Бұрыштың синусы бойынша үшбұрыштың ауданын табу формуласы. Үшбұрыш ауданы теоремасы, синус және косинус теоремасы

Негізі мен биіктігін білу арқылы табуға болады. Схеманың барлық қарапайымдылығы мынада: биіктік а негізін екі бөлікке 1 және 2 бөлікке бөледі, ал үшбұрыштың өзін екі тікбұрышты үшбұрышқа бөледі, оның ауданы алынған және. Содан кейін бүкіл үшбұрыштың ауданы көрсетілген екі ауданның қосындысы болады, ал егер біз жақшадан биіктіктің жартысын алсақ, онда жалпы негізді қайтарамыз:

Есептеулер үшін қиынырақ әдіс - Герон формуласы, ол үшін сіз барлық үш жағын білуіңіз керек. Бұл формула үшін алдымен үшбұрыштың жарты периметрін есептеу керек: Герон формуласының өзі жартылай периметрдің квадрат түбірін білдіреді, оның әр жағындағы айырмасына кезекпен көбейтіледі.

Кез келген үшбұрышқа да қатысты келесі әдіс екі жағы арқылы үшбұрыштың ауданын және олардың арасындағы бұрышты табуға мүмкіндік береді. Оның дәлелі биіктік формуласынан шығады - біз белгілі жақтардың кез келгеніне биіктікті саламыз және α бұрышының синусы арқылы h=a⋅sinα . Ауданды есептеу үшін биіктіктің жартысын екінші жағына көбейтіңіз.

Тағы бір әдіс - 2 бұрыш берілген үшбұрыштың ауданын және олардың арасындағы қабырғаны табу. Бұл формуланың дәлелі өте қарапайым және оны диаграммадан анық көруге болады.

Үшінші бұрыштың төбесінен белгілі жағына биіктікті түсіріп, нәтижесінде алынған кесінділерді сәйкесінше х деп атаймыз. Тікбұрышты үшбұрыштардан бірінші х кесіндісі көбейтіндіге тең екенін көруге болады

Қарапайым тілмен айтқанда, бұл арнайы рецепт бойынша суда пісірілген көкөністер. Мен екі бастапқы компонентті (көкөніс салаты мен су) және дайын нәтижені - борщты қарастырамын. Геометриялық түрде бұл бір жағы салатты, екінші жағы суды білдіретін тіктөртбұрыш ретінде ұсынылуы мүмкін. Осы екі жақтың қосындысы борщты білдіреді. Мұндай «борщ» тіктөртбұрышының диагоналы мен ауданы таза математикалық ұғымдар және борщ рецептерінде ешқашан қолданылмайды.

Математика оқулықтарынан сызықтық бұрыштық функциялар туралы ештеңе таба алмайсыз. Бірақ оларсыз математика болуы мүмкін емес. Математика заңдары, табиғат заңдары сияқты, біз олардың бар екенін білсек те, жұмыс істейді.

Сызықтық бұрыштық функциялар қосу заңдары болып табылады.Алгебраның геометрияға, ал геометрияның тригонометрияға қалай айналатынын қараңыз.

Сызықтық бұрыштық функцияларсыз жасауға бола ма? Сіз жасай аласыз, өйткені математиктер әлі де оларсыз басқарады. Математиктердің қулығы мынада: олар бізге әрқашан өздері шеше алатын есептерді ғана айтады, ал өздері шеше алмайтын есептерді ешқашан айтпайды. Қараңыз. Қосудың және бір мүшенің нәтижесін білсек, екінші мүшені табу үшін азайтуды қолданамыз. Барлығы. Басқа проблемаларды білмейміз, шешуге де қауқарымыз жоқ. Қосудың нәтижесін ғана білсек, екі шартты да білмесек не істеу керек? Бұл жағдайда қосу нәтижесі сызықтық бұрыштық функцияларды қолданып екі мүшеге бөлінуі керек. Әрі қарай, біз бір мүшенің қандай болуы мүмкін екенін өзіміз таңдаймыз, ал сызықтық бұрыштық функциялар қосу нәтижесі дәл бізге қажет болуы үшін екінші мүшенің қандай болуы керек екенін көрсетеді. Мұндай жұп терминдердің шексіз саны болуы мүмкін. Күнделікті өмірде біз қосындыны бөлшектемей-ақ өте жақсы жұмыс істейміз, біз үшін азайту жеткілікті. Бірақ табиғат заңдылықтарын ғылыми зерттеулерде қосындыны терминдерге кеңейту өте пайдалы болуы мүмкін.

Математиктер айтуды ұнатпайтын тағы бір қосу заңы (олардың тағы бір айласы) терминдердің бірдей өлшем бірлігіне ие болуын талап етеді. Салат, су және борщ үшін бұл салмақ, көлем, құн немесе өлшем бірліктері болуы мүмкін.

Суретте математика үшін айырмашылықтың екі деңгейі көрсетілген. Бірінші деңгей – көрсетілген сандар өрісіндегі айырмашылықтар а, б, в. Мұны математиктер жасайды. Екінші деңгей - шаршы жақшада көрсетілген және әріппен белгіленген өлшем бірліктерінің ауданындағы айырмашылықтар У. Физиктер осылай істейді. Үшінші деңгейді – сипатталған объектілердің ауқымындағы айырмашылықтарды түсінуге болады. Әртүрлі объектілерде бірдей өлшем бірліктерінің бірдей саны болуы мүмкін. Мұның қаншалықты маңызды екенін біз борщ тригонометриясының мысалында көре аламыз. Егер әртүрлі объектілердің өлшем бірліктері үшін бірдей белгілерге жазылу белгілерін қоссақ, нақты объектіні қандай математикалық шама сипаттайтынын және оның уақыт өте келе немесе әрекетімізге байланысты қалай өзгеретінін нақты айта аламыз. хат ВМен суды әріппен белгілеймін СМен салатты әріппен белгілеймін Б- борщ. Міне, борщ үшін сызықтық бұрыш функциялары қандай болады.

Судың бір бөлігін және салаттың бір бөлігін алсақ, олар бірге борщтың бір порциясына айналады. Мұнда мен сізге борщтан аздап үзіліс жасап, алыстағы балалық шағыңызды еске түсіруді ұсынамын. Бізге қояндар мен үйректерді біріктіруді қалай үйреткені есіңізде ме? Қанша мал шығатынын анықтау керек болды. Сонда бізге не істеуге үйретілді? Бізді сандардан бірліктерді ажыратып, сандарды қосуды үйретті. Иә, кез келген нөмірді кез келген басқа нөмірге қосуға болады. Бұл қазіргі математиканың аутизміне апаратын тікелей жол - біз нені түсінбейміз, неге екені белгісіз және оның шындыққа қалай қатысы барын өте нашар түсінеміз, өйткені айырмашылықтың үш деңгейі болғандықтан, математиктер тек біреуінде жұмыс істейді. Бір өлшем бірлігінен екіншісіне өтуді үйрену дұрысырақ болады.

Ал қояндарды, үйректерді және кішкентай жануарларды бөлшектеп санауға болады. Әртүрлі объектілер үшін бір ортақ өлшем бірлігі оларды біріктіруге мүмкіндік береді. Бұл мәселенің балаларға арналған нұсқасы. Ересектер үшін ұқсас мәселені қарастырайық. Қояндар мен ақшаны қосқанда не аласыз? Мұнда екі ықтимал шешім бар.

Бірінші нұсқа. Біз қояндардың нарықтық құнын анықтап, оны қолда бар ақшаға қосамыз. Біз байлығымыздың жалпы құнын ақшамен алдық.

Екінші нұсқа. Біздегі банкноттар санына қояндардың санын қосуға болады. Жылжымалы мүлікті бөлшектеп аламыз.

Көріп отырғаныңыздай, бірдей қосу заңы әртүрлі нәтижелерді алуға мүмкіндік береді. Мұның бәрі біздің нақты не білгіміз келетініне байланысты.

Бірақ біздің борщқа оралу. Енді сызықтық бұрыш функцияларының бұрышының әртүрлі мәндері үшін не болатынын көре аламыз.

Бұрыш нөлге тең. Бізде салат бар, бірақ су жоқ. Біз борщ пісіре алмаймыз. Борщтың мөлшері де нөлге тең. Бұл нөлдік борщ нөлдік суға тең дегенді білдірмейді. Нөлдік борщ нөлдік салатта да болуы мүмкін (тік бұрыш).

Жеке мен үшін бұл фактінің негізгі математикалық дәлелі. Нөл қосылған кезде санды өзгертпейді. Себебі бір мүше болса және екінші мүшесі жоқ болса, қосудың өзі мүмкін емес. Сіз мұны қалағаныңызша байланыстыра аласыз, бірақ есіңізде болсын - нөлге тең математикалық операциялардың барлығын математиктердің өздері ойлап тапқан, сондықтан логикаңызды тастап, математиктер ойлап тапқан анықтамаларды ақымақтықпен толтырыңыз: «нөлге бөлу мүмкін емес», «кез келген санды нөлге көбейту нөлге тең», «нөлдік нүктенің артында» және басқа сандырақ сөздер. Нөлдің сан емес екенін бір рет еске түсіру жеткілікті және сізде нөл натурал сан ма, жоқ па деген сұрақ ешқашан болмайды, өйткені мұндай сұрақ жалпы мағынасын жоғалтады: санды сан емес деп санауға қалай болады. . Бұл көрінбейтін түсті қандай түске жатқызу керектігін сұрау сияқты. Санға нөлді қосу жоқ бояумен бояумен бірдей. Олар құрғақ қылқаламды бұлғап, бәріне «біз боядық» деп айтады. Бірақ мен аздап шегінемін.

Бұрыш нөлден үлкен, бірақ қырық бес градустан аз. Бізде салат көп, бірақ су аз. Нәтижесінде біз қалың борщ аламыз.

Бұрыш қырық бес градус. Бізде бірдей мөлшерде су мен салат бар. Бұл тамаша борщ (аспаздар мені кешірсін, бұл тек математика).

Бұрыш қырық бес градустан үлкен, бірақ тоқсан градустан аз. Бізде су көп, салат аз. Сұйық борщ алыңыз.

Тікбұрыш. Бізде су бар. Салат туралы естеліктер ғана қалады, өйткені біз бір кездері салатты белгілеген сызықтан бұрышты өлшеуді жалғастырамыз. Біз борщ пісіре алмаймыз. Борщтың мөлшері нөлге тең. Ондайда қолыңызда бар суды ұстаңыз да ішіңіз)))

Мұнда. Солай. Мен мұнда орынды болатын басқа оқиғаларды айта аламын.

Екі достың ортақ кәсіпте өз үлестері болды. Біреуін өлтіргеннен кейін бәрі екіншісіне кетті.

Біздің планетамызда математиканың пайда болуы.

Бұл оқиғалардың барлығы математика тілінде сызықтық бұрыштық функциялар арқылы айтылады. Басқа уақытта мен сізге бұл функциялардың математика құрылымындағы нақты орнын көрсетемін. Осы арада борщтың тригонометриясына қайта оралып, проекцияларды қарастырайық.

Сенбі, 26 қазан, 2019 жыл

туралы қызықты видео көрдім Грандидің қатары Бір минус бір плюс бір минус бір - Numberphile. Математиктер өтірік айтады. Олар өз пайымдауларында теңдік тестін орындамады.

Бұл менің пікіріммен резонанс жасайды.

Математиктердің бізді алдап жатқанын көрсететін белгілерді толығырақ қарастырайық. Математиктер пайымдаудың ең басында қатардың қосындысы ондағы элементтер санының жұп немесе жұп болуына байланысты екенін айтады. БҰЛ ОБЪЕКТИВТІ НАҚТЫ ДЕГЕН ФАКТ. Әрі қарай не болады?

Әрі қарай, математиктер бірліктен тізбекті алып тастайды. Бұл не әкеледі? Бұл тізбектегі элементтер санының өзгеруіне әкеледі – жұп сан тақ санға, тақ сан жұп санға өзгереді. Өйткені, біз тізбекке бір элементке тең бір элемент қостық. Барлық сыртқы ұқсастыққа қарамастан, түрлендіруге дейінгі реттілік түрлендіруден кейінгі реттілікке тең емес. Шексіз тізбек туралы айтатын болсақ та, элементтердің тақ саны бар шексіз реттілік элементтердің саны жұп болатын шексіз тізбекке тең емес екенін есте ұстауымыз керек.

Элементтердің саны әр түрлі екі тізбектің арасына тең таңбаны қоя отырып, математиктер тізбектің қосындысы қатардағы элементтердің санына ТӘУЕЛСІЗ ЕМЕС, бұл ОБЪЕКТИВТІ АНЫҚТАҒАН ФАКТКЕ қайшы келеді. Шексіз тізбектің қосындысы туралы одан әрі пайымдау жалған, өйткені ол жалған теңдікке негізделген.

Математиктер дәлелдеу барысында жақшаларды қойып, математикалық өрнектің элементтерін қайта реттеп, бірдеңе қосып немесе алып тастайтынын көрсеңіз, өте сақ болыңыз, мүмкін олар сізді алдағысы келеді. Карточкалық сиқыршылар сияқты, математиктер сізге жалған нәтиже беру үшін өрнектің әртүрлі манипуляцияларымен назарыңызды аударады. Егер сіз алдаудың құпиясын білмей, картаның трюкін қайталай алмасаңыз, онда математикада бәрі әлдеқайда қарапайым: сіз алдау туралы ештеңеден де күдіктенбейсіз, бірақ математикалық өрнекпен барлық айла-шарғыларды қайталау сізге басқаларды сендіруге мүмкіндік береді. Нәтиженің дұрыстығы, дәл сізді сендіргендей.

Аудиториядан сұрақ: Ал шексіздік (S тізбегіндегі элементтердің саны ретінде), ол жұп па, тақ па? Паритеті жоқ нәрсенің теңдігін қалай өзгертуге болады?

Математиктер үшін шексіздік, діни қызметкерлер үшін Аспан Патшалығы сияқты - ол жерде ешкім болған емес, бірақ бәрі ол жерде қалай жұмыс істейтінін нақты біледі))) Мен келісемін, өлгеннен кейін сіз жұп немесе тақ күндер өмір сүргеніңізге мүлдем бей-жай қарайсыз. , бірақ ... Өміріңіздің басында бір күн ғана қоссаңыз, біз мүлдем басқа адамды аламыз: оның тегі, аты және әкесінің аты дәл бірдей, тек туған күні мүлдем басқа - ол бір туылған сенен күн бұрын.

Ал енді сөзге келсек))) Паритеті бар шекті тізбек шексіздікке өткенде осы паритетінен айырылады делік. Сонда шексіз тізбектің кез келген ақырлы сегменті де паритеттен айырылуы керек. Біз мұны байқамаймыз. Шексіз тізбектегі элементтер санының жұп немесе тақ екенін нақты айта алмауымыз паритеттің жойылғанын білдірмейді. Паритет, егер ол бар болса, картаның өткір жеңіндей ізсіз шексіздікке жоғалып кете алмайды. Бұл жағдайға өте жақсы ұқсастық бар.

Сіз сағатта отырған көкектен сағат тілі қай бағытта айналатынын сұрадыңыз ба? Ол үшін көрсеткі біз «сағат тілімен» деп атайтын нәрсеге қарама-қарсы бағытта айналады. Бұл парадоксальды болып көрінуі мүмкін, бірақ айналу бағыты тек қай жақтан айналуды бақылайтынымызға байланысты. Сонымен, бізде айналатын бір дөңгелек бар. Біз айналудың қай бағытта болатынын айта алмаймыз, өйткені біз оны айналу жазықтығының бір жағынан да, екінші жағынан да бақылай аламыз. Айналу бар екенін ғана айғақтай аламыз. Шексіз тізбектің паритетімен толық ұқсастық С.

Енді екінші айналмалы дөңгелекті қосайық, оның айналу жазықтығы бірінші айналмалы дөңгелектің айналу жазықтығына параллель. Біз бұл дөңгелектердің қай бағытта айналып жатқанын әлі айта алмаймыз, бірақ екі доңғалақтың бір бағытта немесе қарама-қарсы бағытта айналатынын толық сенімді түрде айта аламыз. Екі шексіз тізбекті салыстыру Сжәне 1-С, Мен математиканың көмегімен бұл тізбектердің әртүрлі паритеті бар екенін және олардың арасына тең таңба қою қате екенін көрсеттім. Өз басым математикаға сенемін, математиктерге сенбеймін))) Айтпақшы, шексіз тізбектердің түрлендіру геометриясын толық түсіну үшін ұғымды енгізу керек. «бір мезгілде». Бұл сызу керек болады.

Сәрсенбі, 7 тамыз, 2019 жыл

туралы әңгімені аяқтай отырып, біз шексіз жиынды қарастыруымыз керек. «Шексіздік» ұғымы қоянға қонған боа сияқты математиктерге әсер етеді. Шексіздіктің дірілдеген сұмдығы математиктерді парасаттылықтан айырады. Міне, мысал:

Бастапқы дереккөз орналасқан. Альфа нақты санды білдіреді. Жоғарыдағы өрнектердегі теңдік белгісі шексіздікке санды немесе шексіздікті қосса, ештеңе өзгермейтінін, нәтиже бірдей шексіздік болатынын көрсетеді. Мысал ретінде натурал сандардың шексіз жиынын алсақ, онда қарастырылатын мысалдарды келесідей көрсетуге болады:

Олардың жағдайын көрнекі түрде дәлелдеу үшін математиктер көптеген әртүрлі әдістерді ойлап тапты. Өз басым бұл әдістердің бәрін бақсылардың домбырамен билейтін билері деп қараймын. Негізінде, олардың барлығы не кейбір бөлмелер бос емес және оларға жаңа қонақтар қоныстанған, немесе қонақтарға орын беру үшін келушілердің кейбірін дәлізге лақтыратын (өте адамдық). Мен мұндай шешімдерге өз көзқарасымды аққұба туралы фантастикалық әңгіме түрінде ұсындым. Менің пікірім неге негізделген? Келушілердің шексіз санын жылжыту шексіз уақытты алады. Біз бірінші қонақ бөлмесін босатқаннан кейін келушілердің бірі әрқашан өз бөлмесінен келесіге дейін уақыттың соңына дейін дәліз бойымен жүреді. Әрине, уақыт факторын ақымақтықпен елемеуге болады, бірақ бұл «заң ақымақтарға жазылмаған» санатынан болады. Мұның бәрі біздің не істеп жатқанымызға байланысты: шындықты математикалық теорияларға бейімдеу немесе керісінше.

«Шексіз қонақ үй» дегеніміз не? Infinity Inn - бұл қанша бөлмеде болса да, әрқашан бос орындар саны бар қонақ үй. «Келушілер үшін» шексіз дәліздегі барлық бөлмелер толтырылған болса, «қонақтарға» арналған бөлмелері бар тағы бір шексіз дәліз бар. Мұндай дәліздердің шексіз саны болады. Сонымен бірге, «шексіз қонақүйде» құдайлардың шексіз санымен жасалған шексіз сансыз ғаламдардағы шексіз сандағы планеталардағы шексіз сандағы ғимараттарда шексіз көп қабаттар бар. Математиктер, керісінше, қарапайым күнделікті мәселелерден алшақтай алмайды: Құдай-Алла-Будда әрқашан жалғыз, қонақ үй біреу, дәліз біреу ғана. Сондықтан математиктер қонақ үй нөмірлерінің сериялық нөмірлерін жонглерлік етуге тырысып, бізді «итерілмегенді итеруге» болады деп сендіреді.

Мен натурал сандардың шексіз жиынының мысалын қолдана отырып, өз ойымның логикасын сізге көрсетемін. Алдымен сіз өте қарапайым сұраққа жауап беруіңіз керек: натурал сандардың қанша жиыны бар - бір немесе көп пе? Бұл сұраққа дұрыс жауап жоқ, өйткені сандарды өзіміз ойлап тапқандықтан, табиғатта сандар жоқ. Иә, табиғат санауды жақсы біледі, бірақ ол үшін ол бізге таныс емес басқа математикалық құралдарды пайдаланады. Табиғат ойлағандай, мен сізге басқа кезде айтамын. Сандарды ойлап тапқандықтан, натурал сандардың қанша жиыны бар екенін өзіміз шешеміз. Нағыз ғалымға лайық екі нұсқаны да қарастырыңыз.

Бірінші нұсқа. «Бізге берілсін» натурал сандардың бір жиыны, олар сөреде тыныш жатыр. Біз бұл жинақты сөреден аламыз. Міне, сөреде басқа натурал сандар қалмады және оларды алатын жер де жоқ. Бұл жинаққа біреуін қоса алмаймыз, өйткені ол бізде бұрыннан бар. Егер сіз шынымен қаласаңыз ше? Проблема жоқ. Алып қойған жиынтықтан бірлік алып, сөреге қайтара аламыз. Осыдан кейін біз сөреден бірлік алып, оны қалдырғанымызға қоса аламыз. Нәтижесінде біз қайтадан натурал сандардың шексіз жиынын аламыз. Сіз біздің барлық манипуляцияларымызды келесідей жаза аласыз:

Жиын элементтерін егжей-тегжейлі тізіп, алгебралық белгілер мен жиындар теориясының белгілеуіндегі амалдарды жаздым. Жазба натурал сандардың бір ғана жиыны бар екенін көрсетеді. Натурал сандар жиыны одан біреуді алып тастап, сол бірді қосқанда ғана өзгеріссіз қалатыны белгілі болды.

Екінші нұсқа. Бізде сөреде көптеген әртүрлі шексіз натурал сандар жиындары бар. Мен баса айтамын - ТҮРЛІ, олардың іс жүзінде бір-бірінен айырмашылығы жоқ екеніне қарамастан. Біз осы жиынтықтардың бірін аламыз. Содан кейін біз басқа натурал сандар жиынынан біреуін алып, оны бұрыннан алған жиынға қосамыз. Біз тіпті екі натурал сандар жиынын қоса аламыз. Міне, біз мынаны аламыз:

«Бір» және «екі» жазылулары бұл элементтердің әртүрлі жиындарға жататынын көрсетеді. Иә, егер сіз шексіз жиынға біреуін қоссаңыз, нәтиже де шексіз жиын болады, бірақ ол бастапқы жиынмен бірдей болмайды. Бір шексіз жиынға тағы бір шексіз жиын қосылса, нәтиже алғашқы екі жиынның элементтерінен тұратын жаңа шексіз жиын болады.

Натурал сандар жиыны өлшеу үшін сызғыш сияқты санау үшін қолданылады. Енді сызғышқа бір сантиметр қосқаныңызды елестетіңіз. Бұл түпнұсқаға тең емес, басқа сызық болады.

Сіз менің пікірімді қабылдай аласыз немесе қабылдамайсыз - бұл сіздің жеке ісіңіз. Бірақ егер сіз математикалық мәселелерге тап болсаңыз, математиктердің ұрпақтары басқан жалған пайымдаулар жолында екеніңізді қарастырыңыз. Өйткені, математика сабақтары, ең алдымен, бізде ойлаудың тұрақты стереотипін қалыптастырады, содан кейін ғана олар бізге ақыл-ой қабілеттерін қосады (немесе керісінше, олар бізді еркін ойлаудан айырады).

pozg.ru

Жексенбі, 4 тамыз, 2019 жыл

Мен мақалаға постскрипт жазып жатырмын және Википедияда мына керемет мәтінді көрдім:

Біз мынаны оқимыз: «... Вавилон математикасының бай теориялық негізі біртұтас сипатқа ие болмады және ортақ жүйе мен дәлелдемелік базадан айырылған әр түрлі әдістердің жиынтығына дейін қысқарды».

Апыр-ай! Біз қаншалықты ақылдымыз және басқалардың кемшіліктерін қаншалықты жақсы көре аламыз. Қазіргі математиканы сол контексте қарау біз үшін әлсіз бе? Жоғарыдағы мәтінді аздап қайталай отырып, мен мынаны алдым:

Қазіргі математиканың бай теориялық негізі біртұтас сипатқа ие емес және ортақ жүйе мен дәлелдемелік базадан айырылған, бөлек бөлімдер жиынтығына дейін қысқарады.

Сөзімді растау үшін алысқа бармаймын – оның математиканың көптеген басқа салаларының тілі мен шарттылығынан өзгеше тілі мен шарттылығы бар. Математиканың әртүрлі салаларындағы бірдей атаулар әртүрлі мағынаға ие болуы мүмкін. Мен басылымдардың бүкіл циклін қазіргі математиканың ең айқын қателеріне арнағым келеді. Кездескенше.

Сенбі, 3 тамыз, 2019 жыл

Жиынды ішкі жиындарға қалай бөлуге болады? Ол үшін таңдалған жиынның кейбір элементтерінде болатын жаңа өлшем бірлігін енгізу керек. Мысал қарастырайық.

Бізде көп болсын ЖӘНЕтөрт адамнан тұрады. Бұл жиын «адамдар» негізінде құрылады. Осы жиынның элементтерін әріп арқылы белгілейік. а, саны бар таңба осы жиынтықтағы әрбір адамның реттік нөмірін көрсетеді. Жаңа өлшем бірлігін «жыныстық белгі» енгізіп, оны әріппен белгілейік б. Жыныстық сипаттамалар барлық адамдарға тән болғандықтан, біз жиынтықтың әрбір элементін көбейтеміз ЖӘНЕжыныс бойынша б. Байқасаңыз, біздің «адамдар» жинағы енді «гендерлік адамдар» жиынтығына айналды. Осыдан кейін жыныстық белгілерді еркектерге бөлуге болады bmжәне әйелдер bwжыныс ерекшеліктері. Енді біз математикалық сүзгіні қолдана аламыз: біз осы жыныстық сипаттамалардың біреуін таңдаймыз, қайсысының еркек немесе әйел екендігі маңызды емес. Егер ол адамда болса, онда оны бірге көбейтеміз, ондай белгі болмаса, нөлге көбейтеміз. Содан кейін біз әдеттегі мектеп математикасын қолданамыз. Не болғанын қараңыз.

Көбейту, азайту және қайта реттеуден кейін біз екі ішкі жиын алдық: аталық жиын bmжәне әйелдердің бір бөлігі bw. Математиктер жиындар теориясын практикада қолданғанда дәл осылай ойлайды. Бірақ олар бізге егжей-тегжейлі ақпарат беруге мүмкіндік бермейді, бірақ бізге дайын нәтиже береді - «көп адамдар ерлер мен әйелдердің шағын жиынтығынан тұрады». Әрине, сізде жоғарыда келтірілген түрлендірулерде математика қаншалықты дұрыс қолданылған деген сұрақ туындауы мүмкін. Шын мәнінде түрлендірулер дұрыс орындалғанына сендіруге батылы бармын, арифметиканың, буль алгебрасының және математиканың басқа бөлімдерінің математикалық негіздемесін білу жеткілікті. Бұл не? Басқа уақытта мен сізге бұл туралы айтамын.

Жоғары жиындарға келетін болсақ, осы екі жиынның элементтерінде болатын өлшем бірлігін таңдау арқылы екі жиынды бір супержиынға біріктіруге болады.

Көріп отырғаныңыздай, өлшем бірліктері мен жалпы математика жиындар теориясын өткен нәрсеге айналдырады. Жиын теориясымен бәрі жақсы емес екендігінің белгісі математиктердің жиындар теориясының өз тілі мен нотасын ойлап табуы. Математиктер бір кездегі бақсылардың істегенін істеді. «Білімін» «дұрыс» қолдануды тек бақсылар ғана біледі. Бұл «білімді» олар бізге үйретеді.

Қорытындылай келе, мен сізге математиктердің қалай манипуляция жасайтынын көрсеткім келеді
Ахиллес тасбақадан он есе жылдам жүгіріп, одан мың қадам артта қалды делік. Ахиллес осы қашықтықты жүгіріп өткен уақыт ішінде тасбақа бір бағытта жүз қадам жорғалайды. Ахиллес жүз қадам жүгіргенде, тасбақа тағы он қадам жорғалайды, т.б. Процесс шексіз жалғасады, Ахиллес тасбақаны ешқашан қумайды.

Бұл пайымдау барлық кейінгі ұрпақтар үшін логикалық соққы болды. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гилберт... Бұлардың бәрі бір жағынан Зенонның апорияларын қарастырды. Соққы соншалықты күшті болды » ... қазіргі уақытта талқылаулар жалғасуда, ғылыми қоғамдастық әлі күнге дейін парадокстардың мәні туралы ортақ пікірге келе алмады ... мәселені зерттеуге математикалық талдау, жиындар теориясы, жаңа физикалық және философиялық тәсілдер тартылды. ; олардың ешқайсысы мәселенің жалпы қабылданған шешімі бола алмады ..."[Википедия," Зенонның Апориялары "]. Әркім олардың алданып жатқанын түсінеді, бірақ алдаудың не екенін ешкім түсінбейді.

Математика тұрғысынан Зенон өзінің апориясында мәннен мәнге өтуді анық көрсетті. Бұл ауысу тұрақты мәндердің орнына қолдануды білдіреді. Менің түсінуімше, айнымалы өлшем бірліктерін қолданудың математикалық аппараты не әлі жасалмаған, не Зенонның апориясына қолданылмаған. Біздің әдеттегі логикамызды қолдану бізді тұзаққа түсіреді. Біз ойлау инерциясы бойынша өзара уақыттың тұрақты бірліктерін қолданамыз. Физикалық тұрғыдан алғанда, Ахиллес тасбақаны қуып жеткен сәтте уақыт толығымен тоқтап қалған сияқты. Уақыт тоқтап қалса, Ахиллес енді тасбақаны басып озуы мүмкін емес.

Біз үйренген логиканы бұрсақ, бәрі өз орнына келеді. Ахиллес тұрақты жылдамдықпен жүгіреді. Оның жолының әрбір келесі сегменті алдыңғысынан он есе қысқа. Тиісінше, оны еңсеруге кететін уақыт бұрынғыға қарағанда он есе аз. Бұл жағдайда «шексіздік» ұғымын қолданатын болсақ, онда «Ахиллес тасбақаны шексіз тез басып озады» деу дұрыс болар еді.

Бұл логикалық тұзақтан қалай құтылуға болады? Уақыттың тұрақты бірліктерін сақтаңыз және өзара мәндерге ауыспаңыз. Зенон тілінде ол былай көрінеді:

Ахиллеске мың қадам жүгіру керек болса, тасбақа бір бағытта жүз қадам жорғалайды. Келесі уақыт аралығында, біріншіге тең, Ахиллес тағы мың қадам жүгіреді, ал тасбақа жүз қадам жорғалайды. Енді Ахиллес тасбақадан сегіз жүз қадам алда.

Бұл тәсіл ешқандай логикалық парадокссыз шындықты адекватты түрде сипаттайды. Бірақ бұл мәселенің толық шешімі емес. Эйнштейннің жарық жылдамдығының еңсерілмейтіндігі туралы мәлімдемесі Зенонның «Ахиллес және тасбақа» апориясына өте ұқсас. Бізде бұл мәселені әлі зерттеп, қайта ойластырып, шешу керек. Ал шешімді шексіз көп сандардан емес, өлшем бірліктерінен іздеу керек.

Зенонның тағы бір қызықты апориясы ұшатын жебе туралы айтады:

Ұшатын жебе қозғалыссыз, өйткені ол уақыттың әр сәтінде тыныштықта болады, ал әр уақытта тыныштықта болғандықтан, ол әрқашан тыныштықта болады.

Бұл апорияда логикалық парадокс өте оңай еңсеріледі - уақыттың әр сәтінде ұшатын жебе кеңістіктің әртүрлі нүктелеріне тірелетінін нақтылау жеткілікті, бұл шын мәнінде қозғалыс. Бұл жерде тағы бір айта кететін жайт бар. Жолдағы көліктің бір фотосуретінен оның қозғалу фактісін де, оған дейінгі қашықтықты да анықтау мүмкін емес. Автокөліктің қозғалу фактісін анықтау үшін бір нүктеден әртүрлі уақыт нүктелерінде түсірілген екі фотосурет қажет, бірақ оларды қашықтықты анықтау үшін пайдалану мүмкін емес. Автокөлікке дейінгі қашықтықты анықтау үшін сізге бір уақытта ғарыштың әртүрлі нүктелерінен түсірілген екі фотосурет қажет, бірақ сіз олардан қозғалыс фактісін анықтай алмайсыз (әрине, сізге әлі де есептеулер үшін қосымша деректер қажет, тригонометрия сізге көмектеседі). Менің атап өткім келетіні, екі уақыт нүктесі мен кеңістіктегі екі нүкте екі түрлі нәрсе, оларды шатастыруға болмайды, өйткені олар барлауға әртүрлі мүмкіндіктер береді.
Мен процесті мысалмен көрсетемін. Біз «безеудегі қызыл қатты» таңдаймыз - бұл біздің «тұтас». Сонымен қатар, біз бұл заттардың бантикті де, садақсыз да бар екенін көреміз. Осыдан кейін біз «бүтіннің» бөлігін таңдап, «садақпен» жиынтықты қалыптастырамыз. Бақсылар өздерінің жиынтық теориясын шындыққа байлап, осылайша қоректенеді.

Енді кішкене трюк жасайық. Келіңіздер, «садақпен безеудегі қатты» алайық және қызыл элементтерді таңдай отырып, осы «тұтас» түстерді біріктірейік. Бізде «қызыл» көп болды. Енді күрделі сұрақ: алынған «садақпен» және «қызыл» жиынтықтар бір жиынтық па, әлде екі түрлі жиынтық па? Жауабын тек бақсылар ғана біледі. Дәлірек айтқанда, олардың өздері ештеңе білмейді, бірақ олар айтқандай, солай болады.

Бұл қарапайым мысал жиынтық теориясы шындыққа келгенде мүлдем пайдасыз екенін көрсетеді. Мұның сыры неде? Біз «садақпен қызыл қатты безеу» жиынтығын жасадық. Қалыптастыру төрт түрлі өлшем бірлігі бойынша өтті: түс (қызыл), беріктік (тұтас), кедір-бұдырлық (төбешікте), әшекейлер (садақпен). Математика тілінде нақты объектілерді адекватты сипаттауға тек өлшем бірліктерінің жиынтығы ғана мүмкіндік береді.. Міне, ол қалай көрінеді.

Әр түрлі индекстері бар «а» әрпі әртүрлі өлшем бірліктерін білдіреді. Жақшада өлшем бірліктері бөлектеледі, оған сәйкес «бүтін» алдын ала кезеңде бөлінеді. Жиынтық құрастырылған өлшем бірлігі жақшадан алынады. Соңғы жол соңғы нәтижені – жиынның элементін көрсетеді. Көріп отырғаныңыздай, жиынды құру үшін бірліктерді қолданатын болсақ, онда нәтиже біздің әрекеттеріміздің ретіне байланысты емес. Бұл бақсылардың домбырамен билейтін билері емес, математика. Бақсылар бірдей нәтижеге «айқындықпен» дауласып, «интуитивті» келе алады, өйткені өлшем бірліктері олардың «ғылыми» арсеналына кірмейді.

Өлшем бірліктерінің көмегімен бір топтаманы бұзу немесе бірнеше жиынтықты бір супержинаққа біріктіру өте оңай. Осы процестің алгебрасын толығырақ қарастырайық.

Егер мәселеге үшбұрыштың екі қабырғасының ұзындығы және олардың арасындағы бұрыш берілсе, онда үшбұрыштың синус арқылы ауданына арналған формуланы қолдануға болады.

Үшбұрыштың ауданын синус арқылы есептеудің мысалы. Берілген қабырғалары a = 3, b = 4, бұрышы γ= 30°. 30° бұрыштың синусы 0,5-ке тең

Үшбұрыштың ауданы 3 шаршы болады. см.

Аудан бөлшекке көбейтілген жақтың квадратының жартысына тең болады. Оның алымында көршілес бұрыштардың синусының көбейтіндісі, ал бөлгіште қарама-қарсы бұрыштың синусы болады. Енді ауданды келесі формулалар арқылы есептейміз:

Мысалы, қабырғасы a=3 және бұрыштары γ=60°, β=60° болатын үшбұрыш берілген. Үшінші бұрышты есептеңіз:
Мәліметтерді формулаға ауыстыру
Біз үшбұрыштың ауданы 3,87 шаршы метр екенін аламыз. см.

II. Косинус бойынша үшбұрыштың ауданы

Үшбұрыштың ауданын табу үшін барлық қабырғаларының ұзындығын білу керек. Косинус теоремасы бойынша белгісіз жақтарды табуға болады, содан кейін ғана пайдаланыңыз.
Косинустар заңы бойынша үшбұрыштың белгісіз қабырғасының квадраты қалған қабырғаларының квадраттарының қосындысынан осы қабырғалардың олардың арасындағы бұрыштың косинусына екі есе көбейтіндісін шегергенге тең.

Теоремадан белгісіз жақтың ұзындығын табу формулаларын аламыз:

Жетіспейтін жағын қалай табуға болатынын біле отырып, екі жағы және олардың арасындағы бұрышы бар, сіз ауданды оңай есептей аласыз. Косинус бойынша үшбұрыштың ауданына арналған формула әртүрлі есептердің шешімін тез және оңай табуға көмектеседі.

Косинус арқылы үшбұрыштың ауданын формуланы есептеудің мысалы
Қабырғалары белгілі a = 3, b = 4, бұрышы γ= 45° болатын үшбұрыш берілген. Алдымен жетіспейтін бөлікті табайық. бірге. Косинус бойынша 45°=0,7. Ол үшін деректерді косинус теоремасынан алынған теңдеуге ауыстырамыз.
Енді формуланы қолданып, табамыз

Үшбұрыш ауданы теоремасы

Теорема 1

Үшбұрыштың ауданы екі қабырғасының сол қабырғалар арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісінің жартысына тең.

Дәлелдеу.

Бізге $ABC$ ерікті үшбұрыш берілсін. Осы үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын $BC=a$, $AC=b$ деп белгілейік. $C=(0,0)$ нүктесі, $B$ нүктесі $Ox$ оң жарты осінде, ал $A$ нүктесі бірінші координаталық квадрантта жататындай декарттық координаталар жүйесін енгізейік. $A$ нүктесінен $h$ биіктігін сызыңыз (1-сурет).

Сурет 1. 1-теореманың иллюстрациясы

$h$ биіктігі $A$ нүктесінің ординатасына тең, сондықтан

Синустар теоремасы

2-теорема

Үшбұрыштың қабырғалары қарама-қарсы бұрыштардың синусына пропорционал.

Дәлелдеу.

Бізге $ABC$ ерікті үшбұрыш берілсін. Осы үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ деп белгілейік (2-сурет).

2-сурет.

Соны дәлелдеп көрейік

1-теорема бойынша бізде бар

Оларды жұппен теңестірсек, біз мұны аламыз

Косинус теоремасы

Теорема 3

Үшбұрыштың қабырғасының квадраты үшбұрыштың қалған екі қабырғасының квадраттарының қосындысына, сол қабырғалардың көбейтіндісін сол қабырғалар арасындағы бұрыштың косинусына көбейткенге тең.

Дәлелдеу.

Бізге $ABC$ ерікті үшбұрыш берілсін. Оның қабырғаларының ұзындықтарын $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$ деп белгіле. $A=(0,0)$ нүктесі, $B$ нүктесі $Ox$ оң жарты осінде, ал $C$ нүктесі бірінші координаталық квадрантта жататындай декарттық координаталар жүйесін енгізейік (Cурет 1). 3).

3-сурет

Соны дәлелдеп көрейік

Бұл координаттар жүйесінде біз оны аламыз

Нүктелер арасындағы қашықтық формуласын пайдаланып $BC$ қабырғасының ұзындығын табыңыз

Осы теоремаларды қолданатын есептің мысалы

1-мысал

Ерікті үшбұрыштың сызылған шеңберінің диаметрі үшбұрыштың кез келген қабырғасының осы қабырғаға қарама-қарсы бұрыштың синусына қатынасына тең екенін дәлелдеңдер.

Шешім.

Бізге $ABC$ ерікті үшбұрыш берілсін. $R$ - шектелген шеңбердің радиусы. $BD$ диаметрін салыңыз (4-сурет).

Үшбұрыштың ауданы – формулалар мен есептерді шығару мысалдары

Төменде ерікті үшбұрыштың ауданын табу формулаларықасиеттеріне, бұрыштарына немесе өлшемдеріне қарамастан кез келген үшбұрыштың ауданын табуға жарамды. Формулалар сурет түрінде берілген, мұнда олардың дұрыстығын қолдану немесе негіздеу бойынша түсініктемелер берілген. Сондай-ақ жеке суретте формулалардағы әріп таңбаларының және сызбадағы графикалық белгілердің сәйкестігі көрсетілген.

Ескерту . Егер үшбұрыштың ерекше қасиеттері болса (тең қабырғалы, тікбұрышты, тең қабырғалы), төмендегі формулаларды, сондай-ақ осы қасиеттері бар үшбұрыштар үшін ғана дұрыс болатын қосымша арнайы формулаларды пайдалануға болады:

• «Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданының формулалары»

Үшбұрыш ауданы формулалары

Формулаға түсініктеме:
a, b, c- ауданын тапқымыз келетін үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары
r- үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы
Р- үшбұрыштың айналасындағы сызылған шеңбердің радиусы
h- бүйір жағына түсірілген үшбұрыштың биіктігі
б- үшбұрыштың жарты периметрі, оның қабырғаларының қосындысы 1/2 (периметрі)
α - үшбұрыштың а қабырғасына қарама-қарсы бұрыш
β - үшбұрыштың b қабырғасына қарама-қарсы бұрыш
γ - үшбұрыштың c қабырғасына қарама-қарсы бұрышы
h а, h б , h в- a, b, c жағына түсірілген үшбұрыштың биіктігі

Берілген белгі жоғарыдағы суретке сәйкес келетінін ескеріңіз, сондықтан геометриядағы нақты мәселені шешу кезінде формуладағы дұрыс орындарға дұрыс мәндерді ауыстыру көзбен оңайырақ болады.

• Үшбұрыштың ауданы үшбұрыштың биіктігі мен осы биіктік түсірілген жағының ұзындығының көбейтіндісінің жартысы(Формула 1). Бұл формуланың дұрыстығын логикалық тұрғыдан түсінуге болады. Негізге түсірілген биіктік ерікті үшбұрышты екі тікбұрыштыға бөледі. Егер олардың әрқайсысын b және h өлшемдері бар тіктөртбұрышқа аяқтасақ, онда бұл үшбұрыштардың ауданы тіктөртбұрыштың дәл жартысына тең болады (Spr = bh)
• Үшбұрыштың ауданы оның екі қабырғасының жартысы мен олардың арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісі(Формула 2) (төменде осы формуланы пайдаланып есепті шешудің мысалын қараңыз). Бұрынғысынан өзгеше болып көрінгенімен, оны оңай өзгертуге болады. Егер биіктікті В бұрышынан b қабырғасына түсірсек, тікбұрышты үшбұрыштың синусының қасиеттеріне сәйкес а қабырғасы мен γ бұрышының синусының көбейтіндісі сызылған үшбұрыштың биіктігіне тең болады. біз, ол бізге алдыңғы формуланы береді
• Ерікті үшбұрыштың ауданын табуға болады арқылы жұмысбарлық қабырғаларының ұзындықтарының қосындысына іштей сызылған шеңбердің радиусының жартысы(Формула 3), басқаша айтқанда, үшбұрыштың жарты периметрін сызылған шеңбердің радиусына көбейту керек (бұл жолмен есте сақтау оңайырақ)
• Ерікті үшбұрыштың ауданын оның барлық қабырғаларының көбейтіндісін айналасындағы шеңбердің 4 радиусына бөлу арқылы табуға болады (Формула 4)
• Формула 5 - үшбұрыштың ауданын оның қабырғаларының ұзындығы мен жартылай периметрі бойынша табу (барлық қабырғаларының қосындысының жартысы)
• Герон формуласы(6) жартылай периметр түсінігін қолданбай, тек жақтарының ұзындықтары арқылы бірдей формуланың көрінісі.
• Ерікті үшбұрыштың ауданы үшбұрыштың қабырғасының квадраты мен осы қабырғаға іргелес бұрыштардың синусы осы қабырғаға қарама-қарсы бұрыштың қос синусына бөлінген көбейтіндісіне тең (Формула 7)
• Ерікті үшбұрыштың ауданын оның айналасында сызылған шеңбердің екі квадратының және оның әрбір бұрышының синусының көбейтіндісі ретінде табуға болады. (Формула 8)
• Егер бір қабырғасының ұзындығы және оған іргелес жатқан екі бұрыштың шамасы белгілі болса, онда үшбұрыштың ауданын осы қабырғасының квадраты ретінде олардың котангенстерінің қос қосындысына бөлу арқылы табуға болады. бұрыштар (Формула 9)
• Егер үшбұрыштың әрбір биіктігінің ұзындығы белгілі болса (Формула 10), онда мұндай үшбұрыштың ауданы Герон формуласы бойынша осы биіктіктердің ұзындықтарына кері пропорционал болады.
• Формула 11 есептеуге мүмкіндік береді үшбұрыштың төбелерінің координаталарына сәйкес ауданы, олар шыңдардың әрқайсысы үшін (x;y) мәндері ретінде берілген. Алынған мәнді модуль бойынша қабылдау керек екенін ескеріңіз, өйткені жеке (немесе тіпті барлық) шыңдардың координаттары теріс мәндер аймағында болуы мүмкін.

Ескерту. Төменде үшбұрыштың ауданын табу үшін геометрия есептерін шешу мысалдары берілген. Егер сізге геометриядағы мәселені шешу керек болса, оған ұқсас мұнда жоқ - бұл туралы форумда жазыңыз. Шешімдерде sqrt() функциясын «шаршы түбір» таңбасының орнына пайдалануға болады, онда sqrt квадрат түбір белгісі болып табылады, ал радикалды өрнек жақшада көрсетілген..Кейде символды қарапайым радикалды өрнектер үшін пайдалануға болады √

Тапсырма. Берілген екі қабырғаның ауданын және олардың арасындағы бұрышты табыңыз

Үшбұрыштың қабырғалары 5 және 6 см.Олардың арасындағы бұрыш 60 градус. Үшбұрыштың ауданын табыңыз.

Шешім.

Бұл мәселені шешу үшін біз сабақтың теориялық бөлігінің нөмірі екінші формуласын қолданамыз.
Үшбұрыштың ауданын екі қабырғасының ұзындығы мен олардың арасындағы бұрыштың синусы арқылы табуға болады және оған тең болады
S=1/2 ab sin γ

Шешім үшін бізде барлық қажетті деректер болғандықтан (формула бойынша), біз тек мәселенің мәлімдемесіндегі мәндерді формулаға ауыстыра аламыз:
S=1/2*5*6*sin60

Тригонометриялық функциялардың мәндер кестесінде синустың 60 градус мәнін өрнекте табамыз және ауыстырамыз. Ол үштен екі түбірге тең болады.
S = 15 √3 / 2

Жауап: 7,5 √3 (мұғалімнің талабына байланысты 15 √3/2 қалдыруға болатын шығар)

Тапсырма. Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табыңыз

Қабырғасы 3см тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табыңыз.

Шешім.

Үшбұрыштың ауданын Герон формуласы арқылы табуға болады:

S = 1/4 шаршы((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a \u003d b \u003d c болғандықтан, теңбүйірлі үшбұрыштың ауданы үшін формула келесідей болады:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Жауап: 9 √3 / 4.

Тапсырма. Бүйірлердің ұзындығын өзгерту кезінде аумақты өзгерту

Қабырғаларын төрт есе арттырса, үшбұрыштың ауданы неше есе артады?

Шешім.

Үшбұрыштың қабырғаларының өлшемдері бізге белгісіз болғандықтан, есепті шешу үшін қабырғаларының ұзындықтары сәйкесінше a, b, c ерікті сандарына тең деп есептейміз. Содан кейін мәселенің сұрағына жауап беру үшін біз осы үшбұрыштың ауданын табамыз, содан кейін қабырғалары төрт есе үлкен үшбұрыштың ауданын табамыз. Осы үшбұрыштардың аудандарының қатынасы бізге есептің жауабын береді.

Әрі қарай, мәселені шешудің қадамдары бойынша мәтіндік түсініктеме береміз. Дегенмен, ең соңында сол шешім қабылдауға ыңғайлырақ графикалық түрде ұсынылады. Қалағандар шешімді дереу тастай алады.

Шешу үшін біз Герон формуласын қолданамыз (жоғарыдан сабақтың теориялық бөлігінде қараңыз). Бұл келесідей көрінеді:

S = 1/4 шаршы((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(төмендегі суреттің бірінші жолын қараңыз)

Ерікті үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары a, b, c айнымалылары арқылы беріледі.
Егер қабырғалар 4 есе ұлғайса, онда жаңа c үшбұрышының ауданы:

S 2 = 1/4 шаршы((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(төмендегі суреттегі екінші жолды қараңыз)

Көріп отырғаныңыздай, 4 математиканың жалпы ережелеріне сәйкес барлық төрт өрнектің ішінен жақшаға алуға болатын ортақ көбейткіш.
Содан кейін

S 2 = 1/4 шаршы(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - суреттің үшінші жолында
S 2 = 1/4 шаршы(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - төртінші жол

256 санынан квадрат түбір тамаша шығарылған, сондықтан оны түбірдің астынан шығарамыз
S 2 = 16 * 1/4 шаршы((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 шаршы((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(төмендегі суреттің бесінші жолын қараңыз)

Есепте қойылған сұраққа жауап беру үшін алынған үшбұрыштың ауданын түпнұсқаның ауданына бөлу жеткілікті.
Өрнектерді бір-біріне бөліп, алынған бөлшекті азайту арқылы ауданның қатынасын анықтаймыз.