Арифметикалық прогрессия a n. Арифметикалық прогрессия

Кескіндеме мен поэзия сияқты математиканың да өзіндік сұлулығы бар.

Орыс ғалымы, механик Н.Е. Жуковский

Математикадан қабылдау сынақтарында өте жиі кездесетін тапсырмалар арифметикалық прогрессия ұғымына байланысты тапсырмалар болып табылады. Мұндай есептерді сәтті шешу үшін арифметикалық прогрессияның қасиеттерін жақсы білу және оларды қолдануда белгілі бір дағдыларды меңгеру қажет.

Алдымен арифметикалық прогрессияның негізгі қасиеттерін еске түсіріп, ең маңызды формулаларын көрсетейік, осы тұжырымдамамен байланысты.

Анықтама. Сандық реттілік, онда әрбір келесі термин алдыңғысынан бірдей санмен ерекшеленеді, арифметикалық прогрессия деп аталады. Сонымен қатар, нөмірпрогрессияның айырмасы деп аталады.

Арифметикалық прогрессия үшін формулалар жарамды

, (1)

қайда. Формула (1) арифметикалық прогрессияның ортақ мүшесінің формуласы деп аталады, ал (2) формула арифметикалық прогрессияның негізгі қасиеті болып табылады: прогрессияның әрбір мүшесі көршілес мүшелерінің арифметикалық ортасымен сәйкес келеді және .

Қарастырылып отырған прогрессияның дәл осы қасиетіне байланысты «арифметикалық» деп аталатынына назар аударыңыз.

Жоғарыдағы (1) және (2) формулалар төмендегідей жинақталған:

(3)

Қосындыны есептеу үшінбірінші арифметикалық прогрессияның мүшелеріформуласы әдетте қолданылады

(5) қайда және .

Егер формуланы ескерсек (1), онда (5) формула білдіреді

белгілесек

қайда. Өйткені, онда (7) және (8) формулалар сәйкес (5) және (6) формулалардың жалпылауы болып табылады.

Сондай-ақ , (5) формуладан шығады, не

Студенттердің көпшілігіне аз белгілісі – келесі теорема арқылы тұжырымдалған арифметикалық прогрессияның қасиеті.

Теорема.Егер болса, онда

Дәлелдеу.Егер болса, онда

Теорема дәлелденді.

Мысалға , теореманы қолдану, оны көрсетуге болады

«Арифметикалық прогрессия» тақырыбы бойынша есептер шығарудың типтік мысалдарын қарастыруға көшейік.

1-мысалрұқсат етіңіз және . Табыңыз.

Шешім.(6) формуланы қолданып, аламыз. бері және , содан кейін немесе .

2-мысалҮш есе көп болсын, ал бөліндіге бөлгенде 2 шығады, ал қалғаны 8 болады. және анықтаңыз.

Шешім.Теңдеулер жүйесі мысалдың шартынан шығады

болғандықтан, , және , онда (10) теңдеулер жүйесінен аламыз

Бұл теңдеулер жүйесінің шешімі және.

3-мысалЕгер және .

Шешім.(5) формулаға сәйкес бізде немесе. Дегенмен, (9) сипатты пайдалана отырып, біз аламыз.

бастап және , содан кейін теңдігінен теңдеу келесідейнемесе .

4-мысалЕгер табыңыз.

Шешім.(5) формула бойынша бізде бар

Дегенмен, теореманы пайдаланып, жазуға болады

Осы жерден және (11) формуладан аламыз.

5-мысал. Берілген: . Табыңыз.

Шешім.Сол уақыттан бері . Алайда, сондықтан.

6-мысалболсын, және . Табыңыз.

Шешім.(9) формуланы қолданып, аламыз. Демек, егер болса, онда немесе.

Содан бері және онда бізде теңдеулер жүйесі бар

Қайсысын шешсек, және .

Теңдеудің табиғи түбіріболып табылады.

7-мысалЕгер және .

Шешім.(3) формула бойынша бізде бұл болғандықтан, есеп шартынан теңдеулер жүйесі шығады

Егер өрнекті ауыстырсақжүйенің екінші теңдеуіне, онда біз немесе аламыз.

Квадрат теңдеудің түбірлеріжәне .

Екі жағдайды қарастырайық.

1. Онда болсын. Содан бері және, содан кейін.

Бұл жағдайда (6) формулаға сәйкес бізде

2. Егер , онда , және

Жауап: және.

8-мысалБұл белгілі және Табыңыз.

Шешім.(5) формуланы және мысалдың шартын ескере отырып, және жазамыз.

Бұл теңдеулер жүйесін білдіреді

Егер жүйенің бірінші теңдеуін 2-ге көбейтіп, екінші теңдеуге қоссақ, мынаны аламыз

(9) формулаға сәйкес бізде бар. Осыған байланысты (12) тармақтан келесідей боладынемесе .

Содан бері және, содан кейін.

Жауап: .

9-мысалЕгер және .

Шешім.бері , және шарты бойынша , содан кейін немесе .

(5) формуладан белгілі, не . Сол уақыттан бері .

Демек, мұнда сызықтық теңдеулер жүйесі бар

Осыдан біз аламыз және . (8) формуланы ескере отырып, жазамыз.

10-мысалТеңдеуді шеш.

Шешім.Берілген теңдеуден шығатыны. , , және деп есептейік. Мұндай жағдайда .

(1) формулаға сәйкес немесе жаза аламыз.

(13) теңдеудің бірегей сәйкес түбірі бар болғандықтан.

11-мысал.және болған жағдайда ең үлкен мәнді табыңыз.

Шешім.болғандықтан, онда қарастырылатын арифметикалық прогрессия кемиді. Осыған байланысты өрнек прогрессияның минималды оң мүшесінің саны болғанда максималды мән қабылдайды.

Біз формуланы (1) және фактіні қолданамыз, қайсысы және . Содан кейін біз оны аламыз немесе .

Өйткені , содан кейін немесе . Дегенмен, бұл теңсіздіктеең үлкен натурал сан, сондықтан .

Егер және мәндері (6) формулаға ауыстырылса, онда біз аламыз.

Жауап: .

12-мысал. 6-ға бөлгенде 5 қалдығы болатын барлық екі таңбалы натурал сандардың қосындысын табыңыз.

Шешім.Барлық екі мәнді натурал сандар жиынымен белгілеңіз, яғни. . Әрі қарай, 6 санына бөлгенде 5 қалдығын беретін жиынның элементтерінен (сандарынан) тұратын ішкі жиынды саламыз.

Орнату оңай, не . Әлбетте, бұл жиынның элементтеріарифметикалық прогрессияны құрайды, онда және .

Жиынның түбегейлілігін (элементтерінің санын) анықтау үшін, деп есептейміз. және болғандықтан, онда (1) формула немесе дегенді білдіреді. (5) формуланы ескере отырып, аламыз.

Есептерді шешудің жоғарыда келтірілген мысалдары ешбір жағдайда толық деп айта алмайды. Бұл мақала берілген тақырып бойынша типтік есептерді шешудің заманауи әдістерін талдау негізінде жазылған. Арифметикалық прогрессияға байланысты есептерді шешу әдістерін тереңірек зерттеу үшін ұсынылған әдебиеттер тізіміне жүгінген жөн.

1. Техникалық жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған математикадан тапсырмалар жинағы / Ред. М.И. Сканави. - М .: Әлем және білім, 2013. - 608 б.

2. Супрун В.П. Жоғары сынып оқушыларына арналған математика: мектеп бағдарламасының қосымша бөлімдері. – М.: Ленанд / URSS, 2014. - 216 б.

3. Медынский М.М. Тапсырмалар мен жаттығулардағы бастауыш математиканың толық курсы. 2-кітап: Сандар тізбегі мен прогрессиясы. – М.: Эдитус, 2015. - 208 б.

Сұрақтарыңыз бар ма?

Тәрбиешінің көмегін алу үшін – тіркеліңіз.

сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.

Біреу «прогрессия» сөзін жоғары математика бөлімдерінен өте күрделі термин ретінде сақтықпен қарастырады. Сонымен қатар, ең қарапайым арифметикалық прогрессия такси есептегішінің жұмысы болып табылады (олар әлі де қалады). Бірнеше қарапайым ұғымдарды талдай отырып, арифметикалық тізбектің мәнін (және математикада «мәнін түсінуден» маңыздырақ ештеңе жоқ) түсіну соншалықты қиын емес.

Математикалық сандар тізбегі

Сандық тізбекті әрқайсысының өз нөмірі бар сандар тізбегі деп атаған жөн.

және 1 - қатардың бірінші мүшесі;

және 2 - қатардың екінші мүшесі;

және 7 - қатардың жетінші мүшесі;

және n – қатардың n-ші мүшесі;

Дегенмен, бізді кез-келген цифрлар мен сандар қызықтырмайды. Біз назарымызды n-ші мүшенің мәні оның реттік санына математикалық түрде анық тұжырымдауға болатын тәуелділік арқылы қатысты болатын сандық тізбекке аударамыз. Басқаша айтқанда: n-ші санның сандық мәні n-дің кейбір функциясы болып табылады.

a - сандық қатардың мүшесінің мәні;

n – оның сериялық нөмірі;

f(n) – n сандық қатардағы реттік аргумент болатын функция.

Анықтама

Арифметикалық прогрессия әдетте әрбір келесі мүше алдыңғысынан бірдей санға үлкен (кем) болатын сандық тізбек деп аталады. Арифметикалық қатардың n-ші мүшесінің формуласы келесідей:

a n – арифметикалық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

a n+1 – келесі санның формуласы;

d - айырмашылық (белгілі бір сан).

Айырма оң (d>0) болса, онда қарастырылып отырған қатардың әрбір келесі мүшесі алдыңғысынан үлкен болатынын және мұндай арифметикалық прогрессияның өсетінін анықтау оңай.

Төмендегі графикте сандар тізбегі неліктен «өсу» деп аталатынын түсіну оңай.

Айырмашылық теріс болған жағдайларда (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Көрсетілген мүшенің мәні

Кейде арифметикалық прогрессияның кейбір ерікті мүшесі a n мәнін анықтау қажет болады. Мұны біріншіден қажеттіге дейінгі арифметикалық прогрессияның барлық мүшелерінің мәндерін дәйекті есептеу арқылы жасауға болады. Алайда, мысалы, бес мыңыншы немесе сегіз миллионыншы мүшенің мәнін табу қажет болса, бұл жол әрқашан қолайлы бола бермейді. Дәстүрлі есептеу көп уақытты алады. Дегенмен, белгілі бір арифметикалық прогрессияны белгілі формулалар арқылы зерттеуге болады. Сондай-ақ n-ші мүшесінің формуласы бар: арифметикалық прогрессияның кез келген мүшесінің мәнін прогрессияның бірінші мүшесінің қосындысы прогрессияның айырмасы, қажетті мүшенің санына көбейтінді, бір минус ретінде анықтауға болады. .

Формула прогрессияның жоғарылауы және төмендеуі үшін әмбебап болып табылады.

Берілген мүшенің мәнін есептеудің мысалы

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің мәнін табуға келесі есепті шығарайық.

Шарты: параметрлері бар арифметикалық прогрессия бар:

Тізбектің бірінші мүшесі 3;

Сандар қатарындағы айырмашылық 1,2.

Тапсырма: 214 мүшенің мәнін табу керек

Шешуі: берілген мүшенің мәнін анықтау үшін мына формуланы қолданамыз:

a(n) = a1 + d(n-1)

Мәселе мәлімдемесіндегі деректерді өрнекке ауыстырсақ, бізде:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Жауабы: Тізбектің 214-ші мүшесі 258,6-ға тең.

Бұл есептеу әдісінің артықшылықтары айқын - бүкіл шешім 2 жолдан аспайды.

Берілген терминдер санының қосындысы

Көбінесе берілген арифметикалық қатарда оның кейбір сегменттерінің мәндерінің қосындысын анықтау қажет. Сондай-ақ әр терминнің мәндерін есептеп, содан кейін оларды қорытындылаудың қажеті жоқ. Бұл әдіс қосындысы табылуы тиіс мүшелердің саны аз болған жағдайда қолданылады. Басқа жағдайларда келесі формуланы қолдану ыңғайлырақ.

1-ден n-ге дейінгі арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы бірінші және n-ші мүшелердің қосындысын n мүше санына көбейтіп, екіге бөлгенге тең. Егер формулада n-ші мүшенің мәні мақаланың алдыңғы абзацындағы өрнекпен ауыстырылса, біз мынаны аламыз:

Есептеу мысалы

Мысалы, келесі шарттармен мәселені шешейік:

Тізбектің бірінші мүшесі нөлге тең;

Айырмашылық 0,5.

Есепте 56-дан 101-ге дейінгі қатар мүшелерінің қосындысын анықтау қажет.

Шешім. Прогрессияның қосындысын анықтау үшін формуланы қолданайық:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Біріншіден, есептің берілген шарттарын формулаға ауыстыру арқылы прогрессияның 101 мүшесінің мәндерінің қосындысын анықтаймыз:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

56-дан 101-ге дейінгі прогрессияның мүшелерінің қосындысын табу үшін S 101-ден S 55-ті алу керек екені анық.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Сонымен, осы мысал үшін арифметикалық прогрессияның қосындысы:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Арифметикалық прогрессияның практикалық қолданылуының мысалы

Мақаланың соңында бірінші абзацта келтірілген арифметикалық тізбектің мысалына оралайық - таксиметр (такси вагонының есептегіші). Мұндай мысалды қарастырайық.

Таксиге отыру (оның ішінде 3 км) 50 рубльді құрайды. Әрбір келесі шақырым 22 рубль / км мөлшерінде төленеді. Жол жүру қашықтығы 30 км. Сапардың құнын есептеңіз.

1. Бағасы қону құнына кіретін алғашқы 3 шақырымды тастаймыз.

30 - 3 = 27 км.

2. Әрі қарай есептеу арифметикалық сандар қатарын талдаудан басқа ештеңе емес.

Мүше нөмірі - жүріп өткен километрлер саны (алғашқы үшті алып тастағанда).

Мүшенің мәні қосынды болып табылады.

Бұл мәселедегі бірінші термин 1 = 50 рубльге тең болады.

Прогрессия айырмасы d = 22 б.

бізді қызықтыратын сан - арифметикалық прогрессияның (27 + 1)-ші мүшесінің мәні - 27-ші километрдің соңындағы метр көрсеткіші - 27,999 ... = 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Күнтізбе деректерінің еркін ұзақ кезеңдегі есептеулері белгілі бір сандық реттіліктерді сипаттайтын формулаларға негізделген. Астрономияда орбитаның ұзындығы геометриялық тұрғыдан аспан денесінің жарық сәулесіне дейінгі қашықтығына тәуелді. Сонымен қатар, әртүрлі сандық қатарлар статистикада және математиканың басқа қолданбалы салаларында сәтті қолданылады.

Сандар тізбегінің тағы бір түрі геометриялық

Геометриялық прогрессия арифметикамен салыстырғанда үлкен өзгеріс жылдамдығымен сипатталады. Саясатта, әлеуметтануда, медицинада көбінесе белгілі бір құбылыстың, мысалы, індет кезіндегі аурудың таралу жылдамдығының жоғары екенін көрсету үшін бұл процестің экспоненциалды түрде дамитынын айтуы кездейсоқ емес.

Геометриялық сандар қатарының N-ші мүшесі алдыңғысынан қандай да бір тұрақты санға көбейтілетіндігімен ерекшеленеді - бөлгіш, мысалы, бірінші мүшесі 1-ге, азайғышы сәйкесінше 2-ге тең, сонда:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n – геометриялық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

b n+1 – геометриялық прогрессияның келесі мүшесінің формуласы;

q – геометриялық прогрессияның (тұрақты сан) бөлгіші.

Егер арифметикалық прогрессияның графигі түзу болса, геометриялық сызба сәл басқаша сурет салады:

Арифметика жағдайындағы сияқты геометриялық прогрессияның ерікті мүшенің мәні үшін формуласы болады. Геометриялық прогрессияның кез келген n-ші мүшесі бірінші мүшесінің көбейтіндісіне және n дәрежесіне азайтылған прогрессияның бөліміне тең:

Мысал. Бізде бірінші мүшесі 3-ке, ал прогрессияның бөлгіші 1,5-ке тең геометриялық прогрессия бар. Прогрессияның 5-ші мүшесін табыңыз

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875 ж.

Берілген мүшелер санының қосындысы да арнайы формула арқылы есептеледі. Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы прогрессияның n-ші мүшесі мен оның бөлгіші мен прогрессияның бірінші мүшесінің көбейтіндісінің бірге азайтылған бөлгішке бөлінгеніне тең:

Егер b n жоғарыда қарастырылған формуланы пайдаланып ауыстырылса, қарастырылатын сандар қатарының бірінші n мүшесінің қосындысының мәні келесідей болады:

Мысал. Геометриялық прогрессия 1-ге тең бірінші мүшесінен басталады. Бөлгіш 3-ке тең қойылды. Алғашқы сегіз мүшесінің қосындысын табайық.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Ал, достар, егер сіз осы мәтінді оқып жатсаңыз, онда ішкі қақпақ дәлелі арифметикалық прогрессияның не екенін әлі білмегеніңізді айтады, бірақ сіз шынымен (жоқ, бұл сияқты: SOOOOO!) білгіңіз келеді. Сондықтан мен сізді ұзақ таныстырумен қинамаймын және дереу іске кірісемін.

Бастау үшін, бірнеше мысал. Бірнеше сандар жиынын қарастырыңыз:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Барлық осы жиынтықтардың ортақтығы неде? Бір қарағанда, ештеңе жоқ. Бірақ іс жүзінде бір нәрсе бар. Атап айтқанда: әрбір келесі элемент алдыңғысынан бірдей санмен ерекшеленеді.

Өзіңіз бағалаңыз. Бірінші жиын тек қатардағы сандар, олардың әрқайсысы алдыңғысынан көп. Екінші жағдайда, көрші сандар арасындағы айырмашылық қазірдің өзінде беске тең, бірақ бұл айырмашылық әлі де тұрақты. Үшінші жағдайда, жалпы тамырлар бар. Дегенмен, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ал $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, яғни. бұл жағдайда әрбір келесі элемент жай ғана $\sqrt(2)$ артады (және бұл сан қисынсыз деп қорықпаңыз).

Сонымен: мұндай тізбектердің барлығы арифметикалық прогрессиялар деп аталады. Қатаң анықтама берейік:

Анықтама. Әрбір келесісі алдыңғы саннан дәл бірдей мөлшерде ерекшеленетін сандар тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады. Сандар ерекшеленетін сома прогрессияның айырмашылығы деп аталады және көбінесе $d$ әрпімен белгіленеді.

Белгі: $\left(((a)_(n)) \right)$ - прогрессияның өзі, $d$ - оның айырмашылығы.

Және бірнеше маңызды ескертулер. Біріншіден, прогресс тек қана қарастырылады реттісандар тізбегі: олар жазылған ретпен қатаң оқуға рұқсат етіледі - басқа ештеңе жоқ. Сандарды қайта реттеу немесе ауыстыру мүмкін емес.

Екіншіден, тізбектің өзі ақырлы немесе шексіз болуы мүмкін. Мысалы, (1; 2; 3) жиыны ақырлы арифметикалық прогрессия екені анық. Бірақ егер сіз (1; 2; 3; 4; ...) сияқты нәрсені жазсаңыз - бұл қазірдің өзінде шексіз прогрессия. Төрттен кейінгі эллипс, көп сандардың одан әрі жүретінін білдіреді. Шексіз көп, мысалы. :)

Прогрессиялардың артып, азайып бара жатқанын да атап өткім келеді. Біз өсіп келе жатқандарды көрдік - сол жиынтық (1; 2; 3; 4; ...). Төмендегі прогрессияның мысалдары:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Жарайды, жақсы: соңғы мысал тым күрделі болып көрінуі мүмкін. Бірақ қалғаны, менің ойымша, сіз түсінесіз. Сондықтан біз жаңа анықтамаларды енгіземіз:

Анықтама. Арифметикалық прогрессия деп аталады:

1. әрбір келесі элемент алдыңғысынан үлкен болса, ұлғайту;
2. кему, егер, керісінше, әрбір келесі элемент алдыңғысынан аз болса.

Сонымен қатар, «стационарлық» деп аталатын тізбектер бар - олар бірдей қайталанатын саннан тұрады. Мысалы, (3; 3; 3; ...).

Бір ғана сұрақ қалады: өсіп келе жатқан прогрессияны төмендейтіннен қалай ажыратуға болады? Бақытымызға орай, мұнда бәрі тек $d$ санының белгісіне байланысты, яғни. прогрессияның айырмашылығы:

1. $d \gt 0$ болса, онда прогресс өседі;
2. Егер $d \lt 0$ болса, онда прогрессия анық төмендейді;
3. Соңында, $d=0$ жағдайы бар — бұл жағдайда бүкіл прогрессия бірдей сандардың стационар тізбегіне келтіріледі: (1; 1; 1; 1; ...), т.б.

Жоғарыдағы үш төмендейтін прогрессия үшін $d$ айырмашылығын есептеп көрейік. Ол үшін кез келген екі көршілес элементті (мысалы, бірінші және екінші) алып, оң жақтағы саннан, сол жақтағы саннан алу жеткілікті. Ол келесідей болады:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Көріп отырғаныңыздай, үш жағдайда да айырмашылық шынымен теріс болып шықты. Енді біз анықтамаларды азды-көпті анықтадық, прогрессиялар қалай сипатталатынын және олардың қандай қасиеттері бар екенін анықтаудың уақыты келді.

Прогрессия мүшелері және қайталанатын формула

Біздің тізбектердің элементтерін ауыстыру мүмкін болмағандықтан, оларды нөмірлеуге болады:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \оң\)\]

Бұл жиынның жеке элементтері прогрессияның мүшелері деп аталады. Олар осылайша санның көмегімен көрсетіледі: бірінші мүше, екінші мүше, т.б.

Сонымен қатар, біз білетіндей, прогрессияның көршілес мүшелері мына формула бойынша байланысады:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Оң жақ көрсеткі ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Қысқасы, прогрессияның $n$-ші мүшесін табу үшін $n-1$-ші мүшесі мен $d$ айырмашылығын білу керек. Мұндай формула қайталанатын деп аталады, өйткені оның көмегімен сіз кез келген санды таба аласыз, тек алдыңғысын (және шын мәнінде, алдыңғылардың барлығын) біле аласыз. Бұл өте ыңғайсыз, сондықтан кез келген есептеуді бірінші терминге және айырмашылыққа дейін азайтатын күрделірек формула бар:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\сол(n-1 \оң)d\]

Сіз бұл формуланы бұрын кездестірген шығарсыз. Олар оны әртүрлі анықтамалықтар мен решебниктерде бергенді ұнатады. Ал математика бойынша кез келген саналы оқулықта ол алғашқылардың бірі болып табылады.

Дегенмен, мен сізге аздап жаттығуды ұсынамын.

№1 тапсырма. $((a)_(1))=8,d=-5$ болса, $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметикалық прогрессияның алғашқы үш мүшесін жазыңыз.

Шешім. Сонымен, біз $((a)_(1))=8$ бірінші мүшесін және $d=-5$ прогрессия айырмасын білеміз. Жаңа берілген формуланы қолданып, $n=1$, $n=2$ және $n=3$ ауыстырайық:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\сол(2-1 \оң)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\сол(3-1 \оң)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \соңы(туралау)\]

Жауабы: (8; 3; -2)

Осымен болды! Біздің прогрессіміз төмендеп жатқанын ескеріңіз.

Әрине, $n=1$ ауыстырылуы мүмкін емес еді - біз бірінші терминді білеміз. Дегенмен, бірлікті ауыстыру арқылы біз формуламыздың бірінші тоқсанда да жұмыс істейтініне көз жеткіздік. Басқа жағдайларда бәрі банальды арифметикаға келді.

№2 тапсырма. Арифметикалық прогрессияның жетінші мүшесі -40 және он жетінші мүшесі -50 болса, оның алғашқы үш мүшесін жаз.

Шешім. Есептің шартын әдеттегідей жазамыз:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(туралау) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & (a)_(1))+16d=-50 \\ \соңы(туралау) \дұрыс.\]

Мен жүйенің белгісін қойдым, себебі бұл талаптар бір уақытта орындалуы керек. Ал енді біз екінші теңдеуден бірінші теңдеуді алып тастасақ (бізде мұны істеуге құқығымыз бар, өйткені бізде жүйе бар), мынаны аламыз:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \соңы(туралау)\]

Дәл осылай, біз прогресс айырмашылығын таптық! Жүйенің кез келген теңдеуінде табылған санды ауыстыру қалады. Мысалы, біріншісінде:

\[\бастау(матрица) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Төмен қарай \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \соңы(матрица)\]

Енді бірінші мүше мен айырмашылықты біле отырып, екінші және үшінші мүшелерді табу керек:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \соңы(туралау)\]

Дайын! Мәселе шешілді.

Жауабы: (-34; -35; -36)

Прогрессияның біз ашқан қызық қасиетіне назар аударыңыз: егер $n$th және $m$th мүшелерін алып, оларды бір-бірінен алсақ, прогрессияның айырмасын $n-m$ санына көбейтеміз:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \оң)\]

Сіз міндетті түрде білуіңіз керек қарапайым, бірақ өте пайдалы қасиет - оның көмегімен сіз прогрессияның көптеген мәселелерін шешуді айтарлықтай жылдамдата аласыз. Міне, мұның басты мысалы:

№3 тапсырма. Арифметикалық прогрессияның бесінші мүшесі 8,4, оныншы мүшесі 14,4. Осы прогрессияның он бесінші мүшесін табыңыз.

Шешім. $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ болғандықтан және $((a)_(15))$ табу керек болғандықтан, біз мынаны ескереміз:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \соңы(туралау)\]

Бірақ шарт бойынша $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, сондықтан $5d=6$, бізде:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \соңы(туралау)\]

Жауабы: 20.4

Осымен болды! Бізге қандай да бір теңдеулер жүйесін құрастырып, бірінші мүшесі мен айырмасын есептеудің қажеті болмады - барлығы бір-екі жолда шешілді.

Енді мәселенің басқа түрін – прогрессияның жағымсыз және оң мүшелерін іздеуді қарастырайық. Жасыратыны жоқ, егер прогрессия өссе, оның бірінші мүшесі теріс болса, онда ерте ме, кеш пе оң терминдер пайда болады. Және керісінше: төмендейтін прогрессияның шарттары ерте ме, кеш пе теріс болады.

Сонымен қатар, элементтерді дәйекті түрде сұрыптай отырып, бұл сәтті «маңдайда» табу әрқашан мүмкін емес. Көбінесе есептер формулаларды білмей, есептеулер бірнеше парақты алатындай етіп құрастырылады - біз жауапты тапқанша ұйықтап қалатынбыз. Сондықтан біз бұл мәселелерді тезірек шешуге тырысамыз.

№4 тапсырма. Арифметикалық прогрессияда неше теріс мүше -38,5; -35,8; …?

Шешім. Сонымен, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, одан бірден айырмашылықты табамыз:

Айырмашылық оң екенін ескеріңіз, сондықтан прогресс артып келеді. Бірінші мүше теріс, сондықтан біз бір сәтте оң сандарға тап боламыз. Бұл қашан болады деген жалғыз сұрақ.

Мынаны анықтауға тырысайық: терминдердің терістігі қанша уақытқа дейін (яғни, $n$ қандай натурал санға дейін) сақталады:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n)) \lt 0\Оң жақ көрсеткі ((a)_(1))+\сол(n-1 \оң)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \оң)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \оңға. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Оң жақ көрсеткі ((n)_(\max ))=15. \\ \соңы(туралау)\]

Соңғы жол нақтылауды қажет етеді. Сонымен, біз $n \lt 15\frac(7)(27)$ екенін білеміз. Екінші жағынан, бізге санның бүтін мәндері ғана сәйкес келеді (сонымен қатар: $n\in \mathbb(N)$), сондықтан ең үлкен рұқсат етілген сан дәл $n=15$ және ешбір жағдайда 16 емес.

№5 тапсырма. Арифметикалық прогрессияда $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Осы прогрессияның бірінші оң мүшесінің нөмірін табыңыз.

Бұл алдыңғы мәселемен бірдей мәселе болар еді, бірақ біз $((a)_(1))$ білмейміз. Бірақ көрші терминдер белгілі: $((a)_(5))$ және $((a)_(6))$, сондықтан прогрессияның айырмашылығын оңай таба аламыз:

Сонымен қатар, стандартты формуланы пайдалана отырып, бесінші мүшені бірінші және айырмашылық тұрғысынан өрнектеуге тырысайық:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \соңы(туралау)\]

Енді біз алдыңғы мәселенің ұқсастығына көшеміз. Оң сандар қатарымыздың қай нүктесінде пайда болатынын білеміз:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Оң жақ көрсеткі ((n)_(\мин ))=56. \\ \соңы(туралау)\]

Бұл теңсіздіктің ең кіші бүтін шешімі 56 саны.

Назар аударыңыз, соңғы тапсырмада бәрі қатаң теңсіздікке дейін төмендеді, сондықтан $n=55$ опциясы бізге сәйкес келмейді.

Қарапайым есептерді шығаруды үйрендік, енді күрделірек есептерге көшейік. Бірақ алдымен арифметикалық прогрессияның тағы бір өте пайдалы қасиетін білейік, ол бізге болашақта көп уақыт пен тең емес ұяшықтарды үнемдейді. :)

Арифметикалық орта және тең шегіністер

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсетін арифметикалық прогрессияның бірнеше қатарынан мүшелерін қарастырыңыз. Оларды сан жолында белгілеп көрейік:

Мен $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, $((a)_(1)) емес, ерікті мүшелерді ерекше атап өттім. \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ т.б. Өйткені мен қазір айтып беретін ереже кез келген «сегменттерге» бірдей жұмыс істейді.

Ал ереже өте қарапайым. Рекурсивті формуланы еске түсіріп, оны барлық белгіленген мүшелер үшін жазып алайық:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \соңы(туралау)\]

Дегенмен, бұл теңдіктерді басқаша қайта жазуға болады:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \соңы(туралау)\]

Ал, сонда не? Бірақ $((a)_(n-1))$ және $((a)_(n+1))$ терминдерінің $((a)_(n)) $-дан бірдей қашықтықта жатқаны. . Және бұл қашықтық $d$-ға тең. $((a)_(n-2))$ және $((a)_(n+2))$ терминдері туралы да осылай айтуға болады - олар $((a)_(n) терминінен де жойылған. )$ бірдей қашықтықта $2d$ тең. Сіз шексіз жалғастыра аласыз, бірақ сурет мағынаны жақсы көрсетеді

Бұл біз үшін нені білдіреді? Бұл көрші сандар белгілі болса, $((a)_(n))$ табуға болатынын білдіреді:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Біз тамаша тұжырымды шығардық: арифметикалық прогрессияның әрбір мүшесі көршілес мүшелердің арифметикалық ортасына тең! Сонымен қатар, біз $((a)_(n))$-дан солға және оңға бір қадаммен емес, $k$ қадамдарымен ауытқуымыз мүмкін — сонда формула дұрыс болады:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Анау. $((a)_(150))$ $((a)_(100))$ және $((a)_(200))$ білсек, біз оңай таба аламыз, себебі $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. Бір қарағанда, бұл факт бізге пайдалы ештеңе бермейтін сияқты көрінуі мүмкін. Дегенмен, іс жүзінде көптеген тапсырмалар арифметикалық ортаны пайдалану үшін арнайы «ұшталған». Қара:

№6 тапсырма. $-6((x)^(2))$, $x+1$ және $14+4((x)^(2))$ сандары келесі мүшелер болатындай $x$ барлық мәндерін табыңыз. арифметикалық прогрессия (белгілі бір ретпен).

Шешім. Бұл сандар прогрессияның мүшелері болғандықтан, олар үшін орташа арифметикалық шарт орындалады: $x+1$ орталық элементін көршілес элементтер арқылы көрсетуге болады:

\[\бастау(туралау) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \соңы(туралау)\]

Нәтижесінде классикалық квадрат теңдеу шығады. Оның түбірлері: $x=2$ және $x=-3$ жауап болып табылады.

Жауабы: -3; 2.

№7 тапсырма. $-1;4-3;(()^(2))+1$ сандары арифметикалық прогрессия құрайтындай $$ мәндерін табыңыз (осы ретпен).

Шешім. Тағы да біз ортаңғы мүшені көршілес мүшелердің арифметикалық ортасы арқылы өрнектейміз:

\[\бастау(туралау) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\оңға.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \соңы(туралау)\]

Тағы бір квадрат теңдеу. Және тағы да екі түбір: $x=6$ және $x=1$.

Жауабы: 1; 6.

Егер мәселені шешу барысында сіз кейбір қатыгез сандарды алсаңыз немесе табылған жауаптардың дұрыстығына толық сенімді болмасаңыз, онда тексеруге мүмкіндік беретін тамаша қулық бар: біз мәселені дұрыс шештік пе?

6 есепте біз -3 және 2 жауаптарын алдық делік. Бұл жауаптардың дұрыстығын қалай тексеруге болады? Оларды бастапқы күйге қосып, не болатынын көрейік. Естеріңізге сала кетейін, бізде арифметикалық прогрессия құрайтын үш сан ($-6(()^(2))$, $+1$ және $14+4(()^(2))$ бар. $x=-3$ ауыстырыңыз:

\[\бастау(туралау) & x=-3\Оң жақ көрсеткі \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \соңы(туралау)\]

Біз -54 сандарын алдық; −2; Айырмашылығы 52 болатын 50 саны арифметикалық прогрессия екені сөзсіз. $x=2$ үшін де солай болады:

\[\бастау(туралау) & x=2\Оң жақ көрсеткі \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \соңы(туралау)\]

Тағы да прогрессия, бірақ айырмашылығы 27. Осылайша есеп дұрыс шешілді. Қалаушылар екінші тапсырманы өз бетімен тексере алады, бірақ мен бірден айтамын: мұнда да бәрі дұрыс.

Жалпы, соңғы мәселелерді шеше отырып, біз есте сақтауды қажет ететін тағы бір қызықты фактіге тап болдық:

Егер үш сан екіншісінің бірінші және соңғысының орташа мәні болатындай болса, онда бұл сандар арифметикалық прогрессияны құрайды.

Болашақта бұл мәлімдемені түсіну мәселенің жағдайына негізделген қажетті прогрессияларды сөзбе-сөз «құруға» мүмкіндік береді. Бірақ мұндай «құрылыспен» айналыспас бұрын, біз бұрын қарастырылған нәрседен тікелей туындайтын тағы бір фактіге назар аударуымыз керек.

Топтастыру және элементтер қосындысы

Қайтадан сан жолына оралайық. Біз прогрессияның бірнеше мүшелерін атап өтеміз, олардың арасында болуы мүмкін. көптеген басқа мүшелерге тұрарлық:

«Сол жақ құйрықты» $((a)_(n))$ және $d$, ал «оң құйрықты» $((a)_(k))$ және $ арқылы өрнектеп көрейік. d$. Бұл өте оңай:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \соңы(туралау)\]

Енді мына сомалар тең екенін ескеріңіз:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \соңы(туралау)\]

Қарапайым сөзбен айтқанда, егер біз жалпы алғанда $S$ санына тең болатын прогрессияның екі элементін бастама ретінде қарастырсақ, содан кейін біз осы элементтерден қарама-қарсы бағытта (бір-біріне қарай немесе керісінше алыстау үшін) қадам жасай бастасақ, содан кейін біз сүрінетін элементтердің қосындылары да тең болады$S$. Мұны графикалық түрде ең жақсы түрде көрсетуге болады:

Бұл фактіні түсіну бізге жоғарыда қарастырғандарға қарағанда күрделіліктің түбегейлі жоғары деңгейіндегі мәселелерді шешуге мүмкіндік береді. Мысалы, мыналар:

№8 тапсырма. Бірінші мүшесі 66, ал екінші және он екінші мүшелерінің көбейтіндісі мүмкін болатын ең кіші арифметикалық прогрессияның айырмасын анықтаңыз.

Шешім. Біз білетіндердің бәрін жазайық:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин . \соңы(туралау)\]

Сонымен, біз $d$ прогрессияның айырмашылығын білмейміз. Шын мәнінде, барлық шешім айырмашылықтың айналасында құрылады, өйткені $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ өнімін келесідей қайта жазуға болады:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \соңы(туралау)\]

Резервуардағылар үшін: Мен екінші жақшадан жалпы 11 коэффициентін алдым. Осылайша, қажетті туынды $d$ айнымалысына қатысты квадраттық функция болып табылады. Сондықтан $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функциясын қарастырайық - оның графигі тармақтары жоғары парабола болады, өйткені жақшаларды ашсақ, мынаны аламыз:

\[\бастау(туралау) & f\left(d \оңға)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \оңға)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Көріп отырғаныңыздай, ең жоғары мүшесі бар коэффициент 11 - бұл оң сан, сондықтан біз шын мәнінде тармақтары жоғары параболамен айналысамыз:

квадраттық функцияның графигі – парабола

Назар аударыңыз: бұл парабола өзінің ең төменгі мәнін $((d)_(0))$ абсциссасымен төбесінде қабылдайды. Әрине, біз бұл абсциссаны стандартты схема бойынша есептей аламыз ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ формуласы бар), бірақ бұл әлдеқайда орынды болар еді. қажетті шыңы параболаның осінің симметриясында жатқанын ескеріңіз, сондықтан $((d)_(0))$ нүктесі $f\left(d \right)=0$ теңдеуінің түбірлерінен бірдей қашықтықта орналасқан:

\[\бастау(туралау) & f\left(d\оң)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\төрт ((d)_(2))=-6. \\ \соңы(туралау)\]

Сондықтан мен жақшаларды ашуға асықпадым: бастапқы пішінде тамырларды табу өте оңай болды. Демек, абсцисса −66 және −6 сандарының арифметикалық ортасына тең:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Табылған сан бізге не береді? Оның көмегімен қажетті өнім ең кіші мәнді қабылдайды (айтпақшы, біз $((y)_(\min ))$ есептеген жоқпыз - бұл бізден талап етілмейді). Сонымен бірге бұл сан бастапқы прогрессияның айырмашылығы болып табылады, яғни. біз жауапты таптық. :)

Жауабы: -36

№9 тапсырма. $-\frac(1)(2)$ және $-\frac(1)(6)$ сандарының арасына үш санды енгізіңіз, сонда олар берілген сандармен бірге арифметикалық прогрессия түзеді.

Шешім. Шындығында, бірінші және соңғы саны белгілі бес саннан тұратын тізбегі жасауымыз керек. $x$, $y$ және $z$ айнымалылары арқылы жетіспейтін сандарды белгілеңіз:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \оң\ )\]

$y$ саны біздің қатарымыздың «ортасы» екенін ескеріңіз - ол $x$ және $z$ сандарынан және $-\frac(1)(2)$ және $-\frac сандарынан бірдей қашықтықта орналасқан. (1)(6)$. Ал егер қазіргі уақытта $x$ және $z$ сандарынан $y$ ала алмасақ, онда прогрессияның соңындағы жағдай басқаша. Арифметикалық ортаны есте сақтаңыз:

Енді $y$ біле отырып, біз қалған сандарды табамыз. $x$ $-\frac(1)(2)$ және $y=-\frac(1)(3)$ арасында жатқанын ескеріңіз. Сондықтан

Сол сияқты дауласып, біз қалған санды табамыз:

Дайын! Біз үш санды да таптық. Оларды жауапта бастапқы сандар арасына енгізу ретімен жазып көрейік.

Жауабы: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

№10 тапсырма. 2 және 42 сандарының арасына, егер енгізілген сандардың бірінші, екінші және соңғысының қосындысы 56 болатыны белгілі болса, берілген сандармен бірге арифметикалық прогрессия құрайтын бірнеше сандарды қойыңыз.

Шешім. Одан да қиын тапсырма, дегенмен, алдыңғылары сияқты шешіледі - арифметикалық орта арқылы. Мәселе мынада, біз нақты қанша сандарды енгізу керектігін білмейміз. Сондықтан, нақтылық үшін біз кірістіргеннен кейін дәл $n$ сандары болады деп есептейміз және олардың біріншісі 2, ал соңғысы 42. Бұл жағдайда қажетті арифметикалық прогрессияны келесідей көрсетуге болады:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \оң\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Алайда $((a)_(2))$ және $((a)_(n-1))$ сандары бір-біріне қарай бір қадам шетінде тұрған 2 және 42 сандарынан алынғанын ескеріңіз. , яғни. ретінің ортасына. Және бұл дегеніміз

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Бірақ содан кейін жоғарыдағы өрнекті келесідей қайта жазуға болады:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \соңы(туралау)\]

$((a)_(3))$ және $((a)_(1))$ біле отырып, біз прогрессияның айырмашылығын оңай таба аламыз:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\сол(3-1 \оң)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Оң жақ көрсеткі d=5. \\ \соңы(туралау)\]

Қалған мүшелерді табу ғана қалады:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \соңы(туралау)\]

Осылайша, 9-шы қадамда біз тізбектің сол жағына келеміз - 42 саны. Барлығы тек 7 санды енгізу керек болды: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Жауабы: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Прогрессиялары бар мәтіндік тапсырмалар

Қорытындылай келе, мен салыстырмалы түрде қарапайым бірнеше мәселені қарастырғым келеді. Қарапайым тапсырмалар сияқты: мектепте математиканы оқитын және жоғарыда жазылғандарды оқымаған студенттердің көпшілігі үшін бұл тапсырмалар ым сияқты көрінуі мүмкін. Дегенмен, дәл осындай тапсырмалар математикадағы OGE және USE-де кездеседі, сондықтан мен сізге олармен танысуды ұсынамын.

№11 тапсырма. Ұжым қаңтар айында 62 деталь шығарса, келесі айда алдыңғысынан 14 дана артық өндірді. Қараша айында бригада неше бөлшек шығарды?

Шешім. Айлар бойынша боялған бөліктер саны арифметикалық прогрессия болатыны анық. Және:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\сол(n-1 \оң)\cdot 14. \\ \соңы(туралау)\]

Қараша - жылдың 11 айы, сондықтан $((a)_(11))$ табу керек:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Сондықтан қараша айында 202 деталь дайындалады.

№12 тапсырма. Кітапты түптеу шеберханасы қаңтар айында 216 кітапты түптеп, әр ай сайын алдыңғы айға қарағанда 4 кітапты көп тіккен. Желтоқсан айында шеберхана неше кітапты түптеді?

Шешім. Бәрі бірдей:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\сол(n-1 \оң)\cdot 4. \\ \соңы(туралау)$

Желтоқсан - жылдың соңғы, 12-ші айы, сондықтан біз $((a)_(12))$ іздейміз:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Бұл жауап – желтоқсан айында 260 кітап тігілетін болады.

Егер сіз осы уақытқа дейін оқыған болсаңыз, мен сізді құттықтауға асығамын: сіз арифметикалық прогрессияның «жас жауынгер курсын» сәтті аяқтадыңыз. Біз прогрессияның қосындысының формуласын, сондай-ақ одан маңызды және өте пайдалы нәтижелерді зерттейтін келесі сабаққа қауіпсіз өтуге болады.

Сабақтың түрі:жаңа материалды меңгерту.

Сабақтың мақсаттары:

• оқушылардың арифметикалық прогрессияның көмегімен шығарылатын есептер туралы түсініктерін кеңейту және тереңдету; арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын шығару кезінде оқушылардың іздену әрекетін ұйымдастыру;
• жаңа білімді өз бетінше алу, алған білімдерін мақсатқа жету үшін пайдалану дағдыларын дамыту;
• алынған фактілерді жалпылауға ұмтылыс пен қажеттілікті дамыту, дербестікті дамыту.

Тапсырмалар:

• «Арифметикалық прогрессия» тақырыбы бойынша алған білімдерін жалпылау және жүйелеу;
• арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын есептеу формулаларын шығару;
• алынған формулаларды әртүрлі есептерді шығаруда қолдануды үйрету;
• оқушылардың назарын сандық өрнектің мәнін табу тәртібіне аудару.

Жабдық:

• топтық және жұптық жұмысқа арналған тапсырмалары бар карточкалар;
• бағалау парағы;
• презентация«Арифметикалық прогрессия».

I. Негізгі білімді өзектендіру.

1. Жұптық жұмыс.

1-ші нұсқа:

Арифметикалық прогрессияның анықтамасын беріңіз. Арифметикалық прогрессияны анықтайтын рекурсивті формуланы жазыңыз. Арифметикалық прогрессияға мысал келтір және оның айырмашылығын көрсет.

2-ші нұсқа:

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын жаз. Арифметикалық прогрессияның 100-ші мүшесін табыңыз ( а п}: 2, 5, 8 …
Осы кезде тақтаның артында екі оқушы бірдей сұрақтарға жауап дайындап жатыр.
Оқушылар серіктестің жұмысын тақтамен салыстыра отырып бағалайды. (Жауаптары жазылған парақшалар беріледі).

2. Ойын сәті.

1-жаттығу.

Мұғалім.Мен кейбір арифметикалық прогрессияны ойлап таптым. Жауаптардан кейін осы прогрессияның 7-ші мүшесін тез атау үшін маған екі сұрақ қойыңыз. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Оқушылардың сұрақтары.

1. Прогрессияның алтыншы мүшесі қандай және айырмашылығы неде?
2. Прогрессияның сегізінші мүшесі қандай және айырмашылығы неде?

Егер басқа сұрақтар болмаса, мұғалім оларды ынталандыра алады - d (айырмашылық) бойынша «тыйым», яғни айырмашылық неде екенін сұрауға болмайды. Сұрақтар қоюға болады: прогрессияның 6 мүшесі және прогрессияның 8-ші мүшесі қандай?

2-тапсырма.

Тақтада 20 сан жазылған: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Мұғалім тақтаға арқасын тіреп тұрады. Оқушылар нөмірдің нөмірін айтады, ал мұғалім бірден нөмірдің өзіне телефон соғады. Мұны қалай жасауға болатынын түсіндіріңізші?

Мұғалім n-ші мүшесінің формуласын есіне түсіреді a n \u003d 3n - 2және берілген n мәндерін қойып, сәйкес мәндерді табады а п.

II. Тәрбиелік тапсырманың мәлімдемесі.

Мысыр папирустарынан табылған біздің заманымызға дейінгі 2-мыңжылдыққа жататын ескі мәселені шешуді ұсынамын.

Тапсырма:«Саған айтайын: 10 өлшеп арпаны 10 адамға бөл, әр адам мен көршісінің арасындағы айырмашылық өлшемнің 1/8 бөлігін құрайды».

• Бұл есептің арифметикалық прогрессия тақырыбына қандай қатысы бар? (Келесі әрбір адам өлшемнің 1/8 бөлігін көбірек алады, сондықтан айырмашылық d=1/8, 10 адам, демек n=10.)
• 10 саны нені білдіреді деп ойлайсыңдар? (Прогрессияның барлық мүшелерінің қосындысы.)
• Арпаны мәселенің жағдайына қарай бөлуді жеңіл және қарапайым ету үшін тағы не білу керек? (Прогрессияның бірінші мүшесі.)

Сабақтың мақсаты- прогрессияның мүшелерінің қосындысының олардың санына, бірінші мүшесіне және айырмасына тәуелділігін алу және ерте заманда есептің дұрыс шығарылғанын тексеру.

Формуланы шығармас бұрын, ежелгі мысырлықтар мәселені қалай шешкенін көрейік.

Және олар мұны былай шешті:

1) 10 өлшем: 10 = 1 өлшем – орташа үлес;
2) 1 өлшем ∙ = 2 өлшем – екі еселенген орташабөлісу.
еселенген орташаүлес 5-ші және 6-шы тұлғаның акцияларының сомасы болып табылады.
3) 2 өлшем - 1/8 өлшем = 1 7/8 өлшем - бесінші тұлғаның екі есе үлесі.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - бесіншінің үлесі; және т.б., әрбір алдыңғы және кейінгі адамның үлесін табуға болады.

Біз тізбекті аламыз:

III. Тапсырманың шешімі.

1. Топпен жұмыс

1-топ:Тізбектелген 20 натурал санның қосындысын табыңыз: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Жалпы алғанда

ІІ топ: 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын табыңыз (Кішкентай Гаусс туралы аңыз).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Қорытынды:

ІІІ топ: 1-ден 21-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын табыңыз.

Шешуі: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Қорытынды:

IV топ: 1-ден 101-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын табыңыз.

Қорытынды:

Қарастырылған есептерді шешудің бұл әдісі «Гаусс әдісі» деп аталады.

2. Әр топ есептің шешімін тақтада көрсетеді.

3. Ерікті арифметикалық прогрессияның ұсынылған шешімдерін жалпылау:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Біз бұл соманы ұқсас дәлелдеу арқылы табамыз:

4. Біз тапсырманы шештік пе?(Иә.)

IV. Алынған формулаларды бірінші рет түсіну және есептер шығаруда қолдану.

1. Ескі есептің шешімін формула бойынша тексеру.

2. Әртүрлі есептерді шығаруда формуланы қолдану.

3. Формуланы есептер шығаруда қолдана білуді қалыптастыруға арналған жаттығулар.

A) № 613

Берілген :( және n) -арифметикалық прогрессия;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Табу: S 1500

Шешімі: , және 1 = 1 және 1500 = 1500,

B) Берілген: ( және n) -арифметикалық прогрессия;
(және n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Табу: n
Шешімі:

V. Өзара тексере отырып, өздік жұмыс.

Денис курьер болып жұмысқа кетті. Бірінші айда оның жалақысы 200 рубль болса, келесі айда ол 30 рубльге өсті. Ол бір жылда қанша табыс тапты?

Берілген :( және n) -арифметикалық прогрессия;
a 1 = 200, d=30, n=12
Табу: S 12
Шешімі:

Жауап: Денис бір жыл ішінде 4380 рубль алды.

VI. Үйге тапсырма беру.

1. 4.3 б – формуланың туындысын меңгеру.
2. №№ 585, 623 .
3. Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын пайдаланып шешілетін есепті құрастырыңыз.

VII. Сабақты қорытындылау.

1. Бағалау парағы

2. Сөйлемдерді жалғастыр

• Бүгін сабақта мен білдім...
• Үйренген формулалар...
• Менің ойымша, бұл…

3. 1-ден 500-ге дейінгі сандардың қосындысын таба аласыз ба? Бұл мәселені шешу үшін қандай әдісті қолданасыз?

Әдебиеттер тізімі.

1. Алгебра, 9 сынып. Оқу орындарына арналған оқулық. Ред. Г.В. Дорофеева.Мәскеу: Ағарту, 2009 ж.

Жалпы білім беретін мектепте (9-сынып) алгебраны оқығанда маңызды тақырыптардың бірі - геометриялық және арифметикалық прогрессияларды қамтитын сандық тізбектерді оқыту. Бұл мақалада біз арифметикалық прогрессияны және шешімдері бар мысалдарды қарастырамыз.

Арифметикалық прогрессия дегеніміз не?

Мұны түсіну үшін қарастырылып отырған прогрессияның анықтамасын беру керек, сонымен қатар есептерді шешуде әрі қарай қолданылатын негізгі формулаларды беру қажет.

Арифметикалық немесе алгебралық прогрессия деп әрбір мүшесі алдыңғысынан қандай да бір тұрақты мәнмен ерекшеленетін реттелген рационал сандар жиынын айтады. Бұл мән айырмашылық деп аталады. Яғни, реттелген сандар қатарының кез келген мүшесін және айырмасын біле отырып, сіз бүкіл арифметикалық прогрессияны қалпына келтіре аласыз.

Мысал келтірейік. Сандардың келесі тізбегі арифметикалық прогрессия болады: 4, 8, 12, 16, ..., өйткені бұл жағдайда айырмашылық 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Бірақ 3, 5, 8, 12, 17 сандар жиынын бұдан былай прогрессияның қарастырылатын түріне жатқызуға болмайды, өйткені оның айырмашылығы тұрақты мән емес (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Маңызды формулалар

Енді біз арифметикалық прогрессияның көмегімен есептерді шешуге қажетті негізгі формулаларды береміз. a n қатардың n-ші мүшесін белгілейік, мұндағы n бүтін сан. Айырмашылық латынның d әрпімен белгіленеді. Сонда келесі өрнектер дұрыс болады:

1. N-ші мүшесінің мәнін анықтау үшін мына формула қолайлы: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Бірінші n мүшесінің қосындысын анықтау үшін: S n = (a n + a 1)*n/2.

9-сыныпта шешімі бар арифметикалық прогрессияның кез келген мысалдарын түсіну үшін осы екі формуланы есте сақтау жеткілікті, өйткені қарастырылатын типтегі кез келген есептер олардың қолданылуына негізделген. Сондай-ақ, прогрессияның айырмашылығы мына формуламен анықталатынын ұмытпаңыз: d = a n - a n-1 .

№1 мысал: Белгісіз мүшені табу

Біз арифметикалық прогрессияның қарапайым мысалын және шешу үшін қолданылуы керек формулаларды келтіреміз.

10, 8, 6, 4, ... тізбегі берілсін, одан бес мүшесін табу керек.

Есептің шарттарынан қазірдің өзінде алғашқы 4 мүшесі белгілі екендігі шығады. Бесінші екі жолмен анықталуы мүмкін:

1. Алдымен айырмашылықты есептейік. Бізде: d = 8 - 10 = -2. Сол сияқты, бір-бірінің жанында тұрған кез келген басқа екі терминді қабылдауға болады. Мысалы, d = 4 - 6 = -2. Белгілі болғандай, d \u003d a n - a n-1, содан кейін d \u003d a 5 - a 4, қай жерден аламыз: a 5 \u003d a 4 + d. Біз белгілі мәндерді ауыстырамыз: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Екінші әдіс те қарастырылып отырған прогрессияның айырмашылығын білуді талап етеді, сондықтан алдымен оны жоғарыда көрсетілгендей анықтау керек (d = -2). Бірінші мүшесі a 1 = 10 екенін біле отырып, біз тізбектің n санының формуласын қолданамыз. Бізде: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Соңғы өрнекке n = 5 мәнін қойып, мынаны аламыз: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Көріп отырғаныңыздай, екі шешім де бірдей нәтижеге әкеледі. Бұл мысалда прогрессияның d айырмашылығы теріс екенін ескеріңіз. Мұндай тізбектер кему деп аталады, өйткені әрбір келесі мүше алдыңғысынан кіші.

№2 мысал: прогрессияның айырмашылығы

Енді тапсырманы сәл күрделендірейік, қалай болатынына мысал келтірейік

Кейбіреулерінде 1-мүше 6-ға, ал 7-мүше 18-ге тең болатыны белгілі.Айырманы тауып, осы тізбекті 7-ші мүшеге келтіру керек.

Белгісіз мүшені анықтау үшін формуланы қолданайық: a n = (n - 1) * d + a 1 . Біз оған шарттан белгілі деректерді, яғни a 1 және 7 сандарын ауыстырамыз, бізде: 18 \u003d 6 + 6 * d. Бұл өрнектен сіз айырмашылықты оңай есептей аласыз: d = (18 - 6) / 6 = 2. Осылайша, есептің бірінші бөлігіне жауап берілді.

7-мүше ретін қалпына келтіру үшін алгебралық прогрессияның анықтамасын қолдану керек, яғни a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, т.б. Нәтижесінде біз бүкіл тізбекті қалпына келтіреміз: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 және 7 = 18.

№3 мысал: прогрессия жасау

Мәселенің жағдайын одан да қиындата берейік. Енді арифметикалық прогрессияны қалай табуға болады деген сұраққа жауап беру керек. Мынадай мысал келтіре аламыз: екі сан берілген, мысалы, 4 және 5. Бұлардың арасына тағы үш мүше сәйкес келетіндей алгебралық прогрессия жасау керек.

Бұл мәселені шешуді бастамас бұрын, берілген сандар болашақ прогрессияда қандай орын алатынын түсіну керек. Олардың арасында тағы үш термин болатындықтан, 1 \u003d -4 және 5 \u003d 5. Осыны анықтап, біз алдыңғыға ұқсас тапсырмаға көшеміз. Тағы да, n-ші мүше үшін біз формуланы қолданамыз, біз аламыз: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Қайдан: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Мұндағы айырмашылық бүтін сан емес, ол рационал сан, сондықтан алгебралық прогрессияның формулалары өзгеріссіз қалады.

Енді табылған айырманы 1-ге қосып, прогрессияның жетіспейтін мүшелерін қалпына келтірейік. Біз аламыз: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u00, бұл мәселенің шартымен сәйкес келді.

№4 мысал: прогрессияның бірінші мүшесі

Шешімі бар арифметикалық прогрессияның мысалдарын келтіруді жалғастырамыз. Алдыңғы барлық есептерде алгебралық прогрессияның бірінші саны белгілі болды. Енді басқа типтегі есепті қарастырайық: екі сан берілсін, мұнда 15 = 50 және 43 = 37. Бұл реттілік қай саннан басталатынын табу керек.

Осы уақытқа дейін қолданылған формулалар 1 және d білімін болжайды. Мәселе жағдайында бұл сандар туралы ештеңе белгілі емес. Соған қарамастан, бізде ақпарат бар әрбір термин үшін өрнектерді жазайық: a 15 = a 1 + 14 * d және a 43 = a 1 + 42 * d. 2 белгісіз шама (a 1 және d) болатын екі теңдеу алдық. Бұл есептің сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге келтірілгенін білдіреді.

Әрбір теңдеуде 1 мәнін өрнектеп, содан кейін алынған өрнектерді салыстырсаңыз, көрсетілген жүйені шешу оңайырақ. Бірінші теңдеу: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; екінші теңдеу: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Осы өрнектерді теңестіре отырып, біз аламыз: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, айырмашылығы d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (тек 3 ондық белгі берілген).

d біле отырып, 1 үшін жоғарыдағы 2 өрнектің кез келгенін пайдалануға болады. Мысалы, бірінші: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Нәтижеге күмәндансаңыз, оны тексеруге болады, мысалы, шартта көрсетілген прогрессияның 43-ші мүшесін анықтаңыз. Біз аламыз: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Кішігірім қате есептеулерде мыңнан бірге дейін дөңгелектеу қолданылғанына байланысты.

№5 мысал: қосынды

Енді арифметикалық прогрессияның қосындысының шешімдері бар мысалдарды қарастырайық.

Мына түрдегі сандық прогрессия берілсін: 1, 2, 3, 4, ...,. Осы сандардың 100-нің қосындысын қалай есептеуге болады?

Компьютерлік технологияның дамуының арқасында бұл мәселені шешуге болады, яғни адам Enter пернесін басқаннан кейін компьютер орындайтын барлық сандарды дәйекті түрде қосуға болады. Дегенмен, берілген сандар қатары алгебралық прогрессия екеніне және оның айырмасы 1 екеніне назар аударсаңыз, мәселені ойша шешуге болады. Қосындының формуласын қолданып, мынаны аламыз: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Бір қызығы, бұл мәселе «гаусс» деп аталады, өйткені 18 ғасырдың басында атақты неміс әлі 10 жасында оны санасында бірнеше секундта шеше алды. Бала алгебралық прогрессияның қосындысының формуласын білмеді, бірақ ол тізбектің шетінде орналасқан жұп сандарды қоссаңыз, әрқашан бірдей нәтиже шығатынын байқады, яғни 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., және бұл қосындылар дәл 50 (100/2) болатындықтан, дұрыс жауапты алу үшін 50-ні 101-ге көбейту жеткілікті.

№6 мысал: n-ден m-ге дейінгі мүшелердің қосындысы

Арифметикалық прогрессияның қосындысының тағы бір типтік мысалы келесідей: сандар қатары берілген: 3, 7, 11, 15, ..., оның 8-ден 14-ке дейінгі мүшелерінің қосындысы қандай болатынын табу керек.

Мәселе екі жолмен шешіледі. Олардың біріншісі 8-ден 14-ке дейінгі белгісіз мүшелерді табуды, содан кейін оларды ретімен қорытындылауды қамтиды. Терминдер аз болғандықтан, бұл әдіс жеткілікті еңбекқор емес. Осыған қарамастан, бұл мәселені екінші әдіспен шешу ұсынылады, ол әмбебап болып табылады.

Идеясы m және n мүшелері арасындағы алгебралық прогрессияның қосындысының формуласын алу, мұндағы n > m бүтін сандар. Екі жағдайда да қосынды үшін екі өрнек жазамыз:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

n > m болғандықтан, 2 қосындысына бірінші қосылатыны анық. Соңғы қорытынды мынаны білдіреді: егер осы қосындылардың айырмасын алып, оған a m мүшесін қоссақ (айырымды қабылдаған жағдайда S n қосындысынан шегеріледі), онда есептің қажетті жауабын аламыз. Бізде: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- м / 2). Бұл өрнекке a n және a m формулаларын ауыстыру қажет. Сонда мынаны аламыз: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * м - м 2 - 2) / 2.

Алынған формула біршама қиын, дегенмен S mn қосындысы тек n, m, a 1 және d-ге тәуелді. Біздің жағдайда a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Осы сандарды ауыстырсақ, мынаны аламыз: S mn = 301.

Жоғарыда келтірілген шешімдерден көрініп тұрғандай, барлық есептер n-мүше өрнекті және бірінші мүшелер жиынының қосындысының формуласын білуге ​​негізделген. Осы мәселелердің кез келгенін шешуді бастамас бұрын, шартты мұқият оқып шығып, не тапқыңыз келетінін нақты түсініп, содан кейін ғана шешімді жалғастыру ұсынылады.

Тағы бір кеңес - қарапайымдылыққа ұмтылу, яғни егер сіз күрделі математикалық есептеулерді қолданбай сұраққа жауап бере алсаңыз, дәл солай істеу керек, өйткені бұл жағдайда қате жіберу ықтималдығы аз болады. Мысалы, №6 шешімі бар арифметикалық прогрессия мысалында S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m формуласына тоқтауға болады, және жалпы тапсырманы жеке қосалқы тапсырмаларға бөлу (бұл жағдайда алдымен a n және a m терминдерін табыңыз).

Алынған нәтижеге күмәндансаңыз, келтірілген мысалдардың кейбірінде жасалғандай, оны тексеру ұсынылады. Арифметикалық прогрессияны қалай табуға болады, анықтады. Сіз оны түсінгеннен кейін, бұл соншалықты қиын емес.