Айналмалы қозғалыс. Айналмалы қозғалыс теңдеуі

USE кодификаторының тақырыптары: тұрақты модульдік жылдамдықпен шеңбер бойымен қозғалыс, центрге тартқыш үдеу.

Бірқалыпты айналмалы қозғалыс уақытқа байланысты үдеу векторы бар қозғалыстың қарапайым мысалы болып табылады.

Нүкте радиусы бар шеңбер бойымен айналсын. Нүктенің жылдамдығы тұрақты модуль және -ге тең. Жылдамдық деп аталады сызықтық жылдамдықұпай.

Айналым кезеңі бір толық революцияның уақыты келді. Кезең үшін бізде айқын формула бар:

. (1)

Айналым жиілігі кезеңнің кері шамасы:

Жиілік нүктенің секундына қанша толық айналым жасайтынын көрсетеді. Жиілік айн/мин (секундына айналу) арқылы өлшенеді.

Мысалы, . Бұл уақыт ішінде нүктенің біреуін аяқтайтынын білдіреді
айналымы. Бұл жағдайда жиілік мынаған тең: шамамен / с; Нүкте секундына 10 толық айналым жасайды.

Бұрыштық жылдамдық.

Декарттық координаталар жүйесіндегі нүктенің біркелкі айналуын қарастырайық. Координаталар басын шеңбердің ортасына орналастырайық (1-сурет).

Күріш. 1. Бірқалыпты айналмалы қозғалыс

Нүктенің бастапқы орны болсын; басқаша айтқанда, үшін нүктенің координаттары болды. Нүкте уақыт бойынша бұрыш арқылы бұрылып, позициясын алайық.

Айналу бұрышының уақытқа қатынасы деп аталады бұрыштық жылдамдық нүктенің айналуы:

. (2)

Бұрыш әдетте радианмен өлшенеді, сондықтан бұрыштық жылдамдық рад/спен өлшенеді. Айналу периодына тең уақыт ішінде нүкте бұрыш арқылы айналады. Сондықтан

. (3)

(1) және (3) формулаларын салыстыра отырып, сызықтық және бұрыштық жылдамдықтар арасындағы байланысты аламыз:

. (4)

Қозғалыс заңы.

Енді айналу нүктесінің координаталарының уақытқа тәуелділігін табайық. Суреттен көреміз. 1 бұл

Бірақ (2) формуладан бізде: . Демек,

. (5)

Формулалар (5) - нүктенің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысы үшін механиканың негізгі есебінің шешімі.

центрге тартқыш үдеу.

Енді біз айналу нүктесінің үдеуіне қызығушылық танытамыз. Оны (5) қатынастарын екі рет дифференциалдау арқылы табуға болады:

(5) формулаларды ескере отырып, бізде:

(6)

Алынған формулаларды (6) бір векторлық теңдік түрінде жазуға болады:

(7)

мұндағы айналу нүктесінің радиус векторы.

Біз үдеу векторының радиус векторына қарама-қарсы, яғни шеңбердің центріне қарай бағытталғанын көреміз (1-суретті қараңыз). Сондықтан шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалатын нүктенің үдеуі деп аталады центрге тартқыш.

Сонымен қатар, (7) формуладан центрге тартқыш үдеу модулінің өрнегін аламыз:

(8)

Бұрыштық жылдамдықты (4) өрнектен аламыз.

және (8) орнына қойыңыз. Центрге тартқыш үдеу үшін тағы бір формуланы алайық.

Бұл сабақта біз қисық сызықты қозғалысты, яғни дененің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысын қарастырамыз. Дене шеңбер бойымен қозғалғанда сызықтық жылдамдықтың не екенін, центрге тартқыш үдеу екенін білеміз. Сонымен қатар айналу қозғалысын сипаттайтын шамаларды (айналу периоды, айналу жиілігі, бұрыштық жылдамдық) енгіземіз және бұл шамаларды бір-бірімен байланыстырамыз.

Шеңбер бойынша бірқалыпты қозғалыс деп дененің кез келген бірдей уақыт аралығында бір бұрыш арқылы айналуы түсініледі (6-суретті қараңыз).

Күріш. 6. Бірқалыпты айналмалы қозғалыс

Яғни, лездік жылдамдық модулі өзгермейді:

Бұл жылдамдық деп аталады сызықтық.

Жылдамдық модулі өзгермесе де, жылдамдық бағыты үздіксіз өзгереді. Нүктелердегі жылдамдық векторларын қарастырайық АЖәне Б(7-суретті қараңыз). Олар әртүрлі бағыттарға бағытталған, сондықтан олар тең емес. Егер нүктедегі жылдамдықтан шегерілсе Бнүктелік жылдамдық А, біз векторды аламыз.

Күріш. 7. Жылдамдық векторлары

Жылдамдық өзгерісінің () осы өзгеріс болған уақытқа қатынасы () үдеу.

Сондықтан кез келген қисық сызықты қозғалыс жеделдетіледі.

Егер 7-суретте алынған жылдамдық үшбұрышын қарастырсақ, онда нүктелердің өте жақын орналасуымен АЖәне Бжылдамдық векторларының арасындағы бұрыш (α) нөлге жақын болады:

Бұл үшбұрыш тең ​​қабырғалы, сондықтан жылдамдықтардың модульдері тең (бірқалыпты қозғалыс) екені де белгілі.

Демек, бұл үшбұрыштың табанындағы екі бұрыш та мыналарға шексіз жақын:

Бұл вектор бойымен бағытталған үдеу шын мәнінде жанамаға перпендикуляр дегенді білдіреді. Шеңбердегі жанамаға перпендикуляр түзу радиус екені белгілі, сондықтан үдеу радиус бойымен шеңбердің центріне қарай бағытталған. Бұл үдеу центрге тартқыш деп аталады.

8-суретте бұрын қарастырылған жылдамдықтар үшбұрышы және тең қабырғалы үшбұрыш (екі жағы шеңбердің радиустары) көрсетілген. Бұл үшбұрыштар ұқсас, өйткені олардың өзара перпендикуляр түзулерден құралған бұрыштары тең (радиус, вектор сияқты, жанамаға перпендикуляр).

Күріш. 8. Центрге тепкіш үдеу формуласын шығаруға арналған иллюстрация

Сызық сегменті ABжылжыту() болып табылады. Біз бірқалыпты айналмалы қозғалысты қарастырамыз, сондықтан:

Алынған өрнекті орнына қойыңыз ABүшбұрыштың ұқсастық формуласына:

Қисық траектория бойынша қозғалысты сипаттау үшін «сызықтық жылдамдық», «үдеу», «координат» ұғымдары жеткіліксіз. Сондықтан айналмалы қозғалысты сипаттайтын шамаларды енгізу керек.

1. Айналу кезеңі (Т ) бір толық революция уақыты деп аталады. Ол секундтармен SI бірліктерімен өлшенеді.

Периодтардың мысалдары: Жер өз осін 24 сағатта (), ал Күнді - 1 жылда () айналады.

Периодты есептеу формуласы:

мұндағы жалпы айналу уақыты; - айналымдар саны.

2. Айналу жиілігі (n ) - уақыт бірлігінде дененің жасайтын айналымдар саны. Ол өзара секундтарда SI бірліктерімен өлшенеді.

Жиілікті табу формуласы:

мұндағы жалпы айналу уақыты; - айналымдар саны

Жиілік пен кезең кері пропорционал:

3. бұрыштық жылдамдық () дененің бұрылу бұрышының өзгерісінің осы бұрылыс болған уақытқа қатынасы деп аталады. Ол секундтарға бөлінген радианмен SI бірліктерімен өлшенеді.

Бұрыштық жылдамдықты табу формуласы:

бұрыштың өзгерісі қайда; кезек орын алған уақыт.

Дөңгелек қозғалыс - дененің қисық сызықты қозғалысының ең қарапайым жағдайы. Дене белгілі бір нүктені айналып қозғалғанда орын ауыстыру векторымен бірге радианмен өлшенетін ∆ φ бұрыштық орын ауыстыруын (шеңбердің центріне қатысты айналу бұрышы) енгізу ыңғайлы.

Бұрыштық орын ауыстыруды біле отырып, дененің өткен шеңбер доғасының (жолдың) ұзындығын есептеуге болады.

∆ l = R ∆ φ

Егер айналу бұрышы аз болса, онда ∆ l ≈ ∆ s .

Айтылғандарды суреттеп көрейік:

Бұрыштық жылдамдық

Қисық сызықты қозғалыспен бұрыштық жылдамдық ω түсінігі енгізіледі, яғни айналу бұрышының өзгеру жылдамдығы.

Анықтама. Бұрыштық жылдамдық

Траекторияның берілген нүктесіндегі бұрыштық жылдамдық деп ∆ φ бұрыштық орын ауыстырудың ол орын алған ∆ t уақыт аралығына қатынасының шегін айтады. ∆t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Бұрыштық жылдамдықтың өлшем бірлігі секундына радиан (r a ds).

Шеңбер бойымен қозғалғанда дененің бұрыштық және сызықтық жылдамдықтары арасында байланыс бар. Бұрыштық жылдамдықты табу формуласы:

Шеңбер бойынша бірқалыпты қозғалыс кезінде v және ω жылдамдықтары өзгеріссіз қалады. Тек сызықтық жылдамдық векторының бағыты ғана өзгереді.

Бұл жағдайда денедегі шеңбер бойымен біркелкі қозғалысқа шеңбердің радиусы бойынша оның центріне бағытталған центрге тартқыш немесе қалыпты үдеу әсер етеді.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Центрге тартқыш үдеу модулін мына формула бойынша есептеуге болады:

a n = v 2 R = ω 2 R

Осы қатынастарды дәлелдеп көрейік.

v → векторының аз уақыт аралығында ∆ t қалай өзгеретінін қарастырайық. ∆ v → = v B → - v A → .

А және В нүктелерінде жылдамдық векторы шеңберге тангенциалды түрде бағытталған, ал екі нүктедегі жылдамдық модульдері бірдей.

Жеделдеудің анықтамасы бойынша:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Суретке назар аударайық:

OAB және BCD үшбұрыштары ұқсас. Бұдан шығатыны O A A B = B C C D.

Егер ∆ φ бұрышының мәні аз болса, қашықтық A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Жоғарыда қарастырылған ұқсас үшбұрыштар үшін O A \u003d R және C D \u003d ∆ v екенін ескере отырып, біз мынаны аламыз:

R v ∆ t = v ∆ v немесе ∆ v ∆ t = v 2 R

∆ φ → 0 болғанда ∆ v → = v B → - v A → векторының бағыты шеңбердің центріне қарай бағытқа жақындайды. ∆ t → 0 деп есептесек, мынаны аламыз:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; a n → = v 2 R .

Шеңбер бойымен біркелкі қозғалыс кезінде үдеу модулі тұрақты болып қалады, ал вектордың бағыты шеңбердің центріне бағдарлануын сақтай отырып, уақыт бойынша өзгереді. Сондықтан бұл үдеу центрге тартқыш деп аталады: вектор кез келген уақытта шеңбердің центріне қарай бағытталған.

Векторлық түрдегі центрге тартқыш үдеу жазбасы келесідей:

a n → = - ω 2 R → .

Мұндағы R → – центрінде басы бар шеңбердегі нүктенің радиус-векторы.

Жалпы жағдайда шеңбер бойымен қозғалу кезіндегі үдеу екі компоненттен тұрады - қалыпты және тангенциалды.

Дене шеңбер бойымен біркелкі емес қозғалатын жағдайды қарастырайық. Тангенциалды (тангенциалды) үдеу түсінігін енгізейік. Оның бағыты дененің сызықтық жылдамдығының бағытымен сәйкес келеді және шеңбердің әрбір нүктесінде оған тангенциалды бағытталған.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆t → 0

Мұнда ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 – ∆ t интервалындағы жылдамдық модулінің өзгерісі

Толық үдеу бағыты қалыпты және тангенциалды үдеулердің векторлық қосындысымен анықталады.

Жазықтықтағы айналмалы қозғалысты екі координатаның көмегімен сипаттауға болады: x және y. Уақыттың әрбір сәтінде дененің жылдамдығын v x және v y құраушыларына ыдыратуға болады.

Қозғалыс біркелкі болса, v x және v y мәндері, сондай-ақ сәйкес координаттар T = 2 π R v = 2 π ω периоды бар гармоникалық заңға сәйкес уақыт өте өзгереді.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз