წრიული მოძრაობა. წრიული მოძრაობის განტოლება

USE კოდიფიკატორის თემები: მოძრაობა წრეში მუდმივი მოდულის სიჩქარით, ცენტრიდანული აჩქარება.

ერთიანი წრიული მოძრაობა არის მოძრაობის საკმაოდ მარტივი მაგალითი აჩქარების ვექტორით, რომელიც დამოკიდებულია დროზე.

მიეცით წერტილი ბრუნავს რადიუსის წრეზე. წერტილის სიჩქარე არის მუდმივი მოდული და ტოლია. სიჩქარე ეწოდება ხაზოვანი სიჩქარექულები.

მიმოქცევის პერიოდი არის ერთი სრული რევოლუციის დრო. პერიოდისთვის, ჩვენ გვაქვს აშკარა ფორმულა:

. (1)

ცირკულაციის სიხშირე არის პერიოდის ორმხრივი:

სიხშირე მიუთითებს რამდენ სრულ ბრუნს აკეთებს წერტილი წამში. სიხშირე იზომება rpm-ში (რევოლუციები წამში).

მოდით, მაგალითად,. ეს ნიშნავს, რომ დროის განმავლობაში წერტილი სრულდება
ბრუნვა. სიხშირე ამ შემთხვევაში უდრის: დაახლოებით / წმ; წერტილი აკეთებს 10 სრულ ბრუნს წამში.

კუთხური სიჩქარე.

განვიხილოთ წერტილის ერთგვაროვანი ბრუნვა დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში. მოვათავსოთ კოორდინატების საწყისი წრის ცენტრში (სურ. 1).

ბრინჯი. 1. ერთიანი წრიული მოძრაობა

მოდით იყოს წერტილის საწყისი პოზიცია; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამისთვის, წერტილს ჰქონდა კოორდინატები. ნება მიეცით წერტილი დროულად შემობრუნდეს კუთხით და დაიკავეთ პოზიცია.

ბრუნვის კუთხის შეფარდება დროზე ეწოდება კუთხური სიჩქარე წერტილის როტაცია:

. (2)

კუთხე ჩვეულებრივ იზომება რადიანებში, ამიტომ კუთხის სიჩქარე იზომება რად/წმ-ში. ბრუნვის პერიოდის ტოლი დროის განმავლობაში, წერტილი ბრუნავს კუთხით. Ამიტომაც

. (3)

(1) და (3) ფორმულების შედარებისას მივიღებთ წრფივ და კუთხურ სიჩქარეებს შორის ურთიერთობას:

. (4)

მოძრაობის კანონი.

ახლა ვიპოვოთ მბრუნავი წერტილის კოორდინატების დამოკიდებულება დროზე. ჩვენ ვხედავთ ნახ. 1 რომ

მაგრამ ფორმულიდან (2) გვაქვს: . შესაბამისად,

. (5)

ფორმულები (5) არის მექანიკის მთავარი ამოცანის ამოხსნა წრის გასწვრივ წერტილის ერთგვაროვანი მოძრაობისთვის.

ცენტრიდანული აჩქარება.

ახლა ჩვენ გვაინტერესებს მბრუნავი წერტილის აჩქარება. მისი პოვნა შესაძლებელია (5) ურთიერთობების ორჯერ დიფერენცირებით:

ფორმულების (5) გათვალისწინებით, ჩვენ გვაქვს:

(6)

შედეგად მიღებული ფორმულები (6) შეიძლება დაიწეროს ერთი ვექტორული ტოლობის სახით:

(7)

სად არის მბრუნავი წერტილის რადიუსის ვექტორი.

ჩვენ ვხედავთ, რომ აჩქარების ვექტორი მიმართულია რადიუსის ვექტორის საპირისპიროდ, ანუ წრის ცენტრისკენ (იხ. სურ. 1). ამიტომ წრეში ერთნაირად მოძრავი წერტილის აჩქარებას ეწოდება ცენტრიდანული.

გარდა ამისა, ფორმულიდან (7) ვიღებთ გამონათქვამს ცენტრიდანული აჩქარების მოდულისთვის:

(8)

ჩვენ გამოვხატავთ კუთხის სიჩქარეს (4-დან)

და ჩაანაცვლეთ (8)-ში. მოდით მივიღოთ კიდევ ერთი ფორმულა ცენტრიდანული აჩქარებისთვის.

ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ მრუდი მოძრაობას, კერძოდ, სხეულის ერთგვაროვან მოძრაობას წრეში. ჩვენ გავიგებთ რა არის წრფივი სიჩქარე, ცენტრიდანული აჩქარება, როდესაც სხეული მოძრაობს წრეში. ასევე შემოგვაქვს სიდიდეები, რომლებიც ახასიათებს ბრუნვის მოძრაობას (ბრუნვის პერიოდი, ბრუნვის სიხშირე, კუთხური სიჩქარე) და აკავშირებს ამ სიდიდეებს ერთმანეთთან.

წრეში ერთგვაროვანი მოძრაობით გასაგებია, რომ სხეული ბრუნავს იმავე კუთხით დროის ნებისმიერი იდენტური პერიოდის განმავლობაში (იხ. სურ. 6).

ბრინჯი. 6. ერთგვაროვანი წრიული მოძრაობა

ანუ, მყისიერი სიჩქარის მოდული არ იცვლება:

ამ სიჩქარეს ე.წ ხაზოვანი.

მიუხედავად იმისა, რომ სიჩქარის მოდული არ იცვლება, სიჩქარის მიმართულება მუდმივად იცვლება. განვიხილოთ სიჩქარის ვექტორები წერტილებში ადა ბ(იხ. სურ. 7). ისინი მიმართულია სხვადასხვა მიმართულებით, ამიტომ ისინი არ არიან თანაბარი. თუ გამოაკლდა სიჩქარეს წერტილში ბწერტილის სიჩქარე ავიღებთ ვექტორს.

ბრინჯი. 7. სიჩქარის ვექტორები

სიჩქარის () ცვლილების თანაფარდობა იმ დროს, რომლის დროსაც მოხდა ეს ცვლილება () არის აჩქარება.

ამიტომ, ნებისმიერი მრუდი მოძრაობა აჩქარებულია.

თუ გავითვალისწინებთ მე-7 სურათზე მიღებულ სიჩქარის სამკუთხედს, მაშინ წერტილების ძალიან მჭიდრო განლაგებით ადა ბსიჩქარის ვექტორებს შორის კუთხე (α) ახლოს იქნება ნულთან:

ასევე ცნობილია, რომ ეს სამკუთხედი ტოლფერდაა, ამიტომ სიჩქარის მოდულები ტოლია (ერთგვაროვანი მოძრაობა):

მაშასადამე, ამ სამკუთხედის ფუძის ორივე კუთხე განუსაზღვრელად ახლოს არის:

ეს ნიშნავს, რომ აჩქარება, რომელიც მიმართულია ვექტორის გასწვრივ, რეალურად არის ტანგენტის პერპენდიკულარული. ცნობილია, რომ ტანგენტის პერპენდიკულარულ წრეში წრფე რადიუსია, ასე აჩქარება მიმართულია რადიუსის გასწვრივ წრის ცენტრისკენ. ამ აჩქარებას ცენტრიპეტული ეწოდება.

სურათი 8 გვიჩვენებს ადრე განხილული სიჩქარის სამკუთხედს და ტოლფერდა სამკუთხედს (ორი გვერდი არის წრის რადიუსი). ეს სამკუთხედები მსგავსია, რადგან მათ აქვთ თანაბარი კუთხეები, რომლებიც წარმოიქმნება ორმხრივი პერპენდიკულარული ხაზებით (რადიუსი, ვექტორის მსგავსად, ტანგენტის პერპენდიკულარულია).

ბრინჯი. 8. ცენტრიდანული აჩქარების ფორმულის გამოყვანის ილუსტრაცია

ხაზის სეგმენტი ABარის მოძრაობა(). ჩვენ განვიხილავთ ერთგვაროვან წრიულ მოძრაობას, ასე რომ:

ჩვენ ვცვლით შედეგად გამოსახულებას ABსამკუთხედის მსგავსების ფორმულაში:

"წრფივი სიჩქარის", "აჩქარების", "კოორდინატის" ცნებები საკმარისი არ არის მრუდი ტრაექტორიის გასწვრივ მოძრაობის აღსაწერად. ამიტომ აუცილებელია ბრუნვის მოძრაობის დამახასიათებელი სიდიდეების შემოღება.

1. როტაციის პერიოდი (თ ) ეწოდება ერთი სრული რევოლუციის დრო. ის იზომება SI ერთეულებში წამებში.

პერიოდების მაგალითები: დედამიწა თავისი ღერძის გარშემო ბრუნავს 24 საათში (), ხოლო მზის გარშემო - 1 ​​წელიწადში ().

პერიოდის გამოთვლის ფორმულა:

სად არის მთლიანი ბრუნვის დრო; - რევოლუციების რაოდენობა.

2. ბრუნვის სიხშირე (ნ ) - რევოლუციების რაოდენობა, რომელსაც სხეული აკეთებს დროის ერთეულზე. იგი იზომება SI ერთეულებში საპასუხო წამებში.

სიხშირის პოვნის ფორმულა:

სად არის მთლიანი ბრუნვის დრო; - რევოლუციების რაოდენობა

სიხშირე და პერიოდი უკუპროპორციულია:

3. კუთხური სიჩქარე () ეწოდება სხეულის მობრუნების კუთხის ცვლილების თანაფარდობას იმ დროს, რომლის დროსაც მოხდა ეს შემობრუნება. იგი იზომება SI ერთეულებში რადიანებში, გაყოფილი წამებზე.

კუთხური სიჩქარის პოვნის ფორმულა:

სად არის კუთხის ცვლილება; არის დრო, რომელიც დასჭირდა მორიგეობისთვის.

წრიული მოძრაობა არის სხეულის მრუდი მოძრაობის უმარტივესი შემთხვევა. როდესაც სხეული მოძრაობს გარკვეული წერტილის გარშემო, გადაადგილების ვექტორთან ერთად, მოსახერხებელია კუთხოვანი გადაადგილების Δ φ (ბრუნის კუთხე წრის ცენტრთან მიმართებაში), რომელიც იზომება რადიანებში.

კუთხური გადაადგილების ცოდნით, შესაძლებელია გამოვთვალოთ წრიული რკალის (ბილიკის) სიგრძე, რომელიც სხეულმა გაიარა.

∆ l = R ∆ φ

თუ ბრუნვის კუთხე მცირეა, მაშინ ∆ l ≈ ∆ s .

მოდი ილუსტრაციულად ვაჩვენოთ ნათქვამი:

კუთხური სიჩქარე

მრუდი მოძრაობით შემოდის კუთხური სიჩქარის კონცეფცია ω, ანუ ბრუნვის კუთხის ცვლილების სიჩქარე.

განმარტება. კუთხური სიჩქარე

კუთხური სიჩქარე ტრაექტორიის მოცემულ წერტილში არის კუთხური გადაადგილების ∆ φ შეფარდების ზღვარი ∆ t დროის ინტერვალთან, რომლის დროსაც ის მოხდა. ∆t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t, ∆ t → 0.

კუთხური სიჩქარის საზომი ერთეულია რადიანები წამში (r a d s).

წრეში მოძრაობისას სხეულის კუთხურ და წრფივ სიჩქარეებს შორის არის კავშირი. კუთხური სიჩქარის პოვნის ფორმულა:

წრეში ერთიანი მოძრაობით, v და ω სიჩქარეები უცვლელი რჩება. იცვლება მხოლოდ წრფივი სიჩქარის ვექტორის მიმართულება.

ამ შემთხვევაში, სხეულზე წრის გასწვრივ ერთგვაროვან მოძრაობაზე გავლენას ახდენს ცენტრიდანული, ანუ ნორმალური აჩქარება, რომელიც მიმართულია წრის რადიუსის გასწვრივ მის ცენტრში.

a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

ცენტრიდანული აჩქარების მოდული შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:

a n = v 2 R = ω 2 R

მოდით დავამტკიცოთ ეს ურთიერთობები.

განვიხილოთ ვექტორი v → როგორ იცვლება ∆ t დროის მცირე მონაკვეთში. ∆ v → = v B → - v A → .

A და B წერტილებში სიჩქარის ვექტორი მიმართულია წრეზე ტანგენციალურად, ხოლო სიჩქარის მოდულები ორივე წერტილში ერთნაირია.

აჩქარების განმარტებით:

a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

მოდით შევხედოთ სურათს:

სამკუთხედები OAB და BCD მსგავსია. აქედან გამომდინარეობს, რომ O A B = B C C D.

თუ Δ φ კუთხის მნიშვნელობა მცირეა, მანძილი A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . იმის გათვალისწინებით, რომ O A \u003d R და C D \u003d ∆ v ზემოთ განხილული მსგავსი სამკუთხედებისთვის, მივიღებთ:

R v ∆ t = v ∆ v ან ∆ v ∆ t = v 2 R

როდესაც ∆ φ → 0 , ვექტორის მიმართულება ∆ v → = v B → - v A → უახლოვდება მიმართულებას წრის ცენტრისკენ. თუ დავუშვებთ, რომ ∆ t → 0, მივიღებთ:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t; ∆t → 0 ; a n → = v 2 R.

წრის გასწვრივ ერთიანი მოძრაობით, აჩქარების მოდული რჩება მუდმივი და ვექტორის მიმართულება იცვლება დროთა განმავლობაში, ხოლო ინარჩუნებს ორიენტაციას წრის ცენტრში. ამიტომ ამ აჩქარებას ცენტრიპეტული ეწოდება: ვექტორი ნებისმიერ დროს მიმართულია წრის ცენტრისკენ.

ცენტრიდანული აჩქარების ჩანაწერი ვექტორული ფორმით ასეთია:

a n → = - ω 2 R → .

აქ R → არის წერტილის რადიუსის ვექტორი წრეზე, რომლის საწყისიც ცენტრშია.

ზოგადად, წრეზე მოძრაობისას აჩქარება შედგება ორი კომპონენტისგან - ნორმალური და ტანგენციალური.

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც სხეული წრეზე არაერთგვაროვნად მოძრაობს. შემოვიღოთ ტანგენციალური (ტანგენციალური) აჩქარების ცნება. მისი მიმართულება ემთხვევა სხეულის წრფივი სიჩქარის მიმართულებას და წრის თითოეულ წერტილში მიმართულია მასზე ტანგენციალურად.

a τ = ∆ v τ ∆ t; Δt → 0

აქ ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 არის სიჩქარის მოდულის ცვლილება ∆ t ინტერვალზე

სრული აჩქარების მიმართულება განისაზღვრება ნორმალური და ტანგენციალური აჩქარებების ვექტორული ჯამით.

წრიული მოძრაობა სიბრტყეში შეიძლება აღწერილი იყოს ორი კოორდინატის გამოყენებით: x და y. დროის ყოველ მომენტში, სხეულის სიჩქარე შეიძლება დაიშალოს v x და v y კომპონენტებად.

თუ მოძრაობა ერთგვაროვანია, მნიშვნელობები v x და v y, ისევე როგორც შესაბამისი კოორდინატები, დროთა განმავლობაში შეიცვლება ჰარმონიული კანონის მიხედვით, პერიოდით T = 2 π R v = 2 π ω.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter