսահման հեռավոր կետերում ֆունկցիայի վերջավոր սահմանի միասնական սահմանում տալ.
.
Այստեղ վերջնակետերի համար
; ;
.
Անսահմանության կետերի ցանկացած հարևանություն ծակվում է.
; ; .

Անսահման ֆունկցիայի սահմաններ

Սահմանում
Թող ֆունկցիան սահմանվի կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ (վերջավոր կամ անվերջության վրա): Ֆ ֆունկցիայի սահմանը f (x)ինչպես x → x 0 հավասար է անսահմանության, եթե որևէ կամայական մեծ թվի համար Մ > 0 , կա δ Մ թիվ > 0 , կախված M-ից, որ բոլոր x-ի համար, որոնք պատկանում են ծակված δ M - կետի հարևանությանը. , գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.
Անսահման սահմանը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Կամ ժամը.

Օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները՝ ֆունկցիայի անսահման սահմանի սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
.

Կարող եք նաև ներկայացնել որոշակի նշանների անսահման սահմանների սահմանումներ, որոնք հավասար են և.
.
.

Ֆունկցիայի սահմանի համընդհանուր սահմանում

Օգտագործելով կետի հարևանություն հասկացությունը՝ մենք կարող ենք տալ ֆունկցիայի վերջավոր և անվերջ սահմանի համընդհանուր սահմանում, որը կիրառելի է ինչպես վերջավոր (երկկողմանի և միակողմանի), այնպես էլ անսահման հեռավոր կետերի համար.
.

Ֆունկցիայի սահմանի որոշումը ըստ Հայնեի

Թող ֆունկցիան սահմանվի X:
a թիվը կոչվում է ֆունկցիայի սահմանկետում:
,
եթե x-ին համընկնող որևէ հաջորդականության համար 0 :
,
որի տարրերը պատկանում են X բազմությանը.
.

Եկեք գրենք այս սահմանումը` օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները.
.

Եթե ​​x կետի ձախակողմյան հարեւանությունը վերցնենք որպես X բազմություն 0 , ապա մենք ստանում ենք ձախ սահմանի սահմանումը: Եթե ​​աջակողմյան է, ապա ստանում ենք ճիշտ սահմանի սահմանումը։ Եթե ​​անսահմանության կետի հարևանությունը վերցնենք որպես X բազմություն, ապա կստանանք ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը անվերջության մեջ:

Թեորեմ
Ֆունկցիայի սահմանի Կոշիի և Հայնեի սահմանումները համարժեք են։
Ապացույց

Ֆունկցիայի սահմանի հատկությունները և թեորեմները

Այնուհետև, մենք ենթադրում ենք, որ դիտարկվող գործառույթները սահմանված են կետի համապատասխան հարևանությամբ, որը վերջավոր թիվ է կամ նշաններից մեկը. Այն կարող է լինել նաև միակողմանի սահմանային կետ, այսինքն՝ ունենալ ձև կամ . Հարեւանությունը երկկողմանի սահմանի համար երկկողմանի է, իսկ միակողմանի սահմանի համար՝ միակողմանի։

Հիմնական հատկություններ

Եթե ​​ֆունկցիայի արժեքները f (x)փոխել (կամ դարձնել անորոշ) x կետերի վերջավոր թիվը 1, x 2, x 3, ... x n, ապա այս փոփոխությունը չի ազդի կամայական x կետում ֆունկցիայի սահմանի գոյության և արժեքի վրա 0 .

Եթե ​​կա վերջավոր սահման, ապա կա x կետի ծակված հարևանություն 0 , որի վրա ֆունկցիան f (x)սահմանափակ՝
.

Թող ֆունկցիան ունենա x կետում 0 վերջավոր ոչ զրոյական սահման.
.
Այնուհետև, c միջակայքից ցանկացած c թվի համար կա x կետի նման ծակված հարևանություն 0 , ինչի համար ,
, Եթե ;
, Եթե .

Եթե ​​կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ ,-ը հաստատուն է, ապա .

Եթե ​​կան վերջավոր սահմաններ և և x կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ 0
,
որ .

Եթե ​​, և կետի ինչ-որ հարևանությամբ
,
որ .
Մասնավորապես, եթե ինչ-որ կետի հարեւանությամբ
,
ապա եթե , ապա եւ ;
եթե , ապա եւ .

Եթե ​​x կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ 0 :
,
և կան վերջավոր (կամ որոշակի նշանի անսահման) հավասար սահմաններ.
, Դա
.

Հիմնական հատկությունների ապացույցները տրված են էջում
«Ֆունկցիայի սահմանների հիմնական հատկությունները».

Ֆունկցիայի սահմանի թվաբանական հատկությունները

Թող գործառույթները և սահմանվեն կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ: Եվ թող լինեն սահմանափակ սահմաններ.
Եվ .
Եվ թող C լինի հաստատուն, այսինքն՝ տրված թիվ։ Հետո
;
;
;
, Եթե .

Եթե, ապա.

Էջում տրված են թվաբանական հատկությունների ապացույցներ
«Ֆունկցիայի սահմանների թվաբանական հատկությունները».

Կոշիի չափանիշը ֆունկցիայի սահմանի առկայության համար

Թեորեմ
Որպեսզի սահմանվի x վերջավոր կամ անվերջության կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա սահմանված ֆունկցիա 0 , այս կետում ուներ վերջավոր սահման, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ցանկացած ε > 0 x կետի նման ծակված հարևանություն կար 0 , որ ցանկացած կետի և այս հարևանության համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.

Բարդ ֆունկցիայի սահմանը

Թեորեմ բարդ ֆունկցիայի սահմանի մասին
Թող ֆունկցիան ունենա սահման, և կետի ծակված հարևանությունը գծագրվի կետի ծակված հարևանության վրա: Թող գործառույթը սահմանվի այս հարևանությամբ և սահման ունենա դրա վրա:
Ահա վերջնական կամ անսահման հեռավոր կետերը. Հարևանները և դրանց համապատասխան սահմանները կարող են լինել ինչպես երկկողմանի, այնպես էլ միակողմանի:
Այնուհետև կա բարդ ֆունկցիայի սահման, և այն հավասար է.
.

Կոմպլեքս ֆունկցիայի սահմանային թեորեմը կիրառվում է, երբ ֆունկցիան որոշված ​​չէ մի կետում կամ ունի սահմանից տարբերվող արժեք։ Այս թեորեմը կիրառելու համար պետք է լինի այն կետի ծակված հարևանությունը, որտեղ ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը չի պարունակում կետը.
.

Եթե ​​ֆունկցիան անընդմեջ է կետում, ապա սահմանային նշանը կարող է կիրառվել շարունակական ֆունկցիայի փաստարկի վրա.
.
Հետևյալը այս դեպքին համապատասխան թեորեմ է.

Ֆունկցիայի շարունակական ֆունկցիայի սահմանի թեորեմ
Թող լինի g ֆունկցիայի սահմանը (t)ինչպես t → t 0 , և այն հավասար է x-ի 0 :
.
Ահա t կետը 0 կարող է լինել վերջավոր կամ անսահման հեռավոր.
Եվ թող ֆունկցիան f (x) x կետում շարունակական է 0 .
Այնուհետև կա f կոմպլեքս ֆունկցիայի սահման (g(t)), և այն հավասար է f (x0):
.

Թեորեմների ապացույցները տրված են էջում
«Բարդ ֆունկցիայի սահմանը և շարունակականությունը».

Անսահման փոքր և անսահման մեծ ֆունկցիաներ

Անսահման փոքր ֆունկցիաներ

Սահմանում
Ֆունկցիան կոչվում է անվերջ փոքր, եթե
.

Գումար, տարբերություն և արտադրանքվերջավոր թվով անվերջ փոքր ֆունկցիաների ժամը անվերջ փոքր ֆունկցիա է .

Սահմանափակված ֆունկցիայի արտադրյալկետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա անվերջ փոքր-ի համար ժամը անվերջ փոքր ֆունկցիան է:

Որպեսզի ֆունկցիան ունենա վերջավոր սահման, անհրաժեշտ և բավարար է, որ
,
որտեղ է անվերջ փոքր ֆունկցիան:

«Անվերջ փոքր ֆունկցիաների հատկությունները».

Անսահման մեծ գործառույթներ

Սահմանում
Ֆունկցիան համարվում է անսահման մեծ, եթե
.

Սահմանափակված ֆունկցիայի գումարը կամ տարբերությունը կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա և անսահման մեծ ֆունկցիայի գումարը կամ տարբերությունը ժամը անսահման մեծ ֆունկցիա է:

Եթե ​​ֆունկցիան անսահման մեծ է , և ֆունկցիան սահմանափակված է կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ, ապա
.

Եթե ​​ֆունկցիան, կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա, բավարարում է անհավասարությունը.
,
և ֆունկցիան անվերջ փոքր է՝
, և (կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ), ապա
.

Հատկությունների ապացույցները ներկայացված են բաժնում
«Անսահման մեծ ֆունկցիաների հատկությունները».

Անսահման մեծ և անվերջ փոքր ֆունկցիաների կապը

Նախորդ երկու հատկություններից հետևում է անսահման մեծ և անվերջ փոքր ֆունկցիաների կապը։

Եթե ​​ֆունկցիան անսահման մեծ է ժամը , ապա ֆունկցիան անվերջ փոքր է ժամը .

Եթե ​​ֆունկցիան անվերջ փոքր է , and-ի համար, ապա ֆունկցիան անսահման մեծ է համարի համար:

Անվերջ փոքրի և անսահման մեծ ֆունկցիայի միջև կապը կարող է արտահայտվել խորհրդանշականորեն.
, .

Եթե ​​անվերջ փոքր ֆունկցիան ունի որոշակի նշան , այսինքն՝ այն դրական է (կամ բացասական) կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա, ապա այս փաստը կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ.
.
Նույն կերպ, եթե անսահման մեծ ֆունկցիան ունի որոշակի նշան , ապա գրում են.
.

Այնուհետև անսահման փոքր և անսահման մեծ ֆունկցիաների միջև խորհրդանշական կապը կարող է համալրվել հետևյալ հարաբերություններով.
, ,
, .

Անսահմանության նշաններին վերաբերող լրացուցիչ բանաձևեր կարելի է գտնել էջում
«Կետերը անսահմանության վրա և դրանց հատկությունները»:

Միապաղաղ ֆունկցիաների սահմանները

Սահմանում
Կանչվում է X իրական թվերի որոշ բազմության վրա սահմանված ֆունկցիա խիստ աճող, եթե բոլորի համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.
Համապատասխանաբար, համար խիստ նվազումգործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.
Համար չնվազող:
.
Համար չաճող:
.

Դրանից բխում է, որ խիստ աճող ֆունկցիան նույնպես չի նվազում։ Խիստ նվազող ֆունկցիան նույնպես չաճող է։

Ֆունկցիան կոչվում է միապաղաղ, եթե այն չի նվազում կամ չի աճում։

Թեորեմ
Թող ֆունկցիան չնվազի այն միջակայքում, որտեղ .
Եթե ​​այն վերևում սահմանափակված է M թվով, ապա կա վերջավոր սահման: Եթե ​​վերևից չի սահմանափակվում, ապա .
Եթե ​​ներքևից այն սահմանափակվում է m թվով, ապա կա վերջավոր սահման: Եթե ​​չի սահմանափակվում ներքևից, ապա .

Եթե ​​a և b կետերը գտնվում են անվերջության վրա, ապա արտահայտություններում սահմանային նշանները նշանակում են, որ .
Այս թեորեմը կարելի է ավելի կոմպակտ ձևակերպել։

Թող ֆունկցիան չնվազի այն միջակայքում, որտեղ . Այնուհետև a և b կետերում կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Նմանատիպ թեորեմ չաճող ֆունկցիայի համար։

Թող ֆունկցիան չմեծանա այն միջակայքում, որտեղ . Այնուհետև կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Թեորեմի ապացույցը ներկայացված է էջում
«Միոտոն ֆունկցիաների սահմանները».

Հղումներ:
Լ.Դ. Կուդրյավցև. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1. Մոսկվա, 2003 թ.
ՍՄ. Նիկոլսկին. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1. Մոսկվա, 1983 թ.

Այսօր դասարանում մենք կանդրադառնանք խիստ հաջորդականությունԵվ ֆունկցիայի սահմանի խիստ սահմանում, ինչպես նաև սովորել լուծել տեսական բնույթի համապատասխան խնդիրներ։ Հոդվածը նախատեսված է հիմնականում բնական գիտությունների և ճարտարագիտական ​​մասնագիտությունների առաջին կուրսի ուսանողների համար, ովքեր սկսել են ուսումնասիրել մաթեմատիկական վերլուծության տեսությունը և դժվարությունների են հանդիպել բարձրագույն մաթեմատիկայի այս բաժինը հասկանալու համար: Բացի այդ, նյութը բավականին հասանելի է ավագ դպրոցի աշակերտներին։

Կայքի գոյության տարիների ընթացքում ես ստացել եմ տասնյակ նամակներ մոտավորապես հետևյալ բովանդակությամբ՝ «Մաթեմատիկական վերլուծությունից լավ չեմ հասկանում, ի՞նչ անեմ», «Մաթեմատիկան ընդհանրապես չեմ հասկանում, ես մտածում եմ ուսումս թողնելու մասին» և այլն։ Եվ իսկապես, հենց մատանան է, որ հաճախ առաջին նիստից հետո նոսրացնում է ուսանողական խումբը։ Ինչու՞ է սա այդպես: Որովհետև թեման աներևակայելի բարդ է: Ընդհանրապես! Մաթեմատիկական վերլուծության տեսությունը այնքան էլ բարդ չէ, որքան յուրօրինակ. Եվ դուք պետք է ընդունեք և սիրեք նրան այնպիսին, ինչպիսին նա է =)

Սկսենք ամենադժվար դեպքից. Առաջին և ամենակարևորն այն է, որ դուք չպետք է հրաժարվեք ձեր ուսումից: Ճիշտ հասկացիր, դու միշտ կարող ես թողնել;-) Իհարկե, եթե մեկ-երկու տարի հետո քեզ հիվանդ ես զգում քո ընտրած մասնագիտությունից, ապա այո, պետք է մտածել դրա մասին. (և մի բարկացիր!)գործունեության փոփոխության մասին. Բայց առայժմ արժե շարունակել։ Եվ խնդրում եմ, մոռացեք «Ես ոչինչ չեմ հասկանում» արտահայտությունը, այնպես չէ, որ դուք ընդհանրապես ոչինչ չեք հասկանում:

Ի՞նչ անել, եթե տեսությունը վատն է: Սա, ի դեպ, վերաբերում է ոչ միայն մաթեմատիկական վերլուծությանը։ Եթե ​​տեսությունը վատն է, ապա նախ պետք է ԼՈՒՐՋ կենտրոնանալ պրակտիկայի վրա։ Այս դեպքում միանգամից երկու ռազմավարական խնդիր է լուծվում.

– Նախ, տեսական գիտելիքների զգալի մասն առաջացել է պրակտիկայի միջոցով: Եվ դա է պատճառը, որ շատերը հասկանում են տեսությունը… – դա ճիշտ է: Ոչ, ոչ, դու դրա մասին չես մտածում =)

– Եվ, երկրորդ, գործնական հմտությունները, ամենայն հավանականությամբ, ձեզ «կքաշեն» քննությունից, նույնիսկ եթե… բայց եկեք այդքան չհուզվենք: Ամեն ինչ իրական է, և ամեն ինչ կարելի է «բարձրացնել» բավականին կարճ ժամանակում։ Մաթեմատիկական վերլուծությունը բարձրագույն մաթեմատիկայի իմ ամենասիրած բաժինն է, և, հետևաբար, ես պարզապես չէի կարող օգնել ձեզ.

1-ին կիսամյակի սկզբում սովորաբար ծածկվում են հաջորդականության սահմանները և գործառույթների սահմանները: Չե՞ք հասկանում, թե դրանք ինչ են և չգիտե՞ք ինչպես լուծել դրանք: Սկսեք հոդվածից Գործառույթների սահմանները, որում հայեցակարգն ինքնին ուսումնասիրվում է «մատների վրա» և վերլուծվում են ամենապարզ օրինակները։ Հաջորդը, աշխատեք թեմայի վերաբերյալ այլ դասերի միջոցով, ներառյալ դասը հաջորդականությունների շրջանակներում, որի վերաբերյալ ես փաստացի արդեն խիստ սահմանում եմ ձեւակերպել։

Անհավասարության նշաններից և մոդուլից բացի ի՞նչ նշաններ գիտեք:

– Երկար ուղղահայաց փայտը կարդում է այսպես. «Այնպիսին», «Այդպիսին», «Այնպիսին» կամ «Այնպիսին», մեր դեպքում, ակնհայտորեն, մենք խոսում ենք թվի մասին, հետևաբար «այդպիսին»;

– բոլոր «en»-ի համար ավելի մեծ, քան ;

– մոդուլի նշանը նշանակում է հեռավորություն, այսինքն. այս գրառումը մեզ ասում է, որ արժեքների միջև հեռավորությունը էպսիլոնից փոքր է:

Դե, մահացու դժվա՞ր է։ =)

Պրակտիկան տիրապետելուց հետո անհամբեր սպասում եմ ձեզ տեսնելու հաջորդ պարբերությունում.

Եվ իրականում եկեք մի փոքր մտածենք՝ ինչպե՞ս ձևակերպել հաջորդականության խիստ սահմանումը։ ...Առաջին բանը, որ գալիս է մտքիս աշխարհում գործնական դաս«Հաջորդականության սահմանն այն թիվն է, որին հաջորդականության անդամները մոտենում են անսահմանորեն մոտ»:

Լավ, գրենք հաջորդականություն :

Դա հասկանալը դժվար չէ հաջորդականություն մոտենալ անսահման մոտ –1 թվին և զույգ թվով տերմիններին - դեպի «մեկ»:

Իսկ գուցե երկու սահման կա՞: Բայց այդ դեպքում ինչո՞ւ որևէ հաջորդականություն չի կարող ունենալ դրանցից տասը կամ քսանը: Դուք կարող եք հեռու գնալ այս ճանապարհով: Այս առումով տրամաբանական է ենթադրել, որ եթե հաջորդականությունը սահման ունի, ուրեմն այն եզակի է.

Նշում հաջորդականությունը սահման չունի, բայց նրանից կարելի է առանձնացնել երկու ենթահաջորդություններ (տե՛ս վերևում), որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր սահմանը։

Այսպիսով, վերը նշված սահմանումը պարզվում է, որ անհիմն է: Այո, այն աշխատում է նման դեպքերի համար (որը ես այնքան էլ ճիշտ չեմ օգտագործել գործնական օրինակների պարզեցված բացատրություններում), բայց հիմա պետք է խիստ սահմանում գտնել։

Փորձ երկու. «Հաջորդականության սահմանն այն թիվն է, որին մոտենում են հաջորդականության ԲՈԼՈՐ անդամները, բացառությամբ, հնարավոր է, դրանց եզրափակիչքանակները»։ Սա ավելի մոտ է ճշմարտությանը, բայց դեռևս ամբողջովին ճշգրիտ չէ: Այսպիսով, օրինակ, հաջորդականությունը տերմինների կեսը ընդհանրապես չի մոտենում զրոյին, դրանք պարզապես հավասար են դրան =) Ի դեպ, «թարթող լույսը» սովորաբար ընդունում է երկու ֆիքսված արժեք:

Ձևակերպումը դժվար չէ հստակեցնել, բայց հետո մեկ այլ հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս գրել սահմանումը մաթեմատիկական նշաններով։ Գիտական ​​աշխարհը երկար ժամանակ պայքարեց այս խնդրի դեմ, մինչև իրավիճակը հանգուցալուծվի հայտնի մաեստրո, որը, ըստ էության, պաշտոնականացրեց դասական մաթեմատիկական վերլուծությունն իր ողջ խստությամբ։ Քոշին առաջարկել է վիրահատություն շրջապատը , ինչը զգալիորեն առաջ է բերել տեսությունը։

Հաշվի առեք մի կետ և դրա մասին կամայական- շրջակայքը:

«Էպսիլոնի» արժեքը միշտ դրական է, և ավելին. մենք ինքներս ընտրելու իրավունք ունենք. Ենթադրենք, որ այս թաղամասում շատ անդամներ կան (պարտադիր չէ, որ բոլորը)որոշ հաջորդականություն. Ինչպե՞ս գրել այն փաստը, որ, օրինակ, տասներորդ տերմինը գտնվում է հարեւանությամբ: Թող այն լինի դրա աջ կողմում: Այնուհետև և կետերի միջև հեռավորությունը պետք է լինի փոքր «էպսիլոնից». Այնուամենայնիվ, եթե «x տասներորդը» գտնվում է «ա» կետից ձախ, ապա տարբերությունը բացասական կլինի, և, հետևաբար, դրան պետք է ավելացնել նշանը. մոդուլ: .

ՍահմանումԹիվը կոչվում է հաջորդականության սահման, եթե ցանկացածի համարիր շրջապատը (նախապես ընտրված)կա այնպիսի բնական թիվ, որ ԲՈԼՈՐԱվելի մեծ թվեր ունեցող հաջորդականության անդամները կլինեն հարևանության ներսում.

Կամ կարճ ասած՝ եթե

Այլ կերպ ասած, որքան էլ փոքր լինի «էպսիլոնի» արժեքը, վաղ թե ուշ հաջորդականության «անսահման պոչը» ԱՄԲՈՂՋԱԿԱՆ կլինի այս հարևանությամբ։

Օրինակ՝ հաջորդականության «անսահման պոչը»։ ԱՄԲՈՂՋՈՒԹՅԱՄԲ կմտնի կետի ցանկացած կամայական փոքր հարևանություն: Այսպիսով, այս արժեքը ըստ սահմանման հաջորդականության սահմանն է: Հիշեցնեմ, որ կոչվում է այն հաջորդականությունը, որի սահմանը զրո է անսահման փոքր.

Պետք է նշել, որ հաջորդականության համար այլևս հնարավոր չէ ասել «անվերջ պոչ». ներս կգա«- կենտ թվերով անդամներն իրականում հավասար են զրոյի և «ոչ մի տեղ մի գնա» =) Դրա համար էլ սահմանման մեջ օգտագործվում է «կհայտնվի» բայը։ Եվ, իհարկե, նման հաջորդականության անդամները նույնպես «ոչ մի տեղ չեն գնում»: Ի դեպ, ստուգեք՝ արդյոք թիվը դրա սահմանն է։

Այժմ մենք ցույց կտանք, որ հաջորդականությունը սահման չունի։ Դիտարկենք, օրինակ, կետի հարևանությունը: Միանգամայն պարզ է, որ չկա այնպիսի թիվ, որից հետո ԲՈԼՈՐ տերմինները կհայտնվեն տվյալ թաղամասում. կենտ տերմինները միշտ «դուրս կգան» «մինուս մեկ»: Նմանատիպ պատճառով, կետում սահմանափակում չկա:

Եկեք համախմբենք նյութը պրակտիկայի հետ.

Օրինակ 1

Ապացուցե՛ք, որ հաջորդականության սահմանը զրո է։ Նշեք այն թիվը, որից հետո հաջորդականության բոլոր անդամները երաշխավորված են լինելու կետի ցանկացած կամայական փոքր հարևանությամբ:

Նշում Շատ հաջորդականությունների համար անհրաժեշտ բնական թիվը կախված է արժեքից, հետևաբար նշումը:

Լուծում: հաշվի առնել կամայական կա որեւէթիվ – այնպիսին, որ ավելի բարձր թվով ԲՈԼՈՐ անդամները կլինեն այս թաղամասում.

Պահանջվող թվի գոյությունը ցույց տալու համար այն արտահայտում ենք .

Քանի որ «en»-ի ցանկացած արժեքի համար մոդուլի նշանը կարող է հեռացվել.

Մենք օգտագործում ենք «դպրոցական» գործողություններ անհավասարություններով, որոնք ես կրկնեցի դասարանում Գծային անհավասարություններԵվ Գործառույթի տիրույթ. Այս դեպքում կարևոր հանգամանք է այն, որ «էպսիլոն»-ը և «են»-ը դրական են.

Քանի որ մենք խոսում ենք ձախ կողմում գտնվող բնական թվերի մասին, իսկ աջ կողմը հիմնականում կոտորակային է, այն պետք է կլորացվի.

Նշում Երբեմն մի միավոր ավելացվում է ապահով կողմում գտնվելու իրավունքին, բայց իրականում դա չափազանցություն է: Համեմատաբար ասած, եթե արդյունքը թուլացնենք՝ կլորացնելով դեպի ներքև, ապա ամենամոտ հարմար թիվը («երեք») դեռ կբավարարի սկզբնական անհավասարությունը։

Այժմ մենք նայում ենք անհավասարությանը և հիշում այն, ինչ մենք ի սկզբանե համարում էինք կամայական- հարևանություն, այսինքն. «epsilon»-ը կարող է հավասարվել որևէ մեկինդրական թիվ.

Եզրակացությունկետի ցանկացած կամայական փոքր հարևանության համար արժեքը գտնվել է . Այսպիսով, թիվը ըստ սահմանման հաջորդականության սահմանն է: Ք.Ե.Դ.

Ի դեպ, ստացված արդյունքից բնական օրինաչափությունը հստակ տեսանելի է. որքան փոքր է հարևանությունը, այնքան մեծ է թիվը, որից հետո հաջորդականության ԲՈԼՈՐ անդամները կլինեն այս հարևանությամբ: Բայց որքան էլ փոքր լինի «էպսիլոնը», միշտ կլինի «անսահման պոչ» ներսում, իսկ դրսում, նույնիսկ եթե այն մեծ է, այնուամենայնիվ. եզրափակիչանդամների թիվը։

Ինչպե՞ս են ձեր տպավորությունները: =) Համաձայն եմ, որ դա մի քիչ տարօրինակ է: Բայց խիստ!Խնդրում եմ նորից կարդա և նորից մտածիր ամեն ինչի մասին։

Դիտարկենք նմանատիպ օրինակ և ծանոթանանք այլ տեխնիկական տեխնիկայի.

Օրինակ 2

Լուծումհաջորդականության սահմանմամբ անհրաժեշտ է դա ապացուցել (բարձրաձայն ասա!!!).

Եկեք դիտարկենք կամայական- կետի և ստուգման հարևանությունը, գոյություն ունի՞բնական թիվ – այնպիսին, որ բոլոր ավելի մեծ թվերի համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը.

Այդպիսի գոյությունը ցույց տալու համար անհրաժեշտ է «en» արտահայտել «էպսիլոնի» միջոցով։ Մենք պարզեցնում ենք արտահայտությունը մոդուլի նշանի տակ.

Մոդուլը ոչնչացնում է մինուս նշանը.

Հայտարարը դրական է ցանկացած «en»-ի համար, հետևաբար, ձողիկները կարող են հեռացվել.

Խառնել:

Այժմ մենք պետք է հանենք քառակուսի արմատը, բայց կարևորն այն է, որ որոշ «էպսիլոնի» համար աջ կողմը բացասական կլինի: Այս դժվարությունից խուսափելու համար ամրապնդենքանհավասարություն ըստ մոդուլի.

Ինչու՞ կարելի է դա անել: Եթե, համեմատաբար, պարզվի, որ, ապա պայմանը նույնպես կբավարարվի։ Մոդուլը կարող է պարզապես ավելացրեքցանկալի համարը, և դա մեզ նույնպես կհամապատասխանի: Կոպիտ ասած, եթե հարյուրերորդը հարմար է, ապա երկու հարյուրերորդն էլ է հարմար։ Ըստ սահմանման, դուք պետք է ցույց տաք հենց թվի գոյության փաստը(առնվազն մի քանիսը), որից հետո հաջորդականության բոլոր անդամները կլինեն -հարեւանությամբ: Ի դեպ, սա է պատճառը, որ մենք չենք վախենում աջ կողմի վերջնական կլորացումից դեպի վեր։

Արմատը հանելը.

Եվ կլորացրեք արդյունքը.

Եզրակացություն: որովհետեւ «էպսիլոն» արժեքը ընտրվել է կամայականորեն, այնուհետև կետի ցանկացած կամայական փոքր հարևանության համար արժեքը գտնվել է , այնպիսին, որ բոլոր ավելի մեծ թվերի դեպքում անհավասարությունը պահպանվում է . Այսպիսով, a-priory. Ք.Ե.Դ.

խորհուրդ եմ տալիս հատկապեսԱնհավասարությունների ուժեղացման և թուլացման ըմբռնումը մաթեմատիկական վերլուծության մեջ բնորոշ և շատ տարածված տեխնիկա է: Միակ բանը, որ պետք է վերահսկել, այս կամ այն ​​գործողության ճիշտությունն է։ Այսպիսով, օրինակ, անհավասարությունը ոչ մի դեպքում դա հնարավոր չէ թուլացնել, հանելով, ասենք, մեկ:

Կրկին պայմանականորեն. եթե թիվը ճիշտ է համապատասխանում, ապա նախորդը կարող է այլևս չտեղավորվել:

Հետևյալ օրինակը անկախ լուծման համար.

Օրինակ 3

Օգտագործելով հաջորդականության սահմանումը, ապացուցեք դա

Կարճ լուծում և պատասխան դասի վերջում.

Եթե ​​հաջորդականությունը անսահման մեծ, ապա սահմանի սահմանումը ձևակերպվում է նույն ձևով. կետը կոչվում է հաջորդականության սահման, եթե այդպիսին կա, այնքան մեծ, որքան ուզում եսթիվ, կա այնպիսի թիվ, որ բոլոր ավելի մեծ թվերի դեպքում անհավասարությունը կբավարարվի։ Համարը կոչվում է «գումարած անսահմանություն» կետի մոտ:

Այլ կերպ ասած, որքան էլ մեծ արժեքը վերցնենք, հաջորդականության «անսահման պոչը» անպայմանորեն կմտնի կետի հարևանություն՝ թողնելով միայն վերջավոր թվով անդամներ ձախ կողմում:

Ստանդարտ օրինակ.

Եվ կրճատված նշում՝ , եթե

Գործի համար ինքներդ գրեք սահմանումը։ Ճիշտ տարբերակը դասի վերջում է։

Երբ ձեր գլուխը զբաղեցնեք գործնական օրինակներով և պարզեք հաջորդականության սահմանի սահմանումը, կարող եք դիմել հաշվարկների և/կամ ձեր դասախոսական տետրին վերաբերող գրականությանը: Խորհուրդ եմ տալիս ներբեռնել Bohan-ի 1-ին հատորը (ավելի պարզ - հեռակա ուսանողների համար)և Ֆիխտենհոլցը (ավելի մանրամասն և մանրամասն). Ի թիվս այլ հեղինակների, ես խորհուրդ եմ տալիս Պիսկունովին, որի դասընթացը ուղղված է տեխնիկական բուհերին։

Փորձեք բարեխղճորեն ուսումնասիրել այն թեորեմները, որոնք վերաբերում են հաջորդականության սահմանին, դրանց ապացույցներին, հետևանքներին։ Սկզբում տեսությունը կարող է թվալ «ամպամած», բայց դա նորմալ է, պարզապես պետք է ընտելանալ դրան: Եվ շատերը նույնիսկ կզգան դրա համը:

Ֆունկցիայի սահմանի խիստ սահմանում

Սկսենք նույն բանից՝ ինչպե՞ս ձևակերպել այս հայեցակարգը։ Ֆունկցիայի սահմանի բանավոր սահմանումը շատ ավելի պարզ է ձևակերպված. «թիվը ֆունկցիայի սահմանն է, եթե «x»-ը հակված է դեպի (և ձախ և աջ), համապատասխան ֆունկցիայի արժեքները հակված են » (տես նկարը). Թվում է, թե ամեն ինչ նորմալ է, բայց բառերը բառեր են, իմաստը իմաստ է, պատկերակը պատկերակ է, և բավականաչափ խիստ մաթեմատիկական նշումներ չկան: Իսկ երկրորդ պարբերությունում կծանոթանանք այս հարցի լուծման երկու մոտեցումների.

Թող ֆունկցիան սահմանվի որոշակի ընդմիջումով, հնարավոր բացառությամբ կետի: Ուսումնական գրականության մեջ ընդհանուր առմամբ ընդունված է, որ ֆունկցիան այնտեղ Ոչսահմանված:

Այս ընտրությունն ընդգծում է ֆունկցիայի սահմանի էությունը: «x» անսահման մոտմոտեցումները, և ֆունկցիայի համապատասխան արժեքներն են անսահման մոտԴեպի . Այլ կերպ ասած, սահման հասկացությունը ենթադրում է ոչ թե կետերի «ճշգրիտ մոտեցում», այլ այն անսահման մոտ մոտավորություն, նշանակություն չունի՝ ֆունկցիան նշված է կետում, թե ոչ։

Ֆունկցիայի սահմանի առաջին սահմանումը, զարմանալի չէ, ձևակերպված է երկու հաջորդականությամբ: Նախ, հասկացությունները փոխկապակցված են, և երկրորդը, գործառույթների սահմանները սովորաբար ուսումնասիրվում են հաջորդականությունների սահմաններից հետո:

Դիտարկենք հաջորդականությունը միավորներ (ոչ գծագրի վրա), պատկանող միջակայքին ու տարբերվում է, որը համընկնում էԴեպի . Այնուհետև համապատասխան ֆունկցիայի արժեքները կազմում են նաև թվային հաջորդականություն, որի անդամները գտնվում են օրդինատների առանցքի վրա:

Ֆունկցիայի սահմանը ըստ Հայնեի ցանկացածի համարկետերի հաջորդականություն (պատկանում և տարբերվում է), որը համընկնում է կետին, ֆունկցիայի արժեքների համապատասխան հաջորդականությունը համընկնում է .

Էդուարդ Հայնեն գերմանացի մաթեմատիկոս է։ ...Իսկ նման բան մտածելու կարիք չկա, Եվրոպայում միայն մեկ գեյ կա՝ Գեյ-Լուսակ =)

Սահմանի երկրորդ սահմանումը ստեղծվեց... այո, այո, ճիշտ եք։ Բայց նախ, եկեք հասկանանք դրա դիզայնը: Դիտարկենք կետի կամայական հարևանությունը («սև» թաղամաս). Ելնելով նախորդ պարբերությունից՝ մուտքը նշանակում է, որ որոշ արժեքֆունկցիան գտնվում է «epsilon» թաղամասում:

Այժմ մենք գտնում ենք -հարեւանություն, որը համապատասխանում է տվյալ -հարեւանությանը (մտավոր գծեք սև կետավոր գծեր ձախից աջ, այնուհետև վերևից ներքև). Նշենք, որ արժեքը ընտրված է ավելի փոքր հատվածի երկարությամբ, այս դեպքում՝ ավելի կարճ ձախ հատվածի երկարությամբ: Ավելին, կետի «ազնվամորու» հարևանությունը կարող է նույնիսկ կրճատվել, քանի որ հետևյալ սահմանմամբ. կարևոր է հենց գոյության փաստըայս թաղամասը. Եվ, նմանապես, նշումը նշանակում է, որ որոշ արժեք գտնվում է «դելտա» հարևանությամբ:

Cauchy ֆունկցիայի սահմանըԹիվը կոչվում է ֆունկցիայի սահման մի կետում, եթե ցանկացածի համար նախապես ընտրվածհարեւանություն (ինչքան ուզում ես փոքր), գոյություն ունի- կետի հարևանությունը, ԱՅՍՊԱՆ, որ՝ ՈՐՊԵՍ ՄԻԱՅՆ արժեքներ (պատկանում է)ներառված այս ոլորտում. (կարմիր սլաքներ)- ԱՅՍՊԵՍ ԱՆԳԱՄ համապատասխան գործառույթի արժեքները երաշխավորված են մուտքագրելու -հարեւանություն. (կապույտ սլաքներ).

Պետք է նախազգուշացնեմ, որ պարզության համար մի փոքր իմպրովիզներ արեցի, այնպես որ մի չափազանցեք =)

Կարճ մուտք. , եթե

Ո՞րն է սահմանման էությունը: Պատկերավոր ասած՝ անսահմանորեն նվազեցնելով -հարեւանությունը՝ մենք «ուղեկցում» ենք ֆունկցիայի արժեքները մինչև իրենց սահմանը՝ նրանց այլընտրանք չթողնելով որևէ այլ տեղ մոտենալու համար: Բավականին անսովոր, բայց կրկին խիստ: Գաղափարն ամբողջությամբ հասկանալու համար նորից կարդացեք ձևակերպումը։

! Ուշադրությունեթե միայն պետք է ձևակերպել Հայնեի սահմանումըկամ պարզապես Կոշի սահմանումխնդրում եմ մի մոռացեք էականնախնական մեկնաբանություններ. «Դիտարկենք մի ֆունկցիա, որը սահմանված է որոշակի ընդմիջումով, հնարավոր բացառությամբ կետի». Ես դա մեկ անգամ ասել եմ հենց սկզբում և ամեն անգամ չեմ կրկնել։

Համաձայն մաթեմատիկական վերլուծության համապատասխան թեորեմի՝ Հայնեի և Կոշիի սահմանումները համարժեք են, սակայն երկրորդ տարբերակն ամենահայտնին է. (դեռ կուզեի!), որը նաև կոչվում է «լեզվի սահման».

Օրինակ 4

Օգտագործելով սահմանաչափի սահմանումը, ապացուցեք դա

Լուծում: ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային տողի վրա, բացառությամբ կետի: Օգտվելով սահմանումից՝ մենք ապացուցում ենք տվյալ կետում սահմանի առկայությունը։

Նշում «դելտա» հարևանության արժեքը կախված է «էպսիլոնից», հետևաբար նշանակումը

Եկեք դիտարկենք կամայական- շրջակայքը. Խնդիրն է օգտագործել այս արժեքը՝ ստուգելու համար, թե արդյոք գոյություն ունի՞- շրջակայքը, ԱՅՍՊԱՆ, որը անհավասարությունից հետևում է անհավասարությունը .

Ենթադրելով, որ մենք փոխակերպում ենք վերջին անհավասարությունը.
(ընդլայնել է քառակուսի եռանկյունը)