მოცემულია მარჯვენა წრიული კონუსი წვერით. გაკვეთილი "კონუსის მოცულობა

V ცილინდრი \u003d S მთავარი. თ

მაგალითი 2მოცემულია მარჯვენა წრიული კონუსი ABC ტოლგვერდა, BO = 10. იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

გამოსავალი

იპოვეთ კონუსის ფუძის რადიუსი. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

მოდით OS = ა, შემდეგ BC = 2 ა. პითაგორას თეორემის მიხედვით:

პასუხი: .

მაგალითი 3. გამოთვალეთ ფიგურების მოცულობები, რომლებიც წარმოიქმნება მითითებული ხაზებით შემოსაზღვრული უბნების ბრუნვით.

y2=4x; y=0; x=4.

ინტეგრაციის ლიმიტები a = 0, b = 4.

V= | =32π

Დავალებები

ვარიანტი 1

1. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთი არის კვადრატი, რომლის დიაგონალი არის 4 დმ. იპოვნეთ ცილინდრის მოცულობა.

2. ღრუ სფეროს გარე დიამეტრი 18 სმ, კედლის სისქე 3 სმ იპოვეთ სფეროს კედლების მოცულობა.

X ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურა y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

ვარიანტი 2

1. სამი ბურთის რადიუსი არის 6 სმ, 8 სმ, 10 სმ, დაადგინეთ ბურთის რადიუსი, რომლის მოცულობა უდრის ამ ბურთების მოცულობების ჯამს.

2. კონუსის ძირის ფართობია 9 სმ 2, მთლიანი ზედაპირის ფართობი 24 სმ 2. იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

3. გამოთვალეთ O ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი სხეულის მოცულობა Xხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურა y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

საკონტროლო კითხვები:

1. დაწერეთ სხეულების მოცულობის თვისებები.

2. დაწერეთ ფორმულა Oy ღერძის გარშემო ბრუნვის სხეულის მოცულობის გამოსათვლელად.

გაკვეთილის ტექსტის ახსნა:

ჩვენ ვაგრძელებთ მყარი გეომეტრიის მონაკვეთის შესწავლას „რევოლუციის სხეული“.

რევოლუციის ორგანოებია: ცილინდრები, კონუსები, ბურთები.

გავიხსენოთ განმარტებები.

სიმაღლე არის მანძილი ფიგურის ან სხეულის ზემოდან ფიგურის (სხეულის) ფუძემდე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ფიგურის ზედა და ქვედა ნაწილის დამაკავშირებელი და მასთან პერპენდიკულარული სეგმენტი.

გახსოვდეთ, წრის ფართობის საპოვნელად გავამრავლოთ პი რადიუსის კვადრატზე.

წრის ფართობი ტოლია.

გავიხსენოთ, როგორ მოვძებნოთ წრის ფართობი დიამეტრის ცოდნით? იმიტომ რომ

მოდი ჩავწეროთ ფორმულაში:

კონუსი ასევე არის რევოლუციის სხეული.

კონუსი (უფრო ზუსტად, წრიული კონუსი) არის სხეული, რომელიც შედგება წრისგან - კონუსის ფუძე, წერტილი, რომელიც არ დევს ამ წრის სიბრტყეში - კონუსის ზევით და ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ზევით. კონუსი ფუძის წერტილებით.

მოდით გავეცნოთ კონუსის მოცულობის პოვნის ფორმულას.

თეორემა. კონუსის მოცულობა უდრის ბაზის ფართობის მესამედს გამრავლებული სიმაღლეზე.

დავამტკიცოთ ეს თეორემა.

მოცემული: კონუსი, S არის მისი ფუძის ფართობი,

h არის კონუსის სიმაღლე

დაამტკიცე: V=

დადასტურება: განვიხილოთ კონუსი V მოცულობით, ფუძის რადიუსით R, სიმაღლე h და მწვერვალი O წერტილში.

მოდით შემოვიტანოთ Ox ღერძი OM-ის გავლით, კონუსის ღერძი. კონუსის თვითნებური მონაკვეთი x-ღერძზე პერპენდიკულარული სიბრტყით არის წრე, რომელიც ცენტრშია წერტილზე

M1 - ამ სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი Ox-ის ღერძთან. ამ წრის რადიუსი ავღნიშნოთ როგორც R1, ხოლო განივი უბანი S(x), სადაც x არის M1 წერტილის აბსციზა.

მართკუთხა სამკუთხედების OM1A1 და OMA მსგავსებიდან (ے OM1A1 = ے OMA - სწორი ხაზები, ےMOA - საერთო, რაც ნიშნავს, რომ სამკუთხედები ორ კუთხით მსგავსია) გამოდის, რომ

ნახაზი აჩვენებს, რომ OM1=x, OM=h

ან საიდანაც პროპორციის თვისებით ვპოულობთ R1 = .

ვინაიდან მონაკვეთი არის წრე, შემდეგ S (x) \u003d πR12, ჩვენ ვცვლით წინა გამოსახულებას R1-ის ნაცვლად, განყოფილების ფართობი უდრის პი ერ კვადრატის ნამრავლის თანაფარდობას კვადრატზე x კვადრატზე სიმაღლის კვადრატთან:

მოდით გამოვიყენოთ ძირითადი ფორმულა

სხეულების მოცულობების გამოთვლა, a=0, b=h, მივიღებთ გამოსახულებას (1)

ვინაიდან კონუსის ფუძე არის წრე, კონუსის ფუძის S ფართობი ტოლი იქნება პიერ კვადრატის

სხეულის მოცულობის გამოთვლის ფორმულაში ჩვენ ვცვლით პიერ კვადრატის მნიშვნელობას ფუძის ფართობით და მივიღებთ, რომ კონუსის მოცულობა უდრის ფართობის ნამრავლის მესამედს. ფუძისა და სიმაღლის

თეორემა დადასტურდა.

თეორემის დასკვნა (ფორმულა შეკვეცილი კონუსის მოცულობისთვის)

შეკვეცილი კონუსის მოცულობა V, რომლის სიმაღლეა h, და S და S1 ფუძეების ფართობები, გამოითვლება ფორმულით.

Ve უდრის ფერფლის მესამედს, გამრავლებული ფუძის ფართობების ჯამზე და ფუძის ფართობების ნამრავლის კვადრატულ ფესვზე.

Პრობლემის გადაჭრა

მართკუთხა სამკუთხედი 3 სმ და 4 სმ ფეხებით ბრუნავს ჰიპოტენუზის გარშემო. განსაზღვრეთ მიღებული სხეულის მოცულობა.

როდესაც სამკუთხედი ბრუნავს ჰიპოტენუზის გარშემო, ვიღებთ კონუსს. ამ პრობლემის გადაჭრისას მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ შესაძლებელია ორი შემთხვევა. თითოეულ მათგანში ვიყენებთ კონუსის მოცულობის საპოვნელ ფორმულას: კონუსის მოცულობა უდრის ფუძის ნამრავლისა და სიმაღლის მესამედს.

პირველ შემთხვევაში, ნახატი ასე გამოიყურება: მოცემულია კონუსი. ვთქვათ რადიუსი r = 4, სიმაღლე h = 3

ფუძის ფართობი ტოლია π გამრავლებული რადიუსის კვადრატზე

მაშინ კონუსის მოცულობა უდრის ნამრავლის მესამედს π გამრავლებული რადიუსის კვადრატზე გამრავლებული სიმაღლეზე.

შეცვალეთ მნიშვნელობა ფორმულაში, გამოდის, რომ კონუსის მოცულობა არის 16π.

მეორე შემთხვევაში ასე: მოცემული კონუსი. ვთქვათ რადიუსი r = 3, სიმაღლე h = 4

კონუსის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობის მესამედს, გამრავლებული სიმაღლეზე:

ფუძის ფართობი ტოლია π გამრავლებული რადიუსის კვადრატზე:

მაშინ კონუსის მოცულობა უდრის ნამრავლის მესამედს π-ჯერ რადიუსის კვადრატზე გამრავლებული სიმაღლეზე:

შეცვალეთ მნიშვნელობა ფორმულაში, გამოდის, რომ კონუსის მოცულობა არის 12π.

პასუხი: V კონუსის მოცულობა არის 16 π ან 12 π

ამოცანა 2. მოცემულია 6 სმ რადიუსის მქონე მართი წრიული კონუსი, კუთხე BCO = 45.

იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

ამოხსნა: ამ ამოცანისთვის მოცემულია მზა ნახატი.

მოდით დავწეროთ კონუსის მოცულობის პოვნის ფორმულა:

ჩვენ გამოვხატავთ მას R ფუძის რადიუსის მიხედვით:

ჩვენ ვპოულობთ h \u003d BO კონსტრუქციით, - მართკუთხა, რადგან კუთხე BOC=90 (სამკუთხედის კუთხეების ჯამი), ფუძესთან კუთხეები ტოლია, ამიტომ სამკუთხედი ΔBOC არის ტოლკუთხედი და BO=OC=6 სმ.

მიეცით მარჯვენა წრიული ცილინდრი, პროგნოზების ჰორიზონტალური სიბრტყე მისი ფუძის პარალელურია. როდესაც ცილინდრი იკვეთება სიბრტყით ზოგად მდგომარეობაში (ვვარაუდობთ, რომ სიბრტყე არ კვეთს ცილინდრის ფუძეებს), გადაკვეთის ხაზი არის ელიფსი, თავად მონაკვეთს აქვს ელიფსის ფორმა, მისი ჰორიზონტალური პროექცია ემთხვევა ცილინდრის ფუძის პროექცია, ხოლო წინა მხარეს ასევე აქვს ელიფსის ფორმა. მაგრამ თუ საჭრელი სიბრტყე ცილინდრის ღერძთან ერთად ქმნის 45 °-ის ტოლ კუთხეს, მაშინ მონაკვეთი, რომელსაც აქვს ელიფსის ფორმა, წრის მიერ არის დაპროექტებული პროექციების იმ სიბრტყეზე, რომლისკენაც მონაკვეთი ერთნაირად არის დახრილი. კუთხე.

თუ საჭრელი სიბრტყე კვეთს ცილინდრის გვერდით ზედაპირს და მის ერთ-ერთ ფუძეს (სურ. 8.6), მაშინ გადაკვეთის ხაზს აქვს არასრული ელიფსის (ელიფსის ნაწილის) ფორმა. მონაკვეთის ჰორიზონტალური პროექცია ამ შემთხვევაში წრის ნაწილია (ბაზის პროექცია), ხოლო შუბლის ნაწილი ელიფსის ნაწილია. სიბრტყე შეიძლება განთავსდეს ნებისმიერი საპროექციო სიბრტყის პერპენდიკულარულად, შემდეგ მონაკვეთი დაპროექტებული იქნება ამ პროექციის სიბრტყეზე სწორი ხაზით (სანტური სიბრტყის კვალის ნაწილი).

თუ ცილინდრი იკვეთება გენერატრიქსის პარალელურად სიბრტყით, მაშინ გვერდითი ზედაპირის გადაკვეთის ხაზები სწორია, ხოლო თავად მონაკვეთს აქვს მართკუთხედის ფორმა, თუ ცილინდრი სწორია, ან პარალელოგრამი, თუ ცილინდრი დახრილია.

მოგეხსენებათ, ცილინდრიც და კონუსიც მართული ზედაპირებით იქმნება.

ხაზოვანი ზედაპირისა და სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი (გაჭრის ხაზი) ​​ზოგად შემთხვევაში არის გარკვეული მრუდი, რომელიც აგებულია გენერატორების კვეთის სიბრტყესთან გადაკვეთის წერტილებიდან.

მიეცეს სწორი წრიული კონუსი.სიბრტყით გადაკვეთისას გადაკვეთის ხაზს შეიძლება ჰქონდეს: სამკუთხედის, ელიფსის, წრის, პარაბოლის, ჰიპერბოლის (ნახ. 8.7), სიბრტყის მდებარეობის მიხედვით.

სამკუთხედი მიიღება, როდესაც ჭრის სიბრტყე, რომელიც გადაკვეთს კონუსს, გადის მის წვეროზე. ამ შემთხვევაში ლატერალურ ზედაპირთან გადაკვეთის ხაზები არის კონუსის თავზე გადაკვეთილი სწორი ხაზები, რომლებიც ფუძის გადაკვეთის ხაზთან ერთად წარმოქმნიან საპროექციო სიბრტყეებზე გამოსახულ სამკუთხედს დამახინჯებით. თუ სიბრტყე კვეთს კონუსის ღერძს, მაშინ განყოფილებაში მიიღება სამკუთხედი, რომელშიც კონუსის წვეროს ემთხვევა წვეროს კუთხე მაქსიმალური იქნება მოცემული კონუსის სამკუთხედის მონაკვეთებისთვის. ამ შემთხვევაში, მონაკვეთი დაპროექტებულია ჰორიზონტალურ საპროექციო სიბრტყეზე (ის არის მისი ბაზის პარალელურად) სწორი ხაზის სეგმენტით.

სიბრტყისა და კონუსის გადაკვეთის ხაზი იქნება ელიფსი, თუ სიბრტყე არ არის კონუსის რომელიმე გენერატორის პარალელურად. ეს უდრის იმ ფაქტს, რომ თვითმფრინავი კვეთს ყველა გენერატორს (კონუსის მთელ გვერდით ზედაპირს). თუ ჭრის სიბრტყე პარალელურია კონუსის ფუძის პარალელურად, მაშინ გადაკვეთის ხაზი არის წრე, თავად მონაკვეთი დაპროექტებულია ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეზე დამახინჯების გარეშე, ხოლო შუბლის სიბრტყეზე - როგორც სწორი ხაზის სეგმენტი.

გადაკვეთის ხაზი იქნება პარაბოლა, როდესაც სეკანტური სიბრტყე პარალელურია კონუსის მხოლოდ ერთი გენერატორის. თუ ჭრის სიბრტყე პარალელურია ორი გენერატორის ერთდროულად, მაშინ გადაკვეთის ხაზი არის ჰიპერბოლა.

შეკვეცილი კონუსი მიიღება, თუ მარჯვენა წრიული კონუსი იკვეთება ფუძის პარალელურად და კონუსის ღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყით, ხოლო ზედა ნაწილი გადაყრილია. იმ შემთხვევაში, როდესაც ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყე პარალელურია შეკვეცილი კონუსის ფუძეებთან, ეს ფუძეები დაპროექტებულია ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეზე კონცენტრული წრეებით დამახინჯების გარეშე, ხოლო შუბლის პროექცია არის ტრაპეცია. როდესაც ჩამოჭრილი კონუსი იკვეთება სიბრტყით, მისი მდებარეობიდან გამომდინარე, ამოჭრილ ხაზს შეიძლება ჰქონდეს ტრაპეციის, ელიფსის, წრის, პარაბოლის, ჰიპერბოლის ან ამ მრუდის ნაწილის ფორმა, რომლის ბოლოები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული. სწორი ხაზი.

დიაგნოსტიკური სამუშაო შედგება ორი ნაწილისგან, მათ შორის 19 დავალებისგან. ნაწილი 1 შეიცავს სირთულის ძირითადი დონის 8 ამოცანას მოკლე პასუხით. ნაწილი 2 შეიცავს 4 გაზრდილი სირთულის დავალებას მოკლე პასუხით და 7 გაზრდილი და მაღალი დონის სირთულის დავალებას დეტალური პასუხით.
მათემატიკაში დიაგნოსტიკური სამუშაოს შესასრულებლად გამოყოფილია 3 საათი 55 წუთი (235 წუთი).
1-12 დავალებების პასუხები იწერება როგორც მთელი რიცხვი ან ბოლო ათობითი წილადი. პასუხების ველებში ჩაწერეთ რიცხვები ნაწარმოების ტექსტში, შემდეგ კი გადაიტანეთ პასუხების ფურცელ No1-ში 13-19 დავალებების შესრულებისას საჭიროა ჩაწეროთ სრული ამოხსნა და პასუხი პასუხების ფურცელზე No. 2.
ყველა ფორმა დასრულებულია ნათელი შავი მელნით. დასაშვებია გელის, კაპილარული ან შადრევანი კალმების გამოყენება.
დავალებების შესრულებისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ მონახაზი. ნამუშევრების პროექტები არ ითვლება სამუშაოს შეფასებაში.
ქულები, რომლებსაც მიიღებთ დასრულებული დავალებებისთვის, შეჯამებულია.
გისურვებთ წარმატებებს!

დავალების პირობები

1. იპოვეთ თუ
2. ლაბორატორიაში ეკრანზე ნათურის გადიდებული გამოსახულების მისაღებად გამოიყენება კონვერგირებადი ობიექტივი ძირითადი ფოკუსური მანძილით = 30 სმ. მანძილი ლინზიდან ნათურამდე შეიძლება იცვლებოდეს 40-დან 65 სმ-მდე, ხოლო მანძილი. ობიექტივიდან ეკრანამდე - 75-დან 100 სმ-მდე დიაპაზონში. ეკრანზე გამოსახულება ნათელი იქნება, თუ თანაფარდობა დაკმაყოფილდება. მიუთითეთ ყველაზე დიდი მანძილი ლინზიდან, რომლითაც ნათურა შეიძლება განთავსდეს ისე, რომ მისი გამოსახულება ეკრანზე იყოს ნათელი. გამოხატეთ თქვენი პასუხი სანტიმეტრებში.
3. გემი გადის მდინარის გასწვრივ დანიშნულების ადგილამდე 300 კმ და გაჩერების შემდეგ ბრუნდება გამგზავრების ადგილზე. იპოვეთ დენის სიჩქარე, თუ გემის სიჩქარე უძრავ წყალში 15 კმ/სთ-ია, პარკინგი გრძელდება 5 საათი, გემი კი მისგან გამგზავრებიდან 50 საათის შემდეგ ბრუნდება გაფრენის წერტილში. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
4. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე
5. ა) ამოხსენით განტოლება ბ) იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი, რომელიც ეკუთვნის სეგმენტს
6. მოცემულია მარჯვენა წრიული კონუსი წვერით მ. კონუსის ღერძული მონაკვეთი - სამკუთხედი მწვერვალზე 120 ° კუთხით მ. კონუსის გენერატორი არის. წერტილის მეშვეობით მკონუსის მონაკვეთი შედგენილია ერთ-ერთი გენერატორის პერპენდიკულარულად.
   ა) დაამტკიცეთ, რომ მიღებული სამკუთხედი არის ბლაგვი სამკუთხედი.
   ბ) იპოვეთ მანძილი ცენტრიდან შესახებკონუსის საფუძველი მონაკვეთის სიბრტყემდე.
7. ამოხსენით განტოლება
8. წრე ცენტრით შესახებმხარეს ეხება ABტოლფერდა სამკუთხედი abc,გვერდითი გაფართოებები ACდა ფონდის გაგრძელება მზეწერტილში ნ. Წერტილი მ- ბაზის შუა მზე.
   ა) დაამტკიცეთ MN=AC.
   ბ) იპოვეთ OS,თუ სამკუთხედის გვერდები ABCარის 5, 5 და 8.
9. ბიზნეს პროექტი „ა“ ითვალისწინებს მასში დაბანდებული თანხების ზრდას ყოველწლიურად 34,56%-ით პირველი ორი წლის განმავლობაში და 44%-ით ყოველწლიურად მომდევნო ორი წლის განმავლობაში. პროექტი "B" ითვალისწინებს ზრდას მუდმივი მთელი რიცხვით ნპროცენტი ყოველწლიურად. იპოვეთ ყველაზე პატარა მნიშვნელობა ნ, რომლის ფარგლებშიც პირველი ოთხი წლის განმავლობაში პროექტი "B" უფრო მომგებიანი იქნება, ვიდრე პროექტი "A".
10. იპოვნეთ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა , , რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლებათა სისტემა აქვს ერთადერთი გამოსავალი
11. ანა თამაშობს თამაშს: დაფაზე იწერება ორი განსხვავებული ნატურალური რიცხვი და , ორივე 1000-ზე ნაკლებია. თუ ორივე ნატურალური რიცხვია, მაშინ ანა მოძრაობს - წინა რიცხვებს ცვლის ამ ორი რიცხვით. თუ ამ რიცხვებიდან ერთი მაინც არ არის ნატურალური რიცხვი, მაშინ თამაში მთავრდება.
    ა) შეიძლება თუ არა თამაში გაგრძელდეს ზუსტად სამი სვლით?
    ბ) არის ორი საწყისი რიცხვი ისეთი, რომ თამაში გაგრძელდეს მინიმუმ 9 სვლით?
    გ) ანამ თამაშში პირველი ნაბიჯი გადადგა. იპოვეთ მიღებული ორი რიცხვის ნამრავლის უდიდესი შესაძლო შეფარდება ნამრავლთან