Арифметикалық прогрессияның қосындысын қалай табуға болады. Арифметикалық прогрессияның алғашқы n-мүшелерінің қосындысы

Біреу «прогрессия» сөзін жоғары математика бөлімдерінен өте күрделі термин ретінде сақтықпен қарастырады. Сонымен қатар, ең қарапайым арифметикалық прогрессия такси есептегішінің жұмысы болып табылады (олар әлі де қалады). Бірнеше қарапайым ұғымдарды талдай отырып, арифметикалық тізбектің мәнін (және математикада «мәнін түсінуден» маңыздырақ ештеңе жоқ) түсіну соншалықты қиын емес.

Математикалық сандар тізбегі

Сандық тізбекті әрқайсысының өз нөмірі бар сандар тізбегі деп атаған жөн.

және 1 - қатардың бірінші мүшесі;

және 2 - қатардың екінші мүшесі;

және 7 - қатардың жетінші мүшесі;

және n – қатардың n-ші мүшесі;

Дегенмен, бізді кез-келген цифрлар мен сандар қызықтырмайды. Біз назарымызды n-ші мүшенің мәні оның реттік санына математикалық түрде анық тұжырымдауға болатын тәуелділік арқылы қатысты болатын сандық тізбекке аударамыз. Басқаша айтқанда: n-ші санның сандық мәні n-дің кейбір функциясы болып табылады.

a - сандық қатардың мүшесінің мәні;

n – оның сериялық нөмірі;

f(n) – n сандық қатардағы реттік аргумент болатын функция.

Анықтама

Арифметикалық прогрессия әдетте әрбір келесі мүше алдыңғысынан бірдей санға үлкен (кем) болатын сандық тізбек деп аталады. Арифметикалық қатардың n-ші мүшесінің формуласы келесідей:

a n – арифметикалық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

a n+1 – келесі санның формуласы;

d - айырмашылық (белгілі бір сан).

Айырма оң (d>0) болса, онда қарастырылып отырған қатардың әрбір келесі мүшесі алдыңғысынан үлкен болатынын және мұндай арифметикалық прогрессияның өсетінін анықтау оңай.

Төмендегі графикте сандар тізбегі неліктен «өсу» деп аталатынын түсіну оңай.

Айырмашылық теріс болған жағдайларда (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Көрсетілген мүшенің мәні

Кейде арифметикалық прогрессияның кейбір ерікті мүшесі a n мәнін анықтау қажет болады. Мұны біріншіден қажеттіге дейінгі арифметикалық прогрессияның барлық мүшелерінің мәндерін дәйекті есептеу арқылы жасауға болады. Алайда, мысалы, бес мыңыншы немесе сегіз миллионыншы мүшенің мәнін табу қажет болса, бұл жол әрқашан қолайлы бола бермейді. Дәстүрлі есептеу көп уақытты алады. Дегенмен, белгілі бір арифметикалық прогрессияны белгілі формулалар арқылы зерттеуге болады. Сондай-ақ n-ші мүшесінің формуласы бар: арифметикалық прогрессияның кез келген мүшесінің мәнін прогрессияның бірінші мүшесінің қосындысы прогрессияның айырмасы, қажетті мүшенің санына көбейтінді, бір минус ретінде анықтауға болады. .

Формула прогрессияның жоғарылауы және төмендеуі үшін әмбебап болып табылады.

Берілген мүшенің мәнін есептеудің мысалы

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің мәнін табуға келесі есепті шығарайық.

Шарты: параметрлері бар арифметикалық прогрессия бар:

Тізбектің бірінші мүшесі 3;

Сандар қатарындағы айырмашылық 1,2.

Тапсырма: 214 мүшенің мәнін табу керек

Шешуі: берілген мүшенің мәнін анықтау үшін мына формуланы қолданамыз:

a(n) = a1 + d(n-1)

Мәселе мәлімдемесіндегі деректерді өрнекке ауыстырсақ, бізде:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Жауабы: Тізбектің 214-ші мүшесі 258,6-ға тең.

Бұл есептеу әдісінің артықшылықтары айқын - бүкіл шешім 2 жолдан аспайды.

Берілген мүшелер санының қосындысы

Көбінесе берілген арифметикалық қатарда оның кейбір сегменттерінің мәндерінің қосындысын анықтау қажет. Сондай-ақ әр терминнің мәндерін есептеп, содан кейін оларды қорытындылаудың қажеті жоқ. Бұл әдіс қосындысы табылуы тиіс мүшелердің саны аз болған жағдайда қолданылады. Басқа жағдайларда келесі формуланы қолдану ыңғайлырақ.

1-ден n-ге дейінгі арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы бірінші және n-ші мүшелердің қосындысын n мүше санына көбейтіп, екіге бөлгенге тең. Егер формулада n-ші мүшенің мәні мақаланың алдыңғы абзацындағы өрнекпен ауыстырылса, біз мынаны аламыз:

Есептеу мысалы

Мысалы, келесі шарттармен мәселені шешейік:

Тізбектің бірінші мүшесі нөлге тең;

Айырмашылық 0,5.

Есепте 56-дан 101-ге дейінгі қатар мүшелерінің қосындысын анықтау қажет.

Шешім. Прогрессияның қосындысын анықтау үшін формуланы қолданайық:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Біріншіден, есептің берілген шарттарын формулаға ауыстыру арқылы прогрессияның 101 мүшесінің мәндерінің қосындысын анықтаймыз:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

56-дан 101-ге дейінгі прогрессияның мүшелерінің қосындысын табу үшін S 101-ден S 55-ті алу керек екені анық.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Сонымен, осы мысал үшін арифметикалық прогрессияның қосындысы:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Арифметикалық прогрессияның практикалық қолданылуының мысалы

Мақаланың соңында бірінші абзацта келтірілген арифметикалық тізбектің мысалына оралайық - таксиметр (такси вагонының есептегіші). Мұндай мысалды қарастырайық.

Таксиге отыру (оның ішінде 3 км) 50 рубльді құрайды. Әрбір келесі шақырым 22 рубль / км мөлшерінде төленеді. Жол жүру қашықтығы 30 км. Сапардың құнын есептеңіз.

1. Бағасы қону құнына кіретін алғашқы 3 шақырымды тастаймыз.

30 - 3 = 27 км.

2. Әрі қарай есептеу арифметикалық сандар қатарын талдаудан басқа ештеңе емес.

Мүше нөмірі - жүріп өткен километрлер саны (алғашқы үшті алып тастағанда).

Мүшенің мәні қосынды болып табылады.

Бұл мәселедегі бірінші термин 1 = 50 рубльге тең болады.

Прогрессия айырмасы d = 22 б.

бізді қызықтыратын сан - арифметикалық прогрессияның (27 + 1)-ші мүшесінің мәні - 27-ші километрдің соңындағы метр көрсеткіші - 27,999 ... = 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Күнтізбе деректерінің еркін ұзақ кезеңдегі есептеулері белгілі бір сандық реттіліктерді сипаттайтын формулаларға негізделген. Астрономияда орбитаның ұзындығы геометриялық тұрғыдан аспан денесінің жарық сәулесіне дейінгі қашықтығына тәуелді. Сонымен қатар, әртүрлі сандық қатарлар статистикада және математиканың басқа қолданбалы салаларында сәтті қолданылады.

Сандар тізбегінің тағы бір түрі геометриялық

Геометриялық прогрессия арифметикамен салыстырғанда үлкен өзгеріс жылдамдығымен сипатталады. Саясатта, әлеуметтануда, медицинада көбінесе белгілі бір құбылыстың, мысалы, індет кезіндегі аурудың таралу жылдамдығының жоғары екенін көрсету үшін бұл процестің экспоненциалды түрде дамитынын айтуы кездейсоқ емес.

Геометриялық сандар қатарының N-ші мүшесі алдыңғысынан қандай да бір тұрақты санға көбейтілетіндігімен ерекшеленеді - бөлгіш, мысалы, бірінші мүшесі 1-ге, азайғышы сәйкесінше 2-ге тең, сонда:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n – геометриялық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

b n+1 – геометриялық прогрессияның келесі мүшесінің формуласы;

q – геометриялық прогрессияның (тұрақты сан) бөлгіші.

Егер арифметикалық прогрессияның графигі түзу болса, геометриялық сызба сәл басқаша сурет салады:

Арифметика жағдайындағы сияқты геометриялық прогрессияның ерікті мүшенің мәні үшін формуласы болады. Геометриялық прогрессияның кез келген n-ші мүшесі бірінші мүшесінің көбейтіндісіне және n дәрежесіне азайтылған прогрессияның бөліміне тең:

Мысал. Бізде бірінші мүшесі 3-ке, ал прогрессияның бөлгіші 1,5-ке тең геометриялық прогрессия бар. Прогрессияның 5-ші мүшесін табыңыз

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875 ж.

Берілген мүшелер санының қосындысы да арнайы формула арқылы есептеледі. Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы прогрессияның n-ші мүшесі мен оның бөлгіші мен прогрессияның бірінші мүшесінің көбейтіндісінің бірге азайтылған бөлгішке бөлінгеніне тең:

Егер b n жоғарыда қарастырылған формуланы пайдаланып ауыстырылса, қарастырылатын сандар қатарының бірінші n мүшесінің қосындысының мәні келесідей болады:

Мысал. Геометриялық прогрессия 1-ге тең бірінші мүшесінен басталады. Бөлгіш 3-ке тең қойылды. Алғашқы сегіз мүшесінің қосындысын табайық.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Жалпы білім беретін мектепте (9-сынып) алгебраны оқығанда маңызды тақырыптардың бірі - геометриялық және арифметикалық прогрессияларды қамтитын сандық тізбектерді оқыту. Бұл мақалада біз арифметикалық прогрессияны және шешімдері бар мысалдарды қарастырамыз.

Арифметикалық прогрессия дегеніміз не?

Мұны түсіну үшін қарастырылып отырған прогрессияның анықтамасын беру керек, сонымен қатар есептерді шешуде әрі қарай қолданылатын негізгі формулаларды беру қажет.

Арифметикалық немесе алгебралық прогрессия деп әрбір мүшесі алдыңғысынан қандай да бір тұрақты мәнмен ерекшеленетін реттелген рационал сандар жиынын айтады. Бұл мән айырмашылық деп аталады. Яғни, реттелген сандар қатарының кез келген мүшесін және айырмасын біле отырып, сіз бүкіл арифметикалық прогрессияны қалпына келтіре аласыз.

Мысал келтірейік. Сандардың келесі тізбегі арифметикалық прогрессия болады: 4, 8, 12, 16, ..., өйткені бұл жағдайда айырмашылық 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Бірақ 3, 5, 8, 12, 17 сандар жиынын бұдан былай прогрессияның қарастырылатын түріне жатқызуға болмайды, өйткені оның айырмашылығы тұрақты мән емес (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Маңызды формулалар

Енді біз арифметикалық прогрессияның көмегімен есептерді шешуге қажетті негізгі формулаларды береміз. a n қатардың n-ші мүшесін белгілейік, мұндағы n бүтін сан. Айырмашылық латынның d әрпімен белгіленеді. Сонда келесі өрнектер дұрыс болады:

1. N-ші мүшесінің мәнін анықтау үшін мына формула қолайлы: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Бірінші n мүшесінің қосындысын анықтау үшін: S n = (a n + a 1)*n/2.

9-сыныпта шешімі бар арифметикалық прогрессияның кез келген мысалдарын түсіну үшін осы екі формуланы есте сақтау жеткілікті, өйткені қарастырылатын типтегі кез келген есептер олардың қолданылуына негізделген. Сондай-ақ, прогрессияның айырмашылығы мына формуламен анықталатынын ұмытпаңыз: d = a n - a n-1 .

№1 мысал: Белгісіз мүшені табу

Біз арифметикалық прогрессияның қарапайым мысалын және шешу үшін қолданылуы керек формулаларды келтіреміз.

10, 8, 6, 4, ... тізбегі берілсін, одан бес мүшесін табу керек.

Есептің шарттарынан қазірдің өзінде алғашқы 4 мүшесі белгілі екендігі шығады. Бесінші екі жолмен анықталуы мүмкін:

1. Алдымен айырмашылықты есептейік. Бізде: d = 8 - 10 = -2. Сол сияқты, бір-бірінің жанында тұрған кез келген басқа екі терминді қабылдауға болады. Мысалы, d = 4 - 6 = -2. Белгілі болғандай, d \u003d a n - a n-1, содан кейін d \u003d a 5 - a 4, қай жерден аламыз: a 5 \u003d a 4 + d. Біз белгілі мәндерді ауыстырамыз: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Екінші әдіс те қарастырылып отырған прогрессияның айырмашылығын білуді талап етеді, сондықтан алдымен оны жоғарыда көрсетілгендей анықтау керек (d = -2). Бірінші мүшесі a 1 = 10 екенін біле отырып, біз тізбектің n санының формуласын қолданамыз. Бізде: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Соңғы өрнекке n = 5 мәнін қойып, мынаны аламыз: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Көріп отырғаныңыздай, екі шешім де бірдей нәтижеге әкеледі. Бұл мысалда прогрессияның d айырмашылығы теріс екенін ескеріңіз. Мұндай тізбектер кему деп аталады, өйткені әрбір келесі мүше алдыңғысынан кіші.

№2 мысал: прогрессияның айырмашылығы

Енді тапсырманы сәл күрделендірейік, қалай болатынына мысал келтірейік

Кейбіреулерінде 1-мүше 6-ға, ал 7-мүше 18-ге тең болатыны белгілі.Айырманы тауып, осы тізбекті 7-ші мүшеге келтіру керек.

Белгісіз мүшені анықтау үшін формуланы қолданайық: a n = (n - 1) * d + a 1 . Біз оған шарттан белгілі деректерді, яғни a 1 және 7 сандарын ауыстырамыз, бізде: 18 \u003d 6 + 6 * d. Бұл өрнектен сіз айырмашылықты оңай есептей аласыз: d = (18 - 6) / 6 = 2. Осылайша, есептің бірінші бөлігіне жауап берілді.

7-мүше ретін қалпына келтіру үшін алгебралық прогрессияның анықтамасын қолдану керек, яғни a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, т.б. Нәтижесінде біз бүкіл тізбекті қалпына келтіреміз: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 және 7 = 18.

№3 мысал: прогрессия жасау

Мәселенің жағдайын одан да қиындата берейік. Енді арифметикалық прогрессияны қалай табуға болады деген сұраққа жауап беру керек. Мынадай мысал келтіре аламыз: екі сан берілген, мысалы, 4 және 5. Бұлардың арасына тағы үш мүше сәйкес келетіндей алгебралық прогрессия жасау керек.

Бұл мәселені шешуді бастамас бұрын, берілген сандар болашақ прогрессияда қандай орын алатынын түсіну керек. Олардың арасында тағы үш термин болатындықтан, 1 \u003d -4 және 5 \u003d 5. Осыны анықтап, біз алдыңғыға ұқсас тапсырмаға көшеміз. Тағы да, n-ші мүше үшін біз формуланы қолданамыз, біз аламыз: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Қайдан: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Мұндағы айырмашылық бүтін сан емес, ол рационал сан, сондықтан алгебралық прогрессияның формулалары өзгеріссіз қалады.

Енді табылған айырманы 1-ге қосып, прогрессияның жетіспейтін мүшелерін қалпына келтірейік. Біз аламыз: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u00, бұл мәселенің шартымен сәйкес келді.

№4 мысал: прогрессияның бірінші мүшесі

Шешімі бар арифметикалық прогрессияның мысалдарын келтіруді жалғастырамыз. Алдыңғы барлық есептерде алгебралық прогрессияның бірінші саны белгілі болды. Енді басқа типтегі есепті қарастырайық: екі сан берілсін, мұнда 15 = 50 және 43 = 37. Бұл реттілік қай саннан басталатынын табу керек.

Осы уақытқа дейін қолданылған формулалар 1 және d білімін болжайды. Мәселе жағдайында бұл сандар туралы ештеңе белгілі емес. Соған қарамастан, бізде ақпарат бар әрбір термин үшін өрнектерді жазайық: a 15 = a 1 + 14 * d және a 43 = a 1 + 42 * d. 2 белгісіз шама (a 1 және d) болатын екі теңдеу алдық. Бұл есептің сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге келтірілгенін білдіреді.

Әрбір теңдеуде 1 мәнін өрнектеп, содан кейін алынған өрнектерді салыстырсаңыз, көрсетілген жүйені шешу оңайырақ. Бірінші теңдеу: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; екінші теңдеу: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Осы өрнектерді теңестіре отырып, біз аламыз: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, айырмашылығы d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (тек 3 ондық белгі берілген).

d біле отырып, 1 үшін жоғарыдағы 2 өрнектің кез келгенін пайдалануға болады. Мысалы, бірінші: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Нәтижеге күмәндансаңыз, оны тексеруге болады, мысалы, шартта көрсетілген прогрессияның 43-ші мүшесін анықтаңыз. Біз аламыз: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Кішігірім қате есептеулерде мыңнан бірге дейін дөңгелектеу қолданылғанына байланысты.

№5 мысал: қосынды

Енді арифметикалық прогрессияның қосындысының шешімдері бар мысалдарды қарастырайық.

Мына түрдегі сандық прогрессия берілсін: 1, 2, 3, 4, ...,. Осы сандардың 100-нің қосындысын қалай есептеуге болады?

Компьютерлік технологияның дамуының арқасында бұл мәселені шешуге болады, яғни адам Enter пернесін басқаннан кейін компьютер орындайтын барлық сандарды дәйекті түрде қосуға болады. Дегенмен, берілген сандар қатары алгебралық прогрессия екеніне және оның айырмасы 1 екеніне назар аударсаңыз, мәселені ойша шешуге болады. Қосындының формуласын қолданып, мынаны аламыз: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Бір қызығы, бұл мәселе «гаусс» деп аталады, өйткені 18 ғасырдың басында атақты неміс әлі 10 жасында оны санасында бірнеше секундта шеше алды. Бала алгебралық прогрессияның қосындысының формуласын білмеді, бірақ ол тізбектің шетінде орналасқан жұп сандарды қоссаңыз, әрқашан бірдей нәтиже шығатынын байқады, яғни 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., және бұл қосындылар дәл 50 (100/2) болатындықтан, дұрыс жауапты алу үшін 50-ні 101-ге көбейту жеткілікті.

№6 мысал: n-ден m-ге дейінгі мүшелердің қосындысы

Арифметикалық прогрессияның қосындысының тағы бір типтік мысалы келесідей: сандар қатары берілген: 3, 7, 11, 15, ..., оның 8-ден 14-ке дейінгі мүшелерінің қосындысы қандай болатынын табу керек.

Мәселе екі жолмен шешіледі. Олардың біріншісі 8-ден 14-ке дейінгі белгісіз мүшелерді табуды, содан кейін оларды ретімен қорытындылауды қамтиды. Терминдер аз болғандықтан, бұл әдіс жеткілікті еңбекқор емес. Осыған қарамастан, бұл мәселені екінші әдіспен шешу ұсынылады, ол әмбебап болып табылады.

Идеясы m және n мүшелері арасындағы алгебралық прогрессияның қосындысының формуласын алу, мұндағы n > m бүтін сандар. Екі жағдайда да қосынды үшін екі өрнек жазамыз:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

n > m болғандықтан, 2 қосындысына бірінші қосылатыны анық. Соңғы қорытынды мынаны білдіреді: егер осы қосындылардың айырмасын алып, оған a m мүшесін қоссақ (айырымды қабылдаған жағдайда S n қосындысынан шегеріледі), онда есептің қажетті жауабын аламыз. Бізде: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- м / 2). Бұл өрнекке a n және a m формулаларын ауыстыру қажет. Сонда мынаны аламыз: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * м - м 2 - 2) / 2.

Алынған формула біршама қиын, дегенмен S mn қосындысы тек n, m, a 1 және d-ге тәуелді. Біздің жағдайда a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Осы сандарды ауыстырсақ, мынаны аламыз: S mn = 301.

Жоғарыда келтірілген шешімдерден көрініп тұрғандай, барлық есептер n-мүше өрнекті және бірінші мүшелер жиынының қосындысының формуласын білуге ​​негізделген. Осы мәселелердің кез келгенін шешуді бастамас бұрын, шартты мұқият оқып шығып, не тапқыңыз келетінін нақты түсініп, содан кейін ғана шешімді жалғастыру ұсынылады.

Тағы бір кеңес - қарапайымдылыққа ұмтылу, яғни егер сіз күрделі математикалық есептеулерді қолданбай сұраққа жауап бере алсаңыз, дәл солай істеу керек, өйткені бұл жағдайда қате жіберу ықтималдығы аз болады. Мысалы, №6 шешімі бар арифметикалық прогрессия мысалында S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m формуласына тоқтауға болады, және жалпы тапсырманы жеке қосалқы тапсырмаларға бөлу (бұл жағдайда алдымен a n және a m терминдерін табыңыз).

Алынған нәтижеге күмәндансаңыз, келтірілген мысалдардың кейбірінде жасалғандай, оны тексеру ұсынылады. Арифметикалық прогрессияны қалай табуға болады, анықтады. Сіз оны түсінгеннен кейін, бұл соншалықты қиын емес.

Мысалы, тізбегі \(2\); \(5\); \(сегіз\); \(он бір\); \(14\)… – арифметикалық прогрессия, себебі әрбір келесі элемент алдыңғысынан үшке ерекшеленеді (алдыңғыдан үш қосу арқылы алуға болады):

Бұл прогрессияда \(d\) айырмасы оң болады (\(3\) тең), сондықтан әрбір келесі мүше алдыңғысынан үлкен. Мұндай прогрессиялар деп аталады ұлғайту.

Дегенмен, \(d\) теріс сан да болуы мүмкін. Мысалға, арифметикалық прогрессияда \(16\); \(он\); \(төрт\); \(-2\); \(-8\)… прогрессияның айырмасы \(d\) минус алтыға тең.

Және бұл жағдайда әрбір келесі элемент алдыңғысынан аз болады. Бұл прогрессиялар деп аталады төмендеу.

Арифметикалық прогрессияның жазылуы

Прогрессия шағын латын әрпімен белгіленеді.

Прогрессияны құрайтын сандар деп аталады мүшелері(немесе элементтер).

Олар арифметикалық прогрессиямен бірдей әріппен, бірақ реті бойынша элемент нөміріне тең сандық индекспен белгіленеді.

Мысалы, арифметикалық прогрессия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) элементтерінен тұрады; \(a_2=5\); \(a_3=8\) және т.б.

Басқаша айтқанда, прогрессия үшін \(a_n = \сол\(2; 5; 8; 11; 14…\оң\)\)

Арифметикалық прогрессияға есептер шығару

Негізінде, жоғарыда аталған ақпарат арифметикалық прогрессия бойынша кез келген дерлік есепті шешу үшін жеткілікті (оның ішінде OGE-де ұсынылғандар).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия \(b_1=7; d=4\) шарттарымен берілген. \(b_5\) табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(b_5=23\)

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессияның алғашқы үш мүшесі берілген: \(62; 49; 36...\) Осы прогрессияның бірінші теріс мүшесінің мәнін табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(-3\)

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессияның бірнеше ретті элементтері берілген: \(...5; x; 10; 12,5...\) \(x\) әрпімен белгіленген элементтің мәнін табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(7,5\).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия келесі шарттармен беріледі: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Осы прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(S_6=9\).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессияда \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Осы прогрессияның айырмашылығын табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(d=7\).

Маңызды арифметикалық прогресс формулалары

Көріп отырғаныңыздай, арифметикалық прогрессияның көптеген мәселелерін негізгі нәрсені түсіну арқылы шешуге болады - арифметикалық прогрессия сандар тізбегі және осы тізбектің әрбір келесі элементі алдыңғыға бірдей санды қосу арқылы алынады (айырмашылық). прогрессияның).

Дегенмен, кейде «маңдайда» шешуге өте ыңғайсыз жағдайлар бар. Мысалы, ең бірінші мысалда бесінші элементті \(b_5\) емес, үш жүз сексен алтыншы \(b_(386)\) табу керек деп елестетіңіз. Бұл не, біз \ (385 \) есе төрт қосу керек пе? Немесе соңғы мысалда бірінші жетпіс үш элементтің қосындысын табу керек деп елестетіңіз. Санау шатастырады...

Сондықтан мұндай жағдайларда олар «маңдайда» шешпейді, бірақ арифметикалық прогрессия үшін алынған арнайы формулаларды пайдаланады. Ал негізгілері прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы және бірінші мүшелерінің \(n\) қосындысының формуласы.

\(n\)-ші мүшенің формуласы: \(a_n=a_1+(n-1)d\), мұндағы \(a_1\) прогрессияның бірінші мүшесі;
\(n\) – қажетті элементтің саны;
\(a_n\) - \(n\) саны бар прогрессияның мүшесі.

Бұл формула бірінші мен прогрессияның айырмашылығын біле отырып, кем дегенде үш жүздік, тіпті миллионыншы элементті жылдам табуға мүмкіндік береді.

Мысал. Арифметикалық прогрессия мына шарттармен беріледі: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(b_(246)=1850\).

Бірінші n мүшесінің қосындысының формуласы: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), мұндағы

\(a_n\) - соңғы қосынды мүшесі;

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия \(a_n=3,4n-0,6\) шарттарымен берілген. Осы прогрессияның бірінші \(25\) мүшелерінің қосындысын табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(S_(25)=1090\).

Бірінші мүшелердің \(n\) қосындысы үшін басқа формуланы алуға болады: тек \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) орнына оның формуласын \(a_n=a_1+(n-1)d\) ауыстырыңыз. Біз алып жатырмыз:

Бірінші n мүшесінің қосындысының формуласы: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), мұндағы

\(S_n\) – бірінші элементтердің қажетті қосындысы \(n\);
\(a_1\) - қосылатын бірінші мүше;
\(d\) – прогрессияның айырмашылығы;
\(n\) - қосындыдағы элементтер саны.

Мысал. Арифметикалық прогрессияның бірінші \(33\)-ex мүшелерінің қосындысын табыңыз: \(17\); \(15,5\); \(он төрт\)…
Шешімі:

Жауап: \(S_(33)=-231\).

Күрделі арифметикалық прогрессия есептері

Енді сізде кез келген дерлік арифметикалық прогрессия мәселесін шешуге қажетті барлық ақпарат бар. Формулаларды қолданып қана қоймай, аздап ойлану қажет болатын есептерді қарастыру арқылы тақырыпты аяқтаймыз (математикада бұл пайдалы болуы мүмкін ☺)

Мысал (OGE). Прогрессияның барлық теріс мүшелерінің қосындысын табыңыз: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Шешімі:

Жауап: \(S_(65)=-630,5\).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия мына шарттармен беріледі: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-ші элементтен \(42\) элементке дейінгі қосындыны табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(S=1683\).

Арифметикалық прогрессия үшін практикалық пайдалылығы төмен болғандықтан осы мақалада қарастырмаған тағы бірнеше формулалар бар. Дегенмен, сіз оларды оңай таба аласыз.

Ендеше орнымызға отырып, сандарды жазуды бастайық. Мысалға:
Сіз кез келген сандарды жаза аласыз және қалағаныңызша көп болуы мүмкін (біздің жағдайда олар). Қанша сандарды жазсақ та, олардың қайсысы бірінші, қайсысы екінші екенін және т.б. соңғысына дейін айта аламыз, яғни нөмірлей аламыз. Бұл сандар тізбегінің мысалы:

Сандық реттілік
Мысалы, біздің реттілік үшін:

Тағайындалған нөмір тек бір реттік нөмірге тән. Басқаша айтқанда, тізбекте үш секундтық сан жоқ. Екінші сан (-ші сан сияқты) әрқашан бірдей.
саны бар сан қатардың --ші мүшесі деп аталады.

Біз әдетте бүкіл тізбекті қандай да бір әріп деп атаймыз (мысалы,), және бұл тізбектің әрбір мүшесі – осы мүшенің санына тең индексі бар бірдей әріп: .

Біздің жағдайда:

Көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандық тізбек бар делік.
Мысалға:

және т.б.
Мұндай сандық тізбек арифметикалық прогрессия деп аталады.
«Прогрессия» терминін Рим авторы Боэций 6 ғасырда-ақ енгізген және кең мағынада шексіз сандық тізбек ретінде түсінілген. «Арифметика» атауы ежелгі гректер айналысқан үздіксіз пропорциялар теориясынан көшірілді.

Бұл сандық тізбек, оның әрбір мүшесі алдыңғысына тең, сол санмен қосылады. Бұл сан арифметикалық прогрессияның айырымы деп аталады және белгіленеді.

Қандай сандар тізбегі арифметикалық прогрессия, қайсысы емес екенін анықтауға тырысыңыз:

а)
б)
в)
г)

Түсіндім? Біздің жауаптарымызды салыстырыңыз:
Бұларифметикалық прогрессия – b, c.
Емесарифметикалық прогрессия – a, d.

Берілген прогрессияға () оралайық және оның ші мүшесінің мәнін табуға тырысайық. Бар екіоны табу жолы.

1. Әдіс

Прогрессия санының алдыңғы мәніне прогрессияның үшінші мүшесіне жеткенше қосуға болады. Бізде қорытындылайтын көп нәрсе жоқ - тек үш мән:

Сонымен, сипатталған арифметикалық прогрессияның --ші мүшесі тең.

2. Әдіс

Прогрессияның үшінші мүшесінің мәнін табу керек болса ше? Қорытындылау бізге бір сағаттан астам уақытты алатын еді және сандарды қосқанда қателеспегеніміз шындық емес.
Әрине, математиктер алдыңғы мәнге арифметикалық прогрессияның айырмасын қосудың қажеті жоқ әдісті ойлап тапты. Салынған суретке мұқият қараңыз ... Сіз белгілі бір үлгіні байқадыңыз, атап айтқанда:

Мысалы, осы арифметикалық прогрессияның --ші мүшесінің мәні неден тұратынын көрейік:


Басқа сөздермен айтқанда:

Осы арифметикалық прогрессияның мүшесінің мәнін осылайша өз бетінше табуға тырысыңыз.

Есептелген бе? Жазбаларыңызды жауаппен салыстырыңыз:

Назар аударыңыз, біз алдыңғы мәнге арифметикалық прогрессияның мүшелерін дәйекті түрде қосқанда, алдыңғы әдістегідей санды алдыңыз.
Бұл формуланы «жеке тұлғасыздандыруға» тырысайық - біз оны жалпы формаға келтіреміз және аламыз:

Арифметикалық прогрессиялар өседі немесе кемиді.

Көбеюде- терминдердің әрбір келесі мәні алдыңғысынан үлкен болатын прогрессиялар.
Мысалға:

Төмендеу- терминдердің әрбір келесі мәні алдыңғысынан кіші болатын прогрессиялар.
Мысалға:

Туынды формула арифметикалық прогрессияның өсу және кему мүшелерінің мүшелерін есептеуде қолданылады.
Оны тәжірибе жүзінде тексеріп көрейік.
Бізге келесі сандардан тұратын арифметикалық прогрессия берілген:

Сол уақыттан бері:

Осылайша, формуланың арифметикалық прогрессияның кемуінде де, артуында да жұмыс істейтініне көз жеткіздік.
Осы арифметикалық прогрессияның - ші және - ші мүшелерін өзіңіз тауып көріңіз.

Нәтижелерді салыстырайық:

Арифметикалық прогрессияның қасиеті

Тапсырманы күрделендірейік – арифметикалық прогрессияның қасиетін шығарамыз.
Бізге келесі шарт берілді делік:
- арифметикалық прогрессия, мәнін табу.
Оңай дейсіз де, өзіңіз білетін формула бойынша санауды бастаңыз:

а болсын, онда:

Өте дұрыс. Алдымен табамыз, сосын бірінші санға қосып, іздегенімізді аламыз. Егер прогрессия шағын мәндермен ұсынылса, онда бұл туралы күрделі ештеңе жоқ, бірақ шартта бізге сандар берілсе ше? Келісіңіз, есептеулерде қателіктер жіберу мүмкіндігі бар.
Енді ойланыңыз, бұл мәселені кез келген формула арқылы бір қадаммен шешуге бола ма? Әрине, иә, және біз оны қазір шығаруға тырысамыз.

Арифметикалық прогрессияның қажетті мүшесін былай деп белгілейік, біз оны табу формуласын білеміз - бұл біз басында шығарған формула:
, содан кейін:

• прогрессияның алдыңғы мүшесі:
• прогрессияның келесі шарты:

Прогрессияның алдыңғы және келесі мүшелерін қосайық:

Прогрессияның алдыңғы және кейінгі мүшелерінің қосындысы олардың арасында орналасқан прогрессия мүшесінің мәнінен екі есе көп болады екен. Басқаша айтқанда, белгілі алдыңғы және тізбекті мәндері бар прогрессивті мүшенің мәнін табу үшін оларды қосып, бөлу керек.

Дұрыс, бізде бірдей нөмір бар. Материалды түзетейік. Прогрессияның мәнін өзіңіз есептеңіз, өйткені бұл мүлдем қиын емес.

Жарайсың! Сіз прогресс туралы барлығын дерлік білесіз! Аңыз бойынша, барлық уақыттағы ең ұлы математиктердің бірі, «математиктердің патшасы» - Карл Гаусс өзі үшін оңай шығарылған бір ғана формуланы табу керек ...

Карл Гаусс 9 жаста болғанда, басқа сынып оқушыларының жұмысын тексерумен айналысқан мұғалім сабақта келесі тапсырманы қойды: «Барлық натурал сандардың қосындысын (басқа дереккөздер бойынша) қоса есептеңіз. " Бір минуттан кейін оның шәкірттерінің бірі (бұл Карл Гаусс) тапсырмаға дұрыс жауап бергенде, мұғалімнің таңданысы неде болды, ал батыл сыныптастарының көпшілігі ұзақ есептеулерден кейін қате нәтиже алды ...

Жас Карл Гаусс сіз оңай байқайтын үлгіні байқады.
Бізде -ti мүшелерінен тұратын арифметикалық прогрессия бар делік: Арифметикалық прогрессияның берілген мүшелерінің қосындысын табу керек. Әрине, біз барлық мәндерді қолмен қоса аламыз, бірақ егер Гаусс іздеген тапсырмада оның шарттарының қосындысын табу керек болса ше?

Бізге берілген прогрессті бейнелеп көрейік. Ерекшеленген сандарға мұқият қарап, олармен әртүрлі математикалық амалдарды орындауға тырысыңыз.


Көрдіңіз бе? Не байқадыңыз? Дұрыс! Олардың қосындылары тең

Енді жауап беріңізші, бізге берілген прогрессияда осындай неше жұп болады? Әрине, барлық сандардың дәл жартысы, яғни.
Арифметикалық прогрессияның екі мүшесінің қосындысы тең және ұқсас жұптардың қосындысы тең екендігіне сүйене отырып, жалпы қосындының мынаған тең екенін аламыз:
.
Сонымен, кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысының формуласы:

Кейбір есептерде біз 3-ші мүшесін білмейміз, бірақ прогрессияның айырмашылығын білеміз. Қосынды формуласында ші мүшенің формуласын қойып көріңіз.
Сіз не алдыңыз?

Жарайсың! Енді Карл Гауссқа берілген есепке қайта оралайық: -ыншыдан басталатын сандардың қосындысы, ал -іншіден басталатын сандардың қосындысы қандай болатынын өзіңіз есептеңіз.

Қанша алдың?
Гаусс мүшелерінің қосындысы тең, ал мүшелерінің қосындысы тең болатынын анықтады. Сіз осылай шештіңіз бе?

Шындығында, арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысының формуласын сонау 3 ғасырда ежелгі грек ғалымы Диофант дәлелдеген және осы уақыт бойы тапқыр адамдар арифметикалық прогрессияның қасиеттерін күшті және негізгі арқылы қолданды.
Мысалы, Ежелгі Египетті және сол кездегі ең үлкен құрылыс алаңын елестетіңіз - пирамиданың құрылысы ... Суретте оның бір жағы көрсетілген.

Бұл жерде прогресс қайда дейсіз бе? Мұқият қарап, пирамида қабырғасының әр жолындағы құмды блоктар санының үлгісін табыңыз.


Неліктен арифметикалық прогрессия емес? Негізге блокты кірпіш қойылса, бір қабырғаны салу үшін қанша блок қажет екенін есептеңіз. Саусағыңызды монитор арқылы жылжыту арқылы санамайсыз деп үміттенемін, соңғы формуланы және арифметикалық прогрессия туралы айтқанымыздың бәрі есіңізде ме?

Бұл жағдайда прогресс келесідей болады:
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің саны.
Соңғы формулаларға деректерімізді ауыстырайық (блоктардың санын 2 тәсілмен санаймыз).

1-әдіс.

2-әдіс.

Енді сіз мониторда есептей аласыз: алынған мәндерді біздің пирамидадағы блоктар санымен салыстырыңыз. Келісті ме? Жарайсыңдар, сендер арифметикалық прогрессияның ші мүшелерінің қосындысын меңгердіңдер.
Әрине, сіз базадағы блоктардан пирамида сала алмайсыз, бірақ неден? Осы шартпен қабырғаны салу үшін қанша құм кірпіш қажет екенін есептеп көріңіз.
Сіз басқардыңыз ба?
Дұрыс жауап блоктар:

Машықтану

Тапсырмалар:

1. Маша жазға дайындалып жатыр. Күн сайын ол скват санын көбейтеді. Маша бірінші жаттығуда еңкейсе, апта ішінде қанша рет еңкейеді.
2. Құрамындағы барлық тақ сандардың қосындысы неге тең.
3. Бөренелерді сақтау кезінде ағаш өңдеушілер оларды әрбір үстіңгі қабат алдыңғыға қарағанда бір бөренеден аз болатындай етіп жинайды. Бір кірпіште қанша бөрене бар, егер тастың негізі бөренелер болса.

Жауаптары:

1. Арифметикалық прогрессияның параметрлерін анықтайық. Бұл жағдайда
   (апта = күн).

   Жауап:Екі аптадан кейін Маша күніне бір рет шөгу керек.

2. Бірінші тақ сан, соңғы сан.
   Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
   - жартысындағы тақ сандар саны, дегенмен бұл фактіні арифметикалық прогрессияның -ші мүшесін табу формуласы арқылы тексеріңіз:

   Сандарда тақ сандар бар.
   Қолда бар деректерді формулаға ауыстырамыз:

   Жауап:Құрамындағы барлық тақ сандардың қосындысы тең.

3. Пирамидалар туралы есепті еске түсіріңіз. Біздің жағдайда, a , әрбір жоғарғы қабат бір журналға азайғандықтан, тек қабаттар шоғыры бар, яғни.
   Формуладағы деректерді ауыстырыңыз:

   Жауап:Кірпіште бөренелер бар.

Жинақтау

1. - көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандық тізбек. Ол көбейіп, азайып келеді.
2. Формула табуАрифметикалық прогрессияның ші мүшесі - формуласымен жазылады, мұндағы прогрессиядағы сандар саны.
3. Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қасиеті- - мұндағы - прогрессиядағы сандар саны.
4. Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысыекі жолмен табуға болады:
   
   , мұндағы – мәндер саны.

АРИФМЕТИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ. ОРТАША ДЕҢГЕЙ

Сандық реттілік

Орнымызға отырып, сандарды жазуды бастайық. Мысалға:

Сіз кез келген сандарды жаза аласыз және қалағаныңызша көп болуы мүмкін. Бірақ сіз әрқашан олардың қайсысы бірінші, қайсысы екінші және т.б. айта аласыз, яғни біз оларды нөмірлей аламыз. Бұл сандар тізбегінің мысалы.

Сандық реттілік— әрқайсысына бірегей нөмір берілуі мүмкін сандар жиыны.

Басқаша айтқанда, әрбір санды белгілі бір натурал санмен байланыстыруға болады және тек бір. Және біз бұл нөмірді осы жиынтықтағы басқа нөмірге бермейміз.

саны бар сан қатардың --ші мүшесі деп аталады.

Біз әдетте бүкіл тізбекті қандай да бір әріп деп атаймыз (мысалы,), және бұл тізбектің әрбір мүшесі – осы мүшенің санына тең индексі бар бірдей әріп: .

Тізбектің --ші мүшесі қандай да бір формуламен берілуі мүмкін болса, бұл өте ыңғайлы. Мысалы, формула

ретін орнатады:

Ал формула келесі реттілік:

Мысалы, арифметикалық прогрессия – тізбек (мұндағы бірінші мүше тең, ал айырма). Немесе (, айырмашылық).

n-ші мүше формуласы

Біз қайталанатын формула деп атаймыз, онда --ші мүшесін білу үшін алдыңғы немесе бірнеше алдыңғыларды білу қажет:

Мысалы, осындай формуланы пайдаланып прогрессияның ші мүшесін табу үшін алдыңғы тоғызды есептеу керек. Мысалы, рұқсат етіңіз. Содан кейін:

Ал, енді формула қандай екені түсінікті болды ма?

Әрбір жолда біз кейбір санға көбейтеміз. Не үшін? Өте қарапайым: бұл ағымдағы мүшенің саны минус:

Қазір әлдеқайда ыңғайлы, солай ма? Біз тексереміз:

Өзіңіз шешіңіз:

Арифметикалық прогрессияда n-ші мүшесінің формуласын тауып, жүзінші мүшесін табыңыз.

Шешімі:

Бірінші мүше тең. Ал айырмашылығы неде? Міне, мыналар:

(әйтеуір, ол прогрессияның тізбектелген мүшелерінің айырмасына тең болғандықтан айырма деп аталады).

Сонымен формула:

Сонда жүзінші мүше:

-ден бастап барлық натурал сандардың қосындысы неге тең?

Аңыз бойынша, ұлы математик Карл Гаусс 9 жасар бала бола отырып, бұл соманы бірнеше минутта есептеп шығарған. Ол бірінші және соңғы санның қосындысы тең, екінші мен соңғы санның қосындысы бірдей, соңынан үшінші мен үшінші санның қосындысы бірдей және т.б. Осындай неше жұп бар? Бұл дұрыс, барлық сандар санының дәл жартысы, яғни. Сонымен,

Кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысының жалпы формуласы:

Мысалы:
Барлық екі таңбалы көбейткіштердің қосындысын табыңыз.

Шешімі:

Мұндай бірінші сан мынау. Әрбір келесі санды алдыңғыға қосу арқылы алынады. Осылайша, бізді қызықтыратын сандар бірінші мүшесі мен айырмасы бар арифметикалық прогрессияны құрайды.

Бұл прогрессияның ші мүшесінің формуласы:

Прогрессияда неше мүше бар, егер олардың барлығы екі таңбалы болуы керек?

Өте жеңіл: .

Прогрессияның соңғы мүшесі тең болады. Сонда қосынды:

Жауап: .

Енді өзіңіз шешіңіз:

1. Күн сайын спортшы алдыңғы күннен 1 метрге артық жүгіреді. Бірінші күні км м жүгірсе, ол аптада неше км жүгіреді?
2. Велосипедші күн сайын алдыңғысына қарағанда көбірек миль жүреді. Бірінші күні ол км жол жүрді. Бір километрді бағындыру үшін ол неше күн жүру керек? Жолдың соңғы күнінде ол неше километр жол жүреді?
3. Дүкендегі тоңазытқыштың бағасы жыл сайын осыншама төмендейді. Егер тоңазытқыш рубльге сатылса, алты жылдан кейін рубльге сатылса, оның бағасы жыл сайын қаншаға төмендегенін анықтаңыз.

Жауаптары:

1. Бұл жерде ең бастысы арифметикалық прогрессияны тану және оның параметрлерін анықтау. Бұл жағдайда, (апта = күн). Осы прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысын анықтау керек:
   .
   Жауап:
2. Мұнда берілген:, табу керек.
   Әлбетте, алдыңғы мәселедегідей қосынды формуласын пайдалану керек:
   .
   Мәндерді ауыстырыңыз:

   Түбір сәйкес келмейтіні анық, сондықтан жауап.
   --ші мүшесінің формуласы арқылы соңғы тәулікте жүріп өткен жолды есептейік:
   (км).
   Жауап:

3. Берілген: . Табу: .
   Бұл оңай емес:
   (сүрту).
   Жауап:

АРИФМЕТИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ. НЕГІЗГІ ТУРАЛЫ ҚЫСҚА

Бұл көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандық тізбек.

Арифметикалық прогрессия өсуде () және кемуде ().

Мысалға:

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесін табу формуласы

формула түрінде жазылады, мұндағы прогрессиядағы сандар саны.

Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қасиеті

Бұл прогрессияның мүшесін табуды жеңілдетеді, егер оның көрші мүшелері белгілі болса - прогрессиядағы сандар саны қайда.

Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы

Қосындыны табудың екі жолы бар:

Мәндердің саны қайда.

Мәндердің саны қайда.

ҚАЛҒАН 2/3 МАҚАЛАЛАР ТЕК СІЗДЕРДІҢ КӨЛЕМДІ СТУДЕНТТЕРІҢІЗГЕ ҚОЛЖЕТІМДІ!

YouClever студенті болыңыз,

«Айына бір кесе кофе» бағасымен OGE немесе USE-ге дайындалыңыз,

Сондай-ақ, «YouClever» оқулығына, «100gia» оқу бағдарламасына (шешімдер кітабы), шексіз USE және OGE сынақ нұсқасына, шешімдерді талдауы бар 6000 тапсырмаға және басқа YouClever және 100gia қызметтеріне шексіз қол жеткізіңіз.

Сабақтың түрі:жаңа материалды меңгерту.

Сабақтың мақсаттары:

• оқушылардың арифметикалық прогрессияның көмегімен шығарылатын есептер туралы түсініктерін кеңейту және тереңдету; арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын шығару кезінде оқушылардың іздену әрекетін ұйымдастыру;
• жаңа білімді өз бетінше алу, алған білімдерін мақсатқа жету үшін пайдалану дағдыларын дамыту;
• алынған фактілерді жалпылауға ұмтылыс пен қажеттілікті дамыту, дербестікті дамыту.

Тапсырмалар:

• «Арифметикалық прогрессия» тақырыбы бойынша алған білімдерін жалпылау және жүйелеу;
• арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын есептеу формулаларын шығару;
• алынған формулаларды әртүрлі есептерді шығаруда қолдануды үйрету;
• оқушылардың назарын сандық өрнектің мәнін табу тәртібіне аудару.

Жабдық:

• топтық және жұптық жұмысқа арналған тапсырмалары бар карточкалар;
• бағалау парағы;
• презентация«Арифметикалық прогрессия».

I. Негізгі білімді өзектендіру.

1. Жұптық жұмыс.

1-ші нұсқа:

Арифметикалық прогрессияның анықтамасын беріңіз. Арифметикалық прогрессияны анықтайтын рекурсивті формуланы жазыңыз. Арифметикалық прогрессияға мысал келтір және оның айырмашылығын көрсет.

2-ші нұсқа:

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын жаз. Арифметикалық прогрессияның 100-ші мүшесін табыңыз ( а н}: 2, 5, 8 …
Осы кезде тақтаның артында екі оқушы бірдей сұрақтарға жауап дайындап жатыр.
Оқушылар серіктестің жұмысын тақтамен салыстыра отырып бағалайды. (Жауаптары жазылған парақшалар беріледі).

2. Ойын сәті.

1-жаттығу.

Мұғалім.Мен кейбір арифметикалық прогрессияны ойлап таптым. Жауаптардан кейін осы прогрессияның 7-ші мүшесін тез атау үшін маған екі сұрақ қойыңыз. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Оқушылардың сұрақтары.

1. Прогрессияның алтыншы мүшесі қандай және айырмашылығы неде?
2. Прогрессияның сегізінші мүшесі қандай және айырмашылығы неде?

Егер басқа сұрақтар болмаса, мұғалім оларды ынталандыра алады - d (айырмашылық) бойынша «тыйым», яғни айырмашылық неде екенін сұрауға болмайды. Сұрақтар қоюға болады: прогрессияның 6 мүшесі және прогрессияның 8-ші мүшесі қандай?

2-тапсырма.

Тақтада 20 сан жазылған: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Мұғалім тақтаға арқасын тіреп тұрады. Оқушылар нөмірдің нөмірін айтады, ал мұғалім бірден нөмірдің өзіне телефон соғады. Мұны қалай жасауға болатынын түсіндіріңізші?

Мұғалім n-ші мүшесінің формуласын есіне түсіреді a n \u003d 3n - 2және берілген n мәндерін қойып, сәйкес мәндерді табады а п.

II. Тәрбиелік тапсырманың мәлімдемесі.

Мысыр папирустарынан табылған біздің заманымызға дейінгі 2-мыңжылдыққа жататын ескі мәселені шешуді ұсынамын.

Тапсырма:«Саған айтайын: 10 өлшеп арпаны 10 адамға бөл, әр адам мен көршісінің арасындағы айырмашылық өлшемнің 1/8 бөлігін құрайды».

• Бұл есептің арифметикалық прогрессия тақырыбына қандай қатысы бар? (Келесі әрбір адам өлшемнің 1/8 бөлігін көбірек алады, сондықтан айырмашылық d=1/8, 10 адам, демек n=10.)
• 10 саны нені білдіреді деп ойлайсыңдар? (Прогрессияның барлық мүшелерінің қосындысы.)
• Арпаны мәселенің жағдайына қарай бөлуді жеңіл және қарапайым ету үшін тағы не білу керек? (Прогрессияның бірінші мүшесі.)

Сабақтың мақсаты- прогрессияның мүшелерінің қосындысының олардың санына, бірінші мүшесіне және айырмасына тәуелділігін алу және ерте заманда есептің дұрыс шығарылғанын тексеру.

Формуланы шығармас бұрын, ежелгі мысырлықтар мәселені қалай шешкенін көрейік.

Және олар мұны былай шешті:

1) 10 өлшем: 10 = 1 өлшем – орташа үлес;
2) 1 өлшем ∙ = 2 өлшем – екі еселенген орташабөлісу.
еселенген орташаүлес 5-ші және 6-шы тұлғаның акцияларының сомасы болып табылады.
3) 2 өлшем - 1/8 өлшем = 1 7/8 өлшем - бесінші тұлғаның екі есе үлесі.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - бесіншінің үлесі; және т.б., әрбір алдыңғы және кейінгі адамның үлесін табуға болады.

Біз тізбекті аламыз:

III. Тапсырманың шешімі.

1. Топпен жұмыс

1-топ:Тізбектелген 20 натурал санның қосындысын табыңыз: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Жалпы алғанда

ІІ топ: 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын табыңыз (Кішкентай Гаусс туралы аңыз).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Қорытынды:

ІІІ топ: 1-ден 21-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын табыңыз.

Шешуі: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Қорытынды:

IV топ: 1-ден 101-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын табыңыз.

Қорытынды:

Қарастырылған есептерді шешудің бұл әдісі «Гаусс әдісі» деп аталады.

2. Әр топ есептің шешімін тақтада көрсетеді.

3. Ерікті арифметикалық прогрессияның ұсынылған шешімдерін жалпылау:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Біз бұл соманы ұқсас дәлелдеу арқылы табамыз:

4. Біз тапсырманы шештік пе?(Иә.)

IV. Алынған формулаларды бірінші рет түсіну және есептер шығаруда қолдану.

1. Ескі есептің шешімін формула бойынша тексеру.

2. Әртүрлі есептерді шығаруда формуланы қолдану.

3. Формуланы есептер шығаруда қолдана білуді қалыптастыруға арналған жаттығулар.

A) № 613

Берілген :( және n) -арифметикалық прогрессия;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Табу: S 1500

Шешімі: , және 1 = 1 және 1500 = 1500,

B) Берілген: ( және n) -арифметикалық прогрессия;
(және n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Табу: n
Шешімі:

V. Өзара тексере отырып, өздік жұмыс.

Денис курьер болып жұмысқа кетті. Бірінші айда оның жалақысы 200 рубль болса, келесі айда ол 30 рубльге өсті. Ол бір жылда қанша табыс тапты?

Берілген :( және n) -арифметикалық прогрессия;
a 1 = 200, d=30, n=12
Табу: S 12
Шешімі:

Жауап: Денис бір жыл ішінде 4380 рубль алды.

VI. Үйге тапсырма беру.

1. 4.3 б – формуланың туындысын меңгеру.
2. №№ 585, 623 .
3. Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын пайдаланып шешілетін есепті құрастырыңыз.

VII. Сабақты қорытындылау.

1. Бағалау парағы

2. Сөйлемдерді жалғастыр

• Бүгін сабақта мен білдім...
• Үйренген формулалар...
• Менің ойымша, бұл…

3. 1-ден 500-ге дейінгі сандардың қосындысын таба аласыз ба? Бұл мәселені шешу үшін қандай әдісті қолданасыз?

Әдебиеттер тізімі.

1. Алгебра, 9 сынып. Оқу орындарына арналған оқулық. Ред. Г.В. Дорофеева.Мәскеу: Ағарту, 2009 ж.