Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу әдісі. Көпмүшені көбейткіштерге бөлу Квадрат көпмүшені көбейткіштерге бөлу

Оның шаршысы бар және ол үш мүшеден тұрады (). Осылайша шығады - төртбұрышты үш мүше.

Мысалдар емесшаршы үшмүшелер:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - текше төрттік
\(2x+1\) - сызықтық бином

Квадрат үшмүшесінің түбірі:

Мысалы:
\(x^2-2x+1\) үшмүшесінің \(1\) түбірі бар, себебі \(1^2-2 1+1=0\)
\(x^2+2x-3\) үшмүшесінің \(1\) және \(-3\) түбірлері бар, себебі \(1^2+2-3=0\) және \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

Мысалға:квадрат үшмүшесінің түбірлерін табу керек болса \(x^2-2x+1\), оны нөлге теңеп, \(x^2-2x+1=0\) теңдеуін шешеміз.

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

Дайын. Түбір - \(1\).

Квадрат үшмүшенің ыдырауы:

\(ax^2+bx+c\) квадрат үшмүшені \(a(x-x_1)(x-x_2)\) ретінде кеңейтілуі мүмкін, егер \(ax^2+bx+c=0\) теңдеулері нөлден үлкен \ (x_1\) және \(x_2\) бірдей теңдеудің түбірі).

Мысалға, үшмүшені \(3x^2+13x-10\) қарастырайық.
\(3x^2+13x-10=0\) квадрат теңдеуінің дискриминанты 289-ға тең (нөлден үлкен), ал түбірлері \(-5\) және \(\frac(2)(3) тең. )\). Сонымен \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Бұл тұжырымның дұрыстығын тексеру оңай - егер біз , онда бастапқы үш мүшені аламыз.

\(ax^2+bx+c\) квадрат үшмүшені \(a(x-x_1)^2\) түрінде ұсынылуы мүмкін, егер \(ax^2+bx+c=0\) теңдеуінің дискриминанты нөлге тең.

\(ax^2+bx+c\) квадрат үшмүшесі \(ax^2+bx+c=0\) теңдеуінің дискриминанты нөлден кіші болса, көбейткіштерге жіктелмейді.

Мысалға, \(x^2+x+4\) және \(-5x^2+2x-1\) үшмүшелерінің дискриминанты нөлден аз болады. Сондықтан оларды факторларға бөлу мүмкін емес.

Мысал . Фактор \(2x^2-11x+12\).
Шешім :
\(2x^2-11x+12=0\) квадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз.

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

Сонымен \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Жауап : \(2(x-1,5)(x-4)\)

Алынған жауап басқаша жазылуы мүмкін: \((2x-3)(x-4)\).

Мысал . (ОГЕ-дан тапсырма)Квадрат үшмүше көбейткіштерге бөлінеді \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). \(a\) табыңыз.
Шешімі:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Жауап : \(-1,6\)

Бұл сабақта біз шаршы үшмүшелерді сызықтық көбейткіштерге ыдыратуды үйренеміз. Ол үшін Виетаның теоремасын және оның кері теоремасын еске түсіру керек. Бұл дағды квадрат үшмүшелерін сызықтық көбейткіштерге тез және ыңғайлы түрде ыдыратуға көмектеседі, сонымен қатар өрнектерден тұратын бөлшектерді азайтуды жеңілдетеді.

Сонымен, квадрат теңдеуге оралайық, мұндағы.

Бізде сол жақта орналасқан нәрсе шаршы үшмүше деп аталады.

Теорема дұрыс:Егер квадрат үшмүшенің түбірлері болса, сәйкестік ақиқат болады

Мұндағы жетекші коэффициент, теңдеудің түбірлері.

Сонымен, бізде квадрат теңдеу – квадрат үшмүше бар, мұнда квадрат теңдеудің түбірлері квадрат үшмүшенің түбірлері деп те аталады. Демек, егер бізде шаршы үшмүшенің түбірлері болса, онда бұл үшмүше сызықтық көбейткіштерге ыдырайды.

Дәлелдеу:

Бұл фактіні дәлелдеу алдыңғы сабақтарда қарастырған Виета теоремасы арқылы жүзеге асырылады.

Виетаның теоремасы бізге не айтқанын еске түсірейік:

Егер квадрат үшмүшесінің түбірлері болса, онда .

Бұл теорема келесі бекітуді білдіреді.

Виета теоремасы бойынша, яғни жоғарыдағы формулаға осы мәндерді ауыстырсақ, келесі өрнекті аламыз.

Q.E.D.

Еске салайық, егер квадрат үшмүшенің түбірлері болса, онда ыдырау дұрыс болады деген теореманы дәлелдедік.

Енді Виет теоремасы арқылы түбірлерін таңдаған квадрат теңдеудің мысалын еске түсірейік. Осы фактіден дәлелденген теорема арқасында келесі теңдік алуға болады:

Енді жақшаларды жай ғана кеңейту арқылы бұл фактінің дұрыстығын тексерейік:

Біз дұрыс бөлгенімізді көреміз және кез келген үшмүшені, егер оның түбірі болса, осы теорема бойынша формула бойынша сызықтық көбейткіштерге көбейтуге болады.

Дегенмен, кез келген теңдеу үшін мұндай көбейткіштерге бөлу мүмкіндігі бар-жоғын тексерейік:

Мысалы, теңдеуді алайық. Алдымен дискриминанттың белгісін тексерейік

Және біз үйренген теореманы орындау үшін D 0-ден үлкен болуы керек екенін есте ұстаймыз, сондықтан бұл жағдайда зерттелген теорема бойынша факторинг мүмкін емес.

Сондықтан біз жаңа теореманы тұжырымдаймыз: егер шаршы үшмүшенің түбірі болмаса, онда оны сызықтық көбейткіштерге ыдыратуға болмайды.

Сонымен, Виетаның теоремасын, квадрат үшмүшені сызықтық көбейткіштерге ыдырату мүмкіндігін қарастырдық, енді бірнеше есептерді шығарамыз.

№1 тапсырма

Бұл топта біз қойылған мәселеге керісінше мәселені шешеміз. Бізде теңдеу болды және біз көбейткіштерге ыдырай отырып, оның түбірін таптық. Мұнда біз керісінше жасаймыз. Квадрат теңдеудің түбірі бар делік

Кері есеп мынада: квадрат теңдеуді оның түбірі болатындай етіп жаз.

Бұл мәселені шешудің 2 жолы бар.

Теңдеудің түбірлері болғандықтан түбірлері сандар берілген квадрат теңдеу болып табылады. Енді жақшаларды ашып, тексерейік:

Бұл басқа түбірлері жоқ берілген түбірлері бар квадрат теңдеуді құрудың бірінші жолы болды, өйткені кез келген квадрат теңдеудің ең көбі екі түбірі болады.

Бұл әдіс кері Виета теоремасын қолдануды қамтиды.

Егер теңдеудің түбірлері болса, онда олар шартты қанағаттандырады.

Келтірілген квадрат теңдеу үшін , , яғни бұл жағдайда және .

Осылайша, біз берілген түбірлері бар квадрат теңдеуді құрдық.

№2 тапсырма

Бөлшекті азайту керек.

Бізде бөлгіште үшмүше бар, ал бөлгіште үшмүше бар, ал үшмүшелер көбейткіштерге жіктелуі де мүмкін. Егер алым да, бөлгіш те көбейткіштерге жіктелсе, онда олардың арасында азайтылатын бірдей көбейткіштер болуы мүмкін.

Ең алдымен алымды көбейткіштерге бөлу керек.

Алдымен бұл теңдеуді көбейткіштерге бөлуге болатындығын тексеру керек, дискриминантты табу керек. Өйткені, таңба көбейтіндіге байланысты (0-ден аз болуы керек), бұл мысалда , яғни берілген теңдеудің түбірлері бар.

Шешу үшін Виета теоремасын қолданамыз:

Бұл жағдайда, біз тамырлармен айналысатындықтан, тамырларды жай ғана жинау өте қиын болады. Бірақ біз коэффициенттердің теңгерілгенін көреміз, яғни деп болжасақ және бұл мәнді теңдеуге ауыстырсақ, онда келесі жүйе шығады: яғни 5-5=0. Осылайша, біз осы квадрат теңдеудің түбірлерінің бірін таңдадық.

Біз екінші түбірді теңдеулер жүйесінде бұрыннан белгілі нәрсені ауыстыру арқылы іздейміз, мысалы, , яғни. .

Осылайша, біз квадрат теңдеудің екі түбірін де таптық және оны көбейту үшін олардың мәндерін бастапқы теңдеуге ауыстыра аламыз:

Бастапқы есепті еске түсірейік, бізге бөлшекті азайту керек болды.

Есептің алымының орнына қойып, шешуге тырысайық.

Бұл жағдайда бөлгіш 0-ге тең бола алмайтынын ұмытпау керек, яғни.

Егер бұл шарттар орындалса, біз бастапқы бөлшекті пішінге келтірдік.

№3 тапсырма (параметрі бар тапсырма)

Квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы параметрдің қандай мәндерінде болады

Егер бұл теңдеудің түбірлері бар болса, онда , мәселе қашан.

Бұл онлайн калькулятор функцияны көбейткіштерге бөлуге арналған.

Мысалы, көбейткіштерге жіктеу: x 2 /3-3x+12 . Оны x^2/3-3*x+12 түрінде жазайық. Сондай-ақ, барлық есептеулер Word пішімінде сақталатын бұл қызметті пайдалануға болады.

Мысалы, терминдерге бөліңіз. Оны (1-x^2)/(x^3+x) түрінде жазайық. Шешімнің орындалу барысын көру үшін Қадамдарды көрсету түймесін басыңыз. Нәтижені Word форматында алу қажет болса, осы қызметті пайдаланыңыз.

Ескерту: «pi» (π) саны pi түрінде жазылады; квадрат түбірі sqrt ретінде, мысалы sqrt(3) , tg тангенсі tan түрінде жазылады. Жауап алу үшін Балама бөлімін қараңыз.

1. Егер қарапайым өрнек берілсе, мысалы, 8*d+12*c*d , онда өрнекті көбейткіштерге бөлу өрнекті көбейту дегенді білдіреді. Ол үшін жалпы факторларды табу керек. Бұл өрнекті былай жазамыз: 4*d*(2+3*c) .
2. Көбейтіндіні екі бином түрінде өрнектеңіз: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Мұнда біз бірнеше жалпы факторларды табуымыз керек: x(x + 7z) + 3y (x + 7z). (x+7z) шығарып, мынаны аламыз: (x+7z)(x + 3y) .

Сондай-ақ көпмүшелерді бұрышпен бөлуді қараңыз (бағанға бөлудің барлық қадамдары көрсетілген)

Бөлшектеу ережелерін үйренуде пайдалы қысқартылған көбейту формулалары, оның көмегімен жақшаларды шаршымен қалай ашу керектігі анық болады:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Факторинг әдістері

1. Қысқартылған көбейту формулаларын қолдану.
2. Жалпы факторды іздеңіз.

Бұл сабақта біз шаршы үшмүшелерді сызықтық көбейткіштерге ыдыратуды үйренеміз. Ол үшін Виетаның теоремасын және оның кері теоремасын еске түсіру керек. Бұл дағды квадрат үшмүшелерін сызықтық көбейткіштерге тез және ыңғайлы түрде ыдыратуға көмектеседі, сонымен қатар өрнектерден тұратын бөлшектерді азайтуды жеңілдетеді.

Сонымен, квадрат теңдеуге оралайық, мұндағы.

Бізде сол жақта орналасқан нәрсе шаршы үшмүше деп аталады.

Теорема дұрыс:Егер квадрат үшмүшенің түбірлері болса, сәйкестік ақиқат болады

Мұндағы жетекші коэффициент, теңдеудің түбірлері.

Сонымен, бізде квадрат теңдеу – квадрат үшмүше бар, мұнда квадрат теңдеудің түбірлері квадрат үшмүшенің түбірлері деп те аталады. Демек, егер бізде шаршы үшмүшенің түбірлері болса, онда бұл үшмүше сызықтық көбейткіштерге ыдырайды.

Дәлелдеу:

Бұл фактіні дәлелдеу алдыңғы сабақтарда қарастырған Виета теоремасы арқылы жүзеге асырылады.

Виетаның теоремасы бізге не айтқанын еске түсірейік:

Егер квадрат үшмүшесінің түбірлері болса, онда .

Бұл теорема келесі бекітуді білдіреді.

Виета теоремасы бойынша, яғни жоғарыдағы формулаға осы мәндерді ауыстырсақ, келесі өрнекті аламыз.

Q.E.D.

Еске салайық, егер квадрат үшмүшенің түбірлері болса, онда ыдырау дұрыс болады деген теореманы дәлелдедік.

Енді Виет теоремасы арқылы түбірлерін таңдаған квадрат теңдеудің мысалын еске түсірейік. Осы фактіден дәлелденген теорема арқасында келесі теңдік алуға болады:

Енді жақшаларды жай ғана кеңейту арқылы бұл фактінің дұрыстығын тексерейік:

Біз дұрыс бөлгенімізді көреміз және кез келген үшмүшені, егер оның түбірі болса, осы теорема бойынша формула бойынша сызықтық көбейткіштерге көбейтуге болады.

Дегенмен, кез келген теңдеу үшін мұндай көбейткіштерге бөлу мүмкіндігі бар-жоғын тексерейік:

Мысалы, теңдеуді алайық. Алдымен дискриминанттың белгісін тексерейік

Және біз үйренген теореманы орындау үшін D 0-ден үлкен болуы керек екенін есте ұстаймыз, сондықтан бұл жағдайда зерттелген теорема бойынша факторинг мүмкін емес.

Сондықтан біз жаңа теореманы тұжырымдаймыз: егер шаршы үшмүшенің түбірі болмаса, онда оны сызықтық көбейткіштерге ыдыратуға болмайды.

Сонымен, Виетаның теоремасын, квадрат үшмүшені сызықтық көбейткіштерге ыдырату мүмкіндігін қарастырдық, енді бірнеше есептерді шығарамыз.

№1 тапсырма

Бұл топта біз қойылған мәселеге керісінше мәселені шешеміз. Бізде теңдеу болды және біз көбейткіштерге ыдырай отырып, оның түбірін таптық. Мұнда біз керісінше жасаймыз. Квадрат теңдеудің түбірі бар делік

Кері есеп мынада: квадрат теңдеуді оның түбірі болатындай етіп жаз.

Бұл мәселені шешудің 2 жолы бар.

Теңдеудің түбірлері болғандықтан түбірлері сандар берілген квадрат теңдеу болып табылады. Енді жақшаларды ашып, тексерейік:

Бұл басқа түбірлері жоқ берілген түбірлері бар квадрат теңдеуді құрудың бірінші жолы болды, өйткені кез келген квадрат теңдеудің ең көбі екі түбірі болады.

Бұл әдіс кері Виета теоремасын қолдануды қамтиды.

Егер теңдеудің түбірлері болса, онда олар шартты қанағаттандырады.

Келтірілген квадрат теңдеу үшін , , яғни бұл жағдайда және .

Осылайша, біз берілген түбірлері бар квадрат теңдеуді құрдық.

№2 тапсырма

Бөлшекті азайту керек.

Бізде бөлгіште үшмүше бар, ал бөлгіште үшмүше бар, ал үшмүшелер көбейткіштерге жіктелуі де мүмкін. Егер алым да, бөлгіш те көбейткіштерге жіктелсе, онда олардың арасында азайтылатын бірдей көбейткіштер болуы мүмкін.

Ең алдымен алымды көбейткіштерге бөлу керек.

Алдымен бұл теңдеуді көбейткіштерге бөлуге болатындығын тексеру керек, дискриминантты табу керек. Өйткені, таңба көбейтіндіге байланысты (0-ден аз болуы керек), бұл мысалда , яғни берілген теңдеудің түбірлері бар.

Шешу үшін Виета теоремасын қолданамыз:

Бұл жағдайда, біз тамырлармен айналысатындықтан, тамырларды жай ғана жинау өте қиын болады. Бірақ біз коэффициенттердің теңгерілгенін көреміз, яғни деп болжасақ және бұл мәнді теңдеуге ауыстырсақ, онда келесі жүйе шығады: яғни 5-5=0. Осылайша, біз осы квадрат теңдеудің түбірлерінің бірін таңдадық.

Біз екінші түбірді теңдеулер жүйесінде бұрыннан белгілі нәрсені ауыстыру арқылы іздейміз, мысалы, , яғни. .

Осылайша, біз квадрат теңдеудің екі түбірін де таптық және оны көбейту үшін олардың мәндерін бастапқы теңдеуге ауыстыра аламыз:

Бастапқы есепті еске түсірейік, бізге бөлшекті азайту керек болды.

Есептің алымының орнына қойып, шешуге тырысайық.

Бұл жағдайда бөлгіш 0-ге тең бола алмайтынын ұмытпау керек, яғни.

Егер бұл шарттар орындалса, біз бастапқы бөлшекті пішінге келтірдік.

№3 тапсырма (параметрі бар тапсырма)

Квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы параметрдің қандай мәндерінде болады

Егер бұл теңдеудің түбірлері бар болса, онда , мәселе қашан.

Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлуС3 есебінің немесе С5 параметрі бар есептің теңсіздіктерін шешу кезінде пайдалы болуы мүмкін. Сондай-ақ, егер сіз Виетаның теоремасын білсеңіз, B13 сөзінің көптеген мәселелері әлдеқайда жылдам шешіледі.

Бұл теореманы, әрине, ол бірінші өткен 8-сынып тұрғысынан қарастыруға болады. Бірақ біздің міндет - емтиханға жақсы дайындалу және емтихан тапсырмаларын мүмкіндігінше тиімді шешуді үйрену. Сондықтан бұл сабақта әдіс мектептегіден сәл өзгеше.

Виет теоремасы бойынша теңдеудің түбірлерінің формуласыкөп біледі (немесе кем дегенде көрдім):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

Мұндағы `a, b` және `c` - `ax^2+bx+c` шаршы үшмүшесінің коэффициенттері.

Теореманы оңай пайдалануды үйрену үшін оның қайдан шыққанын түсінейік (бұл жолмен есте сақтау оңайырақ болады).

`ax^2+ bx+ c = 0` теңдеуін алайық. Одан әрі ыңғайлы болу үшін оны `a`-ға бөліп, `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` аламыз. Мұндай теңдеу келтірілген квадрат теңдеу деп аталады.

Сабақтың маңызды сәттері: түбірлері бар кез келген шаршы көпмүшені жақшаға ыдыратуға болады.Біздікі `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` түрінде ұсынылуы мүмкін делік, мұндағы `k` және `l` - кейбір тұрақтылар.

Жақшалар қалай ашылатынын көрейік:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Осылайша, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Бұл классикалық интерпретациядан біршама ерекшеленеді Виетаның теоремалары- онда біз теңдеудің түбірлерін іздейміз. шарттарын іздеуді ұсынамын жақшаның кеңеюлері- сондықтан формуладағы минус туралы есте сақтаудың қажеті жоқ ( `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)` дегенді білдіреді). Қосындысы орташа коэффициентке, ал көбейтіндісі бос мүшеге тең болатын осындай екі санды таңдау жеткілікті.

Егер теңдеудің шешімі қажет болса, онда бұл анық: `x=-k` немесе `x=-l` түбірлері (өйткені бұл жағдайларда жақшалардың бірі нөлге тең болады, яғни бүкіл өрнек болады нөлге тең).

Мысалы, мен алгоритмді көрсетемін, шаршы көпмүшені жақшаға қалай бөлшектеуге болады.

Бір мысал. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу алгоритмі

Бізде бар жол – `x^2+5x+4` квадрат үшмүшесі.

Ол төмендетілді (`x^2` коэффициенті бірге тең). Оның тамыры бар. (Сенімді болу үшін дискриминантты бағалауға және оның нөлден үлкен екеніне көз жеткізуге болады.)

Әрі қарайғы қадамдар (оларды барлық оқу тапсырмаларын орындау арқылы үйрену керек):

1. Келесі белгілерді жасаңыз: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Нүктелердің орнына бос орын қалдырыңыз, біз оған сәйкес сандар мен белгілерді қосамыз.
2. «4» санын екі санның көбейтіндісіне қалай бөлшектеуге болатынының барлық мүмкін нұсқаларын қарастырыңыз. Теңдеудің түбірлері үшін «үміткерлер» жұптарын аламыз: `2, 2` және `1, 4`.
3. Орташа коэффициентті қай жұптан алуға болатынын бағалаңыз. Бұл '1, 4' екені анық.
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ деп жазыңыз.
5. Келесі қадам - ​​кірістірілген сандардың алдына белгілер қою.

   Жақшадағы сандардың алдында қандай белгілер болуы керек екенін қалай түсінуге және мәңгі есте сақтауға болады? Оларды кеңейтуге тырысыңыз (жақшалар). Бірінші дәрежеге дейінгі `x` коэффициенті `(± 4 ± 1)` болады (белгілерді әлі білмейміз - таңдау керек) және ол `5`-ке тең болуы керек. Мұнда $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ екі плюс болатыны анық.

   Бұл әрекетті бірнеше рет орындаңыз (сәлеметсіз бе, жаттығу тапсырмалары!) және осыған байланысты ешқашан проблемалар болмайды.

`x^2+5x+4` теңдеуін шешу керек болса, енді оның шешімі қиын емес. Оның түбірлері `-4, -1`.

Екінші мысал. Әртүрлі таңбалы коэффициенттері бар шаршы үшмүшені көбейткіштерге бөлу

`x^2-x-2=0` теңдеуін шешуіміз керек. Кездейсоқ, дискриминант оң.

Біз алгоритмді ұстанамыз.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 2-нің бір ғана бүтін көбейткіштері бар: `2 · 1`.
3. Біз нүктені өткізіп жібереміз - таңдауға ештеңе жоқ.
4. $$x^2-x-2=(x \төрт 2) (x \төрт 1).$$
5. Біздің сандардың көбейтіндісі теріс (`-2` - бос термин), яғни олардың біреуі теріс, екіншісі оң болады.
   Олардың қосындысы `-1` (`x` коэффициенті) тең болғандықтан, `2` теріс болады (интуитивті түсініктеме - екі екі санның үлкені, ол теріс бағытта көбірек «тартады»). Біз $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1) аламыз.$$

Үшінші мысал. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу

`x^2+5x -84 = 0` теңдеуі.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84-ті бүтін көбейткіштерге бөлу: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Сандардың айырмасы (немесе қосындысы) 5 болуы керек болғандықтан, `7, 12` жұбы орындалады.
4. $$x+ 5x-84=(x\төрт 12) (x \төрт 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Үміт, осы шаршы үшмүшенің жақшаға ыдырауыанық.

Егер сізге теңдеудің шешімі қажет болса, онда ол: `12, -7`.

Тренингке арналған тапсырмалар

Мұнда оңай болатын бірнеше мысал келтірілген Виет теоремасы арқылы шешіледі.(Математикадан алынған мысалдар, 2002.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Мақала жазылғаннан кейін бірнеше жыл өткен соң, Виета теоремасы арқылы квадраттық көпмүшені кеңейтуге арналған 150 тапсырмадан тұратын топтама пайда болды.

Лайк басып, түсініктемелерде сұрақтар қойыңыз!