ნორმალური სიბრტყის განტოლება ვექტორული ფორმით. სიბრტყის განტოლებები: ზოგადი, სამი წერტილის გავლით, ნორმალური

თვითმფრინავის განტოლება. როგორ დავწეროთ თვითმფრინავის განტოლება?
თვითმფრინავების ორმხრივი მოწყობა. Დავალებები

სივრცითი გეომეტრია არ არის ბევრად უფრო რთული, ვიდრე "ბრტყელი" გეომეტრია და ჩვენი ფრენები სივრცეში იწყება ამ სტატიით. თემის ათვისებისთვის საჭიროა კარგად გესმოდეთ ვექტორებიგარდა ამისა, მიზანშეწონილია სიბრტყის გეომეტრიის გაცნობა - იქნება ბევრი მსგავსება, ბევრი ანალოგია, ასე რომ ინფორმაცია ბევრად უკეთ დაიჯესდება. ჩემი გაკვეთილების სერიაში 2D სამყარო იხსნება სტატიით სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება. მაგრამ ახლა ბეტმენმა დატოვა ბრტყელი ტელევიზორის ეკრანი და გადის ბაიკონურის კოსმოდრომიდან.

დავიწყოთ ნახატებითა და სიმბოლოებით. სქემატურად, სიბრტყე შეიძლება იყოს დახატული პარალელოგრამის სახით, რომელიც ქმნის სივრცის შთაბეჭდილებას:

თვითმფრინავი უსასრულოა, მაგრამ ჩვენ გვაქვს მისი მხოლოდ ნაწილის გამოსახვის შესაძლებლობა. პრაქტიკაში, პარალელოგრამის გარდა, ოვალური ან თუნდაც ღრუბელი დახატულია. ტექნიკური მიზეზების გამო, ჩემთვის უფრო მოსახერხებელია თვითმფრინავის ზუსტად ასე და ზუსტად ამ მდგომარეობაში გამოსახვა. რეალური თვითმფრინავები, რომლებსაც განვიხილავთ პრაქტიკულ მაგალითებში, შეიძლება განთავსდეს ნებისმიერი გზით - გონებრივად აიღეთ ნახატი ხელში და დაატრიალეთ სივრცეში, მიეცით თვითმფრინავს ნებისმიერი დახრილობა, ნებისმიერი კუთხე.

აღნიშვნები: თვითმფრინავები, როგორც წესი, აღინიშნება მცირე ბერძნული ასოებით, როგორც ჩანს, ისე, რომ არ აგვერიოს ისინი სწორი ხაზი თვითმფრინავზეან თან სწორი ხაზი სივრცეში. მიჩვეული ვარ ასოს გამოყენებას. ნახატზე ეს არის ასო "სიგმა" და არა ხვრელი. თუმცა, ნახვრეტის თვითმფრინავი, რა თქმა უნდა, საკმაოდ სასაცილოა.

ზოგიერთ შემთხვევაში, მოსახერხებელია გამოიყენოთ იგივე ბერძნული ასოები ქვედა ხელმოწერებით თვითმფრინავების დასანიშნად, მაგალითად, .

აშკარაა, რომ თვითმფრინავი ცალსახად არის განსაზღვრული სამი განსხვავებული წერტილით, რომლებიც არ დევს ერთ ხაზზე. ამიტომ, თვითმფრინავების სამასოიანი აღნიშვნები საკმაოდ პოპულარულია - მათ კუთვნილი წერტილებით, მაგალითად და ა.შ. ხშირად ასოები ჩასმულია ფრჩხილებში: , რათა არ აგვერიოს თვითმფრინავი სხვა გეომეტრიულ ფიგურაში.

გამოცდილ მკითხველს მივცემ სწრაფი წვდომის მენიუ:

• როგორ შევქმნათ სიბრტყის განტოლება წერტილისა და ორი ვექტორის გამოყენებით?
• როგორ შევქმნათ სიბრტყის განტოლება წერტილისა და ნორმალური ვექტორის გამოყენებით?

და ჩვენ არ დავიღალებით ხანგრძლივი ლოდინი:

ზოგადი სიბრტყის განტოლება

სიბრტყის ზოგად განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც კოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის.

მთელი რიგი თეორიული გამოთვლები და პრაქტიკული ამოცანები მოქმედებს როგორც ჩვეულებრივი ორთონორმალური, ასევე სივრცის აფინური საფუძვლისთვის (თუ ზეთი ზეთია, დაუბრუნდით გაკვეთილს ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულება. ვექტორების საფუძველი). სიმარტივისთვის, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა მოვლენა ხდება ორთონორმალურ საფუძველზე და დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

ახლა ცოტა ვივარჯიშოთ ჩვენი სივრცითი ფანტაზიით. არა უშავს, თუ შენი ცუდია, ახლა ჩვენ მას ცოტას განვავითარებთ. ნერვებზე თამაშიც კი ვარჯიშს მოითხოვს.

ყველაზე ზოგად შემთხვევაში, როდესაც რიცხვები არ არის ნულის ტოლი, სიბრტყე კვეთს სამივე კოორდინატულ ღერძს. მაგალითად, ასე:

კიდევ ერთხელ ვიმეორებ, რომ თვითმფრინავი უსასრულოდ აგრძელებს ყველა მიმართულებით და ჩვენ გვაქვს მისი მხოლოდ ნაწილის გამოსახვის შესაძლებლობა.

განვიხილოთ სიბრტყეების უმარტივესი განტოლებები:

როგორ გავიგოთ ეს განტოლება? დაფიქრდით: "Z" ყოველთვის ნულის ტოლია, "X" და "Y" ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ეს არის "მშობლიური" კოორდინატთა სიბრტყის განტოლება. მართლაც, ფორმალურად განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: , საიდანაც ნათლად ხედავთ, რომ ჩვენ არ გვაინტერესებს რა მნიშვნელობებს იღებს "x" და "y", მნიშვნელოვანია, რომ "z" ნულის ტოლია.

ანალოგიურად:
– კოორდინატთა სიბრტყის განტოლება;
– კოორდინატთა სიბრტყის განტოლება.

ცოტა გავართულოთ პრობლემა, განვიხილოთ სიბრტყე (აქ და შემდგომ აბზაცში ვვარაუდობთ, რომ რიცხვითი კოეფიციენტები არ არის ნულის ტოლი). გადავიწეროთ განტოლება სახით: . როგორ გავიგოთ ეს? "X" არის ყოველთვის, "Y" და "Z"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, რომელიც უდრის გარკვეულ რიცხვს. ეს სიბრტყე კოორდინატთა სიბრტყის პარალელურია. მაგალითად, სიბრტყე სიბრტყის პარალელურია და გადის წერტილს.

ანალოგიურად:
– სიბრტყის განტოლება, რომელიც პარალელურია კოორდინატთა სიბრტყის;
– სიბრტყის განტოლება, რომელიც პარალელურია კოორდინატთა სიბრტყის.

დავამატოთ წევრები: . განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: , ანუ „ზეტი“ შეიძლება იყოს ნებისმიერი რამ. Რას ნიშნავს? "X" და "Y" დაკავშირებულია მიმართებით, რომელიც ხაზს გარკვეულ სწორ ხაზს სიბრტყეში (თქვენ გაიგებთ წრფის განტოლება სიბრტყეში?). ვინაიდან "z" შეიძლება იყოს ნებისმიერი, ეს სწორი ხაზი "იმეორებს" ნებისმიერ სიმაღლეზე. ამრიგად, განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყეს კოორდინატთა ღერძის პარალელურად

ანალოგიურად:
– სიბრტყის განტოლება, რომელიც პარალელურია კოორდინატთა ღერძისა;
– სიბრტყის განტოლება, რომელიც პარალელურია კოორდინატთა ღერძისა.

თუ თავისუფალი პირობები ნულის ტოლია, მაშინ თვითმფრინავები პირდაპირ გაივლიან შესაბამის ღერძებს. მაგალითად, კლასიკური „პირდაპირი პროპორციულობა“: . დახაზეთ სწორი ხაზი სიბრტყეში და გონებრივად გაამრავლეთ იგი ზემოთ და ქვემოთ (რადგან "Z" არის ნებისმიერი). დასკვნა: განტოლებით განსაზღვრული სიბრტყე გადის კოორდინატთა ღერძზე.

ჩვენ ვასრულებთ მიმოხილვას: თვითმფრინავის განტოლება გადის საწყისზე. კარგად, აქ აშკარაა, რომ წერტილი აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

და ბოლოს, ნახატზე ნაჩვენები შემთხვევა: – თვითმფრინავი მეგობრულია ყველა საკოორდინატო ღერძთან, მაშინ როცა ის ყოველთვის „ჭრის“ სამკუთხედს, რომელიც შეიძლება განთავსდეს რვა ოქტანტიდან ნებისმიერში.

წრფივი უტოლობა სივრცეში

ინფორმაციის გასაგებად საჭიროა კარგად შეისწავლოთ წრფივი უტოლობა სიბრტყეში, რადგან ბევრი რამ იქნება მსგავსი. პუნქტი იქნება მოკლე მიმოხილვითი ხასიათის რამდენიმე მაგალითით, ვინაიდან მასალა პრაქტიკაში საკმაოდ იშვიათია.

თუ განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყეს, მაშინ უტოლობები
იკითხე ნახევრად სივრცეები. თუ უტოლობა არ არის მკაცრი (სიის ბოლო ორი), მაშინ უტოლობის ამოხსნა, ნახევარსივრცის გარდა, მოიცავს თვით სიბრტყესაც.

მაგალითი 5

იპოვეთ სიბრტყის ერთეული ნორმალური ვექტორი .

გამოსავალი: ერთეული ვექტორი არის ვექტორი, რომლის სიგრძე ერთია. მოდით აღვნიშნოთ ეს ვექტორი . აბსოლუტურად ცხადია, რომ ვექტორები თანამიმდევრულია:

პირველ რიგში, ჩვენ ვხსნით ნორმალურ ვექტორს სიბრტყის განტოლებიდან: .

როგორ მოვძებნოთ ერთეული ვექტორი? იმისათვის, რომ იპოვოთ ერთეული ვექტორი, გჭირდებათ ყოველივექტორის კოორდინატის გაყოფა ვექტორის სიგრძეზე.

მოდით გადავწეროთ ნორმალური ვექტორი ფორმაში და ვიპოვოთ მისი სიგრძე:

ზემოაღნიშნულის მიხედვით:

უპასუხე:

გადამოწმება: რისი შემოწმება იყო საჭირო.

მკითხველებმა, რომლებმაც ყურადღებით შეისწავლეს გაკვეთილის ბოლო აბზაცი, ალბათ შენიშნეს ეს ერთეული ვექტორის კოორდინატები სწორედ ვექტორის მიმართულების კოსინუსებია:

მოდით დავისვენოთ პრობლემისგან: როცა გეძლევათ თვითნებური არანულოვანი ვექტორი, და პირობის მიხედვით საჭიროა მისი მიმართულების კოსინუსების პოვნა (იხ. გაკვეთილის ბოლო ამოცანები ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი), მაშინ თქვენ, ფაქტობრივად, იპოვით ერთეულის ვექტორს, რომელიც შეესაბამება ამას. რეალურად ორი დავალება ერთ ბოთლში.

ერთეული ნორმალური ვექტორის პოვნის აუცილებლობა ჩნდება მათემატიკური ანალიზის ზოგიერთ პრობლემაში.

ჩვენ გავარკვიეთ, თუ როგორ უნდა გამოვიკვლიოთ ნორმალური ვექტორი, ახლა მოდით ვუპასუხოთ საპირისპირო კითხვას:

როგორ შევქმნათ სიბრტყის განტოლება წერტილისა და ნორმალური ვექტორის გამოყენებით?

ნორმალური ვექტორისა და წერტილის ეს ხისტი კონსტრუქცია კარგად არის ცნობილი დარტბორდისთვის. გთხოვთ, გაწიოთ ხელი წინ და გონებრივად აირჩიოთ სივრცეში თვითნებური წერტილი, მაგალითად, პატარა კატა გვერდითა დაფაზე. ცხადია, ამ წერტილიდან შეგიძლიათ დახაზოთ ერთი სიბრტყე თქვენი ხელის პერპენდიკულარულად.

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ვექტორის პერპენდიკულარულ წერტილში, გამოიხატება ფორმულით:

ნორმალური სიბრტყის განტოლება.

ფორმის ზოგადი სიბრტყის განტოლება ეწოდება ნორმალური სიბრტყის განტოლებათუ ვექტორის სიგრძე ერთის ტოლი, ანუ , და .

ხშირად შეგიძლიათ ნახოთ, რომ სიბრტყის ნორმალური განტოლება იწერება როგორც . აქ მოცემულია ერთეული სიგრძის მოცემული სიბრტყის ნორმალური ვექტორის მიმართულების კოსინუსები, ანუ და გვ– არაუარყოფითი რიცხვი, რომელიც უდრის მანძილს საწყისიდან სიბრტყემდე.

სიბრტყის ნორმალური განტოლება მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ოქსიზიგანსაზღვრავს თვითმფრინავს, რომელიც ამოღებულია საწყისიდან მანძილით გვამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორის დადებითი მიმართულებით . თუ p=0, შემდეგ თვითმფრინავი გადის საწყისზე.

მოვიყვანოთ ნორმალური სიბრტყის განტოლების მაგალითი.

დაე, სიბრტყე იყოს მითითებული მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ოქსიზიფორმის ზოგადი სიბრტყის განტოლება . სიბრტყის ეს ზოგადი განტოლება არის სიბრტყის ნორმალური განტოლება. მართლაც, ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი არის აქვს სიგრძე ერთიანობის ტოლი, ვინაიდან .

სიბრტყის განტოლება ნორმალური ფორმით საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე.

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე.

მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე არის ყველაზე მცირე მანძილი ამ წერტილსა და სიბრტყის წერტილებს შორის. ცნობილია, რომ მანძილიწერტილიდან სიბრტყემდე ტოლია ამ წერტილიდან სიბრტყემდე გაყვანილი პერპენდიკულარულის სიგრძისა.

თუ და კოორდინატების საწყისი დევს სიბრტყის სხვადასხვა მხარეს, საპირისპირო შემთხვევაში. მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე არის

თვითმფრინავების ორმხრივი მოწყობა. სიბრტყეების პარალელურობისა და პერპენდიკულარულობის პირობები.

მანძილი პარალელურ სიბრტყეებს შორის

დაკავშირებული ცნებები

თვითმფრინავები პარალელურია , თუ

ან (ვექტორული პროდუქტი)

თვითმფრინავები პერპენდიკულარულია, თუ

ან . (სკალარული პროდუქტი)

პირდაპირ სივრცეში. სხვადასხვა ტიპის სწორი ხაზის განტოლებები.

სწორი ხაზის განტოლებები სივრცეში - საწყისი ინფორმაცია.

სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება ოქსიარის წრფივი განტოლება ორ ცვლადში xდა წ, რომელიც კმაყოფილდება წრფის რომელიმე წერტილის კოორდინატებით და არ კმაყოფილდება სხვა წერტილების კოორდინატებით. სწორი ხაზით სამგანზომილებიან სივრცეში სიტუაცია ცოტა განსხვავებულია - არ არსებობს წრფივი განტოლება სამი ცვლადით x, წდა ზ, რომელიც დაკმაყოფილდება მხოლოდ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მითითებულ ხაზზე წერტილების კოორდინატებით ოქსიზი. მართლაც, ფორმის განტოლება, სადაც x, წდა ზარის ცვლადები და ა, ბ, Cდა დ- რამდენიმე რეალური რიცხვი და ა, INდა თანარ არის ერთდროულად ნულის ტოლი, წარმოადგენს ზოგადი სიბრტყის განტოლება. შემდეგ ჩნდება კითხვა: „როგორ შეიძლება იყოს სწორი ხაზის აღწერა მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში? ოქსიზი»?

ამაზე პასუხი მოცემულია სტატიის შემდეგ პუნქტებში.

სივრცეში სწორი ხაზის განტოლებები არის ორი გადამკვეთი სიბრტყის განტოლებები.

გავიხსენოთ ერთი აქსიომა: თუ სივრცეში ორ სიბრტყეს აქვს საერთო წერტილი, მაშინ მათ აქვთ საერთო სწორი ხაზი, რომელზეც განლაგებულია ამ სიბრტყის ყველა საერთო წერტილი. ამრიგად, სივრცეში სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს ამ სწორი ხაზის გასწვრივ გადაკვეთილი ორი სიბრტყის მითითებით.

მოდით გადავთარგმნოთ ბოლო განცხადება ალგებრის ენაზე.

მოდით, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა დაფიქსირდეს სამგანზომილებიან სივრცეში ოქსიზიდა ცნობილია, რომ სწორი ხაზი აარის ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი და, რომელიც შეესაბამება ფორმის სიბრტყის ზოგად განტოლებებს და, შესაბამისად. რადგან სწორია აარის სიბრტყეების ყველა საერთო წერტილის სიმრავლე და, შემდეგ a წრფის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები ერთდროულად დააკმაყოფილებს განტოლებას და განტოლებას, არცერთი სხვა წერტილის კოორდინატები ერთდროულად არ დააკმაყოფილებს სიბრტყის ორივე განტოლებას. მაშასადამე, ხაზის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები ამართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ოქსიზიწარმოდგენა წრფივი განტოლებათა სისტემის კონკრეტული ამონახსნიკეთილი და განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამოხსნა განსაზღვრავს წრფის თითოეული წერტილის კოორდინატებს ა, ანუ განსაზღვრავს სწორ ხაზს ა.

ასე რომ, სწორი ხაზი სივრცეში მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ოქსიზიშეიძლება მიცემული იყოს ორი გადამკვეთი სიბრტყის განტოლებათა სისტემით .

აქ მოცემულია სივრცეში სწორი ხაზის განსაზღვრის მაგალითი ორი განტოლების სისტემის გამოყენებით - .

სწორი ხაზის აღწერა ორი გადამკვეთი სიბრტყის განტოლებით შესანიშნავია წრფისა და სიბრტყის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების პოვნადა ასევე როდის სივრცეში ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების პოვნა.

ჩვენ გირჩევთ ამ თემის შემდგომ შესწავლას სტატიის მითითებით წრფის განტოლებები სივრცეში - ორი გადამკვეთი სიბრტყის განტოლებები. იგი გვაწვდის უფრო დეტალურ ინფორმაციას, დეტალურად განიხილავს ტიპური მაგალითებისა და პრობლემების გადაწყვეტილებებს და ასევე აჩვენებს სხვა ტიპის სივრცეში სწორი ხაზის განტოლებებზე გადასვლის მეთოდს.

უნდა აღინიშნოს, რომ არსებობს სხვადასხვა სივრცეში ხაზის განსაზღვრის გზებიდა პრაქტიკაში სწორი ხაზი ხშირად განისაზღვრება არა ორი გადამკვეთი სიბრტყით, არამედ სწორი ხაზის მიმართული ვექტორით და ამ სწორ ხაზზე მდებარე წერტილით. ამ შემთხვევებში უფრო ადვილია წრფის კანონიკური და პარამეტრული განტოლებების მიღება სივრცეში. მათ შესახებ შემდეგ აბზაცებში ვისაუბრებთ.

წრფის პარამეტრული განტოლებები სივრცეში.

წრფის პარამეტრული განტოლებები სივრცეშიგამოიყურება როგორც ,

სად x 1 ,წ 1 და ზ 1 - ხაზის რაღაც წერტილის კოორდინატები, ა x , ა წდა ა ზ (ა x , ა წდა ა ზარ არის ერთდროულად ნულის ტოლი) - შესაბამისი სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის კოორდინატები, a არის პარამეტრი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობა.

პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, სივრცეში წრფის პარამეტრული განტოლებების გამოყენებით, შეგვიძლია გამოვთვალოთ რიცხვების სამმაგი,

ის შეესაბამება წრფის რაღაც წერტილს (აქედან გამომდინარეობს ამ ტიპის წრფის განტოლების სახელი). მაგალითად, როდის

სივრცეში სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებიდან ვიღებთ კოორდინატებს x 1 , წ 1 და ზ 1 : .

მაგალითად, განვიხილოთ სწორი ხაზი, რომელიც განისაზღვრება ფორმის პარამეტრული განტოლებებით . ეს ხაზი გადის წერტილს და ამ წრფის მიმართულების ვექტორს აქვს კოორდინატები.

ჩვენ გირჩევთ გააგრძელოთ თემის შესწავლა სტატიის მითითებით წრფის პარამეტრული განტოლებები სივრცეში. იგი გვიჩვენებს სივრცეში წრფის პარამეტრული განტოლებების წარმოშობას, იკვლევს სივრცეში წრფის პარამეტრული განტოლებების განსაკუთრებულ შემთხვევებს, იძლევა გრაფიკულ ილუსტრაციებს, იძლევა დამახასიათებელი ამოცანების დეტალურ ამონახსნებს და მიუთითებს კავშირზე წრფის პარამეტრულ განტოლებებსა და სხვა ტიპებს შორის. წრფის განტოლებები.

სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები სივრცეში.

ფორმის თითოეული პარამეტრული სწორი ხაზის განტოლების ამოხსნის შემდეგ რაც შეეხება პარამეტრს, მასზე გადასვლა მარტივია სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები სივრცეშიკეთილი .

სივრცეში წრფის კანონიკური განტოლებები განსაზღვრავს წრფეს, რომელიც გადის წერტილს , და სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი არის ვექტორი . მაგალითად, სწორი ხაზის განტოლებები კანონიკური ფორმით შეესაბამება ხაზს, რომელიც გადის სივრცეში წერტილში კოორდინატებით, ამ წრფის მიმართულების ვექტორს აქვს კოორდინატები.

უნდა აღინიშნოს, რომ წრფის კანონიკურ განტოლებათა რიცხვებიდან ერთი ან ორი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი (სამივე რიცხვი ერთდროულად არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ვინაიდან წრფის მიმართულების ვექტორი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი). შემდეგ ფორმის აღნიშვნა ითვლება ფორმალურად (რადგან ერთი ან ორი წილადის მნიშვნელებს ექნებათ ნულები) და უნდა გავიგოთ, როგორც , სად.

თუ წრფის კანონიკურ განტოლებებში ერთ-ერთი რიცხვი ნულის ტოლია, მაშინ წრფე მდებარეობს ერთ-ერთ კოორდინატულ სიბრტყეში, ან მის პარალელურ სიბრტყეში. თუ რიცხვებიდან ორი არის ნული, მაშინ წრფე ან ემთხვევა ერთ-ერთ კოორდინატთა ღერძს, ან არის მისი პარალელური. მაგალითად, წრფე, რომელიც შეესაბამება წრფის კანონიკურ განტოლებებს ფორმის სივრცეში , წევს თვითმფრინავში z=-2, რომელიც კოორდინატთა სიბრტყის პარალელურია ოქსიდა კოორდინატთა ღერძი ოიგანისაზღვრება კანონიკური განტოლებებით.

ამ შემთხვევების გრაფიკული ილუსტრაციისთვის, სივრცეში წრფის კანონიკური განტოლებების წარმოშობა, ტიპიური მაგალითებისა და ამოცანების დეტალური ამონახსნები, აგრეთვე წრფის კანონიკური განტოლებებიდან გადასვლა სივრცეში წრფის სხვა განტოლებებზე, იხ. სტატია წრფის კანონიკური განტოლებები სივრცეში.

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება. ზოგადიდან კანონიკურ განტოლებაზე გადასვლა.

სიბრტყის პოზიცია სივრცეში მთლიანად განისაზღვრება, თუ დავაზუსტებთ მის დაშორებას O საწყისიდან, ანუ O წერტილიდან სიბრტყემდე გაყვანილი პერპენდიკულარული OT-ის სიგრძეს და სიბრტყის პერპენდიკულარულ n° სიბრტყეზე მიმართულს. საწყისი O სიბრტყემდე (სურ. 110).

როდესაც წერტილი M მოძრაობს სიბრტყის გასწვრივ, მისი რადიუსის ვექტორი იცვლება ისე, რომ იგი ყოველთვის შეკრულია რაიმე პირობით. ვნახოთ რა არის ეს მდგომარეობა. ცხადია, თვითმფრინავში მდებარე ნებისმიერი წერტილისთვის გვაქვს:

ეს პირობა მოქმედებს მხოლოდ სიბრტყის წერტილებზე; ის ირღვევა, თუ წერტილი M დევს სიბრტყის გარეთ. ამრიგად, ტოლობა (1) გამოხატავს თვისებას, რომელიც საერთოა სიბრტყის ყველა წერტილისთვის და მხოლოდ მათთვის. § 7 ch. 11 გვაქვს:

და, შესაბამისად, განტოლება (1) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

განტოლება (G) გამოხატავს მდგომარეობას, რომელშიც წერტილი ) დევს მოცემულ სიბრტყეზე და მას ამ სიბრტყის ნორმალურ განტოლებას უწოდებენ. სიბრტყის თვითნებური M წერტილის რადიუსის ვექტორს დენის რადიუსის ვექტორი ეწოდება.

სიბრტყის განტოლება (1) დაწერილია ვექტორული სახით. კოორდინატებზე გადასვლისას და კოორდინატების საწყისის განთავსება ვექტორების საწყისთან - წერტილი O, აღვნიშნავთ, რომ ერთეული ვექტორის პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე არის ამ ვექტორთან ღერძების მიერ გაკეთებული კუთხეების კოსინუსები და M წერტილის რადიუსის ვექტორის პროგნოზები

ემსახურება წერტილის კოორდინატებს, ანუ გვაქვს:

განტოლება (G) ხდება კოორდინატი:

თვითმფრინავის ვექტორული განტოლების (G) კოორდინატულ განტოლებაში (2) გადაყვანისას გამოვიყენეთ ფორმულა (15) § 9 ჩ. 11, რომელიც გამოხატავს სკალარულ პროდუქტს ვექტორების პროგნოზებით. განტოლება (2) გამოხატავს მდგომარეობას, რომლის დროსაც წერტილი M(x, y, z) დევს მოცემულ სიბრტყეზე და ეწოდება ამ სიბრტყის ნორმალურ განტოლებას კოორდინატების სახით. შედეგად მიღებული განტოლება (2) არის პირველი ხარისხის შედარებითი, ანუ ნებისმიერი სიბრტყე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პირველი ხარისხის განტოლებით მიმდინარე კოორდინატებთან მიმართებაში.

გაითვალისწინეთ, რომ მიღებული განტოლებები (1") და (2) ძალაში რჩება მაშინაც კი, როდესაც მოცემული სიბრტყე გადის კოორდინატების საწყისზე. ამ შემთხვევაში, შეგვიძლია ავიღოთ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ორი ერთეული ვექტორიდან რომელიმე და ერთით განსხვავებული. სხვა მიმართულებიდან.

კომენტარი. ნორმალური სიბრტყის განტოლება (2) შეიძლება მივიღოთ ვექტორული მეთოდის გამოყენების გარეშე.

ავიღოთ თვითნებური სიბრტყე და გავავლოთ I ხაზი მასზე პერპენდიკულარული კოორდინატების საწყისში. ამ წრფეზე დავაყენოთ დადებითი მიმართულება კოორდინატების საწყისიდან სიბრტყემდე (თუ არჩეული სიბრტყე გავიდა კოორდინატების საწყისზე, მაშინ ნებისმიერი მიმართულება ხაზის აღება შეიძლებოდა).

ამ სიბრტყის პოზიცია სივრცეში მთლიანად განისაზღვრება მისი დაშორებით კოორდინატების საწყისიდან, ანუ l ღერძის სეგმენტის სიგრძე კოორდინატების საწყისიდან სიბრტყესთან მისი გადაკვეთის წერტილამდე (ნახ. 111 - სეგმენტი) და კუთხეები ღერძსა და კოორდინატთა ღერძებს შორის. როდესაც წერტილი მოძრაობს სიბრტყის გასწვრივ კოორდინატებით, მისი კოორდინატები იცვლება ისე, რომ ისინი ყოველთვის შეკრული არიან რაიმე პირობით. ვნახოთ რა არის ეს მდგომარეობა.

მოდით ავაშენოთ იგი ნახ. სიბრტყის თვითნებური M წერტილის 111 კოორდინატი გატეხილი ხაზი OPSM. ავიღოთ ამ გატეხილი ხაზის პროექცია l ღერძზე. აღვნიშნავთ, რომ გატეხილი ხაზის პროექცია უდრის მისი დახურვის სეგმენტის პროექციას (თავი I, § 3), გვაქვს.

სიბრტყის ზოგადი განტოლების მისაღებად გავაანალიზოთ მოცემულ წერტილში გამავალი სიბრტყე.

მოდით იყოს სამი კოორდინატთა ღერძი ჩვენთვის უკვე ცნობილი სივრცეში - ოქსი, ოიდა ოზი. დაიჭირეთ ქაღალდის ფურცელი ისე, რომ დარჩეს ბინა. თვითმფრინავი იქნება თავად ფურცელი და მისი გაგრძელება ყველა მიმართულებით.

დაე პთვითნებური თვითმფრინავი სივრცეში. მასზე პერპენდიკულარული ყველა ვექტორი ეწოდება ნორმალური ვექტორი ამ თვითმფრინავს. ბუნებრივია, საუბარია არანულოვან ვექტორზე.

თუ თვითმფრინავის რომელიმე წერტილი ცნობილია პდა მას რაღაც ნორმალური ვექტორი, მაშინ ამ ორი პირობით სიბრტყე სივრცეში სრულად არის განსაზღვრული(მოცემული წერტილის მეშვეობით შეგიძლიათ დახაზოთ ერთი სიბრტყე მოცემულ ვექტორზე პერპენდიკულარული). თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება იქნება:

ასე რომ, პირობები, რომლებიც განსაზღვრავენ სიბრტყის განტოლებას. საკუთარი თავის მისაღებად სიბრტყის განტოლებაზემოაღნიშნული ფორმის მქონე, აიღეთ თვითმფრინავი პთვითნებური წერტილი მ ცვლადი კოორდინატებით x, წ, ზ. ეს წერტილი თვითმფრინავს ეკუთვნის მხოლოდ იმ შემთხვევაში ვექტორი ვექტორზე პერპენდიკულარული(ნახ. 1). ამისთვის, ვექტორების პერპენდიკულარობის პირობის მიხედვით, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი იყოს ნულის ტოლი, ე.ი.

ვექტორი მითითებულია პირობით. ვექტორის კოორდინატებს ვპოულობთ ფორმულის გამოყენებით :

.

ახლა ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოყენებით , ჩვენ გამოვხატავთ სკალარულ პროდუქტს კოორდინატულ ფორმაში:

მას შემდეგ რაც წერტილი M(x; y; z)არჩეულია თვითნებურად სიბრტყეზე, შემდეგ ბოლო განტოლება კმაყოფილდება სიბრტყეზე მდებარე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებით პ. ერთი წერტილისთვის ნ, არ წევს მოცემულ თვითმფრინავზე, ე.ი. ირღვევა თანასწორობა (1).

მაგალითი 1.დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის წერტილში და ვექტორზე პერპენდიკულარულია.

გამოსავალი. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა (1) და გადავხედოთ მას კიდევ ერთხელ:

ამ ფორმულაში რიცხვები ა , ბდა Cვექტორული კოორდინატები და რიცხვები x0 , წ0 და ზ0 - წერტილის კოორდინატები.

გამოთვლები ძალიან მარტივია: ჩვენ ამ ციფრებს ვანაცვლებთ ფორმულაში და ვიღებთ

ჩვენ ვამრავლებთ ყველაფერს, რაც უნდა გამრავლდეს და ვამატებთ მხოლოდ რიცხვებს (რომლებსაც არ აქვთ ასოები). შედეგი:

.

სიბრტყის საჭირო განტოლება ამ მაგალითში აღმოჩნდა, რომ გამოხატული იყო პირველი ხარისხის ზოგადი განტოლებით ცვლადი კოორდინატებთან მიმართებაში. x, y, zთვითმფრინავის თვითნებური წერტილი.

ასე რომ, ფორმის განტოლება

დაურეკა ზოგადი სიბრტყის განტოლება .

მაგალითი 2.ააგეთ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში განტოლებით მოცემული სიბრტყე .

გამოსავალი. სიბრტყის ასაგებად აუცილებელია და საკმარისია ვიცოდეთ მისი სამი წერტილი, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე, მაგალითად, სიბრტყის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან.

როგორ მოვძებნოთ ეს პუნქტები? ღერძთან გადაკვეთის წერტილის პოვნა ოზი, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ ნულები X და Y პრობლემის ფორმულაში მოცემულ განტოლებაში: x = წ= 0. ამიტომ ვიღებთ ზ= 6. ამრიგად, მოცემული სიბრტყე კვეთს ღერძს ოზიწერტილში ა(0; 0; 6) .

ანალოგიურად ვპოულობთ სიბრტყის ღერძთან გადაკვეთის წერტილს ოი. ზე x = ზ= 0 ვიღებთ წ= −3, ანუ წერტილი ბ(0; −3; 0) .

და ბოლოს, ჩვენ ვპოულობთ ჩვენი სიბრტყის გადაკვეთის წერტილს ღერძთან ოქსი. ზე წ = ზ= 0 ვიღებთ x= 2, ანუ წერტილი C(2; 0; 0) . ჩვენს ხსნარში მიღებული სამი ქულის საფუძველზე ა(0; 0; 6) , ბ(0; −3; 0) და C(2; 0; 0) ააგეთ მოცემული სიბრტყე.

ახლა განვიხილოთ ზოგადი სიბრტყის განტოლების განსაკუთრებული შემთხვევები. ეს ის შემთხვევებია, როდესაც (2) განტოლების გარკვეული კოეფიციენტები ნულდება.

1. როცა D= 0 განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყეს, რომელიც გადის საწყისზე, წერტილის კოორდინატებიდან 0 (0; 0; 0) აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

2. როცა A= 0 განტოლება განსაზღვრავს ღერძის პარალელურ სიბრტყეს ოქსი, ვინაიდან ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი ღერძის პერპენდიკულარულია ოქსი(მისი პროექცია ღერძზე ოქსინულის ტოლი). ანალოგიურად, როდესაც B= 0 თვითმფრინავი ღერძის პარალელურად ოი, და როცა C= 0 თვითმფრინავი ღერძის პარალელურად ოზი.

3. როცა A=D= 0 განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყეს, რომელიც გადის ღერძზე ოქსი, ვინაიდან ის ღერძის პარალელურია ოქსი (A=D= 0). ანალოგიურად, თვითმფრინავი გადის ღერძზე ოი, და თვითმფრინავი ღერძის გავლით ოზი.

4. როცა A=B= 0 განტოლება განსაზღვრავს საკოორდინატო სიბრტყის პარალელურ სიბრტყეს xOy, ვინაიდან ის ღერძების პარალელურია ოქსი (ა= 0) და ოი (ბ= 0). ანალოგიურად, თვითმფრინავი სიბრტყის პარალელურია yOz, და თვითმფრინავი არის თვითმფრინავი xOz.

5. როცა A=B=D= 0 განტოლება (ან z = 0) განსაზღვრავს კოორდინატთა სიბრტყეს xOy, რადგან ის სიბრტყის პარალელურია xOy (A=B= 0) და გადის საწყისზე ( D= 0). ანალოგიურად, ეკვ. y =სივრცეში 0 განსაზღვრავს კოორდინატთა სიბრტყეს xOzდა განტოლება x = 0 - კოორდინატთა სიბრტყე yOz.

მაგალითი 3.შექმენით თვითმფრინავის განტოლება პ, ღერძის გავლით ოიდა პერიოდი.

გამოსავალი. ასე რომ, თვითმფრინავი გადის ღერძზე ოი. ამიტომ, მის განტოლებაში წ= 0 და ამ განტოლებას აქვს ფორმა . კოეფიციენტების დასადგენად ადა Cვისარგებლოთ იმით, რომ წერტილი თვითმფრინავს ეკუთვნის პ .

ამრიგად, მის კოორდინატებს შორის არის ისეთებიც, რომლებიც შეიძლება შეიცვალოს სიბრტყის განტოლებაში, რომელიც ჩვენ უკვე გამოვიყვანეთ (). კიდევ ერთხელ გადავხედოთ წერტილის კოორდინატებს:

მ0 (2; −4; 3) .

Მათ შორის x = 2 , ზ= 3. ჩვენ მათ ვცვლით ზოგად განტოლებაში და ვიღებთ განტოლებას ჩვენი კონკრეტული შემთხვევისთვის:

2ა + 3C = 0 .

დატოვე 2 აგანტოლების მარცხენა მხარეს გადაიტანეთ 3 Cმარჯვენა მხარეს და მივიღებთ

ა = −1,5C .

ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლება აგანტოლებაში, მივიღებთ

ან .

ეს არის განტოლება, რომელიც საჭიროა მაგალითის პირობებში.

თავად გადაჭრით სიბრტყის განტოლების პრობლემა და შემდეგ გადახედეთ ამონახს

მაგალითი 4.განსაზღვრეთ სიბრტყე (ან სიბრტყეები, თუ ერთზე მეტია) საკოორდინაციო ღერძებთან ან საკოორდინაციო სიბრტყეებთან მიმართებაში, თუ სიბრტყე(ები) მოცემულია განტოლებით.

ტესტების დროს წარმოქმნილი ტიპიური პრობლემების გადაწყვეტა მოცემულია სახელმძღვანელოში „პრობლემები სიბრტყეზე: პარალელიზმი, პერპენდიკულარულობა, სამი სიბრტყის გადაკვეთა ერთ წერტილში“.

სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, სიბრტყის ასაგებად აუცილებელი და საკმარისი პირობა, გარდა ერთი წერტილისა და ნორმალური ვექტორისა, არის ასევე სამი წერტილი, რომელიც არ დევს იმავე წრფეზე.

მიეცით სამი განსხვავებული წერტილი, და არა ერთსა და იმავე ხაზზე. ვინაიდან მითითებული სამი წერტილი არ დევს ერთსა და იმავე წრფეზე, ვექტორები არ არის წრფივი და, შესაბამისად, სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი მდებარეობს წერტილებთან ერთსა და იმავე სიბრტყეში, და თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები , და თანაპლენარული, ე.ი. მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ამ ვექტორების შერეული პროდუქტიუდრის ნულს.

კოორდინატებში შერეული პროდუქტის გამოსახულების გამოყენებით, ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას

(3)

დეტერმინანტის გამოვლენის შემდეგ ეს განტოლება ხდება (2) ფორმის განტოლება, ე.ი. თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება.

მაგალითი 5.დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს, რომლებიც არ დევს იმავე სწორ ხაზზე:

და განსაზღვრეთ წრფის ზოგადი განტოლების განსაკუთრებული შემთხვევა, თუ ეს მოხდება.

გამოსავალი. ფორმულის მიხედვით (3) გვაქვს:

ნორმალური სიბრტყის განტოლება. მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე

სიბრტყის ნორმალური განტოლება არის მისი განტოლება, დაწერილი ფორმით

განვიხილოთ სიბრტყე Q სივრცეში.მისი პოზიცია მთლიანად განისაზღვრება ამ სიბრტყის პერპენდიკულარული N ვექტორის და Q სიბრტყეში მდებარე რაიმე ფიქსირებული წერტილის მითითებით. Q სიბრტყის პერპენდიკულარულ ვექტორს ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი ეწოდება. თუ A, B და C-ით აღვნიშნავთ N ნორმალური ვექტორის პროგნოზებს, მაშინ

გამოვიტანოთ Q სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში და აქვს მოცემული ნორმალური ვექტორი. ამისათვის განვიხილოთ ვექტორი, რომელიც აკავშირებს წერტილს თვითნებურ წერტილთან Q სიბრტყეზე (ნახ. 81).

M წერტილის ნებისმიერი პოზიციისთვის Q სიბრტყეზე MHM ვექტორი პერპენდიკულარულია Q სიბრტყის ნორმალური ვექტორის N-ზე. ამიტომ, სკალარული ნამრავლი მოდით დავწეროთ სკალარული ნამრავლი პროგნოზების მიხედვით. ვინაიდან და არის ვექტორი, მაშინ

და, შესაბამისად

ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ Q სიბრტყის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (4). ადვილი მისახვედრია, რომ Q სიბრტყეზე არ დევს წერტილების კოორდინატები არ აკმაყოფილებს ამ განტოლებას (ამ უკანასკნელ შემთხვევაში). შესაბამისად, მივიღეთ Q სიბრტყისთვის საჭირო განტოლება. განტოლებას (4) ეწოდება მოცემულ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება. ის პირველი ხარისხისაა მიმდინარე კოორდინატებთან შედარებით

ამრიგად, ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ ყველა სიბრტყე შეესაბამება პირველი ხარისხის განტოლებას მიმდინარე კოორდინატებთან მიმართებაში.

მაგალითი 1. დაწერეთ სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ვექტორის პერპენდიკულარულ წერტილში.

გამოსავალი. Აქ . ფორმულის (4) საფუძველზე ვიღებთ

ან გამარტივების შემდეგ,

(4) განტოლების A, B და C კოეფიციენტებისთვის განსხვავებული მნიშვნელობების მიცემით, შეგვიძლია მივიღოთ წერტილის გავლით ნებისმიერი სიბრტყის განტოლება. მოცემულ წერტილში გამავალი სიბრტყეების სიმრავლეს სიბრტყეების შეკვრა ეწოდება. განტოლება (4), რომელშიც A, B და C კოეფიციენტებს შეუძლიათ მიიღონ ნებისმიერი მნიშვნელობა, ეწოდება სიბრტყეების ტოტების განტოლება.

მაგალითი 2. შექმენით განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის სამ წერტილში (სურ. 82).

გამოსავალი. დავწეროთ განტოლება წერტილში გამავალი სიბრტყეების თაიგულისთვის