Төртбұрыштың анықтамасы. Толық сабақтар – Knowledge гипермаркети

Мектеп курсындағы геометриядан ең қызықты тақырыптардың бірі – «Төртбұрыштар» (8 сынып). Мұндай фигуралардың қандай түрлері бар, олардың қандай ерекше қасиеттері бар? Тоқсан градус бұрыштары бар төртбұрыштардың ерекшелігі неде? Осының бәрін қарастырайық.

Қандай геометриялық фигураны төртбұрыш деп атайды

Төрт жақтан және сәйкесінше төрт төбеден (бұрыштар) тұратын көпбұрыштар евклид геометриясында төртбұрыштар деп аталады.

Бұл түрдегі қайраткерлердің аталу тарихы қызықты. Орыс тілінде «төртбұрыш» деген зат есім «төрт бұрыш» тіркесінен жасалған («үшбұрыш» - үш бұрыш, «бес бұрыш» - бес бұрыш, т.б. сияқты).

Алайда, латын тілінде (олар арқылы көптеген геометриялық терминдер әлемнің көптеген тілдеріне келді) оны төртбұрыш деп атайды. Бұл сөз квадри (төрт) саны мен латус (жақ) есімдігінен жасалған. Ежелгі адамдар арасында бұл көпбұрышты тек «төрт қырлы» деп атаған деген қорытынды жасауға болады.

Айтпақшы, мұндай атау (осы түрдегі фигураларда бұрыштардың емес, төрт жағының болуына баса назар аудара отырып) қазіргі кейбір тілдерде сақталған. Мысалы, ағылшын тілінде – quadrilateral, француз тілінде – quadrilatère.

Сонымен қатар, көптеген славян тілдерінде фигуралардың қарастырылатын түрі әлі де жақтары емес, бұрыштардың саны бойынша анықталады. Мысалы, словак тілінде (štvoruholník), болгар тілінде («четиригалник»), белорус тілінде («чатырохкутник»), украин тілінде («чотирикутник»), чех тілінде (čtyřúhelník), бірақ поляк тілінде төртбұрышты санмен атайды. жақтары - czworoboczny.

Мектеп бағдарламасында төртбұрыштың қандай түрлері оқытылады

Қазіргі геометрияда төрт қырлы көпбұрыштардың 4 түрі бар.

Бірақ олардың кейбіреулерінің тым күрделі қасиеттеріне байланысты геометрия сабақтарында мектеп оқушыларын тек екі түрімен таныстырады.

• Параллелограмм.Мұндай төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары бір-біріне жұп параллель және сәйкесінше жұптарда да тең болады.
• Трапеция (трапеция немесе трапеция).Бұл төртбұрыш бір-біріне параллель екі қарама-қарсы қабырғадан тұрады. Дегенмен, басқа жақтардың жұбында бұл мүмкіндік жоқ.

Мектептегі геометрия курсында оқытылмаған төртбұрыш түрлері

Жоғарыда айтылғандардан басқа, мектеп оқушылары геометрия сабақтарында олардың ерекше күрделілігіне байланысты таныспайтын төртбұрыштың тағы екі түрі бар.

• Дельтоид (батпырауық)- екі жұп көрші жақтардың әрқайсысының ұзындығы бір-біріне тең болатын фигура. Мұндай төртбұрыш өз атауын сыртқы түрі бойынша грек алфавитінің «дельта» әрпіне қатты ұқсайтындығына байланысты алды.
• Антипараллелограмм- бұл фигура аты сияқты күрделі. Онда қарама-қарсы екі жақ тең, бірақ сонымен бірге олар бір-біріне параллель емес. Сонымен қатар, бұл төртбұрыштың ұзын қарама-қарсы жақтары бір-бірімен қиылысады, басқа екі, қысқа жақтардың ұзартулары.

Параллелограмның түрлері

Төртбұрыштардың негізгі түрлерін қарастыра отырып, оның кіші түрлеріне назар аударған жөн. Сонымен, барлық параллелограммдар өз кезегінде төрт топқа бөлінеді.

• Классикалық параллелограмм.
• Ромб (ромб)- қабырғалары тең төртбұрышты фигура. Оның диагональдары тік бұрыш жасап, ромбты төрт бірдей тікбұрышты үшбұрышқа бөледі.
• Тіктөртбұрыш.Аты өзі үшін сөйлейді. Бұл тік бұрыштары бар төртбұрыш болғандықтан (олардың әрқайсысы тоқсан градусқа тең). Оның қарама-қарсы жақтары бір-біріне параллель ғана емес, сонымен қатар тең.
• Шаршы (шаршы).Тіктөртбұрыш сияқты, ол тік бұрыштары бар төртбұрыш, бірақ оның барлық қабырғалары бір-біріне тең. Бұл фигура ромбқа жақын. Сонымен, шаршы ромб пен тіктөртбұрыштың арасындағы крест деп айтуға болады.

Төртбұрыштың арнайы қасиеттері

Қабырғалар арасындағы бұрыштардың әрқайсысы тоқсан градусқа тең болатын сандарды ескере отырып, тіктөртбұрышқа жақынырақ тоқталған жөн. Сонымен, оны басқа параллелограммдардан ерекшелейтін қандай ерекше белгілері бар?

Қарастырылып отырған параллелограммның тіктөртбұрыш екенін бекіту үшін оның диагональдары бір-біріне тең, ал бұрыштарының әрқайсысы тік болуы керек. Сонымен қатар, оның диагональдарының квадраты осы фигураның көршілес екі жақтарының квадраттарының қосындысына сәйкес келуі керек. Басқаша айтқанда, классикалық тіктөртбұрыш екі тік бұрышты үшбұрыштан тұрады және оларда, белгілі болғандай, қарастырылып отырған төртбұрыштың диагоналы гипотенузаның қызметін атқарады.

Бұл фигураның аталған белгілерінің соңғысы да оның ерекше қасиеті болып табылады. Бұдан басқа, басқалары бар. Мысалы, тік бұрыштары бар зерттелетін төртбұрыштың барлық қабырғалары бір уақытта оның биіктіктері болатыны.

Сонымен қатар, егер кез келген тіктөртбұрыштың айналасында шеңбер сызылған болса, оның диаметрі жазылған фигураның диагоналіне тең болады.

Бұл төртбұрыштың басқа қасиеттерінің қатарында оның жазық болуы және евклидтік емес геометрияда жоқтығы. Бұл мұндай жүйеде бұрыштарының қосындысы үш жүз алпыс градусқа тең төртбұрышты фигуралар болмайтындығына байланысты.

Шаршы және оның ерекшеліктері

Тіктөртбұрыштың белгілері мен қасиеттерін қарастыра отырып, тік бұрыштары бар ғылымға белгілі екінші төртбұрышқа (бұл шаршы) назар аударған жөн.

Шын мәнінде бірдей тіктөртбұрыш, бірақ қабырғалары тең болғандықтан, бұл фигураның барлық қасиеттері бар. Бірақ одан айырмашылығы, шаршы евклидтік емес геометрияда бар.

Сонымен қатар, бұл фигураның басқа да өзіндік ерекшеліктері бар. Мысалы, шаршының диагональдарының бір-біріне тең болуы ғана емес, сонымен қатар тік бұрыш жасап қиылысуы. Осылайша, ромб сияқты шаршы төрт бұрышты үшбұрыштан тұрады, олар диагональдармен бөлінген.

Сонымен қатар, бұл көрсеткіш барлық төртбұрыштар арасында ең симметриялы болып табылады.

Төртбұрыштың бұрыштарының қосындысы неге тең

Евклид геометриясының төртбұрыштарының ерекшеліктерін ескере отырып, олардың бұрыштарына назар аударған жөн.

Сонымен, жоғарыда аталған фигуралардың әрқайсысында, оның тік бұрыштары бар ма, жоқ па, қарамастан, олардың жалпы сомасы әрқашан бірдей - үш жүз алпыс градус. Бұл фигураның осы түрінің ерекше ерекшелігі.

Төртбұрыштардың периметрі

Төртбұрыштың бұрыштарының қосындысы не екенін және осы түрдегі фигуралардың басқа да ерекше қасиеттерін анықтағаннан кейін, олардың периметрі мен ауданын есептеу үшін қандай формулалар жақсы қолданылатынын білу керек.

Кез келген төртбұрыштың периметрін анықтау үшін оның барлық қабырғаларының ұзындығын қосу жеткілікті.

Мысалы, KLMN суретінде оның периметрін мына формула арқылы есептеуге болады: P \u003d KL + LM + MN + KN. Мұндағы сандарды ауыстырсаңыз, мынаны аласыз: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (см).

Қарастырылып отырған фигура ромб немесе шаршы болған жағдайда, периметрді табу үшін оның бір жағының ұзындығын төртке көбейту арқылы формуланы жеңілдетуге болады: P \u003d KL x 4. Мысалы: 6 x 4 \u003d 24 (см).

Ауданның төртбұрыш формулалары

Төрт бұрышы мен жағы бар кез келген фигураның периметрін қалай табуға болатындығын анықтай отырып, оның ауданын табудың ең танымал және қарапайым тәсілдерін қарастырған жөн.

Төртбұрыштың басқа қасиеттері: іштей сызылған және сызылған шеңберлер

Евклид геометриясының фигурасы ретінде төртбұрыштың ерекшеліктері мен қасиеттерін қарастыра отырып, оның айналасындағы шеңберлерді суреттеу немесе жазу мүмкіндігіне назар аударған жөн:

• Егер фигураның қарама-қарсы бұрыштарының қосындылары әрқайсысы жүз сексен градус болса және бір-біріне жұптық тең болса, онда мұндай төртбұрыштың айналасында шеңберді еркін сипаттауға болады.
• Птолемей теоремасы бойынша, егер шеңбер төрт қабырғасы бар көпбұрыштың сыртына сызылған болса, онда оның диагональдарының көбейтіндісі берілген фигураның қарама-қарсы қабырғаларының көбейтінділерінің қосындысына тең болады. Осылайша, формула келесідей болады: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Егер сіз қарама-қарсы қабырғаларының қосындылары бір-біріне тең төртбұрыш салсаңыз, онда шеңберді жазуға болады.

Төртбұрыштың не екенін, оның қандай түрлері бар екенін, олардың қайсысының қабырғалары арасында тек тік бұрыштары бар екенін және олардың қандай қасиеттері бар екенін анықтай отырып, осы материалдың барлығын есте ұстаған жөн. Атап айтқанда, қарастырылатын көпбұрыштардың периметрі мен ауданын табуға арналған формулалар. Өйткені, бұл пішіндегі фигуралар ең кең таралғандардың бірі болып табылады және бұл білім нақты өмірде есептеулер үшін пайдалы болуы мүмкін.

1 . Дөңес төртбұрыштың диагональдарының қосындысы оның қарама-қарсы екі қабырғасының қосындысынан үлкен.

2 . Қарама-қарсы жақтардың ортаңғы нүктелерін қосатын кесінділер болса төртбұрыш

а) тең, онда төртбұрыштың диагональдары перпендикуляр;

б) перпендикуляр болса, төртбұрыштың диагональдары тең болады.

3 . Трапецияның бүйір жағындағы бұрыштардың биссектрисалары оның орта сызығында қиылысады.

4 . Параллелограмның қабырғалары тең және . Сонда параллелограмның бұрыштарының биссектрисаларының қиылысуынан пайда болған төртбұрыш диагональдары тең тіктөртбұрыш болады.

5 . Егер трапеция табандарының біріндегі бұрыштардың қосындысы 90° болса, онда трапеция табандарының ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді олардың жарты айырымына тең болады.

6 . Бүйірлерде ABжәне ADпараллелограмм А Б С Дұпайлар алынады Мжәне Нсондықтан тура ХАНЫМжәне NCПараллелограммды үш тең ​​бөлікке бөліңіз. Табу MN,егер BD=d.

7 . Трапецияның табандарына параллель түзу сызықтың трапеция ішінде қоршалған кесіндісі оның диагональдары бойынша үш бөлікке бөлінеді. Сонда жақтарға іргелес сегменттер бір-біріне тең болады.

8 . Трапецияның диагональдарының табандары мен қиылысу нүктесі арқылы табандарына параллель түзу жүргізілген. Бұл түзудің трапеция қабырғаларының арасына салынған кесіндісі тең.

9 . Трапецияның табандарына параллель және тең түзу бөлінеді , тең екі трапецияға бөлінеді. Сонда бұл түзудің қабырғаларының арасына салынған кесіндісі -ге тең.

10 . Төмендегі шарттардың бірі орындалса, төрт ұпай A, B, Cжәне Dбір шеңберде жату.

а) CAD = CBD = 90°.

б) ұпай БІРАҚжәне ATтүзудің бір жағында жату CDжәне бұрыш CADбұрышқа тең CBD

в) түзу ACжәне BDнүктеде қиылысады Ожәне O A OS=OV OD.

11 . Нүктені қосатын түзу Ртөртбұрыштың диагональдарының қиылысулары ABCD барнүкте Qсызықтардың қиылысулары ABжәне CD,жағын бөледі ADжартысында. Содан кейін ол екіге бөлінеді және бір жағы Күн.

12 . Дөңес төртбұрыштың әр қабырғасы тең үш бөлікке бөлінген. Қарама-қарсы жақтағы сәйкес бөлу нүктелері кесінділер арқылы қосылған. Содан кейін бұл кесінділер бір-бірін үш тең ​​бөлікке бөледі.

13 . Екі түзу дөңес төртбұрыштың қарама-қарсы екі қабырғасының әрқайсысын тең үш бөлікке бөледі. Содан кейін осы сызықтардың арасында төртбұрыштың үштен бір бөлігі жатыр.

14 . Егер төртбұрышқа шеңберді сызуға болатын болса, онда сызылған шеңбер төртбұрыштың қарама-қарсы жақтарына жанасатын нүктелерді қосатын кесінді диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы өтеді.

15 . Егер төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының қосындылары тең болса, онда мұндай төртбұрышқа шеңберді сызуға болады.

16. Өзара перпендикуляр диагональдары бар іштей сызылған төртбұрыштың қасиеттері.Төртбұрыш А Б С Драдиусы бар шеңберге сызылған Р.Оның диагональдары ACжәне BDөзара перпендикуляр және бір нүктеде қиылысады Р.Содан кейін

а) үшбұрыштың медианасы ARVжағына перпендикуляр CD;

б) үзік сызық AOCтөртбұрышты бөледі А Б С Декі бірдей фигураға;

в) AB 2 + CD 2=4Р 2 ;

G) AP 2 + BP 2 + SR 2 + DP 2 = 4Р 2 және AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = 8R 2;

д) шеңбердің центрінен төртбұрыштың қабырғасына дейінгі қашықтық қарама-қарсы қабырғасының жартысына тең.

f) егер перпендикулярлар бүйірге түсіп кетсе ADшыңдардан ATжәне FROM,көлденең диагональдар ACжәне BDнүктелерде Ежәне F,содан кейін BCFE- ромб;

ж) төбелері нүктенің проекциялары болатын төртбұрыш Ртөртбұрыштың жағында А Б С Д,- жазылған және сипатталған;

з) төртбұрыштың шектелген шеңберіне жанамалардан құрылған төртбұрыш А Б С Д,оның төбесінде сызылған шеңберге жазуға болады.

17 . Егер а а, b, c, d- төртбұрыштың кезекті қабырғалары, С- оның ауданы, демек, диагональдары өзара перпендикуляр болатын іштей сызылған төртбұрыш үшін ғана теңдік орын алады.

18 . Брахмагупта формуласы.Егер сызылған төртбұрыштың қабырғалары тең болса a, b, cжәне d,содан кейін оның ауданы Сформула бойынша есептеуге болады,

қайда төртбұрыштың жарты периметрі болып табылады.

19 . Егер қабырғалары бар төртбұрыш болса а, b, c, dжазуға болады және оның айналасында шеңберді сызуға болады, онда оның ауданы тең болады .

20 . P нүктесі шаршының ішінде орналасқан А Б С Д,және бұрыш PABбұрышқа тең RVAжәне тең 15°. Содан кейін үшбұрыш DPC- тең қабырғалы.

21 . Егер сызылған төртбұрыш үшін А Б С Дтеңдік CD=AD+BC,онда оның бұрыштарының биссектрисалары БІРАҚжәне ATжағында қиылысады CD.

22 . Қарама-қарсы жақтардың жалғасы ABжәне CDсызылған төртбұрыш А Б С Днүктеде қиылысады М,және жақтары ADжәне күн- нүктеде Н.Содан кейін

а) бұрыш биссектрисалары AMDжәне DNCөзара перпендикуляр;

б) түзу MQжәне NQтөртбұрыштың қабырғаларын ромбтың төбелерінде қиылысу;

в) қиылысу нүктесі Qосы биссектрисалар төртбұрыштың диагональдарының ортаңғы нүктелерін қосатын кесіндіде жатыр. А Б С Д.

23 . Птолемей теоремасы.Іштей сызылған төртбұрыштың екі жұп қарама-қарсы қабырғаларының көбейтінділерінің қосындысы оның диагональдарының көбейтіндісіне тең.

24 . Ньютон теоремасы.Кез келген сызылған төртбұрышта диагональдардың ортаңғы нүктелері мен іштей сызылған шеңбердің центрі бір түзуде жатыр.

25 . Монж теоремасы.Қарама-қарсы қабырғаларына перпендикуляр сызылған төртбұрыштың қабырғаларының ортаңғы нүктелері арқылы жүргізілген түзулер бір нүктеде қиылысады.

27 . Диаметрлері дөңес төртбұрыштың бүйірлеріне салынған төрт шеңбер бүкіл төртбұрышты қамтиды.

29 . Дөңес төртбұрыштың қарама-қарсы екі бұрышы доғал болады. Сонда бұл бұрыштардың төбелерін қосатын диагональ басқа диагональдан кіші болады.

30. Оның сыртындағы параллелограмның бүйірлеріне салынған шаршылардың орталықтары өздері шаршы құрайды.

Тағы да сұрақ: ромб параллелограмм ба, жоқ па?

Толық оң жақпен - параллелограмм, өйткені оның және (біздің 2 белгісін есте сақтаңыз).

Және тағы да, ромб параллелограмм болғандықтан, ол параллелограмның барлық қасиеттеріне ие болуы керек. Бұл ромбтың қарама-қарсы бұрыштары тең, қарама-қарсы қабырғалары параллель және диагональдары қиылысу нүктесімен екіге бөлінгенін білдіреді.

Ромб қасиеттері

Суретке қара:

Тіктөртбұрыш жағдайындағы сияқты, бұл қасиеттер ерекше, яғни осы қасиеттердің әрқайсысы үшін бізде жай параллелограмм емес, ромб бар деген қорытынды жасауға болады.

Ромбтың белгілері

Тағы да назар аударыңыз: перпендикуляр диагональдары бар төртбұрыш емес, параллелограмм болуы керек. Көз жеткізу:

Жоқ, әрине олай емес, оның диагональдары және перпендикуляр болса да, диагональ бұрыштардың биссектрисасы u. Бірақ ... диагональдары бөлінбейді, қиылысу нүктесі жартысында, сондықтан - параллелограмм ЕМЕС, демек РОмб ЕМЕС.

Яғни, шаршы бір уақытта тіктөртбұрыш пен ромб. Бұдан не шығатынын көрейік.

Неге екені түсінікті ме? - ромб – А бұрышының биссектрисасы, ол тең. Осылайша ол (және де) екі бұрышқа бөлінеді.

Бұл өте түсінікті: тіктөртбұрыштың диагональдары тең; ромб диагональдары перпендикуляр, ал жалпы - параллелограммдық диагональдар қиылысу нүктесіне екіге бөлінеді.

ОРТАША ДЕҢГЕЙ

Төртбұрыштың қасиеттері. Параллелограмм

Параллелограмның қасиеттері

Назар аударыңыз! Сөздер » параллелограмның қасиеттері» дегенді білдіреді, егер сізде тапсырма бар болса сонда барпараллелограмм болса, онда төмендегілердің барлығын қолдануға болады.

Параллелограмның қасиеттері туралы теорема.

Кез келген параллелограммда:

Неліктен бұл дұрыс, басқаша айтқанда, көрейік ДӘЛЕЛДЕЙМІЗтеорема.

Неліктен 1) дұрыс?

Ол параллелограмм болғандықтан, онда:

• көлденең жату сияқты
• көлденең жатқан сияқты.

Демек, (II негізінде: және - жалпы.)

Ал, бір рет, содан кейін - болды! – дәлелдеді.

Бірақ айтпақшы! Біз де дәлелдедік 2)!

Неліктен? Бірақ бәрінен кейін (суретке қараңыз), яғни, өйткені.

Тек 3 қалды).

Мұны істеу үшін сіз әлі де екінші диагональ салуыңыз керек.

Ал енді біз мұны көреміз - II белгі бойынша (олардың «арасындағы» бұрыш пен жағы).

Қасиеттері дәлелденген! Енді белгілерге көшейік.

Параллелограмның ерекшеліктері

Еске салайық, параллелограммның белгісі фигураның параллелограмм екенін қалай білуге ​​болады?» Деген сұраққа жауап береді.

Белгішелерде бұл келесідей:

Неліктен? Неліктен екенін түсіну жақсы болар еді - бұл жеткілікті. Бірақ қараңыз:

Неліктен 1 белгі дұрыс екенін түсіндік.

Бұл одан да оңай! Қайтадан диагональ сызайық.

Білдіреді:

Жәнеда оңай. Бірақ... басқаша!

білдіреді, . Мәссаған! Бірақ сонымен қатар - ішкі бір жақты секантта!

Сондықтан бұл факт соны білдіреді.

Ал егер сіз екінші жағынан қарасаңыз, онда олар ішкі бір жақты және бір жақты! Сондықтан.

Қараңызшы, бұл қаншалықты керемет?!

Және тағы да жай:

Дәл сол, және.

Назар аударыңыз:тапсаңыз тым болмасамәселеңізде параллелограмның бір белгісі болса, онда сізде бар дәлпараллелограмм және сіз пайдалана аласыз барлығыпараллелограмның қасиеттері.

Толық түсінікті болу үшін диаграмманы қараңыз:

Төртбұрыштың қасиеттері. Тіктөртбұрыш.

Тіктөртбұрыш қасиеттері:

1) тармақ өте айқын - 3 () белгісі жай орындалды

Ал 2 тармақ) - өте маңызды. Ендеше соны дәлелдеп көрейік

Сонымен, екі аяқпен (және - жалпы).

Үшбұрыштар тең болғандықтан, олардың гипотенузалары да тең болады.

Мұны дәлелдеді!

Ал елестетіп көріңізші, диагональдардың теңдігі тіктөртбұрыштың барлық параллелограммдардың ішіндегі ерекше қасиеті болып табылады. Яғни, келесі мәлімдеме шындыққа сәйкес келеді

Неге екенін көрейік?

Сонымен, (параллелограммның бұрыштарын білдіреді). Бірақ тағы бір рет есте сақтаңыз - параллелограмм, демек.

білдіреді, . Және, әрине, олардың әрқайсысы осыдан шығады Өйткені, олар беруі керек мөлшерде!

Мұнда біз дәлелдедік, егер параллелограммкенеттен (!) тең диагональдар болады, онда бұл дәл тіктөртбұрыш.

Бірақ! Назар аударыңыз!Бұл туралы параллелограммдар! Ешқандай емесдиагональдары тең төртбұрыш тіктөртбұрыш, және текпараллелограмм!

Төртбұрыштың қасиеттері. Ромб

Тағы да сұрақ: ромб параллелограмм ба, жоқ па?

Толық оң жақпен - параллелограмм, өйткені оның және (2 белгісін есте сақтаңыз).

Және тағы да, ромб параллелограмм болғандықтан, ол параллелограмның барлық қасиеттеріне ие болуы керек. Бұл ромбтың қарама-қарсы бұрыштары тең, қарама-қарсы қабырғалары параллель және диагональдары қиылысу нүктесімен екіге бөлінгенін білдіреді.

Бірақ ерекше қасиеттері де бар. Біз тұжырымдаймыз.

Ромб қасиеттері

Неліктен? Ромб параллелограмм болғандықтан, оның диагональдары екіге бөлінеді.

Неліктен? Иә, сондықтан!

Басқаша айтқанда, диагональдар мен ромбтың бұрыштарының биссектрисалары болып шықты.

Тіктөртбұрыш жағдайындағы сияқты, бұл қасиеттер ерекше, олардың әрқайсысы ромбтың да белгісі.

Ромб белгілері.

Неге солай? Және қараңыз

Демек, және екеуі дебұл үшбұрыштар тең қабырғалы.

Ромб болу үшін төртбұрыш алдымен параллелограммға «айнады», содан кейін 1- немесе 2-қасиетті көрсету керек.

Төртбұрыштың қасиеттері. Шаршы

Яғни, шаршы бір уақытта тіктөртбұрыш пен ромб. Бұдан не шығатынын көрейік.

Неге екені түсінікті ме? Шаршы – ромб – тең болатын бұрыштың биссектрисасы. Осылайша ол (және де) екі бұрышқа бөлінеді.

Бұл өте түсінікті: тіктөртбұрыштың диагональдары тең; ромб диагональдары перпендикуляр, ал жалпы - параллелограммдық диагональдар қиылысу нүктесіне екіге бөлінеді.

Неліктен? Ал, жай ғана Пифагор теоремасын қолданыңыз.

ҚОРЫТЫНДЫ ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ФОРМУЛА

Параллелограмның қасиеттері:

1. Қарама-қарсы қабырғалары тең: , .
2. Қарама-қарсы бұрыштар: , .
3. Бір жағындағы бұрыштардың қосындысы: , .
4. Диагональдар қиылысу нүктесіне қарай екіге бөлінеді: .

Тіктөртбұрыш қасиеттері:

1. Тіктөртбұрыштың диагональдары: .
2. Тіктөртбұрыш - параллелограмм (параллелограмның барлық қасиеттері тіктөртбұрыш үшін орындалады).

Ромб қасиеттері:

1. Ромбтың диагональдары перпендикуляр: .
2. Ромбтың диагональдары оның бұрыштарының биссектрисалары болып табылады: ; ; ; .
3. Ромб – параллелограмм (ромб үшін параллелограмның барлық қасиеттері орындалады).

Шаршы қасиеттері:

Шаршы бір мезгілде ромб пен тіктөртбұрыш, сондықтан шаршы үшін тіктөртбұрыш пен ромбтың барлық қасиеттері орындалады. Және де.

Дөңес төртбұрыш деп бір-бірімен төбелерінде қосылған, қабырғаларымен бірге төрт бұрышты құрайтын төрт жақтан тұратын фигураны айтады, ал төртбұрыштың өзі оның бір қабырғасы жатқан түзуге қатысты әрқашан бір жазықтықта болады. Басқаша айтқанда, бүкіл фигура оның кез келген жағының бір жағында.

Байланыста

Көріп отырғаныңыздай, анықтаманы есте сақтау өте оңай.

Негізгі қасиеттері мен түрлері

Бізге белгілі төрт бұрыш пен бүйірден тұратын барлық дерлік фигураларды дөңес төртбұрыштарға жатқызуға болады. Мыналарды ажыратуға болады:

1. параллелограмм;
2. шаршы;
3. төртбұрыш;
4. трапеция;
5. ромб.

Бұл фигуралардың барлығын төртбұрышты болуы ғана емес, сонымен қатар дөңес болуы да біріктіреді. Тек диаграмманы қараңыз:

Суретте дөңес трапеция көрсетілген. Мұнда трапеция бір жазықтықта немесе кесіндінің бір жағында орналасқанын көруге болады. Егер сіз ұқсас әрекеттерді орындасаңыз, сіз барлық басқа жақтардың жағдайында трапеция дөңес екенін біле аласыз.

Параллелограмм дөңес төртбұрыш па?

Жоғарыда параллелограммның суреті берілген. Суреттен көрініп тұрғандай, параллелограм да дөңес болады. AB, BC, CD және AD кесінділері жатқан түзулерге қатысты фигураға қарасаңыз, оның осы түзулерден әрқашан бір жазықтықта болатыны белгілі болады. Параллелограммның негізгі белгілері оның қабырғаларының жұптық параллель болуы және қарама-қарсы бұрыштардың бір-біріне тең болуы сияқты.

Енді шаршы немесе тіктөртбұрышты елестетіңіз. Негізгі қасиеттері бойынша олар да параллелограммдар болып табылады, яғни олардың барлық қабырғалары жұп болып параллель орналасқан. Тіктөртбұрыш жағдайында ғана қабырғаларының ұзындығы әртүрлі болуы мүмкін, ал бұрыштары тік (90 градусқа тең), шаршы - барлық қабырғалары тең, ал бұрыштары да тік, ал ұзындықтары бірдей болатын тіктөртбұрыш. Параллелограмның қабырғалары мен бұрыштары әртүрлі болуы мүмкін.

Нәтижесінде төртбұрыштың барлық төрт бұрышының қосындысы 360 градусқа тең болуы керек. Мұны тіктөртбұрыш арқылы анықтаудың ең оңай жолы: тіктөртбұрыштың барлық төрт бұрышы тік, яғни 90 градусқа тең. Осы 90 градустық бұрыштардың қосындысы 360 градусты береді, басқаша айтқанда, 90 градусты 4 рет қоссаңыз, қажетті нәтиже аласыз.

Дөңес төртбұрыштың диагональдарының қасиеті

Дөңес төртбұрыштың диагональдары қиылысады. Шынында да, бұл құбылысты көзбен байқауға болады, тек суретке қараңыз:

Сол жақтағы сурет дөңес емес төртбұрышты немесе төртбұрышты көрсетеді. Сіздің қалауыңыз білсін. Көріп отырғаныңыздай, диагональдар қиылыспайды, кем дегенде олардың барлығы бірдей емес. Оң жақта дөңес төртбұрыш орналасқан. Мұнда диагональдардың қиылысу қасиеті бұрыннан байқалады. Дәл осындай қасиетті төртбұрыштың дөңестігінің белгісі деп санауға болады.

Төртбұрыштың дөңестігінің басқа қасиеттері мен белгілері

Нақтырақ айтқанда, бұл терминге сәйкес, қандай да бір нақты қасиеттер мен белгілерді атау өте қиын. Осы түрдегі төртбұрыштардың әртүрлі түрлеріне сәйкес оқшаулау оңайырақ. Параллелограммнан бастауға болады. Біз бұл төртбұрышты фигура екенін білеміз, оның қабырғалары жұп параллель және тең. Сонымен қатар бұған параллелограмның диагональдарының бір-бірімен қиылысу қасиеті, сонымен қатар фигураның өзінің дөңестік белгісі де кіреді: параллелограмм әрқашан бір жазықтықта және кез келгенге қатысты бір жағында болады. оның жақтары.

Сонымен, негізгі белгілері мен қасиеттері белгілі:

1. төртбұрыштың бұрыштарының қосындысы 360 градус;
2. фигуралардың диагональдары бір нүктеде қиылысады.

Тіктөртбұрыш. Бұл фигураның параллелограмм сияқты қасиеттері мен ерекшеліктері бар, бірақ оның барлық бұрыштары 90 градусқа тең. Осыдан тіктөртбұрыш атауы пайда болды.

Шаршы, бірдей параллелограмм, бірақ оның бұрыштары тіктөртбұрыш сияқты дұрыс. Осыған байланысты шаршы сирек тіктөртбұрыш деп аталады. Бірақ шаршының басты ерекшелігі, жоғарыда аталғандардан басқа, оның төрт жағының тең болуы.

Трапеция - өте қызықты фигура.. Бұл төртбұрышты және дөңес. Бұл мақалада трапеция сызба мысалында қарастырылды. Оның да дөңес екені анық. Негізгі айырмашылық және сәйкесінше, трапецияның белгісі оның қабырғалары ұзындығы бойынша бір-біріне мүлдем тең болмауы мүмкін, сондай-ақ оның бұрыштары мәні бойынша. Бұл жағдайда фигураны құрайтын кесінділер бойымен оның кез келген екі төбесін қосатын түзулердің кез келгеніне қатысты фигура әрқашан бір жазықтықта қалады.

Ромб - бірдей қызықты фигура. Ішінара ромбты шаршы деп санауға болады. Ромбтың белгісі оның диагональдарының қиылысуы ғана емес, сонымен қатар ромбтың бұрыштарын екіге бөлуі, ал диагональдарының өзі тік бұрыш жасап қиылысуы, яғни перпендикуляр болуы. Ромбтың қабырғаларының ұзындықтары тең болса, қиылысында диагональдары да екіге бөлінеді.

Дельталар немесе дөңес ромбтар (ромбтар)бүйірлік ұзындығы әртүрлі болуы мүмкін. Бірақ сонымен бірге ромбтың өзінің негізгі қасиеттері мен белгілері де, дөңестік белгілері мен қасиеттері де әлі күнге дейін сақталған. Яғни, диагональдардың бұрыштарды екіге бөліп, тік бұрыш жасап қиылысатынын байқауға болады.

Бүгінгі тапсырма дөңес төртбұрыштар дегеніміз не, олар не және олардың негізгі белгілері мен қасиеттерін қарастыру және түсіну болды. Назар аударыңыз! Дөңес төртбұрыштың бұрыштарының қосындысы 360 градус екенін тағы бір рет еске түсірген жөн. Фигуралардың периметрі, мысалы, фигураны құрайтын барлық кесінділердің ұзындықтарының қосындысына тең. Төртбұрыштардың периметрі мен ауданын есептеу формулалары келесі мақалаларда талқыланады.

Дөңес төртбұрыштардың түрлері