მანძილი წერტილიდან ხაზამდე სიბრტყეში. როგორ მოვძებნოთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე? იპოვეთ მანძილი M წერტილიდან წრფემდე: ფორმულა მანძილი წერტილიდან ვექტორამდე სიბრტყეზე

ამ სტატიაში საუბარია თემაზე « მანძილი წერტილიდან ხაზამდე », წერტილიდან ხაზამდე მანძილის განმარტებები განიხილება ილუსტრირებული მაგალითებით კოორდინატების მეთოდით. დასასრულს თეორიის თითოეულმა ბლოკმა აჩვენა მსგავსი პრობლემების გადაჭრის მაგალითები.

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე იპოვება წერტილიდან წერტილამდე მანძილის განსაზღვრით. განვიხილოთ უფრო დეტალურად.

იყოს წრფე a და წერტილი M 1, რომელიც არ მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს. დახაზეთ მასში a წრფის პერპენდიკულარულად განლაგებული წრფე. მიიღეთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი, როგორც H 1. მივიღებთ, რომ M 1 H 1 არის პერპენდიკულარული, რომელიც ჩამოვიდა M 1 წერტილიდან a წრფემდე.

განმარტება 1

მანძილი M 1 წერტილიდან სწორ ხაზამდე aუწოდეს მანძილი M 1 და H 1 წერტილებს შორის.

არსებობს განმარტების ჩანაწერები პერპენდიკულარის სიგრძის ფიგურით.

განმარტება 2

მანძილი წერტილიდან ხაზამდეარის მოცემული წერტილიდან მოცემულ წრფემდე გამოყვანილი პერპენდიკულარის სიგრძე.

განმარტებები ექვივალენტურია. განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

ცნობილია, რომ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე ყველაზე მცირეა. მოდით შევხედოთ ამას მაგალითით.

თუ ავიღებთ Q წერტილს, რომელიც მდებარეობს a წრფეზე, რომელიც არ ემთხვევა M 1 წერტილს, მაშინ მივიღებთ, რომ M 1 Q სეგმენტს ეწოდება ირიბი, M 1-დან a წრფემდე დაბლა. აუცილებელია მიეთითოს, რომ M 1 წერტილიდან პერპენდიკულარი ნაკლებია წერტილიდან სწორი ხაზისკენ გამოყვანილ ნებისმიერ სხვა ირიბზე.

ამის დასამტკიცებლად განვიხილოთ სამკუთხედი M 1 Q 1 H 1 , სადაც M 1 Q 1 არის ჰიპოტენუზა. ცნობილია, რომ მისი სიგრძე ყოველთვის აღემატება რომელიმე ფეხის სიგრძეს. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

საწყისი მონაცემები წერტილიდან სწორ ხაზამდე აღმოჩენის საშუალებას იძლევა გამოვიყენოთ რამდენიმე ამოხსნის მეთოდი: პითაგორას თეორემის მეშვეობით, სინუსის, კოსინუსის, კუთხის ტანგენტის განმარტებები და სხვა. ამ ტიპის ამოცანების უმეტესობა სკოლაში წყდება გეომეტრიის გაკვეთილებზე.

როდესაც წერტილიდან ხაზამდე მანძილის პოვნისას შეგიძლიათ შეიყვანოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, მაშინ გამოიყენება კოორდინატთა მეთოდი. ამ პარაგრაფში განვიხილავთ მოცემული წერტილიდან სასურველი მანძილის პოვნის ძირითად ორ მეთოდს.

პირველი მეთოდი გულისხმობს მანძილის პოვნას M 1-დან a წრფემდე პერპენდიკულარულის სახით. მეორე მეთოდი იყენებს სწორი ხაზის ნორმალურ განტოლებას a საჭირო მანძილის საპოვნელად.

თუ თვითმფრინავზე არის წერტილი M 1 (x 1, y 1) კოორდინატებით, რომელიც მდებარეობს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, სწორი ხაზი a და თქვენ უნდა იპოვოთ მანძილი M 1 H 1, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ორი გზით. განვიხილოთ ისინი.

პირველი გზა

თუ H 1 წერტილის კოორდინატები ტოლია x 2, y 2, მაშინ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე გამოითვლება კოორდინატებიდან M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y) ფორმულიდან. 2 - y 1) 2.

ახლა გადავიდეთ H 1 წერტილის კოორდინატების პოვნაზე.

ცნობილია, რომ სწორი ხაზი O x y-ში შეესაბამება სიბრტყეში სწორი ხაზის განტოლებას. ავიღოთ სწორი ხაზის განსაზღვრის გზა a სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ან დახრილობის განტოლების ჩაწერის გზით. ჩვენ ვადგენთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის M 1 წერტილში მოცემული წრფის პერპენდიკულარულ a. წრფე წიფლით ავღნიშნოთ b . H 1 არის a და b წრფეების გადაკვეთის წერტილი, ამიტომ კოორდინატების დასადგენად უნდა გამოიყენოთ სტატია, რომელიც ეხება ორი წრფის გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებს.

ჩანს, რომ მოცემული წერტილიდან M 1 (x 1, y 1) მანძილის პოვნის ალგორითმი სწორ ხაზამდე a ხორციელდება წერტილების მიხედვით:

განმარტება 3

• სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების პოვნა a , რომელსაც აქვს ფორმა A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, ან განტოლება დახრილობის კოეფიციენტით, რომელსაც აქვს ფორმა y \u003d k 1 x + b 1;
• b წრფის ზოგადი განტოლების მიღება, რომელსაც აქვს ფორმა A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ან განტოლება დახრილობით y \u003d k 2 x + b 2, თუ წრფე b კვეთს M 1 წერტილს და პერპენდიკულარულია მოცემულ a წრფეზე;
• H 1 წერტილის x 2, y 2 კოორდინატების განსაზღვრა, რომელიც არის a და b-ის გადაკვეთის წერტილი, ამისთვის წრფივი განტოლებათა სისტემა ამოხსნილია A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x. + B 2 y + C 2 = 0 ან y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• საჭირო მანძილის გაანგარიშება წერტილიდან სწორ ხაზამდე, ფორმულის გამოყენებით M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

მეორე გზა

თეორემა დაგეხმარებათ პასუხის გაცემაზე სიბრტყეზე მოცემული წერტილიდან მოცემულ ხაზამდე მანძილის პოვნის შესახებ.

თეორემა

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას აქვს O x y აქვს წერტილი M 1 (x 1, y 1), საიდანაც სიბრტყისკენ არის გამოყვანილი სწორი ხაზი, რომელიც მოცემულია სიბრტყის ნორმალური განტოლებით, რომელსაც აქვს cos α x + cos β ფორმა. y - p \u003d 0, ტოლია ნორმალური სწორი ხაზის განტოლების მარცხენა მხარეს მიღებული მნიშვნელობის მოდულის, გამოთვლილი x = x 1, y = y 1, ნიშნავს, რომ M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - გვ.

მტკიცებულება

წრფე a შეესაბამება სიბრტყის ნორმალურ განტოლებას, რომელსაც აქვს ფორმა cos α x + cos β y - p = 0, შემდეგ n → = (cos α , cos β) განიხილება a წრფის ნორმალურ ვექტორად. მანძილი საწყისიდან a წრფემდე p ერთეულებით. აუცილებელია ნახატზე ყველა მონაცემის გამოსახვა, M 1 (x 1, y 1) კოორდინატებით წერტილის დამატება, სადაც წერტილის რადიუსის ვექტორი M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . აუცილებელია წერტილიდან სწორი ხაზის დახაზვა, რომელსაც M 1 H 1-ით აღვნიშნავთ. აუცილებელია M 1 და H 2 წერტილების M 2 და H 2 პროექციების ჩვენება O წერტილში გამავალ სწორ ხაზზე n → = (cos α , cos β) ფორმის მიმართული ვექტორით და რიცხვითი პროექცია. ვექტორის აღინიშნა როგორც O M 1 → = (x 1 , y 1) მიმართულებით n → = (cos α , cos β) როგორც n p n → O M 1 → .

ვარიაციები დამოკიდებულია თავად M 1 წერტილის მდებარეობაზე. განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

ჩვენ ვაფიქსირებთ შედეგებს ფორმულის გამოყენებით M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. შემდეგ მივიღებთ ტოლობას ამ ფორმამდე M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, რათა მივიღოთ n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

ვექტორების სკალარული ნამრავლი იწვევს n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ფორმის ტრანსფორმირებულ ფორმულას, რომელიც არის ნამრავლი კოორდინატულ ფორმაში. ფორმა n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . აქედან გამომდინარე, მივიღებთ, რომ n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . აქედან გამომდინარეობს, რომ M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. თეორემა დადასტურდა.

მივიღებთ, რომ M 1 (x 1, y 1) წერტილიდან სიბრტყეზე a სწორ ხაზამდე მანძილის საპოვნელად, რამდენიმე მოქმედება უნდა შესრულდეს:

განმარტება 4

• a cos α · x + cos β · y - p = 0 წრფის ნორმალური განტოლების მიღება, იმ პირობით, რომ ის არ არის დავალებაში;
• გამოთვლა cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , სადაც მიღებული მნიშვნელობა იღებს M 1 H 1 .

მოდით გამოვიყენოთ ეს მეთოდები წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის პოვნის ამოცანების გადასაჭრელად.

მაგალითი 1

იპოვეთ მანძილი M 1 (- 1 , 2) კოორდინატებით წერტილიდან 4 x - 3 y + 35 = 0 წრფემდე.

გამოსავალი

გამოვიყენოთ პირველი მეთოდი გადაჭრისთვის.

ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ b წრფის ზოგადი განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში M 1 (- 1 , 2) 4 x - 3 y + 35 = 0 წრფეზე პერპენდიკულარულად. ეს ჩანს იმ პირობით, რომ b წრფე პერპენდიკულარულია a წრფეზე, მაშინ მის მიმართულების ვექტორს აქვს კოორდინატები ტოლი (4, - 3) . ამრიგად, ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობა დავწეროთ b წრფის კანონიკური განტოლება სიბრტყეზე, რადგან არის M 1 წერტილის კოორდინატები, რომელიც ეკუთვნის b წრფეს. განვსაზღვროთ b სწორი წრფის მიმართული ვექტორის კოორდინატები. მივიღებთ, რომ x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . მიღებული კანონიკური განტოლება უნდა გარდაიქმნას ზოგად. მაშინ მივიღებთ ამას

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

ვიპოვოთ წრფეების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები, რომლებსაც მივიღებთ როგორც H 1 აღნიშვნა. ტრანსფორმაციები ასე გამოიყურება:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

ზემოაღნიშნულიდან გვაქვს, რომ H 1 წერტილის კოორდინატებია (- 5; 5) .

აუცილებელია გამოვთვალოთ მანძილი M 1 წერტილიდან სწორ ხაზამდე a. ჩვენ გვაქვს M 1 (- 1, 2) და H 1 (- 5, 5) წერტილების კოორდინატები, შემდეგ ვანაცვლებთ მანძილის საპოვნელ ფორმულას და მივიღებთ

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

მეორე გამოსავალი.

სხვა გზით ამოსახსნელად საჭიროა სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების მიღება. ჩვენ ვიანგარიშებთ ნორმალიზების ფაქტორის მნიშვნელობას და ვამრავლებთ განტოლების ორივე მხარეს 4 x - 3 y + 35 = 0. აქედან მივიღებთ, რომ ნორმალიზების ფაქტორი არის - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , ხოლო ნორმალური განტოლება იქნება - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

გაანგარიშების ალგორითმის მიხედვით, აუცილებელია სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების მიღება და მისი გამოთვლა x = - 1, y = 2 მნიშვნელობებით. მაშინ მივიღებთ ამას

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

აქედან მივიღებთ, რომ მანძილს M 1 (- 1 , 2) წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე 4 x - 3 y + 35 = 0 აქვს მნიშვნელობა - 5 = 5 .

პასუხი: 5 .

ჩანს, რომ ამ მეთოდში მნიშვნელოვანია სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების გამოყენება, რადგან ეს მეთოდი ყველაზე მოკლეა. მაგრამ პირველი მეთოდი მოსახერხებელია იმით, რომ ის თანმიმდევრული და ლოგიკურია, თუმცა მას უფრო მეტი საანგარიშო ქულა აქვს.

მაგალითი 2

სიბრტყეზე არის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y წერტილით M 1 (8, 0) და სწორი ხაზით y = 1 2 x + 1. იპოვეთ მანძილი მოცემული წერტილიდან სწორ ხაზამდე.

გამოსავალი

გამოსავალი პირველი გზით გულისხმობს მოცემული განტოლების შემცირებას დახრილობის კოეფიციენტით ზოგად განტოლებამდე. გამარტივებისთვის, შეგიძლიათ სხვაგვარად გააკეთოთ.

თუ პერპენდიკულარული წრფეების ფერდობების ნამრავლია - 1 , მაშინ მოცემული y = 1 2 x + 1 წრფის დახრილობა პერპენდიკულარულია 2 . ახლა მივიღებთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის წერტილს M 1 კოორდინატებით (8, 0). გვაქვს, რომ y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

ჩვენ ვაგრძელებთ H 1 წერტილის კოორდინატების პოვნას, ანუ გადაკვეთის წერტილებს y \u003d - 2 x + 16 და y \u003d 1 2 x + 1. ჩვენ ვქმნით განტოლებათა სისტემას და ვიღებთ:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

აქედან გამომდინარეობს, რომ მანძილი M 1 (8, 0) კოორდინატების მქონე წერტილიდან y = 1 2 x + 1 წრფემდე უდრის მანძილს საწყისი წერტილიდან და ბოლო წერტილიდან M 1 (8, 0) და H კოორდინატებით. 1 (6, 4) . გამოვთვალოთ და მივიღოთ, რომ M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

გამოსავალი მეორე გზით არის კოეფიციენტის განტოლებიდან მის ნორმალურ ფორმაზე გადასვლა. ანუ, ჩვენ ვიღებთ y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, მაშინ ნორმალიზების ფაქტორის მნიშვნელობა იქნება - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . აქედან გამომდინარეობს, რომ სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება იღებს ფორმას - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . გამოვთვალოთ M 1 8 , 0 წერტილიდან ფორმის სწორ ხაზამდე - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . ჩვენ ვიღებთ:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

პასუხი: 2 5 .

მაგალითი 3

აუცილებელია გამოვთვალოთ მანძილი წერტილიდან M 1 (- 2 , 4) კოორდინატებით სწორ ხაზებამდე 2 x - 3 = 0 და y + 1 = 0 .

გამოსავალი

ჩვენ ვიღებთ სწორი ხაზის ნორმალური ფორმის განტოლებას 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

შემდეგ ვაგრძელებთ მანძილის გამოთვლას M 1 - 2, 4 წერტილიდან სწორ ხაზამდე x - 3 2 = 0. ჩვენ ვიღებთ:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

სწორი ხაზის განტოლებას y + 1 = 0 აქვს ნორმალიზების ფაქტორი -1 მნიშვნელობით. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება მიიღებს ფორმას - y - 1 = 0. ვაგრძელებთ მანძილის გამოთვლას M 1 წერტილიდან (- 2 , 4) სწორ ხაზამდე - y - 1 = 0 . მივიღებთ, რომ ის უდრის - 4 - 1 = 5.

პასუხი: 3 1 2 და 5 .

დეტალურად განვიხილოთ სიბრტყის მოცემული წერტილიდან O x და O y კოორდინატთა ღერძამდე მანძილის განსაზღვრა.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O y ღერძს აქვს სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც არასრულია და აქვს ფორმა x \u003d 0 და O x - y \u003d 0. განტოლებები ნორმალურია კოორდინატთა ღერძებისთვის, მაშინ საჭიროა ვიპოვოთ მანძილი წერტილიდან M 1 x 1 , y 1 კოორდინატებით სწორ ხაზებამდე. ეს კეთდება M 1 H 1 = x 1 და M 1 H 1 = y 1 ფორმულების საფუძველზე. განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

მაგალითი 4

იპოვეთ მანძილი M 1 (6, - 7) წერტილიდან O x y სიბრტყეში მდებარე კოორდინატთა ხაზებამდე.

გამოსავალი

ვინაიდან განტოლება y \u003d 0 ეხება O x ხაზს, შეგიძლიათ იპოვოთ მანძილი M 1-დან მოცემული კოორდინატებით ამ ხაზამდე ფორმულის გამოყენებით. ჩვენ ვიღებთ, რომ 6 = 6.

ვინაიდან განტოლება x \u003d 0 ეხება O y ხაზს, შეგიძლიათ იპოვოთ მანძილი M 1-დან ამ ხაზამდე ფორმულის გამოყენებით. შემდეგ მივიღებთ - 7 = 7 .

პასუხი:მანძილი M 1-დან Ox-მდე აქვს მნიშვნელობა 6, ხოლო M 1-დან O y-მდე აქვს მნიშვნელობა 7.

როდესაც სამგანზომილებიან სივრცეში გვაქვს წერტილი M 1 კოორდინატებით (x 1, y 1, z 1), აუცილებელია ვიპოვოთ მანძილი A წერტილიდან a წრფემდე.

განვიხილოთ ორი გზა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მანძილი წერტილიდან a სივრცეში მდებარე სწორ ხაზამდე. პირველი შემთხვევა განიხილავს მანძილს M 1 წერტილიდან წრფემდე, სადაც წრფის წერტილს ჰქვია H 1 და არის M 1 წერტილიდან a წრფემდე შედგენილი პერპენდიკულარულის საფუძველი. მეორე შემთხვევა ვარაუდობს, რომ ამ სიბრტყის წერტილები პარალელოგრამის სიმაღლედ უნდა ვეძებოთ.

პირველი გზა

განმარტებიდან გვაქვს, რომ მანძილი A სწორ ხაზზე მდებარე M 1 წერტილიდან არის M 1 H 1 პერპენდიკულარულის სიგრძე, შემდეგ მივიღებთ ამას H 1 წერტილის ნაპოვნი კოორდინატებით, შემდეგ ვპოულობთ მანძილს. M 1 (x 1, y 1, z 1) და H 1 (x 1, y 1, z 1) შორის M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z ფორმულის საფუძველზე 2 - z 1 2 .

მივიღებთ, რომ მთელი ამონახსნი მიდის M 1-დან a წრფემდე შედგენილი პერპენდიკულარის ფუძის კოორდინატების პოვნაზე. ეს კეთდება შემდეგნაირად: H 1 არის წერტილი, სადაც a წრფე კვეთს სიბრტყეს, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში.

ეს ნიშნავს, რომ M 1 წერტილიდან (x 1, y 1, z 1) მანძილის განსაზღვრის ალგორითმი სივრცის a სწორ ხაზამდე გულისხმობს რამდენიმე წერტილს:

განმარტება 5

• χ სიბრტყის განტოლების შედგენა წრფის პერპენდიკულარულ მოცემულ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლების სახით;
• H 1 წერტილის კუთვნილი კოორდინატების (x 2 , y 2 , z 2) განსაზღვრა, რომელიც არის a წრფისა და χ სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი;
• წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გაანგარიშება ფორმულის გამოყენებით M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

მეორე გზა

მდგომარეობიდან გვაქვს a წრფე, შემდეგ შეგვიძლია განვსაზღვროთ მიმართულების ვექტორი a → = a x, a y, a z კოორდინატებით x 3, y 3, z 3 და a წრფეს მიეკუთვნება გარკვეული წერტილი M 3. M 1 (x 1 , y 1) და M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → წერტილების კოორდინატების გათვალისწინებით შეიძლება გამოითვალოს:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

აუცილებელია A → \u003d a x, a y, a z და M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ვექტორების გადადება M 3 წერტილიდან, შეაერთეთ და მიიღეთ პარალელოგრამის ფიგურა. M 1 H 1 არის პარალელოგრამის სიმაღლე.

განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

ჩვენ გვაქვს, რომ სიმაღლე M 1 H 1 არის სასურველი მანძილი, მაშინ თქვენ უნდა იპოვოთ იგი ფორმულის გამოყენებით. ანუ ჩვენ ვეძებთ M 1 H 1 .

აღნიშნეთ პარალელოგრამის ფართობი ასო S-ით, რომელიც გვხვდება ფორმულით a → = (a x, a y, a z) და M 3 M 1 → = x 1 - x 3 ვექტორის გამოყენებით. y 1 - y 3, z 1 - z 3. ფართობის ფორმულას აქვს ფორმა S = a → × M 3 M 1 →. ასევე, ფიგურის ფართობი უდრის მისი გვერდების სიგრძისა და სიმაღლის ნამრავლს, მივიღებთ, რომ S \u003d a → M 1 H 1 → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, რომელიც არის a → \u003d (a x, a y, a z) ვექტორის სიგრძე, რომელიც უდრის პარალელოგრამის გვერდს. აქედან გამომდინარე, M 1 H 1 არის მანძილი წერტილიდან ხაზამდე. იგი გვხვდება ფორმულით M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a →.

M 1 (x 1, y 1, z 1) კოორდინატების მქონე წერტილიდან მანძილის საპოვნელად სწორ ხაზამდე a სივრცეში, თქვენ უნდა შეასრულოთ ალგორითმის რამდენიმე წერტილი:

განმარტება 6

• სწორი წრფის მიმართულების ვექტორის განსაზღვრა a - a → = (a x , a y , a z) ;
• მიმართულების ვექტორის სიგრძის გამოთვლა a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• a წრფეზე მდებარე M 3 წერტილის კუთვნილი x 3 , y 3 , z 3 კოორდინატების მიღება;
• ვექტორის M 3 M 1 → კოორდინატების გამოთვლა;
• ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის პოვნა a → (a x, a y, a z) და M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 როგორც → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 სიგრძის მისაღებად a → × M 3 M 1 → ფორმულის მიხედვით;
• წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გაანგარიშება M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a →.

ამოცანების ამოხსნა სივრცეში მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე მანძილის პოვნის შესახებ

იპოვეთ მანძილი წერტილიდან M 1 2 , - 4 , - 1 კოორდინატებით x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 წრფემდე.

გამოსავალი

პირველი მეთოდი იწყება M 1-ზე გამავალი χ სიბრტყის განტოლების ჩაწერით და მოცემულ წერტილზე პერპენდიკულარულად. ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს, როგორიცაა:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

საჭიროა ვიპოვოთ H 1 წერტილის კოორდინატები, რომელიც წარმოადგენს χ სიბრტყესთან პირობით მოცემულ სწორ ხაზთან გადაკვეთის წერტილი. აუცილებელია კანონიკური ფორმიდან გადაკვეთაზე გადასვლა. შემდეგ მივიღებთ ფორმის განტოლებათა სისტემას:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

აუცილებელია სისტემის გამოთვლა x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 კრამერის მეთოდით, მაშინ მივიღებთ, რომ:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

აქედან გამომდინარე, გვაქვს, რომ H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

მეორე მეთოდი უნდა დაიწყოს კანონიკურ განტოლებაში კოორდინატების მოძიებით. ამისათვის ყურადღება მიაქციეთ წილადის მნიშვნელებს. მაშინ a → = 2 , - 1 , 5 არის x + 1 2 წრფის მიმართულების ვექტორი = y - 1 = z + 5 5 . აუცილებელია სიგრძის გამოთვლა ფორმულის გამოყენებით a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

ნათელია, რომ წრფე x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 კვეთს M 3 წერტილს (- 1 , 0 , - 5), აქედან გამომდინარე გვაქვს, რომ ვექტორი საწყისი M 3 (- 1 , 0) , - 5) და მისი ბოლო წერტილში M 1 2 , - 4 , - 1 არის M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი a → = (2, - 1, 5) და M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

ვიღებთ a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j ფორმის გამოსახულებას. → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

მივიღებთ, რომ ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე არის → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი იმისათვის, რომ გამოვიყენოთ ფორმულა წერტილიდან მანძილის გამოსათვლელად სწორი ხაზისთვის, ამიტომ ვიყენებთ მას და ვიღებთ:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

პასუხი: 11 .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

სიბრტყეში წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გამოთვლის ფორმულა

თუ მოცემულია Ax + By + C = 0 წრფის განტოლება, მაშინ მანძილი M(M x, M y) წერტილიდან წრფემდე შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით.

დავალებების მაგალითები სიბრტყეში წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გამოსათვლელად

მაგალითი 1

იპოვეთ მანძილი 3x + 4y - 6 = 0 წრფესა და M(-1, 3) წერტილს შორის.

გამოსავალი.ჩაანაცვლეთ ფორმულაში წრფის კოეფიციენტები და წერტილის კოორდინატები

პასუხი:მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის 0,6.

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ვექტორის პერპენდიკულარულ წერტილებზე სიბრტყის ზოგადი განტოლება

მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული არანულოვანი ვექტორი ეწოდება ნორმალური ვექტორი (ან მოკლედ, ნორმალური ) ამ თვითმფრინავისთვის.

ნება კოორდინატთა სივრცეში (მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში) მოცემული:

ა) წერტილი ;

ბ) არანულოვანი ვექტორი (ნახ. 4.8, ა).

საჭიროა განტოლების დაწერა წერტილში გამავალი სიბრტყისთვის ვექტორზე პერპენდიკულარული მტკიცების დასასრული.

ახლა განვიხილოთ სიბრტყეში სწორი ხაზის სხვადასხვა ტიპის განტოლებები.

1) სიბრტყის ზოგადი განტოლებაპ .

განტოლების წარმოშობიდან გამომდინარეობს, რომ ამავე დროს ა, ბდა Cარ არის 0-ის ტოლი (განმარტეთ რატომ).

წერტილი ეკუთვნის თვითმფრინავს პმხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ სიბრტყის განტოლებას. კოეფიციენტების მიხედვით ა, ბ, Cდა დთვითმფრინავი პიკავებს ამა თუ იმ პოზიციას.

- სიბრტყე გადის კოორდინატთა სისტემის საწყისზე, - თვითმფრინავი არ გადის კოორდინატთა სისტემის საწყისს,

- სიბრტყე ღერძის პარალელურია X,

X,

- სიბრტყე ღერძის პარალელურია ი,

- თვითმფრინავი არ არის ღერძის პარალელურად ი,

- სიბრტყე ღერძის პარალელურია ზ,

- თვითმფრინავი არ არის ღერძის პარალელურად ზ.

თავად დაამტკიცეთ ეს განცხადებები.

განტოლება (6) ადვილად გამომდინარეობს განტოლებიდან (5). მართლაც, დაე, წერტილი სიბრტყეზე იყოს პ. შემდეგ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ განტოლებას. გამოვაკლოთ განტოლება (7) განტოლებას (5) და დავაჯგუფოთ ტერმინები, მივიღებთ განტოლებას (6). ახლა განვიხილოთ ორი ვექტორი კოორდინატებით, შესაბამისად. ფორმულიდან (6) გამომდინარეობს, რომ მათი სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია. მაშასადამე, ვექტორი ვექტორზე პერპენდიკულარულია. ბოლო ვექტორის დასაწყისი და დასასრული, შესაბამისად, იმ წერტილებშია, რომლებიც სიბრტყეს ეკუთვნის. პ. მაშასადამე, ვექტორი სიბრტყის პერპენდიკულარულია პ. მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე პ, რომლის ზოგადი განტოლებაა განისაზღვრება ფორმულით ამ ფორმულის მტკიცებულება სრულიად ჰგავს წერტილსა და წრფეს შორის მანძილის ფორმულის მტკიცებულებას (იხ. სურ. 2).
ბრინჯი. 2. სიბრტყესა და სწორ ხაზს შორის მანძილის ფორმულის წარმოშობამდე.

მართლაც, მანძილი დხაზსა და სიბრტყეს შორის არის

სად დევს წერტილი თვითმფრინავზე. აქედან, როგორც ლექცია No11-ში, მიღებულია ზემოაღნიშნული ფორმულა. ორი სიბრტყე პარალელურია, თუ მათი ნორმალური ვექტორები პარალელურია. აქედან ვიღებთ ორი სიბრტყის პარალელურობის პირობას - სიბრტყეების ზოგადი განტოლებების კოეფიციენტები. ორი სიბრტყე პერპენდიკულარულია, თუ მათი ნორმალური ვექტორები პერპენდიკულარულია, აქედან გამომდინარე მივიღებთ ორი სიბრტყის პერპენდიკულარობის პირობას, თუ მათი ზოგადი განტოლებები ცნობილია.

კუთხე ვორ სიბრტყეს შორის უდრის კუთხეს მათ ნორმალურ ვექტორებს შორის (იხ. სურ. 3) და, შესაბამისად, შეიძლება გამოითვალოს ფორმულიდან
სიბრტყეებს შორის კუთხის განსაზღვრა.

(11)

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე და როგორ ვიპოვოთ იგი

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავიარის ამ სიბრტყის წერტილიდან ჩამოშვებული პერპენდიკულურის სიგრძე. წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის დასადგენად მინიმუმ ორი გზა არსებობს: გეომეტრიულიდა ალგებრული.

გეომეტრიული მეთოდითთქვენ ჯერ უნდა გესმოდეთ, როგორ მდებარეობს პერპენდიკულარი წერტილიდან სიბრტყემდე: შესაძლოა ის დევს რაიმე მოსახერხებელ სიბრტყეში, ეს არის სიმაღლე რომელიმე მოსახერხებელ (ან არც ისე) სამკუთხედში, ან შესაძლოა ეს პერპენდიკულარი ზოგადად არის სიმაღლე რომელიმე პირამიდაში. .

ამ პირველი და ყველაზე რთული ეტაპის შემდეგ, პრობლემა იშლება რამდენიმე სპეციფიკურ პლანიმეტრულ პრობლემად (შესაძლოა სხვადასხვა სიბრტყეში).

ალგებრული გზითიმისათვის, რომ იპოვოთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე, თქვენ უნდა შეიყვანოთ კოორდინატთა სისტემა, იპოვოთ წერტილის კოორდინატები და სიბრტყის განტოლება და შემდეგ გამოიყენოთ წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის ფორმულა.

მაგალითის ამოხსნისას განვიხილოთ გაანალიზებული მეთოდების გამოყენება სიბრტყეზე მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე მანძილის საპოვნელად.

იპოვეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

პირველ რიგში, მოდით გადავჭრათ პრობლემა პირველი გზით.

ამოცანის პირობაში მოცემულია ფორმის a სწორი წრფის ზოგადი განტოლება:

ვიპოვოთ b წრფის ზოგადი განტოლება, რომელიც გადის წრფის პერპენდიკულარულ მოცემულ წერტილში:

ვინაიდან b წრფე პერპენდიკულარულია a წრფეზე, b წრფის მიმართულების ვექტორი არის მოცემული წრფის ნორმალური ვექტორი:

ანუ b წრფის მიმართულების ვექტორს აქვს კოორდინატები. ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ b სწორი წრფის კანონიკური განტოლება სიბრტყეზე, რადგან ვიცით M 1 წერტილის კოორდინატები, რომლითაც გადის სწორი ხაზი, და სწორი წრფის ვექტორის კოორდინატები:

b სწორი წრფის მიღებული კანონიკური განტოლებიდან გადავდივართ სწორი წრფის ზოგად განტოლებაზე:

ახლა ვიპოვოთ a და b წრფეების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები (აღვნიშნოთ ის H 1) a და b წრფეების ზოგადი განტოლებებისაგან შემდგარი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატიების ამოხსნის სისტემები. წრფივი განტოლებები):

ამრიგად, H 1 წერტილს აქვს კოორდინატები.

რჩება სასურველი მანძილის გამოთვლა M 1 წერტილიდან a სწორ ხაზამდე, როგორც მანძილი წერტილებს შორის და:

პრობლემის მოგვარების მეორე გზა.

ვიღებთ მოცემული წრფის ნორმალურ განტოლებას. ამისათვის ჩვენ გამოვთვლით ნორმალიზების ფაქტორის მნიშვნელობას და ვამრავლებთ მასზე სწორი ხაზის საწყისი ზოგადი განტოლების ორივე ნაწილს:

(სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ნორმალურ ფორმამდე მიყვანის განყოფილებაში ვისაუბრეთ).

ნორმალიზების ფაქტორი უდრის

მაშინ სწორი ხაზის ნორმალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

ახლა ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს სწორხაზოვანი ნორმალური განტოლების მარცხენა მხარეს და ვიანგარიშებთ მის მნიშვნელობას:

სასურველი მანძილი მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე:

უდრის მიღებული მნიშვნელობის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, ანუ ხუთს ().

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

ცხადია, სიბრტყეზე წერტილიდან სწორ ხაზამდე მანძილის პოვნის მეთოდის უპირატესობა, სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების გამოყენებაზე დაყრდნობით, არის გამოთვლითი სამუშაოს შედარებით მცირე რაოდენობა. თავის მხრივ, წერტილიდან ხაზამდე მანძილის პოვნის პირველი გზა ინტუიციურია და გამოირჩევა თანმიმდევრულობითა და ლოგიკით.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxy ფიქსირდება სიბრტყეზე, მოცემულია წერტილი და სწორი ხაზი:

იპოვეთ მანძილი მოცემული წერტილიდან მოცემულ ხაზამდე.

პირველი გზა.

თქვენ შეგიძლიათ გადახვიდეთ დახრილობის მქონე სწორი ხაზის მოცემული განტოლებიდან ამ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებამდე და გააგრძელოთ ისე, როგორც ზემოთ განხილულ მაგალითში.

მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ ამის გაკეთება სხვაგვარად.

ვიცით, რომ პერპენდიკულარული წრფეების ფერდობების ნამრავლი 1-ის ტოლია (იხ. სტატია პერპენდიკულარული ხაზები, წრფეების პერპენდიკულარულობა). მაშასადამე, წრფის დახრილობა, რომელიც პერპენდიკულარულია მოცემულ წრფეზე:

უდრის 2. მაშინ მოცემულ სწორ წრფეზე პერპენდიკულარული და წერტილის გავლით სწორი წრფის განტოლებას აქვს ფორმა:

ახლა ვიპოვოთ H 1 წერტილის კოორდინატები - წრფეების გადაკვეთის წერტილი:

ამრიგად, სასურველი მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე:

უდრის წერტილებს შორის მანძილს და:

მეორე გზა.

მოდით გადავიდეთ დახრილობის მქონე სწორი ხაზის მოცემული განტოლებიდან ამ სწორი ხაზის ნორმალურ განტოლებაზე:

ნორმალიზების ფაქტორი უდრის:

ამრიგად, მოცემული სწორი ხაზის ნორმალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ საჭირო მანძილს წერტილიდან ხაზამდე:

გამოთვალეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

და სწორ ხაზზე:

მივიღებთ სწორი ხაზის ნორმალურ განტოლებას:

ახლა გამოთვალეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

ნორმალიზებადი ფაქტორი სწორი ხაზის განტოლებისთვის:

უდრის 1. მაშინ ამ წრფის ნორმალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

ის თანაბარია.

პასუხი: და 5.

დასასრულს, ცალკე განვიხილავთ, თუ როგორ არის ნაპოვნი სიბრტყის მოცემული წერტილიდან მანძილი Ox და Oy კოორდინატთა ხაზებამდე.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy კოორდინატთა წრფე Oy მოცემულია x=0 წრფის არასრული ზოგადი განტოლებით, ხოლო კოორდინატთა წრფე Ox – y=0 განტოლებით. ეს განტოლებები არის Oy და Ox წრფეების ნორმალური განტოლებები, ამიტომ მანძილი წერტილიდან ამ ხაზებამდე გამოითვლება ფორმულებით:

შესაბამისად.

სურათი 5

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxy შეყვანილია თვითმფრინავზე. იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან კოორდინატთა ხაზებამდე.

მანძილი მოცემული M 1 წერტილიდან Ox კოორდინატთა წრფემდე (იგი მოცემულია y=0 განტოლებით) უდრის M 1 წერტილის ორდინატის მოდულს, ანუ .

მანძილი მოცემული M 1 წერტილიდან Oy კოორდინატთა წრფემდე (ეს შეესაბამება x=0 განტოლებას) უდრის M 1 წერტილის აბსცისის აბსოლუტურ მნიშვნელობას: .

პასუხი: მანძილი M 1 წერტილიდან Ox წრფემდე არის 6, ხოლო მანძილი მოცემული წერტილიდან Oy კოორდინატამდე ტოლია.

კოორდინაციის მეთოდი (მანძილი წერტილსა და სიბრტყეს შორის, სწორ ხაზებს შორის)

მანძილი წერტილსა და სიბრტყეს შორის.

მანძილი წერტილსა და ხაზს შორის.

მანძილი ორ ხაზს შორის.

პირველი სასარგებლო რამ, რაც უნდა იცოდეთ არის ის, თუ როგორ უნდა იპოვოთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე:

მნიშვნელობები A, B, C, D - თვითმფრინავის კოეფიციენტები

x, y, z - წერტილის კოორდინატები

Დავალება. იპოვეთ მანძილი A = (3; 7; −2) წერტილსა და სიბრტყეს შორის 4x + 3y + 13z - 20 = 0.

ყველაფერი მოცემულია, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ შეცვალოთ მნიშვნელობები განტოლებაში:

Დავალება. იპოვეთ მანძილი K = (1; −2; 7) წერტილიდან V = (8; 6; −13) და T = (−1; −6; 7) წერტილებზე გამავალ ხაზამდე.

1. ვპოულობთ სწორხაზოვან ვექტორს.
2. ჩვენ ვიანგარიშებთ ვექტორს, რომელიც გადის სასურველ წერტილს და წრფის ნებისმიერ წერტილს.
   
3. ვაყენებთ მატრიცას და ვპოულობთ 1-ლ და მე-2 აბზაცში მიღებული ორი ვექტორის განმსაზღვრელს.
4. მანძილს ვიღებთ, როდესაც მატრიცის კოეფიციენტების კვადრატების ჯამის კვადრატულ ფესვს ვყოფთ იმ ვექტორის სიგრძეზე, რომელიც განსაზღვრავს წრფეს.(მგონი გაუგებარია, ამიტომ გადავიდეთ კონკრეტულ მაგალითზე).

1) ტელევიზორი = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) ვექტორს ვპოულობთ K და T წერტილების მეშვეობით, თუმცა ეს ასევე შესაძლებელი იქნებოდა K და V ან ამ ხაზის სხვა წერტილის მეშვეობით.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) მიიღებთ მატრიცას D კოეფიციენტის გარეშე (აქ ის არ არის საჭირო ამოხსნისთვის):

4) თვითმფრინავი აღმოჩნდა კოეფიციენტებით A = 80, B = 40, C = 12,

x, y, z - სწორი ხაზის ვექტორის კოორდინატები, ამ შემთხვევაში ვექტორულ ტელევიზორს აქვს კოორდინატები (9; 12; −20)

Დავალება. იპოვეთ მანძილი E = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1) წერტილებზე გამავალ წრფესა და M = (4; −1; 4) წერტილებს შორის. L = (-2;3;0).

1. ჩვენ დავაყენეთ ორივე ხაზის ვექტორები.
2. ვექტორს ვპოულობთ თითოეული წრფედან ერთი წერტილის აღებით.
3. ჩავწერთ 3 ვექტორისგან შემდგარ მატრიცას (ორი სტრიქონი 1-ლი წერტილიდან, ერთი სტრიქონი მე-2-დან) და ვპოულობთ მის რიცხვით განმსაზღვრელს.
4. ჩვენ დავაყენეთ პირველი ორი ვექტორის მატრიცა (ნაბიჯი 1). ჩვენ ვაყენებთ პირველ ხაზს x, y, z.
5. მანძილს ვიღებთ, როდესაც მიღებულ მნიშვნელობას მე-3 წერტილიდან ვყოფთ მე-4 წერტილის კვადრატების ჯამის კვადრატულ ფესვზე.

მოდით გადავიდეთ ციფრებზე.

მოდით, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა დაფიქსირდეს სამგანზომილებიან სივრცეში ოქსიზი, მოცემული წერტილი , ხაზი ადა საჭიროა წერტილიდან მანძილის პოვნა მაგრამპირდაპირ ა.

ჩვენ ვაჩვენებთ ორ გზას, რათა გამოვთვალოთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე სივრცეში. პირველ შემთხვევაში, წერტილიდან მანძილის პოვნა მ 1 პირდაპირ ამოდის წერტილიდან მანძილის პოვნაზე მ 1 აზრამდე ჰ 1 , სად ჰ 1 - წერტილიდან ჩამოვარდა პერპენდიკულარულის ფუძე მ 1 პირდაპირ ა. მეორე შემთხვევაში, მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე აღმოჩნდება როგორც პარალელოგრამის სიმაღლე.

ასე რომ, დავიწყოთ.

პირველი გზა, რათა ვიპოვოთ მანძილი წერტილიდან a წრფემდე სივრცეში.

ვინაიდან, განსაზღვრებით, მანძილი წერტილიდან მ 1 პირდაპირ აარის პერპენდიკულარის სიგრძე მ 1 ჰ 1 , შემდეგ წერტილის კოორდინატების განსაზღვრის შემდეგ ჰ 1 , ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ სასურველი მანძილი, როგორც მანძილი წერტილებს შორის და ფორმულის მიხედვით.

ამრიგად, პრობლემა მცირდება წერტილიდან აგებული პერპენდიკულურის ფუძის კოორდინატების პოვნამდე მ 1 სწორ ხაზზე ა. ამის გაკეთება საკმაოდ მარტივია: წერტილი ჰ 1 არის ხაზის გადაკვეთის წერტილი აწერტილში გამავალი თვითმფრინავით მ 1 ხაზის პერპენდიკულარული ა.

შესაბამისად, ალგორითმი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ მანძილი წერტილიდან პირდაპირა კოსმოსში, არის:

მეორე მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მანძილი წერტილიდან a ხაზამდე სივრცეში.

ვინაიდან პრობლემის მდგომარეობაში ჩვენ გვეძლევა სწორი ხაზი ა, მაშინ შეგვიძლია განვსაზღვროთ მისი მიმართულების ვექტორი და რაღაც წერტილის კოორდინატები მ 3 სწორ ხაზზე წევს ა. შემდეგ, წერტილების კოორდინატების მიხედვით და ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ვექტორის კოორდინატები:

გვერდის ავლით ვექტორები და წერტილიდან მ 3 და ააგეთ მათზე პარალელოგრამი. დახაზეთ სიმაღლე ამ პარალელოგრამაში მ 1 ჰ 1 .

აშკარად სიმაღლე მ 1 ჰ 1 აგებული პარალელოგრამი უდრის სასურველ მანძილს წერტილიდან მ 1 პირდაპირ ა. მოდი ვიპოვოთ.

ერთის მხრივ, პარალელოგრამის ფართობი (ჩვენ აღვნიშნავთ მას ს) გვხვდება ვექტორების ვექტორული ნამრავლის მეშვეობით და ფორმულის მიხედვით . მეორეს მხრივ, პარალელოგრამის ფართობი უდრის მისი მხარის სიგრძისა და სიმაღლის ნამრავლს, ანუ , სად - ვექტორის სიგრძე განსახილველი პარალელოგრამის გვერდის სიგრძის ტოლია. მაშასადამე, მანძილი მოცემული წერტილიდან მ 1 მოცემულ ხაზამდე ათანასწორობიდან ჩანს როგორ .

Ისე, წერტილიდან მანძილის პოვნა პირდაპირა საჭიროა სივრცეში

ამოცანების ამოხსნა სივრცეში მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე მანძილის პოვნის შესახებ.

განვიხილოთ გადაწყვეტის მაგალითი.

მაგალითი.

იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან პირდაპირ .

გამოსავალი.

პირველი გზა.

დავწეროთ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება მ 1 მოცემულ წრფეზე პერპენდიკულარული:

იპოვნეთ წერტილის კოორდინატები ჰ 1 - სიბრტყისა და მოცემული წრფის გადაკვეთის წერტილები. ამისათვის ჩვენ ვასრულებთ გადასვლას სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებიდან ორი გადამკვეთი სიბრტყის განტოლებაზე.

რის შემდეგაც ვხსნით წრფივი განტოლებათა სისტემას კრამერის მეთოდი:

Ამგვარად, .

რჩება წერტილიდან ხაზამდე საჭირო მანძილის გამოთვლა, როგორც წერტილებს შორის მანძილი და : .

მეორე გზა.

სწორი ხაზის კანონიკურ განტოლებებში წილადების მნიშვნელებში რიცხვები არის ამ სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის შესაბამისი კოორდინატები, ანუ - მიმართულების ვექტორი სწორი . გამოვთვალოთ მისი სიგრძე: .

აშკარად სწორი ხაზი გადის წერტილს , შემდეგ წერტილის წარმოშობის ვექტორი და დასრულდება ერთ წერტილში იქ არის . იპოვეთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი და :
მაშინ ამ ჯვარედინი პროდუქტის სიგრძეა .

ახლა ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი, რომ გამოვიყენოთ ფორმულა მოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყემდე მანძილის გამოსათვლელად: .

პასუხი:

ხაზების ურთიერთმოწყობა სივრცეში