y x 1 функциясының графигін зерттеу 2. Функцияны толық зерттеу және графигін салу

Егер тапсырмада f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 функциясын оның графигін тұрғызу арқылы толық зерттеу қажет болса, онда біз бұл принципті егжей-тегжейлі қарастырамыз.

Осы типтегі есепті шешу үшін негізгі элементар функциялардың қасиеттері мен графиктерін пайдалану керек. Зерттеу алгоритмі келесі қадамдарды қамтиды:

Анықтау облысын табу

Зерттеу функцияның облысы бойынша жүргізілетіндіктен, осы қадамнан бастау керек.

1-мысал

Берілген мысал оларды DPV-ден шығару үшін бөлгіштің нөлдерін табуды қамтиды.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Нәтижесінде түбірлерді, логарифмдерді және т.б. Сонда ODZ g (x) 4 типті жұп дәрежелі түбірді g (x) ≥ 0 теңсіздігі арқылы, log a g (x) логарифмін g (x) > 0 теңсіздігі арқылы іздеуге болады.

ОДЗ шекараларын зерттеу және тік асимптоталарды табу

Функцияның шекараларында тік асимптоталар бар, мұндай нүктелердегі бір жақты шектер шексіз болады.

2-мысал

Мысалы, x = ± 1 2 тең шекара нүктелерін қарастырайық.

Содан кейін бір жақты шекті табу үшін функцияны зерттеу керек. Сонда мынаны аламыз: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Бұл бір жақты шектердің шексіз екенін көрсетеді, яғни х = ± 1 2 сызықтары графиктің тік асимптоталары болып табылады.

Функцияны зерттеу және жұп немесе тақ

y (- x) = y (x) шарты орындалса, функция жұп деп есептеледі. Бұл графиктің О у-ға қатысты симметриялы орналасқанын көрсетеді. y (- x) = - y (x) шарты орындалса, функция тақ деп есептеледі. Бұл симметрияның координаталар басына қатысты болатынын білдіреді. Егер кем дегенде бір теңсіздік орындалмаса, жалпы түрдегі функцияны аламыз.

y (- x) = y (x) теңдігінің орындалуы функцияның жұп екенін көрсетеді. Салу кезінде О у-ға қатысты симметрия болатынын ескеру қажет.

Теңсіздікті шешу үшін сәйкесінше f "(x) ≥ 0 және f" (x) ≤ 0 шарттарымен өсу және кему аралықтары қолданылады.

Анықтама 1

Стационарлық нүктелертуындыны нөлге айналдыратын нүктелер.

Сыни нүктелерфункцияның туындысы нөлге тең немесе жоқ облыстың ішкі нүктелері.

Шешім қабылдау кезінде келесі тармақтарды ескеру қажет:

f "(x) > 0 түріндегі теңсіздіктің бар өсу және кему интервалдары үшін критикалық нүктелер шешімге кірмейді;
функция шекті туындысыз анықталатын нүктелер өсу және кему аралықтарына қосылуы керек (мысалы, у \u003d x 3, мұнда x \u003d 0 нүктесі функцияны анықтайды, туынды шексіздік мәніне ие болады бұл кезде y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 ұлғайту интервалына қосылады);
келіспеушіліктерді болдырмау үшін Білім министрлігі ұсынған математикалық әдебиеттерді пайдалану ұсынылады.

Критикалық нүктелерді функцияның анықталу облысын қанағаттандыратын жағдайда өсу және кему аралықтарына қосу.

Анықтама 2

Үшін функцияның өсу және кему аралықтарын анықтай отырып, табу керек:

туынды;
сыни нүктелер;
критикалық нүктелердің көмегімен анықтау облысын интервалдарға бөлу;
аралықтардың әрқайсысында туындының таңбасын анықтаңыз, мұндағы + өсу және - кему.

3-мысал

f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) облысындағы туындыны табыңыз. 2 .

Шешім

Шешу үшін сізге қажет:

стационар нүктелерді табыңыз, бұл мысалда x = 0 бар;
бөлгіштің нөлдерін табыңыз, мысал x = ± 1 2 кезінде нөлдік мәнді алады.

Әрбір интервалдағы туындыны анықтау үшін сандық осьте нүктелерді шығарамыз. Ол үшін интервалдан кез келген нүктені алып, есептеуді жүргізу жеткілікті. Егер нәтиже оң болса, графикке + сызамыз, бұл функцияның ұлғаюын білдіреді, ал - оның төмендеуін білдіреді.

Мысалы, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, бұл сол жақтағы бірінші интервалда + белгісі бар екенін білдіреді. Санды қарастырыңыз. түзу.

Жауап:

- ∞ интервалында функцияның ұлғаюы бар; - 1 2 және (- 1 2 ; 0 ] ;
[ 0 аралықта төмендеу байқалады ; 1 2) және 1 2 ; +∞ .

Диаграммада + және - көмегімен функцияның оң және теріс жақтары бейнеленген, ал көрсеткілер кему мен өсуді көрсетеді.

Функцияның экстремум нүктелері - функция анықталатын және туынды таңбаны өзгертетін нүктелер.

4-мысал

Егер x \u003d 0 болатын мысалды қарастырсақ, ондағы функцияның мәні f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0 болады. Туындының таңбасы +-ден --ға өзгеріп, x \u003d 0 нүктесі арқылы өткенде, координаталары (0; 0) нүкте максималды нүкте болып саналады. Белгіні --дан +-ге ауыстырғанда, біз ең төменгі нүктені аламыз.

Дөңес және ойыс f "" (x) ≥ 0 және f "" (x) ≤ 0 түріндегі теңсіздіктерді шешу арқылы анықталады. Көбінесе ойыс дегеннің орнына дөңес төмен, томпақтың орнына жоғары көтеріледі деген атауды жиі қолданады.

Анықтама 3

Үшін ойыс және дөңес саңылауларды анықтауқажетті:

екінші туындыны табыңыз;
екінші туынды функциясының нөлдерін табу;
аралықтарда көрінетін нүктелер бойынша анықтау облысын бұзу;
алшақтық белгісін анықтау.

5-мысал

Анықталу облысынан екінші туындыны табыңыз.

Шешім

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Біз алым мен бөлгіштің нөлдерін табамыз, мұндағы мысалды пайдалана отырып, азайғыштың нөлдері х = ± 1 2 болатынын аламыз.

Енді сандар түзуіне нүктелер қойып, әрбір интервалдан екінші туындының таңбасын анықтау керек. Біз мұны түсінеміз

Жауап:

функциясы - 1 2 интервалынан дөңес; 12 ;
функция бос орындардан ойыс - ∞ ; - 1 2 және 1 2 ; +∞ .

Анықтама 4

иілу нүктесіх 0 түріндегі нүкте болып табылады; f(x0) . Функция графигіне жанама болған кезде, ол х 0 арқылы өткенде, функция таңбасын керісінше өзгертеді.

Басқаша айтқанда, бұл екінші туынды өтетін және таңбасын өзгертетін нүкте, ал нүктелердің өзінде нөлге тең немесе жоқ. Барлық нүктелер функцияның анықталу облысы болып саналады.

Мысалда иілу нүктелері жоқ екені көрінді, өйткені екінші туынды х = ± 1 2 нүктелері арқылы өткенде таңбасын өзгертеді. Олар, өз кезегінде, анықтау саласына кірмейді.

Көлденең және көлбеу асимптоталарды табу

Функцияны шексіздікте анықтау кезінде көлденең және қиғаш асимптоталарды іздеу керек.

Анықтама 5

Қиғаш асимптоталар y = k x + b теңдеуімен берілген түзулер арқылы сызылады, мұндағы k = lim x → ∞ f (x) x және b = lim x → ∞ f (x) - k x .

k = 0 үшін және b шексіздікке тең емес, қиғаш асимптота болатынын табамыз. көлденең.

Басқаша айтқанда, асимптоталар - бұл функция графигі шексіздікте жақындайтын сызықтар. Бұл функцияның графигін жылдам құруға ықпал етеді.

Егер асимптоталар болмаса, бірақ функция екі шексіздікте де анықталған болса, функция графигі қалай әрекет ететінін түсіну үшін осы шексіздіктердегі функцияның шегін есептеу керек.

6-мысал

Мысал ретінде мынаны қарастырайық

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ у = 1 4

көлденең асимптота болып табылады. Функцияны зерттегеннен кейін оны құруға кірісуге болады.

Аралық нүктелердегі функцияның мәнін есептеу

Графикті ең дәл ету үшін аралық нүктелерде функцияның бірнеше мәндерін табу ұсынылады.

7-мысал

Біз қарастырған мысалдан x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 нүктелеріндегі функция мәндерін табу керек. Функция жұп болғандықтан, біз мәндер осы нүктелердегі мәндермен сәйкес келетінін аламыз, яғни x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4 аламыз.

Жазып, шешейік:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Функцияның максимумдары мен минимумдарын, иілу нүктелерін, аралық нүктелерін анықтау үшін асимптоталарды құрастыру керек. Ыңғайлы белгілеу үшін ұлғаю, кему, дөңес, ойыс аралықтары бекітілген. Төмендегі суретті қарастырыңыз.

Белгіленген нүктелер арқылы сызба сызықтарын жүргізу керек, бұл көрсеткілерден кейін асимптоталарға жақындауға мүмкіндік береді.

Бұл функцияны толық зерттеуді аяқтайды. Геометриялық түрлендірулер қолданылатын кейбір элементар функцияларды құру жағдайлары бар.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Решебник Кузнецов.
III Графиктер

Тапсырма 7. Функцияны толық зерттеу және оның графигін құру.

Параметрлерді жүктеп алуды бастамас бұрын, мәселені төмендегі 3-нұсқаға арналған үлгіге сәйкес шешіп көріңіз. Кейбір опциялар .rar пішімінде мұрағатталған.

7.3 Функцияның толық зерттеуін жүргізіп, оның графигін салыңыз

Шешім.

1) Қолдану аясы: немесе , яғни .
.
Осылайша: .

2) Ox осімен қиылысу нүктелері жоқ. Шынында да, теңдеуінің шешімі жоқ.
Oy осімен қиылысу нүктелері жоқ, себебі .

3) Функция жұп та, тақ та емес. У осіне қатысты симметрия жоқ. Бастапқыда да симметрия жоқ. Өйткені
.
Біз және екенін көреміз.

4) Функция доменде үздіксіз
.

; .

; .
Демек, нүктесі екінші түрдегі үзіліс нүктесі (шексіз үзіліс).

5) Тік асимптоталар:

Қиғаш асимптотаны табыңыз . Мұнда

;
.
Демек, бізде көлденең асимптот бар: y=0. Қиғаш асимптоталар жоқ.

6) Бірінші туындыны табыңыз. Бірінші туынды:
.
Және сол себепті
.
Туынды нөлге тең болатын стационар нүктелерді табайық, яғни
.

7) Екінші туындыны табыңыз. Екінші туынды:
.
Және бұл тексеру оңай, өйткені

Функцияны зерттеу және оның графигін қалай салуға болады?

Әлемдік пролетариат көсемінің, 55 томдық шығармалар жинағының авторының жан дүниесін түсіне бастағандай болдым.... Ұзақ сапар туралы қарапайым ақпаратпен басталды функциялар мен графиктер , ал енді еңбекті қажет ететін тақырыптағы жұмыс табиғи нәтиже – мақаламен аяқталады толық функцияны зерттеу туралы. Көптен күткен міндет келесідей тұжырымдалған:

Функцияны дифференциалдық есептеу әдістерімен зерттеп, зерттеу нәтижелері бойынша оның графигін құру

Немесе қысқаша: функцияны қарап шығыңыз және оны сызыңыз.

Неліктен зерттеу?Қарапайым жағдайларда бізге қарапайым функциялармен жұмыс істеу, алынған графикті салу қиын болмайды элементар геометриялық түрлендірулер және т.б. Дегенмен, күрделірек функциялардың қасиеттері мен графикалық көріністері анық емес, сондықтан толық зерттеу қажет.

Шешімнің негізгі қадамдары анықтамалық материалда жинақталған Функцияны зерттеу схемасы , бұл сіздің бөлім нұсқаулығыңыз. Манекендерге тақырыпты кезең-кезеңімен түсіндіру қажет, кейбір оқырмандар оқуды неден бастау керектігін және қалай ұйымдастыру керектігін білмейді, ал озық студенттерді тек бірнеше тармақ қызықтыруы мүмкін. Бірақ сіз кім болсаңыз да, құрметті келуші, әртүрлі сабақтарға нұсқау бар ұсынылған түйіндеме сізді қызықтыратын бағытқа қысқа мерзімде бағыттайды және бағыттайды. Роботтар көз жасын төкті =) Нұсқаулық pdf файлы түрінде жасалған және бетте өзінің лайықты орнын алды Математикалық формулалар мен кестелер .

Мен функцияны зерттеуді 5-6 ұпайға бөлдім:

6) Зерттеу нәтижелері бойынша қосымша нүктелер мен графиктер.

Қорытынды әрекетке келетін болсақ, менің ойымша, барлығы бәрін түсінеді - егер бірнеше секунд ішінде оны сызып тастаса және тапсырма қайта қарауға қайтарылса, бұл өте көңілсіз болады. ДҰРЫС ЖӘНЕ ДҰРЫС СУРЕТ - шешімнің негізгі нәтижесі! Ол аналитикалық бақылауды «жабуы» әбден мүмкін, ал қате және/немесе немқұрайлы кесте тіпті жақсы жүргізілген зерттеуде де қиындықтар туғызады.

Айта кету керек, басқа көздерде зерттеу элементтерінің саны, оларды орындау тәртібі мен дизайн стилі мен ұсынған схемадан айтарлықтай ерекшеленуі мүмкін, бірақ көп жағдайда бұл жеткілікті. Есептің ең қарапайым нұсқасы небәрі 2-3 кезеңнен тұрады және келесідей тұжырымдалған: «туынды және графикті пайдаланып функцияны зерттеу» немесе «1-ші және 2-ші туындыны пайдаланып функцияны зерттеу, график».

Әрине, егер сіздің оқу нұсқаулығында басқа алгоритм егжей-тегжейлі талданса немесе мұғалім сізден оның дәрістерін қатаң талап етсе, онда сіз шешімге кейбір түзетулер енгізуге тура келеді. Шанышқыны шынжырлы қасықпен ауыстырудан қиын емес.

Функцияны жұп/тақ үшін тексерейік:

Осыдан кейін жазылымнан бас тарту үлгісі келеді:
, сондықтан бұл функция жұп та, тақ та емес.

Функция үздіксіз болғандықтан , тік асимптоталар жоқ.

Қиғаш асимптоталар да жоқ.

Ескерту : Соғұрлым жоғары екенін еске саламын өсу реті қарағанда, соңғы шек дәл « плюсшексіздік».

Функцияның шексіздікте қалай әрекет ететінін білейік:

Басқаша айтқанда, егер біз оңға барсақ, онда график шексіз жоғарыға, солға барсақ, шексіз төменге барады. Иә, бір жазбаның астында екі шектеу бар. Егер сіз белгілерді шешуде қиналсаңыз, туралы сабаққа барыңыз шексіз аз функциялар .

Сонымен, функция жоғарыдан шектелмейдіжәне төменнен шектелмейді. Бізде үзіліс нүктелері жоқ екенін ескерсек, бұл анық болады және функция диапазоны: сонымен қатар кез келген нақты сан.

ПАЙДАЛЫ ТЕХНИКА

Әрбір тапсырма қадамы функцияның графигі туралы жаңа ақпаратты әкеледі, сондықтан шешім барысында LAYOUT түрін қолдану ыңғайлы. Жоба бойынша декарттық координаталар жүйесін салайық. Нақты не белгілі? Біріншіден, графикте асимптоталар жоқ, сондықтан түзу сызықтар салудың қажеті жоқ. Екіншіден, функция шексіздікте қалай әрекет ететінін білеміз. Талдауға сәйкес, біз бірінші жуықтауды жасаймыз:

Күшінде екенін ескеріңіз үздіксіздік функциясы қосулы және , график осінен кем дегенде бір рет кесіп өтуі керек. Немесе бірнеше қиылысу нүктелері болуы мүмкін бе?

3) Функцияның нөлдері және тұрақты таңбалы интервалдар.

Алдымен графиктің у осімен қиылысу нүктесін табыңыз. Бұл оңай. Функцияның мәнін мына жағдайда есептеу керек:

Теңіз деңгейінен жартысы.

Осьпен (функцияның нөлдері) қиылысу нүктелерін табу үшін теңдеуді шешу керек және мұнда бізді жағымсыз тосынсый күтіп тұр:

Соңында бос мүше жасырынып қалады, бұл тапсырманы айтарлықтай қиындатады.

Мұндай теңдеудің кем дегенде бір нақты түбірі болады және көбінесе бұл түбір иррационал. Ең нашар ертегіде бізді үш кішкентай шошқа күтіп тұр. Теңдеу деп аталатынды пайдаланып шешуге болады Кардано формулалары, бірақ қағаздың зақымдануы бүкіл зерттеумен дерлік салыстырылады. Осыған байланысты ауызша немесе жобада кем дегенде біреуін алуға тырысқан дұрыс тұтастамыр. Мына сандар екенін тексерейік:
- келмейді;
- сонда бар!

Бұл жерде сәттілік. Сәтсіз жағдайда, сіз сондай-ақ сынақтан өткізе аласыз және, егер бұл сандар сәйкес келмесе, онда теңдеудің тиімді шешіміне өте аз мүмкіндік бар деп қорқамын. Содан кейін зерттеу нүктесін толығымен өткізіп жіберген дұрыс - мүмкін соңғы қадамда, қосымша нүктелер өтіп кеткенде, бір нәрсе анық болады. Егер түбір (тамырлар) анық «жаман» болса, белгілердің тұрақтылық аралықтары туралы қарапайым үндемей, сызбаны дәлірек аяқтаған жөн.

Дегенмен, бізде әдемі түбір бар, сондықтан көпмүшені бөлеміз қалдықсыз:

Көпмүшені көпмүшеге бөлу алгоритмі сабақтың бірінші мысалында толық қарастырылған. Кешенді шектеулер .

Нәтижесінде бастапқы теңдеудің сол жағы өнімге айналады:

Ал енді салауатты өмір салты туралы аздап. Әрине, мен мұны түсінемін квадрат теңдеулер күн сайын шешу керек, бірақ бүгін біз ерекшелік жасаймыз: теңдеу екі нақты тамыры бар.

Сандық түзуде табылған мәндерді саламыз және интервал әдісі функцияның белгілерін анықтаңыз:

og Осылайша, интервалдар бойынша диаграмма орналасқан
х осінен төмен және аралықпен - осы осьтің үстінде.

Алынған нәтижелер макетімізді нақтылауға мүмкіндік береді және графиктің екінші жуықтауы келесідей болады:

Функцияның аралықта кемінде бір максимум, ал аралықта кемінде бір минимум болуы керек екенін ескеріңіз. Бірақ, кестенің қанша рет, қай жерде, қашан «айналатынын» білмейміз. Айтпақшы, функцияда шексіз көп болуы мүмкін шектен тыс .

4) Функцияның өсу, кему және экстремумы.

Критикалық нүктелерді табайық:

Бұл теңдеудің екі нақты түбірі бар. Оларды сан түзуіне қойып, туындының белгілерін анықтайық:

Демек, функция келесіге артады және төмендейді.
Функция максимумға жеткен кезде: .
Функция минимумға жеткен кезде: .

Белгіленген фактілер біздің шаблонды өте қатаң құрылымға айналдырады:

Айта кету керек, дифференциалдық есептеулер өте күшті нәрсе. Соңында графиктің пішінімен айналысайық:

5) Дөңес, ойыс және иілу нүктелері.

Екінші туындының критикалық нүктелерін табыңыз:

Белгілерді анықтайық:

Функция графигі дөңес қосулы және ойыс бойынша. Иілу нүктесінің ординатасын есептейік: .

Барлығы дерлік тазаланды.

6) Графикті дәлірек құруға және өзін-өзі тексеруге көмектесетін қосымша нүктелерді табу қалады. Бұл жағдайда олар аз, бірақ біз назардан тыс қалдырмаймыз:

Сызбаны орындаймыз:

Иілу нүктесі жасыл түспен белгіленген, қосымша нүктелер кресттермен белгіленген. Кубтық функцияның графигі оның иілу нүктесіне қатысты симметриялы, ол әрқашан максимум мен минимумның дәл ортасында орналасқан.

Тапсырманы орындау барысында мен үш гипотетикалық аралық сызбаларды бердім. Практикада координаталар жүйесін салу, табылған нүктелерді белгілеу және зерттеудің әрбір нүктесінен кейін функцияның графигі қандай болуы мүмкін екенін ойша анықтау жеткілікті. Дайындығы жақсы студенттерге жобаны тартпай-ақ мұндай талдауды тек өз санасында жүргізу қиынға соқпайды.

Жеке шешім үшін:

2-мысал

Функцияны зерттеп, графикті құрыңыз.

Мұнда бәрі тезірек және қызықтырақ, сабақтың соңында аяқтаудың шамамен мысалы.

Бөлшек рационал функцияларды зерттеу арқылы көптеген құпиялар ашылады:

3-мысал

Дифференциалдық есептеу әдістерін қолдана отырып, функцияны зерттеңіз және зерттеу нәтижелері бойынша оның графигін тұрғызыңыз.

Шешім: зерттеудің бірінші кезеңі анықтау аймағындағы тесікті қоспағанда, керемет ештеңемен ерекшеленбейді:

1) Функция нүктеден басқа бүкіл сан түзуінде анықталған және үздіксіз болады, домен : .

, сондықтан бұл функция жұп та, тақ та емес.

Функция периодты емес екені анық.

Функцияның графигі сол және оң жарты жазықтықта орналасқан екі үздіксіз тармақтан тұрады - бұл 1-тармақтың ең маңызды қорытындысы шығар.

2) Асимптоталар, функцияның шексіздіктегі әрекеті.

а) Бір жақты шектеулердің көмегімен біз күдікті нүктеге жақын функцияның әрекетін зерттейміз, мұнда тік асимптота анық болуы керек:

Шынында да, функциялар төзімді шексіз алшақтық нүктесінде
және түзу (ось) болады тік асимптота графика өнері.

б) қиғаш асимптоттардың бар-жоғын тексеріңіз:

Иә, сызық қиғаш асимптот графика, егер.

Шектерді талдаудың мағынасы жоқ, өйткені функцияның қиғаш асимптотасы бар құшақтайтыны қазірдің өзінде анық. жоғарыдан шектелмейдіжәне төменнен шектелмейді.

Зерттеудің екінші нүктесі функция туралы көптеген маңызды ақпаратты әкелді. Дөрекі эскиз жасайық:

№1 қорытынды белгі тұрақтылығының интервалдарына қатысты. «Минус шексіздікте» функция графигі бірегей түрде х осінен төмен орналасады, ал «плюс шексіздікте» ол осы осьтің үстінде болады. Сонымен қатар, бір жақты шектеулер нүктенің сол жағында да, оң жағында да функция нөлден үлкен екенін айтты. Сол жақ жарты жазықтықта график х осінен кем дегенде бір рет кесіп өтуі керек екенін ескеріңіз. Оң жақ жарты жазықтықта функцияның нөлдері болмауы мүмкін.

Қорытынды №2 функция нүктенің үстіне және солға қарай артады («төменнен жоғарыға» жүреді). Осы нүктенің оң жағында функция төмендейді («жоғарыдан төменге» өтеді). Графиктің оң жақ тармағында кем дегенде бір минимум болуы керек. Сол жақта шектен шығуға кепілдік берілмейді.

No3 қорытынды нүктеге жақын орналасқан графиктің ойыстығы туралы сенімді ақпарат береді. Шексіздіктегі дөңес/ ойыс туралы әлі ештеңе айта алмаймыз, өйткені сызық оның асимптотасына жоғарыдан да, төменнен де басылуы мүмкін. Жалпы айтқанда, дәл қазір оны анықтаудың аналитикалық жолы бар, бірақ «босқа» диаграмманың пішіні кейінгі кезеңде анық болады.

Неге сонша сөз көп? Кейінгі зерттеу нүктелерін бақылау және қателерді болдырмау үшін! Бұдан әрі есептеулер жасалған қорытындыларға қайшы келмеуі керек.

3) Графиктің координата осьтерімен қиылысу нүктелері, функцияның тұрақты таңбасының интервалдары.

Функцияның графигі осьті кесіп өтпейді.

Интервал әдісі арқылы белгілерді анықтаймыз:

, егер ;
, егер .

Параграфтың нәтижелері No1 Қорытындыға толығымен сәйкес келеді. Әрбір қадамнан кейін жобаны қараңыз, зерттеуге ойша сілтеме жасаңыз және функцияның графигін салуды аяқтаңыз.

Бұл мысалда алым бөлгіш арқылы мүшеге бөлінеді, бұл дифференциалдау үшін өте тиімді:

Шын мәнінде, бұл асимптоттарды табу кезінде жасалды.

- сыни нүкте.

Белгілерді анықтайық:

артады және дейін төмендейді

Функция минимумға жеткен кезде: .

Сондай-ақ №2 қорытындымен сәйкессіздіктер болған жоқ және, ең алдымен, біз дұрыс жолдамыз.

Бұл функцияның графигі анықтаудың барлық облысы бойынша ойыс екенін білдіреді.

Өте жақсы - және сізге ештеңе салудың қажеті жоқ.

Бұрылыс нүктелері жоқ.

Ойыс №3 қорытындыға сәйкес келеді, сонымен қатар ол шексіздікте (онда да, сонда да) функцияның графигі орналасқанын көрсетеді. жоғарыдаоның қиғаш асимптотасы.

6) Тапсырманы қосымша ұпайлармен бекітеміз. Мұнда біз көп жұмыс істеуіміз керек, өйткені біз зерттеуден екі-ақ тармақты білеміз.

Көпшілік бұрыннан ұсынған сурет:

Тапсырманы орындау барысында зерттеу кезеңдері арасында қарама-қайшылықтардың болмауын қамтамасыз ету керек, бірақ кейде жағдай шұғыл немесе тіпті тығырыққа тіреледі. Мұнда аналитика «біріктірмейді» - және бұл. Бұл жағдайда мен төтенше әдісті ұсынамын: біз графикке жататын мүмкіндігінше көп нүктелерді табамыз (қанша шыдамдылық жеткілікті) және оларды координаталық жазықтықта белгілеңіз. Табылған мәндердің графикалық талдауы көп жағдайда ақиқат қай жерде, өтірік қайда екенін көрсетеді. Сонымен қатар, графикті қандай да бір бағдарламаның көмегімен, мысалы, сол Excel бағдарламасында алдын ала құрастыруға болады (бұл дағдыларды қажет ететіні анық).

4-мысал

Дифференциалдық есептеу әдістерін қолдана отырып, функцияны зерттеп, оның графигін құрыңыз.

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Онда өзін-өзі бақылау функцияның біркелкілігі арқылы күшейтіледі - график оське қатысты симметриялы және егер сіздің зерттеуіңізде бір нәрсе бұл фактіге қайшы келсе, қатені іздеңіз.

Жұп немесе тақ функцияны тек үшін зерттеуге болады, содан кейін графиктің симметриясын пайдалануға болады. Бұл шешім оңтайлы, бірақ менің ойымша, бұл өте ерекше көрінеді. Жеке мен бүкіл сандық осьті қарастырамын, бірақ мен әлі де оң жақтан қосымша нүктелерді табамын:

5-мысал

Функцияны толық зерттеу және оның графигін салу.

Шешім: қатты асығып:

1) Функция толық нақты сызықта анықталған және үздіксіз: .

Бұл бұл функцияның тақ екенін, оның графигі басына қатысты симметриялы екенін білдіреді.

Функция периодты емес екені анық.

2) Асимптоталар, функцияның шексіздіктегі әрекеті.

Функция үздіксіз болғандықтан , тік асимптоталар жоқ

Әдетте дәреже көрсеткіші бар функция үшін бөлек«плюс» пен «минус шексіздікті» зерттеу, дегенмен, біздің өміріміз тек графтың симметриясы арқылы жеңілдетіледі - сол жақта және оң жақта асимптота бар, немесе жоқ. Демек, екі шексіз шекті де бір жазба астында реттеуге болады. Шешім барысында біз қолданамыз Л'Гопитал ережесі :

Түзу сызық (ось) - нүктедегі графиктің көлденең асимптотасы.

Қиғаш асимптотаны табудың толық алгоритмінен қалай ақылды түрде аулақ болғаныма назар аударыңыз: шек әбден заңды және функцияның шексіздіктегі әрекетін нақтылайды, ал көлденең асимптот «бір уақытта сияқты» табылды.

Үздіксіздігінен және көлденең асимптотаның бар болуынан функцияның жоғарыдан шектеледіжәне төменнен шектеледі.

3) Графиктің координата осьтерімен қиылысу нүктелері, тұрақтылық интервалдары.

Мұнда біз шешімді қысқартамыз:
График бастапқы нүкте арқылы өтеді.

Координаталық осьтермен басқа қиылысу нүктелері жоқ. Сонымен қатар, тұрақтылық интервалдары айқын және осьті сызуға болмайды: , бұл функцияның таңбасы тек «x» -ке тәуелді екенін білдіреді:
, егер ;
, егер .

4) Функцияның өсу, кему, экстремум.

сыни нүктелер болып табылады.

Нүктелер нөлге жуық симметриялы, солай болуы керек.

Туындының белгілерін анықтайық:

Функция аралықта артады, ал аралықтарда азаяды

Функция максимумға жеткен кезде: .

Меншікке байланысты (функцияның біртүрлілігі) минимумды алып тастауға болады:

Функция аралықта азайғандықтан, график «минус шексіздікте» орналасқаны анық. астындаоның асимптотымен. Интервалда функция да төмендейді, бірақ бұл жерде керісінше - максималды нүктеден өткеннен кейін сызық жоғарыдан оське жақындайды.

Сондай-ақ жоғарыда айтылғандардан функцияның графигі «минус шексіздікте» дөңес және «плюс шексіздікте» ойыс болатыны шығады.

Зерттеудің осы нүктесінен кейін функция мәндерінің ауданы да сызылды:

Егер сіз қандай да бір нүктені түсінбесеңіз, мен тағы да дәптеріңізге координаталық осьтерді сызып, қолдарыңызда қарындашпен тапсырманың әрбір қорытындысын қайта талдауға шақырамын.

5) Графиктің дөңестігі, ойыстығы, иілісі.

сыни нүктелер болып табылады.

Нүктелердің симметриясы сақталған және, ең алдымен, қателеспейміз.

Белгілерді анықтайық:

Функцияның графигі дөңес және ойыс .

Төтенше аралықтағы дөңес/ойыстығы расталды.

Барлық критикалық нүктелерде графикте иілулер болады. Функцияның тақтығын пайдаланып, есептеулер санын тағы да азайта отырып, иілу нүктелерінің ординаталарын табайық: