«Цилиндр, оның элементтері» геометрия сабағының конспектісі. «Цилиндр» тақырыбына геометриядан анықтамалық реферат Тұрақты емес цилиндр

Цилиндр

Def. Цилиндр – бір-біріне тураланған екі шеңберден тұратын дене

параллель аударма және сәйкес нүктелерді қосатын барлық кесінділер

бұл шеңберлер.

Шеңберлерді цилиндрдің табандары деп, ал осы шеңберлердің шеңберлерінің сәйкес нүктелерін қосатын кесінділерді цилиндрдің генераторлары деп атайды (1-сурет).

күріш. 1 сур. 2 сур. 3 сур. төрт

Цилиндрдің қасиеттері:

1) Цилиндрдің табандары тең және параллель жазықтықта жатыр.

2) Цилиндрдің генераторлары тең және параллель.

Def. Цилиндрдің радиусы оның табанының радиусы болып табылады.

Def. Цилиндр биіктігі деп оның табандарының жазықтықтарының арасындағы қашықтықты айтады.

Def. Цилиндрдің цилиндр осінен өтетін жазықтықтағы қимасы осьтік қима деп аталады.

Цилиндрдің осьтік қимасы қабырғалары 2R және болатын тіктөртбұрыш л(түзу цилиндрде л= H) күріш. 2

Цилиндрдің өз осіне параллель қимасы тіктөртбұрыштар (3-сурет).

Цилиндрдің табандарына параллель жазықтықпен кесіндісі – табандарына тең шеңбер (4-сурет)

Цилиндрдің бетінің ауданы.

Цилиндрдің бүйір беті генераторлардан тұрады.

Цилиндрдің толық беті негіздер мен бүйір бетінен тұрады.

С толық = 2 С негізгі + С жағы ; С негізгі = П ∙ Р 2 ; С жағы = 2 П ∙ Р ∙НС толық = 2PР ∙(Р + H)

Практикалық бөлім:

№1. Цилиндрдің радиусы 3см, биіктігі 5см. Осьтік қиманың ауданын және жартысының ауданын табыңыз.

цилиндрдің беті.

№2. Цилиндрдің осьтік қимасының диагоналы негіз жазықтығына бұрышпен көлбеу.
және 20 см-ге тең.Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

№3. Цилиндрдің радиусы 2 см, биіктігі 3 см. Цилиндрдің осьтік қимасының диагоналін табыңыз.

№4. Цилиндрдің осьтік қимасының диагоналы, тең
, табан жазықтығымен бұрыш жасайды
. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

№5. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы 15 . Осьтік қиманың ауданын табыңыз.

№6. Цилиндрдің табанының ауданы 1 және S жағы = болса, оның биіктігін табыңыз
.

№7. Цилиндрдің осьтік қимасының диагоналы ұзындығы 8 см және табан жазықтығына бұрышпен көлбеу.
. Цилиндрдің жалпы ауданын табыңыз.

Диаметрі 65 см цилиндрлік мұржаның биіктігі 18 м. Тойтармаға материалдың 10% жұмсалса, оны жасау үшін қанша қалайы қажет?

Сабақтың тақырыбы: Цилиндр, оның элементтері.

Сабақтың мақсаты:

Оқушылардың айналым денесі – цилиндр туралы білімдерін бекіту (цилиндр элементтері, цилиндрдің бүйір және толық бетінің ауданы формулалары).

Оқушы мақсаты:ҰБТ тапсырмаларында цилиндрге арналған типтік тапсырмаларды шеше білу.

Сабақтың мақсаттары:

1. типтік есептерді шешу дағдыларын қалыптастыру;

2. дөңгелек денелер мысалында кеңістік бейнелерін әзірлеу;

3. логикалық және графикалық дағдыларды қалыптастыруды жалғастыру.

Сабақтың түрі: біріктірілген.

Оқыту әдістері:сөздік, практикалық іс-әрекет, кітаппен жұмыс, проблемалық.

Жабдық:тақта, №3 кесте, үлгілер жинағы.

Сабақтар кезінде

1. Ұйымдастыру кезеңі:

1. мақсат қою

2. психологиялық қатынас.

2. Негізгі білімді өзектендіру.

1) Карточкамен жұмыс.

Оқушылардан жұмыс парағын толтыру ұсынылады.

Көшіру арқылы жұмыс істеуге болады (бұл жағдайда бір данасы мұғалімге тапсырылады, ал екінші студент сабақта әрі қарай жұмыс істеу барысында тексереді).

Карта.

1. Цилиндрдің негізгі элементтерін сызбаға салыңыз.

2

.Бейнелеу а) цилиндрдің осьтік қимасын; б) цилиндр осіне перпендикуляр өтетін жазықтықтың цилиндр қимасы; в) цилиндрдің цилиндр осіне параллель жазықтықпен кесіндісі. Әрбір жағдайда қандай фигура алынады?

3. Цилиндрдің бетінің ауданын есептеу формулаларын жаз.

Бұл формулалар арқылы нені табуға болады? Бұл жағдайларда нені білу керек?

Оқушылар жұмыс парақтарын тапсырады.

3. Модельдер бойынша ауызша жұмыс. (білімді жалпылау және орындалған жұмысты тексеру мақсатында)

1) Цилиндр деп қандай пішінді айтады?

Цилиндр - Бұл параллель жазықтықта орналасқан екі тең шеңберден және осы шеңберлердің сәйкес нүктелерін қосатын кесінділер жиынынан тұратын геометриялық дене.

2) Цилиндр неге айналмалы дене деп аталады?

Тіктөртбұрышты оның бір қабырғасының айналасында айналдыру арқылы цилиндрді алуға болады.

3) Цилиндрлердің қандай түрлері бар?

Көлбеу цилиндрлер, түзу цилиндрлер, цилиндрлік беттер.

4) Цилиндрдің элементтерін ата.

Цилиндр негіздері - параллель жазықтықта орналасқан тең шеңберлер.

Цилиндр биіктігі - бұл оның табандарының жазықтықтары арасындағы қашықтық.

Цилиндр радиусы оның табанының радиусы болып табылады.

Цилиндр осі цилиндр табанының орталықтары арқылы өтетін түзу сызық (цилиндр осі цилиндрдің айналу осі).

Цилиндр генерациясы - бұл жоғарғы табан шеңберінің нүктесін төменгі табан шеңберінің сәйкес нүктесімен қосатын кесінді. Барлық генераторлар айналу осіне параллель және бірдей ұзындыққа ие, цилиндрдің биіктігіне тең.

Цилиндрдің генератриксі ось айналасында айналу кезінде пайда болады цилиндрдің бүйірлік (цилиндрлік) беті .

5) Цилиндрді сыпыру дегеніміз не?

6) Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын қалай табуға болады?

С б = Х · C = 2 π RH

7) Цилиндрдің жалпы бетінің ауданын қалай табуға болады?

С П = С б + 2 С = 2 π Р (Р + Х ).

8) Цилиндрдің секцияларының негізгі түрлері қандай. Әрбір жағдайда қандай фигура алынады?

Цилиндрдің осьтік қимасы - цилиндрдің цилиндр осі арқылы өтетін жазықтықпен кесіндісі (цилиндрдің осьтік қимасы цилиндрдің симметрия жазықтығы). Цилиндрдің барлық осьтік қималары тең тіктөртбұрыштар.

көлденең қима цилиндр осіне параллель жазықтық. Бөлім тіктөртбұрыш.

Жазықтық бөлімі цилиндр осіне перпендикуляр. Көлденең қимадағы шеңберлер, негізге тең.

9) Цилиндрлердің қолданылуына мысалдар келтір.

Цилиндрлік гастрономия. Цилиндрлік архитектура. Перғауынның цилиндрлері (оқушының орындауы 1-2 минут).

4. Материалды бекіту. Мәселені шешу.

Сағат Оқушылар сынып жұмысына арналған тапсырмалар тізімін көреді. Қаласаңыз, студенттердің бағадан бұрын шешім қабылдауға мүмкіндігі бар.

№ 2 . Цилиндрдің осьтік қимасы диагоналы 20 см болатын квадратты табыңыз: а) цилиндрдің биіктігін; б) Сонымен цилиндр.

№3 Цилиндрдің осьтік қимасының ауданы 10 м 2, ал базасының ауданы 5 м 2. Цилиндрдің биіктігін табыңыз.

№4 AB сегментінің ұштары цилиндрдің әртүрлі табандарында жатыр. Цилиндрдің радиусы r, оның жоғары - h, АВ түзу сызығы мен цилиндр осінің арасындағы қашықтық г. Табу: а) биіктігі, егер r = 10, г= 8, AB = 13.

№5* Цилиндрдің АА 1 генератриксі арқылы екі секанттық жазықтық жүргізілген, оның біреуі цилиндр осі арқылы өтеді. Цилиндрдің көлденең қималарының осы жазықтықтарға қатынасын табыңыз, егер олардың арасындағы бұрыш j-ге тең болса.

Цилиндр осіне параллель g жазықтығы табан шеңберінен А доғасын кесіп тастайды. м D дәреже өлшемімен a . Цилиндрдің радиусы а, биіктігі h, цилиндрдің OO 1 осі мен g жазықтығы арасындағы қашықтық тең г.

Сіз не үйрендіңіз?

Сабақтың соңындағы көңіл-күйлерің қандай?

Бүгін сабақтан қалған сыныптасыма осы есептердің шешімін түсіндіре аласыз ба?

Цилиндр (дөңгелек цилиндр) – параллель тасымалдау арқылы біріктірілген екі шеңберден және осы шеңберлердің сәйкес нүктелерін қосатын барлық сегменттерден тұратын дене. Шеңберлерді цилиндрдің табандары деп, ал шеңберлердің шеңберлерінің сәйкес нүктелерін қосатын кесінділерді цилиндрдің генераторлары деп атайды.

Цилиндрдің табандары тең және параллель жазықтықта жатады, ал цилиндрдің генераторлары параллель және тең. Цилиндрдің беті негіздер мен бүйір бетінен тұрады. Бүйір беті генераторлармен қалыптасады.

Цилиндр түзу деп аталады, егер оның генераторлары табан жазықтықтарына перпендикуляр болса. Цилиндрді тіктөртбұрышты ось ретінде оның бір қабырғасының айналасында айналдыру арқылы алынған дене ретінде қарастыруға болады. Цилиндрдің басқа түрлері бар - эллиптикалық, гиперболалық, параболалық. Призма да цилиндрдің бір түрі ретінде қарастырылады.

2-суретте көлбеу цилиндр көрсетілген. Центрлері O және O 1 болатын шеңберлер оның табандары болып табылады.

Цилиндрдің радиусы оның табанының радиусы болып табылады. Цилиндрдің биіктігі - бұл негіздердің жазықтықтарының арасындағы қашықтық. Цилиндрдің осі – табандарының центрлері арқылы өтетін түзу. Ол генераторларға параллель орналасқан. Цилиндрдің цилиндр осінен өтетін жазықтықтағы қимасы осьтік қима деп аталады. Түзу цилиндрдің генератрицасынан өтетін және осы генератрица арқылы жүргізілген осьтік қимаға перпендикуляр болатын жазықтық цилиндрдің жанама жазықтығы деп аталады.

Цилиндр осіне перпендикуляр жазықтық оның бүйір бетін табанының шеңберіне тең шеңбер бойымен қиып өтеді.

Цилиндрге сызылған призма деп табандары цилиндр табандарына іштей сызылған тең көпбұрыштар болатын призманы айтады. Оның бүйірлік жиектері цилиндрдің генераторлары болып табылады. Призманы цилиндрге жақын сызылған деп атайды, егер оның табандары цилиндр табандарының жанында сызылған тең көпбұрыштар болса. Оның беттерінің жазықтықтары цилиндрдің бүйір бетіне тиеді.

Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын генератрицаның ұзындығын цилиндр қимасының периметріне генератрицаға перпендикуляр жазықтыққа көбейту арқылы есептеуге болады.

Оң жақ цилиндрдің бүйір бетінің ауданын оның дамуынан табуға болады. Цилиндрдің дамуы - биіктігі h және ұзындығы P тіктөртбұрыш, ол негіздің периметріне тең. Демек, цилиндрдің бүйір бетінің ауданы оның даму ауданына тең және формула бойынша есептеледі:

Атап айтқанда, оң жақ дөңгелек цилиндр үшін:

P = 2πR, және Sb = 2πRh.

Цилиндрдің жалпы бетінің ауданы оның бүйір беті мен табанының аудандарының қосындысына тең.

Тікелей дөңгелек цилиндр үшін:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Көлбеу цилиндрдің көлемін табудың екі формуласы бар.

Генератрицаның ұзындығын цилиндрдің көлденең қимасының ауданына генератрицаға перпендикуляр жазықтыққа көбейту арқылы көлемді табуға болады.

Көлбеу цилиндрдің көлемі негіз ауданы мен биіктіктің көбейтіндісіне тең (негіздер жатқан жазықтықтар арасындағы қашықтық):

V = Sh = S l sin α,

мұндағы l – генерацияның ұзындығы, ал α – генератрица мен табан жазықтығы арасындағы бұрыш. Түзу цилиндр үшін h = l.

Дөңгелек цилиндрдің көлемін табу формуласы келесідей:

V \u003d π R 2 сағ \u003d π (d 2/4) сағ,

мұндағы d – негізгі диаметр.

сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.

Цилиндрлік бет түзу сызықты өзіне параллель жылжыту арқылы пайда болады. Таңдалған түзудің нүктесі берілген жазық қисық бойымен қозғалады - нұсқаулық. Бұл сызық деп аталады цилиндрлік беттің генерациясы.

Түзу цилиндргенераторлары негізге перпендикуляр орналасқан цилиндр болып табылады. Егер цилиндрдің генераторлары негізге перпендикуляр болмаса, онда бұл болады көлбеу цилиндр.

дөңгелек цилиндр- табаны шеңбер болатын цилиндр.

дөңгелек цилиндр- әрі түзу, әрі дөңгелек пішінді цилиндр.

Тікелей дөңгелек цилиндртабанының радиусымен анықталады Ржәне генерациялау Л, ол цилиндрдің биіктігіне тең Х.

Призма - цилиндрдің ерекше корпусы.

Цилиндрдің элементтерін табуға арналған формулалар.

Оң жақ дөңгелек цилиндрдің бүйір бетінің ауданы:

S жағы = 2πRH

Оң жақ дөңгелек цилиндрдің жалпы бетінің ауданы:

S=Sжағы+ 2Sнегізгі = 2 π R(H+R)

Түзу дөңгелек цилиндрдің көлемі:

V = S негізгі H = πR 2 H

Тікелей дөңгелек цилиндр табаны қисық немесе қысқа фасалы цилиндр табанның радиусымен анықталады. Р, ең төменгі биіктік h1және максималды биіктік h2.

Қиық цилиндрдің бүйір бетінің ауданы:

S жағы \u003d πR (сағ 1 + сағ 2)

Қиық цилиндрдің табандарының ауданы.

Цилиндр – екі параллель жазықтықпен және цилиндрлік бетпен шектелген геометриялық дене. Мақалада біз цилиндрдің ауданын қалай табуға болатыны туралы сөйлесеміз және формуланы қолдана отырып, мысалы, бірнеше мәселені шешеміз.

Цилиндрдің үш беті бар: үстіңгі, астыңғы және бүйір беті.

Цилиндрдің үстіңгі және астыңғы жағы шеңбер болып табылады және оларды анықтау оңай.

Шеңбердің ауданы πr 2-ге тең екені белгілі. Демек, екі шеңбердің (цилиндрдің үстіңгі және астыңғы жағы) ауданы үшін формула πr 2 + πr 2 = 2πr 2 сияқты болады.

Цилиндрдің үшінші, бүйір беті - цилиндрдің қисық қабырғасы. Бұл бетті жақсырақ көрсету үшін оны танылатын пішінді алу үшін түрлендіруге тырысайық. Цилиндрді үстіңгі қақпағы мен түбі жоқ кәдімгі қаңылтыр банка деп елестетіңіз. Құмыраның жоғарғы жағынан төменгі жағына қарай бүйір қабырғасына тік кесу жасайық (суреттегі 1-қадам) және алынған фигураны мүмкіндігінше ашуға (түзетуге) тырысамыз (2-қадам).

Алынған құмыраны толық ашқаннан кейін біз таныс фигураны көреміз (3-қадам), бұл тіктөртбұрыш. Тіктөртбұрыштың ауданын есептеу оңай. Бірақ бұған дейін бастапқы цилиндрге бір сәт оралайық. Бастапқы цилиндрдің төбесі шеңбер болып табылады және біз шеңбердің шеңбері мына формуламен есептелетінін білеміз: L = 2πr. Ол суретте қызыл түспен белгіленген.

Цилиндрдің бүйір қабырғасы толығымен кеңейтілгенде, біз шеңбердің алынған тіктөртбұрыштың ұзындығына айналатынын көреміз. Бұл тіктөртбұрыштың қабырғалары шеңбер (L = 2πr) және цилиндрдің биіктігі (h) болады. Тіктөртбұрыштың ауданы оның қабырғаларының көбейтіндісіне тең - S = ұзындық x ені = L x h = 2πr x h = 2πrh. Нәтижесінде біз цилиндрдің бүйір бетінің ауданын есептеу формуласын алдық.

Цилиндрдің бүйір бетінің ауданының формуласы
S жағы = 2prh

Цилиндрдің толық бетінің ауданы

Соңында, егер біз барлық үш беттің ауданын қоссақ, цилиндрдің жалпы бетінің формуласын аламыз. Цилиндрдің бетінің ауданы цилиндрдің үстіңгі бөлігінің ауданы + цилиндр табанының ауданы + цилиндрдің бүйір бетінің ауданы немесе S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Кейде бұл өрнек 2πr (r + h) бірдей формуласымен жазылады.

Цилиндрдің жалпы бетінің ауданы формуласы
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – цилиндрдің радиусы, h – цилиндрдің биіктігі

Цилиндрдің бетінің ауданын есептеу мысалдары

Жоғарыда келтірілген формулаларды түсіну үшін мысалдар арқылы цилиндрдің бетінің ауданын есептеуге тырысайық.

1. Цилиндр табанының радиусы 2, биіктігі 3. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын анықтаңдар.

Бетінің жалпы ауданы мына формуламен есептеледі: S жағы. = 2prh

S жағы = 2 * 3,14 * 2 * 34,6. Алынған жалпы рейтингтер: 990.