სავარჯიშოების ამოხსნა წილადების შემცირების თემაზე. ფრაქციების შემცირება

გაკვეთილის მიმდინარეობა (28.09.16)

Თემა: წილადის შემცირება

სამიზნე: გამოიტანოს წილადების შემცირების წესი რიცხვების გაყოფის ნიშნების და წილადის ძირითადი თვისების გამოყენებით და შეძლოს მისი პრაქტიკაში გამოყენება.

Დავალებები:

4. ჩამოუყალიბდეს ინდივიდუალურად, წყვილებში მუშაობის, კამათის და აზრის დაცვის უნარი

მე საორგანიზაციო მომენტი

დილა მშვიდობისა, ბიჭებო! მიხარია რომ გხედავ კარგ ხასიათზე. დღეს ბევრი სტუმარი გვყავს. შევეცდებით გამოვავლინოთ ჩვენი ცოდნა და უნარები.

II ცოდნის აქტუალიზაცია

1. რა ჰქვია a რიცხვის გამყოფს?

2. რას ჰქვია a და b რიცხვების GCD?

3. რომელ რიცხვებს უწოდებენ შედარებით მარტივ რიცხვებს?

5. 2-ზე, 5-ზე, 10-ზე, 3-ზე, 9-ზე გაყოფის ნიშნები.

6. ჩამოაყალიბეთ წილადის ძირითადი თვისება.

7. დაასახელეთ მონაცემების ტოლი რამდენიმე წილადი:

წილადის ძირითადი თვისების გამოყენებით შეასრულეთ გრაფიკული კარნახი.

პასუხი "დიახ" შეესაბამება +, პასუხი "არა" შეესაბამება -.

+ - - + + - - +

ორმხრივი შემოწმება

კრიტერიუმები

8 დავალება 3 ქულა

6-7 დავალება 2 ქულა

4-5 დავალება 1 ქულა

4 დავალებაზე ნაკლები 0 ქულა

III სასწავლო მასალის პირველადი აღქმა

აუზის ავზი ივსება ორი მილით. ერთი მილი ივსებააუზი საათში და მეორე. რომელი მილით იძლევა მეტი წყლის გავლის საშუალებას?

Დავალება

I t. - აუზი საათში

II ტ.- აუზი საათში

რომელი მილით გადის მეტი წყალი?

რას ეხება დავალება?

რამდენი მილი ავსებს აუზს?

რას ამბობს პრობლემა მილებზე?

რა უნდა მოიძებნოს?

რა უნდა იცოდეთ ამისათვის?

ორი მოსწავლე დაფაზე

= = (ბ) ერთ საათში I მილი

2) = = (ბ) ერთ საათში II საყვირი

პასუხი: II მილს მეტი წყალი გადის.

- შეგვეძლო შევადაროთ ორი წილადი ერთდროულად... გარდაქმნების გარეშე?

რას იტყვით ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე ორი წილადის შედარებაზე?

- როგორ მივიღეთ წილადები მათი ტოლი, მაგრამ ერთი და იგივე მნიშვნელებით?

რა ქონება გამოიყენეს ამისთვის?

IV გაკვეთილის თემის განსაზღვრა

- მაშ, გამოვიყენეთ წილადის მთავარი თვისება, წილადები შევცვალეთ ტოლებით მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთსა და იმავე რიცხვზე გაყოფით.

შედეგი არის წილადი, რომლის მნიშვნელობა უდრის მოცემულ წილადს, მაგრამ უფრო მცირე მრიცხველით და მნიშვნელით.

ასეთ ტრანსფორმაციას ე.წ…. წილადის შემცირება

- Თემა ჩვენი გაკვეთილის "წილადების შემცირება". ჩაწერეთ ის თქვენს ბლოკნოტში.

- მოთხრობა "აბრევიატურის" ცნების გამოყენების შესახებ.

V გაკვეთილის მიზნის დასახვა

- ახლა შეეცადეთ ჩამოაყალიბოთ ჩვენი გაკვეთილის მიზანი, რა უნდა ვიცოდეთ და რა ვისწავლოთ გაკვეთილზე.

ჩვენ თავს წინ ვაყენებთმიზანი:

სწავლობს წილადების შემცირებას რიცხვების გაყოფის ნიშნებისა და წილადის ძირითადი თვისების გამოყენებით.

Დავალებები

1. ჩამოაყალიბეთ წილადების შემცირების წესი

2. შემოიტანეთ შეუქცევადი წილადის ცნება

3. ისწავლეთ ამ წესების პრაქტიკაში გამოყენება

- პასუხი როგორ მიიღეთ?

- ვცადოთ ერთად ჩამოვაყალიბოთ წესი, რა არის წილადების შემცირება და როგორ შევამციროთ წილადი.

- კარგი რა!

- ახლა გახსენით სახელმძღვანელო 39 გვერდზე, წაიკითხეთ წესი (ჩაწერეთ რვეულში)

VI მოსწავლეთა ახალი მასალის გააზრების ტესტირება

= = მასწავლებელი განმარტავს

ჩვენ ვიღებთ წილადის შემცირების ალგორითმს: 12/18

ახლა მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი ახალი ცოდნა პრაქტიკაში. წილადების შესამცირებლად, კომენტირებისას, ჩვენ ვმუშაობთ ვარიანტების მიხედვით:

- დავალებას ჩვენ თვითონ მოვაგვარებთ, ორი ადამიანი მიდის დაფაზე და დავალებას დავასრულებთ დაფაზე, მერე ერთად შევამოწმებთ ყველაფერს.

____________________________________________________________________________

- შეხედეთ სლაიდს, შეამცირეთ წილადი, თუ შესაძლებელია:

ამ წილადებიდან რომელშია წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი თანაპირველი?

რა არის ამ შემთხვევაში მრიცხველისა და მნიშვნელის GCD?

- ასეა, 1. ეს ნიშნავს, რომ ამ რიცხვებს არ აქვთ საერთო გამყოფები, გარდა 1-ისა და ასეთი წილადის შემცირება შეუძლებელია. ასე ჰქვია - შეუმცირებელი.

- შეეცადეთ ჩამოაყალიბოთ შეუქცევადი წილადის განმარტება.

(თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი თანაპირდაპირი რიცხვებია, მაშინ მათი gcd არის 1 და ასეთი წილადი შეუქცევადია.)

VII კონსოლიდაცია

ტესტი, თვითშეფასება, კრიტერიუმები

VIII გაკვეთილის შეჯამება

ჩვენი გაკვეთილი დასასრულს უახლოვდება, დროა გავაანალიზოთ.

ჩაწერეთ თქვენი საშინაო დავალება:

რას ნიშნავს წილადის შემცირება?

რა იცვლება წილადის შემცირებისას?

რომელ წილადს ეწოდება შეუქცევადი?

- მიეცი შენს თავს შეფასება გაკვეთილისთვის.

IX ანარეკლი

რაზე ვისაუბრეთ დღეს?

რა არის ჩვენი მიზანი დღეს?

მივაღწიეთ თუ არა ამ მიზანს?

ყველაფერი გასაგები იყო?

გაკვეთილი დასრულდა! ყველანი დიდები ხართ! გმადლობთ თქვენი მუშაობისთვის!

გადახედვა:

პრეზენტაციების გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში (ანგარიში) და შედით: https://accounts.google.com

სლაიდების წარწერები:

გაკვეთილის ინტროსპექტივა წილადების შემცირება მე-6 კლასი

გაკვეთილის თემა: წილადების შემცირება გაკვეთილის მიზანი: წილადის ძირითადი თვისების და რიცხვების გაყოფის ნიშნების გამოყენებით წილადების შემცირების წესის გამოყვანა.

ამოცანები: ჩამოაყალიბეთ წილადების შემცირების წესი, შემოიტანეთ შეუქცევადი წილადის კონცეფცია, ისწავლეთ როგორ გამოიყენოთ ეს წესები პრაქტიკაში.

გაკვეთილის ეტაპები დაგეგმილი შედეგები ორგანიზაციული მომენტი ხელსაყრელი ფსიქოლოგიური განწყობის შექმნა ცოდნის აქტუალიზაცია მოსწავლეს შეუძლია კითხვებზე პასუხის გაცემა, წილადის ძირითადი თვისების წესების ცოდნა, მისი გამოყენება გაკვეთილის თემის განსაზღვრა მასწავლებელთან ურთიერთობა ფრონტალურ რეჟიმში ჩატარებული საუბრისას, პრობლემის გადაჭრისას, რომელიც ქმნის პრობლემურ სიტუაციას, რომელიც იწვევს ახალ თემას. გაკვეთილის მიზნის დასახვა მოსწავლეები აყალიბებენ გაკვეთილის მიზანს, ესმით შესასწავლი მასალის პრაქტიკული მნიშვნელობა.

გაკვეთილის ეტაპები დაგეგმილი შედეგები ახალი სასწავლო მასალის საწყისი აღქმა და ათვისება შესწავლილი მასალის აღქმის, გააზრებისა და პირველადი დამახსოვრების უზრუნველყოფა მოსწავლეების მიერ ახალი მასალის გაგების შემოწმება მასალის ათვისების ხარისხისა და დონის განსაზღვრა ახალი მასალის ჩართვა სისტემაში. ადრე მიღებული ცოდნა მოსწავლეებს შეუძლიათ წილადების შემცირება ახალი მასალის გამოყენებით

გაკვეთილის ეტაპები მოსალოდნელი შედეგები ახალი მასალის კონსოლიდაცია იცოდე წილადების შემცირება საშინაო დავალება ბავშვებმა გააცნობიერონ საშინაო დავალების შესრულების მიზანი, შინაარსი და მეთოდები გაკვეთილის შეჯამება აქტივობების ასახვა მიეცით კლასის და ცალკეული მოსწავლეების მუშაობის თვისებრივი შეფასება.

Გმადლობთ ყურადღებისთვის!

ნაწილის წილადის სახით გამოსახატავად საჭიროა ნაწილის გაყოფა მთლიანზე.

დავალება 1.კლასში 30 მოსწავლეა, ოთხი დაკარგულია. სტუდენტების რა ნაწილი აკლია?

გამოსავალი:

პასუხი:კლასში მოსწავლეები არ არიან.

რიცხვიდან წილადის პოვნა

პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებშიც საჭიროა მთლიანის ნაწილის პოვნა, მართებულია შემდეგი წესი:

თუ მთლიანის ნაწილი გამოიხატება წილადად, მაშინ ამ ნაწილის საპოვნელად შეგიძლიათ მთელი გაყოთ წილადის მნიშვნელზე და გაამრავლოთ შედეგი მის მრიცხველზე.

დავალება 1.იყო 600 მანეთი, ეს თანხა დაიხარჯა. რამდენი ფული დახარჯე?

გამოსავალი: 600 რუბლიდან რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა გაყოთ ეს თანხა 4 ნაწილად, ამით ჩვენ გავარკვევთ რამდენი ფულია ერთი მეოთხედი:

600: 4 = 150 (გვ.)

პასუხი:დახარჯა 150 მანეთი.

დავალება 2.ეს იყო 1000 მანეთი, ეს თანხა დაიხარჯა. რამდენი ფული დაიხარჯა?

გამოსავალი:პრობლემის მდგომარეობიდან ჩვენ ვიცით, რომ 1000 რუბლი შედგება ხუთი თანაბარი ნაწილისგან. ჯერ ვხვდებით რამდენი რუბლია 1000-ის ერთი მეხუთედი, შემდეგ კი გავიგებთ რამდენი რუბლია ორი მეხუთედი:

1) 1000: 5 = 200 (გვ.) - ერთი მეხუთედი.

2) 200 2 \u003d 400 (გვ.) - ორი მეხუთედი.

ეს ორი მოქმედება შეიძლება გაერთიანდეს: 1000: 5 2 = 400 (გვ.).

პასუხი:დაიხარჯა 400 მანეთი.

მთელის ნაწილის პოვნის მეორე გზა:

მთლიანის ნაწილის საპოვნელად შეგიძლიათ მთელი გაამრავლოთ წილადზე, რომელიც გამოხატავს მთლიანის ამ ნაწილს.

დავალება 3.კოოპერატივის წესდების თანახმად, საანგარიშო კრების ნამდვილობისთვის მას უნდა ესწრებოდნენ ორგანიზაციის წევრები მაინც. კოოპერატივს 120 წევრი ჰყავს. რა შემადგენლობით შეიძლება ჩატარდეს საანგარიშო შეხვედრა?

გამოსავალი:

პასუხი:საანგარიშო კრება შეიძლება ჩატარდეს, თუ ორგანიზაციაში 80 წევრია.

რიცხვის პოვნა მისი წილადით

პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებშიც საჭიროა მთლიანის პოვნა მისი ნაწილის მიხედვით, მართებულია შემდეგი წესი:

თუ სასურველი მთელი რიცხვის ნაწილი გამოიხატება წილადად, მაშინ ამ მთელი რიცხვის საპოვნელად შეგიძლიათ ეს ნაწილი გაყოთ წილადის მრიცხველზე და გაამრავლოთ შედეგი მის მნიშვნელზე.

დავალება 1.ჩვენ დავხარჯეთ 50 მანეთი, ეს შეადგენდა თავდაპირველ თანხას. იპოვნეთ ფულის ორიგინალური თანხა.

გამოსავალი:პრობლემის აღწერიდან ვხედავთ, რომ 50 მანეთი 6-ჯერ ნაკლებია საწყის თანხაზე, ანუ საწყისი თანხა 6-ჯერ მეტია 50 რუბლზე. ამ თანხის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 50 6-ზე:

50 6 = 300 (რ.)

პასუხი:საწყისი თანხა 300 რუბლია.

დავალება 2.ჩვენ დავხარჯეთ 600 მანეთი, ეს იყო საწყისი თანხა. იპოვნეთ ორიგინალური თანხა.

გამოსავალი:ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ სასურველი რიცხვი შედგება სამი მესამედისგან. პირობით, რიცხვის ორი მესამედი უდრის 600 რუბლს. ჯერ ვპოულობთ საწყისი თანხის მესამედს, შემდეგ კი რამდენი რუბლია სამი მესამედი (საწყისი თანხა):

1) 600: 2 3 = 900 (გვ.)

პასუხი:საწყისი თანხა 900 რუბლია.

მეორე გზა, რომ იპოვოთ მთელი მისი ნაწილით:

იმისათვის, რომ იპოვოთ მთლიანი ნაწილის მნიშვნელობით, შეგიძლიათ ეს მნიშვნელობა გაყოთ წილადზე, რომელიც გამოხატავს ამ ნაწილს.

დავალება 3.ხაზის სეგმენტი AB 42 სმ-ის ტოლია, არის სეგმენტის სიგრძე CD. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე CD.

გამოსავალი:

პასუხი:სეგმენტის სიგრძე CD 70 სმ

დავალება 4.მაღაზიაში საზამთრო მოიტანეს. ლანჩამდე მაღაზიამ გაყიდა, ლანჩის შემდეგ - საზამთრო მოიტანა და რჩება 80 საზამთროს გაყიდვა. სულ რამდენი საზამთრო შემოიტანეს მაღაზიაში?

გამოსავალი:ჯერ გავარკვიეთ, თუ რა ნაწილია იმპორტირებული საზამთროს რიცხვი 80. ამისათვის ავიღებთ შემოტანილი საზამთროს მთლიან რაოდენობას ერთეულად და გამოვაკლებთ საზამთროს რაოდენობას, რომლის გაყიდვაც მოვახერხეთ (გაყიდვა):

ასე რომ, ჩვენ შევიტყვეთ, რომ 80 საზამთრო არის შემოტანილი საზამთროს საერთო რაოდენობადან. ახლა გავარკვევთ, რამდენი საზამთროა მთლიანი რაოდენობით, შემდეგ კი რამდენი საზამთროა (მოტანილი საზამთროს რაოდენობა):

2) 80: 4 15 = 300 (საზამთრო)

პასუხი:სულ მაღაზიაში 300 საზამთრო შემოიტანეს.

Კლასი: 6

გაკვეთილის ტიპი:ცოდნის გამეორების, განზოგადებისა და სისტემატიზაციის გაკვეთილი.

გაკვეთილის მიზნები:

ეს გაკვეთილი ბოლოა თემაზე „წილადების შემცირება“ და მიზნად ისახავს შემდეგი მიზნების მიღწევას:

შემეცნებითი:

• ცოდნის სისტემატიზაცია თემაზე „წილადების შემცირება“;
• კლასის თითოეული მოსწავლის მიერ წილადების შემცირების უნარის მიღწევა;
• შეამოწმეთ ზემოაღნიშნული უნარის ხელმისაწვდომობა;
• გაიმეორეთ თემა „სიჩქარე, დრო, მანძილი“ დავალების მასალაზე
• გაიმეორეთ მასის, დროის, სიგრძის ერთეულების გადაქცევა.
• გაიმეორეთ სწორი და სწორი კუთხის ცნებები
• გამოიყენოს მოსწავლეთა მიერ ცოდნა წილადების შემცირების შესახებ სტანდარტულ და არასტანდარტულ სიტუაციებში.

განვითარება:

• მათემატიკური მეტყველების განვითარება ("მე ვამცირებ კოეფიციენტით ...", "მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა ..."), წილადების კითხვის კულტურა;
• ანალოგიების აგების უნარის ფორმირება.

განმანათლებლები:

• კონცენტრაციისა და სიზუსტის განვითარება;
• სხვების მოსმენის და ამავე დროს საკუთარი თვალსაზრისის დაცვის უნარის გამომუშავება.

საგაკვეთილო აღჭურვილობა:კომპიუტერი, მულტიმედიური პროექტორი, ეკრანი;

საგნისადმი ინტერესის გაზრდის მიზნით გაკვეთილი მომზადდა ისტ-ის გამოყენებით Power point-ის პრეზენტაციის სახით.

გაკვეთილის სტრუქტურა:

1. საორგანიზაციო მომენტი, რვეულების შეგროვება საშინაო დავალებით (2 წთ.)
2. გაკვეთილის თემისა და მიზნის პრეზენტაცია (1 წთ.)
3. ზეპირი სამუშაო (6 წთ.)
4. თემაზე ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია და მათი გამოყენება სტანდარტულ და არასტანდარტულ სიტუაციაში (13 წთ.)
5. მათემატიკის კარნახი (13 წთ.)
6. მასალის 5 უჯრედის გამეორება. (7 წთ.)
7. გაკვეთილის შეჯამება (2 წთ.)
8. საშინაო დავალების დაყენება (1 წთ.)

გაკვეთილების დროს

გაკვეთილი მომზადებულია Power პრეზენტაციის სახით წერტილი (განაცხადი)

I. საორგანიზაციო მომენტი.გაკვეთილის თემა.

II. ვერბალური დათვლა

1. მბეჭდავმა სამუშაო 7 დღეში დაასრულა. რამდენ სამუშაოს დაასრულებს იგი 1 დღეში? (1/7)
2. ტურისტები ბაზიდან ტბამდე 4 საათის განმავლობაში 6 კმ/სთ სიჩქარით დადიოდნენ.
   ა) რა მანძილია ძირიდან ტბამდე? (24 კმ)
   ბ) რა სიჩქარით დაბრუნდნენ უკან, თუ დაბრუნებას 3 საათი დასჭირდა? (8 კმ/სთ)
3. No253 (ა, ბ) სახელმძღვანელოს მიხედვით (ავტორი ნ.ია. ვილენკინი).

შენიშვნა: ზეპირი დათვლის მარტივი გამოთვლითი მასალა საშუალებას გაძლევთ უკეთ კონცენტრირდეთ საკითხების არსზე და სწრაფად გადახვიდეთ შესწავლილი მასალის კონსოლიდაციაზე თემაზე „ფრაქციული შემცირება“.

III. შესწავლილი მასალის გამეორება

დამოუკიდებელი გადაწყვეტა კომპიუტერზე ონლაინ თვითტესტით.

IV. დინამიური პაუზა

V. მათემატიკური კარნახი

წილადის შემცირება:

რა წილი

1. ერთი ტონა არის ორი ცენტნერი (ერთი კილომეტრი არის ორასი მეტრი)
2. ერთი საათი არის ათი წუთი (ერთი წუთი არის თხუთმეტი წამი)
3. მართი კუთხე ოცდაათი გრადუსია (სწორი კუთხე ოცდაათი გრადუსია)

მართალია განცხადება:

VI. მე-5 კლასის მასალის გამეორება. დავალებაზე მუშაობასახელმძღვანელოდან.

No267(1). საბჭოს მუშაობა.

• წაიკითხეთ დავალება.
• გააკეთეთ მოკლე შენიშვნა.

• როგორ მოვძებნოთ სიჩქარე დინების მიმართ?
• რამდენად სწრაფად მოძრაობდა ჯოხი?
• რა არის ცნობილი იქ გავლილი და უკან გავლილი ბილიკის შესახებ?
• რისი სწავლა შეიძლება 1 მოქმედებით?

(24-3)*3=63 (კმ) ბილიკის სიგრძე
63:3=21 (სთ) ჯოხებით მგზავრობის დრო

პასუხი: 21 საათი

VII. გაკვეთილის შედეგები.

• რა არის წილადის ძირითადი თვისება?
• რას ნიშნავს წილადის შემცირება?
• მიეცით შემცირებადი და შეუქცევადი წილადების მაგალითები.

VIII. Საშინაო დავალება

No266; 270; 274 (ბ); 267 (2).

ბიბლიოგრაფია:

1. მოსკოვის განათლების დეპარტამენტი მოსკოვის ღია განათლების ინსტიტუტი
   მათემატიკის სწავლება 2009/2010 სასწავლო წელს
   რედაქტირებულია I.V. იაშჩენკო, ა.ვ. სემენოვი. მოსკოვი. MIOO. სს "მოსკოვის სახელმძღვანელოები", 2009 წ.
2. N.Ya. ვილენკინი, ვ.ი. ჟოხოვი, ა.ს. ჩესნოკოვი, ს.ი. შვარცბურდი. მათემატიკა მე-6 კლასი, სახელმძღვანელო, ნაწილი 1. სს „მოსკოვის სახელმძღვანელოები“, 2006 წ.
3. ვ.ვ. ვიგოვსკაია. პუროჩნის განვითარება მათემატიკაში მე-6 კლასი. მოსკოვი, ვაკო, 2009 წ.
4. და. ჟოხოვი. მათემატიკური კარნახები მე-6 კლასი, მოსკოვი, "როსმენი", 2003 წ.

ეს სტატია აგრძელებს ალგებრული წილადების გარდაქმნის თემას: განიხილეთ ისეთი მოქმედება, როგორიცაა ალგებრული წილადების შემცირება. მოდით განვსაზღვროთ თავად ტერმინი, ჩამოვაყალიბოთ შემოკლების წესი და გავაანალიზოთ პრაქტიკული მაგალითები.

ალგებრული წილადის შემოკლების მნიშვნელობა

ჩვეულებრივ წილადის მასალებში განვიხილეთ მისი შემცირება. ჩვენ განვსაზღვრეთ საერთო წილადის შემცირება, როგორც მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორზე გაყოფა.

მსგავსი ოპერაციაა ალგებრული წილადის შემცირება.

განმარტება 1

ალგებრული წილადის შემცირებაარის მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის დაყოფა საერთო ფაქტორზე. ამ შემთხვევაში, ჩვეულებრივი წილადის შემცირებისგან განსხვავებით (მხოლოდ რიცხვი შეიძლება იყოს საერთო მნიშვნელი), პოლინომი, კერძოდ, მონომი ან რიცხვი, შეიძლება იყოს საერთო ფაქტორი ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელისთვის.

მაგალითად, ალგებრული წილადი 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 შეიძლება შემცირდეს 3 რიცხვით, შედეგად მივიღებთ: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y. 2 . ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ იგივე წილადი x ცვლადით და ეს მოგვცემს გამოსახულებას 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . ასევე შესაძლებელია მოცემული წილადის შემცირება მონომით 3 xან რომელიმე მრავალწევრი x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ან 3 x 2 + 6 x წ.

ალგებრული წილადის შემცირების საბოლოო მიზანი არის უფრო მარტივი ფორმის წილადი, საუკეთესო შემთხვევაში შეუქცევადი წილადი.

ყველა ალგებრული წილადი ექვემდებარება შემცირებას?

ისევ ჩვეულებრივი წილადების მასალებიდან ვიცით, რომ არსებობს შემცირებადი და შეუქცევადი წილადები. შეუქცევადი - ეს არის წილადები, რომლებსაც არ აქვთ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები, გარდა 1-ისა.

ალგებრული წილადებით ყველაფერი ერთნაირია: მათ შეიძლება ჰქონდეთ ან არ ჰქონდეთ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები. საერთო ფაქტორების არსებობა საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ საწყისი ფრაქცია შემცირების გზით. როდესაც არ არსებობს საერთო ფაქტორები, შეუძლებელია მოცემული წილადის ოპტიმიზაცია შემცირების მეთოდით.

ზოგადად, მოცემული ტიპის წილადისთვის საკმაოდ რთულია იმის გაგება, ექვემდებარება თუ არა შემცირებას. რა თქმა უნდა, ზოგიერთ შემთხვევაში აშკარაა მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორის არსებობა. მაგალითად, ალგებრულ წილადში 3 · x 2 3 · y სავსებით ნათელია, რომ საერთო ფაქტორი არის რიცხვი 3.

წილადში - x · y 5 · x · y · z 3 ასევე მაშინვე გვესმის, რომ შესაძლებელია მისი შემცირება x, ან y, ან x · y-ით. და მაინც, ალგებრული წილადების მაგალითები ბევრად უფრო ხშირია, როდესაც მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი არც ისე ადვილი შესამჩნევია და უფრო ხშირად - ის უბრალოდ არ არსებობს.

მაგალითად, შეგვიძლია x 3 - 1 x 2 - 1 წილადი შევამციროთ x - 1-ით, მაშინ როცა მითითებული საერთო ფაქტორი არ არის ჩანაწერში. მაგრამ წილადი x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 არ შეიძლება შემცირდეს, რადგან მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო ფაქტორი.

ამრიგად, ალგებრული წილადის შეკუმშვის გარკვევის საკითხი არც ისე მარტივია და ხშირად უფრო ადვილია მუშაობა მოცემული ფორმის წილადთან, ვიდრე იმის გარკვევა, არის თუ არა ის შეკუმშვადი. ამ შემთხვევაში ხდება ისეთი გარდაქმნები, რომლებიც კონკრეტულ შემთხვევებში საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი ან დავასკვნათ, რომ წილადი შეუქცევადია. ამ საკითხს დეტალურად გავაანალიზებთ სტატიის შემდეგ პუნქტში.

ალგებრული წილადის შემცირების წესი

ალგებრული წილადის შემცირების წესიშედგება ორი თანმიმდევრული ეტაპისგან:

• მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორების პოვნა;
• ასეთის აღმოჩენის შემთხვევაში წილადის შემცირების პირდაპირი მოქმედების განხორციელება.

საერთო მნიშვნელების საპოვნელად ყველაზე მოსახერხებელი მეთოდია მოცემული ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში არსებული მრავალწევრების ფაქტორიზირება. ეს საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ ვიზუალურად ნახოთ საერთო ფაქტორების არსებობა ან არარსებობა.

თავად ალგებრული წილადის შემცირების ქმედება ეფუძნება ალგებრული წილადის ძირითად თვისებას, რომელიც გამოიხატება განუსაზღვრელი ტოლობით, სადაც a , b , c არის რამდენიმე მრავალწევრი, ხოლო b და c არ არის ნულოვანი. პირველი ნაბიჯი არის წილადის შემცირება a c b c ფორმამდე, რომელშიც მაშინვე ვამჩნევთ საერთო ფაქტორს c. მეორე ნაბიჯი არის შემცირების შესრულება, ე.ი. a b ფორმის წილადზე გადასვლა.

ტიპიური მაგალითები

მიუხედავად გარკვეული აშკარაობისა, განვმარტოთ განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი ტოლია. მსგავსი წილადები იდენტურად უდრის 1-ს ამ წილადის ცვლადების მთელ ODZ-ზე:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

ვინაიდან ჩვეულებრივი წილადები ალგებრული წილადების განსაკუთრებული შემთხვევაა, გავიხსენოთ, როგორ მცირდება ისინი. მრიცხველში და მნიშვნელში ჩაწერილი ნატურალური რიცხვები იშლება მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ მცირდება საერთო ფაქტორები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

მაგალითად, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

მარტივი იდენტური ფაქტორების ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს გრადუსებად, ხოლო წილადების შემცირების პროცესში გამოიყენეთ გრადუსების გაყოფის თვისება იმავე ფუძეებით. მაშინ ზემოაღნიშნული გამოსავალი იქნება:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა საერთო ფაქტორზე 2 2 3). ან, სიცხადისთვის, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებებზე დაყრდნობით, ამოხსნას მივცემთ შემდეგ ფორმას:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

ანალოგიით, ხორციელდება ალგებრული წილადების შემცირება, რომლებშიც მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ მონომები მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.

მაგალითი 1

მოცემულია ალგებრული წილადი - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . საჭიროა მისი შემცირება.

გამოსავალი

შესაძლებელია მოცემული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი დავწეროთ უბრალო ფაქტორებისა და ცვლადების ნამრავლად და შემდეგ შევამციროთ:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a b b c c c c c c c z = = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

თუმცა, უფრო რაციონალური გზა იქნება ამოხსნის დაწერა, როგორც გამოხატვის ძალა:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

პასუხი:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

როდესაც ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში არის წილადი რიცხვითი კოეფიციენტები, შემდგომი მოქმედების ორი გზა არსებობს: ან ცალ-ცალკე გავყოთ ეს წილადი კოეფიციენტები, ან ჯერ დავაღწიოთ წილადი კოეფიციენტები მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლებით ბუნებრივ რიცხვზე. . ბოლო ტრანსფორმაცია ხორციელდება ალგებრული წილადის ძირითადი თვისების გამო (ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში „ალგებრული წილადის ახალ მნიშვნელზე შემცირება“).

მაგალითი 2

მოცემულია წილადი 2 5 x 0, 3 x 3. საჭიროა მისი შემცირება.

გამოსავალი

წილადის შემცირება შესაძლებელია ამ გზით:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

შევეცადოთ პრობლემის სხვაგვარად გადაჭრას, მანამდე რომ თავი დავაღწიოთ წილადის კოეფიციენტებს - ვამრავლებთ მრიცხველს და მნიშვნელს ამ კოეფიციენტების მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადზე, ე.ი. თითო LCM(5, 10) = 10. შემდეგ მივიღებთ:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

პასუხი: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

როდესაც ჩვენ ვამცირებთ ზოგად ალგებრულ წილადებს, რომლებშიც მრიცხველები და მნიშვნელები შეიძლება იყოს როგორც მონომები, ასევე პოლინომები, პრობლემა შესაძლებელია, როდესაც საერთო ფაქტორი ყოველთვის დაუყოვნებლივ არ ჩანს. ან უფრო მეტიც, ის უბრალოდ არ არსებობს. შემდეგ, საერთო კოეფიციენტის დასადგენად ან მისი არარსებობის ფაქტის დასაფიქსირებლად, ხდება ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი.

მაგალითი 3

მოცემულია რაციონალური წილადი 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . საჭიროა მისი შემცირება.

გამოსავალი

მოდით, მრავალწევრები გავამრავლოთ მრიცხველში და მნიშვნელში. მოდით გავაკეთოთ ფრჩხილები:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფრჩხილებში მოცემული გამოხატულება შეიძლება გარდაიქმნას შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

აშკარად ჩანს, რომ შესაძლებელია წილადის შემცირება საერთო ფაქტორით b 2 (a + 7). მოდით გავაკეთოთ შემცირება:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

ჩვენ ვწერთ მოკლე ამოხსნას ახსნის გარეშე, როგორც თანასწორობის ჯაჭვი:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

პასუხი: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

ეს ხდება, რომ საერთო ფაქტორები იმალება რიცხვითი კოეფიციენტებით. შემდეგ, წილადების შემცირებისას, ოპტიმალურია რიცხვითი ფაქტორების ამოღება მრიცხველისა და მნიშვნელის უფრო მაღალი ხარისხებით.

მაგალითი 4

მოცემულია ალგებრული წილადი 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . თუ ეს შესაძლებელია, ის უნდა შემცირდეს.

გამოსავალი

ერთი შეხედვით მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო მნიშვნელი. თუმცა ვცადოთ მოცემული წილადის გადაქცევა. ამოვიღოთ x ფაქტორი მრიცხველში:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

ახლა თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ გარკვეული მსგავსება ფრჩხილებში გამოსახულებასა და მნიშვნელში გამოსახულებას შორის x 2 y-ის გამო . ავიღოთ რიცხვითი კოეფიციენტები ამ მრავალწევრების უფრო მაღალი ხარისხებით:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

ახლა საერთო მულტიპლიკატორი ჩანს, ჩვენ ვახორციელებთ შემცირებას:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

პასუხი: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ რაციონალური წილადების შემცირების უნარი დამოკიდებულია მრავალწევრების ფაქტორიზაციის უნარზე.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

წილადების შემცირება საკმაოდ რთული თემაა მე-6 კლასის მათემატიკისთვის, ამიტომ ღირს მისი დაშლა ეტაპობრივად. შეცდომების თავიდან აცილების მიზნით, უმჯობესია, პირველი შემცირება იგივე გზით, ეტაპობრივად. მოდით მივცეთ ალგორითმი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად და ვისწავლოთ ნებისმიერი წილადის სწრაფად და მარტივად შემცირება.

წილადის შემცირების ალგორითმი.

ჯერ უნდა ითქვას, რომ წილადების თვით შემცირება შესაძლებელია წილადის ერთ-ერთი განმარტების წყალობით.

წილადი არის არასრული გაყოფის ოპერაცია. ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი წილადი ყოველთვის შეიძლება შეიცვალოს კერძო წილადით. წილადით ჩანაცვლება საჭიროა გამოთვლების სიზუსტის შესანარჩუნებლად.

ვნახოთ, როგორ გამოიყურება დეტალური აბრევიატურა მაგალითით:

$$(25\over(40))=25:40=(5*5):(5*8)=5:8 $$

იმისათვის, რომ ეს გამოთქმა ყოველ ჯერზე არ დახატოთ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ წილადების შემცირების წესი: თუ მნიშვნელს გაამრავლებთ ან გაყოფთ იმავე რიცხვზე, მაშინ წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება.

ახლა მოდით დავწეროთ თავად ალგორითმი. წილადის შესამცირებლად:

• გამოთქვით მრიცხველი და მნიშვნელი მარტივი ფაქტორების სახით.
• გააუქმეთ თითოეული თანაბარი ძირითადი ფაქტორი.
• გაამრავლეთ დარჩენილი რიცხვები და ჩაწერეთ შედეგი.

იმის ნაცვლად, რომ დაწეროთ მრიცხველი და მნიშვნელი, როგორც ფაქტორები, შეგიძლიათ უბრალოდ იპოვოთ მრიცხველისა და მნიშვნელის gcd. ეს იქნება მაქსიმალური შესაძლო რიცხვი, რომლითაც შეიძლება დაიყოს ორივე მნიშვნელობა.

არ არსებობს რაიმე წილადის შემცირების სპეციალური ფორმულა, მაგრამ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ამ ალგორითმში მოცემული წესები.

როგორ მოვძებნოთ NOD?

გავიხსენოთ, როგორ მდებარეობს NOD:

• პირველი ნაბიჯი არის რიცხვის ფაქტორიზაცია პირველ ფაქტორებად.
• გაფართოება ეძებს საერთო მარტივ რიცხვებს და წერს მათ ცალკე გამოსახულებაში.
• შედეგად მიღებული მნიშვნელობა არის GCD.

ავიღოთ მაგალითი.
აუცილებელია იპოვოთ 150 და 294 ნომრების GCD.

მაგალითი

აქ მოცემულია წილადის შემცირების მაგალითი. ამისათვის გაამარტივეთ ფრაქცია $(513216\over(145152))$. მაგალითად, დიდი რიცხვები შეგნებულად არჩეულია იმის საჩვენებლად, თუ როგორ შეიძლება გახდეს ყველაზე დიდი რიცხვი მცირე გამარტივების შედეგად.

ჩვენ არ ვეძებთ GCD-ს, ჩვენ დავშლით რიცხვებს მარტივ ფაქტორებად და ვიპოვით საერთო მნიშვნელობებს.

513216:2=256608 - უპირველეს ყოვლისა, რიცხვი იყოფა 2-ზე. იმისათვის რომ რიცხვი იყოფა ორზე, ერთეულების რაოდენობა უნდა იყოს ლუწი.

256608:2=128304 - გაყოფა 2-ზე გრძელდება მანამ, სანამ რიცხვის ბოლო ციფრი აღარ იქნება ლუწი. ამის შემდეგ ვცდილობთ რიცხვი გავყოთ 3-ზე და სხვა მარტივ რიცხვებზე. ყველა მარტივი რიცხვი მოცემულია მარტივი რიცხვების ცხრილში.

ჩამოვწეროთ დაშლის შედეგი: 513216=2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*3*3*11 - ჯამში მივიღეთ 6 რიცხვი 3, 6 ნომერი 2 და რიცხვი 11. ანალოგიურად ვშლით 145152 .

დავწეროთ შედეგები:

145152=2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*7 - სულ 8 ნომერი 2, 4 ნომერი 3 და ერთი ნომერი 7.

ორივე რიცხვში თქვენ უნდა შეამციროთ 6 რიცხვი 2 და 4 რიცხვი 3. მოდით დავწეროთ მიღებული მრიცხველი. მასში დარჩება რიცხვები: 2 ნომერი 3 და ნომერი 11

ჩამოვწეროთ მიღებული მნიშვნელი. მასში დარჩება რიცხვები: 2 ნომერი ორი და ნომერი 7

შემცირების შედეგი არის წილადი:

$(99\over(28))$ - სურვილის შემთხვევაში შეგიძლიათ აირჩიოთ მთელი ნაწილი. მაგრამ, თუ ეს არ არის საჭირო პრობლემის პირობებში, მაშინ დასაშვებია პასუხის დატოვება ამ ფორმით.

რა ვისწავლეთ?

ჩვენ ვისაუბრეთ წილადების შემცირებაზე. შეიტყო, რატომ არის შესაძლებელი შემცირება. ჩვენ გავარკვიეთ, როგორ სწორად დავჭრათ. მოცემული იყო შემცირების ალგორითმი და ოპერაციის განხორციელების ორი გზა. განვიხილოთ წილადების შემცირების მაგალითი.

თემის ვიქტორინა

სტატიის რეიტინგი

Საშუალო რეიტინგი: 4.5. სულ მიღებული შეფასებები: 74.