y x 1 ფუნქციის გრაფიკის გამოკვლევა 2. ფუნქციის სრული გამოკვლევა და გამოსახვა

თუ დავალებაში აუცილებელია f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 ფუნქციის სრული შესწავლა მისი გრაფიკის აგებით, მაშინ ამ პრინციპს დეტალურად განვიხილავთ.

ამ ტიპის პრობლემის გადასაჭრელად უნდა გამოვიყენოთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები. კვლევის ალგორითმი მოიცავს შემდეგ ნაბიჯებს:

განსაზღვრების დომენის პოვნა

ვინაიდან კვლევა ტარდება ფუნქციის დომენზე, აუცილებელია ამ ნაბიჯით დავიწყოთ.

მაგალითი 1

მოცემული მაგალითი მოიცავს მნიშვნელის ნულების პოვნას, რათა გამოირიცხოს ისინი DPV-დან.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

შედეგად, შეგიძლიათ მიიღოთ ფესვები, ლოგარითმები და ა.შ. შემდეგ ODZ შეიძლება მოძებნოთ g (x) 4 ტიპის ლუწი ხარისხის ფესვი g (x) ≥ 0 , ლოგარითმისთვის log a g (x) უტოლობით g (x) > 0 .

ODZ-ის საზღვრების გამოკვლევა და ვერტიკალური ასიმპტოტების მოძიება

ფუნქციის საზღვრებზე არის ვერტიკალური ასიმპტოტები, როდესაც ასეთ წერტილებში ცალმხრივი საზღვრები უსასრულოა.

მაგალითი 2

მაგალითად, განვიხილოთ სასაზღვრო წერტილები x = ± 1 2-ის ტოლი.

შემდეგ საჭიროა ფუნქციის შესწავლა ცალმხრივი ლიმიტის მოსაძებნად. შემდეგ მივიღებთ, რომ: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

ეს გვიჩვენებს, რომ ცალმხრივი საზღვრები უსასრულოა, რაც ნიშნავს, რომ ხაზები x = ± 1 2 არის გრაფის ვერტიკალური ასიმპტოტები.

ფუნქციის გამოკვლევა და ლუწი ან კენტი

როდესაც პირობა y (- x) = y (x) დაკმაყოფილებულია, ფუნქცია ითვლება ლუწი. ეს ვარაუდობს, რომ გრაფიკი განლაგებულია სიმეტრიულად O y-ის მიმართ. როდესაც პირობა y (- x) = - y (x) დაკმაყოფილებულია, ფუნქცია ითვლება კენტად. ეს ნიშნავს, რომ სიმეტრია მიდის კოორდინატების წარმოშობასთან მიმართებაში. თუ ერთი უტოლობა მაინც ვერ ხერხდება, ვიღებთ ზოგადი ფორმის ფუნქციას.

y (- x) = y (x) ტოლობის შესრულება მიუთითებს, რომ ფუნქცია ლუწია. აგებისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ, რომ იქნება სიმეტრია O y-ის მიმართ.

უტოლობის ამოსახსნელად გამოიყენება ზრდისა და შემცირების ინტერვალები f "(x) ≥ 0 და f" (x) ≤ 0 პირობებით, შესაბამისად.

განმარტება 1

სტაციონარული წერტილებიარის წერტილები, რომლებიც წარმოებულს ნულს აქცევს.

კრიტიკული წერტილებიარის შიდა წერტილები დომენიდან, სადაც ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის ან არ არსებობს.

გადაწყვეტილების მიღებისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული შემდეგი პუნქტები:

• f "(x) > 0 ფორმის უტოლობის ზრდისა და შემცირების არსებული ინტერვალებისთვის ამონახსნში არ შედის კრიტიკული წერტილები;
• წერტილები, რომლებზეც ფუნქცია განისაზღვრება სასრული წარმოებულის გარეშე, უნდა იყოს ჩართული გაზრდისა და შემცირების ინტერვალებში (მაგალითად, y \u003d x 3, სადაც წერტილი x \u003d 0 განსაზღვრავს ფუნქციას, წარმოებულს აქვს უსასრულობის მნიშვნელობა. ამ ეტაპზე, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 შედის გაზრდის ინტერვალში);
• უთანხმოების თავიდან აცილების მიზნით რეკომენდებულია მათემატიკური ლიტერატურის გამოყენება, რომელსაც განათლების სამინისტრო გირჩევთ.

კრიტიკული წერტილების ჩართვა გაზრდისა და კლების ინტერვალებში იმ შემთხვევაში, თუ ისინი აკმაყოფილებენ ფუნქციის დომენს.

განმარტება 2

ამისთვის ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების განსაზღვრისას აუცილებელია ვიპოვოთ:

• წარმოებული;
• კრიტიკული წერტილები;
• კრიტიკული წერტილების დახმარებით განსაზღვრის სფეროს ინტერვალებად დაყოფა;
• განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშანი თითოეულ ინტერვალზე, სადაც + არის ზრდა და - კლება.

მაგალითი 3

იპოვეთ წარმოებული f დომენზე "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

გამოსავალი

გადაჭრისთვის გჭირდებათ:

• იპოვეთ სტაციონარული წერტილები, ამ მაგალითს აქვს x = 0;
• იპოვეთ მნიშვნელის ნულები, მაგალითი იღებს ნულს x = ± 1 2-ზე.

ჩვენ გამოვყოფთ წერტილებს რიცხვით ღერძზე, რათა განვსაზღვროთ წარმოებული თითოეულ ინტერვალზე. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი წერტილი ინტერვალიდან და გააკეთოთ გამოთვლა. თუ შედეგი დადებითია, გრაფიკზე ვხატავთ +, რაც ნიშნავს ფუნქციის ზრდას და - ნიშნავს მის შემცირებას.

მაგალითად, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, რაც ნიშნავს, რომ მარცხნივ პირველ ინტერვალს აქვს + ნიშანი. განვიხილოთ რიცხვი ხაზი.

პასუხი:

• ხდება ფუნქციის ზრდა ინტერვალზე - ∞ ; - 1 2 და (- 1 2 ; 0 ] ;
• არის კლება ინტერვალზე [0; 1 2) და 1 2 ; +∞.

დიაგრამაზე, + და - გამოყენებით, გამოსახულია ფუნქციის პოზიტივი და ნეგატივი, ხოლო ისრები მიუთითებს კლებასა და ზრდაზე.

ფუნქციის უკიდურესი წერტილები არის ის წერტილები, სადაც ფუნქცია განისაზღვრება და რომლის მეშვეობითაც წარმოებული ცვლის ნიშანს.

მაგალითი 4

თუ განვიხილავთ მაგალითს, სადაც x \u003d 0, მაშინ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა არის f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. როდესაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება +-დან --მდე და გადის x \u003d 0 წერტილში, მაშინ წერტილი კოორდინატებით (0; 0) ითვლება მაქსიმალურ წერტილად. როდესაც ნიშანი იცვლება -დან +-მდე, ვიღებთ მინიმალურ ქულას.

ამოზნექილი და ჩაზნექილი განისაზღვრება f "" (x) ≥ 0 და f "" (x) ≤ 0 ფორმის უტოლობების ამოხსნით. ნაკლებად ხშირად იყენებენ სახელს bulge down ჩაზნექის ნაცვლად და bulge up-ის ნაცვლად.

განმარტება 3

ამისთვის ჩაზნექილისა და ამოზნექის ხარვეზების განსაზღვრასაჭირო:

• იპოვეთ მეორე წარმოებული;
• იპოვეთ მეორე წარმოებულის ფუნქციის ნულები;
• დაარღვიე განსაზღვრების სფერო იმ წერტილებით, რომლებიც ჩნდება ინტერვალებად;
• განსაზღვრეთ ხარვეზის ნიშანი.

მაგალითი 5

იპოვეთ მეორე წარმოებული განმარტების სფეროდან.

გამოსავალი

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

ვპოულობთ მრიცხველისა და მნიშვნელის ნულებს, სადაც ჩვენი მაგალითის გამოყენებით გვაქვს, რომ x = ± 1 2 მნიშვნელის ნულები.

ახლა თქვენ უნდა დააყენოთ ქულები რიცხვით ხაზზე და დაადგინოთ მეორე წარმოებულის ნიშანი თითოეული ინტერვალიდან. ჩვენ ამას მივიღებთ

პასუხი:

• ფუნქცია ამოზნექილია ინტერვალიდან - 1 2 ; 12 ;
• ფუნქცია ჩაზნექილია ხარვეზებიდან - ∞ ; - 1 2 და 1 2 ; +∞.

განმარტება 4

დახრის წერტილიარის x 0 ფორმის წერტილი; f(x0) . როდესაც მას აქვს ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე, მაშინ როდესაც ის გადის x 0-ზე, ფუნქცია ცვლის საპირისპირო ნიშანს.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის ის წერტილი, რომლის მეშვეობითაც მეორე წარმოებული გადის და ცვლის ნიშანს, ხოლო თავად წერტილებში ნულის ტოლია ან არ არსებობს. ყველა წერტილი ითვლება ფუნქციის დომენად.

მაგალითში ჩანდა, რომ არ არსებობს დახრის წერტილები, ვინაიდან მეორე წარმოებული ცვლის ნიშანს x = ± 1 2 წერტილებში გავლისას. ისინი, თავის მხრივ, არ შედის განმარტების დომენში.

ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტების მოძიება

უსასრულობაში ფუნქციის განსაზღვრისას უნდა მოძებნოთ ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტები.

განმარტება 5

ირიბი ასიმპტოტებიშედგენილია y = k x + b განტოლებით მოცემული ხაზების გამოყენებით, სადაც k = lim x → ∞ f (x) x და b = lim x → ∞ f (x) - k x .

k = 0-ისთვის და b-ისთვის, რომლებიც უსასრულობის ტოლი არ არის, აღმოვაჩენთ, რომ ირიბი ასიმპტოტი ხდება ჰორიზონტალური.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასიმპტოტები არის ხაზები, რომლებსაც ფუნქციის გრაფიკი უსასრულობაში უახლოვდება. ეს ხელს უწყობს ფუნქციის გრაფიკის სწრაფ აგებას.

თუ ასიმპტოტები არ არის, მაგრამ ფუნქცია ორივე უსასრულობაშია განსაზღვრული, აუცილებელია ამ უსასრულობებზე ფუნქციის ლიმიტის გამოთვლა, რათა გავიგოთ, როგორ მოიქცევა ფუნქციის გრაფიკი.

მაგალითი 6

მაგალითად, განიხილეთ ეს

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი. ფუნქციის შესწავლის შემდეგ შეგიძლიათ დაიწყოთ მისი აგება.

ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა შუალედურ წერტილებში

იმისათვის, რომ შედგენა მაქსიმალურად ზუსტი იყოს, რეკომენდებულია ფუნქციის რამდენიმე მნიშვნელობის პოვნა შუალედურ წერტილებში.

მაგალითი 7

ჩვენ განვიხილეთ მაგალითიდან, აუცილებელია ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 წერტილებში. ვინაიდან ფუნქცია ლუწია, მივიღებთ, რომ მნიშვნელობები ემთხვევა მნიშვნელობებს ამ წერტილებში, ანუ ვიღებთ x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

დავწეროთ და მოვაგვაროთ:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

ფუნქციის მაქსიმუმის და მინიმუმის დასადგენად, გადახრის წერტილები, შუალედური წერტილები, აუცილებელია ასიმპტოტების აგება. მოსახერხებელი აღნიშვნისთვის ფიქსირდება გაზრდის, შემცირების, ამოზნექის, ჩაზნექის ინტერვალები. განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

მონიშნულ წერტილებში აუცილებელია გრაფიკული ხაზების დახატვა, რაც საშუალებას მოგცემთ მიუახლოვდეთ ასიმპტოტებს ისრებით.

ამით სრულდება ფუნქციის სრული შესწავლა. არის რამდენიმე ელემენტარული ფუნქციის აგების შემთხვევები, რისთვისაც გამოიყენება გეომეტრიული გარდაქმნები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

რეშებნიკ კუზნეცოვი.
III გრაფიკები

დავალება 7. ფუნქციის სრული შესწავლის ჩატარება და მისი გრაფიკის აგება.

        სანამ თქვენი ოფციების ჩამოტვირთვას დაიწყებთ, სცადეთ პრობლემის მოგვარება ქვემოთ მოცემული ნიმუშის მიხედვით მე-3 ვარიანტისთვის. ზოგიერთი ვარიანტი დაარქივებულია .rar ფორმატში

        7.3 ფუნქციის სრული შესწავლა და დახაზვა

გამოსავალი.

        1) სფერო:         ან         ე.ი.        .
.
ამრიგად:         .

        2) Ox ღერძთან გადაკვეთის წერტილები არ არის. მართლაც, განტოლებას         არ აქვს ამონახსნები.
Oy ღერძთან გადაკვეთის წერტილები არ არის, რადგან        .

        3) ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი. არ არსებობს სიმეტრია y-ღერძის მიმართ. სიმეტრია არც წარმოშობის შესახებ არის. იმიტომ რომ
.
ჩვენ ვხედავთ, რომ         და        .

        4) ფუნქცია უწყვეტია დომენში
.

; .

; .
მაშასადამე, წერტილი         არის მეორე სახის შეწყვეტის წერტილი (უსასრულო შეწყვეტა).

5) ვერტიკალური ასიმპტოტები:       

იპოვეთ ირიბი ასიმპტოტა        . Აქ

;
.
ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტა: y=0. ირიბი ასიმპტოტები არ არსებობს.

        6) იპოვე პირველი წარმოებული. პირველი წარმოებული:
.
და ამიტომ
.
ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები, სადაც წარმოებული ტოლია ნულის, ანუ
.

        7) იპოვე მეორე წარმოებული. მეორე წარმოებული:
.
და ამის გადამოწმება ადვილია, რადგან

როგორ გამოვიკვლიოთ ფუნქცია და გამოვსახოთ მისი გრაფიკი?

როგორც ჩანს, მე ვიწყებ მსოფლიო პროლეტარიატის ლიდერის, 55 ტომად შეგროვებული ნაწარმოებების ავტორის სულიერი სახის გაგებას. გრძელი მოგზაურობა დაიწყო ელემენტარული ინფორმაციით ფუნქციები და გრაფიკები , და ახლა შრომატევად თემაზე მუშაობა სრულდება ბუნებრივი შედეგით - სტატიით სრული ფუნქციის შესწავლის შესახებ. დიდი ხნის ნანატრი დავალება ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:

გამოიკვლიეთ ფუნქცია დიფერენციალური გამოთვლის მეთოდებით და კვლევის შედეგების საფუძველზე ააგეთ მისი გრაფიკი.

ან მოკლედ: შეისწავლეთ ფუნქცია და დახაზეთ იგი.

რატომ გამოიკვლიეთ?მარტივ შემთხვევებში არ გაგვიჭირდება ელემენტარულ ფუნქციებთან გამკლავება, გამოყენებით მიღებული გრაფიკის დახატვა ელემენტარული გეომეტრიული გარდაქმნები და ა.შ. თუმცა, უფრო რთული ფუნქციების თვისებები და გრაფიკული გამოსახულებები შორს არის აშკარად, რის გამოც საჭიროა მთელი შესწავლა.

გადაწყვეტის ძირითადი ნაბიჯები შეჯამებულია საცნობარო მასალაში ფუნქციის შესწავლის სქემა , ეს არის თქვენი განყოფილების სახელმძღვანელო. დუმს ესაჭიროება თემის ეტაპობრივი ახსნა, ზოგიერთმა მკითხველმა არ იცის სად დაიწყოს და როგორ მოაწყოს სწავლა, ხოლო მოწინავე სტუდენტები შეიძლება დაინტერესდნენ მხოლოდ რამდენიმე პუნქტით. მაგრამ ვინც არ უნდა იყოთ, ძვირფასო სტუმარო, შემოთავაზებული რეზიუმე სხვადასხვა გაკვეთილების მითითებით, უმოკლეს დროში მოგმართავთ ინტერესის მიმართულებით. რობოტებმა ცრემლი მოაყარეს =) სახელმძღვანელო შედგენილია pdf ფაილის სახით და დაიკავა თავისი კანონიერი ადგილი გვერდზე მათემატიკური ფორმულები და ცხრილები .

ფუნქციის შესწავლას ვყოფდი 5-6 პუნქტად:

6) კვლევის შედეგების მიხედვით დამატებითი ქულები და გრაფიკი.

რაც შეეხება საბოლოო მოქმედებას, ვფიქრობ, ყველას ესმის ყველაფერი - ძალიან გულდასაწყვეტი იქნება, თუ რამდენიმე წამში გადაიწერება და დავალება დაბრუნდება გადასახედად. სწორი და ზუსტი ნახაზი გადაწყვეტის მთავარი შედეგია! დიდი ალბათობაა, რომ „დაფარავს“ ანალიტიკურ უგულებელყოფას, მაშინ როცა არასწორი და/ან დაუდევარი განრიგი პრობლემებს შეუქმნის თუნდაც შესანიშნავად ჩატარებულ კვლევას.

უნდა აღინიშნოს, რომ სხვა წყაროებში კვლევის საგნების რაოდენობა, მათი განხორციელების რიგი და დიზაინის სტილი შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს ჩემს მიერ შემოთავაზებული სქემისგან, მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში ეს სავსებით საკმარისია. პრობლემის უმარტივესი ვერსია შედგება მხოლოდ 2-3 ეტაპისგან და ჩამოყალიბებულია ასე: „გამოიკვლიე ფუნქცია წარმოებულისა და ნაკვეთის გამოყენებით“ ან „ფუნქციის შესწავლა 1-ლი და მე-2 წარმოებულის გამოყენებით, ნახაზი“.

ბუნებრივია, თუ სხვა ალგორითმი დეტალურად არის გაანალიზებული თქვენს სასწავლო სახელმძღვანელოში ან თქვენი მასწავლებელი მკაცრად მოითხოვს, რომ დაიცვან მისი ლექციები, მაშინ მოგიწევთ გადაწყვეტილების გარკვეული კორექტირება. არ არის უფრო რთული, ვიდრე ჩანგლის შეცვლა ჯაჭვის ხერხის კოვზით.

მოდით შევამოწმოთ ფუნქცია ლუწი/კენტისთვის:

ამას მოჰყვება შაბლონის გამოწერის გაუქმება:
ასე რომ, ეს ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

ვინაიდან ფუნქცია უწყვეტია ზე, ვერტიკალური ასიმპტოტები არ არსებობს.

ასევე არ არის ირიბი ასიმპტოტები.

შენიშვნა : შეგახსენებთ, რომ რაც უფრო მაღალია ზრდის ბრძანება ვიდრე , ასე რომ საბოლოო ლიმიტი არის ზუსტად " პლუსიუსასრულობა."

მოდით გავარკვიოთ, როგორ იქცევა ფუნქცია უსასრულობაში:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ მარჯვნივ მივდივართ, მაშინ გრაფიკი უსასრულოდ მაღლა მიდის, თუ მარცხნივ მივდივართ, უსასრულოდ შორს ქვემოთ. დიახ, ასევე არსებობს ორი შეზღუდვა ერთი შესვლის ქვეშ. თუ გაგიჭირდათ ნიშნების გაშიფვრა, გთხოვთ ეწვიოთ გაკვეთილს უსასრულოდ მცირე ფუნქციები .

ასე რომ ფუნქცია არ შემოიფარგლება ზემოდანდა არ შემოიფარგლება ქვემოდან. იმის გათვალისწინებით, რომ ჩვენ არ გვაქვს ბრეიკ პოინტები, ცხადი ხდება და ფუნქციის დიაპაზონი: ასევე ნებისმიერი რეალური რიცხვია.

სასარგებლო ტექნიკა

ამოცანის თითოეულ საფეხურს მოაქვს ახალი ინფორმაცია ფუნქციის გრაფიკის შესახებ, ასე რომ გადაწყვეტის პროცესში მოსახერხებელია გამოიყენოს ერთგვარი LAAYOUT. პროექტზე დავხატოთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემა. რა არის ზუსტად ცნობილი? ჯერ ერთი, გრაფიკს არ აქვს ასიმპტოტები, შესაბამისად, არ არის საჭირო სწორი ხაზების დახატვა. მეორე, ჩვენ ვიცით, როგორ იქცევა ფუნქცია უსასრულობაში. ანალიზის მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ პირველ მიახლოებას:

გაითვალისწინეთ, რომ ფაქტობრივად უწყვეტობა ფუნქცია და ის ფაქტი, რომ გრაფიკმა ერთხელ მაინც უნდა გადაკვეთოს ღერძი. ან იქნებ არის რამდენიმე გადაკვეთის წერტილი?

3) ფუნქციის ნულები და მუდმივი ნიშნის ინტერვალები.

ჯერ იპოვეთ გრაფიკის გადაკვეთის წერტილი y ღერძთან. Ეს მარტივია. აუცილებელია ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა, როდესაც:

ზღვის დონიდან ნახევარი.

ღერძთან გადაკვეთის წერტილების მოსაძებნად (ფუნქციის ნულები), თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება და აქ უსიამოვნო სიურპრიზი გველოდება:

ბოლოს თავისუფალი წევრი იმალება, რაც საგრძნობლად ართულებს დავალებას.

ასეთ განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი და ყველაზე ხშირად ეს ფესვი ირაციონალურია. ყველაზე ცუდ ზღაპარში სამი პატარა გოჭი გველოდება. განტოლება ამოსახსნელია ე.წ კარდანოს ფორმულები, მაგრამ ქაღალდის დაზიანება შედარებულია თითქმის მთელ კვლევასთან. ამასთან დაკავშირებით, უფრო გონივრული იქნება ზეპირად ან მონახაზზე, რომ სცადოთ მინიმუმ ერთის ამოღება მთლიანიფესვი. მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ეს რიცხვები:
- არ ერგება;
- იქ არის!

აქ იღბლიანია. წარუმატებლობის შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ და, და თუ ეს რიცხვები არ ჯდება, მაშინ ვშიშობ, რომ განტოლების მომგებიანი ამოხსნის შანსი ძალიან ცოტაა. მაშინ უმჯობესია გამოტოვოთ კვლევის წერტილი მთლიანად - შესაძლოა, რაღაც უფრო ნათელი გახდეს საბოლოო ეტაპზე, როდესაც დამატებითი პუნქტები გაიჭრება. და თუ ფესვი (ფესვები) აშკარად "ცუდია", მაშინ უმჯობესია მოკრძალებულად გაჩუმდეთ ნიშნების მუდმივობის ინტერვალებზე და უფრო ზუსტად დაასრულოთ ნახატი.

თუმცა, ჩვენ გვაქვს ლამაზი ფესვი, ამიტომ ვყოფთ მრავალწევრს დანარჩენისთვის:

მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფის ალგორითმი დეტალურად არის განხილული გაკვეთილის პირველ მაგალითში. კომპლექსური ლიმიტები .

შედეგად, ორიგინალური განტოლების მარცხენა მხარე ფართოვდება პროდუქტად:

ახლა კი ცოტა ჯანსაღი ცხოვრების წესის შესახებ. რა თქმა უნდა მესმის ეს კვადრატული განტოლებები უნდა ამოხსნას ყოველდღე, მაგრამ დღეს ჩვენ გამონაკლისს დავუშვებთ: განტოლებას აქვს ორი ნამდვილი ფესვი.

რიცხვთა ხაზზე ჩვენ გამოვსახავთ ნაპოვნი მნიშვნელობებს და ინტერვალის მეთოდი განსაზღვრეთ ფუნქციის ნიშნები:


og ამრიგად, ინტერვალებზე დიაგრამა მდებარეობს
x-ღერძის ქვემოთ და ინტერვალებით - ამ ღერძის ზემოთ.

შედეგად მიღებული დასკვნები საშუალებას გვაძლევს დავხვეწოთ ჩვენი განლაგება და გრაფიკის მეორე დაახლოება ასე გამოიყურება:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფუნქციას უნდა ჰქონდეს მინიმუმ ერთი მაქსიმუმი ინტერვალზე და მინიმუმ ერთი მინიმუმი ინტერვალზე. მაგრამ არ ვიცით რამდენჯერ, სად და როდის "გადაირევა" განრიგი. სხვათა შორის, ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი უკიდურესობები .

4) ფუნქციის გაზრდა, შემცირება და ექსტრემა.

მოდი ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები:

ამ განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. მოდით დავდოთ ისინი რიცხვთა წრფეზე და განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშნები:


შესაბამისად, ფუნქცია იზრდება და მცირდება .
იმ მომენტში ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს: .
იმ მომენტში ფუნქცია აღწევს მინიმუმს: .

დადგენილი ფაქტები ჩვენს შაბლონს საკმაოდ ხისტ ჩარჩოში აყენებს:

ზედმეტია იმის თქმა, რომ დიფერენციალური გაანგარიშება ძლიერი რამ არის. მოდით, საბოლოოდ გაუმკლავდეთ გრაფიკის ფორმას:

5) ამოზნექილი, ჩაზნექილი და დახრის წერტილები.

იპოვეთ მეორე წარმოებულის კრიტიკული წერტილები:

მოდით განვსაზღვროთ ნიშნები:


ფუნქციის გრაფიკი არის ამოზნექილი და ჩაზნექილი ზე. გამოვთვალოთ დახრის წერტილის ორდინატი: .

თითქმის ყველაფერი გაირკვა.

6) რჩება დამატებითი ქულების მოძიება, რაც ხელს შეუწყობს გრაფიკის უფრო ზუსტად აგებას და თვითშემოწმების ჩატარებას. ამ შემთხვევაში, ისინი ცოტაა, მაგრამ ჩვენ არ უგულებელვყოფთ:

მოდით შევასრულოთ ნახაზი:

დახრის წერტილი აღინიშნება მწვანეში, დამატებითი წერტილები აღინიშნება ჯვრებით. კუბური ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია მისი გადახრის წერტილის მიმართ, რომელიც ყოველთვის მდებარეობს ზუსტად შუაში მაქსიმუმსა და მინიმუმს შორის.

დავალების შესრულებისას სამი ჰიპოთეტური შუალედური ნახატი მივეცი. პრაქტიკაში საკმარისია კოორდინატთა სისტემის დახატვა, აღმოჩენილი წერტილების მონიშვნა და კვლევის ყოველი წერტილის შემდეგ გონებრივად გაერკვია, როგორი შეიძლება იყოს ფუნქციის გრაფიკი. მომზადების კარგი დონის მქონე სტუდენტებს არ გაუჭირდებათ ასეთი ანალიზის განხორციელება მხოლოდ გონებაში, მონახაზის ჩართვის გარეშე.

დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

შეისწავლეთ ფუნქცია და შექმენით გრაფიკი.

აქ ყველაფერი უფრო სწრაფი და სახალისოა, გაკვეთილის ბოლოს დასრულების სავარაუდო მაგალითი.

წილადი რაციონალური ფუნქციების შესწავლით ბევრი საიდუმლო ვლინდება:

მაგალითი 3

დიფერენციალური გამოთვლების მეთოდების გამოყენებით გამოიკვლიეთ ფუნქცია და კვლევის შედეგების საფუძველზე ააგეთ მისი გრაფიკი.

გამოსავალი: კვლევის პირველი ეტაპი არ განსხვავდება არაფრით აღსანიშნავი, გარდა ხვრელის განსაზღვრის ზონაში:

1) ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია მთელ რიცხვით წრფეზე, გარდა წერტილისა, დომენი : .

ასე რომ, ეს ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

ცხადია, ფუნქცია არაპერიოდულია.

ფუნქციის გრაფიკი შედგება ორი უწყვეტი ტოტისაგან, რომლებიც მდებარეობს მარცხენა და მარჯვენა ნახევარ სიბრტყეში - ეს არის ალბათ 1-ლი აბზაცის ყველაზე მნიშვნელოვანი დასკვნა.

2) ასიმპტოტები, ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში.

ა) ცალმხრივი ლიმიტების დახმარებით ვსწავლობთ ფუნქციის ქცევას საეჭვო წერტილთან, სადაც აშკარად უნდა იყოს ვერტიკალური ასიმპტოტი:

მართლაც, ფუნქციები გამძლეა გაუთავებელი უფსკრული წერტილში
ხოლო სწორი ხაზი (ღერძი) არის ვერტიკალური ასიმპტოტი გრაფიკული ხელოვნება.

ბ) შეამოწმეთ არის თუ არა ირიბი ასიმპტოტები:

დიახ, ხაზი არის ირიბი ასიმპტოტი გრაფიკა თუ.

საზღვრების გაანალიზებას აზრი არ აქვს, რადგან უკვე ცხადია, რომ ფუნქცია ჩახუტებულში თავისი ირიბი ასიმპტოტით არ შემოიფარგლება ზემოდანდა არ შემოიფარგლება ქვემოდან.

კვლევის მეორე პუნქტმა მოიტანა ბევრი მნიშვნელოვანი ინფორმაცია ფუნქციის შესახებ. მოდით გავაკეთოთ უხეში ესკიზი:

დასკვნა No1 ეხება ნიშნების მუდმივობის ინტერვალებს. "მინუს უსასრულობისას" ფუნქციის გრაფიკი განლაგებულია ცალსახად x ღერძის ქვემოთ, ხოლო "პლუს უსასრულობაზე" ის ამ ღერძის ზემოთ. გარდა ამისა, ცალმხრივმა ზღვრებმა გვითხრეს, რომ წერტილის მარცხნივ და მარჯვნივ ფუნქცია ასევე მეტია ნულზე. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში გრაფიკმა ერთხელ მაინც უნდა გადაკვეთოს x ღერძი. მარჯვენა ნახევარ სიბრტყეში შეიძლება არ იყოს ფუნქციის ნულები.

დასკვნა No2 არის ის, რომ ფუნქცია იზრდება წერტილიდან და მარცხნივ (მიდის „ქვემოდან ზევით“). ამ წერტილიდან მარჯვნივ ფუნქცია მცირდება (მიდის „ზემოდან ქვემოდან“). გრაფიკის მარჯვენა ტოტს აუცილებლად უნდა ჰქონდეს მინიმუმ ერთი მინიმუმი. მარცხნივ, უკიდურესობა არ არის გარანტირებული.

დასკვნა No3 იძლევა სანდო ინფორმაციას წერტილის სიახლოვეს გრაფის ჩაღრმავებულობის შესახებ. ჩვენ ჯერ ვერაფერს ვიტყვით უსასრულობაში ამოზნექილზე/ჩაღრმავებაზე, ვინაიდან ხაზის დაჭერა მის ასიმპტოტზე შესაძლებელია როგორც ზემოდან, ასევე ქვემოდან. ზოგადად რომ ვთქვათ, ამის გასარკვევად არსებობს ანალიტიკური გზა, მაგრამ დიაგრამის ფორმა „არაფრისთვის“ უფრო ნათელი გახდება მოგვიანებით ეტაპზე.

რატომ ამდენი სიტყვა? შემდგომი კვლევის ქულების გასაკონტროლებლად და შეცდომების თავიდან ასაცილებლად! შემდგომი გამოთვლები არ უნდა ეწინააღმდეგებოდეს გამოტანილ დასკვნებს.

3) გრაფის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან, ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები.

ფუნქციის გრაფიკი არ კვეთს ღერძს.

ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ განვსაზღვრავთ ნიშნებს:

, თუ ;
, თუ .

პუნქტის შედეგები სრულად შეესაბამება No1 დასკვნას. ყოველი ნაბიჯის შემდეგ შეხედეთ მონახაზს, გონებრივად მიმართეთ კვლევას და დაასრულეთ ფუნქციის გრაფიკის დახატვა.

ამ მაგალითში, მრიცხველი იყოფა ტერმინით ტერმინით, რაც ძალიან სასარგებლოა დიფერენციაციისთვის:

სინამდვილეში, ეს უკვე გაკეთდა ასიმპტოტების აღმოჩენისას.

- კრიტიკული წერტილი.

მოდით განვსაზღვროთ ნიშნები:

იზრდება და მცირდება

იმ მომენტში ფუნქცია აღწევს მინიმუმს: .

ასევე არ იყო შეუსაბამობა No2 დასკვნასთან და, დიდი ალბათობით, სწორ გზაზე ვართ.

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის გრაფიკი ჩაზნექილია განსაზღვრების მთელ დომენზე.

შესანიშნავი - და არაფრის დახატვა არ გჭირდებათ.

გადახრის წერტილები არ არის.

ჩაღრმავება შეესაბამება მე-3 დასკვნას, უფრო მეტიც, ის მიუთითებს, რომ უსასრულობაში (იქაც და იქაც) მდებარეობს ფუნქციის გრაფიკი. ზემოთმისი ირიბი ასიმპტოტი.

6) ჩვენ კეთილსინდისიერად დავამაგრებთ დავალებას დამატებითი ქულებით. აქ ბევრი უნდა ვიმუშაოთ, რადგან სწავლიდან მხოლოდ ორი ქულა ვიცით.

და სურათი, რომელიც, ალბათ, ბევრმა დიდი ხანია წარმოადგინა:

დავალების შესრულებისას ყურადღება უნდა მიექცეს, რომ არ იყოს წინააღმდეგობები კვლევის ეტაპებს შორის, მაგრამ ზოგჯერ სიტუაცია გადაუდებელია ან თუნდაც უიმედოდ ჩიხი. აქ ანალიტიკა "არ იყრის თავს" - და ეს არის ის. ამ შემთხვევაში გირჩევთ გადაუდებელ ტექნიკას: ჩვენ ვპოულობთ რაც შეიძლება მეტ წერტილს გრაფიკის კუთვნილებას (რამდენი მოთმინება საკმარისია) და აღვნიშნავთ მათ კოორდინატულ სიბრტყეზე. ნაპოვნი მნიშვნელობების გრაფიკული ანალიზი უმეტეს შემთხვევაში გეტყვით სად არის სიმართლე და სად არის ტყუილი. გარდა ამისა, გრაფიკი შეიძლება წინასწარ აშენდეს რაიმე პროგრამის გამოყენებით, მაგალითად, იმავე Excel-ში (აშკარაა, რომ ეს მოითხოვს უნარებს).

მაგალითი 4

დიფერენციალური გამოთვლების მეთოდების გამოყენებით გამოიკვლიეთ ფუნქცია და შექმენით მისი გრაფიკი.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. მასში თვითკონტროლს აძლიერებს ფუნქციის თანასწორობა – გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ და თუ თქვენს კვლევაში რაიმე ეწინააღმდეგება ამ ფაქტს, მოძებნეთ შეცდომა.

ლუწი ან კენტი ფუნქციის გამოკვლევა შესაძლებელია მხოლოდ , და შემდეგ შეიძლება გამოვიყენოთ გრაფიკის სიმეტრია. ეს გამოსავალი ოპტიმალურია, მაგრამ ის გამოიყურება, ჩემი აზრით, ძალიან უჩვეულო. პირადად მე განვიხილავ მთელ რიცხვობრივ ღერძს, მაგრამ დამატებით წერტილებს მაინც ვპოულობ მხოლოდ მარჯვნივ:

მაგალითი 5

ფუნქციის სრული შესწავლა და მისი გრაფიკის დახატვა.

გამოსავალი: ძლიერად შევარდა:

1) ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია მთელ რეალურ ხაზზე: .

ეს ნიშნავს, რომ ეს ფუნქცია კენტია, მისი გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ.

ცხადია, ფუნქცია არაპერიოდულია.

2) ასიმპტოტები, ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში.

ვინაიდან ფუნქცია უწყვეტია ზე, ვერტიკალური ასიმპტოტები არ არსებობს

ფუნქციისთვის, რომელიც შეიცავს მაჩვენებელს, როგორც წესი ცალკე„პლუს“ და „მინუს უსასრულობის“ შესწავლა, თუმცა ჩვენს ცხოვრებას მხოლოდ გრაფიკის სიმეტრია უწყობს ხელს - ან მარცხნივ და მარჯვნივ არის ასიმპტოტა, ან არა. ამიტომ, ორივე უსასრულო ლიმიტი შეიძლება მოეწყოს ერთი ჩანაწერის ქვეშ. ხსნარის პროცესში ვიყენებთ L'Hopital-ის წესი :

სწორი ხაზი (ღერძი) არის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი ზე.

მიაქციეთ ყურადღება, როგორ ჭკვიანურად ავიცილე თავი ირიბი ასიმპტოტის პოვნის სრულ ალგორითმს: ლიმიტი სავსებით ლეგალურია და განმარტავს ფუნქციის ქცევას უსასრულობაში, ჰორიზონტალური ასიმპტოტი კი ნაპოვნი იქნა „თითქოს ამავე დროს“.

ჰორიზონტალური ასიმპტოტის უწყვეტობისა და არსებობიდან გამომდინარეობს, რომ ფუნქცია ზემოდან შეზღუდულიდა შეზღუდული ქვემოდან.

3) გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან, მუდმივობის ინტერვალებით.

აქვე ვამოკლებთ ხსნარს:
გრაფიკი გადის საწყისზე.

კოორდინატთა ღერძებთან გადაკვეთის სხვა წერტილები არ არსებობს. უფრო მეტიც, მუდმივობის ინტერვალები აშკარაა და ღერძის დახატვა შეუძლებელია: , რაც ნიშნავს, რომ ფუნქციის ნიშანი დამოკიდებულია მხოლოდ "x"-ზე:
, თუ ;
, თუ .

4) ფუნქციის გაზრდა, შემცირება, ექსტრემა.


კრიტიკული წერტილებია.

წერტილები სიმეტრიულია ნულის მიმართ, როგორც ეს უნდა იყოს.

მოდით განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშნები:


ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე და მცირდება ინტერვალებზე

იმ მომენტში ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს: .

ქონების გამო (ფუნქციის უცნაურობა) მინიმალური შეიძლება გამოტოვოთ:

ვინაიდან ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე, მაშინ, ცხადია, გრაფიკი მდებარეობს "მინუს უსასრულობაზე" ქვეშთავისი ასიმპტოტით. ინტერვალზე ფუნქციაც მცირდება, მაგრამ აქ პირიქითაა - მაქსიმალური წერტილის გავლის შემდეგ ხაზი ზემოდან უახლოვდება ღერძს.

ასევე ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია „მინუს უსასრულობაზე“ და ჩაზნექილი „პლუს უსასრულობაზე“.

კვლევის ამ პუნქტის შემდეგ, ასევე შედგენილია ფუნქციის მნიშვნელობების ფართობი:

თუ რაიმე პუნქტში გაუგებარია, კიდევ ერთხელ მოგიწოდებთ, ბლოკნოტში დახაზოთ საკოორდინაციო ცულები და ფანქრით ხელში ხელახლა გააანალიზოთ დავალების თითოეული დასკვნა.

5) გრაფის ამოზნექილობა, ჩაღრმავება, გადახრები.

კრიტიკული წერტილებია.

წერტილების სიმეტრია შენარჩუნებულია და, დიდი ალბათობით, არ ვცდებით.

მოდით განვსაზღვროთ ნიშნები:


ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია და ჩაზნექილი .

დადასტურდა ექსტრემალურ ინტერვალებში ამობურცულობა/ჩაღრმავება.

გრაფიკის ყველა კრიტიკულ წერტილში არის გადახრები. ვიპოვოთ გადახრის წერტილების ორდინატები, ხოლო გამოთვლების რაოდენობა კვლავ შევამციროთ ფუნქციის უცნაურობის გამოყენებით: