Ондық бөлшектерді қалай көбейту керек. Ондық бөлшектермен орындалатын әрекеттер Ондық бөлшектерді көбейтуге үш мысал келтір

Кәдімгі сандар сияқты.

2. 1-ші ондық бөлшек үшін және 2-ші ондық бөлшектердің санын санаймыз. Біз олардың санын қосамыз.

3. Ақырғы нәтижеде біз жоғарыдағы абзацтағы сандарды оңнан солға қарай санап, үтір қоямыз.

Ондық бөлшектерді көбейту ережелері.

1. Үтірге мән бермей көбейту.

2. Көбейткіште екі көбейткіште үтірден кейін қанша болса, ондық үтірден кейін сонша цифрды бөлеміз.

Ондық бөлшекті натурал санға көбейту үшін:

1. Үтірді елемей, сандарды көбейту;

2. Нәтижеде үтірді оның оң жағында ондық бөлшектегідей көп цифр болатындай етіп қоямыз.

Ондық бөлшектерді бағанға көбейту.

Мысал қарастырайық:

Ондық бөлшектерді бағанға жазып, үтірді ескермей натурал сандарға көбейтеміз. Анау. 3,11-ді 311, ал 0,01-ді 1 деп қарастырамыз.

Нәтиже 311. Әрі қарай екі бөлшек үшін де ондық таңбалардың (цифрлардың) санын санаймыз. 1-ондықта 2 цифр, 2-де 2. Ондық бөлшектен кейінгі цифрлардың жалпы саны:

2 + 2 = 4

Нәтиженің төрт таңбасын оңнан солға қарай санаймыз. Соңғы нәтижеде үтірмен бөлу қажет сандардан азырақ. Бұл жағдайда сол жақта нөлдердің жетіспейтін санын қосу керек.

Біздің жағдайда 1-ші цифр жоқ, сондықтан сол жаққа 1 нөл қосамыз.

Назар аударыңыз:

Кез келген ондық бөлшекті 10, 100, 1000 және т.б. көбейткенде, ондық бөлшектегі үтір бірден кейін қанша нөл болса, сонша орынға оңға жылжытылады.

Мысалға:

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

Назар аударыңыз:

Ондық бөлшекті 0,1-ге көбейту; 0,01; 0,001; және т.б., осы бөлшекте үтірді солға бірлік алдында қанша нөл болса, сонша таңбаға жылжыту керек.

Біз нөлдік бүтін сандарды санаймыз!

Мысалға:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56

Ондық бөлшектермен келесі әрекетті зерттеуге көшейік, енді біз жан-жақты қарастырамыз ондық бөлшектерді көбейту. Алдымен ондық бөлшектерді көбейтудің жалпы принциптерін талқылайық. Осыдан кейін ондық бөлшекті ондық бөлшекке көбейтуге көшейік, ондық бөлшектерді бағанға көбейту қалай орындалатынын көрсетейік, мысалдардың шешімдерін қарастырайық. Бұдан әрі ондық бөлшектерді натурал сандарға, атап айтқанда 10, 100 және т.б. көбейтуді талдаймыз. Қорытындылай келе, ондық бөлшектерді жай бөлшектерге және аралас сандарға көбейту туралы сөйлесейік.

Бірден айтайық, бұл мақалада біз тек оң ондық бөлшектерді көбейту туралы айтатын боламыз (оң және теріс сандарды қараңыз). Қалған жағдайлар рационал сандарды көбейту және мақалаларында талданады нақты сандарды көбейту.

Бетті шарлау.

Ондық бөлшектерді көбейтудің жалпы принциптері

Ондық бөлшектермен көбейтуді орындау кезінде ұстануға тиісті жалпы принциптерді талқылайық.

Ақырлы ондықтар мен шексіз периодты бөлшектер жай бөлшектердің ондық түрі болғандықтан, мұндай ондық бөлшектерді көбейту негізінен жай бөлшектерді көбейту болып табылады. Басқа сөздермен айтқанда, соңғы ондық бөлшектерді көбейту, соңғы және периодтық ондық бөлшектерді көбейту, және де периодты ондық бөлшектерді көбейтуондық бөлшектерді жай бөлшектерге ауыстырғаннан кейін жай бөлшектерді көбейтуге келеді.

Ондық бөлшектерді көбейтудің дауысты принципін қолдану мысалдарын қарастырыңыз.

Мысал.

1,5 және 0,75 ондық бөлшектерді көбейту.

Шешім.

Көбейтілген ондық бөлшектерді сәйкес жай бөлшектермен ауыстырайық. 1,5=15/10 және 0,75=75/100 болғандықтан, онда . Бөлшекті азайтуға болады, содан кейін бұрыс бөлшектен бүтін бөлікті таңдауға болады және алынған жай бөлшекті 1 125/1 000 ондық бөлшек 1,125 деп жазу ыңғайлырақ.

Жауап:

1,5 0,75=1,125.

Айта кету керек, соңғы ондық бөлшектерді бағанға көбейту ыңғайлы, біз ондық бөлшектерді көбейтудің бұл әдісі туралы айтатын боламыз.

Периодты ондық бөлшектерді көбейтудің мысалын қарастырыңыз.

Мысал.

Периодты ондық бөлшектердің 0,(3) және 2,(36) көбейтіндісін есептеңдер.

Шешім.

Периодты ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдырайық:

Содан кейін. Алынған жай бөлшекті ондық бөлшекке түрлендіруге болады:

Жауап:

0,(3) 2,(36)=0,(78) .

Егер көбейтілген ондық бөлшектердің арасында шексіз периодты емес бөлшектер болса, онда барлық көбейтілген бөлшектерді, оның ішінде ақырлы және периодты бөлшектерді белгілі бір цифрға дейін дөңгелектеу керек (қараңыз). сандарды дөңгелектеу), содан кейін дөңгелектенгеннен кейін алынған соңғы ондық бөлшектерді көбейтуді орындаңыз.

Мысал.

Ондық бөлшектерді 5,382… және 0,2 көбейтіңіз.

Шешім.

Біріншіден, біз шексіз периодты емес ондық бөлшекті дөңгелектейміз, дөңгелектеуді жүздікке дейін жасауға болады, бізде 5,382 ... ≈5,38. 0,2 соңғы ондық бөлшекті жүздікке дейін дөңгелектеу қажет емес. Осылайша, 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Соңғы ондық бөлшектердің көбейтіндісін есептеу қалады: 5,38 0,2 \u003d 538/100 2/10 \u003d 1,076/1,000 \u003d 1,076.

Жауап:

5,382… 0,2≈1,076.

Ондық бөлшектерді бағанға көбейту

Артқы ондықтарды көбейту натурал сандарды бағанға көбейтуге ұқсас баған арқылы орындалуы мүмкін.

тұжырымдап көрейік ондық бөлшектерді көбейту ережесі. Ондық бөлшектерді бағанға көбейту үшін сізге қажет:

• үтірлерді елемеу, натурал сандар бағанасына көбейтудің барлық ережелері бойынша көбейтуді орындау;
• алынған санда екі көбейткіште де бірге ондық таңбалар болса, оң жақта сонша цифрды ондық үтірмен бөліңіз, ал егер өнімде цифрлар жеткіліксіз болса, сол жақта нөлдердің қажетті санын қосу керек.

Ондық бөлшектерді бағанға көбейту мысалдарын қарастырыңыз.

Мысал.

Ондық бөлшектерді 63,37 және 0,12 көбейтіңіз.

Шешім.

Ондық бөлшектерді бағанға көбейтуді орындаймыз. Біріншіден, біз үтірлерді елемей, сандарды көбейтеміз:

Алынған өнімге үтір қою қалады. Ол оң жақтағы 4 цифрды бөлуі керек, өйткені көбейткіштерде төрт ондық таңба бар (3,37 бөлшекте екі және 0,12 бөлшекте екі). Онда сандар жеткілікті, сондықтан сол жақта нөлдерді қосудың қажеті жоқ. Жазуды аяқтаймыз:

Нәтижесінде бізде 3,37 0,12 = 7,6044.

Жауап:

3,37 0,12=7,6044.

Мысал.

3,2601 және 0,0254 ондық бөлшектерінің көбейтіндісін есептеңдер.

Шешім.

Үтірлерді ескермей бағанға көбейтуді орындағаннан кейін біз келесі суретті аламыз:

Енді көбейтіндіде оң жақтағы 8 цифрды үтірмен бөлу керек, өйткені көбейтілген бөлшектердің ондық орындарының жалпы саны сегізге тең. Бірақ өнімде тек 7 цифр бар, сондықтан 8 цифрды үтірмен бөлуге болатындай етіп сол жақта сонша нөл тағайындау керек. Біздің жағдайда біз екі нөлді тағайындауымыз керек:

Бұл ондық бөлшектерді бағанға көбейтуді аяқтайды.

Жауап:

3,2601 0,0254=0,08280654.

Ондық бөлшектерді 0,1, 0,01 және т.б.

Көбінесе ондықтарды 0,1, 0,01 және т.б. көбейту керек. Сондықтан ондық бөлшекті осы сандарға көбейту ережесін тұжырымдаған жөн, ол жоғарыда қарастырылған ондық бөлшектерді көбейту принциптерінен туындайды.

Сонымен, берілген ондық бөлшекті 0,1, 0,01, 0,001 және т.б. көбейтубастапқыдан алынған бөлшекті береді, егер оның жазбасында үтір сәйкесінше 1, 2, 3 және т.б. цифрларға солға жылжытылса, ал үтірді жылжыту үшін цифрлар жеткіліксіз болса, онда сіз солға қажетті нөлдер санын қосу керек.

Мысалы, 54,34 ондық бөлігін 0,1-ге көбейту үшін ондық бөлшекті 54,34 бөлігіндегі 1 цифрға солға жылжыту керек және сіз 5,434 бөлігін аласыз, яғни 54,34 0,1 \u003d 5,434. Тағы бір мысал келтірейік. 9,3 ондық бөлігін 0,0001-ге көбейтіңіз. Ол үшін 9.3 көбейтілген ондық бөлшекте үтірді 4 цифрды солға жылжыту керек, бірақ 9.3 бөлшектің жазбасында ондай таңбалар саны жоқ. Сондықтан, үтірді 4 санға оңай ауыстыру үшін сол жақтағы 9,3 бөлігінің жазбасына сонша нөл қою керек, бізде 9,3 0,0001 \u003d 0,00093 бар.

Ондық бөлшекті 0,1, 0,01, ... көбейтудің жарияланған ережесі шексіз ондық бөлшектер үшін де жарамды екенін ескеріңіз. Мысалы, 0,(18) 0,01=0,00(18) немесе 93,938… 0,1=9,3938… .

Ондық бөлшекті натурал санға көбейту

Оның негізінде ондық бөлшектерді натурал сандарға көбейтуондық бөлшекті ондық бөлшекке көбейтуден айырмашылығы жоқ.

Ақырлы ондық бөлшекті натурал санға бағанға көбейту өте ыңғайлы, ал алдыңғы абзацтардың бірінде талқыланған ондық бөлшектердің бағанына көбейту ережелерін сақтау керек.

Мысал.

Көбейтіндіні есептеңдер 15 2.27.

Шешім.

Бағандағы натурал санды ондық бөлшекке көбейтуді орындаймыз:

Жауап:

15 2,27=34,05.

Периодты ондық бөлшекті натурал санға көбейткенде периодты бөлшекті жай бөлшекпен ауыстыру керек.

Мысал.

0,(42) ондық бөлшекті 22 натурал санына көбейтіңіз.

Шешім.

Алдымен периодты ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдырайық:

Енді көбейтуді орындайық: . Бұл ондық нәтиже 9,(3) .

Жауап:

0,(42) 22=9,(3) .

Ал шексіз периодты емес ондық бөлшекті натурал санға көбейткенде алдымен дөңгелектеу керек.

Мысал.

4 2,145... көбейтуді орындаңыз.

Шешім.

Түпнұсқалық шексіз ондық бөлшекті жүздікке дейін дөңгелектесек, біз натурал сан мен соңғы ондық бөлшекті көбейтуге келеміз. Бізде 4 2,145…≈4 2,15=8,60.

Жауап:

4 2,145…≈8,60.

Ондық бөлшекті 10, 100, ... көбейту

Көбінесе ондық бөлшектерді 10, 100, ... көбейтуге тура келеді ... Сондықтан бұл жағдайларға егжей-тегжейлі тоқталған жөн.

Дауыс берейік ондық бөлшекті 10, 100, 1000 және т.б. көбейту ережесі.Ондық бөлшекті 10, 100, ... көбейту кезінде оның жазбасында үтірді сәйкесінше 1, 2, 3, ... цифрларына оңға жылжытып, сол жақтағы артық нөлдерді алып тастау керек; егер көбейтілген бөлшектің жазбасында үтірді көшіру үшін цифрлар жеткіліксіз болса, онда оңға қажетті нөлдер санын қосу керек.

Мысал.

0,0783 ондық бөлігін 100-ге көбейтіңіз.

Шешім.

Жазбаның оңға қарай екі цифрының 0,0783 бөлігін көшіріп, 007,83 аламыз. Сол жаққа екі нөлді түсіріп, ондық бөлшек 7.38 аламыз. Сонымен, 0,0783 100=7,83.

Жауап:

0,0783 100=7,83.

Мысал.

0,02 ондық бөлшекті 10 000-ға көбейтіңіз.

Шешім.

0,02-ні 10000-ға көбейту үшін үтірді оңға 4 цифрға жылжыту керек. Әлбетте, 0,02 бөлігінің жазбасында үтірді 4 цифрға ауыстыру үшін цифрлар жеткіліксіз, сондықтан үтірді тасымалдауға болатындай етіп оң жаққа бірнеше нөл қосамыз. Біздің мысалда үш нөлді қосу жеткілікті, бізде 0,02000 бар. Үтірді жылжытқаннан кейін біз 00200.0 жазбасын аламыз. Сол жақтағы нөлдерді тастасақ, бізде 200,0 саны бар, ол 200 натурал санына тең, ол 0,02 ондық бөлшекті 10 000-ға көбейтудің нәтижесі.

Өткен сабақта біз ондық бөлшектерді қосу және азайтуды үйрендік («Ондық бөлшектерді қосу және азайту» сабағын қараңыз). Сонымен бірге олар әдеттегі «екі қабатты» фракциялармен салыстырғанда есептеулердің қаншалықты жеңілдетілгенін бағалады.

Өкінішке орай, ондық бөлшектерді көбейту және бөлу кезінде бұл әсер болмайды. Кейбір жағдайларда ондық белгілер тіпті бұл операцияларды қиындатады.

Алдымен жаңа анықтаманы енгізейік. Біз оны осы сабақта ғана емес, жиі кездестіреміз.

Санның маңызды бөлігі бірінші және соңғы нөлдік емес сан арасындағы барлық нәрсе, соның ішінде тіркемелер. Біз тек сандар туралы айтып отырмыз, ондық бөлшек есепке алынбайды.

Санның маңызды бөлігіне кіретін цифрлар мәнді цифрлар деп аталады. Олар қайталануы мүмкін және тіпті нөлге тең болуы мүмкін.

Мысалы, бірнеше ондық бөлшектерді қарастырыңыз және олардың сәйкес маңызды бөліктерін жазыңыз:

1. 91,25 → 9125 (маңызды сандар: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (маңызды сандар: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (маңызды сандар: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (маңызды сандар: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (бір ғана маңызды көрсеткіш бар: 3).

Назар аударыңыз: санның маңызды бөлігінің ішіндегі нөлдер ешқайда кетпейді. Біз ондық бөлшектерді жай бөлшектерге түрлендіруді үйренген кезде ұқсас нәрсені кездестірдік («Ондық бөлшектер» сабағын қараңыз).

Бұл тармақтың маңыздылығы сонша, қателер жиі жіберіледі, мен жақын арада осы тақырып бойынша тест жариялаймын. Міндетті түрде жаттығу жасаңыз! Ал біз маңызды бөлік ұғымымен қаруланып, іс жүзінде сабақтың тақырыбына көшеміз.

Ондық көбейту

Көбейту операциясы қатарынан үш қадамнан тұрады:

1. Әрбір бөлшек үшін маңызды бөлікті жазыңыз. Сіз екі қарапайым бүтін сандарды аласыз - ешқандай бөлгіштер мен ондық бөлшектерсіз;
2. Бұл сандарды кез келген ыңғайлы жолмен көбейтіңіз. Тікелей, егер сандар аз болса немесе бағанда. Біз қажетті бөлшектің маңызды бөлігін аламыз;
3. Сәйкес маңызды бөлікті алу үшін бастапқы бөлшектерде ондық бөлшек қайда және қанша цифрға жылжытылғанын табыңыз. Алдыңғы қадамда алынған маңызды бөлікте кері жылжуларды орындаңыз.

Маңызды бөліктің жағындағы нөлдер ешқашан ескерілмейтінін тағы бір рет еске саламын. Бұл ережені елемеу қателіктерге әкеледі.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 1,08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 10 000.

Бірінші өрнекпен жұмыс істейміз: 0,28 12,5.

1. Осы өрнектегі сандар үшін маңызды бөліктерді жазайық: 28 және 125;
2. Олардың өнімі: 28 125 = 3500;
3. Бірінші көбейткіште ондық бөлшек оңға 2 цифрға (0,28 → 28), ал екіншісінде - тағы 1 цифрға жылжытылады. Барлығы үш санға солға жылжу қажет: 3500 → 3,500 = 3,5.

Енді 6.3 1.08 өрнегін қарастырайық.

1. Маңызды бөліктерді жазайық: 63 және 108;
2. Олардың көбейтіндісі: 63 108 = 6804;
3. Тағы да, екі оңға жылжу: тиісінше 2 және 1 санға. Барлығы - қайтадан оңға 3 цифр, сондықтан кері жылжу солға 3 сан болады: 6804 → 6.804. Бұл жолы соңында нөлдер жоқ.

Үшінші өрнекке жеттік: 132,5 0,0034.

1. Маңызды бөліктері: 1325 және 34;
2. Олардың өнімі: 1325 34 = 45 050;
3. Бірінші бөлшекте ондық бөлшек оңға қарай 1 цифрға, ал екіншісінде - 4-ке дейін барады. Барлығы: 5 оңға. Біз 5-ке солға жылжу жасаймыз: 45050 → .45050 = 0.4505. Соңында нөл алынып тасталды және «жалаңаш» ондық нүктені қалдырмас үшін алдыңғы жағына қосылды.

Келесі өрнек: 0,0108 1600,5.

1. Біз маңызды бөліктерді жазамыз: 108 және 16 005;
2. Оларды көбейтеміз: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Ондық бөлшектен кейінгі сандарды санаймыз: бірінші санда 4, екіншісінде - 1. Барлығы - қайтадан 5. Бізде: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Соңында «қосымша» нөл жойылды.

Соңында, соңғы өрнек: 5,25 10 000.

1. Маңызды бөліктері: 525 және 1;
2. Біз оларды көбейтеміз: 525 1 = 525;
3. Бірінші бөлшек оңға 2 цифрға, ал екінші бөлшек солға 4 цифрға жылжытылады (10 000 → 1,0000 = 1). Барлығы 4 − 2 = солға қарай 2 сан. Біз оңға 2 цифрға кері жылжу жасаймыз: 525, → 52 500 (нөлдерді қосу керек болды).

Соңғы мысалға назар аударыңыз: ондық бөлшек әртүрлі бағытта қозғалатындықтан, жалпы жылжу айырмашылық арқылы болады. Бұл өте маңызды нүкте! Міне, тағы бір мысал:

1,5 және 12,500 сандарын қарастырайық.Бізде: 1,5 → 15 (1-ге оңға жылжу); 12 500 → 125 (2-ші солға жылжытыңыз). Біз 1 цифрды оңға, содан кейін 2 цифрды солға «қадаммен» қоямыз. Нәтижесінде біз солға қарай 2 − 1 = 1 цифрға қадам жасадық.

Ондық бөлшек

Бөлу - ең қиын операция. Әрине, мұнда сіз көбейтуге ұқсас әрекет ете аласыз: маңызды бөліктерді бөліңіз, содан кейін ондық нүктені «жылжытыңыз». Бірақ бұл жағдайда әлеуетті үнемдеуді жоққа шығаратын көптеген нәзіктіктер бар.

Сонымен, сәл ұзағырақ, бірақ әлдеқайда сенімді болатын жалпы алгоритмді қарастырайық:

1. Барлық ондық бөлшектерді жай бөлшектерге түрлендіру. Кішкене жаттығу арқылы бұл қадам сізге бірнеше секунд кетеді;
2. Алынған бөлшектерді классикалық жолмен бөліңіз. Басқаша айтқанда, бірінші бөлшекті «инверттелген» секундқа көбейтіңіз («Сандық бөлшектерді көбейту және бөлу» сабағын қараңыз);
3. Мүмкін болса, нәтижені ондық бөлшек ретінде қайтарыңыз. Бұл қадам да жылдам, өйткені жиі бөлгіштің ондық күші бар.

Тапсырма. Өрнектің мәнін табыңыз:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Бірінші өрнекті қарастырамыз. Алдымен оби бөлшектерін ондық бөлшектерге айналдырайық:

Екінші өрнекпен де солай істейміз. Бірінші бөлшектің алымы қайтадан көбейткіштерге ыдырайды:

Үшінші және төртінші мысалдарда маңызды жайт бар: ондық бөлшек жазудан құтылғаннан кейін жойылатын бөлшектер пайда болады. Дегенмен, біз бұл қысқартуды орындамаймыз.

Соңғы мысал қызықты, өйткені екінші бөлшектің алымы жай сан. Бұл жерде факторизациялау үшін ештеңе жоқ, сондықтан біз оны «бос» деп санаймыз:

Кейде бөлу бүтін санға әкеледі (мен соңғы мысал туралы айтып отырмын). Бұл жағдайда үшінші қадам мүлде орындалмайды.

Сонымен қатар, бөлу кезінде ондық бөлшектерге айналдыруға болмайтын «ұсқынсыз» бөлшектер жиі пайда болады. Бұл жерде бөлу көбейтуден ерекшеленеді, мұнда нәтиже әрқашан ондық түрде көрсетіледі. Әрине, бұл жағдайда соңғы қадам қайтадан орындалмайды.

Сондай-ақ 3-ші және 4-ші мысалдарға назар аударыңыз. Оларда біз ондық бөлшектерден алынған жай бөлшектерді әдейі азайтпаймыз. Әйтпесе, бұл кері есепті қиындатады - соңғы жауапты қайтадан ондық түрде көрсетеді.

Есіңізде болсын: бөлшектің негізгі қасиеті (математикадағы кез келген басқа ереже сияқты) оның барлық жерде және әрқашан, әрбір мүмкіндікте қолданылуы керек дегенді білдірмейді.

Ондық бөлшектерді қалай көбейту керектігін түсіну үшін нақты мысалдарды қарастырайық.

Ондық бөлшекті көбейту ережесі

1) Үтірді елемей, көбейтеміз.

2) Нәтижесінде екі көбейткіште де үтірден кейін қанша болса, үтірден кейін сонша цифрды бөлеміз.

Мысалдар.

Ондық бөлшектердің көбейтіндісін табыңыз:

Ондық бөлшектерді көбейту үшін үтірге мән бермей көбейтеміз. Яғни, біз 6,8 мен 3,4-ті емес, 68 мен 34-ті көбейтеміз. Нәтижесінде екі көбейткіште де үтірден кейін қанша болса, ондық бөлшектен кейін сонша цифрды бөлеміз. Бірінші көбейткіште ондық бөлшектен кейін бір цифр, екіншісінде де бір цифр бар. Барлығы ондық бөлшектен кейін екі цифрды бөлеміз.Осылайша біз соңғы жауап алдық: 6,8∙3,4=23,12.

Ондық бөлшектерді үтірді есепке алмай көбейту. Яғни, шын мәнінде, 36,85-ті 1,14-ке көбейтудің орнына, біз 3685-ті 14-ке көбейтеміз. Біз 51590 аламыз. Енді бұл нәтижеде екі көбейткіште бірге қанша сан болса, сонша цифрды үтірмен бөлу керек. Бірінші санда ондық бөлшектен кейін екі цифр бар, екіншісінде бір. Барлығы үш цифрды үтірмен бөлеміз. Ондық бөлшектен кейін жазбаның соңында нөл болатындықтан, оны жауап ретінде жазбаймыз: 36,85∙1,4=51,59.

Бұл ондықтарды көбейту үшін үтірге мән бермей сандарды көбейтеміз. Яғни, біз 2315 және 7 натурал сандарын көбейтеміз. Біз 16205 аламыз. Бұл санда ондық бөлшектен кейін төрт цифрды бөлу керек - екі көбейткіште бірге қанша болса, сонша (әрқайсысында екі). Қорытынды жауап: 23,15∙0,07=1,6205.

Ондық бөлшекті натурал санға көбейту дәл осылай орындалады. Біз сандарды үтірге назар аудармай көбейтеміз, яғни 75-ті 16-ға көбейтеміз. Алынған нәтижеде үтірден кейін екі көбейткіште бірге қанша белгі болса, сонша белгі болуы керек - бір. Сонымен, 75∙1,6=120,0=120.

Біз үтірге мән бермегендіктен, ондық бөлшектерді көбейтуді натурал сандарды көбейту арқылы бастаймыз. Осыдан кейін біз екі факторда бірге қанша болса, үтірден кейін сонша цифрды бөлеміз. Бірінші санда екі ондық, ал екіншісінде екі ондық таңба бар. Барлығы, нәтижесінде ондық бөлшектен кейін төрт цифр болуы керек: 4,72∙5,04=23,7888.

Бұл оқулықта біз осы операциялардың әрқайсысын бір-бірден қарастырамыз.

Ондық бөлшектерді қосу

Біз білетіндей, ондық бөлшектің бүтін және бөлшек бөлігі бар. Ондық бөлшектерді қосқанда бүтін және бөлшек бөліктері бөлек қосылады.

Мысалы, 3.2 және 5.3 ондық бөлшектерін қосайық. Ондық бөлшектерді бағанға қосу ыңғайлырақ.

Біріншіден, біз бұл екі бөлшекті бағанға жазамыз, ал бүтін бөліктер бүтін бөліктердің астында, ал бөлшек бөліктер бөлшек бөліктердің астында болуы керек. Мектепте бұл талап деп аталады "Үтір астына үтір".

Үтір үтірдің астында болатындай етіп бөлшектерді бағанға жазайық:

Бөлшек бөлшектерді қоса бастаймыз: 2 + 3 \u003d 5. Жауабымыздың бөлшек бөлігіне бесті жазамыз:

Енді бүтін сандарды қосамыз: 3 + 5 = 8. Жауабымыздың бүтін бөлігіне сегізді жазамыз:

Енді бүтін бөлікті бөлшек бөліктен үтірмен бөлеміз. Ол үшін біз қайтадан ережені ұстанамыз "Үтір астына үтір":

Жауап 8.5. Сонымен 3,2 + 5,3 өрнегі 8,5-ке тең

Шындығында, бәрі бір қарағанда қарапайым емес. Мұнда да тұзақтар бар, олар туралы қазір айтатын боламыз.

Ондық бөлшектер

Қарапайым сандар сияқты ондықтардың да өз цифрлары болады. Бұл оныншы орын, жүзінші орын, мыңыншы орындар. Бұл жағдайда цифрлар ондық бөлшектен кейін басталады.

Ондық бөлшектен кейінгі бірінші цифр ондық орынға, екінші цифр жүздік орынға, ондық бөлшектен кейінгі үшінші цифр мыңдық орынға жауап береді.

Ондық сандар кейбір пайдалы ақпаратты сақтайды. Атап айтқанда, олар ондық бөлшекте неше ондық, жүздік, мыңдық бөлшектер бар екенін хабарлайды.

Мысалы, 0,345 ондық бөлшекті қарастырайық

Үштік орналасқан орын шақырылады оныншы орын

Төртеуі орналасқан орын аталады жүздік орын

Бестің орналасқан орны деп аталады мыңдық

Мына фигураны қарастырайық. Ондық категориясында үштік бар екенін көреміз. Бұл 0,345 ондық бөлшекте ондық үш бөлік бар екенін көрсетеді.

Бөлшектерді қоссақ, бастапқы ондық бөлшек 0,345 шығады

Алдымен жауап алғанымызбен, оны ондық бөлшекке айналдырып, 0,345 алғанымызды көруге болады.

Ондық бөлшектерді қосқанда жай сандарды қосқандағыдай принциптер мен ережелер сақталады. Ондық бөлшектерді қосу цифрлар арқылы жүзеге асады: ондық ондықтарды, жүздіктерді жүздіктерді, мыңнан бірлерді мыңдықтарды қосады.

Сондықтан ондық бөлшектерді қосқанда ережені сақтау талап етіледі "Үтір астына үтір". Үтір астындағы үтір ондықтар ондыққа, жүздікке жүздікке, мыңнан бірге мыңдық қосылатындай ретті қамтамасыз етеді.

1-мысал 1,5 + 3,4 өрнектің мәнін табыңыз

Ең алдымен 5 + 4 = 9 бөлшек бөліктерін қосамыз. Жауабымыздың бөлшек бөлігіне тоғызды жазамыз:

Енді 1 + 3 = 4 бүтін бөліктерін қосамыз. Жауабымыздың бүтін бөлігіндегі төртеуін жазамыз:

Енді бүтін бөлікті бөлшек бөліктен үтірмен бөлеміз. Ол үшін біз тағы да «үтір астындағы үтір» ережесін сақтаймыз:

Жауап 4.9. Сонымен 1,5 + 3,4 өрнегінің мәні 4,9

2-мысалӨрнектің мәнін табыңыз: 3,51 + 1,22

Біз бұл өрнекті «үтір астындағы үтір» ережесін сақтай отырып, бағанға жазамыз.

Ең алдымен бөлшек бөлігін, атап айтқанда жүздіктерді 1+2=3 қосыңыз. Жауабымыздың жүзден бір бөлігіне үш есе жазамыз:

Енді 5+2=7 санының ондық бөлігін қосыңыз. Жауабымыздың оныншы бөлігіндегі жетіні жазамыз:

Енді 3+1=4 бүтін бөлшектерді қосыңыз. Жауабымыздың толық бөлігіне төртеуін жазамыз:

«Үтір астындағы үтір» ережесін сақтай отырып, бүтін бөлікті бөлшек бөліктен үтірмен бөлеміз:

Жауап 4.73. Сонымен 3,51 + 1,22 өрнегінің мәні 4,73-ке тең

3,51 + 1,22 = 4,73

Жай сандар сияқты, ондық бөлшектерді қосқанда, . Бұл жағдайда жауапта бір цифр жазылады, ал қалғаны келесі цифрға ауыстырылады.

3-мысал 2,65 + 3,27 өрнегінің мәнін табыңыз

Бұл өрнекті бағанға жазамыз:

5+7=12 жүздіктерін қосыңыз. 12 саны жауапымыздың жүзден бір бөлігіне сыймайды. Сондықтан, жүзінші бөлікте біз 2 санын жазып, бірлікті келесі битке ауыстырамыз:

Енді 6+2=8 санының ондықтарын қосып, алдыңғы амалдан алған бірлікті қоссақ, 9 шығады. Жауабымыздың ондық бөлігіне 9 санын жазамыз:

Енді 2+3=5 бүтін бөлшектерді қосыңыз. Жауабымыздың бүтін бөлігіне 5 санын жазамыз:

Жауап 5.92. Сонымен 2,65 + 3,27 өрнегінің мәні 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

4-мысал 9,5 + 2,8 өрнектің мәнін табыңыз

Бұл өрнекті бағанға жазыңыз

Біз 5 + 8 = 13 бөлшек бөліктерін қосамыз. 13 саны жауабымыздың бөлшек бөлігіне сыймайды, сондықтан біз алдымен 3 санын жазып, бірлікті келесі цифрға ауыстырамыз, дәлірек айтсақ, бүтін санға ауыстырамыз. бөлігі:

Енді 9+2=11 бүтін бөліктерін қосып, алдыңғы операциядан алған бірлікті қосамыз, біз 12 аламыз. Жауабымыздың бүтін бөлігіне 12 санын жазамыз:

Бүтін бөлікті бөлшек бөліктен үтірмен ажыратыңыз:

Жауап 12.3. Сонымен 9,5 + 2,8 өрнегінің мәні 12,3-ке тең

9,5 + 2,8 = 12,3

Ондық бөлшектерді қосқанда екі бөлшекте де ондық бөлшектен кейінгі цифрлар саны бірдей болуы керек. Егер сандар жеткіліксіз болса, онда бөлшек бөліктегі бұл орындар нөлдермен толтырылады.

5-мысал. Өрнектің мәнін табыңыз: 12,725 + 1,7

Бұл өрнекті бағанға жазбас бұрын екі бөлшекте де ондық бөлшектен кейінгі цифрлар санын бірдей етіп алайық. 12.725 ондық бөлшекте ондық бөлшектен кейін үш цифр бар, ал 1.7 бөлшекте бір ғана сан бар. Сонымен, 1,7 бөлігінде соңында екі нөлді қосу керек. Сонда біз 1700 бөлігін аламыз. Енді сіз бұл өрнекті бағанға жазып, есептеуді бастай аласыз:

5+0=5-тің мыңнан бір бөлігін қосыңыз. Жауабымыздың мыңдық бөлігіне 5 санын жазамыз:

2+0=2 жүздіктерін қосыңыз. Жауабымыздың жүзден бір бөлігіне 2 санын жазамыз:

7+7=14 санының ондық бөлігін қосыңыз. 14 саны біздің жауабымыздың оннан бір бөлігіне сыймайды. Сондықтан алдымен 4 санын жазып, бірлікті келесі битке көшіреміз:

Енді 12+1=13 бүтін бөліктерін қосып, алдыңғы операциядан алған бірлікті қосамыз, біз 14 аламыз. Жауабымыздың бүтін бөлігіне 14 санын жазамыз:

Бүтін бөлікті бөлшек бөліктен үтірмен ажыратыңыз:

Жауап 14 425. Сонымен 12.725+1.700 өрнегінің мәні 14.425

12,725+ 1,700 = 14,425

Ондық бөлшектерді азайту

Ондық бөлшектерді азайтқанда, қосу кезіндегідей ережелерді сақтау керек: «үтір астындағы үтір» және «ондық бөлшектен кейінгі цифрлардың бірдей саны».

1-мысал 2,5 − 2,2 өрнектің мәнін табыңыз

Біз бұл өрнекті «үтір астындағы үтір» ережесін сақтай отырып, бағанға жазамыз:

5−2=3 бөлшек бөлігін есептейміз. Жауабымыздың оныншы бөлігіне 3 санын жазамыз:

2−2=0 бүтін бөлігін есептеңіз. Жауабымыздың бүтін бөлігіне нөлді жазамыз:

Бүтін бөлікті бөлшек бөліктен үтірмен ажыратыңыз:

Біз 0,3 деген жауап алдық. Сонымен 2,5 − 2,2 өрнегінің мәні 0,3-ке тең

2,5 − 2,2 = 0,3

2-мысал 7.353 - 3.1 өрнегінің мәнін табыңыз

Бұл өрнекте ондық үтірден кейін басқа цифрлар бар. 7.353 бөлігінде ондық бөлшектен кейін үш цифр, ал 3.1 бөлшекте бір ғана цифр бар. Бұл 3.1 бөлігінде екі бөлшектің цифрларының санын бірдей ету үшін соңына екі нөл қосу керек дегенді білдіреді. Сонда біз 3100 аламыз.

Енді сіз бұл өрнекті бағанға жазып, оны есептей аласыз:

4253 жауап алдым. Сонымен 7,353 − 3,1 өрнегінің мәні 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Кәдімгі сандар сияқты, кейде азайту мүмкін болмаса, көрші биттен біреуін алуға тура келеді.

3-мысал 3.46 − 2.39 өрнектің мәнін табыңыз

6−9-дың жүздіктерін алу. 6 санынан 9 санын азайтпаңыз. Сондықтан көрші цифрдан бірлік алу керек. Көрші цифрдан біреуін алып, 6 саны 16 санына айналады. Енді 16−9=7 жүздіктерін есептей аламыз. Жауабымыздың жүзден бір бөлігіне жетіні жазамыз:

Енді ондықтарды алып тастаңыз. Біз ондық категориясына бір бірлік алғандықтан, онда орналасқан көрсеткіш бір бірлікке азайды. Басқаша айтқанда, оныншы орын енді 4 саны емес, 3 саны. 3−3=0 ондықтарын есептейік. Жауабымыздың оныншы бөлігіне нөл деп жазамыз:

Енді 3−2=1 бүтін бөліктерін алып тастаңыз. Жауабымыздың бүтін бөлігіне бірлікті жазамыз:

Бүтін бөлікті бөлшек бөліктен үтірмен ажыратыңыз:

Жауап 1.07. Сонымен 3,46−2,39 өрнегінің мәні 1,07-ге тең

3,46−2,39=1,07

4-мысал. 3−1.2 өрнектің мәнін табыңыз

Бұл мысал бүтін саннан ондық бөлшекті азайтады. Бұл өрнекті 1,23 ондық бөлшектің бүтін бөлігі 3 санының астында болатындай етіп бағанға жазайық.

Енді ондық бөлшектен кейінгі цифрлар санын бірдей етіп алайық. Ол үшін 3 санынан кейін үтір қойып, бір нөлді қосыңыз:

Енді ондықтарды алып тастаңыз: 0−2. 2 санын нөлден шығармаңыз.Сондықтан көрші цифрдан бірлік алу керек. Көрші цифрдан біреуін алу арқылы 0 10 санына айналады. Енді сіз 10−2=8 ондықтарын есептей аласыз. Жауабымыздың оныншы бөлігіндегі сегізді жазамыз:

Енді барлық бөліктерді алып тастаңыз. Бұрын 3 саны бүтін санда орналасқан, бірақ біз одан бір бірлік алғанбыз. Нәтижесінде ол 2 санына айналды. Сондықтан 2-ден 1-ді шегереміз. 2−1=1. Жауабымыздың бүтін бөлігіне бірлікті жазамыз:

Бүтін бөлікті бөлшек бөліктен үтірмен ажыратыңыз:

Жауап 1.8. Сонымен 3−1,2 өрнектің мәні 1,8

Ондық көбейту

Ондық бөлшектерді көбейту оңай және тіпті қызықты. Ондық бөлшектерді көбейту үшін үтірді елемей, тұрақты сандар сияқты көбейту керек.

Жауапты алғаннан кейін бүтін бөлікті бөлшек бөліктен үтірмен бөлу керек. Ол үшін екі бөлшекте де ондық бөлшектен кейінгі цифрлардың санын санау керек, содан кейін жауаптың оң жағындағы бірдей цифрларды санап, үтір қою керек.

1-мысал 2,5 × 1,5 өрнектің мәнін табыңыз

Бұл ондық бөлшектерді үтірлерді елемей, жай сандар ретінде көбейтеміз. Үтірлерді елемеу үшін сіз олардың мүлдем жоқ екенін уақытша елестете аласыз:

Біз 375 алдық. Бұл санда бүтін бөлікті бөлшек бөлігінен үтірмен бөлу керек. Ол үшін 2,5 және 1,5 бөліктерінде ондық бөлшектен кейінгі цифрлардың санын санау керек. Бірінші бөлшекте ондық бөлшектен кейін бір цифр, екінші бөлшекте де бір цифр бар. Барлығы екі сан.

Біз 375 санына ораламыз және оңнан солға қарай жылжи бастаймыз. Оң жақтан екі цифрды санап, үтір қою керек:

Жауап 3.75. Сонымен 2,5 × 1,5 өрнегінің мәні 3,75-ке тең

2,5 x 1,5 = 3,75

2-мысал 12,85 × 2,7 өрнектің мәнін табыңыз

Осы ондық бөлшектерді үтірлерді ескермей көбейтейік:

Біз 34695 алдық. Бұл санда бүтін бөлікті бөлшек бөлігінен үтірмен бөлу керек. Ол үшін 12,85 және 2,7 бөліктерінде ондық үтірден кейінгі цифрлардың санын есептеу керек. 12,85 бөлшекте ондық бөлшектен кейін екі цифр, 2,7 бөлшекте бір цифр – барлығы үш цифр бар.

Біз 34695 нөміріне ораламыз және оңнан солға қарай жылжи бастаймыз. Оң жақтан үш цифрды санап, үтір қою керек:

34 695 жауап алды. Сонымен 12,85 × 2,7 өрнегінің мәні 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Ондық бөлшекті тұрақты санға көбейту

Кейде ондық бөлшекті тұрақты санға көбейту қажет болатын жағдайлар болады.

Ондық пен жай санды көбейту үшін ондық бөлшектегі үтірге қарамастан оларды көбейту керек. Жауапты алғаннан кейін бүтін бөлікті бөлшек бөліктен үтірмен бөлу керек. Ол үшін ондық бөлшекте ондық бөлшектен кейінгі цифрларды санау керек, содан кейін жауапта оңға қарай бірдей цифрларды санап, үтір қою керек.

Мысалы, 2,54-ті 2-ге көбейтіңіз

Үтірді елемей, 2,54 ондық бөлігін әдеттегі 2 санына көбейтеміз:

Біз 508 санын алдық. Бұл санда бүтін бөлікті бөлшек бөлігінен үтірмен бөлу керек. Ол үшін 2.54 бөлігіндегі ондық үтірден кейінгі цифрлардың санын санау керек. 2.54 бөлігінде ондық бөлшектен кейін екі цифр бар.

Біз 508 санына ораламыз және оңнан солға қарай жылжи бастаймыз. Оң жақтан екі цифрды санап, үтір қою керек:

Жауап 5.08. Сонымен 2,54 × 2 өрнегінің мәні 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Ондық бөлшектерді 10, 100, 1000-ға көбейту

Ондық бөлшектерді 10, 100 немесе 1000-ға көбейту ондықтарды тұрақты сандарға көбейту сияқты орындалады. Ондық бөлшекте үтірді елемей, көбейтуді орындау керек, содан кейін жауапта ондық бөлшекте ондық бөлшектен кейінгі цифрлар болса, оң жақтағы цифрлардың санын бірдей санай отырып, бүтін бөлікті бөлшек бөліктен бөлу керек. бөлшек.

Мысалы, 2,88-ді 10-ға көбейтіңіз

Ондық бөлшектегі үтірді ескермей 2,88 ондық бөлшекті 10-ға көбейтейік:

Біз 2880 алдық. Бұл санда бүтін бөлікті бөлшек бөлігінен үтірмен бөлу керек. Ол үшін 2,88 бөлігіндегі ондық үтірден кейінгі цифрлардың санын санау керек. 2.88 бөлшекте ондық бөлшектен кейін екі цифр бар екенін көреміз.

Біз 2880 санына ораламыз және оңнан солға қарай жылжи бастаймыз. Оң жақтан екі цифрды санап, үтір қою керек:

Жауап 28.80. Біз соңғы нөлді алып тастаймыз - біз 28,8 аламыз. Сонымен 2,88 × 10 өрнегінің мәні 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Ондық бөлшектерді 10, 100, 1000-ға көбейтудің екінші жолы бар. Бұл әдіс әлдеқайда қарапайым және ыңғайлы. Ол ондық бөлшектегі үтірдің көбейткіште қанша нөл болса, сонша цифрға оңға жылжуынан тұрады.

Мысалы, алдыңғы 2,88×10 мысалын осылай шешейік. Ешқандай есептеулер жасамай, біз бірден 10 факторға қараймыз. Бізде қанша нөл бар екендігі қызықтырады. Оның бір нөлі бар екенін көреміз. Енді 2,88 бөлігінде ондық бөлшекті бір цифрға оңға жылжытамыз, 28,8 аламыз.

2,88 x 10 = 28,8

2,88-ді 100-ге көбейтіп көрейік.Бірден 100-ге қараймыз.Онда қанша нөл бар екен бізді қызықтырады. Оның екі нөлі бар екенін көреміз. Енді 2,88 бөлігінде ондық бөлшекті екі цифрға оңға жылжытамыз, біз 288 аламыз

2,88 x 100 = 288

2,88-ді 1000-ға көбейтіп көрейік.Бірден 1000-ға қараймыз.Онда қанша нөл бар екен бізді қызықтырады. Оның үш нөлі бар екенін көреміз. Енді 2.88 бөлігінде ондық бөлшекті оңға үш цифрға жылжытамыз. Үшінші сан жоқ, сондықтан біз тағы бір нөлді қосамыз. Нәтижесінде біз 2880 аламыз.

2,88 x 1000 = 2880

Ондық бөлшектерді 0,1 0,01 және 0,001 көбейту

Ондық бөлшектерді 0,1, 0,01 және 0,001 көбейту ондық бөлшекті ондық бөлшекке көбейту сияқты жұмыс істейді. Жай сандар сияқты бөлшектерді көбейту керек және екі бөлшекте де ондық бөлшектен кейін қанша цифр болса, оң жақта қанша цифр болса, жауапқа үтір қою керек.

Мысалы, 3,25-ті 0,1-ге көбейтіңіз

Бұл бөлшектерді үтірлерді елемей, жай сандар сияқты көбейтеміз:

Біз 325 алдық. Бұл санда бүтін бөлікті бөлшек бөлігінен үтірмен бөлу керек. Ол үшін 3,25 және 0,1 бөліктерінде ондық үтірден кейінгі цифрлардың санын есептеу керек. 3,25 бөлшекте ондық бөлшектен кейін екі цифр, 0,1 бөлшекте бір цифр болады. Барлығы үш сан.

Біз 325 санына ораламыз және оңнан солға қарай жылжи бастаймыз. Оң жақтағы үш цифрды санап, үтір қою керек. Үш цифрды санағаннан кейін біз сандар аяқталғанын көреміз. Бұл жағдайда бір нөлді қосып, үтір қою керек:

Біз 0,325 жауап алдық. Сонымен 3,25 × 0,1 өрнегінің мәні 0,325-ке тең

3,25 x 0,1 = 0,325

Ондық бөлшектерді 0,1, 0,01 және 0,001 көбейтудің екінші жолы бар. Бұл әдіс әлдеқайда оңай және ыңғайлы. Ол ондық бөлшектегі үтірдің көбейткіште қанша нөл болса, сонша цифрға солға жылжуынан тұрады.

Мысалы, алдыңғы 3,25 × 0,1 мысалын осылай шешейік. Ешқандай есеп бермей, бірден 0,1 коэффициентіне қараймыз. Бізді оның ішінде қанша нөл бар екені қызықтырады. Оның бір нөлі бар екенін көреміз. Енді 3.25 бөлігінде ондық бөлшекті солға бір цифрға жылжытамыз. Үтірді бір цифрды солға жылжытсақ, үштен бұрын цифр қалмағанын көреміз. Бұл жағдайда бір нөлді қосып, үтір қойыңыз. Нәтижесінде біз 0,325 аламыз

3,25 x 0,1 = 0,325

3,25-ті 0,01-ге көбейтіп көрейік. Бірден 0,01 көбейткішіне қараңыз. Бізді оның ішінде қанша нөл бар екені қызықтырады. Оның екі нөлі бар екенін көреміз. Енді 3,25 бөлігінде үтірді солға екі цифрға жылжытамыз, біз 0,0325 аламыз.

3,25 x 0,01 = 0,0325

3,25-ті 0,001-ге көбейтіп көрейік. Бірден 0,001 көбейткішіне қараңыз. Бізді оның ішінде қанша нөл бар екені қызықтырады. Оның үш нөлі бар екенін көреміз. Енді 3.25 бөлігінде ондық бөлшекті үш цифрға солға жылжытамыз, 0,00325 аламыз.

3,25 × 0,001 = 0,00325

Ондық бөлшектерді 0,1, 0,001 және 0,001-ге көбейтуді 10, 100, 1000-ге көбейтуді шатастырмаңыз. Көпшіліктің жиі жіберетін қатесі.

10, 100, 1000 көбейткенде үтір көбейткіште қанша нөл болса, сонша цифрға оңға жылжытылады.

Ал 0,1, 0,01 және 0,001-ге көбейткенде үтір көбейткіште қанша нөл болса, сонша цифрға солға жылжытылады.

Алғашында есте сақтау қиын болса, бірінші әдісті қолдануға болады, онда көбейту қарапайым сандар сияқты орындалады. Жауапта оң жақтағы екі бөлшекте де ондық бөлшектен кейін қанша цифр болса, сонша цифрды санау арқылы бүтін бөлікті бөлшек бөлігінен бөлу керек.

Кіші санды үлкенге бөлу. Жетілдірілген деңгей.

Өткен сабақтардың бірінде кіші санды үлкенге бөлгенде бөлшек шығатынын, оның алымында дивиденд, ал бөлгіште бөлгіш болатынын айтқан болатынбыз.

Мысалы, бір алманы екіге бөлу үшін алымға 1 (бір алма), ал бөлгішке 2 (екі дос) жазу керек. Нәтиже - бөлшек. Сондықтан әр дос бір алма алады. Басқаша айтқанда, жарты алма. Бөлшек – есептің жауабы бір алманы екіге қалай бөлуге болады

1-ді 2-ге бөлсеңіз, бұл мәселені одан әрі шешуге болатыны белгілі болды. Өйткені кез келген бөлшектегі бөлшек жолағы бөлуді білдіреді, яғни бұл бөлу бөлшекте де рұқсат етілген. Бірақ қалай? Біз дивиденд әрқашан бөлгіштен көп болатынына үйреніп қалдық. Ал мұнда, керісінше, дивиденд бөлушіден аз.

Бөлшектің ұсақтау, бөлу, бөлу дегенді білдіретінін еске түсірсек, бәрі түсінікті болады. Бұл құрылғыны екі бөлікке емес, қалауыңызша көптеген бөліктерге бөлуге болатынын білдіреді.

Кіші санды үлкенге бөлген кезде ондық бөлшек алынады, онда бүтін бөлігі 0 (нөл) болады. Бөлшек бөлігі кез келген нәрсе болуы мүмкін.

Олай болса, 1-ді 2-ге бөлейік. Мына мысалды бұрышпен шешейік:

Бұлай екіге бөлуге болмайды. Сұрақ қойсаңыз «Бірінде неше екі» , онда жауап 0 болады. Сондықтан жекеге 0 деп жазып, үтір қоямыз:

Енді, әдеттегідей, қалдықты шығару үшін бөліндіні бөлгішке көбейтеміз:

Құрылғыны екі бөлікке бөлуге болатын сәт келді. Мұны істеу үшін алынғанның оң жағына тағы бір нөл қосыңыз:

10 алдық. 10-ды 2-ге бөлеміз, 5 аламыз. Бесті жауабымыздың бөлшек бөлігіне жазамыз:

Енді есептеуді аяқтау үшін соңғы қалдықты шығарамыз. 5-ті 2-ге көбейтсек, 10 шығады

Біз 0,5 жауап алдық. Сонымен бөлшек 0,5-ке тең

Жарты алманы ондық бөлшек 0,5 арқылы да жазуға болады. Егер осы екі жартыны (0,5 және 0,5) қоссақ, біз қайтадан түпнұсқа бір бүтін алма аламыз:

Бұл тармақты 1 см екі бөлікке қалай бөлінгенін елестетсек, түсінуге болады. Егер сіз 1 сантиметрді 2 бөлікке бөлсеңіз, сіз 0,5 см аласыз

2-мысал 4:5 өрнектің мәнін табыңыз

Төртте неше бес бар? Ештене етпейді. Жеке 0 деп жазып, үтір қоямыз:

0-ді 5-ке көбейтеміз, біз 0 аламыз. Төрттің астына нөл жазамыз. Дивидендтен осы нөлді дереу алып тастаңыз:

Енді төртеуін 5 бөлікке бөлуді (бөлуді) бастайық. Ол үшін 4-тің оң жағына нөлді қосып, 40-ты 5-ке бөлеміз, біз 8 аламыз. Сегізді жеке жазамыз.

Мысалды 8-ді 5-ке көбейту арқылы аяқтаймыз және 40 аламыз:

Біз 0,8 жауап алдық. Сонымен 4:5 өрнегінің мәні 0,8-ге тең

3-мысал 5 өрнектің мәнін табыңыз: 125

125 саны бесте қанша сан бар? Ештене етпейді. Жеке 0 жазып, үтір қоямыз:

0-ді 5-ке көбейтеміз, 0-ді аламыз. Бестің астына 0 жазамыз. Бес 0-ден бірден шегеріңіз

Енді бесті 125 бөлікке бөлуді (бөлуді) бастайық. Ол үшін осы бестің оң жағына нөлді жазамыз:

50-ні 125-ке бөл. 50-де 125 неше сан бар? Ештене етпейді. Сонымен, бөлікке біз қайтадан 0 жазамыз

0-ді 125-ке көбейтеміз, біз 0 аламыз. Бұл нөлді 50-нің астына жазамыз. 50-ден 0-ді бірден азайтамыз.

Енді 50 санын 125 бөлікке бөлеміз. Ол үшін 50-нің оң жағына тағы бір нөл жазамыз:

500-ді 125-ке бөл. 500 санында 125 неше сан бар. 500 санында төрт сан 125. Төртеуін жеке жазамыз:

Мысалды 4-ті 125-ке көбейту арқылы аяқтаймыз және 500 аламыз

Біз 0,04 жауабын алдық. Сонымен 5: 125 өрнегінің мәні 0,04

Сандарды қалдықсыз бөлу

Сонымен, бірліктен кейінгі бөлікке үтір қойайық, осылайша бүтін бөліктерді бөлу аяқталғанын білдіреміз және біз бөлшек бөлікке көшеміз:

Қалған 4-ке нөлді қосыңыз

Енді 40-ты 5-ке бөлеміз, біз 8 аламыз. Сегізді жеке жазамыз:

40−40=0. Қалғанында 0 алынды. Осылайша, бөлу толығымен аяқталды. 9-ды 5-ке бөлгенде 1,8 ондық бөлшек шығады:

9: 5 = 1,8

2-мысал. 84-ті қалдықсыз 5-ке бөл

Алдымен 84-ті әдеттегідей 5-ке қалдықпен бөлеміз:

Жеке 16 және балансқа тағы 4 түсті. Енді осы қалдықты 5-ке бөлеміз. Жекеге үтір қойып, қалған 4-ке 0 қосамыз.

Енді 40-ты 5-ке бөлеміз, біз 8 аламыз. Ондық бөлшектен кейінгі бөлікке сегізді жазамыз:

және әлі қалдық бар-жоғын тексеру арқылы мысалды аяқтаңыз:

Ондық бөлшекті тұрақты санға бөлу

Ондық бөлшек, біз білетіндей, бүтін және бөлшек бөліктен тұрады. Ондық бөлшекті жай санға бөлгенде, ең алдымен:

• ондық бөлшектің бүтін бөлігін осы санға бөлу;
• бүтін бөлік бөлінгеннен кейін жеке бөлікке дереу үтір қойып, қарапайым бөлудегідей есептеуді жалғастыру керек.

Мысалы, 4,8-ді 2-ге бөлейік

Бұл мысалды бұрыш ретінде жазайық:

Енді бүтін бөлікті 2-ге бөлейік.Төртеуді екіге бөлсек, екі. Біз екі сөзді жеке жазамыз және бірден үтір қоямыз:

Енді бөліндіні бөлгішке көбейтеміз және бөлуден қалдық бар-жоғын көреміз:

4−4=0. Қалғаны нөлге тең. Шешім аяқталмағандықтан, біз әлі нөлді жазбаймыз. Содан кейін біз қарапайым бөлудегідей есептеуді жалғастырамыз. 8-ді алып, 2-ге бөліңіз

8: 2 = 4. Бөліндіге төртеуін жазып, оны бірден бөлгішке көбейтеміз:

Жауап алдым 2.4. Өрнек мәні 4.8: 2 2.4-ке тең

2-мысал 8.43:3 өрнектің мәнін табыңыз

8-ді 3-ке бөлеміз, 2-ні аламыз. Екіден кейін бірден үтір қоямыз:

Енді бөліндіні 2 × 3 = 6 бөлгішке көбейтеміз. Алтауды сегіздің астына жазып, қалдықты табамыз:

24-ті 3-ке бөлеміз, 8-ді аламыз. Сегізді жеке жазамыз. Бөлімнің қалған бөлігін табу үшін оны бірден бөлгішке көбейтеміз:

24−24=0. Қалғаны нөлге тең. Нөл әлі жазылмаған. Дивидендтің соңғы үшеуін алып, 3-ке бөліңіз, біз 1 аламыз. Осы мысалды аяқтау үшін бірден 1-ді 3-ке көбейтіңіз:

Жауап 2.81. Сонымен 8.43: 3 өрнегінің мәні 2.81-ге тең

Ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлу

Ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлу үшін дивидендте және бөлгіште үтірді бөлгіштегі ондық бөлшектен кейінгі цифрлар санына қарай оңға жылжытыңыз, содан кейін жай санға бөліңіз.

Мысалы, 5,95-ті 1,7-ге бөліңіз

Бұл өрнекті бұрыш ретінде жазайық

Енді дивидендте және бөлгіште үтірді бөлгіштегі ондық бөлшектен кейінгі цифрлар санына қарай оңға жылжытамыз. Бөлгіште ондық бөлшектен кейін бір цифр болады. Сондықтан біз дивиденд пен бөлгіште үтірді оңға бір цифрға жылжытуымыз керек. Тасымалдауда:

Ондық бөлшекті бір цифрға оңға жылжытқаннан кейін 5,95 ондық бөлшек 59,5 бөлшекке айналды. Ал 1,7 ондық бөлшек ондық бөлшекті бір цифрға оңға жылжытқаннан кейін кәдімгі 17 санына айналды. Ал біз ондық бөлшекті кәдімгі санға қалай бөлу керектігін білеміз. Әрі қарай есептеу қиын емес:

Бөлуді жеңілдету үшін үтір оңға жылжытылады. Бұл дивиденд пен бөлгішті бірдей санға көбейткенде немесе бөлгенде бөлгіштің өзгермейтіндігіне байланысты рұқсат етіледі. Бұл нені білдіреді?

Бұл бөлудің қызықты ерекшеліктерінің бірі. Ол жеке меншік деп аталады. 9 өрнекті қарастырайық: 3 = 3. Егер бұл өрнекте дивиденд пен бөлгіш бірдей санға көбейтілсе немесе бөлінсе, онда 3 бөлімі өзгермейді.

Дивиденд пен бөлгішті 2-ге көбейтіп, не болатынын көрейік:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Мысалдан көрініп тұрғандай, бөлім өзгерген жоқ.

Дивиденд пен бөлгіште үтір қойылған кезде де солай болады. Алдыңғы мысалда 5,91-ді 1,7-ге бөлгенде, дивиденд пен бөлгіште үтірді бір сан оңға жылжыттық. Үтірді жылжытқаннан кейін 5,91 бөлімі 59,1 бөліміне және 1,7 бөлімі әдеттегі 17 санына ауыстырылды.

Шындығында, бұл процестің ішінде 10-ға көбейту орын алды.Ол келесідей болды:

5,91 × 10 = 59,1

Демек, бөлгіштегі ондық бөлшектен кейінгі цифрлардың саны дивиденд пен бөлгіш неге көбейтілетініне байланысты. Басқаша айтқанда, бөлгіштегі ондық бөлшектен кейінгі цифрлар дивидендтегі және бөлгіштегі үтірдің оңға қарай неше цифрдан тұратынын анықтайды.

Ондық бөлшекті 10, 100, 1000-ға бөлу

Ондық бөлшекті 10, 100 немесе 1000-ге бөлу - сияқты орындалады. Мысалы, 2.1-ді 10-ға бөлейік. Мына мысалды бұрышпен шешейік:

Бірақ екінші жолы да бар. Бұл жеңілірек. Бұл әдістің мәні дивидендтегі үтір бөлгіште қанша нөл болса, сонша цифрға солға жылжытылады.

Алдыңғы мысалды осылай шешейік. 2.1: 10. Бөлгішке қараймыз. Бізді оның ішінде қанша нөл бар екені қызықтырады. Бір нөл бар екенін көреміз. Сонымен бөлінетін 2.1-де үтірді солға бір цифрға жылжыту керек. Үтірді бір цифрға солға жылжытамыз және одан артық цифр қалмағанын көреміз. Бұл жағдайда санның алдына тағы бір нөл қосамыз. Нәтижесінде біз 0,21 аламыз

2.1-ді 100-ге бөлуге тырысайық.100 санында екі нөл бар. Сонымен, 2.1 бөлінетінде үтірді екі цифрмен солға жылжыту керек:

2,1: 100 = 0,021

2.1-ді 1000-ға бөлуге тырысайық.1000 санында үш нөл бар. Сонымен, 2.1 бөлінетінде үтірді солға үш цифрға жылжыту керек:

2,1: 1000 = 0,0021

Ондық бөлшекті 0,1, 0,01 және 0,001-ге бөлу

Ондық бөлшекті 0,1, 0,01 және 0,001-ге бөлу -мен бірдей орындалады. Дивидендте және бөлгіште үтірді бөлгіштегі ондық үтірден кейін қанша болса, сонша цифрға оңға жылжыту керек.

Мысалы, 6,3-ті 0,1-ге бөлейік. Ең алдымен, бөлгіштегі ондық бөлшектен кейін қандай цифр болса, дивидендтегі және бөлгіштегі үтірлерді оңға қарай жылжытамыз. Бөлгіште ондық бөлшектен кейін бір цифр болады. Сонымен, біз дивидендтегі және бөлгіштегі үтірлерді оңға бір цифрға жылжытамыз.

Ондық бөлшекті бір цифрға оңға жылжытқаннан кейін 6,3 ондық бөлшек кәдімгі 63 санына, ал 0,1 ондық бөлшекті бір цифрға оңға жылжытқаннан кейін бір цифрға ауысады. Ал 63-ті 1-ге бөлу өте қарапайым:

Сонымен 6.3: 0.1 өрнегінің мәні 63-ке тең

Бірақ екінші жолы да бар. Бұл жеңілірек. Бұл әдістің мәні мынада: дивидендтегі үтір бөлгіште қанша нөл болса, сонша цифрға оңға ауыстырылады.

Алдыңғы мысалды осылай шешейік. 6,3:0,1. Бөлгішке назар аударайық. Бізді оның ішінде қанша нөл бар екені қызықтырады. Бір нөл бар екенін көреміз. Сонымен бөлінетін 6.3-те үтірді оңға бір цифрға жылжыту керек. Үтірді бір цифрға оңға жылжытамыз және 63 аламыз

6,3-ті 0,01-ге бөлуге тырысайық. 0,01 бөлгішінде екі нөл бар. Сонымен бөлінетін 6.3-те үтірді оңға екі цифрға жылжыту керек. Бірақ дивидендте ондық үтірден кейін бір ғана цифр бар. Бұл жағдайда соңында тағы бір нөл қосылуы керек. Нәтижесінде біз 630 аламыз

6,3-ті 0,001-ге бөліп көрейік. 0,001 бөлгішінде үш нөл бар. Сонымен 6.3 бөлінетінде үтірді оңға үш цифрға жылжыту керек:

6,3: 0,001 = 6300

Өз бетінше шешуге арналған тапсырмалар

Сізге сабақ ұнады ма?
Біздің жаңа Вконтакте тобымызға қосылыңыз және жаңа сабақтар туралы хабарландырулар алуды бастаңыз